GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETR TRIGONOMETRI I
+ #+ yang + sederhana 0+ 1"+dapat 1digambarkan + 12+ langsung "1+ "grafiknya $+ "3+dengan #++jalan ##+ Fungsi/Trigonometri mensubtitusikan harga-harga x dan y kemudian buat gambar. ( + 1 1,3" " 1,3" 1 +
-1
-1,3"
-""
-1,3"
#+
-1
+
Fungsi trigometri yang tidak sederhana, tidak dapat digambarkan langsung grafiknya. Untuk menggambarkan grafik fungsi ini ada beberapa syarat yang perlu dan cukup yaitu : 1. ederhanakan fungsi itu! ". Tentukan harga ekstrim #. Tentukan Tentukan titik potong kedua sumbu $. Tentukan Tentukan titik lainnya %emudian digambarkan selengkapnya. &ontoh : 1. 'ambarkan grafik ( ) sin x dalam inter*al + x #+
"
#
/
+
#+
+
0+
1"+
1+
12+
"1+
"$+
"3+
#++
##+
#+
(
+
+,
",2#
1
+,2
+,
+
-+,
-+,2
-1
-+,2
-+,
+
'ambar barkan gr grafik fik ( ) " sin x dal dalam inte nter*al *al + + x # #+
'amb 'ambar arka kan n graf grafik ik ( ) cos cos x dala dalam m inte inter* r*al al + + x #+ #+
1
Sb. Y
1/2√3 1/2 120° 150° 180° 210° 240° 270° 0
30°
60°
90°°
300° 330° 360° Sb. X
-1/2 -1/2√3 -1 $
'ambarkan grafik ( ) cos " x dalam inter*al + x #+
/ + #+ + 0+ 1"+ 1+ 12+ "1+ "$+ "3+ #++ ##+ #+ , ++ -0+ - 1"+-1 1 ( / 1 ++,2 #++ - + - 12++ "+1 ,++,2 "$+1 "3+
'amb 'a kan grafi fik k1 ( ) +" cos cos x-1dala dalam m i3 nter *all-+ + #+ ( mbar " arka 1,n3"gra -1,int "er*a " x-1,3# " + -1
/
+
#+
+
(
+
+, -+,1+,1
#++
##+
#+
+
1
1,3"
"
0+
1"+
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"$+
"3+
#++
##+
#+
+
-+,
+,
1
+,
-+,
-1
-+,
+,
1
Soal dan penyelesaiannya
1
•
'ambarkan grafik ( ) "sin4 x 5 sin x -# dalam inter*al + x #+ ( ) " sin"x 5 sinx-# Titik potong pada sumbu x, y ) + ( ) " sin"x 5 sinx-# + ) " sin "x 5 sinx-# 6"sinx - 17
6sinx5#7
"sinx 8 1 ) +
sinx5#)+
"sin )1
sinx)#
inx ) 9 / ) #+,1+ %oordinat 6#+,+761+,+7
•
Titik potong pada sumbu y, x ) + ( ) " sin"x 5 sinx-# ( ) " sin" +5 sin +-# ()# %oordinat 6+,-#7612+,-#76#+,-#7
•
( max, sin x ) 1 ( ) " sin"x 5 sinx-# ( ) " 617" 5 617-# ()$ %oordinat 60+,$7
•
( min, sinx ) -1 ( ) " sin"x 5 sinx-# ( ) " 6-17 " 5 6-17-# ( ) - %oordinat 6"3+,-7
•
%oordinat lain / ) +,1"+ sin x ) 9 ( ) " sin"x 5 sinx-# ( ) " 69
7" 5 69
7-#
( ) ",2 %oordinat 6+,".2761"+, ".27 / ) "1+,##+ sin x ) - 9 ( ) " sin"x 5 sinx-# ( ) " 6-97 " 5 6-97-#
( ) - %oordinat 6"1+,-76##+,-7 / ) "$+, #++ sin x ) 9 ( ) " sin"x 5 sinx-# ( ) " 6-9
7" 5 6-9
( ) " 6#$7 8 "
7-#
8#
() -,2 / + #+ + 0+ 1"+ %oordinat 6"$+, .276#++,.27 ( / ( "
1
",
-1,2
--
-1,2
1+
12+
"1+
"$+
"3+
#++
##+
#+
",
1
-","
-,"
-
-,"-
-","
1
1"+ 1"+ 1+ /+ +#+ #++ +0+ 0+ ",2# $,2+ (-# ",1 + ",#",2#$,2 $ -,0
12+ 1+ -# ",#
"1+ #+ 12+ "$+ "1+ "3+"$+ #++ "3+##+ #++ -",1 -,2# -,2#-,10 + -,+-# -",+ - -.,+..,+.
##+ -",+
'ambarkan grafik ( ) " sin "x 5 &os4 x - dalam inter*al + x #+
y ) "sin "x 5 cos "x ) " sin "x 5 61- sin " 7- ) " sin "x 5 sin " 751
#
'ambarkan grafik ( ) # cos x 5 3 sin x - / (
+ -#
#+ +,+0
+ 1,
0+ 1
1"+ -1,$
1+ -,+0
12+ "1+ -0 -1",+0
'ambarkan grafik ( ) " sin4 y 5 sin x cos x 5 1+ cos4 x -3,0 y ) "sin "x 5 sin"x cosx 5 1+ cos "x 8 3,0 ) " sin"x 5 61" sin "x7 5 1+61- sin "x 7 -3,0 ) " sin "x 8 2 sin"x- ",1
"$+ -1#,
"3+ -1#
#++ -1+,
##+ -,0
FUNGSI CYCLOMETRI Fungsi &yclometri merupakan in*ers balikan dari fungsi Trigonometri Fungsi Trigonomeri
Fungsi Cy!lomeri
( ) sin ;
; ) arc sin (
( ) cos ;
; ) arc cos (
( ) tag ;
; ) arc tag (
( ) cotg ;
; ) arc cotg (
( ) sec ;
; ) arc sec (
( ) cosec ;
; ) arc cosec (
=erhatikan gambar egitiga >?& berikut :
&
1
=
; ?
>
cotg )
sin ; ) # cos ;
)
#
cosec )
#
)
#
. $
tag
)
# #
#
#
# #
)
sec )
#
)
# #
Fungsi Cy!lomeri
; ) arc sin = ; ) arc cos
.
$
#
; ) arc tag
#
; ) arc cotg
; ) arc sec #
; ) arc cosec
#
Cono" #
1.
) arc cos 6-1"7. Tentukan fungsi trigonometri
". @itunglah a. &otg 6arc sin a 7 b. in 6arc tg b7
$a%a& #
1. ; ) arc cos 6-1"7
2
-1" ) cos ; ( ) cos ;
-1
( ) cos 1"+
sin ; ) -1" %
cos ; )
$
tag ; )
%
.
# #
cotg ; )
%%
sec ; ) -" cosec ; ) $
%
%
%$". a. cotg 6arc sin a7 misal : ; ) are sin a 1
sin ; ) a cotg 6arc sin a7 ) cotg a
. I$ I
) # b. sin
6arc tg b7
misal : A ) are tg b tg A ) b sin 6arc tg b7 ) sin A )
)
I$ -
b 1
#
'en(umla"an 'ada Fungsi Cy!lomeri
1. arc sin p 5 arc sin 6-p7 ) + ". arc cos p 5 arc cos 6-p7 ) #. arc cotg p 5 arc cotg 6-p7 ) $. arc sin p 5 arc cos p ) 9 . arc tg p 5 arc cotg p ) 9
$umla" dan Selisi" 'ada Fungsi Cy!lomeri
1. arc sin p - arc sin B ) arc sin Cp
. J$D
. J$-B
". arc sin p 5 arc sin B ) arc sin CpB-
. J$
. J$5 D $
#. arc cos p 8 arc cos B ) arc cos Cp
. J$-B
. J$-$D
$. arc cos p 5 arc cos B ) arc cos CpB-
. J$
. arc tg p 8 arc tg B ) arc tg #
. arc tg p 5 arc tg B ) arc tg
-
#
3. arc cotg p 5 arc cotg B ) arc tg 2. arc cotg p 8 arc cotg B ) arc tg
#
Sudu Rang)ap 'ada Cy!lomeri
1. " arc sin p ) arc sin 6"p " - 17 5 $ "
". " arc cos p ) arc cos 6"p - 17 #. " arc tg p ) arc tg 6
#75 $
$. " arc cotg p ) are cotg {
$
#7
.
$
. J$
Soal dan 'enyelesaiannya
1. ?uktikan a. Tan 6arc sin p7 )
#
?ukti :
1
p
in ; ) p
. J$ Tan 6arc sin p7 ) tan ; )
6terbukti7
#
#
b. Tan 6arc cos p7 ) ?ukti :
&os ; ) p
Tan 6arc cos p7 ) tan ; )
#
6terbukti7
".arc tan & )E F 5
GaHab : are tan &
4
%
sin ;
;
& %
cos ;
&
tag ;
%
'
'
cotg ; ) % &
sec ;
3
)
' & '
cosec ; )
%
#. in 6arc tan 9 7E.. GaHab : 1
)9
2
in 6arc tg 9 7 ) sin #
)
'
$. &os 6arc sin I 7 ) E.. GaHab :
)I
4 α
1
&os 6are sin I 7 ) cos &os
)
#' &
. Tan 6arc cotan "7)E.. GaHab :
)"
1 α
Tan 6arc tan "7 ) tan )9
2
. ?uktikanlah :
È 5 arc tan 3"$
" arc tan $# ) ?ukti :
" arc tan
&
) arc tan
-
%
) are tan
-
$
$
) arc tan 5 $&
$
) -arc tan
$&
&
" arc tan ) -arc tan % $
3. # arc tan & )
6terbukti7
$&
&&
- arc tan
##
%
?ukti : # arc tan & ) " are tan & 5 arc tan & %
%
%
) 5 6 arc tan 5 arc tan & 7 $
$&
%
) 5 arc tan 6 75
#
$
)
&& 7 5 arc tan {.
$
##
) - arc tan && ##
# arc tan & ) - arc tan && %
##
6terbukti7
2. @itunglah x dari persamaan #$
a. arc cos
#'
5 arc cos
) arc cos x
#
%
jaHab : are cos 6#$ #'
.
#% #
arc cos 6# " $$#
#"
arc cos
$$#
#"
arc cos
#$ $
.
.
.
#%
#&&
#
$'
.
#' $
!{ . $$'
{.
$
#
{
) arc cos x
{
#
) arc cos x
- &"
$$#
) arc cos x
$$#
#&"
arc cos
{ ) arc cos x
) arc cos x
$$#
jadi, x ) #&" $$#
5 arc sin % ) arc sin x
b. arc sin
'
jaHab : are sin 6& % %'
arc sin 6 $ $"'
.
.
.
. # #
&
#
!
%$
.
{.
'
$'
! 5 $ 7) arc cos x
{ 5$7 ) arc cos x
arc sin $ - # " 5 $"' $"'
) arc cos x $
arc cos - #%% 5
) arc cos x
$"' $
jadi, x ) .
$
c. arc tan
#'
5 arc tan
$#
#%%
$"'
) arc tan x
$
#
jaHab : arc tan 6
75
arcarc tantan # # & % $ $
arc tan - # 5 &%
$
jadi, x ) -
) arc tan x
) arc tan x ) arc tan x ) are tan x
#
$ #
5
&%
$
$
$
0. @itunglah : a. Tan 6arc tan # 5 arc tan # 7 $
%
GaHab : #
%
$
) arc tan 6 75 ) arc tan 5
$
) arc tan -1 5 ; ) 1#+ 5 0++ ; ) ""+
#
$
) tan 6arc tan # 5 arc tan #7 $
$
%
b. cos 6arc tan # 5 arc tan # 7 $
%
GaHab : #
%
) arc tan 6 75 ) arc tan 5
#
$
$
) arc tan -1 5
$
; ) 1#+ 5 0++ ; ) ""+
) cos 6arc tan # 5 arc tan #7 $
%
) cos ; )- # $
'
c. in 6arc tan
#$7 #%
8 are cos
%%
GaHab :
&os ; ) #$ #%
Tan ; ) ' #$
; ) arc tan
' #$
S
) sin 6arc tan
' %%
. S
#$
' 7
) sin 6arc tan
{ %
) sin 6arc tan
7
# #
) sin 6arc tg
'"
7
) sin 6arc tg %7 &
) sin ; )
% '
d. Tg 6arc tg # 5 arc cos % 7 $
&
GaHab :
Tg # ) ; $
&os ; ) $ '
; ) arc cos
$ '
) tg 6arc cos $ 5 arc cos %7 '
& $
) tg 6are cos 6 $ %
'
'&
) tg 6arc cos 6
&'
#
.
'
.
{# {7 .
!{ .
%$
&
{
) tg 6arc cos 6 ) tg arc cos
. { { 7"
&'
- $ ' &' &'
) tg 6arc cos % %' 7 &'
) tg 6;7 $
)
% %'
) ",$3 e. cotan 6arc tan # 5 arc tan #7 %
%
GaHab : ) &otan 6" arc tan #7 % #
) cotan 6arc tan
$
- 7 $
) cotan 6arc tan %- 7 $$ &
) cotan 6arc tan . 5 7
% $
+
+
) cotan 6-# 50+ 7 ) cotan #3+ )1,## #
#
$
$
1+. in 6arc cos 5 arc cos {.
{7
GaHab : #
#
$
$
) in 6arc cos 5 arc cos {.
{7
) sin 6;7 )+
jaHab : ) are tan
5 rc 5 arc tan " tg 6a #
$
7
$
-
#
#
#
) are tan
-
$
5 " 6arc tg 5 arc tan . 5 " 6arc tan
) are tan
#
'
) are tan
5 " 6arc tan . #"
) are tan
$
5 arc tan . 5 arc tan
) are tan
11.are tan
# #
-$
7 $
7
- -$ {
-
$
5 6arc tg # 5 " arc tan
7
$
jaHab : 5 " 6arc tg # 5 arc tan
) are tan
#
$
#
-
#
) are tan
-
$
5 " 6arc tg 5 arc tan . 5 " 6arc tan
) are tan
#
'
) are tan
5 " 6arc tan . #"
) are tan
5 arc tan .
$
5 arc tan
) are tan
1"." arc cos %
# #
-$
7 $
7 $
7
- -$ {
-
$
5 arc cotan # 5 arc cos #%
#%
) arc cos "
$'
5 arc cos $'
) 6arc cos
' #%
7 5 arc cotan
5 arc cos $'
# #%
) arc cos
'
' . #% $'
#%
) arc cos %' - #&& ' ) arc cos
# $'
#%
5 arc cos #
%$'
#
$'
'#
$'% 5
arc cos
%$'
8 { . ) arc cos C $'% # 8 %$' ' #
{ {${{{ . $'% {{ $ ${ 5 arc cotan { . # {${ %$' {'
) arc cos ) arc cos ) arc cos
&"&
#"'
&"
-
# $' #
#"' $' &$'
&"&
' "'
8
# $' #
(.
%$'{' # {
#" $ ' # $' #
1#. cos arc sin p )
. J$
misal : arc sin p ) ; sin ; ) p
p
cos ; ) jadi cos ; )
. J$ . J$
cos arc sin p )
. J$ . J$
1$. in arc cos p )
6terbukti7
. J$
. J$
Gadi
sin ; ) sin arc cos p )
. J$
1. Tg arc cos p )
1
#
. J$
6terbukti7
. J$ GaHab:
1
&os ; ) p #
Tg ; )
. J$
. J$
α
Gadi
p #
Tg ; )
J$
#
Tg arc cos p )
1. &os arc sin
.
. J$
6terbukti7
# %
GaHab :
3
%
1
#
α
&os arc sin # ) cos ;
2√2
%
) $ $
)/3
%
#%
13. Tg arc sin GaHab :
% in ; ) %
# % ); %
in ; )
#% %
Tg ; )
#%
Tg arc sin
% )
12.&os arc sin
#
$
GaHab :
) tg ; %
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3 α
$
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&os ; ) %
1
) % $
2
α