Geostatistik/Dudi Nasrudin U, S.T.
SUPPORT GEOMETRI Suatu variabel terregional (regionalized variable) tergantung pada suatu daerah ruang tertentu atau suatu bidang/daerah geometrik tertentu sesuai dengan variasi variable tersebut. Selain daripada itu variable-variable tersebut juga terikat pada support geometri, yang dikontrol oleh volume, bentuk, serta orientasinya. Jika support ini berubah, maka terdefinisi suatu variable terregional baru.
Dengan pembesaran support akan membentuk regularisasi (regularization). Semakin besar support geometri, akan semakin sama sifat variable terregional dalam suatu endapan (ruang). Antar Variogram-variogram Variogram-variogram dengan bermacam-macam bermacam-macam support geometri geometri terdapat suatu hubungan sederhana, demikian hingga variogram conto bentuk tutuk dapat dianggap variogram conto. Demikian pula variogram volume yang lebih besar dapat didekati dengan variogram volume yang lebih kecil Pada prakteknya suatu variogram eksperimental untuk conto (yang biasa kita kenal dengan variogram) tidak eksak sama dengan variogram titik yang dimiliki oleh titik-titik ruang. Karena support geometri suatu conto (conto inti, conto alur hand specimen…..) sangat kecil, kita dapat langsung menggunakan variogram conto. Dalam hal lainnya digunakan langsung dengan conto bentuk titik, jika misalnya besaran seperti m.%.g/m3 dlsb diproyeksikan pada bidang datar.
SUPPORT GEOMETRI PADA UKURAN BUTIR CONTO Semakin besar ukuran butir, maka kuantitas conto yang harus diambil semakin besar. Sebaran data dalam suatu populasi akan semakin sempit (σ2 <<) dengan mengecilnya ukuran butir conto.
Hal ini sangat berhubungan erat dengan homogenitas kadar suatu endapan bahan galian. Fenomena ini dapat juga digunakan untuk menjelskan mengapa harga CV bisa lebih besar dari 1. Semakin kasar ukuran butir (σ2>>, S>>, lebih heterogen) akan memberikan harga CV yang besar juga, demikian pula sebaliknya.
SUPPORT GEOMETRI B L OK PENA MB A NGA N Jika pada data kadar blok yang sama dilakukan berbagai support geometri yang berbeda, maka akan terjadi pola penyebaran blok untuk cog tertentu (mis. Cut off grade = 3%) yang berbeda pula. 1
4
2
3
5
1
2
3
2.5
2 .5
3
2.5
2
6
3
1
8
2
6
7
4
2
5
6.5
1
5
2
1
7
2
6
1
3
1 .5
4.5
3.5
6
1
3
7
2
7
4
1
3 .5
5
4.5
2.5
4
6
4
2
3
2
1
6
5
3
2 .4
3.5
3
3
5
6
3
1
2
1
3
5 .5
2
1.5
2
2
6
8
4
3
2
7
2
7
3 .5
4.5
1
1
7
4
2
3
4
6
1
5 .5
2.5
5
Lanjutan…….. 1.5
5
2.5
2
6.5
1.5
4
5
3.25
2.25
4
4.5
3.5
3
2.5
4
4.5
4.5
5
1
3.5
3.25
4.5
3
3.5
4.5
4.5
4
3
1.5
1.5
3.5
4
4.25
2.25
2.5
1.5
1.5
6.5
6
3
3
3
6.5
1.5
6.25
3.5
4.25
3.0625
4
3.578125
4
3.25
VARIOGRAM TITIK
Geostatistik/Dudi Nasrudin U, S.T.
Untuk semua perhitungan geostatistik diperlukan variogram yang mempunyai support bentuk inti, artinya volume conto harus berupa titik. Jika suatu variogram (mis. dari potongan inti dengan panjang l) dihitung sepanjang sumbu lubang bor, maka akan terjadi suatu regularization pada kadar-kadarnya yang terbentuk akibat pengaruh volume inti. Seandainya panjang potongan inti l lebih kecil dibanding dengan range a1 variogram, maka regularisasi dapat diabaikan dan digunakan variogram γ 1 (h) untuk variogram titik. Koreksi ini memberikan penjelasan bahwa range a variogram titik lebih kecil dari range a1 variogram conto inti dan harga sill variogram titik lebih tinggi dibanding conto inti.
Variogram Titik C1 = C / 20(20 − 10.l / a + l
3
a
3
)LLl ≤ a
a1 = a + l LLLLLLLLLLLl ≤ a
Conto bentuk titik
C C1 Conto inti
γ ( h)
l
a
a1
Regularisasi suatu semi-variogram sferis akibat conto bukan titik (panjang inti hasil pemboran adalah l)
h
Variogram Titik
Harga-harga C dan a dapat dilihat pada Tabel 6.1, yang memungkinkan dari data variogram titik dihitung variogram inti dengan panjang l. Jika data variogram ini cocok dengan data experimental, maka parameter untuk variogram titik telah dipilih dengan baik.
Contoh Perhitungan Diketahui data untuk variogram conto inti dengan panjang l = 2m adalah sebagai berikut ; h (m)
γ ( h) %
2
1.33
4
3.09
6
5.03
8
6.70
10
8.26
12
9.00
14
9.67
16
10.26
18
10.25
20
10.70
22
10.45
24
10.53
26
10.31
2
2 a = 12,2 m 3 1 a1 = 18,3 m C 1
= 10,5% 2
= a −l a1 = 18, 3 − 2 a1 = 16,3 a1
3 2 10, 5% = C / 20.(20 − 2 /16, 3 + 2
3
16,3
)
= C .0.939 2 C = 11,2% a/l = 8,15 (harga tabel yang terdekat adalah 8,00)
h/l
Tabel 6.1
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
0,50
.300
.325
.325
.325
.325
.325
.325
.325
.325
.325
1,00
.450
.550
.550
.550
.550
.550
.550
.550
.550
.550
1,50
.465
.678
.681
.681
.681
.681
.681
.681
.681
.681
2,00
.412
.728
.756
.756
.756
.756
.756
.756
.756
.756
2,50
.355
.717
.802
.803
.803
.803
.803
.803
.803
.803
3,00
.307
.669
.822
.835
.835
.835
.835
.835
.835
.835
3,50
.269
.610
.812
.858
.858
.858
.858
.858
.858
.858
4,00
.239
.555
.778
.868
.876
.876
.876
.876
.876
.876
4,50
.215
.507
.733
.861
.889
.889
.889
.889
.889
.889
5,00
.194
.464
.686
.836
.836
.896
.900
.900
.900
.900
5,50
.178
.428
.642
.802
.802
.890
.909
.909
.909
.909
6,00
.163
.396
.601
.764
.872
.914
.917
.917
.917
.917
6,50
.151
.368
.564
.726
.845
.909
.312
.312
.312
.312
7,00
.141
.344
.530
.690
.814
.895
.313
.313
.313
.313
7,50
.132
.323
.500
.655
.782
.874
.923
.933
.933
.933
8,00
.124
.304
.472
.623
.751
.849
.912
.936
.938
.938
8,50
.117
.287
.447
.593
.720
.822
.894
.933
.914
.914
9,00
.110
.272
.425
.566
.690
.794
.874
.924
.943
.945
9,50
.104
.258
.404
.541
.663
.767
.851
.910
.941
.947
10 00
099
246
386
517
636
741
827
892
933
949
a/l
Variogram teoritis dalam hal ini tidak terlalu menyimpang dari data experimental, sehingga dapat dianggap bahwa pilihan parameter untuk variogram titik dengan C = 11,2 dan a = 16,3 adalah baik.
γ ( h) %
2
γ(h) . C = 11,2
h
h/l
2
1
0.124
1.39
4
2
0.304
3.4
6
3
0.472
5.29
8
4
0.623
6.89
10
5
0.751
8.41
12
6
0.849
9.50
14
7
0.920
10.20
16
8
0.936
10.48
18
9
0.936
10.50
VARIANS DISPERSI Varians Dispersi merupakan suatu informasi tentang besarnya pencaran harga yang ada : mis. Kadar blok – blok penambangan pada suatu daerah pertambangan, kadar suatu material dalam dump-truck dll Varians dispersi suatu volume v pada suatu volume yang lebih besar v pada volume yang lebih besar V terdapat hubungan sebagai berikut ;
VARIANS DISPERSI PADA SUATU VOLUME V Diasumsikan disini bahwa V adalah kumpulan dari volume v. Z V (x) adalah harga rata-rata dari Z(x) pada volume yang lebih kecil v dan Z V mewakili harga rata-rata Z(x) pada volume yang lebih besar V.
Penyebaran harga rata-rata dari volume v terhadap harga rata-rata volume V diberikan oleh rumus ; 2 2 σ D
(v / V ) =
1
⎡ Z v ( x ) − Z V ⎤ ⎦ V ∫ ⎣ V
dx
Lanjutan…… Z V (x)
*
v
x V Z
V
DISTIBUSI VR Misalkan blok V dengan titik pusat x, merupakan suatu blok berdimensi besar yang merupakan gabungan dari N blok kecil v i berdimensi sama dengan pusatnya xi , maka ; V = U . Vi = N . v (lihat Gambar. 1)
V = vi vi
Lanjutan……. Misalkan z(y) VR kadar pada titik y. Bagaimana karakteristik dispersi kadar dari blok v di dalam V? Misalkan v berhubungan dengan blok penambangan persatuan waktu tertentu (misalkan untuk produksi harian). Kadar rata-rata setiap blok v i(x), adalah ;
∫
zv ( x) = 1 V
z ( y )dy = 1
z (x ) ∑ N v
Hal yang sama untuk kadar rata-rata V(x), adalah ;
z v ( x i )
=
1
v
∫
z ( y )dy
vi
Hal yang sama untuk kadar rata-rata V(x), adalah ; 2 s ( x) = 1 N
∑
( zv ( xi ) − zv ( x))2
i
Lanjutan….. Dispersi ini dapat digambarkan dengan menarik garis histogram dari N nilai zv(xi), yang merupakan kurva eksperimental. Histogram ini hanya satu penggolongan sederhana dari N nilai zz(xi) yang tersedia tanpa interpretasi probabilis lain. Kenyataannya pada saat evaluasi suatu endapan mineral, kadar sebenarnya zv(xi) tidak diketahui, juga tidak untuk kadar sebenarnya zv(x), sehingga histogram tersebut tidak diketahui. Persoalannya adalah bagaimana mengestimasi, sekurang-kurangnya 2 karakteristik utama, yaitu zv(x) dan s2(x). Maka dalam hal ini diperlukan pendekatan probabilis dan geostatistik.
INTERPRETASI PROBABILIS 1. Varians Dispersi Keadaan Kontinu VR z(y) yang diinterpretasikan sebagai suatu realisasi dari FA Z(y). Nilai rata-rata di setiap blok vi dengan pusat xi kelihatan sebagai suatu VA Zv(xi), dan ;
Z v ( xi ) = 1
v
∫
Z ( y ) dy
Hal yang sama untuk ; VA Z v(x) : Zv(x) = 1/V ∫ Z(y) dy = 1/N Σzv (xi) sehingga s2 (x) sebagai suatu realisasi VA S 2, dengan ; 2 S ( x) = 1 N
∑
( Z v ( xi ) − Z v ( x ))
2
Lanjutan…. Varians Dispersi dari Unit v dalam V, adalah ekspekstasi matematik dari VA S2(x), dan digunakan notasi :
D 2 (v / V ) = E ( S 2 ( x)) = E ( 1 N
∑
( Z v ( xi ) − Z v ( x )) 2 )
Catatan : Dapat dilihat bahwa VA S2 (x) dan realisasinya s2 (x) tidak tergantung pada posisi x di V(x), sehingga D2 (v/V) tidak tergantung juga pada posisi x, tetapi hanya tergantung dari geometri v dan V.
VARIANS DISPERSI EKSPERIMENTAL Jika ada N nilai eksperimental (zv (xi), i = 1,2,….N) yang tersebar secara uniform dalam V, maka ;
S
2
=
1 N
∑
( zv ( xi ) − z ) 2 , dengan : z = 1
z (x ) ∑ N v
i
Rumus tersebut tidak lain merupakan suatu realisasi s 2 dari VA s2 = 1/N Σ(Zv(xi)-z)2, dimana ekspektasi matematik adalah varians dispersi D2 dari variabel Zv(xi)dalam keadaan diskret dari N VA (Z v(xi), i =1,2,3,……N). Jika N VA ini jumlahnya cukup dan terutama jika dibagi dalam v hampir uniform yang akan membentuk V dengan N unit vi, maka dapat mempersamakan varians D2 pada varians D2(v/V) dari v dalam V. S 2 kelihatan sebagai suatu estimator dari varians dispersi teoritis D 2(v/V), maka S2 dikatakan varians dispersi eksperimental dari v dalam V
Contoh Perhitungan Suatu contoh sederhana dari penarikan dadu dengan 6 sisi. Misalkan suatu blok penambangan V(x) diketahui berdasarkan 4 unit dimana kadar z(x) diperoleh melalui penarikan dadu tersebut. Distribusi nilai undian dadu adalah uniform, dengan rata-ratanya =(1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5 dan varians s 2 = 2.92 Misalkan ada 3 blok penambangan (V(xk)), k = 1,2,3 dengan kadar rata-rata masing-masing = 3.5, dengan masing-masing terdiri dari 4 unit blok kecil v, yaitu ; k=1 zv=6,3,2,3
Zv=3.5
s2=2.25
k=2 zv=6,5,1,2
Zv=3.5
s2=4.25
k=3 zv=6,2,2,4
Zv=3.5
s2=2.75
Maka varians dispersinya ;……. D (v / V ) = E ( 1 2
( Z ( x ) − Z ( x)) ∑ 4 v
i
2
v
= 1 4 ∑ E (( Z v ( xi ) − Z v ( x))2 =
1
S ∑ 4
2
= 2.92
Sehingga 3 nilai eksperimental s2=2.25 ; 4.25 dan 2.75 berfluktuasi disekitar ekspektasi teoritis D2(v/V)=E(S2(x))=2.92
VARIANS DISPERSI TEORITS Suatu FA functual Z(x) stationer dengan ekspektasi matematik m, covarians C(h) dan variogram (h), maka ;
∫
D (v / V ) = E ( 1 ( Z v ( y ) − Z v ( x))dy ), dengan v < V V = 1V σ E 2 (v( y ),V ( x))dy 2
∫
Dalam hal unit v(y) yang membentuk V(x), dengan v < V, maka rumus tersebut menjadi ;
D (v / V ) = C (v, v ) 2
−
C (V , V )
Lanjutan…… Mengingat (h) = C(0) – C(h), maka rumus tersebut dapat ditulis sebagai berikut ;
D (v / V ) = γ (V , V ) − γ (v, v) 2
Rumus ini tetap berlaku meskipun covarians C(h) tidak ada, karena variogram (h) tetap ditentukan yang dalam hal ini FA Z(x) intrinsik.
PERHITUNGAN VARIANS DISPERSI
Persamaan – persamaan yang telah diuraikan sebelumnya menunjukkan, bahwa semua varians dispersi dapat diberikan melalui harga rata-rata (h) dari volume kecil. Jika blok-blok tersebut dianggap sebagai bujur sangkar, empat persegi panjang, atau sebelumnya sebagai garis, maka fungsi – fungsi F tersebut dapat diperoleh secara grafis atau interpolasi dari tabel.
A. FUNGSI F-LINIER (GARIS) F(h) = γ(L,L) adalah harga rata-rata γ(x-y) pada garis L dengan panjang h, dimana x dan y adalah dua titik pada garis L yang tidak tergantung satu dengan lainnya. γ ( L, L )
= F (h) =
1 h
2
h h
∫∫
γ ( x
− y ).dx.dy
0 0
Integrasi ini didekati dengan sumasi dari Δh sebanyak I bagian kecil (segmen) sepanjang garis L tersebut, sehingga berikut ; H = I. Δh
Lanjutan….. h X1
Δh
Xi
Garis L y1
y2
y3
y4
y5
y6
Selanjutnya didapat ;
F ( h) =
I
1 ( I .Δh)
2
I
∑∑ i =1 j =1
γ ( xi
− yi ).Δh.Δh =
1 2
I
I
I
∑∑ i =1 j =1
γ ( xi
− yj )
Untuk I=6 akan memberikan matriks I.Δh sebagai berikut ;
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X1
0
1
2
3
4
5
X2
1
0
1
2
3
4
X3
2
1
0
1
2
3
X4
3
2
1
0
1
2
X5
4
3
2
1
0
1
X6
5
4
3
2
1
0
Dalam hal jarak segmen tersebut dibuat sama (dengan memperlihatkan simetri matriks tersebut di atas), maka didapat : 2.(5.1Δh)
2(I-1).1Δh
2.(4.2Δh)
2(I-1).2Δh
2.(3.3Δh)
2(I-1).3Δh
2.(2.4Δh)
2(I-1).4Δh
2.(1.5Δh)
2(I-1).5Δh
2.(0.6Δh)
2(I-1).6Δh
Atau secara umum ; 2 (I-i).Δh Sehingga diperoleh rumus penjumlahan sebagai berikut ;
F ( h) =
2 2
I
I
∑ (I − i). (i.Δh) γ
j =1
Untuk h=0,6 dan I=6, maka Δh=0.1 selanjutnya F (0, 6) = i
I-I
i. h
(i. h)
(I-i). (i. h )
1
5
0.1
0.150
0.750
2
4
0.2
0.296
1.184
3
3
0.3
0.436
1.308
4
2
0.4
0.568
1.136
5
1
0.5
0.688
0.688
6
0
0.6
0.792
0.000 5.066
2 6
2
.5, 066 = 10.135
36
= 0.281
Untuk h=0,6 dan I=12, maka Δh = 0,05 selanjutnya i
I-I
i. h
1
11
0.05
2
10
0.10
3
9
0.15
4
8
0.20
5
7
0.25
6
6
0.30
7
5
0.35
8
4
0.40
9
3
0.45
10
2
0.50
11
1
0.55
12
0
0.60
(i. h)
(I-i). (i . h)
0.792 20.682
F (0, 6) =
2 12
41.364 = .20.682 2
= 0.287 144
Lanjutan………….
Perhitungan integral tersebut di atas dapat digantikan dengan penjumlahan, jika segmen Δh diperkecil atau harga I diperbesar (I>20). Dari tabel fungsi F-linier (untuk garis) atau dari grafik fungsi F-linier didapat harga F90,6) adalah 0,289 Grafik fungsi bantu F(h) untuk garis dapat dilihat pada Gambar 7.1, sedangkan untuk bidang F(h,l) ditampilkan pada Gambar 7.2 dan Tabel 7.1
Contoh Perhitungan Varians Dispersi Disuatu tambang nikel dibuat blok-blok penambangan dengan dimensi 5x5m2. Akan dihitung VARIANS DISPERSI untuk blokblok tersebut dalam waktu dua bulan penambangan dengan luas 50x100m2. Ketebalan rata-rata bijih nikel tersebut 10m Data lain yang diketahui yaitu Variogram Ketebalan bijih yang terdiri dari dua Variogram Model MATHERON ;
= γ 1 (h) + γ 2 ( h), dengan ; 2 a1 = 150m C1 = 8.5m a2 = 1400m C1 = 12.7 m 2
γ ( h)
Sketsa Gambar Permasalahan 5 5
r
R
I = 100m
h = 50m
Perhitungan 2
σ D ( r
•
h
/ R)
a1
= γ ( R, R) − γ (r , r ) LLLLLLL Rumus Baku = γ 1 ( R, R) + γ 2 ( R, R) − γ 1 (r , r ) − γ 2 ( r , r )
= 50150 = 0,333LL
l
a1
= 100150 = 0, 667
maka ;
• F (0,333 0,667) = 0, 375LLL Lihat Didapat ; γ 1 ( R, R)
= C 1.0, 375 = 3,19
pada Tabel or Grafik Fungsi F
Lanjutan…………… 2
σ D ( r
•
h
/ R)
a1
= γ ( R, R) − γ (r , r ) LLLLLLL Rumus Baku = γ 1 ( R, R) + γ 2 ( R, R) − γ 1 (r , r ) − γ 2 (r , r )
= 501400 = 0, 036LL
l
a1
= 1001400 = 0, 071
maka ;
• F (0,036 0,071) = 0, 044LLL Lihat Didapat ; γ 1 ( R, R )
= C 1.0, 044 = 0, 56
pada Tabel or Grafik Fungsi F
Lanjutan…………… 2
σ D ( r
•
h
= γ ( R, R) − γ ( r , r )LLLLLLL Rumus Baku = γ 1 ( R, R) + γ 2 ( R, R) − γ 1 ( r, r ) − γ 2 ( r, r ) = l a = 5150 = 0,033LL
/ R)
a1
1
maka ;
• F (0,033 0,033) = 0, 026LLL Lihat Didapat ; γ 1 ( R, R )
= C 1.0, 026 = 0, 22
pada Tabel or Grafik Fungsi F
Lanjutan………….. 2
σ D ( r /
•
h
a1
= γ ( R, R) − γ ( r, r ) LLLLLLL Rumus Baku = γ 1 ( R, R) + γ 2 ( R, R) − γ 1 ( r, r ) − γ 2 ( r, r ) = l a = 51400 = 0,0036LL
R)
1
maka ;
• F (0,0036 0,0036) = 0, 000LLL Lihat Didapat ; γ 1 ( R, R )
= C 1.0, 000 = 0, 0
pada Tabel or Grafik Fungsi F
Maka Nilai Varians Dispersi….. 2
σ D ( r
/ R)
= γ ( R, R) − γ (r , r )LLLLLLL Rumus Baku = γ 1 ( R, R) + γ 2 ( R, R) − γ 1 (r , r ) − γ 2 (r , r ) = 3.19 + 0.56 + 0.22 + 0.0 = 3.53m2
Hasil perhitungan ini diperoleh standar deviasi ketebalan adalah……
3.53 = ± 1.88m
Sehingga simpangan volume blok menjadi………. 1,88 x 5 x 5 = 46.9 m2
