4.4 GUBICI SILE NAKNADNO PREDNAPREGNUTIH PREDNAPREGNUTIH
ELEMENATA
Trenutni (po~etni) gubici sile prethodnog naprezawa naknadno prednapregnutih elemenata ( post-tensioning post-tensioning ), ), u nekom preseku na udaqewu*) x u po~etnom trenutku vremena t o 0 (neposredno nakon zatezawa kablova), iznose: Pi ( x )
Psl Pel P ( x )
(4.11)
gde je: P sl
P el
- gubitak (pad) sile prethodnog naprezawa usled klizawa u ankernoj kotvi (uvla~ewa kabla, odnosno klina), ukoliko postoji (zavisno od sistema kotve); - gubitak (pad) sile prethodnog naprezawa usled elasti~ne deformacije elementa;
P ( x )
- gubitak sile prethodnog naprezawa na udaqewu x od po~etka elementa, usled trewa;
Saglasno tome, sila prethodnog naprezawa neposredno nakon zatezawa kablova (u trenutku t o 0 ), na udaqewu x od po~etka kabla (elementa), iznosi: Pm, o Po P i ( x ) Po Psl Pel
P ( x )
(4.12)
gde je:
*)
Udaqewe x se meri od kraja elementa na kome se nalazi aktivna kotva, odnosno sa koga se vr{i zatezawe kabla.
127
P o
- po~etna sila zatezawa kabla na aktivnom kraju kabla (na presi), neposredno nakon zatezawa;
Sl. 4.3 - Gubici sile prednaprezawa naknadno prednapregnutih elemenata
O odre|ivawu veli~ine ovih gubitaka pojedina~no bi}e vi{e re~i ne{to kasnije. U nekom kasnijem trenutku vremena t , ukupni gubici sile prethodnog naprezawa naknadno prednapregnutog elementa (post-tensioning ), u preseku na udaqewu x, iznose: P ( x , t ) Pi ( x) P c s r ( x)
P sl Pel P ( x ) P c s r ( x ) gde je:
128
(4.13)
P c s r ( x )
- gubitak sile prethodnog naprezawa usled vremenskih deformacija (te~ewa, skupqawa i relaksacije) u vremenu t .
Sila prethodnog naprezawa u trenutku vremena t , u preseku na udaqewu x od po~etka kabla (elementa ), iznosi: Pm, t Po P ( x , t )
Po [ Psl ] Pel P ( x ) P c s r ( x )
(4.14)
Karakteristi~na promena sile prethodnog naprezawa naknadno prethodno napregnutog elementa, prikazana je na sl. 4.3. I ovde va`i ista napomena za zonu gubitaka usled vremenskih deformacija za slu~aj mogu}nosti da deo povremenog (promenqivog) optere}ewa ima karakter dugotrajnog optere}ewa elementa.
4.5 GUBICI USLED ELASTI ~ NOG SKRA}EWA ELEMENTA
Prema preporukama ve}ine nacionalnih propisa, prora~un pada napona u ~eliku za prethodno naprezawe usled elasti~nog skra}ewa betonskog elementa, kad god je to mogu}e, treba da se zasniva na eksperimentalno utvr|enim karakteristikama materijala (~elika i betona). U nedostatku takvih podataka, za module elasti~nosti ~elika i betona mogu se usvojiti karakteristi~ne vrednosti date u poglavqu 2, za starost u momentu prethodnog naprezawa. Na elemente u kojima se kablovi prethodno zate`u na stazi, sila prethodnog naprezawa prenosi se odjednom, u punom iznosu, u momentu isecawa krajeva kablova. U tom momentu, usled nanetih napona pritiska, betonski element se skra}uje zajedno sa svim kablovima za prethodno naprezawe, {to dovodi do pada sile zatezawa u wima. Pri tome, dilatacije
129
~elika i betona na spoju su zajedni~ke (iste) usled adhezije koja postoji nakon o~vr{}avawa betona. Nasuprot tome, u naknadno prethodno napregnutim elemenatima, u slu~aju kada se svi kablovi za prethodno naprezawe zate`u odjednom, sila prethodnog naprezawa se, preko presa za zatezawe kablova, istovremeno prenosi i na ~eonu povr{inu betonskog elementa, pa se betonski element skra}uje istovremeno sa istezawem kablova, pre fiksirawa kotvi i nema gubitaka od elasti~nog skra}ewa elementa. Me|utim, u praksi je uobi~ajeno da se svi kablovi ne zate`u istovremeno, ve} da se sila prethodnog naprezawa na betonski element nanosi postepeno, zate`u}i i ankeruju}i kablove jedan po jedan. Pri zatezawu svakog narednog kabla, betonski element se, srazmerno nanetim naponima od tog kabla, dodatno skra}uje zajedno sa ve} prethodno ankerovanim kablovima, {to u tim kablovima izaziva pad sila zatezawa. Pri tome, ukoliko u tom momentu kablovi nisu injektirani, t.j. nisu ~vrsto spojeni sa okolnim betonom, ukupno postignuta deformacija (skra}ewe) betonskog elementa pribli`no ravnomerno se raspore|uje na celu du`inu kabla (ako se zanemare efekti trewa). Zbog toga se prora~un gubitaka usled elasti~nog skra}ewa betonskog elementa sprovodi razli~ito za ova dva na~ina prethodnog naprezawa.
4.5.1
Gubici usled elasti~nog skra}ewa prednapregnutih na stazi
elemenata
Prethodno napregnuti elementi na stazi, u kojima se kablovi zate`u pre betonirawa elementa, u trenutku preno{ewa (transfera) sile prethodnog naprezawa sa kablova, odnosno sa ankernih blokova, na betonske elemente, do`ivqavaju trenutne elasti~ne deformacije (skra}ewe) i na taj na~in, usled ve} ostvarenog kontakta (adhezije) sa betonom, dolazi i do skra}ewa samih kablova. To izaziva smawewe prethodno postignutog izdu`ewa kablova, a time i pad sile prethodnog naprezawa u wima.
130
Saglasno izrazu (4.3), po~etna sila prethodnog naprezawa posmatranog elementa, neposredno pre preno{ewa (transfera) na betonski element, iznosi: Pmto ( x ) Po Psl P ( x ) P r
(4.15)
Usled delovawa po~etne sile prethodnog naprezawa P mto ( x ) na betonski element (za ovu analizu usvojeno je da je sila prethodnog naprezawa pribli`no konstantna du` celog elementa), dolazi do skra}ewa elementa ( sl. 4.4), a time i do pada sile prethodnog naprezawa za veli~inu P el . Kako su kablovi za prethodno naprezawe adhezijom ~vrsto spojeni za betonski element, promena deformacija (dilatacija) u wima mogu}a je samo sa istovremenom promenom dilatacija betonskog vlakna elementa na mestu spoja. U momentu nano{ewa sile prethodnog naprezawa (u momentu isecawa krajeva kablova na stazi) na element deluje i sopstvena te`ina elementa g o , koja se aktivira usled izdizawa sredine elementa pri delovawu kablova. Od sopstvene te`ine
131
Sl. 4.4 - Elasti~no skra}ewe elementa pri preno{ewu (transferu) sile prethodnog naprezawa: -a) neposredno pred preno{ewe; - b) nakon preno{ewa (isecawa krajeva kabla): - c) kabl pre zatezawa na stazi: -d) neposredno pred preno{ewe; e) nakon preno{ewa
elementa u presecima nastaju momenti savijawa M g o ( x ) , koji tako|e izazivaju promene dilatacija betonskog vlakna u te`i{tu kablova. U prakti~nim prora~unima uobi~ajeno je da se i ovi uticaji uzimaju u obzir pri prora~unu gubitaka sile prethodnog naprezawa usled elasti~nih deformacija*). *)
Strogo uzev, u prora~un treba uvesti i sva ostala spoqa{wa optere}ewa u posmatranoj kombinaciji uticaja, a ne samo sopstvenu te`inu elementa. Me|utim, kako u momentu preno{ewa (transfera) sile prethodnog naprezawa deluje samo sopstvena te`ina elementa i kako se ostali uticaji javqaju kasnije simultano sa dugotrajnim uticajima
132
Treba uo~iti i ~iwenicu da u momentu delovawa sile P mto ( x ) dolazi do elasti~nog skra}ewa elementa, sila u kablu (a to je ujedno i sila koja deluje na betonski element) po~iwe da opada i ravnote`a se uspostavqa kada se zavr{i deformacija i kada sila u kablu postane sila nakon preno{ewa, P m,o ( x ) . Prema tome, promena dilatacije betonskog vlakna u te`i{tu kablova usled elasti~nog skra}ewa elementa pri preno{ewu (transferu) sile prethodnog naprezawa na element, iznosi:
cp
P cp
m ,o g o
E c
p
(4.16) gde je:
P cp
m ,o g o
- napon u betonu u te`i{tu kablova za prethodno naprezawe usled delovawa sile prethodnog naprezawa, P m,o ( x ) i spoqa{wih uticaja koji u tom momentu deluju na element (naj~e{}e sopstvena te`ina elementa); P m,o ( x )
- sila prethodnog naprezawa koja
deluje u kablovima, neposredno nakon preno{ewa (transfera), odnosno nakon obavqawa elasti~ne deformacije elementa.
skupqawa i te~ewa betona i relaksacije ~elika, ~iji se uticaj na gubitke posebno prora~unavaju, uobi~ajeno je da se u prora~un gubitaka usled elasti~ne deformacije elementa uzima u obzir samo sopstvena te`ina elementa.
133
Pad sile u kablovima usled delovawa napona cp
Pmt o g o
, koji predstavqa
gubitak sile prethodnog naprezawa usled elasti~nog skra}ewa elementa sa kablovima prethodno zategnutim na stazi, iznosi: Pel
p E p Ap
p Ap cp P
(4.17)
m , o g o
gde je: p
E p E c
- odnos modula elasti~nosti ~elika kablova i modula elasti~nosti betona (koeficijent ekvivalencije); A p
- povr{ina ~elika kablova za
prethodno naprezawe.
U izrazu za gubitak sile prethodnog naprezawa usled elasti~ne deformacije elementa (4.17), figuri{e i nepoznata sila prethodnog naprezawa nakon preno{ewa (transfera) sile sa kablova na betonski element P m,o ( x ) , koja obuhvata i gubitke P el , koje tek treba odrediti ( Pm,o ( x ) Pmto ( x ) P el ). Sa dovoqnom ta~no{}u se, umesto sile P m, o ( x ) , u prakti~nim prora~unima mo`e usvojiti po~etna sila P mto ( x ) , ili se mo`e ova sila umawiti za unapred pretpostavqenu veli~inu gubitaka P el .
4.5.2 Gubici usled elasti~nog skra}ewa naknadno prednapregnutih elemenata
Gubitak sile prethodnog naprezawa usled elasti~nog skra}ewa elementa ne postoji za kabl koji se naknadno zate`e, neposredno prilikom wegovog 134
zatezawa, jer se presa za zatezawe kabla oslawa neposredno na betonski element, deluju}i na taj na~in na element i za vreme izvr{ewa prethodnog naprezawa (zatezawa kabla), te prema tome nema naknadnog elasti~nog skra}ewa ni elementa ni kablova. Me|utim, ukoliko u momentu naknadnog zatezawa nekog kabla, postoje neki drugi kablovi ~ije je utezawe i ankerovawe ve} obavqeno pre toga, do}i }e do skra}ewa betonskog elementa usled delovawa kabla koji se u tom momentu zate`e i zajedno sa betonskim elementom i do skra}ewa postoje}ih prethodno ankerovanih kablova (jer su preko kotvi vezani za betonski element), {to }e u wima izazvati odre|eni gubitak postignute sile prethodnog naprezawa. Prema tome, za elemente u kojima se kablovi zate`u naknadno, gubitak sile prethodnog naprezawa usled elasti~nog skra}ewa elementa, bi}e jednak nuli u slu~aju da se svi kablovi zate`u odjednom, ili nekoj kona~noj veli~ini, za slu~aj da kablove zate`emo postepeno, jedan po jedan, pri ~emu veli~ina ovog gubitka zavisi od broja kablova koji se pojedina~no zate`u. Gubitak sile prethodnog naprezawa u posmatranom kablu, usled elasti~nog skra}ewa elementa pri naknadnom zatezawu ostalih kablova, mo`e se odrediti na slede}i na~in. Neka je n ukupan broj identi~nih kablova prethodno napregnute grede koji se postepeno naknadno zate`u. Pri zatezawu prvog kabla (ozna~enog rednim brojem i 1 ), nakon ankerovawa u wemu }e ostati po~etna sila zatezawa P mo ,1 . Nakon toga zate`e se kabl sa rednim brojem i 2 i nakon wegovog ankerovawa u wemu }e ostati po~etna sila zatezawa P mo, 2 . Me|utim, usled delovawa ovog kabla na element, do}i }e do naknadne deformacije elementa i time do skra}ewa ve} prethodno ankerovanog kabla sa oznakom 1, {to }e u wemu izazvati promenu (pad) sile za veli~inu P el (2,1) . Pri zatezawu tre}eg kabla (i 3 ) silom P mo, 3 , do}i }e do pada sile u kablu br. 1 za veli~inu (3 )
(3 )
P P el ,2 . Na kraju, pri zatezawu posledweg el ,1 , a u kablu br. 2 za veli~inu
n-tog kabla, u tom kablu }e ostati po~etna sila P mo , n , a u kablu br. 1 pad
135
sile bi}e P el n,1 , u kablu br. 2 P el n, 2 , i tako daqe, sve do kabla sa brojem (
)
(
)
( n 1 ), u kome }e pad sile biti P el( n,n) 1 . Promena (pad) sile*) u nekom prethodno ankerovanom kablu sa rednim brojem ( i ), usled zatezawa kabla sa rednim brojem ( j ) po~etnom silom**) P mo, j , pri ~emu je j > i , mo`e se odrediti usvajaju}i da je deformacija betonskog vlakna na mestu kabla ( i ) jednaka ravnomernom skra}ewu du`ine posmatranog kabla
Sl. 4.5 - Pad sile u ankerovanom kablu (i) pri utezawu kabla ( j) od jedne do druge kotve, za veli~inu te deformacije, jer je kabl slobodan u cevi kako jo{ uvek nije injektiran, pri ~emu je zanemaren efekat trewa. Na osnovu toga mo`e se pisati:
*)
U op{tem slu~aju promena sile u ankerovanom kablu mo`e biti u smeru pove}awa sile zatezawa, ali se pod pojmom "gubitak sile prethodnog naprezawa" podrazumeva pad sile i on je ozna~en kao pozitivna veli~ina, odnosno pove}awe sile ozna~ava se negativnim znakom "-".
**)
Pod po~etnom silom
P mo , j , smatra se sredwa vrednost sile zatezawa u
posmatranom kablu koja je u wemu postignuta neposredno nakon ankerovawa.
136
( j )
Pel , i
E p ,ef Ap , i l p , i
l
cp, i ( j ) dx o
Pmo , j
E p ,ef Ap , i l p , i
l
cp , i ( j ) dx 1
o
(4.18) gde je: cp1,i ( j )
- sredwa jedini~na dilatacija betonskog vlakna elementa na mestu kabla i , usled delovawa jedini~ne sile u kablu j , P mo, j 1 .
Gubitak sile zatezawa u kablu i je na osnovu toga: Pel , i
n
P
( j )
el , i
E p ,ef Ap , i
j i 1
l p , i
n
l
Pmo, j cp, i ( j ) dx 1
j i 1
o
(4.19) i 1, 2 , ... , n pri ~emu je o~igledno P el , n 0 . l
Veli~ina integrala
1
cp , i ( j ) dx
zavisi od trase svakog pojedina~nog kabla
o
u elementu, zatim od stati~kog sistema elementa (prosta greda, kontinualni nosa~ i sl.), od geometrijskih karakteristika popre~nih preseka*) i mehani~kih karakteristika materijala elementa.
*)
U op{tem slu~aju zavisi i od toga da li se u fazi prethodnog naprezawa u presecima elementa javqaju prsline ili ne.
137
U praksi je veoma ~est slu~aj da su pojedina~ni kablovi (u slu~aju vi{e kablova u preseku elementa) me|usobno jednaki po veli~ini (popre~nom preseku kabla) i po veli~ini po~etne sile zatezawa. U tom slu~aju je: Pmo, i
P mo n
Ap ,i
;
A p n
(4.20)
i 1, 2 , ... , n Pored toga, u slu~aju kada su pojedina~ni kablovi skoncentrisani u **) relativno uzanoj zoni oko rezultantnog kabla , to jest u slu~aju kada polo`aj pojedina~nih kablova ne odstupa mnogo od polo`aja rezultantnog kabla, specifi~na dilatacija cp1,i ( j ) mo`e se zameniti specifi~nom 1 dilatacijom cp , koja predstavqa dilataciju betonskog vlakna na mestu
rezultantnog kabla usled delovawa jedini~ne sile prethodnog naprezawa rezultantnog kabla. Na osnovu napred usvojenih aproksimacija, gubitak sile prethodnog naprezawa karakteristi~nog kabla i , usled elasti~nog skra}ewa elementa, iznosi: Pel , i
E pk Ap
Pmo
2
n l p
n
l
1
cp
dx
(4.21)
j i 1 0
i 1, 2 , ... , n 1 P el , n
0
gde je:
**)
Pod "rezultantnim kablom" podrazumeva se ekvivalentni kabl ~ija trasa prolazi kroz te`i{ta povr{ina kablova u presecima du` elementa.
138
1 cp
- specifi~na dilatacija betonskog vlakna na mestu rezultantnog kabla usled jedini~ne sile prethodnog naprezawa rezultantnog kabla, P m,o ( x ) 1 ; l p
- du`ina rezultantnog kabla;
E pk
- efektivni modul elasti~nosti *)
kablova za prethodno naprezawe ; ( A p n Ap 1)
- povr{ina rezultantnog kabla, jednaka zbiru
povr{ina svih pojedina~nih kablova. Ukupni gubitak (pad) sile prethodnog naprezawa rezultantnog kabla usled elasti~nog skra}ewa elementa, u tom slu~aju iznosi: n
Pel
Pmo i 1
E pk Ap 2
n l p
n
l
1
cp
dx
(4.22)
j i 1 0
odnosno, Pel
1
1 E pk Ap
Pmo 1 2 n l p
l
cp dx 1
(4.23)
0
Strogo posmatrano, rezultanta sile prethodnog naprezawa, uzimaju}i u obzir da su gubici usled elasti~nog skra}ewa elementa razli~iti za svaki kabl pojedina~no, vi{e se ne poklapa sa "rezultantnim kablom" odre|enim na osnovu geometrijskog te`i{ta povr{ina pojedina~nih kablova. Me|utim, izuzev u posebnim slu~ajevima gde to ima zna~aja, ovaj efekat se u prakti~nim prora~unima naj~e{}e zanemaruje.
*)
Efektivni modul elasti~nosti za kablove sastavqene od pravih glatkih `ica ili {ipki mo`e se usvojiti da je pribli`no jednak modulu elasti~nosti ~elika za prednaprezawe. Za kablove sastavqene od upredenih u`adi "Efektivni modul elasti~nosti" E pk, je ne{to mawi od modula elasti~nosti samog ~elika za kablove, jer jedan deo deformacije (izdu`ewa) se "potro{i" na ispravqawe helikoidalno upredenih `ica od kojih je sastavqeno u`e.
139
Za dovoqno veliki broj n pojedina~nih kablova u preseku, izraz (4.23) se svodi na pribli`nu vrednost: Pel
za
1 E pk Ap
Pmo 2
l p
l
cp dx 1
(4.24)
0
n » 2
{to se mo`e prihvatiti za prakti~ne prora~une, pogotovo ako se imaju u vidu sve napred usvojene aproksimacije. Mnogi nacionalni propisi (me|u wima i ES 2) preporu~uju izraz (4.23 i 4.24) kao dovoqno ta~nu aproksimaciju. Treba uo~iti da u izrazu za gubitke sile prethodnog naprezawa usled elasti~nog skra}ewa elementa (4.23) figuri{e nepoznata ukupna po~etna sila prethodnog naprezawa P mo na desnoj strani jednakosti, a ona se mo`e P el . Zbog toga se u
odrediti tek nakon nala`ewa veli~ine gubitaka
prakti~nim prora~unima mo`e izvr{iti aproksimacija mo`e Pel
unapred
pribli`no
pretpostaviti
veli~ina
P el
Pmo P o , ili se (na primer,
(0, 01 0, 03)P o ), na osnovu koje se izra~unava pretpostavqena
vrednost P mo , potrebna za prora~un gubitaka
P el , {to daje sasvim
zadovoqavaju}u ta~nost. U slu~aju karakteristi~ne paraboli~ne trase kablova proste grede*), prikazane na sl. 4.6 , specifi~na dilatacija betonskog vlakna na mestu 1 rezultantnog kabla cp , iznosi:
z cp 2 cp 1 Ec Ec Ac ic 1
*)
cp1
1
(4.25)
Pri tome je, za prakti~ne prora~une,pretpostavqeno da je greda konstantnog popre~nog preseka, bez prslina, sa geometrijskim karakteristikama popre~nog preseka Ac i I c (bruto betonski presek, bez u~e{}a armature).
140
Sl. 4.6 - Karakteristi~na paraboli~na trasa kablova proste grede
Jedna~ina paraboli~ne trase rezultantnog kabla sa strelom f cp u sredini raspona i koja prolazi kroz te`i{ta popre~nih preseka na krajevima nosa~a ({to je naj~e{}i slu~aj u praksi) je: 2
x zcp ( x ) 4 f cp f cp l
(4.26)
a na osnovu toga je: 2 8 f cp 0 cp dx Ec Ac 1 15 ic l
l
1
(4.27)
l p
1, ukupni gubitak sile prethodnog l naprezawa usled elasti~nog skra}ewa elementa iznosi: Usvajaju}i aproksimaciju
8 f cp 2 Pel P mo 1 p p 1 2 n 15 ic 1
1
(4.28)
odnosno, za n » 2:
141
8 f cp 2 p p 1 Pel P mo 2 15 ic 1
(4.29)
gde je: p
E p E c
- odnos efektivnog modula elasti~nosti
kablova za prethodno naprezawe i modula elasti~nosti betona u momentu prethodnog naprezawa; p
A p Ac
- geometrijski koeficijent armirawa
kablovima za prethodno naprezawe; ic f cp
I c Ac
- polupre~nik inercije betonskog preseka; - strela u temenuparabole (sredina nosa~a) trase rezultantnog kabla.
U slu~aju duga~kih kontinualnih nosa~a sa promenqivim ekscentricitetom ( sl. 4.7 ), trasa rezultantnog kabla "meandrira" oko te`i{ta popre~nog preseka, pa u tom slu~aju z cp u izrazu (4.25), ima i negativne vrednosti. Pored toga, ta~niji prora~un veli~ine specifi~ne 1 dilatacije cp je znatno slo`eniji, jer se u prora~unu momenata mora uzeti uobzir i stati~ka neodre|enost nosa~a. Zbog toga je u prakti~nim prora~unima, u posmatranom slu~aju, dovoqno
142
Sl. 4.7 - Trasa rezultantnog kabla kontinualnog nosa~a
uzeti u obzir samo uticaj normalnih sila na elasti~nu deformaciju elementa, pa je u tom slu~aju gubitak sile prethodnog naprezawa usled elasti~nog skra}ewa elementa: Pel
1 1 P mo 1 p p 2 n
(4.30)
143
