Universidad ECCI. Granados Vega, Ubaldo Alfonso. Grafos, Caminos y Trayectorias
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Grafos, Tipos Tipos de Grafos, caminos y trayectorias Granados Vega, Ubaldo Alfonso.
[email protected] Universidad Ecci Bogotá, Colombia Resumen — A través del presente escrito se pretende dar una breve explicación de lo que en el mundo de las ciencias de la computación y específicamente en la programación orientada a objetos representan los Grafos, como una estructura de datos no lineal, para la solución de problemas. Uno de los principales objetivos a los que se pretende llegar es poder identificar el camino más corto y óptimo a través del cual se pueden unir dos vértices y aplicar estas soluciones a requerimientos de la vida real, representando la conectividad y las relaciones que pueden existir entre objetos. Se espera que el lector sea capaz de asimilar y comprender las definiciones utilizadas. Palabras
Clave Aristas, — Aristas,
Caminos, Grafos, Trayectorias,
Vértices. Abstract Through this paper is to give a brief explanation of — Through what in the world of computer science and specifically in the POO represent the graphs, as a non linear structure data for troubles hooting. One of the main objectives which aims to reach is to identify the shortest and optimal path through which you can join two vertices and apply these solutions to real-life requirements, representing the connectivity and relationships that may exist between objects. It is hoped that the reader is able to assimilate and understand the definitions used.
2. ¿QUÉ SON LOS GRAFOS? Un grafo en el ámbito de las ciencias de la computación es una estructura de datos, en concreto un tipo abstracto de datos (TAD), que consiste en un conjunto de nodos (llamados vértices) y un conjunto de arcos (aristas) que establecen relaciones entre los nodos. El origen de la palabra grafo es griego y significa “trazar” y e l concepto de grafo TAD desciende directamente del concepto matemático de grafo. Informalmente se define como G = (V, E), siendo los elementos de V los vértices, y los elementos de E, las aristas (edges en inglés). Formalmente, un grafo, G, se define como un par ordenado, G = (V, E), donde V es un conjunto finito y E es un conjunto que consta de dos elementos de V. 1 El conjunto de nodos es {A, B, C, D, E, F, G} y el conjunto de aristas {(A, B), (A, D), (A, C), (B, E), (C, E), (E, F), y (F, G)} para el siguiente grafo: B Vértice
A
D
E
C
F
G
Keywords — Edges, Roads, Graphs, Paths, Vertices.
Arista
1. INTRODUCCIÓN En el mundo real existen diversos y numerosos problemas que se pueden solucionar por medio de la aplicación del concepto los grafos. Como ejemplo podemos tomar en consideración las redes eléctricas de una ciudad, la planificación de las labores que completan un proyecto, las redes de carreteras y el camino más corto entre dos puntos, los sistemas de telecomunicaciones, en fin; aquellos casos que resulte conveniente representarlos de forma gráfica, como un conjunto de puntos conectados entre sí de acuerdo a los requerimientos específicos del problema. En este artículo se podrá encontrar de la forma más aproximada posible, una definición de los grafos como tal, de sus funciones y propiedades, y se explicará y mostrarán los tipos de grafos existentes, y los caminos y trayectorias entre ellos.
Grafos, Caminos y Trayectorias T rayectorias
Fig1. Grafo
a.
Terminología.
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- Al número de nodos del grafo se le llama orden del grafo. - Un grafo nulo es un grafo de orden 0 (cero). - Dos nodos son adyacentes si hay un arco que los une. - En un grafo dirigido, si A es adyacente de B, no necesariamente B es adyacente de A - Camino es una secuencia de uno o mas arcos que conectan dos nodos. - Un grafo se denomina conectado cuando existe siempre un camino que une dos nodos cualesquiera y desconectado en caso contrario. - Un grafo es completo cuando cada nodo esta conectado con todos y cada uno de los nodos restantes. - El camino de un nodo así mismo se llama ciclo. - Un grafo sin ciclos es un árbol. - El entregado de un vértice indica el número de aristas que llegan a ese vértice.
Universidad ECCI. Granados Vega, Ubaldo Alfonso. Grafos, Caminos y Trayectorias - El fuera de grado de un vértice indica el número de aristas que salen de él. - Un grafo de N vértices o nodos es un árbol si cumple las siguientes condiciones: a) Tiene N -1 aristas. b) Existe una trayectoria entre cada par de vértices. c) Esta mínimamente conectado. - Un grafo esta etiquetado si sus arcos tiene valores asignados. Si este valor es numérico se dice que el grafo tiene peso. b.
Representación de Grafos.
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Los grafos se representan de las siguientes dos formas: - Forma Acotada o Secuencial: Se representa a través de una Matriz de Adyacencia, en la que se asocia cada fila y cada columna a cada nodo del grafo, siendo los elementos de la matriz la relación entre los mismos, tomando los valores de 1 si existe la arista o de 0 en caso contrario. Para el grafo de la figura 1, esta representación sería: M
A
B
C
D
E
F
G
A B C D E F G
0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0
- Forma no Acotada o Enlazada: Se representa a través de una Lista de Adyacencia, en la que se asocia cada nodo del grafo a una lista que contenga todos aquellos nodos que sean adyacentes a él. Para el grafo de la figura 1, esta representación sería: A B C D E F G
B E E
C
D
F G
3. ¿PARA QUÉ SIRVEN LOS GRAFOS? Como se ha comentado anteriormente los grafos son útiles para representar y resolver problemas de la vida real en los cuales es necesario conectar puntos entre sí de acuerdo a los requerimientos de un problema específico. Esto se puede aplicar a los problemas que aparecen en la logística, en la robótica, en la genética, en la sociología, en el diseño de redes, en el cálculo de rutas óptimas a través de la Teoría de los Grafos. 3
Grafos, Caminos y Trayectorias
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Gracias a la teoría de grafos se pueden resolver diversos problemas como por ejemplo la síntesis de circuitos secuenciales, contadores o sistemas de apertura. Se utiliza para diferentes áreas por ejemplo, Dibujo computacional, en toda las áreas de Ingeniería. Los grafos se utilizan también para modelar trayectos como el de una línea de autobús a través de las calles de una ciudad, en el que podemos obtener caminos óptimos para el trayecto aplicando diversos algoritmos como puede ser el algoritmo de Floyd. Para la administración de proyectos, utilizamos técnicas como PERT en las que se modelan los mismos utilizando grafos y optimizando los tiempos para concretar los mismos. La teoría de grafos también ha servido de inspiración para las ciencias sociales, en especial para desarrollar un concepto no metafórico de red social que sustituye los nodos por los actores sociales y verifica la posición, centralidad e importancia de cada actor dentro de la red. Esta medida permite cuantificar y abstraer relaciones complejas, de manera que la estructura social puede representarse gráficamente. Por ejemplo, una red social puede representar la estructura de poder dentro de una sociedad al identificar los vínculos (aristas), su dirección e intensidad y da idea de la manera en que el poder se transmite y a quiénes. Se emplea en problemas de control de producción, para proyectar redes de ordenadores, para diseñar módulos electrónicos modernos y proyectar sistemas físicos con parámetros localizados (mecánicos, acústicos y eléctricos). Se usa para la solución de problemas de genética y problemas de automatización de la proyección (SAPR). Apoyo matemático de los sistemas modernos para el procesamiento de la información. Acude en las investigaciones nucleares (técnica de diagramas de Feynman). Los grafos son importantes en el estudio de la biología y hábitat. El vértice representa un hábitat y las aristas (o "edges" en inglés) representa los senderos de los animales o las migraciones. Con esta información, los científicos pueden entender cómo esto puede cambiar o afectar a las especies en su hábitat. 4 4. PROPIEDADES DE LOS GRAFOS 5 - Adyacencia: dos aristas son adyacentes si tienen un vértice en común, y dos vértices son adyacentes si una arista los une. - Incidencia: una arista es incidente a un vértice si ésta lo une a otro. - Ponderación: corresponde a una función que a cada arista le asocia un valor (costo, peso, longitud, etc.), para aumentar la expresividad del modelo. Esto se usa mucho para problemas de optimización, como el del vendedor viajero o del camino más corto. - Etiquetado: distinción que se hace a los vértices y/o aristas mediante una marca que los hace unívocamente distinguibles del resto.
Universidad ECCI. Granados Vega, Ubaldo Alfonso. Grafos, Caminos y Trayectorias 5. TIPOS DE GRAFOS 5.1. Se dice que el grafo G = (V, E) es:
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- Cubo si sus vértices y aristas están relacionados como los de un cubo n-dimensional. Se denota por Qn al cubo asociado al cubo n-dimensional.
- Regular de grado n si todos sus vértices tienen grado n.
Fig2. Grafos regulares de grado 2. Fig7. Grafos de cubo.
- Bipartido si V=V1UV2 y cada arista de E une un vértice de V1 y otro de V2 Fig3. Grafos regulares de grado 3.
- Completo, si cada par de vértices está unido por una arista. Se denota por Kn al grafo completo de n vértices. Fig8. Grafos bipartidos.
- Bipartido completo si V=V1UV2 y dos vértices de V están unidos por una arista de E si y solo si un vértice está en V1 y el otro en V2. Se denota por Kr,s al grafo bipartido completo donde V1 tiene r vértices y V2 tiene s vértices.
Fig4. Grafos completos.
- Ciclo, si V = {v1, v2, . . . vn}, n³> 3, y E = {(v1, v2), (v2, v3), . . . , (vn, v1)}. Se denota por Cn al ciclo de n vértices. Fig9. Grafos bipartidos completos.
Fig5. Grafos de ciclo.
- Rueda si V = {v0, v1, v2, . . . vn}, n n> 3, y E = {(v1, v2), (v2, v3), . . . , (vn, v1), {(v1, v0), (v2, v0), . . . , (vn, v0) }. Se denota por Wn a la rueda de n+1 vértices.
5.2. Simple: es aquel que acepta una sola arista uniendo dos vértices cualesquiera. Esto es equivalente a decir que una arista cualquiera es la única que une dos vértices específicos. Es la definición estándar de un grafo. 7 5.3. Multígrafo o pseudografo: son grafos que aceptan más de una arista entre dos vértices. Estas aristas se llaman múltiples o lazos (loops en inglés). Los grafos simples son una subclase de esta categoría de grafos. También se les llama grafos no-dirigido. 7 5.4. Dirigido: Son grafos en los cuales se ha añadido una orientación a las aristas, representada gráficamente por una flecha. 7
Fig6. Grafos de rueda.
Grafos, Caminos y Trayectorias
Universidad ECCI. Granados Vega, Ubaldo Alfonso. Grafos, Caminos y Trayectorias 5.5. Etiquetado: Grafos en los cuales se ha añadido un peso a las aristas (número entero generalmente) o un etiquetado a los vértices. 7 5.6. Aleatorio: Grafo cuyas aristas están asociadas a una probabilidad. 7 5.7. Hipergrafo: Grafos en los cuales las aristas tienen más de dos extremos, es decir, las aristas son incidentes a 3 o más vértices. 7 5.8. Grafo infinito: Grafos con conjunto de vértices y aristas de cardinal infinito. 7 6. CAMINOS O TRAYECTORIAS Sean Vi, y Vj dos vértices de un grafo, se dice que hay un camino o trayectoria en G de Vi a Vj. - Vi y Vj son los extremos del grafo. - El número de aristas en dicho camino se le llama Longitud de camino o trayectoria. 6.1. Camino o Trayectoria Trivial: Sean Vi y Vj dos vértices de un grafo G. Una trayectoria o camino de Vi a Vj es una sucesión alternada de vértices y aristas de G que comienza en Vi y termina en Vj. Sí Vi = Vj entonces la trayectoria es trivial, sin aristas y se denota por Vi ó Vj. 8 6.2. Camino o Trayectoria Simple: Sí una trayectoria o camino de Vi a Vj no tiene vértices repetidos, se llama trayectoria simple. Un circuito o ciclo es una trayectoria o camino que empieza y termina en el mismo vértice y no tiene aristas repetidas. El circuito se llamará simple si no tiene aristas ni vértices repetidos, excepto el primero y el último. 8 REFERENCIAS
[1] http://es.wikipedia.org/wiki/Grafo_%28estructura_de_datos%29 .
[2] http://www.teclaredo.edu.mx/takeyas/Apuntes/Estructura%20de%20Dat os/Apuntes/grafos/Apuntes_Grafos.pdf . [3] https://www.miriadax.net/web/aplicacion_grafos. [4] http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_grafos . [5] http://es.wikipedia.org/wiki/Grafo [6] http://docencia.udea.edu.co/regionalizacion/teoriaderedes/tiposu1.html [7] http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_grafos [8] http://huitoto.udea.edu.co/SistemasDiscretos/contenido/trayecCiclos.htm l
Grafos, Caminos y Trayectorias
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