Gradiente geometrico Perpetuo y A Casos especiales Angelica Cruz Eddison Gil Edison Leguizamon Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas 18 de mayo de 2015
1.
Gradiente Geom´ etrico etrico Perpetuo
Al igual que en las series uniformes uniformes y en los gradientes gradientes aritm´ aritm´eticos, eticos, se presenta presenta el caso de un gradiente geom´etrico etrico a perpetuidad. Ejemplo de estos dos casos pueden ser aquellas situaciones practicas tomadas en las series uniformes y gradientes aritm´eticos eticos a perpetuida, con la diferencia diferenc ia de que aqu´ı los pagos var´ var´ıan porcentualm p orcentualmente ente resp ecto del d el inmediatame inme diatamente nte anterior. anterior. Como en toda serie perpetua, solo puede hallarse hallarse el valor presente, presente, y el m´ etodo etodo para encontrarlo es el mismo utilizado para los casos ya mencionados. Tomemos en primer lugar un gradiente geom´ etrico etrico perpetuo creciente de caracter´ caracter´ısticas similares al tratado en la secci´on on 5.6, de ah a h´ı sabemo s abemoss que: q ue: P n =
A i−k
n
1+k 1+i
1−
si i si i = k
Por tanto, el valor presente del gradiente perpetuo ser´a: a: A
P P = l´ım ım P n = l´ım ım n→∞
n→∞
n→∞
n
1+k 1+i
An´ alizando el limite de la expresi´on alizando on l´ım
i−k
1+k 1+i
n
=
1+k 1+i
1−
, se presentan los casos siguientes:
0, no existe, existe,
si i si i > k si i si i < k
As´ As´ı que el valor presente P estar´a dado por:
P =
A , i−k
si i si i > k no existe, existe, si i si i < k 1
n
y para el caso en que i = k, por la definici´on de gradiente geom´etrico P = P = l´ım P n = l´ım n→∞
n→∞
nA 1+i
, llegamos a:
nA 1+i
y este l´ımite no existe. Para este caso, entonces, el valor presente no existe.
1.1.
Ejemplo 5.19
Ejemplo 1 (Ejemplo 5.19) Una ciudad debe establecer un fondo para cubrir los gastos de mantenimiento de un parque que se supone tendr´ a vida ´ util perpetua. Los gastos se estiman en $2000000 el primer a˜ nos y luego aumentar´ an el 25 % cada a˜ no. El fondo consiste en un unico ´ deposito en una cuenta que pagar´ a unos intereses del 33 % anual durante los 10 primeros a˜ nos y del 36 % anual de ah´ı en adelante. Determinar el val´ or del dep´ osito. Soluci´ on 1 El diagrama de flujo de caja es el siguiente Donde X representa el valor del
dep´ osito hoy; los retiros de la cuenta de ahorros correspondientes al valor del gasto de mantenimiento de ese a˜ n´ o estar´ an medidos en millones de pesos. Equilibrando el diagrama en el punto 0 (hoy), tenemos; X =
2 0,33 − 0,25
1−
1,25 133
10
+
18,626 (1,33) 0,36 − 0,25
−10
= $21,33
Esto significan que con un ´ unico dep´ osito hoy por un valor de $21330000 en esa cuenta, la ciudad dispondr´ a del dinero necesario para cubrir esos gastos por t´ermino indefinido o, lo que es lo mismo, a perpetuidad. Cuando una sucesi´ on de valores aumenta (o disminuye) de un valor al siguiente en un porcentaje constante, entonces genera una progresi´on geom´etrica, y la sucesi´on de valores origina un gradiente geom´etrico. Para el caso de gradiente geom´etricos crecientes se tiene que el en´esimo t´ermino est´a dado po A(1 + k)n 1 , donde A es el primer t´ermino y k la tasa de incrementos, y por A(1 − k)n 1 si el gradiente geom´etrico es decreciente. −
−
2
Ejemplo 2 Hallar la expresi´ on para el en´esimo t´ermino de cada una de las siguientes sucesiones de valores: a) 12000; 13800; 15870; 18250.5; 20988.075;.. b) 15000; 12900; 44094; 9540,84; 8205.12224;.. Soluci´ on 2 Para la sucesi´ on de valores a), se puede observar que si seleccionamos cualquiera de los valores y lo dividimos por el inmediatamente anterior obtendremos un factor igual a 1.15, que es igual a 1 + k, de donde se concluye que k = 15 % y cada uno de los t´ erminos de la sucesi´ on se obtiene multiplicando el inmediatamente anterior por 1.15, entonces que esa sucesi´ on forma un gradiente geom´ etrico creciente y que la tasa de aumento es del 15 %, y as´ı el en´esimo t´ermino es 12000(1,15)n
−1
Para la sucesi´ on b), con un procedimiento similar al anterior se obtiene que el factor es igual a 0,86 = 1 − k, es decir que k = 14 % y, por lo tanto la sucesi´ on forma un gradiente geom´ etrico que decrece en el 14 % cada periodo, y as´ı el en´esimo t´ermino estar´ a dado por 15000(1 − 0,14)n
−1
Ejemplo 3 Suponga que se invierte hoy la suma de $5000000 y, adem´ as en los meses siguientes se depositan las cantidades que se muestran en la sucesi´ on a). Se pide plantear la ecuaci´ on cuya soluci´ on muestre el saldo al cabo de t meses, sabiendo que el dinero rinde el 2,2 % mensual. Soluci´ on 3 Entonces, si S t denota el saldo en el mes t despu´es del deposito respectivo y similar para S t+1 , se tiene que S t+1 = S t + 0,022S t + Dt+1 Donde Dt+1 es el dep´ osito en el mes t+1, el cu´ al est´ a dado por Dt+1 = 12000(1,15)t . As´ı que la ecuaci´ on anterior quedar´ a: S t+1 = S t + 0,022S t + 12000(1,15)t Es decir: S t+1 − (1,022)S t = 12000(1,15)t y S 0 = $5 Solucionando la ecuaci´ on en diferencias, la ecuaci´ on homog´enea esta dada por S t+1 − (1,022)S t = 0 3
Solucionando se tiene que S h (t) = C (1,022)t Donde C es una constante.Por la forma de la ecuaci´ on su soluci´ on particular estar´ a dada de la siguiente manera S p (t) = K t(1,15)t reemplazando S p (t) en la ecuaci´ on obtenemos (1,022)K (1,015)t = 12000(1,15)t En donde se obtiene que K = 11747,6829.Luego la ecuaci´ on particular esta dada por S p (t) = 11747,6829t(1,15)t y por lo tanto la soluci´ on general es de la forma S t = C (1,022)t + 11747,6829t(1,15)t y con la condici´ on inicial S 0 = 5 obtenemos C = 5. As´ı S t = 5(1,022)t + 11747,6829t(1,15)t La soluci´ on de la ecuaci´ on esta queda por S t = 5(1,022)t + 11747,6829t(1,15)t para t ∈ Z + .
1.2.
Ejemplo 5.20
Ejemplo 4 (Ejemplo 5.20) Una persona que devenga un salario de $150,000 mensuales el primer a˜ no decide depositar cada mes la d´ecima parte de su salario mensual en una cuenta de ahorros que paga un inter´es del 2, 5 % mensual. Si le incrementan el salario cada a˜ no en el 24 % , ¿cu´ anto tendr´ a ahorrado al cabo de doce a˜ nos? Soluci´ on 4 El diagrama de flujo de caja inicial de los dep´ ositos es el siguiente: Como
podemos ver , el flujo de caja total no corresponde ni a una anualidad ni a un gradiente geom´ etrico ni aritm´etico , pues existen algunos valores iguales. Sin embargo si calculamos al final de cada a˜ no el equivalente financiero de los 12 dep´ ositos correspondientes tenemos
4
F 1 = 15,000(F/A, 2, 5 %, 12) = $206,933, 3 F 2 = 18,600(F/A, 2, 5 %, 12) = $256,597, 3 F 3 = 23,064(F/A, 2, 5 %, 12) = $318,180, 6 y asi sucesivamente. Estos valores futuros constituyen un gradiente geom´etrico en el que el incremento o aumento es del 24 %. Por consiguiente, el primer diagrama de flujo de caja de los dep´ ositos es financieramente equivalente a el suguiente diagrama de caja Donde para hallar el valor futuro, tenemos:
A = $206,933, 3; n = 12; k = 24 % anual; i = 34, 49 % anual(equivalente al 2,5 % mensual). Por tanto el valor futuro sera: F =
206,933, 3 [(1, 3449)12 − (1, 24)12 ] = $43,008,770. 0, 3449 − 0, 24
Cantidad que corresponde al total que la persona tendr´ a ahorrado al cabo de 12 a˜ nos
1.3.
Ejemplo 5.21
Ejemplo 5 (Ejemplo 5.21) Un peque˜ no proyecto requiere una inversi´ on inicial de $20,000,000. Este dinero se obtiene de una instituci´ on financiera que cobra un inter´ es de 36 % anual y exige que la deuda se amortice en un tiempo de cuatro a˜ nos, en cuotas trimestrales que aumentan en el 5 % cada trimestre, y la primera cuota debe pagarse dentro de seis meses. Para cubrir esta obligaci´ on, la empresa due˜ na del proyecto depositara la mitad de las utilidades mensuales del proyecto en una cuenta que pagara al 3 % mensual durante los 4 a˜ nos , de tal manera que en cada trimestre se tenga la suma necesaria para pagarle al banco. ¿Cu´ ales deber´ an ser las utilidades promedio mensuales iguales para que la empresa pueda cubrir la obligaci´ on con el banco?. Soluci´ on 5 Lo primero que debemos hacer es financiar la deuda con el banco, para lo cual se utilizara una tasa trimestral del 7, 99 % , equivalente al 36 % anual; aqu´ı las cuotas trimestrales forman un gradiente geom´etrico diferido. Ahora tenemos que la primera cuota que debe pagarse le al banco dentro de seis meses es de
A 20,000,000 = 1− 0, 0799 − 0, 05 5
1, 05 1, 0799
15
−1
(1, 0799)
∴
A = $1,878,774
Ahora, el diagrama de flujo de caja con la cuenta en la que se hacen los dep´ ositos mensuales y los retiros trimestrales para cancelarle al banco es el siguiente :
Los valores del problema son: dep´ ositos mensuales = $X ; retiros trimestrales de $1,878,744 el primero y luego se aumentaran en el 5 % cada trimestre;48 dep´ ositos y 15 retiros; y tasa de inter´es del 3 % mensual , equivalente al 9,27 % trimestral. Equilibrando el diagrama en el punto 0 tenemos
1,878,774 X (P/A, 3 %, 48) = 1− 0, 0927 − 0, 05 ∴
1, 05 1, 0799
15
−1
(1, 0927)
X = $717,224
As´ı que las utilidades promedio mensuales del proyecto deber´ an ser: 2(717,224) = $1, 414,448.
2.
Otros casos
En esta parte presentaremos algunos de aquellos problemas que corresponden a situaciones en las que el flujo de caja no se ajusta a ninguna de las series ni uniformes ni gradientes ya vistas , pero que podemos solucionar con la ayuda de una ecuaci´on de diferencia finita
2.1.
Ejemplo 5.22
Ejemplo 6 (Ejemplo 5.22) Usted inicia hoy con una cuenta de ahorros con $100000 en una corporaci´ on que paga un interes de 28 % nominal trimestral. Usted retira la quinta parte del saldo que tenia el trimestre inmediatamante anterior, halle el saldo en la cuenta de ahorros al cabo de 3 a˜ nos antes y despues del retiro respectivo. Soluci´ on 6 Primero debemos reducir el problema a una ecuaci´ on de diferencia finita, es decir, sean, S t y R t el saldo y el retiro respectivo en el mes t, e i la tasa de interes trimestral que se le aplica al saldo, tenemos la siguiente relaci´ on: S t+1 = S t + iS t − Rt+1 luego usando el hecho que Rt+1 = (1/5)S t la tasa del 28 % nominal trimestral equivale al (28/4) % = 7 % de tasa de interes trimestral, tenemos que: S t+1 = S t + (0,07)S t − (0,2)S t 6
es decir: S t+1 = (0,87)S t donde S 0 = 100000, luego sabemos que la soluci´ on de est´ a ecuaci´ on viene dada por: S t = 100000(0,87)t Luego el saldo 3 a˜ nos despues ser´ a de: S 12 = 100000(0,87)12 = $18803, 1 Ahora el saldo antes del retiro ser´ a: 18803, 1 + (1/5)100000(0,87)11 = $23125, 7 Ahora notemos que el saldo al cabo de a˜ nos es menor que el valor inicial, esto nos indica que el retiro que se hace es mayor a la ganancia con el interes.
2.2.
Ejemplo 5.23
Ejemplo 7 (Ejemplo 5.23) Con las hipotesis del ejemplo anterior, suponer que cada trimestre se ingresan cantidades, $10000, $11300, $12600 y as´ı sucesivamente, hallar el saldo al cabo de 3 a˜ nos antes y despues del retiro Soluci´ on 7 si denotamos a Dt como el deposito en el mes t tendremos que la relaci´ on respecto al saldo ser´ a: S t+1 = S t + (0,07)S t − (0,2)S t + Dt Luego Dt = 10000 + (1300)t as´ı: S t+1 − (0,87)S t = 10000 + (1300)t con S 0 = 100000. Luego sabemos que la soluci´ on de la homogenea S h (t) est´ a dada por: S h (t) = (0,87)t C y si suponemos la soluci´ on particular de la forma S p (t) = at + b tendremos que: S p (t) = at + b = 10000t por tanto S t = (0,87)t C + 10000t y como S 0 = 100000, entonces C = 100000, es decir S t = 100000(0,87)t + 10000t
7
Por tanto al cabo de 3 a˜ nos el saldo ser´ a de: S 12 = 100000(0,87)12 + 10000(12) = $138803, 1 y para ver el saldo antes del retiro, analogo al ejemplo anterior: 138803, 1 + (1/5)(100000(0,87)11 + 10000(11)) = $165125, 6 Luego notemos que el saldo antes del retido correspondiente, es mayor que el inicial, es decir el deposito que se hace, conforme pasa el tiempo, supera al retiro respectivo.
2.3.
Ejemplo 5.24
Ejemplo 8 (Ejemplo 5.24) Usted inicia con una cuenta de ahorros de $1850000 ganando el 28 % de TV; ademas, cada trimestre retira la quinta parte de lo que tenia al final del trimestre inmediatamente anterior, pero, al mismo tiempo deposita cantidades que aumentan el 4 % cada trimestre, donde el primer deposito es del $80000. Hallar el saldo al cabo de 4 a˜ nos y medio, antes del deposito y retiro respectivos. Soluci´ on 8 Sea S t el saldo en el trimestre t tenemos que: S t+1 = S t + (0,065)S t − (0,2)S t + Dt = (0,865)S t + 80000(1,04)t ya que 28 % de TV es equivalente al (28/4)% = 6, 5 % trimestral, y por que D t+1 = (1,04)Dt con D0 = 80000. ahora, reorganizando la ecuaci´ on tenemos que: S t+1 − (0,865)S t = 80000(1,04)t Luego, suponiendo S p (t) = C 1 (1,04)t y teniendo en cuenta que la soluci´ on de la homogenea t es S h (t) = C 2 (0,865) , entonces la soluci´ on estar´ a dada por: S t = (1392858)(0,865)t + (457142)(1,04)t Luego, El saldo en el 18vo sin el deposito ni el retiro es igual al saldo del trimestre anterior, aplicando el interes, es decir: S 17 (1,065) = [(1392858)(0,865)17 + (457142)(1,04)17 ](1,065) = $1074393
3.
Ejercicios Una empresa despues de un estudio de sus ganacias e inversiones desea establecer un fondo para cubrir los gastos de mantenimiento de sus maquina que se supone tendr´ a vida u ´ til perpetua. Los gastos se estiman en $10000000 el primer a˜nos y luego aumentar´ a n el 10% cada a˜no. El fondo consiste en un ´unico deposito en una cuenta que pagar´a unos intereses del 76 % anual durante los 8 primeros a˜nos y del 38 % anual de ah´ı en adelante. Determinar el val´or del dep´osito. 8
Resolver: a) Hallar la expresi´ on para el en´esimo t´ermino de de la siguiente sucesion de valores: 13000; 17940;24757.2;34164.936 ;47147.61168;.. b) Suponga que se invierte hoy en una piramide la suma de $1869,000 y, adem´as en los meses siguientes se depositan las cantidades que se muestran en la sucesi´on a). Se pide plantear la ecuaci´on cuya soluci´on muestre el saldo al cabo de t meses, sabiendo que el dinero rinde el 250 % mensual. Adem´ as se nescesita saber cuanto dinero se tendr´a pasados 2 a˜ nos y medio, tiempo promedio en que una piramide dura en funcionamiento. Una empresa obtiene ingresos as´ı: el primer mes recibe $300,000 y de ah´ı en adelante los ingresos aumentan en un 3 % cada mes; a su vez , la empresa tiene unos gastos de $150,000 el primer mes, $160,000 el segundo mes , $170,000 el tercer mes y as´ı sucesivamente. Si en estas condiciones la empresa opero durante cuatro a˜nos, hallar al final de este tiempo la diferencia entre el valor futuro de los ingresos y el valor futuro de los egresos , para una tasa del 3, 5 % mensual.
4.
Referencias
Jaime Garc´ıa,Matem´aticas Financieras con ecuaciones de diferencia EDICION,2000,p´ags 201-208
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