MAKALAH GRUP DAN SUB GRUP
Disusunoleh : Ahmad Isnaeni Prasetyo Muhammad Nur Junaidi Selamet Andika Putra
121003059 121003134 121003175
SEKOLAH TINGGI ILMU KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA (STKIP PGRI) LUMAJANG LUMAJANG
KATA PENGANTAR Puji Syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, yang telah melimpahkan rahmat, taufiq, hidayah serta inayah-Nya kepada kami, sehingga kami masih diberikan kesempatan untuk dapat menyelesaikan tugas makalah Mata Kuliah Aljabar I dengan materi “Grup dan Sub Grup” ini dengan baik dan tepat waktu. Dengan harapan semoga dengan adanya pembuatan makalah ini dapat meningkatkan bakat dan kreatifitas penyusun sebagai calon guru dalam bidang tulis menulis. Makalah ini membahas tentang grup dan subgrup beserta sifat-sifatnya dan macam-macam grup dan sub grup. Penulis yakin, tanpa bantuan, motivasi, bimbingan serta petunjuk semua pihak, tentunya penulisan makalah ini banyak mengalami hambatan-hambatan. Dan akhirnya penulisan tugas makalah ini selesai dalam waktu yang singkat dan tepat waktu. Oleh karena itu, tidak berlebihan jika di sampaikan terima kasih dan penghargaan setinggi-tingginya kepada segenap pihak yang mendukung baik secara materil maupun nonmateril. Akhirnya hanya kepada Tuhan Yang Maha Esa, penulis mohon taufiq dan hidayah-Nya. Penulis menyadari bahwa makalah ini masih belum sempurna dan banyak kekurangan. Semoga karya tulis ilmiah mahasiswa ini bisa bermanfaat bagi pembaca umumnya dan bagi penulis khususnya.
Penulis,
BAB I PENDAHULUAN A. Latar belakang Makalah ini berisi uraian tentang grup dan sub grup. Untuk memahami materi ini anda harus sudah menguasai sifat-sifat operasi biner dan beberapa struktur aljabar sederhana, yaitu grupoida, semigrup, dan monoida. Pembahasan dalam makalah ini di mulai dengan pengertian grup, sifat – sifat grup, grup abstrak, dan bujur sangkar latin. Pembahasan di lanjutkan dengan subgrup yang meliputi pengertian kompleks, perkalian kompleks, pengertian subgrup dan sifat – sifat subgrup. B. Rumusan Masalah a. Apa pengertian dari grup ? b. Apa saja sifat – sifat dari grup ? c. Apa pengertian dari subgrup ? d. Apa saja sifat - sifat dari subgrup ? C. Tujuan a. Memahami struktur aljabar grup dan mampu menggunakan dalam beberapa masalah matematika. b. Memahami konsep subgrup dan mampu menggunakan dalam grup tertentu sebagai penjabaran dari tujuan di atas. c. Membedakan struktur yang merupakan grup dan bukan grup. d. Menggunakan sifat – sifat grup untuk menyelesaikan soal. e. Menentukan subgrup dari grup tertentu . f. Menggunakan sifat-sifat subgrup untuk menyelesaikan soal.
BAB II PEMBAHASAN A. GRUP
Grup adalah struktur aljabar dengan satu operasi biner. Semigrup yaitu suatu struktur aljabar dengan satu operasi biner (grupoid terhadap penjumlahan atau perkalian) yang memiliki prasyarat tertutup dan asosiatif. Sedangkan monoid adalah suatu struktur aljabar dengan satu operasi biner (semigrup terhadap penjumlahan atau perkalian) yang setiap anggotanya memiliki unsur satuan atau identitas. Dalam bab ini, akan dipelajari definisi atau syarat-syarat dasar dari suatu Grup. Definisi 1.1: Suatu monoid (G,*) dikatakan suatu Grup jika setiap anggotanya memiliki unsur balikan atau invers, yaitu aGa =e
-1
G sehingga a * a
-1
=a
-1
*a
Dengan kata lain, dari definisi tersebut dapat kita ketahui syart-syarat dari suatu Grup yaitu memenuhi sifat monoid dan setiap anggotanya memiliki unsur balikan atau invers. Definisi 1.2: Grupoid (G,*) dikatakan Grup jika memenuhi syart-syarat: 1. Tertutup Misalkan a dan b adalah anggota G, maka a dan b tertutup apabila a * b G. 2. Asosiatif Misalkan a, b, c G, maka (a * b) * c = a * (b * c). 3. Adanya unsur satuan atau identitas Misalkan a G, Maka a * e = e * a = a. 4. Adanya unsur balikan atau invers Misalkan a G, Maka a * a-1 = a-1 * a = e
Assosiatif
Tertutup
Sifat –
GRUPOID
SEMIGRUP
Assosiatif
Identitas
Identitas
MONOID
Sifat Grup Ada
Assosiatif Identitas
beberapa
Invers
Invers Invers
GRUP
dari Grup yang akan dijelaskan dalam teorema berikut ini: Sifat 1 Misalkan (G, . ) adalah suatu Grup, maka: a. Jika a G, maka (a-1)-1 = a b. Jika a, b G, maka (ab) -1 = b-1 a-1 Bukti: a. dari sifat unsur satuan atau identitas, diketahui a-1 . a = e = a . a-1, maka dapat dikatakan bahwa a unsur balikan dari a-1. Dengan sifat ketunggalan balikan, didapat (a-1) -1 = a b. (ab) (b-1a-1) = ((ab) b-1) a-1 = (a (bb-1)) a-1 = (ae) a-1 = aa-1 = e Dengan cara yang sama didapat: (b-1a-1) (ab) = b-1 (a-1(ab)) = b-1 (a-1(ab)) = b-1 (eb) = b-1 b = e
Sifat 2 Misalkan (G, + ) adalah suatu Grup, maka: a. Jika a G, maka - ( -a ) = a b. Jika a, b a G, maka – (a + b ) = (-b) + (-a)
Sifat 3 Misalkan (G, . ) adalah suatu grup dan a, b, x G, maka: a. Jika xa = xb, maka a = b (penghapusan kiri) b. Jika ax = bx, maka a = b (penghapusan kanan)
sifat
Bukti: a. Misalkan xa = xb Maka: x-1 (xa) = x-1 (xb) (x-1x) a = (x-1 x) b ea = eb sehingga, a
= b (penghapusan kiri)
b. Misalkan ax = bx Maka: (ax) x-1
= (bx) x-1
a (x-1x)
= b (x-1x)
ae
= be
sehingga, a
=
b (penghapusan kanan)
Sifat 4 (Hukum Penghapusan):
Misalkan (G, + ) adalah suatu Grup dan a, b, x G, maka: a. Jika x + a = x + b, maka a = b (penghapusan kiri) b. Jika a + x = b + x, maka a = b (penhapusan kanan) Bila suatu Grup memenuhi sifat komutatif, dimana a * b = b * a, maka Grup tersebut dinamakan Grup komutatif atau Grup Abelian. Contoh soal ! Misal G adalah grup. Tunjukkan a.e = e Penyelesaian : a,b G
G
a.
G
b.
G
e = b. bukti : a.e = e
a.
a.
.e = e
(b.
)=e
(e) (b. )=e (e)(e) = e . B. SUB GRUP Jika G adalah grup dengan operasi biner ∗, ditulis (G, ∗), dan H adalah himpunan bagian dari G dengan H≠ ψ , maka H disebut subgrup dari G jika H dengan operasi ∗ juga merupakan grup. Secara harfiah, subgroup diartikan sebagai grup bagian yang mempunyai sifat-sifat dari Grup. Contoh: H = {0,2}, (H, +4) merupakan subgrup dari (Z4,+4). Adapun definisinya adalah sebagai berikut: Definisi 2.1: Misalkan (G,*) adalah suatu Grup dan H G. (H,*) dikatakan Subgrup dari (G,*), jika (H,*) adalah suatu Grup terhadap operasi yang ada dalam (G,*). Dari definisi tersebut dapat diartikan bahwa untuk membuktikan bahwa (H,*) adalah Subgrup dari Grup (G,*), harus melalui langkah-langkah sebagai berikut : 1. Harus ditunjukan bahwa H G 2. Harus ditunjukkan bahwa (H, *) merupakan suatu Grup. Sifat-sifat subgrup: Sifat 1 Misal G sebuah grup dan H adalah subgrupnya, maka: a. Jika eG identitas G dan eH identitas H maka eG = eH. b. Jika h1; h2 unsur di H maka h1h2 2 H. 1 c. Jika h 2 H maka h 2 H. Bukti: Pada teorema ini diketahui bahwa H adalah subgrup dan menurut definisi bahwa H merupakan grup. Dengan demikian semua persyaratan grup juga terpenuhi yaitu: (0) tertutup, (i) asosiatif, (ii) adanya unsur identitas di H yaitu e H dan (iii) setiap unsur di H memiliki invers. Dua dari tiga kesimpulan dalam teorema sudah terbukti dari defnisi yaitu point b
yang merupakan ketertutupan dan point c tentang eksistensi invers untuk setiap unsur. Sifat 2 Diketahui H himpunan bagian dari grup G. Jika: a. identitas G juga identitas H b. berlaku sifat tertutup, h1; h2 di H maka h1h2 2 H, c. setiap unsur di H memiliki invers, maka H adalah subgrup dari G. Sifat 3 Misal G sebuah grup dan H adalah himpunan bagian tak kosong dari G. Jika H adalah subgrup dari G maka gh-1 H untuk setiap g, h di H. Sifat 4 Misal G sebuah grup dan H adalah himpunan bagian tak kosong dari G. Jika gh-1 H untuk setiap g, h di H maka H adalah subgrup dari G. Teorema-teorema tersebut dapat digunakan untuk membuktikan bahwa suatu himpunan merupakan subgrup dari himpunan yang lain dengan operasi biner tertentu Contoh soal ! Jika H dan K subgrup-subgrup dari G, tunjukkan bahwa H iris K juga merupakan subgrup dari G. Jawab :
H iris K tak kosong sebab ada e elemen H dan e elemen K sehingga e elemen H iris K.
Ambil sebarang a,b elemen H iris K. Akan ditunjukan ab elemen H iris K. Perhatikan bahwa : a,b elemen H iris K , maka a,b elemen H dan a,b elemen K. Kerana H dan K grup, maka ab elemen H dan ab elemen K. Ini menunjukan bahwa ab elemen H iris K.
Ambil sebarang a elemen H iris K. Adit invers dari a elemen H iris K. Perhatikan bahwa : a elemen H iris K , maka a elemen H dan a elemen K. Karena H dan K grup, maka invers dari a elemen H dan elemen K. Karena itu invers dari a elemen H iris K. Ini berarti H iris K subgrup dari G.
C. ORDER GRUP Misalkan G adalah suatu Grup dan a Î G, a merupakan unsur atau anggota atau elemen dari Grup. Unsur dari grup ini dapat membentuk atau
membangun suatu Subgrup, jumlah dari unsur suatu Grup atau Subgrup tersebut disebut orde. Definisi 3.1 : Misalkan (G,*) adalah suatu Grup. Banyaknya unsur-unsur dari Grup (G,*) disebut orde dari Grup (G,*), dilambangkan dengan |G|. (G,*) disebut Grup hingga bila |G| terhingga (finite) dan disebut Grup tak hingga bila |G| tak hingga. Definisi 3.2 : Orde dari suatu unsur a dalam suatu Grup (G,*) adalah bilangan bulat positif terkecil n, sedemikian hingga an = e (e = 1, untuk perkalian) dan na = e (e = 0, untuk penjumlahan). Bila tidak ada bilangan seperti n tersebut, maka orde dari unsur tersebut tak hingga. Contoh soal ! Tentukan Subgrup dari Grup (Z4,+) dan tentukan orde dari masing-masing Subgrup. Penyelesaian : Grup Z4 = {0, 1, 2, 3}, orde dari Grup |Z4| = 4. Subgrup dari unsur-unsur Z4 adalah : Misal n = 0, 1, 2, 3 dan Ha = {na, n Î Z4) a=0 H0 = {0} sehingga |H0| = 1 a = 1, H1 = {1, 2, 3, 0} sehingga |H1| = 4 a = 2, H2 = {2, 0} sehingga |H2| = 2 a = 3, H3 = {3, 2, 1, 0} sehingga |H3| = 4 D. HOMOMORFISME GRUP Misalkan G dan H adalah grup dan f : G → H adalah suatu fungsi. Fungsi f dinamakan suatu homomorpisma grup bila f (ab) = f (a)f (b) untuk
semua a, b G. Suatu homomorpisme grup yang bijektif dinamakan isomorpisma grup dan G isomorpik dengan H ditulis G H. Bila f suatu homomorpisma grup, misalkan Ker(f ) = {g G | f (g) = eH} Dan Im(f ) = {h ∈ H | h = f (g), untuk beberapa g ∈ G}. Ker(f ) dinamakan kernel dari homomorpisma f dan Im(f ) dinamakan image dari f . Sifat homomorpisme Misalkan G dan H adalah grup dan f : G → H adalah suatu homomorpisma grup, maka Ker(f ) subgrup dari G dan Im(f ) subgrup dari H. Bukti : Perhatikan bahwa f (eG ) = f (eG eG ) = f (eG )f (eG ), gunakan kanselasi di H didapat f (eG ) = eH. Jadi e
H = f (eG ) = f (aa−1) = f (a)f (a−1)
untuk semua a G. Dengan demikian f (a−1) = f (a)−1 untuk semua a G. Selanjutnya misalkan a, b Ker(f ). Maka f (ab−1) = f (a)f (b−1) = f (a)f (b)−1 = eH eH = eH. Jadi ab−1 Ker(f ) dan Ker(f ) adalah subgrup dari G. Dengan cara serupa, bila f (a), f (b) Im(f ), maka f (a)f (b)−1 = f (ab−1) Im(f ). Jadi Im(f ) adalah subgrup dari H. E. ISOMORFISME GRUP Definisi 1 : Misalkan f : G → H suatu homomorpisma grup dengan K = Ker(f ). Maka G/K Im(f ). Bukti :Bukti Difinisikan suatu fungsi ֿf : G/K → Im(f ) dengan f (aK) = f (a). Fungsi ini well-defined, sebab aK = bK bila dan hanya bila a−1b K yang berarti f (a−1b) = eH atau f (a) = f (b). Juga ¯f ((aK)(bK)) = ¯f (abK) = f (ab) = f (a)f (b) = ¯f (aK)¯f (bK),
jadi ¯f suatu homomorpisma grup dan ¯f satu-satu sebab bila aK Ker(¯f ), maka ¯f (aK) = f (a) = eH. Jadi a K, dengan dikian aK = K. hal ini menunjukkan Ker(¯f ) = K yang mana K adalah elemen identitas di G/K. Jadi ¯f satu-satu, dengan demikian ¯f adalah suatu isomorpisma grup. Jadi G/K Im(f ). Definisi 2 :
Misalkan H, K adalah subgrup dari G. Bila H atau K adalah subgrup normal di G, maka HK adalah suatu subgrup dari G.
Bukti : Misalkan K ⊳ G, maka aK = Ka untuk semua a G. Kususnya, hK = Kh untuk semua h H ⊂ G. Jadi HK = KH, oleh karena itu HK adalah suatu subgrup dari G.ma Isomorpisma Kedua
Misalkan H, N subgrup dari G dengan N ⊳ G, maka H/(H ∩ N) HN/N.
Bukti : Misalkan : G → G/N adalah pemetaan natural dan 0 adalah pembatasan dari pada H. Maka 0 adalah suatu homomorpisma dengan Ker0) = H ∩ N. Jadi H/(H ∩ N) = H/Ker(0) Im(0). Tetapi image dari 0 adalah himpunan dari semua koset dari N yang mempunyai representasi di H. Maka dari itu Im(0) = HN/N. Definisi 3 : Misalkan H ⊳ G,N ⊳ G dan N ⊆ H, maka G/H (G/N)/(H/N). Bukti : Difinisikan suatu fungsi f : G/N → G/H dengan f (aN) = aH untuk setiap aN G/N. Dapat ditunjukkan bahwa difinisi ini well-defined dan suatu homomorpisma grup. Maka Ker(f ) = {aN | aH = H} = {aN | a H} = H/N. Homomorpisma f adalah surjektif, maka Imf = G/H. Dengan menggunakan definisi isomorphisma pertama didapat : G/H (G/N)/(H/N). F. SUBGRUP NORMAL DAN GRUP FAKTOR 1. Subgrup Normal
Misalkan G grup, H subgrup dari G. H dinamakan subgrup normal apabila aH=Ha untuk setiap a G. Contoh : M={(aij) | aij R, det(aij)=1} merupakan subgrup normal dari [Mn*(R),.] Untuk menunjukkan suatu subgrup suatu subgrup normalatau tidak, dapat digunakan ekivalensi berikut : Misalkan G grup, H subgrup dari G. Ketiga pernyataan berikut ekivalen : i.
Ghg-1untuk setiap gG, hH
ii.
Ghg-1untuk setiap gG
iii.
gH=Hg untuk setiap gG
Bukti : 2. Grup Faktor Jurusan Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Bukti
