GEOMETRÍA TEMA 1
SOII1G1T
TAREA
EJERCITACIÓN EJERCIT ACIÓN
5.
Según la fgura, Calcule "a+b+f+m+n+q’’ f
1.
En un triángulo equilátero ABC, se ubica el punto "D" exterior al triángulo y relativo
b
a AC; si la mB ADC es obtuso, AD = 8u entero del triángulo ABC. B) 49u
D) 52u
E) 54u
A) 180º D) 600º
C) 50u 6.
2.
3.
En un triángulo ABC: mBBCA > mBBAC. Calcule el máximo valor entero de AC, siendo AB = 5u. A) 6u B) 7u C) 8u D) 9u E) 10u
C) 360º
m A
C n
x
q
D
18° A) 5° D) 12° 7.
4.
B) 300º E) 720º
x
b b
A) 9º D) 28º
q
Si: AB = AC ; AD = BD y m + n = 200º. Calcular: "x". B
Calcule "x".
q
n
a
y CD = 15u. Calcular el menor perímetro A) 24u
m
B) 18º E) 15º
C) 27º
B) 5m
D) 3m
E) 2m
° 6 0
x A A) 20° D) 36°
C) 6m
SAN MARCOS REGUL REGULAR AR 20 201 15 – II
C) 10°
En el gráfco, BC = CD = AD; calcule x C B
En un triángulo rectángulo ABC recto en B se traza la altura BH, en la cual se ubica el punto P. Calcular el máximo valor entero que puede adquirir AP si AB + AC = 10m. A) 4m
B) 7° E) 15°
1 1
D B) 30° E) 15°
GEOMETRÍA
C) 45°
TEMA 1
TRIÁNGULOS Y LÍNEAS NOT NOTABLES ABLES
8.
En el gráfco, calcule x.
12. Calcule
el valor entero de "x", si: AB = AC = CD. CD. B
q q
a
a
n b
b
D
n
x
70°
x A) 70° D) 100°
134°
B) 85° E) 110°
A
C) 95°
C
E
A) 60º D) 45º
B) 75º E) 37º
C) 53º
PROFUNDIZACIÓN 13. En la fgura mostrada calcule el valor de "x". 9.
En un triángulo ABC acutángulo los puntos "I" y "E" son incentro y excentro relativo al lado BC respectivamente. Si: 12(AC) = 5(IE) y la mB ABC = 30º, entonces la mBBCA es: A) 18º B) 36º C) 72º D) 76º E) 80º
60°
n aa
n
80°
q q w
w
x 10. En
la siguiente fgura calcule el valor de
“x”. “x”.
A) 20º D) 35º
B 63°
54°
A) 86º D) 114º
14. En
un triángulo ABC se traza las cevianas interiores AM y CN; desde un punto P exterior relativo a AC se trazan PQ ⊥ NC y PR ⊥ AM. Calcule m∠RPQ, si m∠ ABC ABC = 60º 60º y AN = NM = MC. A) 50° B) 100° C) 40° D) 80° E) 60°
5 2 2° ° ° 6 7
D
B) 101º E) 117º
C) 121º
11. En
un D ABC se ubica el punto interior ‘’P’’ tal que los D APB y DBPC son obtusángulos (obtuso en P), si: AP = 16 ; BP = 12 y PC = 9.
15. En
la región interior de un triángulo rectángulo ABC recto en B se ubica el punto P; calcular BC si AB = AP = 3; PC = 4 y AC es entero.
Halle el menor perímetro del D ABC sabien sabiendo do que es un valor entero. A) 42 B) 44 C) 43 D) 45 E) 41
TEMA 1
C) 30º
C
x
A
B) 25º E) 40º
GEOMETRÍA
A) 4 3 D) 3
2 2
B) 5
C) 3 3
E) 4
SAN MARCOS REGULA REGULAR R 20 201 15 – II
TRIÁNGULOS Y LÍNEAS NOT NOTABLES ABLES
16. Del
gráfco mostrado, calcular x si:
19. Si:
AD = BC, calcule "x". B
a + b = 260º
3 0 °
x q q
x
g g
a
A A) 20º D) 25º
b
A) 160º
B) 140º
C) 150º
D) 155º
60°
20. En
E) 145º
4 0 °
C C) 15º
B) 10º E) 30º
la fgura, calcule "x", si: BC = CD B C 38°
17. En la fgura a + b + q + g = 440º calcular x
x
b
q
m m
a
A) 15° D) 37°
g
n n
A) 75º
B) 45º
C) 60º
D) 40º
B) 20° E) 45°
D
C) 30°
un triángulo ABC; en AB y BC se ubican los puntos M y N respectivamente, en las prolongaciones de AC y de CA se ubican los puntos Q y P respectivamente; calcule la medida del ángulo que determinan las bisectrices de los ángulos BNQ y BMP. Si: AP = AM; CQ = CN y m∠ ABC = 40°. A) 110º B) 105º C) 85º D) 100º E) 95º
E) 50º AB // CD calcular x. x n C
30°
21. Dado
x
18. Si
22°
A
A m D
B n
22. Del gráfco mostrado calcular x si AC = 2(AB)
140°
m
B
2a
2q
a
q
A) 100º
B) 140º
C) 120º
D) 90º
q
3a
x b
a
E) 135º
SAN MARCOS REGUL REGULAR AR 2015 – II
q
A
3 3
b
GEOMETRÍA
C
TEMA 1
TRIÁNGULOS Y LÍNEAS NOT NOTABLES ABLES
A) 45º
B) 50º
C) 60º
D) 20º
B
E) 30º P 23. Hallar
R
"x", si: mBBDA – mBCDA = 18°. A
D
C
Q
A) 60° D) 48°
x
q
x
A
B
a
B) 45° E) 55°
C) 35°
F
C
A) 18°
B) 12°
C) 6°
D) 24°
25. En un triángulo ABC isósceles, por un
punto P de la base AC se levanta una perpendicular a dicha base intersecando a AB en M y a la prolongación de CB en N. Calcula NB si AM = 14 y NC = 36.
E) 9° 24. Calcule
"x", si: a + 0 = 155°; AB = BC y PQ = QR
A) 11 D) 10
B) 12 E) 9
c) 13
RESPUESTA
TEMA 1
1.
D
2.
D
3.
B
11.
C
12.
D
13. A
14.
21.
B
22.
E
23.
E
24.
4.
GEOMETRÍA
A
5.
E
6.
C
7.
B
8.
E
9.
D
10.
B
E
15.
C
16.
D
17.
D
18.
C
19. A
20.
C
E
25. A
4 4
SAN MARCOS REGULA REGULAR R 20 201 15 – II
GEOMETRÍA TEMA 2
SOII1G2T
TAREA
EJERCITACIÓN EJERCIT ACIÓN 1.
5.
A) 14
B
B) 15
2a
5 E
a
A
C 6.
A) 8
B) 7
D) 9
E) 11
Calcular "BH":
A
N
q
E
C) 13 A
A) 4
A) 1
B) 2
D) 4
E) 5
C) 3
Calcular "a": B
A) 7
A
E) 11 8.
C
Si BH es altura y BM es mediana: B
B
B) 8
x 12
8
D) 10
q
a
A
a
D) 14
C
A
6 E
C) 12
8
C) 9
5
B) 10
Calcular el máximo valor entero de " BM":
E) 12
C
F
A) 8
x
C) 8 E) 6
7.
B
B) 2
4.
C
M 20
Del gráco calcular "x":
D) 7
H 6
E) 16 3.
C) 6
q
B
B) 12 D) 14
C
B
Del gráco calcular el valor de " BN": A) 10
a a
2
A
16
D) 20 E) 22
E
B
Del gráco calcular " AB":
C) 16
2.
AE": Calcular " AE
M
SAN MARCOS REGUL REGULAR AR 20 201 15 – II
A
C
1 1
H
GEOMETRÍA
M
C
TEMA 2
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
A) x =
a – q
a + q
A) 20
2 D) x = a – q
D) 18
B) x =
2 C) x = a + 2q a + q E) x = 3
13. Un
A) 4
A) 37
B) 60
D) 45
E) 53
14. En
14
C) 6
M
A
Calcula la longitud de la hipotenusa. C
H
AC": " AC
a
un triángulo rectángulo la distancia del
circuncentro a los catetos miden 3 y 4.
D) 7
A) 5
B) 6
D) 9
E) 10
15. En
B
A) 10
120°
B) 12
A
D) 8
C
A) a 3 D) a 5
E) 18
C) a 2
B) a E) a 6
16. En
H E 3
q 2q
q
A
D
C
un triángulo ABC recto en “B” la bisec] A
y la prolongación de
la altura BH se intersecan en “F” tal que:
B
A) 45
B
triz exterior del
x”, si AC = BD y BC = CD
C) 7
la gura, calcular “q”, si CE = 2HC.
C) 15
11. Calcular
C) 30
B
B) 5
10. Calcular
triángulo ABC recto en B; I es el incen-
Calcular m]BAC.
Si: AB = BC, calcular " HM":
E) 9
E) 17,5
tro “O” es el circuncentro; m] AIO = 90º.
PROFUNDIZACIÓN 9.
C) 22,5
B) 15
AB + AH = 4; HF = 3.
B) 22,5
Calcular BH.
C) 60
A) 2
C
D) 37
D) 0,5
x
E) 53 A
D
12. Calcular “a”,
17. Interiormente
B) 2,5
C) 1,5
E) 1
a un triángulo equilátero
ABC se ubica el punto P tal que m] APC
si : 2AB = DC
= 90, luego se trazan exteriormente al
B
triángulo APC los triángulos equiláteros
D
APQ y PCE. Calcular Calcular la m]QBE. a
A
TEMA 2
2a
C
GEOMETRÍA
2 2
A) 120
B) 100
D) 150
E) 90
C) 140
SAN MARCOS REGULA REGULAR R 20 201 15 – II
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
18. En la gura CD = 3BH, calcular el valor de “a”.
B
A) 15 B
22. Del
gráfico, calcular el valor de “x”, si AB = QC; y 5AH = 4PQ. 4PQ.
H
B
22,5 a
C) 26,5 D) 37
Q
A
a
C A
E) 30 D
un triángulo rectángulo ABC, recto en B, en BC se ubica el punto T y en AC el punto medio M. Si TC=2(AB) + BT. BT. Calcula m]MTC. B) 53/2
D) 53 20. En
H
C
A) 120
B) 137
D) 135
E) 150
19. En
A) 30
x P
23. En
C) 127
la gura, calcular “x”. B
x
C) 60
E) 15
la gura: AB = BC y AC = AD, calcular q C
A) 15 B) 22,5
10
A A) 10
B) 15
D) 25
E) 30
C C) 20
B 24. En
C) 30
la gura: AB = 4 y AH =1, calcular ED B
A) 2
D) 45 2q
E) 18,5
B) 2,5
q
D
A
C)3 D) 3,5
SISTEMATIZACIÓN la figura, calcular DC, si BE = EC; AB = 6; AC = 8
25. En
D) 1/2 E) 1 A
la gura, calcular “x”. q q
C) 4
E
C) 4
C
H
B) 3,5
H
B) 3
a
A) 3
B
A) 2
a
A
E) 4
21. De
D
E
2
6
x
D) 4,5
a a
E) 5
C
D
RESPUESTA 1.
C
2.
11.
C
12.
21.
E
22.
A
3.
C
4.
C
5.
D
6.
C
13.
D
14.
E
15.
C
16. A
C
23.
E
24.
C
25.
C
SAN MARCOS REGUL REGULAR AR 2015 – II
3 3
D
7.
C
8.
D
9.
D
10. A
17.
D
18.
C
19.
B
20.
GEOMETRÍA
C
TEMA 2
GEOMETRÍA TEMA 3
SOII1G3T
TAREA
EJERCITACIÓN EJERCIT ACIÓN 1.
2.
A) 9 u D) 18 u
Cada lado de un polígono regular mide 6 cm y el perímetro equivale equivale al número que expresa el total de diagonales, en centímetros. Hallar la medida de un ángulo central. A) 8º B) 12º C) 18º D) 24º E) 30º Determine el número de ángulos rectos a que equivale la suma de los ángulos internos de un polígono cuyo número de diagonales es igual al número de sus ángulos internos. A) 8 B) 9 C) 5 D) 6 E) 7
3.
Interiormente Interiorment e a un pentágono regular ABCDE, se construye un triángulo equilátero AMB. Hallar: m
4.
Se tiene un trapecio isósceles ABCD donde BC y AD son las bases. Si AC es el doble de la mediana, hallar el menor ángulo formado por AC y BD. A) 15° B) 30° C) 37° D) 45° E) 60°
5.
En el trapecio ABCD la bisectriz interior de “C” corta a AD en “F” tal que ABCF es un paralelogramo. Si: BC = 7u y CD = 11u, hallar “AD”.
SAN MARCOS REGUL REGULAR AR 20 201 15 – II
B) 15,5 u E) 16 u
C) 12,5 u
6.
Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: * En el romboide las diagonales son congruentes. * En el rectángulo las diagonales son perpendiculares. * En el rombo las diagonales son perpendiculares y congruentes. A) VFF B) FFV C) VFV D) FVF E) FFF
7.
¿Qué afrmación es incorrecta? A) Todo cuadrilá cuadrilátero tero tiene tiene dos diagonale diagonales. s. B) El paralelogramo tiene sus lados opuestos paralelos congruentes. C) En el rombo sus ángulos internos miden 90º. D) En el trapecio las diagonales se bisecan. E) Dos alternativas alternativas son incorrectas.
8.
En el romboide ABCD: AB = 4 u y BC = 10 u; luego se trazan las bisectrices interiores de “B” y “C” que cortan a AD en “E” y “F” respectivamente. Hallar el segmento que une los puntos medios de BE y CF. A) 5 u B) 6 u C) 7 u D) 8 u E) 4 u
PROFUNDIZACIÓN 9.
1 1
En un romboide ABCD, las bisectrices interiores de “B” y “C” se cortan en un punto
GEOMETRÍA
TEMA 3
CUADRILÁTEROS CUADRILÁ TEROS Y POLÍGONOS
de AD . Calcular el perímetro de ABCD, si: BC = K. A) 4K B) 2K C) 5K D) 3K E) 2,5K
C
B
45°
A A) 9 u D) 12 u
10. Se
tiene un rombo ABCD y se construye exteriormente el cuadrado BEFC, tal que: mECD = 89º. Calcular m AEC. A) 68º B) 56º C) 72º D) 58º E) 62º
37°
D C) 10 u
B) 8 u E) 16 u
15. En
un romboide ABCD, la mediatriz de BC interseca a AD en “Q”, tal que: mBCQ = 54° y AB = AQ. Calcular: mQCD. A) 28° B) 18° C) 20° D) 24° E) 26°
11. En un triángulo escaleno ABC (ABBC), se
traza la altura BH, sean “M”, “N” y “Q” los puntos medios de AB; BC y AC, respectivamente. Entonces MNQH es un: A) Trapecio isósceles isósceles B) Cuadrado C) Trapecio escaleno D) Romboide E) Trapecio rectángulo
16. Si ABCD es un romboide, tal que: AB = 18 u.
Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de AE y BD. E B C q q
A
12. Grafcar
un triángulo escaleno ABC y su altura BH (ABBC ). Si “M”, “N” y “P” son puntos medios de AB,BC y AC, entonces el cuadrilátero MNPH es un: A) Romboide B) Rombo C) Trapecio rectángulo D) Trapecio isósceles E) Rectángulo
A) 10 u D) 9 u
C) 13 u
la fgura adjunta: BC //PQ//AD. CalCal cular BC. B C 3a P
al triángulo isósceles ABC (obtuso en “B”); se construye el rombo ABDE; m AED = 128º y mBAC = 14º. Hallar mBDC. A) 40º B) 60º C) 55º D) 50º E) 65º
a
3b 14 16
A A) 6 D) 7
B) 8 E) 10
Q b D C) 12
18. Las diagonales de un trapecio miden 8 y 10.
El valor máximo entero de la mediana es: A) 8 B) 9 C) 5 D) 7 E) 6
14. Si: AB = 6 u, hallar la longitud del segmen-
to que une los puntos medios de AB y CD.
GEOMETRÍA
B) 12 u E) 8 u
17. De
13. Exteriormente
TEMA 3
D
2 2
SAN MARCOS REGULA REGULAR R 20 201 15 – II
CUADRILÁTEROS CUADRILÁ TEROS Y POLÍGONOS
19. Del
gráfco adjunto calcular “x”, ABCD: Romboide. D
M
C
a AC, las mediatrices de las diagonales se intersecan en un punto “P” que pertenece a AD. Calcular la m BPC, si mPQD = 40. A) 80 B) 40 C) 50 D) 60 E) 45
x P
23. En
B
un rectángulo ABCD se ubican los puntos medios P y Q de BC y RD respectivamente (R es punto medio de PC). Calcular la mQPR, si mRAB = 48. A) 36 B) 42 C) 48 D) 32 E) 45
A
A) 37/2 D) 45
B) 53/2 E) 30
C) 15
20. En un rombo ABCD, las diagonales AC y BD
miden 16 y 12 respectivamente. Calcular la altura BH relativa a CD. A) 6,2 B) 8,3 C) 9,6 D) 6,9 E) 3 3
24. En
un trapecio ABCD (AB // CD); AB es la base menor tal que: AD ≅ BD; BC=6. Calcular DM, siendo “M” punto medio de AC. A) 4 B) 2 C) 3 D) 4,5 E) 1,5
SISTEMATIZACIÓN 21. ABCD:
25. Si
ABCD y GFED son cuadrados y AG = 10, calcular la distancia entre los puntos medios de AE y CG. B C
Cuadrado, Cuadrado, FM = MD. Calcular q. B
C F q
M F
A
D
A) 20 D) 30
B) 35 E) 36
C) 22,5
A
un trapezoide ABCD, BD biseca en “Q”
D
G B) 5 2
A) 5 22. En
E
D) 10 3 /2
C) 4 2
E) 10 2 /3
RESPUESTA 1.
D
11. A 21.
D
2.
D
3.
B
4.
E
5.
D
6.
E
7.
E
8.
12.
D
13.
D
14.
C
15.
B
16.
D
17.
B
18. A
23.
B
24.
C
25.
B
22. A
SAN MARCOS REGUL REGULAR AR 2015 – II
3 3
B
9.
D
10. A
19.
B
20.
GEOMETRÍA
C
TEMA 3
GEOMETRÍA TEMA 4
SOII1G4T
TAREA
EJERCITACIÓN EJERCIT ACIÓN 1.
A) 6 D) 10
B) 5 E) 8
C) 12
AB + DE = 14, BD + AE = 26, CF = ? A) 12
5.
B
C
B) 15
D
D) 7,5
2a
E
D) 14 F
C
4
B) 16 C) 10
A
a
A) 18
C) 6
E) 8
a
B
3
E) 12
E
A
D
DE = ??
2.
A) 15°
6.
C
x
B) 16° C) 18°
a
B
a
O1
3.
A
B
7.
N
x
O B) 110° E) 135°
C) 130°
Calcula x. 3
A 4.
C
A) 120° D) 150°
0,5 1 1,5 2 2,5
Q
A
D
O
AM = BN, AQ = 3, BC = 5 A) B) C) D) E)
B
M
D) 12° E) 10°
Si m AB = 100°, m BC = 140°, calcula x. x P N
Q
M
C
El inradio de un triángulo rectángulo mide 2 y su circunradio mide 5, la diferencia de los catetos es igual al inradio. Calcular el cateto mayor. mayor.
SAN MARCOS REGUL REGULAR AR 20 201 15 – II
x
2 A) 1 D) 10
1 1
B) 1,5 E) 6
GEOMETRÍA
C) 5
TEMA 4
CIRCUNFERENCIA I
8.
11. El
perímetro de un triángulo rectángulo es 18. Hallar la longitud del exradio relativo a la hipotenusa. A) 3 B) 4,5 C) 6 D) 9 E) 12
Si OA = OB, m O = 60°, calcula x. B
12. En
un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza la altura BH, las bisectrices de los ángulos ABH y HBC cortan a AC en P y Q. Hallar el inradio del triángulo ABC, si PQ = 6. A) 18 B) 3 C) 12 D) 9 E) 14
6 x A
O A) 2 D) 0,5
B) 3 E) 1
C) 1,5
13. Calcula
PROFUNDIZACIÓN 9.
x. B x
Calcula x.
E B 5 2 F
A
6
A) 3 D) 7
4 A
C
D B) 1,5 E) 9
C) 6
C
x
14. Calcular
r, r, si O es centro de la circunferencircunfere ncia mayor, además AB = BC, AO = 12.
F: incentro del ∆ ABC. A) 8 B) 12 C) 14 D) 9 E) 10
C
10. En
un triángulo isósceles ABC (AB = BC) por un punto D del lado BC se traza DE perpendicular al lado lado AB de modo que m BAD = 45° y el inradio de la circunferencia inscrita en el triángulo rectángulo BED mide 3. Calcular CD. A) 4 B) 5 C) 8 D) 6 E) 9
TEMA 4
GEOMETRÍA
B O r D
A A) 3 D) 6
2 2
B) 6 2 E) 4
C) 3 2
SAN MARCOS REGULA REGULAR R 20 201 15 – II
CIRCUNFERENCIA I
15. Calcula
x, si CD = 4. D
19. Calcula
x.
A) 30°
C
C
B
B) 37° x
C) 45°
A) 2 D) 1
D) 53°
A
B B) 4 E) 3
E) 60°
C) 8
20. Calcular 16. En
el cuadrado ABCD el punto o es centro de la circunferencia. Hallar el valor de x. C B A) 30°
C) 53°
x
A
D
a
BE, si AB = CD, AE = BC, BD = a.
A) 2a
B
C
B) 3a C) a+r
O
B) 45°
a
r
D) a–r
x
E) a–2r A
E
D
D) 37° E) 60° 17. Calcula
A
SISTEMATIZACIÓN
D
21. En
un triángulo ABC se toman los puntos medios M de AB, N de BC el cuadrilátero AMNC es es circunscrito circunscrito a una circunferencia circunferencia de centro O, la recta que pasa por O y que es paralela al lado AC al cortarse con los otros lados determina un segmento que mide 4. Calcular AM + NC. A) 6 B) 8 C) 12 D) 16 E) 18
x.
A
C
x
B
A) 10° D) 8° 18. Calcula
B) 12° E) 18°
C) 15° 22. Calcula
x. CD: diámetro BC + AD = 9, AB = ED = 4
x.
A) 15°30'
B
C
A) 1
x
C) 3
D) 30° E) 18°
B
B) 2
B) 15° C) 22°30'
x
D) 1,5 A
SAN MARCOS REGUL REGULAR AR 2015 – II
C
E) 1,25
D
3 3
E A
GEOMETRÍA
D
TEMA 4
CIRCUNFERENCIA I
23. Calcula
x si: r = 0,5; r 1 = 1; r2 = 2,5.
BE = 4, BD = FG A) 3
r1
B) 1,5
D) 2,5
C) 2
E) 1
x
r
25. El
r2
perímetro de un triángulo rectángulo
ABC recto B es 2p, la circunfere circunferencia ncia inscrita inscrita de radio r es tangente a los lados AB y AC en los puntos M y N, por un punto del arco
r, r1, r2 son radios de las circunferencias máximas. A) 3 B) 4 C) 1,5 D) 2 E) 3,5 24. Calcula
x.
MN se traza una tangente a la circunferencia que corta a AB en D y a AC en E de modo que AN = 2NC. Hallar el perímetro del triángulo ADE.
B
A) 4/2(p + r) B) 4/3 (p – r)
D
E
C) 5/3(p + 2r)
x A
D) 4/5 (p – r) E) 2/3 (2p + r)
C
G
F
RESPUESTA
TEMA 4
1.
C
2.
B
3.
B
4.
E
5.
D
6.
11.
D
12.
B
13.
D
14.
D
15.
B
16.
21.
B
22. A
23.
A
24.
C
25.
B
GEOMETRÍA
4 4
A B
7.
C
8.
17.
C
18.
A C
9. 19.
A
10.
D
C
20.
E
SAN MARCOS REGULA REGULAR R 20 201 15 – II
GEOMETRÍA TEMA 5
SOII1G5T
TAREA
EJERCITACIÓN EJERCIT ACIÓN
4.
En la gura, mBN = 50° y AM = MC. Halle "x". B
A) 36° 1.
En la gura, O es centro de la circunferen-
B) 33°30
cia, MN
C) 32°30'
= OQ,
Halle "x". A) 40°
NP //QT y m QMP P
D) 34°
Q O
5.
C) 36°
N
x
D) 36°30'
S
E) 37°
C
M
En la gura, m PA
= m AQ .
Halle "x".
B
A) 25° B) 15°
M
T
x
C) 35° D) 20°
En la gura P, B, Q y R son puntos de B
Q
P A
6.
C
P
C
155°
E) 30°
tangencia. Si mPAR = 20°, halle mQT m QT .
130°
A
x
A
E) 27°30'
B) 37°30'
2.
= 15°.
N
Q
En la gura, A, B y C son puntos de tan gencia, si m EBL = 130° y m ABC = 240°. Halle mMN. L
A) 15°
R
B) 18° C) 20°
T A) 82°
B) 80°
D) 12°
C) 86°
D) 88°
E) 10°
C
M P
B
N A
E
E) 96° 7. 3.
En la gura, halle "x". F
En la gura, DC = CE y mLDM = mMDE. Halle m BEM .
A
A) 120°
C
L
B) 140°
40°
C) 100°
M
D) 110° E) 115°
D
C B
B
T
A
E
SAN MARCOS REGUL REGULAR AR 20 201 15 – II
A) 37° D) 5°
1 1
x D
x E B) 60° E) 50°
GEOMETRÍA
C) 53°
TEMA 5
CIRCUNFERENCIA II
8.
En la gura, O es centro de la circunferencia, mDCB = 115° y m BE = 120°. Halle "x".
12. Del
gráco, calcule "x". 3x
E
5x x
A
O D
x
B
C
A) 84°
B) 89°
D) 80°
E) 85°
A) 28°
B) 30°
D) 34°
E) 36°
C) 75° 13. En
la gura
// L 2 , L 1
gencia y m PAD
PROFUNDIZACIÓN 9.
B es punto de tan -
= 238;
halle "x".
A) 31°
B
B) 32°
En la gura, AB es diámetro y C punto de tangencia. Halle m ADC.
P
L 1
C) 30,5°
x
D) 28° C
D
C) 32°
D
A
E) 4,5°
L 2
14. En la gura, "T" es punto de tangencia y AB es
72°
A
B
A) 110°
B) 129°
D) 99°
E) 120°
AED D = 40° 40° y mTCA = 50°, diámetro. Si m AE calcular x.
P
D
C) 115°
un cuadrilátero ABCD inscrito en una circunferencia C , 3(m BCD ) = 2(mBCD). Calcule la mBAD. B) 53°
D) 30°
E) 60°
11. Del
x
A
10. En
A) 45°
T
E
C) 37°
B
A) 20°
B) 23°
D) 18°
E) 22°
C
C) 25°
15. En la gura, A y T son puntos de tangencia.
gráco, calcule "x".
Si m CD
= 80°,
halle "x". C
100°
x
1 2 0 °
B
T
A
x D
A) 25°
B) 30°
D) 50°
E) 60°
TEMA 5
C) 40°
GEOMETRÍA
2 2
A) 30°
B) 38°
D) 39°
E) 42°
C) 40°
SAN MARCOS REGULA REGULAR R 20 201 15 – II
CIRCUNFERENCIA II
16. En
la gura, P y T son puntos de tangencia
si AB//PQ y 2m BP
= m BT ,
A) 71°30' D) 45°
halle m APC.
20. En
T
AB
la gura, O es centro, = OB
y m( AB AB)
A) 21°
B) 20°
D) 22°
E) 23°
Halle "x".
M B
Q
P
C
= 3m(MB).
A
B
C) 67°30'
E) 50°
100°
A
B) 60°
x
C) 24°
O
17. En
la gura P, Q, R, S y T son puntos de y. tangencia. Halle x + y.
A) 11°30'
B) 14°
C) 10°
B
D) 11°
E) 15°
80°
Q
P x A
T
SISTEMATIZACIÓN
y C
R
S
A) 160°
B) 150°
D) 140°
E) 130°
21. En
la gura, O es centro y B punto de tangencia. Halle "x".
C) 125°
A B
40° 18. En
x
la gura, halle "x".
O x
q
42°
q
A) 48°
B) 42°
D) 54°
E) 50°
C) 36°
A) 50°
B) 60°
D) 80°
E) 70°
C) 45°
22. En la gura, O
es centro de la circunferencia y T es punto de tangencia. Halle "x". T
19. En
la gura, 3DE = 5EF y AB es diámetro. Halle "x".
24°
O
C
D
x
E
x
F
x A
SAN MARCOS REGUL REGULAR AR 2015 – II
B
3 3
A) 33°
B) 57°
D) 37°
E) 53°
GEOMETRÍA
C) 66°
TEMA 5
CIRCUNFERENCIA II
23. Del
gráco, la m AB
= 48
y BC
B
= CG.
Calcule la m∠BGC.
S
B
a
A L
A
G
2a D
A) 24°
B) 26°
D) 30°
E) 32°
24. Del
L
C
gráco, la mBAS
C) 28°
= 48;
C
H
A) 46°
B) 48°
D) 52°
E) 56°
C) 50°
25. En
un triángulo ABC, se traza la ceviana interior BL, tal que AB = LC, la m ABL = 2(mLBS) y BL = AL. Calcula la mLBC.
calcule la
m∠LCB.
A) 32°
B) 30°
D) 26°
E) 25°
C) 28°
RESPUESTA
TEMA 5
1.
B
2.
B
3.
B
4.
11.
C
12.
B
13.
C
14. A
15.
C
21. A
22.
B
23.
A
24.
B
25.
B
GEOMETRÍA
C
5.
A
6.
E
7.
B
8.
16.
B
17.
D
18. A
4 4
E
9.
D
19. A
10. A 20.
C
SAN MARCOS REGULA REGULAR R 20 201 15 – II
GEOMETRÍA TEMA 6
SOII1G6T
TAREA
EJERCITACIÓN EJERCIT ACIÓN 1.
E
10+2a
De la gura hallar m/n, si L 1 //L2 //L3.
m
2.
B
L 1
n
A
3 L 2
B) 3/2
D) 1/4
E) 3/4
5.
C) 4/1
Hallar AC, si AB = 15, BC = 20 y AD = 6. B a
B) a+b
D) 0
L 3
A) 1/3
30–3a
A) 2a+b
9
a
6.
C C) a+2b
E) N.A.
En un triángulo acutángulo ABC se traza la altura BH y la mediana CM. Calcular el ∠MCA si BH = MC. A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) N.A. Hallar EF, si BF = 3; AB = 9; AC = 6. B
E A A) 8 D) 14 3.
C
D B) 10
F
a
C) 12
a
E) 6
A
En un triángulo ABC, los ángulos B y C miden 45° y 60°. ¿Qué longitud tiene la altura bajada de A sobre el lado "a", si el
7.
A) 2
B) 6
D) 3
E) 5
C C) 4
Hallar BC, si AN = 3NB = 9. C
lado "b" mide 10 3 ? A) 5 2 D) 15 4.
B) 8 3
C) 18
a
E) 12
En la gura mostrada BE = a y BC = b. Hallar "AE".
SAN MARCOS REGUL REGULAR AR 20 201 15 – II
a
A
1 1
N
GEOMETRÍA
B
TEMA 6
PROPORCIONALIDAD PROPORCIONALID AD Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
8.
A) 9
B) 6
D) 4
E) 7
C) 5
En un triángulo ABC, AB = 27, por el baricentro G, se traza EF paralelo a AC (E sobre AB y F en BC). Hallar BE. A) 9 B) 18 C) 25 D) 24 E) 15
A) 3,8
B) 3,5
D) 4,8
E) 4,5
C) 4
12. Los
lados del rectángulo miden 20 y 30 m, respectivamente. ¿Cuáles son las dimen siones del rectángulo de 360m de períme tro semejante al dado?
A) 72 y 108 m B) 80 y 100 m
PROFUNDIZACIÓN
C) 75 y 150 m D) 68 y 102 m
9.
Hallar PQ, si PQ // AC.
E) 96 y 144 m
B 13. Hallar
5 P
"x" si AB = BC y BE = BD.
B Q 3
A
B) 6,5
D) 6
E) N.A.
10. Calcular
C
12
A) 7,5
20° E
C) 7
x
A
"x" si AB = 12 y CD = 6.
A C
A) 10°
B) 15°
D) 25°
E) N.A.
14. Si
O
C
B
D B) 3
D) 5
E) 1
C) 20°
AB =2 y CB = 3, calcula MN – 2.
x
A) 2
C
D
D B
N
C) 4
A M
11. Si
MN // AC, AC = 10; MN = 4; BC = 12,
hallar BN.
A) 2 2
B
C)
10
B)
5
D) 2 5
E) 2 3 M
N 15. En
A
TEMA 6
un triángulo equilátero ABC de 8 cm de lado, por el punto medio D del lado AB
C
GEOMETRÍA
2 2
SAN MARCOS REGULA REGULAR R 20 201 15 – II
PROPORCIONALIDAD PROPORCIONALID AD Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
se traza DE perpendicular a BC. Hallar la distancia de E al lado AC. A) 2 3 cm
20. En
un i ABC se prolonga AB y CB hasta AC. P y Q respectivamente, tal que QP// AC. Además BQ, BC y BP toman valores con secutivos. Calcula el valor entero de AB, si es menor que 7. A) 3 B) 4 C) 5
B) 3 3 cm
C) 4 3 cm
D)
3 cm
E) 4 cm
D) 6
16. ¿Cuántos puntos del plano de un triángulo
equidistan de sus lados? A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
SISTEMATIZACIÓN 21. En
la gura mostrada ABCD es un paralelogramo A'A = = 4; C'C = 2. Hallar BB'.
E) Ningún punto 17. Determinar
E) 7
B
el valor de "x" en la siguiente
gura: A
B
12
x A
D
A'
6
B) 4 3
D) 6 3
E) 8 3
D) 0,5
C) 4 2
C) 0,25
un triángulo ABC se traza la bisectriz interior AD, por D se traza una paralela a AC que corta a AB en E. Hallar AB, si DE = 3 y BE = AB/3. D) 3
E) 10
B) 22
D) 24
E) 25
A) 1
B) 2
D) 2,1
C) 23
C) 2,5
E) 2,8
24. La
base de un triángulo mide 4m, calcular la paralela a la base que divide al triángulo en dos partes equivalentes.
C) 4
E) 6
SAN MARCOS REGUL REGULAR AR 2015 – II
A) 21
un i ABC, AB = 9, BC = 8 y AC = 3. Sobre AB y BC se toman los puntos E y F respectivamente, de modo que EF sea tangente a la circunferencia inscrita en el AC. Calcula EF. i ABC y además EF// AC
E) 1
B) 4,5
D) 8
C) 6
23. En
19. En
A) 5
B) 2
un i ABC donde AB = 8, se prolonga CB hasta L tal que m ∠LBA = m∠CBK (K ∈ AC), BK = 4. Calcula el mayor valor entero de AC.
lados de un triángulo miden 8m, 10m y 9m. Hallar la longitud del segmento que une el incentro con el baricentro. B) 1/3
A) 4
C'
22. En
18. Los
A) 3
B'
D
C
4 3 A) 3 3
C
3 3
GEOMETRÍA
TEMA 6
PROPORCIONALIDAD PROPORCIONALID AD Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
B
A) 3( 3 –1) B)
a
5 –2 S
C) 2 2
K
D) 4( 3 –1)
a
E) N.A. 25. Del
A
B) 3
C) 3/4
SK . Calcula kT
C
L
A) 1/2
gráco AS = 3(5B) y AL = LC.
T
D) 2/3
E) 3/5
RESPUESTA
TEMA 6
1.
C
2.
D
11.
D
12. A
21.
C
22.
C
3.
D
13. A 23.
D
5.
C
6.
14. A
15.
B
16. A
C
25.
D
4.
24.
GEOMETRÍA
B
4 4
A
7.
B
8.
B
9.
17.
B
18.
B
19.
A
10.
C
B
20.
E
SAN MARCOS REGULA REGULAR R 20 201 15 – II
GEOMETRÍA TEMA 7
SOII1G7T
TAREA
EJERCITACIÓN EJERCIT ACIÓN 1.
Hallar: x
4.
Hallar: “x” x
+ y + z
q
q
x 36
Hallar: x
B) 160 E) 150
4
A) 2 C) 2 2 E) 5
64
A) 188 D) 189 2.
2
z
y
C) 187 5.
+ y + z
B) 2 3 D) 3 2
Hallar: “AN”; “O” es punto medio de AC; AB = 2 B
x
60
11
7
A) 61 D) 72 3.
y
3
B) 4 E) 73
z
4 3
N A
1
A) 1 C) 2 2 E) 4
C) 71
Si: “O” y “O1” son centros, hallar: “AQ” PQ = 8, QS = 18
6.
C
O B) 2 D) 3
Hallar: “CM”; MH = 5 Y BN = NH B
P
N
Q S
A A) 14 D) 15
O1
H
B
O B) 13 E) 12
A A) 10 C) 5 E) 8
C) 10
SAN MARCOS REGUL REGULAR AR 20 201 15 – II
1 1
C
M
GEOMETRÍA
B) 15 D) 6
TEMA 7
RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECT RECTÁNGULO ÁNGULO Y LA CIRCUNFERENCIA
7.
Hallar: “MH”; AB A) B) C) D) E)
8.
1 2 3 4 5
= 5;
AH = 2; HD
B
= 8
11. Hallar la menor altura del triángulo isósce-
les de lados 7, 7 y 8.
C
A)
22
B)
33
D)
11
E)
55
C)
44
M A
12. En una circunferencia se tiene una cuerda de
D
H
longitud 20 y su echa correspondiente mide 2. Calcule el radio de dicha circunferencia. A) 25 B) 26 C) 13 D) 14 E) 15
Hallar: “r”; “O” es centro. 4
5 4
13. Hallar:
O
CD; AB
= 2,
PC
= 3,
r
PA = 4
D C
A) 4 D) 8
B) 5 E) 3
C) 6
A
P
B T
PROFUNDIZACIÓN 9.
Hallar “AP”; BH cuadrado
= 4;
A) 2 D) 5
AF
= 6
B
C) 4
ABCD es un 14. Hallar:
P
B) 3 E) 6
C
“CL”; AO
= OB = BC = R
A L
H F A A) 6 D) 10 10. Hallar:
B) 8 E) 12 “AB”; r
= 16,
BC
O
D C) 9
A) R 5 = 24
D) 14,5 2 15. Hallar:
r
B)
2R 3
E)
3R 5 5
C) 5R 3
“x” x
C
B
C
B
A A) 2 D) 6
TEMA 7
B) 10 E) 8
C) 4
GEOMETRÍA
53° 1
2 2
1
SAN MARCOS REGULA REGULAR R 20 201 15 – II
RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECT RECTÁNGULO ÁNGULO Y LA CIRCUNFERENCIA
A) 12/5 D) 13/3 16. Hallar
B) 11/5 E) 6/5
C) 10
a/b.
20. Según
7k
C) 7,5
B O
b
R
7 5
C)
A
1 1 + (BE)2 (BF)2 calcule el perímetro del cuadrado. ABCD: cuadrado,
B
B) 6,6 E) 5
la fgura AM=2; MC=8. Halle OM
5k
a B) 7/5 E) 3
A) 49/25 D) 2 17. Sea
A) 8,5 D) 9,5
=
1 , 81
C
M
A) 2 2
B)
2
D) 2 6
E)
6
C)
5
C
SISTEMATIZACIÓN E 21. Del
A
F
D
A) 28 D) 16
gráfco AB=BC=20, MN=NP; O: centro. Calcule OM
B) 36 E) 40
C
C) 18 P N
18. Sea
ABCD: Rectángulo, P, Q, T, M son puntos de tangencia, R =3. Calcule PM. Q B C P R T A
A) 1 D) 9
B) 3 E) 12
22. Se
B) 2 6 E) 8
C)
sabe BP Calcule PC.
6
=
3, PM
ABCD: Romboide, AP = 4, QD = 6, CO = CB. P, Q, H: puntos de tangencia. Halle CE. B C Q P E O H
B C) 6
=
2 y BM
=
MC.
B
19. Sea
A
M
O
D
M
A) 12 D) 3 6
A
M P A A) 8 D) 9
D
SAN MARCOS REGUL REGULAR AR 2015 – II
3 3
C B)
6
C) 4
E) 5
GEOMETRÍA
TEMA 7
RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECT RECTÁNGULO ÁNGULO Y LA CIRCUNFERENCIA
Rectángulo, BC=25; AP=5. 23. ABCD: Rectángulo,
Calcule
A) 6 C) 10 E) 14
R. Si P: punto de tangencia. B C A) 17 B) 13
B) 8 D) 12
25. En
el gráfco, LB=BN. Si MQ=9 y QN=7, calcule AM.
C) 10 P A
D) 15 E) 12
R
D L
24. En
el gráfico, ABCD es un cuadrado MB=36. Calcule BN. N B
M
B A
C
A
Q
A) 4 C) 6 E) 5,4
P
D
M
N
B) 5 D) 6,4
RESPUESTA 1.
TEMA 7
A
2.
D
3.
E
4.
B
5.
A
11.
B
12.
B
13.
D
14.
E
15.
E
21.
C
22.
E
23.
B
24.
D
25.
D
GEOMETRÍA
6.
B
16. A
4 4
7. 17.
A B
8.
C
18. A
9.
C
10.
E
19.
C
20.
E
SAN MARCOS REGULA REGULAR R 20 201 15 – II
GEOMETRÍA TEMA 8
SOII1G8T
TAREA
EJERCITACIÓN EJERCIT ACIÓN 1.
5.
En un triángulo acutángulo ABC, la distancia del ortocentro al baricentro mide
J N K 109 O y la distancia del circuncentro al L 3 P
F
lado AC es 3,5. Si la distancia del ortocentro al lado AC mide 5, entonces la longitud de la mediana relativa al lado AC es: A) 13 B) 12 C) 12,5 D) 11,5 E) 11 2.
En la fgura mostrada se cumple: AB = 3, BC = 4 y EF = FC = 2, entonces (BF)2 – (BE)2 es: A E
C
B A) 3/5 D) 1/4
En un trapecio ABCD (AB // CD), se traza t raza la base media MN (M∈ AB). Si (AC) (AC)2 + (BD)2 – 2(MN)2 = 392, entonces la longitud del segmento que une los puntos medios de las bases del trapecio es: A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 16
6.
En un trapecio ABCD (BC // AD), se cumple AB = 5, BC = 4, CD = 3 y AD = 9, entonces la longitud de AC es: A) D) 4
4.
41 5 41 5
B) 2
41 5
E) 5
41 5
C) 3
7.
41 5
En un triángulo ABC, la circunferencia inscrita al triángulo es tangente al lado AC en el punto M. Si AB = 5, BC = 7 y AC = 6, entonces la longitud de BM es: A) 3 B) 4 C) 5 D) 5,5 E) 6
SAN MARCOS REGUL REGULAR AR 20 201 15 – II
8.
1 1
C) 3/4
En un triángulo isósceles ABC (AB = BC), considerando como diámetro el lado BC se dibuja una semicircunferencia que intercepta a la altura AH del triángulo en el punto M. Si AC = l , entonces la longitud de MC es: l l l 2 A) /2 B) /3 C) / l 3 D) /
3.
B) 4/5 E) 2/5
l E) 2 /3
En un triángulo ABC, se trazan la ceviana BQ y la bisectriz interior CM las cuales se interceptan perpendicularmente en el punto H. Si AB = 15, BC = 13 y AC = 14, entonces la longitud de AH es: A)
137 7
B)
137 5
D)
157 7
E)
135 7
C)
61
En un triángulo ABC, se trazan las cevianas BQ y CR que se interceptan en el punto M.
GEOMETRÍA
TEMA 8
RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS
Si BM = QM, BR = 24, MR = 3 y CM = 7, entonces: K = 2(AC)2 + 5(BC)2 es: A) 6780 B) 8780 C) 10 780 D) 12 780 E) 14 780
A) 40 D) 60
un triángulo ABC las medianas miden AM = 12 y BN = 9 y CP = 15, entonces entonces la longitud de AB es: A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
En una circunferencia de diámetro AB y centro O, se traza la cuerda BC (AC < BC). Considerando como diámetro la echa o sagita de la cuerda BC se dibuja una circunferencia cuyo radio mide "b". Si el radio OA mide "a", entonces el radio de la circunferencia tangente de la cuerda BC, al arco BC y BC y la circunferencia es: A)
ab
b(a+b) a a(a–b) E) b
C)
14. En un paralelogramo ABCD sus lados miden
AB = a y BC = b (a < b). El ángulo agudo que forman las diagonales AC y BD mide 45°. Entonces la distancia entre los lados paralelos BC y AD es: b2 –a2 A) 2a b2 –a2 C) 2b b2 –a2 E) a 2
a(a+b) b b(a–b) D) b B)
b2+a2 B) 2b b2 –a2 D) b 2
15. En la fgura mostrada, AOB es un cuadrante
cuyo radio mide R. Hallar x. A x R
10. En
un triángulo ABC, se trazan las alturas AF y CQ. Si AB = 5, BC = 7 y AC = 6, entonces la longitud de FQ es: A) 144/35 B) 114/35 C) 117/35 D) 3 E) 4,5
O 11. En
un triángulo equilátero ABC, se ubica el punto P, interior al triángulo. Si AP = 5, PB = 7 y PC = 8, entonces el perímetro del triángulo es:
A) 3 129
B) 3 139
C) 3 119
D) 3 125
A) R/2 D) R/4
B) R/3 E) 2R/5
C) 2R/3
24 y el producto de las longitudes de las bases es 351. Entonces, la longitud de uno de los lados no paralelos es: A) 15 B) 16 C) 18
12. En
un rombo ABCD, M es punto medio del lado AD. Si MB = 13 y MC = 9, entonces el perímetro del rombo es:
GEOMETRÍA
B
R
16. En un trapecio isósceles, una diagonal mide
E) 3 112
TEMA 8
C) 56
13. En
PROFUNDIZACIÓN 9.
B) 44 E) 72
D) 12 17. En
2 2
E)
145
un triángulo ABC sus lados miden
SAN MARCOS REGULA REGULAR R 20 201 15 – II
RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS
AC = b, BC = a y AB = c, siendo p el semiperímetro del triángulo. Entonces la longitud de la bisectriz interior CF es: abp A) b2+c2 2 B) a+b abp(p–c)
A) a/2 D) 3a
21. Un triángulo equilátero ABC está inscrito en
una circunferencia, en el arco AB se ubica el punto M. Si MA = a y MB = b, entonces la longitud del lado del triángulo equilátero es:
ab(p–a)
A)
abc E) ab+bc+ac
B)
18. En
un triángulo ABC se verifca que: m ABC = 2mBCA, AB = C y AC = b. Entonces, la longitud de BC es:
A)
b2 –c2 c
C)
bc
E)
b2 –c2 2c
C) 2a
SISTEMATIZACIÓN
1 C) a+c bcp(p–a) 1 D) a+c
B) a E) 4a
b2+c2 B) bc b+c D) 2
a2+b2 ab
C)
a (a+b) b
D)
a2+ab
E)
a2+b2+ab
22. En
la fgura mostrada se verifca: AB = BC y m ABE = 90°. Si BM = 1 y ME = 3, entonces la longitud de AC es: B
A
19. En
un triángulo ABC recto en B, se traza la bisectriz interior BD. Por el punto D se traza una recta perpendicular al lado AC, dicha perpendicular intercepta al cateto BC en el punto E. Si AB = a y BE = b, entonces la longitud de BD es:
A) (a+b) 3
J a+b N O 2 C) K 2 L P J a+b N O 5 E) K 2 L P
M
E A)
B) (a+b) 2
4 5
J a+b N O 3 D) K 2 L P
D)
12
B)
8 5
C)
9 5
E) 5 3
5 23. En
la circunferencia circunscrita a un triángulo equilátero ABC, se ubica un punto P cualquiera. Si (PA)2 + (PB)2 + (PC)2 = 50, calcular AB. A) 4 B) 6 C) 2 5 D) 5 E) 5 2
20. Dado
el triángulo ABC escaleno se dibu jan los triángulos equiláteros ABE y BCN exteriormente al triángulo ABC. Además AN ∩ CE = {M}. Si AM = 2a, MC = 3a y MN = 7a, entonces la longitud de BM es:
SAN MARCOS REGUL REGULAR AR 2015 – II
C
3 3
GEOMETRÍA
TEMA 8
RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS
24. En
un cuadrante AOB de centro "O" (OA = OB = 2) se traza una circunferencia de centro O1 y radio igual a 1, la cual es tangente a OA y OB e intercepta al arco AB en N. Luego se traza O1M perpendicular a ON, entonces la longitud de MN es: A) 2/3 B) 3/4 C) 4/5 D) 4/7 E) 3/5
25. Sea
el triángulo ABC, Q es un punto exterior y relativo a BC. La altura BH intercepta interc epta a AQ en P (H en AC). Si m AQC = 90°; AB = 6; BC = 8; AP = 3 y PQ = 2, entonces la longitud de AC es: A)
57
B)
58
D)
67
E)
71
C)
64
RESPUESTA 1.
A
11. A 21.
TEMA 8
E
D
2.
12. A 22.
B
3.
C
4.
C
5.
B
6.
13.
C
14.
C
15.
D
16. A
23.
D
24.
B
25.
B
GEOMETRÍA
4 4
C
7.
C
8.
C
9.
D
10.
B
17.
B
18.
B
19.
C
20.
E
SAN MARCOS REGULA REGULAR R 20 201 15 – II
GEOMETRÍA TEMA 9
SOII1G9T
TAREA
EJERCITACIÓN EJERCIT ACIÓN
5. Según el gráfico, calcule el área de
la región sombreada, siendo CDEF un rectángulo y (AB) (CD) = 18 u2. B
1. En un triángulo sus lados miden 13u, 14u
y 15 u. Calcular su área. A) 76 B) 84 D) 42 E) 38
C) 100 D
α
E
2. La base de un triángulo isósceles mide
10 m y la altura relativa uno a sus lados iguales mide 8 m. Hallar su área. A) 40 B) 80 C) 100/3 D) 40/3 E) 24
α
A
F
C
A) 18 D) 36
B) 9 E) 12
C) 5
3. Una circunferencia de 2 cm de radio está
inscrita en un triángulo rectángulo de 10 cm de hipotenusa. El área de dicho triángulo es: A) 48 B) 24 C) 12 D) 20 E) Faltan datos
6. En un triángulo rectángulo que tiene un
4. En la siguiente fgura hallar el área de la
ángulo de 15°, se inscribe un cuadrado de área "A" que descansa sobre la hipotenusa. Hallar el área del triángulo rectángulo. A) A/2 B) A/3 C) 5A 25A D) 16A E) 8
región sombreada, si ABCD es un cuadrado de área S.
7. En el gráfco, calcule el área de la región
sombreada, si el área de la región triangular LBP es 30 u2. L y N son puntos de tangencia.
C
B
B
A) L2 /2 D)
L2 2 4
N
D
A B) L2 / 2 E)
C) L2
L
L2 2 2
SAN MARCOS REGUL REGULAR AR 20 201 15 – II
P 37°
A
1 1
C
GEOMETRÍA
TEMA 9
ÁREAS DE LAS REGIONES TRIANGULARES Y SUS RELACIONES
A) 110
B) 80
D) 120
E) 90
C) 60
12. Según el gráfco, calcular la razón de áreas
de las regiones MBN y ABC, si: AB = BC, BN MN AM = . 3 4 B =
8. Hallar el área de la región ABC, si OM = 4 u.
3
A
O
A) 48
B) 24
D) 60
E) 72
N
C M
B
M
A
C) 12
PROFUNDIZACIÓN
C
A) 7/15
B) 5/12
D) 9/17
E) N.A.
C) 8/13
13. Según el gráfco, calcule el área de la región
triangular BNC, sabiendo que: AB = 13 u,
9. Hallar el área de la región sombreada, si
BC = 15 u y AC = 14 u. (N, L y P son puntos
(AC)(CD) = 4 3 cm2 y mAPB = 140°. “C” “C” es punto de tangencial. C D 10°
de tangencia).
B
2
A) 12 u
B) 16 u2 C) 24 u2 2
D) 36 u
B
E) N.A.
A
A L
N
C P
O
P A)
3
D) 6
B) 9
C) 3
14. En un triángulo ABC, se traza la mediana
E) 8
BM y luego MF perpendicular a BC (F en BC). Si “A” dista 8 cm de BM.
10. Si en un triángulo ABC, las alturas miden
MF = 5 3 cm y el ángulo MBC mide 30°, hallar el área del triángulo ABC.
12 cm, 15 cm y 20 cm, entonces su área en cm2 es: A) 150
B) 120
D) 140
E) 125
A) 20 cm2
C) 130
D) 80 cm2
B) 30 cm2
C) 60 cm2
E) N.A.
15. Se tiene un triángulo ABC en el cual se 11. En un triángulo ABC las medianas AN y
traza la mediana AT AT . En AC se ubica un DC punto "D" tal que AD = . AT interseca 2 a BD en el punto "P". Calcular S(APD) si
BM se intersecan en "P". Si S(ABC)= 120. Calcular S(MPN). A) 5 D) 12
TEMA 9
B) 8
C) 10
S(ABC)=120.
E) N.A.
GEOMETRÍA
2 2
SAN MARCOS REGUL REGULAR AR 20 201 15 – II
ÁREAS DE LAS REGIONES TRIANGULARES Y SUS RELACIONES
A) 12 D) 6
B) 10 E) 24
A) 48 cm2 D) 16 cm2
C) 8
B) 36 cm2 E) N.A.
C) 24 cm2
16. Por el baricentro G de un triángulo ABC se
20. En un triángulo ABC se traza la mediana
trazan GE//AB y GF//BC (E y F en sobre AC). Hallar la relación entre las áreas de los triángulos EGF y ABC. A) 1 : 2 B) 1 : 3 C) 2 : 3 D 1:9 E) 2 : 9
AM y la ceviana CN (N∈ AB) las cuales se intersecan en G. Por M se traza una recta paralela a AB que interseca a la ceviana BN 3 y el área del triángulo en Q. Si NA 2 2 ABC es 140 u . Hallar el área del triángulo =
QMG.
17. En la fgura AM es mediana, median a, BC = 20 y
A) 9 u2
AM = 22. m∠BMA=2m∠BAM. Calcular
D) 10 u2
S(ABC).
B) 7 u2
C) 11 u2
E) 14 u2
B
SISTEMATIZACIÓN 2α
M 21. Dado un triángulo rectángulo isósceles
ABC (recto en C). Sea P en BC y M es el punto medio de AB y sea L y N puntos del segmento AP tal que CN es perpendicular a AP y AL=CN. Si el área ABC es 4 veces el área LMN Calcula m ∠CAP. A) 15 B) 30 C) 45 D) 22,5 E) 18
C
α
A A) 176 D) 84
B) 112 E) N.A.
C) 96
18. En un ∆ AEF, AEF, B∈ AE, C∈EF y D∈ AF; BC//AD
y CD//AB. Calcular el área AEF, si área BEC = 25 u2 y área CDF = 9 u2. A) 68 u2 B) 64 u2 C) 81 u2 D) 72 u2 E) 80 u2
22. En el triángulo ABC se trazan las medianas
AM y las cevianas BD y CE concurrentes en P, si los inradios de los triángulos BEP y CDP son iguales. Calcule AB/AC. A) 1 B) 0,5 C) 2 D) 21/2 E) 31/2
19. Por un punto interno al triángulo mostrado
se han trazado trazado paralelas paralelas a los lados del del triángulo ABC, cuya área se desea conocer. Se sabe que A = = 1 cm2, B = 4 cm2 y 2 C = 9 cm . B
23. El triángulo ABC tiene m∠ ACB= 120º y el
lado AC mayor que el lado BC. Sabiendo que el área del triangulo equilátero de lado AB es 31 y el área área del triangulo equilátero de lado AC – BC es 19. Halla el área del triángulo ABC. A) 3 B) 4 C) 6 D) 6(31/2) E) 4(31/2)
B
A C
A
SAN MARCOS REGUL REGULAR AR 20 201 15 – II
C
3 3
GEOMETRÍA
TEMA 9
ÁREAS DE LAS REGIONES TRIANGULARES Y SUS RELACIONES
24. En el triángulo ABC, se traza la ceviana
25. Se tiene un pentágono ABCDE convexo,
interior AD, se ubican M y N en las prolongaciones de CA y BA tal que MB//AD// NC. Si el área de la región triangular ABC es A. Calcula el área de la región MDN. A) A B) 2A C) 3A D) 3/2A E) 4A
tal que AB=BC, CD=DE, m∠ ABC = 120º y m∠CDE=60º. Si BD= 2u. Calcula el área de la región pentagonal ABCDE. A) 4 3
B) 6 3
D) 2 3
C) 4
E)
3
9.
C
10. A
19. E
20. A
RESPUESTA 1.
TEMA 9
B
2.
C
3.
B
4.
D
5.
B
11. C
12. B
13. D
14. E
15. E
21. A
22. A
23. B
24. B
25. E
GEOMETRÍA
6.
E
16. D
4 4
7. A
8.
B
17. A
18. B
SAN MARCOS REGUL REGULAR AR 20 201 15 – II
GEOMETRÍA TEMA 10
SOII1G10T
TAREA
EJERCITACIÓN EJERCIT ACIÓN 1.
2.
3.
6.
El perímetro de un rectángulo es 46 cm y su diagonal mide 17 cm. Hallar el área de su región A) 100 cm2 B) 105 cm2 C) 60 cm2 D) 140 cm2 E) 120 cm2
C A) 4 3 m2 D) 2 2 m2 7.
D) 3 R 2 2 5.
B) 4R 3 2 E) R 5
En la fgura: A=6 cm2. Calcule B.
A A) 4 cm2 D) 8 cm2
Un cuadrado tiene todos sus vértices en una circunferencia de radio R. Calcular el área de dicho cuadrado. A) 2R
B) 5 cm2 E) 10 cm2
C) 6 cm2
Según el gráfco calcular el área de la región sombreada, siendo: AI+IC=12u B 60°
2
C) R
I A
Una circunferencia de radio R es tangente interiormente a todos los lados de un cuadrado. Calcula el área del cuadrado. A) 8R 2 B) 6R 2 C) 4R 2 D) 2R 2 E) 0
SAN MARCOS REGUL REGULAR AR 20 201 15 – II
B) 8 3 m2 C) 4 2 m2 E) 10 3 m2
B
Calcular la altura de un trapecio de bases 4 m y 12 m si es equivalente a un cuadrado de lado 6 m. A) 9 m B) 6 m C) 5 m D) 4 m E) 4,5 m
2
B
N
Se tiene un rectángulo de 60 cm 2 de área. Si los lados son números enteros (en cm), el perímetro mínimo posible en cm es: A) 38 cm B) 30 cm C) 34 cm D) 32 cm E) 36 cm
2
60°
O
8. 4.
En la fgura calcular el área de la región sombreada. sombreada. Si: AM = 2m (A y C puntos de tangencia). A M
θ θ
A) 22 6 u2 C) 18 2 u2 E) 72u2
1 1
GEOMETRÍA
b b
C
B) 36 3 u2 D) 24u2
TEMA 10
ÁREAS DE REGIONES CUADRANGULARES Y SUS RELACIONES
PROFUNDIZACIÓN 9.
12. Si
el triángulo ABC es equilátero, DB=8 y BC=6 3 ; calcular el área de la región sombreada. B A) 8
Si "O" es el centro del cuadrante, OB=10 y T es punto de tangencia, calcular el área de la región sombreada.
B) 6
D
C) 5 3 D) 12 E) 3 90
A T
13. Calcular
C
A
el área de la región sombreada si:
BC=2(EC)=4; AD=7u. B
O A) 24 D) 72
B) 40 E) 36
A) 33 3 u2 2 B) 16 3 u2
C) 50
E B
C
C) 18 3 u2 10. Calcular
el área de la región paralelográmica sombreada si OB = 10u. A
D) 19 3 u2
D
E) 20 3 u
C
D
A
2
14. Calcular
el área de la región sombreada si:
PC=2(AB) y QC=6u. B
B
O A) 60 u2 C) 50 u2
P
B) 80 u2 D) 100 u2
E) 40 u2
Q
A
C
A) 6 u2 D) 10 u2
11. Si
O es el centro del arco AB, T, P y Q son puntos de tangencia, calcular el área de la región sombreada (AO = 6u). A
C) 8 u2
15. Si:
AB=3, BC=4 y G es baricentro del triángulo ABC; ABC ; calcular el área de la región paralelográmica paralelográmica AGPC. B
T
Q
B) 9 u2 E) 12 u2
G O A) 12 u2 D) 6 3 u2
TEMA 10
P
B
B) 15 u2
A
C) 3 6 u2
A) 6 D) 4
2
E) 18 u
GEOMETRÍA
P
2 2
C B) 5 E) 3
C) 2
SAN MARCOS REGUL REGULAR AR 20 201 15 – II
ÁREAS DE REGIONES CUADRANGULARES Y SUS RELACIONES
16. Según
el gráfco, AO=3 y OC=2. Calcule
19. Calcular
el área de un región trapecial inscrita en una circunferencia de radio 5 m sabiendo que las bases del trapecio miden 6 m y 8 m. Además el centro de la circunferencia circunferencia es interior a trapecio. A) 48 m2 B) 52 m2 C) 16 m2 D) 49 m2 E) 36 m2
el área de la región cuadrangular ABCD. C ° 1 2
B
O 3 7 °
A
D B) 46 3 24 E) 5
A) 9 48 5
D 17. Del
20. En
un cuadrado ABCD se ubica los puntos medios "M" y "N" de AB y AD respectivamente tal que (R=MD ∩ CN) y por R se trazan las perpendiculares RE y RF a los lados AB y BC respectivamente. Calcular el área de la región rectangular EBFR si el
C) 8
gráfco mostrado P; M y N son puntos
de tangencia, calcular el área de la región
lado del cuadrado es 10 m.
cuadrangular cuadrangular O1CDO2 en función de R
A) 54 m2
B) 42 m2
D) 48 m2
E) 64 m2
C) 72 m2
SISTEMATIZACIÓN M
C
N
D
R A
21. En
R
O1
P
A) R 2
tiene un área de 200 u2. Se ubican M y N
O2
B) 2R 2
puntos medios de AD y BC. Los segmentos C)
BM y DN intersectan a AC en T y S. Halle
3 2 R 2
el área de la región TBNS.
2 E) R 2
2 2 D) R 3
un paralelogramo ABCD cuya región
el área de la región sombreada, si ABCDEF es es un hexágeno regular y AB=2u
A) 60
B) 52
D) 50
E) 62
C) 55
18. Calcule
B
T es punto de tangencia.
C
B D
A
C
P
Sx T
F A) 4 D) 6
22. Dado el gráfco hallar S x, si: AP=3 y AQ=4
E B) 3 3 E) 4 3
A C) 2 3
SAN MARCOS REGUL REGULAR AR 20 201 15 – II
3 3
Q
A) 16
B) 12
D) 21
E) 18
GEOMETRÍA
D C) 10
TEMA10
ÁREAS DE REGIONES CUADRANGULARES Y SUS RELACIONES
23. En
N
el gráfco; OT//AB y r=3 calcule área
P
T
de la región sombreada sombreada (T y C son puntos de tangencia)
B
A T
A) 64 m2 D) 16 m2
r C A) 6 2 D) 12 2
M B) 32 m2 E) 8 m2
O
A
B) 18 2
C) 10 2
Q C) 15 m2
25. Calcular
el área de la región sombreada, si: NH=2(AN); AB=r y AT= 5
A) 5 B) 10
E) 14 2
O
r H
C) 9/2
24. En la fgura mostrada ATPB es un romboide
N
D) 3 5
y AT=4 m. Calcule el área de la región cuadrada MNPQ (N: punto de tangencia)
E)
8
A
T
B
RESPUESTA
TEMA 10
1.
E
2.
D
3.
E
11.
D
12.
C
13. A
14.
21.
D
22.
D
23.
B
24.
4.
GEOMETRÍA
A
5.
C
6.
B
7.
C
8.
B
9.
E
10.
C
B
15.
D
16.
D
17.
C
18.
B
19.
D
20.
D
B
25.
D
4 4
SAN MARCOS REGUL REGULAR AR 20 201 15 – II
GEOMETRÍA TEMA 11
SOII1G11T
TAREA
EJERCITACIÓN EJERCIT ACIÓN 1.
3.
Hallar la relación de radios, de cuarto de círculo al círculo, para que las áreas de las regiones no sombreada y sombreada sean entre sí como 4 a 5.
Hallar el área de la región sombreada si ABCD es un trapecio rectángulo; AB = 24 cm y DC = 8 cm. D
A
A) 2/3 C) 3/4 E) 4/9 2.
37°
4.
En la fgura: ∆ ABC, equilátero; AM = MB;
B
F
M
45°
A) 3π cm2 2 C) 2π cm2 3 E) 5π cm2 4
B) 8(4 – π)cm2 D) 12(4 – π)cm2
C, centro centro del EM; EM ; B, centro del MF ; área área 2 i ABC = 3 3 cm . Hallar el área de la región sombreada.
Hallar el área de la región sombreada si el sector circular AOB tiene radio 4 cm y OF = 2π cm. A
O
B
A) 6(4 – π)cm2 C) 9(4 – π)cm2 E) 12(π – 2)cm2
B) 4/3 D) 3/8
B)
cm
π
A) 3/2π cm2 C) 4/5π cm2 E) N.A.
2
D) 3π cm2 4
SAN MARCOS REGUL REGULAR AR 20 201 15 – II
F
A E
B
E
C
5.
C B) 5/4π cm2 D) 2π cm2
ABCD ABCD,, cuad cuadrrado; ado; área área del del sect sector or BA BAPP = 12 cm2. Hallar: área del sector EDF.
1 1
GEOMETRÍA
TEMA 11
ÁREA DE REGIONES CIRCULARES Y SUS RELACIONES
B
C
A) 8π + 12 3 C) 12π + 3 3 E) N.A.
P F
B) 6π + 18 3 D) 6π + 5 3
T 8.
A
D
E
A) 12 cm2 C) 15 cm2 E) 18 cm2 6.
B) 16 cm2 D) 9 cm2
PROFUNDIZACIÓN
diáEn la fgura, C es centro de BD y AD diá-
9.
metro. Área i ABC = 4 3 cm2. Hallar el área de la región sombreada. C D
A
30°
de 60°. Hallar la relación de áreas entre el círculo y el sector. A) 1/3 B) 2/3 C) 1/2 D) 3/5 E) 2/5
B 7π 2 cm 2 10π 2 D) cm 3
B)
7π 2 cm 4 E) πcm2 C)
11. En
i
P
N
la fgura ABCD es un paralelogramo;
AB = 4 m, BC = 6 m; m ; m < A = 45°. Haciendo centro A y C se han trazado los arcos BE y FD. Hallar el área de la región sombreada. F B C
ABC equilátero; M, N, P, puntos medios de AC, AB y BC; CP y CM son tangentes al arco MP. MP. Hallar el área de la región sombreada en cm 2. B En la fgura:
El área en m2 del círculo inscrito en un triángulo equilátero de área 1 m 2, es: 3 3π 2π A) B) C) 6 9 3 3π 3π D) E) 4 2
10. Un círculo está inscrito en un sector circular
A) 7π cm2
7.
Calcular el área de un dodecágono regular inscrito en un círculo de 1 m de radio. A) 3 2 m2 B) 2 2 m2 C) 3 m2 D) 2 3 m2 E) 2 m2
A
E
D
A) 4(3 2 – π)m2 B) 2(3 3 – π)m2 A
TEMA 11
M 12 cm
C) 5(3 3 – π)m2 D) (8 – π)m2
C
GEOMETRÍA
E) 3(3 2 – π)m2
2 2
SAN MARCOS REGUL REGULAR AR 20 201 15 – II
ÁREA DE REGIONES CIRCULARES Y SUS RELACIONES
12. Calcular
el área de la región sombreada si el arco BC tiene su centro en A, vértice del triángulo equilátero ABC. A
9 (π – 3 ) 2 9 C) (2π – 3 3 ) 4
D
C 9 (2π – 3 3 ) 2 9 D) (3π – 2 3 ) 4
15. En
B)
B
O
A) 36π m2 C) 48π m2 E) 24π m2
3 A
4 8
B
A)
M
C
B) 30π m2 D) 12π m2
el gráfco: A, B y C son puntos de tan-
gencia, m∠CFB = 53°, calcule la relación entre el área del círculo y la región triangular BEF L1 // L2 .
E) N.A.
A
L1
D
E C
13. En la fgura se tiene un cuadrado de lado 2 m.
Calcular el área de la región sombreada.
L2
B
A) π /2 C) π /4 E) π /6 A) 4 2 – 2 – π
B) 2 2 – π + 1
C) 3 2 – π
D) 4 2 – π – 1
B) π /3 D) π /5
16. Se
da un círculo de centro O y 10 m de radio. Se trazan 2 diámetros perpendiculares AC y BD. Haciendo centro en C y con radio CB, se traza un arco de circunferencia que pasa por D y que corta a OA en M. Hallar
E) 4 2 – π 14. En una circunferencia de radio igual a 8 m,
el área de la fgura BADMB.
se tiene una cuerda CD de 8 m, paralela a un diámetro AB. Hallar el área del círculo tangente a AB y CD.
SAN MARCOS REGUL REGULAR AR 20 201 15 – II
F
A) 50π m2 C) 50 m2 E) N.A.
3 3
B) 100π m2 D) 100 m2
GEOMETRÍA
TEMA 11
ÁREA DE REGIONES CIRCULARES Y SUS RELACIONES
17. En
un cuadrado ABCD se traza la circunferencia de radio r, tangente a AB y AD en P y Q. Por D se traza t raza la tangente tan gente DT, DT, tal que m ∠TDA=37°, calcule la razón de áreas de las regiones ABCD y el círculo de radio r. A) 9/π B) 12/π C) 15/π D) 16/π E) 10/π
A
A) 10 π C) 8 π E) 12 π 22. En
18. En
un cuadrado ABCD se traza una un a circunferencia tangente a CD en D y secante a BA en M (AM=MB), luego se traza la tangente BT a dicha circunferencia. Si BT = 4 3 calcule el área del círculo. A) 16 π B) 9 π C) 12 π D) 25 π E) 8 π
B 37°/2 H B) 9 π D) 3 π
el gráfco la suma de perímetros de las
regiones sombreadas es 4(π + 1). Calcule el área del círculo.
19. Calcule la razón de áreas del circulo inscrito
A) π C) 3π E) 4π
y circunscrito en un triangulo equilátero. A) 1 B) 4 C) 8 D) 3 E) 12
23. En
B) 2π D) 16π
el gráfco OP = 2 y PQ = 6. Calcule el
área de la región sombreada.
20. Se
inscribe un trapecio ABCD en una circunferencia, tal que el arco CD mide 90° y CD=2 2 . calcule el área del menor segmento circular determinado por AB. A) 4π – 4 B) π – 2 C) π + 4 D) 4π – 2 E) 2π + 4
O P Q
SISTEMATIZACIÓN 21. En
A) 8π C) 12π E) 16π
el gráfco el arco AB mide 90° y BH =1.
Calcule el área de la región sombreada.
TEMA 11
GEOMETRÍA
4 4
B) 9π D) 15π
SAN MARCOS REGUL REGULAR AR 20 201 15 – II
ÁREA DE REGIONES CIRCULARES Y SUS RELACIONES
24. En
25. Hallar
el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado cuadrado (AB = a, M y N son puntos medios de AB y CD).
el gráfco N es punto de tangencia y
ON=NB=4. Calcule el área de la región sombreada.
A) B) C) D) E)
B
N
O
B
C
M
N
A
D 2 a B) (1+ 2 ) 2 2 D) a ( 2 ) 2
2 a A) (2+ 2 ) 2 2 C) a (2– 2 ) 2 2 a E) (3–2 2 ) 2
20π 10π 9π 25π 12π
RESPUESTA 1.
B
2.
A
3.
C
4.
B
5.
A
11. A
12.
E
13. A
14.
D
15. A
21. A
22.
E
23.
E
24.
C
25.
SAN MARCOS REGUL REGULAR AR 20 201 15 – II
6.
D
7.
E
8.
C
9.
B
10.
B
16.
D
17.
D
18.
D
19.
B
20.
B
E
5 5
GEOMETRÍA
TEMA 11
GEOMETRÍA TEMA 12
SOIII1G12T
TAREA
EJERCITACIÓN EJERCIT ACIÓN 1.
A) 4 D) 10
Indicar verdadero o falso. I. Una recta y un punto que no pertenece a ella determina un plano. II. Dos rectas secantes no forman un plano. III. Dos rectas paralelas determinan un plano. A) VFV B) VVV C) FVF D) FFF E) VFF
5.
B) 6 E) 15
C) 8
¿Cuántos planos como mínimo forman 6 rectas paralelas? A) 1
B) 10
D) 20 6.
C) 15
E) 25
Se tiene un plano Q, un segmento de recta AB de 8m situado en el plano y un
2.
3.
4.
Indica verdadero o falso. I. Tres puntos cualesquiera determinan un plano. II. Una recta recta y un punto determinan una plano. III. Dos puntos no colineales forman un plano. A) VVV B) VFF C) FFF D) FVV E) VFV
punto “P” que dista 12m del plano. Hallar la distancia de AB al pie de la distancia mencionada, si AP = BP = 13m. A) 2 D) 5
Indicar verdadero o falso. I. La intersección de un plano y una esfera nos da un círculo siempre. II. Una recta recta está está contenida contenida en un plano cuando todos los puntos de dicha recta pertenecen al plano. III. Todo plano tienen porciones limitadas A) VFV B) FFV C) FVF D) VVV E) VVF
C) 4
E) 5,2
7.
La recta L de intersección de 2 planos X e Y perpendiculares entre si es paralelo a una recta R del plano X y a una recta S del plano Y la distancia entre R y L es 8m y entre L y S es 15m. Calcular la distancia entre R y S. A) 10m B) 12m C) 15m D) 17m E) 19m
8.
Se tiene un cuadrado ABCD de lado 7m, se levanta por C la perpendicular CE. Si EB mide 25m. Calcular: CE + ED.
Calcular el máximo número de planos que determinan 5 puntos no colineales en el espacio.
SAN MARCOS REGUL REGULAR AR 20 201 15 – II
B) 3
1 1
A) 24
B) 25
D) 50
E) 59
GEOMETRÍA
C) 49
TEMA 12
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO
PROFUNDIZACIÓN 9.
( ) La intersección intersección de tres planos planos es necesariamente cesariamente una recta. ( ) La proyección proyección de un triángulo sobre un plano es siempre un triángulo.
Se tiene dos cuadrados ABCD y ABEF ubicados en planos perpendiculares y
( ) Las rectas alabeadas pertenecen a un mismo plano.
cuyos centros son P y Q respectivamente. respectivamente. Calcular la distancia PQ; si: AB = 6. A) 5 D) 5 2
B) 3 2
C) 3 3
E) 6 2
D) 4 10
al plano mide 3. Calcular la distancia del vértice “A” al pie de la perpendicular.
C) 3 10
A) 3 D) 6 15. Por
y perpendiculares tal que AB=12 y CD=16.
B) 4
C) 5
E) 3 3
el vértice A de un triángulo ABC, se
levanta la perpendicular AM al plano del
Calcular la medida del segmento que une
triángulo. Se trazan AP ⊥ MB y AQ ⊥ MC.
los puntos medios de AC y BD
12. La
+AB2=68.
dicular trazada del punto medio de BC
E) 5 10
B) 12 E) 13
E) 1
Por “A” pasa un plano tal que la perpen-
11. Se tienen los segmentos AB y CD alabeados
A) 5 5 D) 10
D) 5
C) 4
2
tiene un rectángulo ABCD donde AD = 5, CD = 4, si del punto D se levanta una perpendicular DE. Calcular EC sabiendo que AE = 13. B) 2 10
B) 3
14. En un triángulo ABC, BC=6 y AC
10. Se
A) 10
A) 2
Si MQ = 5; PB = 6; MP = 4 y m
C) 15
calcular SBMC.
hipotenusa de un triángulo rectángulo
A) 15
B) 20
D) 40
E) 18
C) 30
BVC, mide BC = 13. Por “V” se traza VA, 16. Se
perpendicular al plano BVC, de modo que
tiene un triángulo ABC. Desde un punto
AB=9 y AC=10. AC=10. Si “M” “M” es punto medio de
interior P se levanta una perpendicular PT
AC , calcular m∠ VMB. A) 30º B) 45º D) 75º E) 53º
al plano del triángulo. Si TA = TB = TC, ¿qué punto notable es P?
C) 60º
A) Incentro C) Circuncentro
incorrectas: ( ) Dos rectas en el espacio determinan determinan un plano siempre. ( ) Dos planos al intersecarse inters ecarse pueden determinar un solo punto.
GEOMETRÍA
D) Ortocentro
E) Cevacentro
13. De las siguientes armaciones cuántas son
TEMA 12
B) Baricentro
17. Por
el centro “O” de un cuadrado ABCD
se levanta la perpendicular OS a su plano. Calcular la distancia desde “A” al plano SCD; OS = 4 y AB = 6.
2 2
SAN MARCOS REGUL REGULAR AR 20 201 15 – II
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO
17 5
A)
C) 4,8
B)
34 2
D) 2,4
3 . Por B se levanta BE perpendicular al plano del triángulo. Si BE = 1, calcular el área de la región triangular AEC. 31 4 3 31 4
B)
31 2
22. Dado un triángulo ABC, equilátero, se traza
AE, perpendicular perpendicular al plano del triángulo. Si AE = BC, calcular calcular la medida del ángulo con que se cruzan EB y AC A) 30 B) 45 J 1 N C) ArcCos K – O L 2 2P D) 90 J 1N E) ArcCos K – O L 2P
D) 4 31 3
E) 4 31 19. Se
D) 3 15
puntos A y B se encuentran a 8 y 4 cm encima de un plano horizontal, además la proyección proyección de AB sobre el plano mide 9 cm. Calcular la longitud del menor camino de “A” “A” a “B” pasando pasando por un punto del del plano. plano. A) 15 cm B) 9 cm C) 30 cm D) 25 cm E) Faltan datos
un triángulo equilátero ABC mide
C)
C) 5 6
21. Los
radio de la circunferencia circunscrita a
A)
B) 2 15
E) 4 30
E) 3 18. El
A) 2 30
tiene dos rectas alabeadas AB y CD,
MN es la mínima distancia entre ambas (“M” en AB y “N” en CD). Sobre AB se toma un punto “P” y sobre CD un punto “Q”. “Q”. ¿Qué ángulo ángulo forman las dos rectas rectas si m∠MPN = 45º, y además m∠NPQ=45 y
23. Se
tiene un plano P y un punto exterior “S”, “S”, desde el cual se trazan trazan las oblicuas SB, SA y SC que forman con “P” ángulos que miden 30º; 45º y 53º respectivamente. respectivamente. Si A, B y C se encuentran encuentran en el plano, plano, y SB=8, calcular SA+SC.
m∠MPQ=60º? A) 30º C) 45º E) 90º
B) 37º D) 60º
SISTEMATIZACIÓN
B) 5 2 + 4
C) 8
D) 4 2 + 5
E) 3 2 + 4
20. Por
el extremo “A” del diámetro AB de una circunferencia se levanta una perpendicular al plano del círculo, sobre esta perpendicular se toma un punto “M” y se une “B” con un punto “C” de la circunferencia. circunferencia. Calcular MC, si MB = 26 y BC = 14.
SAN MARCOS REGUL REGULAR AR 20 201 15 – II
A) 9
24. Dado
un cuadrado ABCD, por “M” punto
medio de AB se levanta MP perpendicular al plano del cuadrado tal que AB=PM=3. Se une “P” con “D” de modo que PD
3 3
GEOMETRÍA
TEMA 12
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO
interseca en “E” al plano que pasa por AC
Si BL = LC = 5 y m AS = m SB , calcule el área de la región triangular SLD. S B L C A
y es perpendicular al plano del cuadrado. Calcular el área de la región triangular CED A) 3 6
B) 5 2
C) 2 2
D) 3
E) 3 2 D 25. En el gráco ABCD
y la semicircunferencia de diámetro AB se encuentran en planos perpendiculares.
A)
5 14 2
D)
14
B)
3 14 2
C)
14 2
E) 5
RESPUESTA 2.
C
3.
C
4.
D
12.
C
13.
D
14.
B
15.
21. A
22.
C
23.
D
24.
E
25. A
1. 11.
TEMA 12
A
GEOMETRÍA
A
5.
A B
6.
B
7.
D
8.
C
9.
B
10.
D
16.
C
17.
C
18.
C
19.
E
20.
E
4 4
SAN MARCOS REGUL REGULAR AR 20 201 15 – II
GEOMETRÍA TEMA 13
SOII1G13T
TAREA
EJERCITACIÓN EJERCIT ACIÓN 1.
2.
A) 2 D) 5
La suma de los ángulos internos de todas las caras de un poliedro convexo de "V" vértices; "C" caras y "A" aristas arist as es igual a: A) 360° (A – C) B) 360° (V – C) C) 360° (A – V) D) 360° (A – 2) E) 360° (C – A) El área, de la sección diagonal, de un cubo es igual a 16 2 u2. Calcular la diagonal del cubo. A) 8 B) 4 2 C) 6 D) 4 3 E) 3 6
B) 3 E) 6
C) 4
6.
En todo poliedro convexo el número de caras es igual a: A) Número de aristas – número de vértices – 2 B) Número de aristas + número de vértices + 2 C) Número de aristas – número número de vértices + 2 D) Número de vértices vértices – número número de aristas + 2 E) Número de vértices + número de aristas – 2
7.
Si la arista de un icosaedro regular mide 4
3 , calcular el área de su superfcie. A) 15 m2 B) 9 m2 C) 13 m2 D) 6 m2 E) 6 3 m2
3.
4.
5.
En todo poliedro convexo, el número de aristas es igual a: A) Número de caras + número de vértices + 2. B) Número de caras + número número de vértices – 2. C) Número de caras caras – número número de vértices – 2. D) Número de vértices vértices – número número de caras + 2. E) Número de vértices + número número de caras – 2.
8.
Si partiendo de un cierto vértice de un cubo se trazan las diagonales de dos caras vecinas, ¿cuánto medirá el ángulo que así se forma? A) 90° B) 60° C) 120° D) 80° E) 75°
PROFUNDIZACIÓN 9.
¿Cuántos poliedros cuyas caras son triángulos equiláteros existen?
SAN MARCOS REGUL REGULAR AR 20 201 15 – II
Sobre la arista EF del hexaedro regular ABCD – EFGH, se ubica el punto medio M, de tal manera que la distancia entre las rectas alabeadas EG y CM es igual a 2 unidades. Calcular el volumen de dicho hexaedro. A) 180 u3 B) 216 u3 C) 196 u3 D) 204 u3 E) 224 u3
1 1
"P" es el baricentro de la región triangular CED, ubicada en el octaedro regular E– ABCD–F. ABCD–F. Calcular la medida del ángulo determinado por las rectas CD y AP.
GEOMETRÍA
TEMA 13
POLIEDROS REGULARES
A) 30° D) 60° 10. La
B) 45° E) 90°
C) 53°
15. La
distancia del centro de un tetraedro regular a una de sus caras es igual a 2 unidades. Calcular el volumen del tetraedro.
diagonal de un octaedro regular mide
A) 36 6 u3
B) 48 3 u3
6 unidades. Calcular el volumen de dicho
C) 72 2 u3
D) 64 3 u3
octaedro. A) 6 u3 D) 9 u3
B)
6 u3
E) 80 2 u3
C) 6 2 u3
E) 3 3 u3
16. El volumen de un tetraedro regular es igual
a 9 2 . Calcular la longitud de la altura de 4 dicho tetraedro.
11. Se
ubican los puntos medios L, M y N de las aristas EF, BF y FG de un hexaedro regular ABCD – EFGH, respectivamente. Calcular la distancia entre las rectas LM y BN. Si BH = 36.
A) 6 D) 3 2
B) 2 3
A) 3 2 D)
C) 4
poliedro convexo está limitado por 4 regiones triangulares, 2 regiones cuadrangulares y "x" regiones pentagonales. pentagonales . Calcular "x", si la suma del número de aristas con el número de diagonales de dicho poliedro es igual a 44. A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4
E) 3
tiene un octaedro regular E–ABCD–F cuya arista mide 6 unidades. Calcular la mínima distancia entre las rectas BC y EM, siendo M punto medio de la arista AD.
D) 3
B) 6
E) 2
17. Un
12. Se
A) 2 6
6
C) 2 3
B) 3
C) 3 3
E) 2 3 2
de superfcie total, se secciona mediante un plano paralelo a una cara, de modo que se obtiene un tetraedro cuyas aristas son la mitad de los del tetraedro original y un tronco de pirámide de cuya superfcie total será: A) 200 B) 300 C) 350 D) 325 E) 250
18. Un tetraedro regular de 400 m 13. El área total de un tetraedro regular es igual
a 8 3 u2. Calcular la mínima distancia entre dos aristas opuestas de dicho tetraedro. A) 3 B) 2 C) 3 3 D) 2 E) 2 14. El
volumen de un octaedro regular es igual a 6 u3. Calcular la distancia del centro del octaedro a una de sus caras. 3 A) 2 B) 3 2 C) 1 D) 2 6 E) 6
TEMA 13
GEOMETRÍA
19. Hallar
en qué relación se encuentran las áreas de un hexaedro y un icosaedro regulares, sabiendo que la arista del primero es la triple de la del segundo. A) 9 B) 18 C) 3 D) 9 3
2 2
E) 9 3 2
SAN MARCOS REGUL REGULAR AR 20 201 15 – II
POLIEDROS REGULARES
20. Las
aristas de un cubo miden 15 cm cada una. Si una mosca puede desplazarse sólo sobre las aristas y parte de uno de los vértices, el máximo recorrido que puede hacer para volver a su punto de partida, sin pasar dos veces por la misma arista es: A) 1,80 m B) 0,60 m C) 0,75 m D) 0,90 m E) 1,20 m
A) 5/7 D) 4/7
B) 6/7 E) 5/8
C) 1
24. Se
tiene un cubo de arista "a", hallar el área del triángulo PQR, si P es centro, Q y R son puntos medios. Q P
SISTEMATIZACIÓN
R 21. Calcular
el área total de un hexaedro regular, gular, sabiendo que la distancia distan cia de uno de los vértices al centro de una cara opuesta es de 2 m. A) 40 m2 B) 45 m2 C) 25 m2 D) 16 m2 E) 20 m2
22. Se
tiene un tetraedro regular de arista "a". Hallar el volumen del tetraedro regular que se forma al unir los baricentros de las caras.
a3 2 A) 27
a3 2 B) 81
a3 2 D) 216
a3 2 E) 324
a2 3 A) 4
a2 3 B) 8
a2 3 C) 2
a2 3 D) 6
a2 3 E) 3 25. En
un tetraedro regular ABCD, M y N son puntos medios de AD y BC, respectivamente. Si la distancia entre MN y AC es 3 2 u, calcular el área de la superfcie del poliedro conjugado del tetraedro inscrito en él.
a3 2 C) 162
A) 4 3 u2
23. En un triedro trirectángulo O – ABC
se sabe que: OA = 1 cm; OB = 2 cm y OC = 3 cm. Hallar la distancia de "O" a la sección plana ABC.
B) 2 3 u2
C) 16 3 u2
D) 6 3 u2
E) 5 3 u2
RESPUESTA 1.
A
2.
D
3.
B
4.
B
5.
B
6.
C
7.
16.
D
17.
11.
D
12. A
13.
D
14.
D
15.
D
21.
D
22.
E
23.
B
24.
B
25.
C
SAN MARCOS REGUL REGULAR AR 20 201 15 – II
3 3
A E
8.
B
9.
D
10.
B
18.
C
19.
D
20.
E
GEOMETRÍA
TEMA 13
GEOMETRÍA TEMA 14
SOII1G14T
TAREA
EJERCITACIÓN EJERCIT ACIÓN 1.
4.
Dado un cilindro de revolución cuya área lateral es numéricamente igual al volumen, si la generatriz mide 3u. Calcular el perí metro de la superfcie lateral del desarrollo del cilindro. A) (π+3)u B) (6π+4) C) (6π+3) D) (8π+6) E) 2π
5.
El desarrollo de un prisma es un rectángulo cuya diagonal mide 8m y su altura alt ura 4 3 m. Calcular el área lateral de dicho sólido.
Calcular el área lateral del prisma recto mostrado.
(3–
3) 30°
A) 3 D) 12
1
B) 6 E) 16
C) 8
A) 32 3 m2 D) 12 m2
2.
El área lateral de un cilindro c ilindro recto rec to es “A” “A” y su volumen es “V”. Calcular el radio de la base. A A) V D) 2V A
3.
Calcular “S” , si la fgura es un prisma. A = 15m2, B = 20m2 A) 20 2 m2 B) 10 m2 2
S
D) 25 m2
B
C) 20 m
A
E) N.A.
SAN MARCOS REGUL REGULAR AR 20 201 15 – II
1 1
C) 16 m2
E) 16 3 m2
6.
Se tiene un cilindro cuyo radio de la base mide 40 cm y de la altura 30 cm. Un plano pasa a 24 cm del eje y es paralelo a ella. El área de la sección mide: A) 1920 cm2 B) 960 cm2 C) 720 cm2 D) 800 cm2 E) 540 cm2
7.
La fgura es el desarrollo de un prisma triangular regular. Calcular el volumen del sólido en mención. A) 37 B) 36 C) 3 3 D) 12 E) N.A. 6
V2 C) A
B) 2A V V E) 2A
B) 32 m2
GEOMETRÍA
TEMA 14
PRISMA Y CILINDRO
8.
En qué porcentaje debe aumentar la altura alt ura de un cilindro, sabiendo que el radio de su base disminuye un 50%, para que ambos sólidos (fnal e inicial) tengan el mismo volumen. A) 100% B) 200% C) 300% D) 400% E) 30%
A) 15,2% D) 40% 13. Calcule
B) 20% E) 50%
c) 30%
el volumen del prisma regular.
2 3
PROFUNDIZACIÓN 9.
Calcular el área lateral del prisma triangular
2
regular, si la arista lateral es 3 y la arista A) 36 D) 48
básica es 2. A) 2 3
B) 3 3
D) 18
C) 72
C) 6 3
E) 12
14. Calcular
el volumen de un cilindro circular recto, sabiendo que su proyección sobre un plano perpendicular a su base es una región cuadrada de 16 m2 de área. A) 16π m3 B) 8π m3 C) 10π m3 D) 4π m3 E) 2π m3
10. Al
aumentar aumentar el radio radio de un cilindro cilindro en 6m el volumen aumenta en x m3. Si la altura del cilindro aumenta en 6m el volumen aumenta en xm3 si la altura inicial mide 2 m, el radio original es: A) 2 m B) 4 m C) 6 m D) 8 m E) 10 m
11. Calcule
B) 18 E) 4 3
15. El
siguiente sólido es un prisma. Halle el
valor de S, si: A = 4 3 m2, B = 4m2. A) 4
el volumen del rectoedro.
B) 8 C) 12
A
S
D) 16
60°
B
E) N.A. 37° 4 A) 24 3 C) 16 3
16. En
B) 48 2
dro circular recto, si AP = 5u, AB = 4u y mBP = 60º.
D) 90
E) 48 3 12. En
A) 36π C) 8π D) 10π
aumenta en el 20% y la altura disminuye
E) 20π
en el 20%.
GEOMETRÍA
A
B) 12π
cuánto aumenta el volumen de un ci-
lindro de revolución, si el radio de la base
TEMA 14
el gráfco, calcular el volumen del cilincilin-
2 2
B P
SAN MARCOS REGUL REGULAR AR 20 201 15 – II
PRISMA Y CILINDRO
SISTEMATIZACIÓN
17. En un vaso que tiene la forma de un cilindro
recto de revolución, la longitud de la altura 21. Las bases de un cilindro recto están inscri-
es el doble de la longitud del diámetro de
tas en dos caras opuestas de un hexaedro regular. Calcular el volumen del cilindro si la diagodiagonal intersecta a la superfcie cilíndrica en dos puntos que distan 6 cm. A) 2π cm3 B) 4π cm3 C) 3π cm3 D) 5π cm3 E) 8π cm3
la base, si e vaso contiene un líquido que ocupa los 3/4 partes de su capacidad. Determina la medida del ángulo que debe inclinarse desde su posición normal hasta el instante en que el líquido está por dede rramarse. A) 30 D) 75 18. Calcule
B) 45 E) 90
C) 60 22. Un
cubito descansa en el fondo de un prisma recto lleno de agua (Ver fgura) Al extraer al cubito la altura del agua dismidisminuye en 1/8. Hallar el área del triangulo ABC:
el semi volumen de un prisma
triangular regular. Si la arista lateral es 2 3 y la arista básica es 4. A) 24 B) 12 C) 6 D) 18 E) 48
B 19. En el cilindro equilátero mostrado PM = MQ, 2
6 cm
2
BM –OM = 18 y m AQ = AQ = 60. Calcula el área A
de su superfcie total.
O
C 4 2 cm
4 2 cm
P M
A) 4 3 cm2
B) 16 3 cm2
C) 8 3 cm2
D) 12 3 cm2
E) 15 3 cm2
A Q A) 54 π D) 48 π
B
B) 36 π E) 25 π
23. ¿Cuál
es la relación entre las alturas de dos cilindros de revolución semejantes, si sus volúmenes están en la relación de 27 a 216? A) 1/2 B) 2/3 C) 4/3 D) 1 E) 2
C) 16 π
20. Calcule el área lateral de un prisma regular
de 20 aristas básicas, además las aristas básicas son de igual longitud que las latelate -
24. La
fgura muestra un prisma triangular rere gular, gular, cuya arista lateral lat eral es igual a la altura al tura de la base. Si el área del triángulo AHP es 72u2. Calcular el volumen del prisma.
rales que valen 2 cm. A) 40 cm2 B) 80 C) 20 D) 100 E) imposible
SAN MARCOS REGUL REGULAR AR 20 201 15 – II
3 3
GEOMETRÍA
TEMA 14
PRISMA Y CILINDRO
D
F
25. Los
P
volúmenes de dos cilindros de revolu-
ción están en la relación de 125 a 216. ¿Cuál es el radio del cilindro mas grande
E
si el del mas pequeño es de 5m? A H B 3
A) 152 3 u
v2
v1
B) 728 3 u3
R
5
3
C) 576 3 u
D) 596 3 u3 3
E) 166 3 u
A) 2m
B) 4m
D) 8m
E) 10m
C) 6m
RESPUESTA
TEMA 14
1.
B
2.
D
11.
E
12. A
13. A
14. A
21.
E
22.
C
23. A
24.
3.
D
4.
GEOMETRÍA
D
C
5.
E
6.
15.
B
16. A
25.
C
4 4
A
7.
C
8.
C
9.
D
17.
B
18.
B
19. A
10. A 20.
B
SAN MARCOS REGUL REGULAR AR 20 201 15 – II
GEOMETRÍA TEMA 15
SOII1G15T
TAREA
EJERCITACIÓN EJERCIT ACIÓN 1.
La arista de un tetraedro regular es igual a 4. Calcular el área total. A) 12 3 B) 14 3 C) 16 3 D) 18 3 E) 20 3
2.
En el cubo mostrado, "P" es un punto de la cara BFGC. Calcular el volumen de la pirámide P – AEHD. F B
A) 70 D) 76 3.
Calcular el área total de una pirámide cuadrangular regular regu lar,, cuyas caras laterales son triángulos equiláteros y cuya arista básica es 4. A) 16( 3 + 1) B) 16( 3 + 2) C) 16 16( 3 + 3) D) 16( 3 + 4) E) 16( 3 + 5)
6.
El perímetro de la base de una pirámide cuadrangular regular es igual a 12. La altura es igual a la diagonal de la base. Calcular su volumen. A) A) 8 2 B) 9 2 C) 10 2 D) 12 2 E) 3 2
7.
En una pirámide regular de base cuadrada cuyo lado mide 12, la arista lateral de la pirámide mide 10. Calcular el área total. A) 144 B) 336 C) 288 D) 168 E) 112
8.
Calcular el volumen de una pirámide cuadrangular regular cuya arista básica mide 6. Siendo su área lateral el quíntuplo del área de la base. A) 72 B) 72 6 C) 72 3 D) 48 6 E) 54 3
G
P C
E
A
5.
6
H D B) 72 E) 78
C) 74
La base de una pirámide cuadrangular regular tiene un lado igual a 3. La altura es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita a la base. Calcular su volumen. A) 20 2 B) 18 2 C) 16 2 D) 14 2 E) 9 2
PROFUNDIZACIÓN 4.
La altura de un tetraedro es igual a 6 /3. Calcular su volumen. A) 2 /12 B) 2 /6 C) 2 /7 D) 2/16 E) 2/8
SAN MARCOS REGUL REGULAR AR 20 201 15 – II
9.
1 1
Calcular el área lateral de una pirámide si su base es un hexágono regular, regular, si su apotema mide 10 y su arista básica mide 8.
GEOMETRÍA
TEMA 15
PIRÁMIDE Y CONO
A) 480 D) 280
B) 240 E) 140
C) 360
A) 50π D) 80π
10. Una
pirámide regular de base cuadrada es equivalente con un cubo. Si la arista del cubo mide 6 y la arista básica de la pirámide mide 9, calcular la altura de la pirámide. A) 16 B) 9 C) 8 D) 24 E) 12
el volumen de un cono es numéricamente igual al doble del área de su base, calcular la medida de su altura. A) 3 B) 4 C) 7,5 D) 6 E) 12
17. Calcular
el radio de una esfera inscrita en un octaedro regular cuya arista mide "a". a 7 a 6 a 2 A) B) C) 3 6 4
el volumen de una pirámide cuadrangular regular si las aristas laterales miden 5 y la altura 4. A) 12 B) 18 C) 24 D) 30 E) 48
D)
12. El
área lateral de un cono circular recto es 90π. Si la medida de su generatriz es el doble de la medida del radio del círculo de su base, calcular el área de su base. A) 9π B) 35π C) 45π D) 60π E) 27π
E)
3
19. El
100
desarrollo de la superfcie lateral de un
A) 1 D) 1 4
medida del radio de la base es a la medida de la generatriz como 3 es a 5. Calcular el área total del cono. A) 150π B) 200π C) 600π D) 300π E) 250π
B) 1 2 E) 1 5
C) 1 3
20. Calcular
el volumen de un cilindro de revolución el cual se halla circunscrito a una pirámide regular cuadrangular cuyo volumen es "V". 3Vπ A) B) 3Vπ C) 4Vπ 5
15. El
área lateral de un cono recto es igual a 65π y el área de su base es 25 π. Calcular el volumen del cono.
GEOMETRÍA
a 2
cono circular recto es un sector de 120°. Calcular en qué relación está el radio de la base con la generatriz.
14. La altura de un cono circular recto es 20, la
TEMA 15
E)
es el doble del área de su base. Calcular la medida del ángulo que forma la generatriz con la altura. A) 10° B) 30° C) 45° D) 60° E) 75°
recto es 90π. Si la medida de la altura del cono es el triple tripl e de la medida del radio de la base, calcular la medida del radio. 3 3 3 A) 45 B) 90 C) 15 60
a 3 2
18. El área lateral de un cono recto de revolución
13. El volumen de un cono circular
3
C) 100π
16. Si
11. Hallar
D)
B) 75π E) 120π
D)
2 2
3Vπ 2
E)
4Vπ 3
SAN MARCOS REGUL REGULAR AR 20 201 15 – II
PIRÁMIDE Y CONO
SISTEMATIZACIÓN
A) 96 m3 C) 192 m3 E) 208 m3
21. Calcular el volumen de un cono
cuyo vértice coincide con el de un tetraedro regular de arista "a" cuya base está circunscrita a la base del tetraedro. a3 2 π a3 6 π A) B) 17 27 a3 5 π C) 37
24. El área lateral de un cono de revolución es
S y el área total es S1. Determine el ángulo que forma la altura y la generatriz. S – S A) ArcSen 1 S
a3 3 π D) 18
a3 2 π E) 19 cuerda de la base de un cono de revolución mide 8 m y la sagita mide 2 m. Si la altura es de 10 m, calcular la generatriz. A) 12 m B) 13 C) 20
B) ArcSen
S1 S
C) ArcSen
S S1
D) ArcSen
S 2S1
E) ArcSen
S1 – S 2S
22. Una
D) 10 3
B) 162 m3 D) 184 m3
E) 5 5 25. En
un tronco de pirámide de bases paralelas ABC–DEF, los volúmenes de las pirámides ABCE, DEFC son V1 y V2. Halle el volumen de la pirámide ACED. V + V2 A) V1 + V2 B) 1 2 V1 V2 C) V1 V2 D) 2 V1 V2 E) V1 + V2
volumen del cono superior es 48 m3. Calcular el volumen del cono total, si el plano "P" es paralelo a la base.
23. El
2h P h
RESPUESTA 1.
C
2.
B
3.
E
4.
11. C
12.
C
13.
B
14.
21. B
22.
E
23.
B
24. A
SAN MARCOS REGUL REGULAR AR 20 201 15 – II
A C
5.
A
15.
C
25.
E
6.
B
7.
B
8.
B
9.
B
10.
C
16.
D
17.
B
18.
B
19.
C
20.
D
3 3
GEOMETRÍA
TEMA 15
GEOMETRÍA TEMA 16
SNIII2G16T
TAREA
EJERCITACIÓN EJERCIT ACIÓN 1.
A) 12p D) 24p
El volumen de una un a esfera es numéricamente igual a su área. Calcular su radio. A) 1 B) 3 C) 6 D) 9 E) 27
2.
El área total de un cubo es 96 m2. Calcular el área de la esfera inscrita en dicho cubo. A) 16 p B) 8 p C) 12 p D) 32 p E) 4 p
3.
El volumen de un cilindro es 30 m3. el volumen de la esfera inscrita en el cilindro es: A) 20 R B) 12 C) 18 D) 25 E) 15
4.
A 4 u del centro de una esfera, se traza un plano secante el cual determina una sección cuya área es igual a 9 p u2. Calcule el radio de la esfera A) 10 u B) 8 u C) 7 u D) 5 u E) 6 u
5.
Hallar el volumen de la semiesfera, si el área lateral del cilindro es 18 p
6.
C) 16p
Del gráco, calcular OC, de modo que al girar las regiones reg iones sombreadas 360° alrededor de AC generen sólidos equiva equiva-lentes, AO = OB = 4 B
A A) 8 D) 6
O B) 4 E) 5
C C) 16
7.
Sabiendo que el volumen de un cono de revolución equilátero es “V”. Calcular el volumen de la esfera inscrita. A) 3V/5 B) 4V/27 C) 4V/9 D) 7V/17 E) 2V/3
8.
La sección máxima de una esfera tiene área "S". Calcular el área total resultante, al dividir dicha esfera, mediante un plano, en dos sólidos congruentes A) 2 s B) 3 s C) 4 s D) 6 s E) 8 s
PROFUNDIZACIÓN 9.
SAN MARCOS REGUL REGULAR AR 20 201 15 – II
B) 20p E) 18p
1 1
Calcular el área de la supercie esférica circunscrita a un cubo, si el área de la supercie esférica inscrita en el es 60 A) 120 B) 240 C) 180 D) 220 E) 180 3
GEOMETRÍA
TEMA 16
ESFERA Y PAPPUS-GULDIN
esfera, cuyo radio mide 5, con co n 10. Se interseca una esfera,
15. Un
sector circular equivalente a un cuacuadrado cuyo lado mide 6 p tiene ángulo central que mide 10°. Dicho sector es el desarrollo de la supercie lateral de un cono. Calcular el área total de dicho cono. A) 20p B) 30p C) 32p D) 37p E) 42p
un plano que dista 3 del centro. Calcular el área de la sección producida por el plano A) 4p D) 16p
B) 9p
C) 12p
E) 18p
11. Un cubo y una esfera tienen supercie igual
a 8,4 m2. Hallar la relación del volumen del cubo y el volumen de la esfera. A)
6p /6
D) p /3
3p /3
B) E)
C)
16. En
un cono de revolución de generatriz "g" está inscrito un cilindro cuya supercie toto tal es equivalente a la supercie lateral del cono. El ángulo entre las generatrices del cono en su sección axial mide 90°. Hallar la distancia entre el vértice del cono y la base superior del cilindro A) g/5 B) g/2 C) g/3 D) g 2 /4 E) g 2 /3
2p /2
/2
p
10 de cm2 de p área y un eje L coplanar a una distancia de 10 cm. de sus centro. Calcule el volumen del sólido generado por la región circular cuando gira 180° alrededor de L (en cm3).
12. Se tiene un círculo de centro O
A) 100p2 D) 200
B) 100p
C) 100
17. El
centro de la esfera inscrita en una pirámide hexagonal regular divide a la altura de la pirámide en dos segmentos que miden 1 y 2. Calcular el volumen de la pirámide. 12 3 A) 12 B) 8 3 C) 2 9 3 D) 6 3 E) 2
E) 200p2
región triangular de área 60 u2 gira alrededor de un eje coplanar siendo la distancia de sus vértices al eje de giro 10 u, 11 u y 42 u. Calcule el volumen generado (en u3).
13. Una
A) 1 250p
B) 2 520p
D) 3 250p
E) 4 270p
C) 2 780p
18. En
la gura, AB = PC = 6 m, el volumen del sólido de revolución que se obtiene al rotar el triángulo ABC alrededor de la recta L es:
14. Calcular
el radio de la base de un cilindro de revolució revolución n que tiene igual área lateral e igual volumen que un cono de 2 2 m de altura y 3 m de generatriz.
2 2 A) 9 5 2 D) 9
TEMA 16
B)
5 9
A B
4 2 C) 9
P
2 2 E) 3
GEOMETRÍA
C L
2 2
SAN MARCOS REGULA REGULAR R 20 201 15 – II
ESFERA Y PAPPUS-GULDIN
A) 108p m3
B) 72p m3
3
C) 60p m
6
A)
3
D) 27p m
a3
p
B)
2
2
a3
p
2
3
E) 24p m
5
C)
a3
p
D)
2 19. En
la figura, todos los triángulos son
p
a3
3
2 3 3 pa 3
E)
equiláteros. Los pequeños tienen lados
10
de longitud “a”. Si tomamos como eje de revolución la recta L, entonces el volumen 22. Una
del sólido generado por el triángulo som-
esfera esta inscrita en un cono recto
de revolución de altura 12 u y radio 5 u.
breado es:
Calcule el radio de la sección circular
L
determinada por un plano tangente a la esfera y paralelo a la base del cono. A) 10/3
B) 20/3
C) 10/9
D) 20/9
E) 14/3 2 pa3 3
A)
3 C) 7 3 pa 24
B)
3 pa3 8
D)
3 pa3 4
23. Se traza un plano secante a una supercie
esférica determinando dos casquetes eses féricos de áreas A1 y A2 (A1 < A2). Halle el área de la sección determinada en la
3 pa 12
E)
20. Calcular
3
supercie esférica por el plano.
el radio de la esfera inscrita en un
tetraedro trirectángulo S – ABC, si SA = 3; SB = 6 y SC
= 9.
A) 1/2
B) 1
C) 1,5
D) 2
A)
A1 A2 A1 + A2
B)
A1 + A2 A2 – A1
C)
2A1 A2 A1 + A2
D)
A1 A2 2A1 + 3A2
E)
A21 + A1 A2 + A22
E) 3 24. Una
A1 + A2 supercie esférica está inscrita en un
huso esférico y dos semicírculos máximos
SISTEMATIZACIÓN
de una esfera, si el área del huso esférico 21. Un
es 24 p y su radio es 6 u entonces el área
hexaedro regular de arista "a" se en-
cuentra inscrito en una semiesfera. Calcule
de la supercie esférica máxima inscrita es
el volumen de la semiesfera.
(en u2):
SAN MARCOS REGUL REGULAR AR 2015 – II
3 3
GEOMETRÍA
TEMA 16
ESFERA Y PAPPUS-GULDIN
A) 12p
B) 14p
D) 18p
E) 20p
C) 16p
esférica inscrita en el cono. Si el volumen del cono es 175 u3. Calcule el volumen de la esfera(en u 3).
25. El
área de la supercie total de un cono
A) 4
B) 5
es igual a 25 veces el área de la supercie
D) 9
E) 15
C) 7
RESPUESTA 1.
TEMA 16
B
A
2.
3.
A
4.
D
5.
E
6. 16.
11. A
12.
C
13.
B
14.
C
15.
D
21. A
22.
D
23.
A
24.
C
25.
C
GEOMETRÍA
4 4
A B
7.
C
8.
D
9.
C
10.
D
17.
D
18.
B
19.
D
20.
B
SAN MARCOS REGULA REGULAR R 20 201 15 – II
