c Son vectores que indican la forma en que se distribuye espacialmente un campo. Si tomamos una variable, ya sea escalar (como la temperatura) o vectorial (como la velocidad) distribuida en un espacio, tenemos un campo, en el cual a cada punto le corresponde un valor de la variable. Pero además del valor propio del campo, podemos analizar el entorno de cada punto viendo cómo varía esa región. Los tres vectores gradiente divergente y rotacional, toman en cuenta dicho entorno. Sus valores en un punto dado no dependen del valor del campo EN el punto (ni en zonas alejadas) sino de cómo varía el campo en los alrededores muy próximos al él. EL GRADIENTE es un vector que indica en qué dirección aumentan, en mayor grado, los valores del campo. O sea que si te encontraras en un punto del espacio donde el campo tiene un valor cualquiera x, el gradiente en ese punto te dice la dirección en la cual vas a encontrar valores más altos. Ojo, no señala hacia otro punto del espacio donde se encuentra el mayor valor de todos. Señala la dirección hacia donde más aumenta, teniendo sólo en cuenta los valores que rodean al punto dado. El módulo del gradiente dice cuánto aumenta en esa dirección. El gradiente se aplica a campos escalares (no vectoriales) como la distribución de temperaturas en un cuerpo, y es siempre perpendicular a las líneas equipotenciales, como las isobaras o las isotermas. LA DIVERGENCIA se aplica exclusivamente a campos vectoriales. Es un vector que indica en qué dirección las líneas de campo se encuentran más separadas entre sí, o sea la dirección hacia donde disminuye la densidad de líneas de campo por unidad de volumen. El módulo de la divergencia indica cuánto disminuye dicha densidad. La divergencia puede ser alta aunque el valor del campo sea muy bajo en ese punto. Una divergencia elevada indica que en esa zona el campo se está ³abriendo´ como los rayos de luz que emergen de una fuente puntual. Una divergencia nula indica que en esa zona los rayos son paralelos, como las velocidades de un fluido sin turbulencias dentro de un tubo, aunque el tubo sea curvo y todo el flujo esté rotando uniformemente. EL ROTACIONAL o rotor es un vector que indica que tanto están curvadas están las líneas de campo o de fuerza en los alrededores de un punto. Se aplica exclusivamente a campos vectoriales. Un rotacional igual a cero en un punto dado, significa que en esa región las líneas de campo son rectas (aunque no necesariamente paralelas, ya que pueden abrirse simétricamente si existe divergencia en ese punto) Un rotacional no nulo indica que en los alrededores del punto, las líneas de campo son arcos, o sea que es una región donde el campo se está curvando. La dirección del vector rotacional es perpendicular al plano de curvatura, y su intensidad indica el grado de curvatura que sufre el campo.
la conservación del momento cinético de un sólido rígido en rotación, indica que, en ausencia de momentos exteriores, conserva su momento cinético, IȦ IȦ = constante de modo que si I aumenta, Ȧ disminuye, y si I disminuye, Ȧ aumenta. Es el típico ejemplo de la patinador sobre hielo que, al girar sobre sí misma, cuando recoge los brazos acercándolos a su cuerpo, es decir, cuando disminuye su momento de inercia, aumenta su velocidad angular, y cuando los extiende, es decir, cuando aumenta su momento de inercia, su velocidad angular disminuye. ? ?
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[ Para los campos vectoriales [? r? ? Î?
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calcule su divergencia y su rotacional, empleando en cada caso, coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. ¿Cuáles son irrotacionales y cuáles solenoidales?
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La divergencia, calculada en cartesianas, del vector de posición, es
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Para este mismo campo, en cilíndricas, sustituyendo la expresión de dada en otro problema
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y, en esféricas,
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Para el rotacional de este mismo campo, empleando coordenadas cartesianas
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en cilíndricas
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y en esféricas
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Naturalmente los resultados son los mismos independientemente del sistema empleado para calcularlos.
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Para el segundo campo, su divergencia, calculada en cartesianas,
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En cilíndricas este campo se escribe ?
y la divergencia
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En esféricas el campo es ?
y la divergencia
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r
Para el rotacional, en cartesianas,
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En cilíndricas
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y en esféricas
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De nuevo el resultado es el mismo aunque, al estar expresado en base diferentes, parece formalmente distinto.
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Para el tercer campo, la divergencia en cartesianas ?
En cilíndricas, aplicando los resultados del problema de cálculo de gradientes ?
y el cálculo de la divergencia da
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y en esféricas ?
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Para el rotacional, en cartesianas
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En cilíndricas
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y en esféricas
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å_ Por último, para el campo
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calculamos en primer lugar su divergencia y su rotacional en cilíndricas, ya que en estas coordenadas viene expresado el campo. ?
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Para calcular estas cantidades en cartesianas, pasamos el campo a este sistema
y calculamos su divergencia ?
y su rotacional
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Para pasar a esféricas, primero expresamos
en sus componentes cartesianas ?
A continuación hallamos las diferentes componentes en esféricas ???? ????
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Luego, calculamos los diferentes sumandos que constituyen la divergencia
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y, por último, sumamos ?
Para el rotacional
Teniendo en cuenta que ?????
puede verse que los tres resultados son coincidentes. ? ?
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[ Para los campos escalares [? r?
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calcule su gradiente en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.
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El gradiente del primer campo, calculado en cartesianas es
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Vemos que el resultado no es otro que el vector de posición. Para calcularlo en cilíndricas, empleamos la expresión de este campo que calculamos en otro problema.
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Y, en esféricas,
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De estos resultados obtenemos tres expresiones equivalentes para el vector de posición ?
y, comparando las dos primeras, ?
r r
Para el segundo campo operamos de forma análoga, empleando las expresiones calculadas en otro problema ?
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[_ La ley de Ampère, tal como se escribe en magnetostática, es incompatible con la ley de conservación de la carga en situaciones variables en el tiempo. Para completarla, es necesario introducir un nuevo término, denominado densidad de corriente de desplazamiento
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de forma que la ley de Ampère pasa a ser la ley de Ampère-Maxwell
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con validez general. En forma integral, esta ecuación indica que la circulación del campo magnético debe incluir un término asociado al flujo eléctrico,
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La condición de salto para el campo magnético, en cambio, no se ve modificada ?
La ley de Ampère-Maxwell predice que los campos eléctricos variables en el tiempo son fuente de campos magnéticos. Combinada con la ley de Faraday, que predice el efecto inverso, se llega a que son posibles las ondas electromagnéticas. Como consecuencia los campos eléctrico y magnético se convierten en inseparables y pueden verse como componentes de un solo campo, denominado a a a.
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Con la introducción del término de la corriente de desplazamiento, el conjunto de cuatro ecuaciones para el campo electromagnético, conocidas como a a , junto con sus correspondientes condiciones de salto es el siguiente: °
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A su vez, se denominan ecuaciones a la ley de Faraday y la de Gauss para el campo magnético, e (porque aparecen las fuentes) a la de Gauss y la de Ampère-Maxwell. Por último, dado que estas ecuaciones incluyen derivadas respecto al tiempo, deben ser suplementadas con las condiciones iniciales correspondientes.
Las ecuaciones de Maxwell describen el comportamiento de los campos electromagnéticos producidos por densidades de carga y de corriente.
Para describir la acción de los campos electromagnéticos sobre la materia, hay que añadir a las ecuaciones de Maxwell la ley para la fuerza. Para una carga puntual, ?
Esta ley se extiende a una distribución de carga y de corrientes como
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Î La expresión anterior de las ecuaciones de Maxwell, aun siendo general, incluye términos que a menudo son desconocidos . La densidad de carga ȡ incluye la carga de polarización, mientras que la densidad de corriente incluye tanto la densidad de corriente de magnetización como la de polarización
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Estas densidades pueden hacerse desaparecer de las ecuaciones definiendo los campos auxiliares y
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De esta forma, las ecuaciones de Maxwell se expresan en una forma más reducida
El subíndice indica que se trata de densidades libres. A menudo se omite este subíndice y es la forma de las ecuaciones la que indica si se habla de densidad de carga libre o total. En medios materiales se denomina densidad de corriente de desplazamiento al vector
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aunque incluye tanto la corriente de desplazamiento en el vacío como la corriente de polarización.
En esta versión las ecuaciones de Maxwell no son completas, sino que deben incluirse relaciones constitutivas que liguen unos campos con otros ????????
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