INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ELEMENTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA 1. El Punto: • •
OJO:
Recuerda que el punto, la recta y el plano no se definen, tan sólo tenemos una idea de éstos.
Se representa mediante un “. “ .” Se denota a través de una letra mayúscula. Ejemplos:
.A
.Z
Punto A
Punto Z
-
Del gráfico dado, ¿cuáles son los puntos más elevados del poste, la casa y el árbol? Post Poste e.... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... casa casa.. .... .... .... .... .... .... .. árbo árbol.l... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ....
-
Según el gráfico, ¿cuáles son los tres puntos más elevados que se observan? ...............................................................................................................................
-
Según el gráfico, ¿cuáles son los cuatro puntos más bajos y en qué lugar están ubicados? Punto___________ Punto___________________ ________ ubicado en: ................................................................. ............ Punto___________ Punto___________________ ________ ubicado en: ................................................................. ............ Punto___________ Punto___________________ ________ ubicado en: ................................................................. ............ Punto___________ Punto___________________ ________ ubicado en: ................................................................. ............
Aplicación: -Indique usted a continuación cuatro ideas de punto. _______________ ________________________ _________________ ________________ ________________ _________________ _________________ __________ __ _______________ ________________________ _________________ ________________ ________________ _________________ _________________ __________ __ _______________ ________________________ _________________ ________________ ________________ _________________ _________________ __________ __ _______________ ________________________ _________________ ________________ ________________ _________________ _________________ __________ __ _______________ ________________________ _________________ ________________ ________________ _________________ _________________ __________ __ _______________ ________________________ _________________ ________________ ________________ _________________ _________________ __________ __ ________ ________
I.
• •
2. La Recta:
Se representa a través de una flecha de doble sentido. Se denota con dos puntos o una letra. Ejemplos:
Recta AB
Recta PQ
Recta a
Recta L
TIPOS DE RECTA: •
Rectas Paralelas:
•
Rectas Perpendiculares: L1
L2
_______________ ________________________ ______________ _____ _______________ ________________________ ______________ _____ _______________ ________________________ ______________ _____ _______________ ________________________ ______________ _____ •
Rectas Secantes
_______________ _______________________ ________ _______________ _______________________ ________ _______________ _______________________ ________ _______________ _______________________ ________
APLICACIÓN: APLICACIÓN: Dados dos puntos ¿Cuántas rectas determinan dichos puntos? _______________ ________________________ __________________ _________________ _________________ _________________ _________________ _________________ ____________ ____ -
¿Cuántos puntos están contenidos en una recta? _______________ ________________________ __________________ _________________ _________________ _________________ _________________ _________________ ____________ ____ -
-
Indica “V” ó “F”
Por un punto pasan infinidad de rectas La recta posee un solo sentido La recta se extiende indefinidamente en ambos sentidos Por un punto pasa una sola recta
(
( ( ( )
) ) )
3. El Plano: • •
Se representa una parte del plano por medio de un paralelogramo (cuadrilátero) Se denota a través de una letra mayúscula o de las cuatro letras de sus vértices. Ejemplos:
APLICACIÓN: Indique usted a continuación tres ideas de plano: _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ -
Observa la figura y responde: A D
B C
H E
G F
a) ¿Cuántos planos puedes ubicar? Nómbralos
................................................................
b) ¿Qué planos tienen como vértice al punto “F”?
................................................................
c) ¿Qué planos se encuentran delimitados por el segmento “HG”?
........................................
EJERCICIOS PARA LA CLASE 1.
En punto “A” indicado, graficar tres rectas que pasen por dicho punto. 6. +
En la figura mostrada, indicar todos los segmentos que se determinan con los puntos dados.
A A
2.
C
D
................................................................. .................................................................
Trazar una recta que una los puntos “P” y “Q” indicados. 7. +
B
P
Que figura se forma si se tiene una sucesión ilimitada de puntos que tienen una misma dirección. ................................................................. .................................................................
+
3.
Q
8.
Dibuja tres rectas que se corten de dos en dos.
9.
Se tiene:
¿Cuántas rectas pueden trazarse de tal manera que se unan los puntos “A”, “B” y “C”? A + +
C
+
B 4.
5.
Con la ayuda de una regla graduada en centímetros, dibujar un segmento que mida 5 cm y con la ayuda de un compás determinar su punto medio.
Utilizando una regla graduada en centímetros y un compás, dibujar un segmento de 8 cm y por su punto medio trazar una recta perpendicular.
10. Según la figura dada, indicar los puntos que pertenecen a cada recta completando el siguiente cuadro.
EJERCICIOS PROPUESTOS 1. ¿Cuántas rectas pueden pasar por el punto “A”?
c) nombra un plano ................................................................ d) nombra dos segmentos con extremo “F” ................................................................ 5. Dibuja dos rectas paralelas distantes 5 cm, utilizando los instrumentos de dibujo.
. A
Rpta. .......................................................... 2. ¿Cuántas rectas pueden pasar que contengan al punto “A” y al punto “B”?
6. Utilizando una regla graduada en centímetros y un compás, dibujar un segmento que mida 1,0 cm y por su punto medio trazar una recta perpendicular.
. B 7. Se tiene:
. A Rpta. .......................................................... 3. Según la figura, indica los segmentos que se determinan con los puntos dados: ____________ ____________ P Q R S ____________
Según la figura, indicar los puntos que pertenecen a cada recta utilizando para ello el siguiente cuadro:
4. Observa la figura y responde: L2
L1 G A
F C B
D
L3
L4
a) nombra cuatro puntos ................................................................ b) nombra dos rectas paralelas ................................................................
8.
Según la figura ¿en cuantos puntos puede cortar la recta L1 al plano “Q”?
L1
Q
SEGMENTOS
Sabías que la porción de recta comprendida entre dos puntos se denomina SEGMENTO
Gráficamente: X P Notación:
Q
Segmento PQ ⇒ PQ
Longitud de un Segmento Expresa el tamaño o medida de un segmento. Así, del gráfico anterior, “x” es la longitud del segmento PQ; entonces AB = x. PQ: Se lee “longitud del segmento PQ” Punto medio de un Segmento Dado el siguiente gráfico: P
M
Q
Si “M” punto medio de PQ ⇒ PM = MQ OPERACIONES CON SEGMENTOS P
Q
R
Adición:
Sustracción:
PR = PQ + QR
QR = PR – PQ
EJERCICIOS RESUELTOS 1.
En una recta se tiene los puntos consecutivos A, B, C y D. Calcular BC. Si AB = 8 y AC = 22. Solución: 8 A
B 22
C
D
Los datos son: AB = 8 AC = 22 BC = ? 2.
Hallamos la longitud de BC BC = AC – AB BC = 22 – 8 Rpta. 14 BC = 14
Del gráfico calcular AB + CD 2 A
B
C
D
14 Solución: AB + 2 + CD = 14 AB + CD = 14 – 2 AB + CD = 12. 3.
Rpta. 12
Dados los puntos consecutivos A, B, M y C. Hallar AC si “M” es punto medio de BC 13 A
15 B
M
C
Solución: Los datos son: AB = 13 Como “M” punto medio de BC BM = MC = 15 4.
Hallamos BC: BC = BM + MC BC = 15 + 15 BC = 30
Rpta. 30
Observa la recta y calcula la longitud de a A
3a
B
C
a
2a
D
Solución: a + 3a + a + 2a = 49 7a = 49 a =7
E 49 Luego:
BC = 3a BC = 3(7) BC = 21
Rpta. 21
EJERCICIOS PARA LA CLASE 11
1. De la figura, calcular PQ 7 P
2.
Q 19
A R
Si “M” punto medio de AC . Hallar BC
15
B
M
C
8. En la figura, si: AB = CD +1, CD = 4 2BC = CD, Hallar AC A
3. Si: AB = 9, AC = 20. Hallar BC A
B
C
D
4. Si: AD = 35, AC = 28. Hallar CD A
B
C
D
5. De la figura, calcular: AC 6–a
A
P
C
4+a
6. Si: AC = 15, AD = 21. Hallar CD A
B
C
D
7. Calcular BC, Si: AC = 48 a A
3a B
C
B
C
D
9. En la figura, si: AB = 2 BC y AC = 18; Calcular: AB x BC A
B
C
10. En la figura; si: AC = 3 AB y AC = 24; Calcular BC A
B
C
11. En la figura, si M es punto medio de AB; Calcular AM 2a
A
9–a
M
B
12. En una línea se marcan los puntos consecutivos A, B, C y D tal que AD = 5BC, AC + BD = 42. Calcular BD.
13. Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos A, B y C; si “B” es punto medio de AC y AB = 21; Calcular “AC”
18. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D; tal que AC = 16, BD = 20 y BC = 10. Calcule AB x CD.
14. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D tal que AD + BC = 30 y AC = 16. Hallar BD.
15. Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos E, D, S, O y N; tal que ED = ON = 2 y DS = SO = 3. Calcular EO.
16. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D tal que BC = 4; AD = 2BC y AB = 1. Calcule CD.
17.
Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D tal que AC = 16 y BD = 14. Hallar AB – CD.
EJERCICIOS PROPUESTOS 1. De la figura, calcula AC 10
A
23
B
a) 30 d) 40
Del gráfico, si “C” es punto medio del AE y “B” es punto medio del AC . Calcular BC 6.
C
b) 33 e) 46
A
c) 36
a) 5 d) 11
C
17
b) 7 e) 23
D
E
a) 4 b) 5 c) 7 d) 8 e) 9 7. Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos A, C, D y F y K, tal que AK = 40 y AD + CF + DK = 80; Calcule CF
6 B
C 20
2. Del grafico, calcular BC
A
B
a) 10 d) 40
c) 9
b) 20 e) 45
c) 30
Del gráfico, si “M” es punto medio de PQ, Calcular PQ
8. Se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D tal que CD = 5 BC, además AD+ 5 AB = 90. Hallar AC
P
a) 25 d) 30
3.
a+5
M
Q
b) 13 e) 26
c) 18
13–a
a) 10 d) 17
a–7
13+7a
A B
C
b) 16 e) 20
B
C 17
a) 5 d) 8
b) 6 e) 9
C
b) 13 e) 20
c) 14
c) 17 10. Del gráfico, calcular PA tal que PA = ME = ER
5. De la figura, calcular CD 2 8 A
B
a) 7 d) 17
7– 7a
a) 14 d) 18
c) 15
9. Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos A, B y C tal que AB – BC = 7, AC = a; Calcule “a”
4. Del gráfico, Calcular AC
A
b) 10 e) 45
c) 7
30
D
P a) 5 d) 14
A
16
b) 8 e) 16
M
E
R
c) 13
11. De la figura, calcular AD si: AB = 2 BC = 3 CD = 60
A
B
a) 90 d) 110
C b) 30 e) 150
D
A
B
c) 100
a) 27 d) 25
C b) 15 e) 10
D c) 36
12. Hallar AB + CD, si AC + BD + AD = 54 y BC = 8
ÁNGULOS
Sabías que la figura geométrica formada por la unión de dos rayos que tienen el mismo origen se denomina ÁNGULO.
Gráficamente: A Vértice
Notación: ∧
O
AOB
α
ó
∠ AOB
B ↔
Lados:
↔
OB y OA
CLASIFICACIÓN: a) •
Según su medida Ángulo Agudo
θ
A
B 90° < θ < 180° θ
A
0° < θ < 90° • •
Ángulo Recto B
O
B
A
b)
θ = 90° •
Según la posición de sus lados Ángulos Consecutivos
Ángulo Obtuso B
A
∠ AOB = 180°
θ
•
Ángulo Llano
C
B B θ α
A α y θ son consecutivos
C
•
Ángulo Adyacente
α y θ son adyacentes porque están
•
Ángulos opuestos por el vértice
α
A
sobre una misma recta.
“m” y “n” opuestos ⇒m = n “θ ” y “α” opuestos ⇒θ = α
m
θ
θ
α n
c)
Según la suma de sus medidas. Ángulos Suplementarios
Ángulos Complementarios
α α
θ
θ
α y θ son suplementarios ⇒α + θ = 180°
α y θ son complementarios ⇒α + θ = 90°
ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE Alternos internos ∠ 3y∠ 5 ∠ 4y∠ 6
Conjugados internos ∠ 3y∠ 6 ∠ 4y∠ 5
Alternos externos ∠ 1y∠ 7 ∠ 2y∠ 8
Conjugados externos ∠ 1y∠ 8 ∠ 2y∠ 7
Correspondientes ∠ 1y∠ 5 ∠ 2y∠ 6 ∠ 3y∠ 7 ∠ 4y∠ 8 ¡Tienen igual medida!
ALGUNAS PROPIEDADES a)
b)
L1
¡Son suplementarios!
α α β
β θ
θ
L2
β=θ+α
φ
z
L1 // L2
L2
β+ φ =α+θ + z
L1 // L2 L1 β
c)
α α=β
EJERCICIOS RESUELTOS →
1. Si OM: Bisectriz. Hallar el valor de x A x +10° 2x
O
x = 10 2. Hallar el valor de ”x”
M
3x + 10
2x + 40
B Solución: →
Como OM Bisectriz ⇒ m∠ BOM = m∠ MOA 2x = x + 10 2x – x = 10
Como son ángulos opuestos por el vértice ⇒ 3x + 10 = 2x + 40 3x – 2x = 40 – 10 x = 30
ÁNGULOS EJERCICIOS PARA LA CLASE → 1.
Si OM bisectriz del ∠ BOC. Hallar el valor de “x” A B 20° O
x
M
C a) 25° d) 27°
b) 15° e) 37°
c) 35°
4. Hallar “x” en: 120° x 2x 150° a) 55° d) 30°
2. Hallar el valor de “x” en: 3x
15°
a) 10° d) 33°
b) 15° e) 12°
c) 9°
3. Hallar “x” en: x x
a) 150° d) 100°
x
b) 120° e) 90°
c) 110°
b) 81° e) 70°
c) 45°
140°
x a) 120° d) 100°
5. Hallar “x” en:
48 x
a) 36° d) 48°
b) 42° e)36°
c) 60°
6. Hallar “x” en:
x – 20
x
x – 30
a) 50° d) 53°
7.
b) 37° e) 45°
c) 65°
Si L1 // L2 . Hallar el valor de “x”
b) 80° e) 40°
L1 L2
c) 140°
10. La suma del complemento más el suplemento de cierto ángulo es 130°. Hallar la medida de dicho ángulo. a) 50°
8.
Si: L1 // L2 , entonces hallar “x” 330°
L2
x L1 a) 45° d) 65°
b) 75° e) 90°
c) 30°
9. Se tiene dos ángulos consecutivos. Calcular la medida del ángulo que forman sus bisectrices si la suma de dichos ángulos es 15°. a) 15°
b) 30° c) 17° d) 20° e) 7°30’
b) 60° c) 70° d) 80° e) 90°
EJERCICIOS PROPUESTOS → 1.
B
Si OM bisectriz del ∠ BOC a) 15° d) 17°
B
b) 10° e) 25°
c) 20°
M 130°
A
x O
a) 25 d) 35
C
b) 30 e) 38
4. Hallar el valor de “x” en: c) 15
68°
82°
x 2. Del gráfico, hallar el valor de “x”
x
a) 16° d) 10°
2x
110°
b) 12° e) 20°
c) 14°
x + 30° 100°
5.
a) 60° d) 50°
b) 53° e) 37°
c) 30°
Si: L1 // L2 entonces halla el valor de “x” L2 x 45°
L1
→
3. Si OM bisectriz , hallar “x”
a) 115° d) 135°
A
b) 90° e) 125°
2x + 20°
O
4x
M 6.
Hallar “x” si: L1 // L2
c) 120°
9.
x°
L1
Si L1 // L2, hallar el valor de “ β”. 30° β
100°
L2
50° a) 57° d) 80°
b) 45° e) 60°
c) 55° a) 20°
10.
b) 40° c) 90° d) 75° e) 80°
Hallar “x” si L1 // L2
L1 7.
120°
En el gráfico: m ∠ COD = 2 m∠ AOB y el ∠ BOC es recto. Hallar m ∠ AOC.
x 130°
B
A
O
a) 60° d) 100°
8.
C
a) 30°
D
b) 90° e) 150°
11.
c) 120°
a) 30° d) 90°
L1
7x
a) 8° d) 15°
b) 5° e) 20°
L2
b) 72° e) 144°
c) 40°
12. Hallar la medida del ángulo que forman las bisectrices de dos ángulos adyacentes suplementarios.
3x
O
b) 50° c) 70° d) 55° e) 65°
Sean los ángulos adyacentes AOB y BOC, tales que la m ∠ BOC = 4m∠ AOB. Hallar la m∠ BOC. a) 140° d) 15°
Si: L1 // L 2 y m ∠ AOB = 50°, hallar el valor de “x”
L2
b) 45° e) 120°
c) 60°
13. Un ángulo es tal que, la suma de su complemento más su suplemento es igual al triple de dicho ángulo. Hallar el valor del ángulo. a) 45° d) 36°
c) 10°
14.
b) 46° e) 50°
c) 54°
Se tiene dos ángulos consecutivos ∠ AOB y ∠ BOC, se traza OD bisectriz del ángulo
AOB. Hallar ∠ m COD, si m∠ AOC + m∠ BOC = 160°
a) 40° d) 100°
b) 60° e) 80°
c) 120°
Ejercicios del complemento y suplemento de un ángulo 1. Indique el triple complemento de 40°
de
la
mitad
del
2. Indique el doble de a tercera parte del suplemento de 60° 3. Si el complemento de 60° es 30°. Halle la suma del suplemento de los ángulos en mención. 4. Si el complemento de 40° es 50°. Halla la suma del suplemento de dichos ángulos. 5. Señala la suma del doble del complemento de 70° con la cuarta parte del suplemento de 140° 6. Señala la diferencia del doble del complemento de 40° con la quinta parte del suplemento de 140° 7. En cuánto excede complemento de 70° complemento de 84°
el al
doble triple
del del
8. En cuanto excede el triple del suplemento de 150° al cuádruplo del complemento de 75°
9. Calcular el complemento del suplemento de 150° y luego adiciónale el suplemento del complemento de 60° 10. Halla el suplemento del complemento de 20° y réstale el complemento de 130° 11. Si un ángulo mide 60°. Calcular el suplemento del complemento de dicho ángulo. 12. Si un ángulo mide 70°. Calcular el suplemento del complemento de dicho ángulo 13. ¿Cuánto mide un ángulo si la diferencia entre su suplemento y su complemento es el doble del ángulo? 14. La suma del complemento y el suplemento de cierto ángulo es igual a 150°. Hallar dicho ángulo. 15. El complemento de la medida de un ángulo es igual al doble de la medida de dicho ángulo. Hallar el ángulo 16. Hallar la medida de un ángulo sabiendo que su suplemento es igual al triple de su complemento
