GEOMETR IA I BIM. TRILCE PRIMARIA
GEOMETRIA.
Índice Pág .
.............................................Simbología geometríca
61
....................................Geometría: Plano cartesiano
63
.......................................................Pares ordenados
67
............................................Traslación de polígonos
69
.............La recta: rectas paralelas y rectas secantes
71
.................................................................Segmento
75
.....................................................................Repaso
79
COLEGIO TRILCE
Página 2
GEOMETRIA.
S
Í M
A
B
A
B
O
A
A
B
A
B
A
B
m
B
/ /
( A
COLEGIO TRILCE
B
O
L O
S
R
e
c t a
R
a
y o
q u
I G e
N
p
c u y o
I F
I C
a s a
p
p u
n
t o
A
D
o r
d
O l o s
e
o
C
D
R
e
c t a
A
B
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p a
r a l e
l a
C
D
R
e
c t a
A
B
e s
p e
r p e
n d
C RD e
c t a
A
B
e s
o b
l i c u a
)
M
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Página 3
i d a
d e
l
s e
g
m
e n t o
p u n
t o
e n
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r i g a
l a
r e
i c u l a a
la A
r
.
" A
" O
c t a a
r e c t a B
s
C
l a
r e C
D
GEOMETRIA.
La geometría y los sentidos No siempre nuestros sentidos captan con exactitud las figuras u objetos percibidos; aquí mostramos unos ejemplos de ilusiones ópticas:
A
B
C
D
L o s ¿ s o n
d e f o
s e g m
e n t o s
A
B
p a r a le lo s ?
_
_
E l
c í r c u l o
r m
a d o
s e
p o r
y _
C _
D
_
_
_
v e e l
_
_ _
_
_
_
_ _
Una geometría basada solamente en la intuición sensible, en las enseñanzas de la experiencia de los sentidos, podría conducir a absurdos. Fue haciendo frente a esta realidad, que surgió el espíritu griego para la Geometría.
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_ _
_
_
GEOMETRIA.
CARACTERÍSTICAS FÍSICAS: CONCEPTO La Geometría es una parte de la Matemática, con la cual, por ejemplo, podemos organizar nuestro espacio bidimensional (dos dimensiones) y tridimensional (tres dimensiones). Proviene de las raíces griegas: geo = _______________
metron = _______________
V e a m
o s
a l g u n
o s
c o
n c e p t o s
e le m
e n t a le s
*
Punto Al marcar con un lápiz, lapicero o una tiza representamos la idea de punto.
*
Recta Es una sucesión de infinitos puntos en una misma dirección.
*
Segmento Es una parte de la recta comprendida entre dos puntos.
*
Semirecta Si una recta la dividimos en dos partes obtendremos dos semirectas.
*
Rayo La unión de un punto y una semirecta se llama rayo.
Observa detenidamente la siguiente figura: A D
Q
B
E
P
C
O
R
T
la n o
:
P
u n t o
:
A
, C
R
e c t a
:
E
D
S
e g m
R
a y o
Nota: El punto "Q", divide a la recta en dos semirectas.
COLEGIO TRILCE
Página 5
P
P
e : n R t oT :
O
B
GEOMETRIA. AHORA HAZLO TÚ Resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios: 1. Dibuja un plano "P" y luego traza en él una recta y un rayo . 2. Dibuja un plano "P" y luego traza en él dos rectas por un punto común "J".
y
que pasen
3. Traza sobre un plano "Q": a. Una recta y en ella un segmento DE. b. Una recta y en ella los segmentos FG, GH, FH 4. Grafica sobre un plano "P" la recta y escribe el nombre de los segmentos que determinan los puntos "A", "B" y "C". 5. Denota (nombra) todos los segmentos que determinan los puntos consecutivos "R", "S", "T" y "U" sobre la recta . Grafica sobre un plano "P". 6. Contesta "V" si es verdadero o "F" si es falso, según corresponda: a. La Geometría es una parte de la Matemática con la cual organizamos nuestro espacio.
(
)
b. El espacio de dos dimensiones es llamado también espacio "bidimensional".
(
)
c. El espacio de tres dimensiones es llamado también espacio "tridimensional".
(
)
d.
En dos dimensiones encontramos: largo y ancho.
(
)
e.
En tres dimensiones encontramos: largo, ancho y altura.
(
)
COLEGIO TRILCE
Página 6
GEOMETRIA.
Plano Cartesiano Cuando se intersectan dos rectas numéricas perpendicularmente (formando un ángulo de 90º), determinan en el plano un sistema de coordenadas llamado "Plano Cartesiano"
" e je
I I c u a d
y "
r a n I t ce u a d
r a n t e
" e je I I I
El plano cartesiano tiene cuatro cuadrantes.
x "
c u a d r a In V t e c u a d r a n t e
La primera coordenada o abscisa es Las coordenadas de un punto en el
plano son las longitudes (positivas o negativas) de sus proyecciones sobre coordenada u ordenada es la los ejes. la
longitud
"x"
y
la segunda
longitud "y". " e j e
( + )" e j e
y "
y "
+ 3 + 2
o r d
e n a d a
" e je
x "
+ 1
( - ) - 3
a b s c i s a
- 2
- 1
- 1
" e j e + 1 + 2 + 3
x "
( + )
- 2
R
- 3
e c u e r d a :
( - )
U n p u n t o e n e l p l a n o s e r e p r e s e n t a ; la p r im e r a c o m p o n e n t e e n e l e j e " x " y la s e g u n d a c o m p o n e n t e e n e l e j e " y "
I c u a d r a n t e y T
T ( 2 ; 3 3) x y
c u a d r a n t e - 2
- 1
0
x '
- 1
2
R
( - 3 : - 2 )
- 2
R
1 0
I I I - 3
x 1
2
y '
3
I V
I I c u a d r a n t e y
Q
2 1
x ' - 3
- 2
- 1
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0
Q
( - 3 ; 2 )
c u a d r a n t e 1
0
3
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- 3
2
3 x
- 1
S
- 2 - 3 y '
S
( 3 ; - 3 )
GEOMETRIA. AHORA HAZLO TÚ 1. ¿En qué cuadrante está cada punto? 2. Ubica los siguientes pares ordenados en el plano cartesiano, luego únelos. y F
A
A
x 0 E
H C
_→
_
_ c u
a d _ r _a _n _t e _
B _ _ →_ _ c u a _ d _ r _a n_ t_ e C _ _→ _ _ c u a d _ r _a _n _t e _
D
B x '
_
G y '
D
_
_→
_
_ c u a d _ r a_ n_ t_ e _
E
_
_→
_
_ c u
a d _ r _a _n _t e _
F
_
_→ _
_ c u
a d _ r _a _n _t e _
G
_
_→
_
_ c u a d _ r _a n_ t_ e _
H
_
_→
_
_
_
_
_ _
_
c u
a d r a n
2. Ubica los siguientes pares ordenados en el plano cartesiano, luego únelos a través de segmentos. 5
y
*
( - 3 ; 5 ) , ( - 5 ; 2 ) , ( - 5 ; - 2 ) , ( - 3 ; - 45 ) , ( - 1 ; - 2 ) , ( - 1 ; 2 )
*
( 2 ; 5 ) , ( 2 ; 0
) , ( 2 ; - 5 )
*
( 5 ; 5 ) , ( 2 ; 0
) , ( 5 ; - 5 )
3 2 1
x '
x
- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 - 1
1
2
3
4
5
- 2 - 3 - 4 - 5
y '
3. ¿A qué cuadrante pertenecen los siguientes pares ordenados? Relacionalos con una línea. ( - 8 ; 3• ) ( 4 ; 1 •) ( - 1
•
I
( - 6 ; 9• )
•
I I
( 7 ; 5 •)
•
I I I
•
I V
( - 5
; - •1 )
; - •9 )
( 4 ; - 8• ) ( 2 ; - 5• )
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c u
a d r a n t e
c u a d r a n c u c u
t e
a d r a n t e a d
r a n
t e
GEOMETRIA.
1. Demuestra tu habilidad, formando pares ordenados, luego representálos en tu cuaderno. O
p e r a c i ó " ne j e 3
2
-
x " O
4 ÷ 2
5
62 ÷
p e r a c i ó " ne j e
9
4
+
5
5
20
+
2
31
9
2 7÷
3
4 5÷ 8 ÷
2
6 ÷
1
24 ÷
×
+
2
6 ÷
2
25 ÷
4
3
( ( ( ( ( ( ( ( ( (
0 ; - 3; ; 5 ; ; 7 ; ; 2 ; ; 0 ;
o 0 ) 4 ) ) - 2) 8 ) ) 5 ) 3 ) ) )
3
4
1
9
(
;
) )
×
2
(
;
)
3
(
;
)
(
;
)
(
;
)
(
;
)
(
;
)
3 8 1
8 8
luego representa
los
y
8
a
7 6 5 4 3 2
- 4 9
1
x ' - 9 - 8
x - 7 - 6 - 5 - 4 - 3
- 2
- 1 0 - 1
1
- 2
1 8
- 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9
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)
;
- 4
5
;
(
9
P a r
(
1 9
2. Completa la tabla según corresponde, ordenados en el plano cartesiano.
a r d ae b s nc i s a o dr d e on a d
o r d e n a d o
-
1 6÷
2
2
1
2
2
1 0÷
8
×
2
y P" a r
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y '
2
3
4
5
6
7
8
9
pares
GEOMETRIA.
3. Representa en tu cuaderno los siguientes pares ordenados: a. P(0;0), Q(5;10) R(0;8), T(4;4) b. V(6;6), U(6;8), E(6;4), L(4;2), A(3;2) 4. Dado los puntos en el plano, completa los pares ordenados.
y
y
9
9
B
8
A
7
B( C
6
( (
D
(
A(
;
)
B(
;
)
;
C(
;
)
D(
;
)
E(
;
)
F(
;
)
5
5
4
4
3
C
) 7 ) 6 )
;
A
D
8)
;
C
F
;
B
A G
3
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
)
H(
;
)
H
1 x
D
;
E
2
1
G(
x 0
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5. Completa la siguiente tabla con los pares ordenados, que se forman y luego represéntalos en el plano cartesiano. y
x 0
0
3
5
4
7
9
( 0 ; 0 )
2
( 2 ; 5 )
4
y 9 8
6 8
7
7
( 7 ; 9 )6 5 4 3 2 1 x 0
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GEOMETRIA.
Lee y completa: Para trasladar un polígono, a los elementos de cada par ordenado se suman o restan números, de esta forma se obtienen los nuevos vértices. La figura trasladada conserva su forma y su tamaño.
AHORA HAZLO TÚ 1.
Completa cada una de las siguientes tablas y luego traslada el polígono en un plano cartesiano. ( x ; yt)
a .
( 8 ; 2 )
B
( 1 2 ; 3 ) B '(
;
C
( 1 2 ; 5 ) C ('
D
( 1 0 ; 5 ) D ('
E
A
-
A
( x ; yt)
c .
( x '(
;
( x
+ b 4 .)
5 ; y
A
( 1 0 ; 7 )
)
N
( 1 0 ; 1 0 )
;
)
L ( 1 3 ; 1 0 )
;
)
Ñ
+
)
( x ; yt)
+ d 3. )
6 ; y
( x ; yt)
( 1 ; 1 )
P
( 1 ; 6 )
F ( 2 ; 3 )
Q
( 1 ; 9 )
G
( 4 ; 3 )
R
( 3 ; 9 )
H
( 5 ; 1 )
S
( 3 ; 8 )
( x ; y t)
( x
+
7 ; y
+
3 )
I ( 0 ; 0 ) J K
( 3 ; 0 ) ( 1 ; 1 )
L ( 2 ; 1 ) M
( 1 ; 4 )
N
( 2 ; 4 )
Observación: t → traslación
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-
4 ; y
+
5 )
( 1 2 ; 8 )
T ( 6 ; 6 )
e .
( x
( x
+
5 ; y
-
4 )
GEOMETRIA.
2. Completa las tablas y traslada los polígonos. y 8 A
7
( x ; yt)
(
A
( 9 ; 4 )
B
(
;
C( D
A
A
4
)
(
B
5
)
;
)
6
'( 4 ; 7 )
'
3
;
)
2
D
C
1
x 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 0 1 1
y 1 1 1 0 A
9
B
8 D
7
( x ; yt)
(
A
( 9 ; 5 )
B
(
A
;
'( 4 ; 8 )
)
C(
;
)
D(
;
)
E(
;
)
F(
;
)
C
)
6
E A
4
'
3 2 1
x 0
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F
5
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2
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1 0 1 1 1 2
GEOMETRIA.
LA RECTA Es un conjunto de infinitos puntos que se encuentran alineados, se representan por dos de ellos. R A
•
B
e c t a
S e
A
le e
B r e c t a
q
u
e
p a s a
p o r
lo s
p u
n t o s
Rectas paralelas Decimos que dos rectas son paralelas si no tienen ningún punto en común. E
A
B
C
D A
B
/ / C
F
D
G
H
E
F
/ / G
H
S e le e : L a r e c t a q u e p aS se a l e e : L a r e c t a q u e p p o r " A " y " B " e s p a r a l e p l ao r a " lE a " y " F " e s p a r a l e l r e c t a q u e p a s a p o r " C " r e y c t" aD "q u e p a s a p o r " G "
Trazando paralelas: A
C A
B
/ / C
B
COLEGIO TRILCE
Página 13
D
D
GEOMETRIA.
•
Rectas secantes Son aquellas que se cortan en un punto y pueden ser: -
Rectas perpendiculares Decimos que dos rectas son perpendiculares si al cortarse forman cuatro (4) ángulos rectos (90º) T
V
R
S
U R
S p
e
o r
la
S
le e : " R
X
T U
"
r e c t a
L a y
R
r e c t a
" S "
q u e
S
q u e S pe a l se a e :
e s
p e r pp oe rn
p a s a
p o l ar
V
L a
X
r e c t a
d" Ri c " u ly a r " S a "
"r Te c" t ya
"q U u " e .
e s p a s a
q u e
p a s a
p e r p e n d i c u la p o r
" V
-
Rectas oblícuas Decimos que dos rectas son oblícuas si al cortarse no forman ángulos rectos (90º) A
D A
C
B
C
D
B
Se lee: La recta que pasa por "A" y "B" es oblícua a la recta que pasa por "C" y "D"
COLEGIO TRILCE
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"
y
"
GEOMETRIA.
AHORA HAZLO TÚ 1. Traza una recta y luego dos rectas perpendiculares a . ¿Cómo son estas dos rectas entre sí?
2. Sea una recta (ver gráfico) traza una recta perpendicular a , y otra recta perpendicular a . ¿Cómo son las rectas y entre sí?
B
3. Dibuja dos rectas Responde:
y
perpendiculares a
a. ¿Cómo son y entre si? b. ¿Cómo son y ebtre si?
COLEGIO TRILCE
Página 15
y otra recta
Rpta.: ____________________ Rpta.: ____________________
perpendicular a .
GEOMETRIA.
4. Dibuja con ayuda de tu escuadra tres rectas perpendiculares a .
A
B
5. En la siguiente figura denota las rectas que son paralelas y perpendiculares entre sí. Paralelas: _______________________________________ D
E
C
B
_______________________________________
A
Perpendiculares: _______________________________________
6. El siguiente dibujo representa el puente más grande del Perú "AGUAYTÍA"
a
b
c
d
e
f
g
B
A
i
j
h
a.
¿Qué líneas son perpendiculares a ?_________________________________
b.
¿Qué líneas son paralelas a ?________________________________________
COLEGIO TRILCE
Página 16
GEOMETRIA.
SEGMENTO Es una porción de recta limitado por dos puntos llamados extremos. Ejemplo: En las siguientes figuras encuentra y denota todos los segmentos. B
D
E
F
J
L
K
A
G
C
S
e g
A
B
m
,
B
H
e n
t o s :
S
e g
m
C
C
_
_
_
,
D
_
I
e n t o s : _
_
_
_
_ _
_
_
M
S e g
m
_ _
_ _
_
e n t o s : _
_
_
_
_
_
_
_
_ _
MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO Es una recta perpendicular (90°) que divide al segmento en dos partes iguales. Ejemplo 1: m
A
e d ia t r iz
B
O 3
c m
3
m
( A
B
)
=
6
c m
m
( A
O
)
=
m
( O
B
)
=
3
c m
Ejemplo 2: Usando compás
P
A
e d ia t r iz B
Q
COLEGIO TRILCE
m
Página 17
d e
A
B
c m
_
_
GEOMETRIA.
AHORA HAZLO TÚ 1.
Con ayuda de una regla graduada, mide los siguientes segmentos y luego completa. A
B O C
E
G D
F
I
J K
M
m
( A = B _) _ _ _ _ c m
m
( C =D _) _ _ _ _ c m
m
( E =F )_ _ _ _ _ c m
m
( G =H _)_ _ _ _ c m
m
( I J= ) _ _ _ _ _ c m
m
( K = L _) _ _ _ _ c m
m
( M = N _ )_ _ _ _ c m
m
( O = P _) _ _ _ _ c m
H L N
P
Recordar: se lee "medida del segmento AB". 2. Denota (nombra) todos los segmentos que determinan los puntos "R", "S", "U" sobre la recta . Segmentos:
R A
COLEGIO TRILCE
Página 18
S
U B
GEOMETRIA.
3. Traza todas las mediatrices de los segmentos que conforman las siguientes figuras.
4. Dibuja un segmento de 12 cm y luego traza la mediatriz. (Usa regla y compás).
5. Rapidez mental: a. Si la distancia entre la mediatriz y uno de los extremos del segmento es 5 cm, ¿cuál es la medida del segmento? ________________________________________ b. La mediatriz de un segmento está ubicada a 7 cm con respecto a uno de los extremos del segmento. ¿Cuánto mide el segmento? ________________________________________
COLEGIO TRILCE
Página 19
GEOMETRIA.
6.
Para representar la mediatriz del segmento AB, ¿qué figura representa la
alternativa correcta? C
D
A
B
B
A
D
E
F A
H B
A
G
B
I
7. Lee con atención, luego grafica correctamente: a. La mediatriz de un segmento está ubicada a (22 - 2) cm con respecto a sus extremos, entonces la longitud del segmento será:
b. La medida de un segmento es (52 - 42) cm, entonces la mediatriz dividirá al segmento en dos segmentos de _______cm:
COLEGIO TRILCE
Página 20
GEOMETRIA. c.
La mediatriz de un segmento está ubicada a (33 - 52) cm con respecto a sus extremos, entonces la longitud del segmento será:
1. Observa y analiza el siguiente dibujo, luego denota. A
D
C
B
K
J
• • • • • •
2 4 5 2 2 2
L
I
H
E M
R
N
Q
O
P F
G
planos __________________ segmentos __________________ puntos __________________ segmentos paralelos __________________ segmentos perpendiculares __________________ segmentos oblícuos __________________
2. ¿Cuántos segmentos hay en? a.
A
B
b.
M
N
c.
F
G
D O
H
______
E P
I
______
Q
J
K
L
______
3. Traza la mediatriz de los segmentos que conforman las siguientes figuras:
COLEGIO TRILCE
Página 21
GEOMETRIA.
4. Completa las tablas y traslada los polígonos: ( x ; yt )
( x
+
6 ; y
4 () x ; y t )
+
( x
M
( 2 ; 1 )
P
N
( 5 ; 5 )
Q
( 8 ; 1 2 )
O
( 8 ; 1 )
R
( 5 ; 8 )
+
6 ; y
-
4 )
( 2 ; 1 2 )
y 1 2 1 1 1 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1
x 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 0 1 1 1 2
5. Crea una figura y trasládala.
( x ; yt )
COLEGIO TRILCE
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( x
; y
)
