GEOMETRIA PLANA Y ANALITICA
La geometría es la rama de las matemáticas que se dedica al estudio de las propiedades y de las medidas de las figuras en el espacio o en el plano . En su desarrollo, la geometría utiliza nociones como puntos, rectas, planos y curvas, entre otros.
Para representar distintos aspectos de la realidad, la geometría acude a los sistemas formales o axiomáticos , que son artificios matemáticos formados por símbolos que, al unirse entre sí, generan cadenas. Estas cadenas obedecen a ciertas reglas, por lo que, a su vez, pueden producir nuevas cadenas. Los axiomas son afirmaciones o proposiciones que relacionan conceptos. Estos axiomas dan lugar a teorías que pueden ser comprobadas gracias a instrumentos como el compás y el teodolito . Entre las distintas corrientes de la geometría, se destaca la geometría algorítmica , que utiliza el álgebra y sus cálculos para resolver problemas de la extensión. La geometría analítica , por su parte, se encarga de estudiar las figuras a partir de un sistema de coordenadas y de los métodos propios del análisis matemático. La geometría descriptiva busca resolver los problemas del espacio con operaciones que se efectúan en un plano, donde se representan las figuras de los sólidos. Por últimos, podemos agrupar tres ramas de la geometría. La geometría proyectiva se encarga de las proyecciones de las figuras sobre un plano; la geometría del espacio se centra en las figuras cuyos puntos no pertenecen todos al mismo plano; mientras que la geometría plana considera las figuras cuyos puntos están todos en un plano
Geometría analítica La geometría analítica estudia las figuras geométricas mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Su desarrollo
histórico comienza con la geometría cartesiana, impulsada con la aparición de la geometría diferencial de Carl Friedrich Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica. Las dos cuestiones fundamentales de la geometría analítica son: 1. Dado el lugar geométrico en un sistema de coordenadas, obtener su ecuación. 2. Dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica o lugar geométrico de los puntos que verifican dicha ecuación. Lo novedoso de la geometría analítica es que representa las figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f ( x, y) = 0, donde f es una función u otro tipo de expresión matemática: las rectas se expresan como ecuaciones polinómicas de grado 1 (por ejemplo, 2 x + 6 y = 0), las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones polinómicas de grado 2 (la circunferencia x2 + y2 = 4, la hipérbola xy = 1), etc.
GEOMETRÍA PLANA: Es la rama de la geometría elemental que estudia las propiedades de superficies y figuras planas, como el triángulo o el círculo. Esta parte de la geometría también se conoce como geometría euclídea, en honor al matemático griego Euclides, el primero en estudiarla en el siglo IV a.C. Su extenso tratado Elementos de geometría se mantuvo como texto autorizado de geometría hasta la aparición de las llamadas Geometría no euclideas en el siglo XIX. Cómo son los Ángulos. Agudos: Si su medida esta comprendida entre 0° y 90°. Rectos: si su medida es 90° Obtusos: Si su medida esta comprendida entre 90° y 180°. Llanos: Si su medida es 180°. Clases de ángulos en término de sus medidas y definir cada uno. Ángulos Suplementarios: Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180°. Ángulos Rectos: Si los dos ángulos que forman un Par Lineal, tienen la misma medida, entonces cada uno de esos ángulos es recto. Ángulos Complementarios: Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90°. Ángulo Agudo:
Es el ángulo cuya medida es un número mayor que 0 y menor que 90°. Ángulo Obtuso: Es el ángulo cuya medida es un número mayor que 90° y menor que 180°. Clasificación de los triángulos por sus lados y sus gráficas. Triángulos Escálenos: No tienen ningún lado igual.
SEGMENTO Un segmento es parte de una linea que consiste de dos puntos, llamados puntos extremos, y todos los puntos entre medio de ellos. Segmento
Del latín segmentum, un segmento es la parte de una recta comprendida entre dos puntos . Desde el punto de vista geométrico, una recta está compuesta por infinitos segmentos e infinitos puntos; el segmento, en cambio, es un fragmento de recta que une dos puntos.
Los segmentos son consecutivos cuando tienen en común sólo un extremo. Si pertenecen a la misma recta se denominan segmentos colineales , de lo contrario reciben el nombre de segmentos no colineales . Para la lingüística, un segmento es un signo o conjunto de signos que puede aislarse de la cadena oral a través de una operación de análisis. La zoología , por su parte, considera que un segmento es cada una de las partes dispuestas en una serie lineal que forma el cuerpo de algunos animales (como los insectos) o los órganos de otros (como cada vértebra de la columna vertebral). En el ámbito de la mecánica , los segmentos son los aros de metal que encajan en las ranuras circulares del émbolo y que, al tener un mayor diámetro que este, se ajustan a las paredes del cilindro. El lenguaje cotidiano nombra como segmento a la parte o porción que está cortada o separada de un todo . Por ejemplo: “Este segmento del programa estará dedicado a la tragedia de Haití”, “Mi programa radial tiene cuatro segmentos definidos: política, deportes, espectáculos y tecnología”, “La ruta está en buen estado general, excepto el
segmento que une la playa del norte con el pueblo de pescadores”, “El primer segmento del discurso fue algo confuso”.
Proporcionalidad La proporcionalidad es una relación entre magnitudes medibles. Es uno de los escasos conceptos matemáticos ampliamente difundido en la población. Esto se debe a que es en buena medida intuitiva y de uso muy común. La proporcionalidad directa es un caso particular de las variaciones lineales. El factor constante de proporcionalidad puede utilizarse para expresar las relaciones entre las magnitudes. Primer ejemplo
La receta de un pastel de vainilla indica que para cuatro personas se necesitan 200 g de harina, 150 g de mantequilla, cuatro huevos y 120 g de azúcar. ¿Cómo adaptar la receta para cinco personas? Según varios estudios, la mayoría de la gente calcularía las cantidades para una persona (dividiendo entre cuatro) y luego las multiplicaría por el número real de personas, cinco, otras solo le sumarían lo que a una persona le corresponde. Una minoría no siente la necesidad de pasar por las cantidades unitarias (es decir por persona) y multiplicaría los números de la receta por 5/4 = 1,25 (lo que equivale a añadir cinco huevos, 250 g de harina; 187,5 g de mantequilla y 150 g de azúcar) tendrá el mismo sabor que el otro, si el cocinero aficionado se muestra tan bueno como el chef que escribió la receta. Se dice que la cantidad de cada ingrediente es proporcional al número de personas y se representa esta situación mediante una tabla de proporcionalidad: coeficiente k no nulo ( en el ejemplo) tal que
Si se consideran e como valores de variables e , entonces se dice que estas variables son proporcionales; la igualdad y = k·x significa que y es una Función lineal de x. La representación gráfica de esta función es una recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas. Una variación (incremento o decremento) de x da lugar a una variación proporcional de y (y recíprocamente, puesto que k≠0: y = 1/k · x):
Son las funciones más sencillas que existen y las primeras que se estudian en clase de matemáticas, con alumnos de trece años aproximadamente. La relación «Ser proporcional a» es
reflexiva ( toda variable es proporcional a sí misma, con el coeficiente 1) simétrica (cuando y es proporcional a x entonces x lo es a y , con el coeficiente inverso) y transitiva (si x es proporcional a y , e y a z, entonces x lo es con z, multiplicando los coeficientes)
por lo que se trata de una relación de equivalencia. En particular dos variables proporcionales a una tercera serán proporcionales entre sí). La tabla del primer ejemplo se puede descomponer en tres de formato dos por dos:
por tanto las propiedades de la proporcionalidad se ilustran preferentemente con tablas de cuatro casillas.
Una proporción está formada por los números a, b, c y d, si la razón entre a y b es la misma que entre c y d.
Una proporción está formada por dos razones iguales: a:b=c:d Dónde a, b, c y d son distintos de cero y se lee a es a b como c es a d . Proporción múltiple: Una serie de razones está formada por tres o más razones iguales: a : b = c : d = e : f Y se puede expresar como una proporción múltiple: a : c : e = b : d : f En la proporción hay cuatro términos; a y d se llaman extremos ; c y b se llaman medios. En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios. Para establecer que una tabla es proporcional, se puede: 1.
verificar que la segunda columna es múltiple de la primera, (primera tabla: para pasar
de la primera casilla a la segunda, hay que multiplicar por
2. 3.
; en la segunda línea se
tiene que multiplicar por , luego estas fracciones deben ser iguales para obtener columnas proporcionales) verificar que la segunda línea es múltiple de la primera (se gunda tabla, con un raciocinio parecido) o verificar la igualdad de los productos cruzados: a·d = b·c. (tercera tabla: las igualdades anteriores equivalen a a·d = b·c, cuando no hay valores nulos, que por cierto no tienen un gran interés en este contexto). ya que no se puede comprobar.
Ecuación de la recta
En una recta, la pendiente
es siempre constante. Se calcula mediante la ecuación:
Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente (ecuación punto-pendiente):
Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos, o cuando se conocen sólo los dos puntos, por lo que también se le llama ecuación de la recta conocidos dos puntos, y se le debe a Jean Baptiste Biot. La pendiente m es la tangente de la recta con el eje de abscisas X. La ecuación de la recta que pasa por el punto es:
y tiene la pendiente dada
m
Ejemplo
La ecuación de la recta que pasa por el punto A (2, − 4) y que tiene una pendiente de − 1 / 3. Al sustituir los datos en la ecuación, resulta lo siguiente:
Ecuación de una línea recta La ecuación GENERAL de una línea recta tiene la forma:
y = mx + b (o con otras letras, mira abajo)
¿Qué significa?
Gradiente
Intersección Y
y = cuánto arriba x = cuán lejos m = gradiente o pendiente (cuán inclinada es la línea) b = la intersección Y (donde la línea se cruza con el eje Y)
Hipérbole es un tropo que consiste en exagerar, aumentando o disminuyendo la verdad de lo hablado, de tal forma que el que reciba el mensaje, le otorgue más importancia a la acción en sí y no a la cualidad de dicha acción. Hipérbole
Hipérbola
Las asíntotas de la hipérbola se muestran como líneas discontinuas azules que se cortan en el centro de la hipérbola (curvas rojas), C. Los dos puntos focales se denominan F1 y F2, la línea negra que los une es el eje transversal. La delgada línea perpendicular en negro que pasa por el centro es el eje conjugado. Las dos líneas gruesas en negro paralelas al e je conjugado (por lo tanto, perpendicular al eje transversal) son las dos directrices, D1 y D2. La excentricidad e (e>1), es igual al cociente entre las distancias (en verde) desde un punto P de la hipérbola a uno de los focos y su correspondiente directriz. Los dos vértices se encuentran en el e je transversal a una distancia ±a con respecto al centro.
Una hipérbola (del griego ὑπερβολή) es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida al cortar un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.1
Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.
[editar] Etimología. Hipérbole e hipérbola
Secciones cónicas.
Hipérbola deriva de la palabra griega ὑπερβολή (exceso), y es cognado figura literaria que equivale a exageración). Véase también: hipérbole
de hipérbole (la
6.3 LA HIPERBOLA Definiciones
Sean F y F’ dos puntos de un plano (F F’). Se define la hipérbola de focos F y F’ como el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancia a los focos es constante e igual a 2 a. (a > 0). i.
Las rectas: La que pasa por los focos F y F’ y la recta mediatriz del segmento F’F se llaman: Ejes de simetría de la hipérbola. ii.
El punto de intersección 0 de dos ejes de simetría, se llama CENTRO de la hipérbola. Los puntos A y A’ se llaman: VERTICES de la hipérbola. iii.
