Matemáticas aplicadas Gózales Márquez Abiel Efraín Calificación:
Número: 13
Gráficas en el espacio tridimensional El espacio espacio tridimensio tridimensional nal está está formad formado o or untos de tres tres comone comonente ntess ordena ordenadas das llamadas llamadas !3"ulas#$ !3"ulas#$ %na 3"ula cualesquiera cualesquiera se simboliza simboliza or ( x& y& z ) o or ( x1 & x' & x3 )
indistintamente& ( entre muc)as osibilidades$ *o imortante es que la rimera comonente )ace referencia a una medida sobre el rimer e+e real& la se,unda& a una medida sobre el se,undo e+e ( la tercera& a una medida sobre el tercer e+e real$ En el esacio tridimensional siemre se ubican tres e+es !reales# -tres rectas reales" erendiculares entre si con el ori,en de cada una como único unto común& ( como marco de referencia ara ubicar los
untos$ .e trata del sistema de ejes coordenados cartesianos$ *o usual usual es& comenza comenzando ndo or cualquier cualquier e+e& e+e& establ establecer ecer un ordena ordenamie miento nto en el sentid sentido o contrario al de las a,u+as del relo+$ En articular& es ertinente la rotulación que se toma en el si,uiente ,ráfico: E+e !z# /&(&z271&'&32 E+e !/# E+e !(# En el esacio esacio tridimensional tridimensional se denomina gráfica de una ecuación en tres variables - lineal lineal o no" al con+unto de ternas ternas -untos en ese esacio" tal que !satisfacen! !satisfacen! la ecuación$ ecuación$ En simbolo,ía matemática esta afirmación se e/resa: S { ( x& y& z ) 0 f x& y& z 2 } ,ráfica de la ecuación f x & y & z 2 $ =
=
=
=
4oda ,ráfica en ¡ 3 se esboza a artir de la información brindada or la ecuación: .e determina el dominio$ 1 5ec)a: 603016
.e determina la ima,en$ .e trazan cur8as de ni8el aralelas al lano /"(2$ .e trazan las trazas$ .e analizan untos de discontinuidad$
9asos:
1
Escribe las coordenadas de los untos que deseas colocar en el e+e de coordenadas 3$ *os untos tienen tres números que determinan sus coordenadas$ 9or e+emlo& considera el unto A ;1& "3& ;62$
'
*ocaliza el e+e < ( coloca una marca en el unto de la rimera coordenada$ ibu+a una línea a tra8=s del rimer unto$ *a línea debe estar ubicada en el lano >? ( erendicular al e+e <$ En el e+emlo& A ;1& "3& ;62& la línea en el e+e >? debe asar or @;1@$
3
Coloca una marca en el e+e > que coincida con la se,unda coordenada$ ibu+a una línea sobre el lano $ En el e+emlo& A ;1& "3& ;62& la línea en $
*ocaliza ( marca la tercera coordenada en el e+e ?$ ibu+a una línea sobre el lano <>& erendicular al e+e ?$ En el e+emlo A ;1& "3& ;62& la línea sobre el lano <> asará a tra8=s de @;6@ en el e+e ?$
6
E/tiende las tres líneas erendiculares )asta que todas se reúnan en el mismo unto$ *a intersección de las tres líneas será la ubicación de los untos 3$
' 5ec)a: 603016
¿Cómo calcular la distancia entre dos puntos en el espacio? .uon,amos que tenemos dos untos sobre el mismo e+e& (a sea x o y$
9ara medir la distancia& en este caso de los e+es x lo que )acemos es asi,nar los nombres a cada unto x 1 y x 22$ *ue,o tomamos los 8alores ( )acemos una resta$ Así x 1 – x 2 = d x
Lo mismo ocurre con y
Y 2 - Y 1 = d y
Distancia entre dos puntos Así usando la fórmula del teorema de 9itá,oras& ara trián,ulos rectán,ulos tenemos que
onde a ( b son los dx y dy or lo que
ese+ando la fórmula queda así
A)ora tomando en cuenta otra dimensión z 2
3 5ec)a: 603016
A)ora onemos dos untos en este esacio$ Cada unto a)ora constara de tres dimensiones x, y, z 2$
¿Cómo medir la distancia de P1 a P2 ?
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Bbser8emos que al trazar una recta que se aralelo a cualquiera de los e+es& interceta con un lano$ *o mismo ocurre con el otro unto$
> a)ora 8eamos que al unirlo con otro unto tenemos un trián,ulo rectán,ulo$
6 5ec)a: 603016
A)ora medimos la distancia de esos untos& con la formula de distancia en el lano que es
Bbtendremos la distancia& ( si ocuamos esa distancia con resecto a otro e+e usándola como un cateto& de otro trián,ulo rectán,ulo$ Así al obtener la )iotenusa del trián,ulo& obtenemos la distancia& de P1 a P2$ Esto uede abre8iarse con la fórmula si,uiente
ese+ando
onde (X 2-X 1)2+(Y 2-Y 1)2& reresenta lo rimero que )icimos& con la fórmula de distancia& ( +(Z 2-Z 1)2 es la si,uiente dimensión& ( la se,unda 8ez que utilizamos la fórmula& se 8uel8e una dimensión (a que (X 2-X 1)2+(Y 2-Y 1)2 es otro e+e como x o y2$
Distancia entre dos puntos en un espacio tridimensional *os razonamientos sobre la construcción de los e+es coordenados son i,ualmente 8álidos ara un unto en el esacio ( un ,ruo de ordenadas de números& sin más que introducir una tercera recta erendicular a los e+es x e y: el e+e z $ esultando una única ecuación lineal del tio: a x + b y + c z = 0 eresenta en el esacio un lano$ .i se retende reresentar mediante ecuaciones una recta en el esacio tridimensional necesitaremos esecificar& no una& sino dos ecuaciones lineales D 5ec)a: 603016
como las anteriores$ e )ec)o toda recta se uede escribir como intersección de dos lanos$ Así una recta en el esacio odría quedar reresentada como:
.i bien& or el momento se )a traba+ado únicamente con dos 8ariables& el incluir una 8ariable más z 2& imlica la amliación del sistema de coordenadas ( el establecimiento de ciertas re,las ara la ,raficación tridimensional$ El sistema tridimensional de coordenadas rectan,ulares se forma a artir de tres e+es erendiculares entre sí& de manera que e/iste un e+e que se ro(ecta )acia delante& es decir& que se @sale@ del ael$ Al i,ual que en el dibu+o tridimensional& los e+es se ueden trazar como una 8ista en isom=trico o a/onom=trico$
9ara la reresentación de untos ( elementos dentro de un sistema coordenado tridimensional se requiere una unidad o escala$ .i la reresentación se )ace en un sistema isom=trico& las unidades tendrán la misma lon,itud en los tres e+es& sin embar,o& cuando se utilice el sistema a/onom=trico se recomienda entonces que la unidad que reresenta el e+e @/@& es decir& la que se @ro(ecta@ )acia el obser8ador& debe tener aro/imadamente $ unidades de lon,itud$
Pendiente de una recta *a pendiente es la inclinación de la recta con resecto al e+e de abscisas$ .e denota con la letra m$ Si m > 0 la función es creciente ( ángulo que forma la recta con la arte ositi8a del e+e B< es agudo$
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Si m 0 la función es decreciente ( ángulo que forma la recta con la arte ositi8a del e+e B< es obtuso$
*a pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje de abscisas$
Cálculo de la pendiente *a pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje de abscisas$ Cálculo de la pendiente
!endiente dado el ángulo !endiente dado el vector director de la recta
F 5ec)a: 603016
!endiente dados dos puntos
!endiente dada la ecuación de la recta"
Ejemplos *a endiente de la recta que asa or los untos A'& 12& & 2 es:
*a recta que asa or los untos A1& '2& 1& 2 no tiene endiente& (a que la di8isión or no está definida$
*a pendiente de la recta tangente a una cur8a en un unto es la derivada de la función en dic)o unto$
H 5ec)a: 603016
Ecuación de la recta tangente *a recta tangente a a una cur8a en un unto es aquella que asa or el unto a& fa22 ( cu(a endiente es i,ual a f Ia2$
1 5ec)a: 603016
11 5ec)a: 603016
1' 5ec)a: 603016
Conclusión: %n sistema cartesiano tridimensional& tambi=n llamado Esacio Euclidiano& está comuesto or tres lanos erendiculares entre sí& esto es& se traza un e+e erendicular z a los e+es / e ($ Al e+e de las / se le llama abscisa& al e+e de las ( se le llama ordenada ( al e+e de las z se le llama cota$ *os e+es de coordenadas determinan tres lanos: <>& ?$ Estos e+es di8iden el esacio en oc)o re,iones llamadas octantes$ En este lano& cada unto se determina or tres coordenadas ( se utiliza la notación 9/& (& z2& de forma similar a la usada en un lano bidimensional$ e la misma manera se da la localización delos untos El uso del sistema cartesiano tridimensional es mu( imortante (a que )a ermitido la realización ( el a8ance de me+oras en las imá,enes que se utilizan en la tele8isión o en el cine )o($$$
iblio,rafia )tt:00JJJ$,oo,le$com$m/0urlK sa7tLrct7+LqLesrc7sLsource7JebLcd71L8ed7C5,5+ALurl7)ttO3AO'5 O'5JJJ$(oquese$com$arO'5resourcesO'5e/ternalO'5materialPmatematica O'5GraficasPenPelPesacioPtridimensional$docLei73*'QN4EsDR(A.3SGC,Lus, 7A5+CN5o4''Huz)lrTQNRJ9PB8fuT,Lb8m7b8$F61HFFO'Cd$aRJ )tt:00JJJ$ditutor$com0funciones0endiente"recta$)tml )tts:00es$scribd$com0doc0F'HDH'05BMA."E"*A"EC%ACTBN"E"*A"*TNEA" EC4A
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