GRUP

Struktur Aljabar

Grup Oleh: Widiawati Definisi dan Contoh Grup

Definisi:

(Operasi ). ). Misalkan G  adalah sebuah himpunan. A himpunan.  A   operasi biner pada G Operasi B in er  merupakan sebuah fungsi yang menunjukkan setiap pasangan terurut dari elemen G suatu elemen G.

Definisi:

(Grup  ). Misalkan G sebuah himpunan tidak kosong bersama dengan operasi biner ). (biasanya disebut perkalian) yang menunjukkan setiap pasangan terurut (a (a, b) dari G suatu elemen dalam G ditandai oleh ab. ab. Kita mengatakan G adalah sebuah grup di bawah operasi ini jika mengikuti 3 sifat yang harus dipenuhi. 1. Assosiatif. Operasi tersebut assosiatif; yakni, (ab ( ab))b = a(bc) bc) untuk semua a, b, c, dalam G. 2. Identitas. Ada suatu elemen e  (disebut identitas) dalam G, sehingga ae = ae = ea = ea = a untuk semua a dalam G. 3. Invers. Untuk setiap elemen a dalam G, ada elemen b dalam G (disebut invers dari a) sehingga ab = ab = ba = ba = e.

Sebuah grup adalah himpunan bersama dengan operasi assosiatif sehingga ada identitas, setiap elemen mempunyai invers dan ada pasangan dari elemen-elemen dapat digabungkan tanpa keluar himpunan. Kondisi ini disebut tertutup. Penting untuk menguji tertutup ketika pengujian group. Catatan bahwa jika a  adalah suatu invers dari b, maka b adalah invers dari a. Jika sebuah group mempunyai sifat bahwa ab = ba  ba  untuk setiap pasangan elemen a  dan b, kita sebut Grup Abelian. Abelian. Suatu group bukan Abelian jika ada  beberapa pasang elemen a dan b yang mana ab

ba. ba.

Struktur Aljabar Sifat-sifat Sederhana dalam Grup

Dalam sebarang group berlaku sifat-sifat berikut: 1. Hukum kanselasi kiri : Jika ax = ay maka ay maka x  x = y 2. Hukum kanselasi kanan : Jika xa Jika xa = ya maka ya maka x  x = y 3. Anggota identitas itu tunggal yaitu jika e dn

e’  elemen   elemen

G yang memenuhi hukum

identitas maka e = e’  4. Invers dari sebarang anggota G akan tunggal yaitu jika a dan b merupakan invers dari x dari x maka  maka a = b  – 1

 – 1  – 1

5. (ab) ab) = b a Bukti :

1. Diberikan ax = ay.  – 1

Karena G grup dan a G  maka terdapat a

 – 1

sehingga aa

 – 1

= a a = e  dengan e

identitas. Akibatnya:  – 1

 – 1

a (ax) ax) = a (ay) ay) dan dengan menggunakan hukum assosiatif didapat:  – 1

 – 1

(a a) x =  x = (a (a a)y dan dengan hukum invers didapat: ex = ey Akhirnya dengan hukum identitas  x = y 2. Analog dengan 1. 3. Karena e suatu anggota identitas maka ee’ = e’ . Pada sisi lain ee’ = e, sehingga ee’ = e’ = e. 4. Karena a dan b merupakan invers x invers x maka  maka berlaku xa berlaku xa = e dan xb dan xb = e. e. Karena anggota identitas itu tunggal maka xa maka xa = e = xb. xb. Dengan menggunakan hukum kanselasi kiri maka a = b. b. 5. Karena  – 1  – 1

 – 1

 – 1

 – 1

 – 1

ab.b a = a( a(bb )a = aea = aa = e  – 1  – 1

 – 1

 – 1

 – 1

 – 1

 – 1

 – 1  – 1

dan b a .ab = b (a a)b = b eb = b b = e maka (ab (ab)) = b a