glava 4 ________________________________________________________ _____ GUBICI SILE PRETHODNOG NAPREZAWA
U procesu uno{ewa sile prethodnog naprezawa u betonski element, javqaju se razli~iti otpori koji smawuju silu prethodnog naprezawa u celini, ili samo na pojedinim delovima du` trase kablova. Isto tako, nakon preno{ewa sile prethodnog naprezawa na betonski element i zakliwavawa kablova za prethodno naprezawe, javqaju se naknadne deformacije elementa usled ~ega (zbog zajedni~ke deformacije) dolazi do promene du`ine kablova, {to o pet dovodi do promene sile u wima. Iz tih razloga sila prethodnog naprezawa naj~e{}e nije konstantna du` celog kabla, ve} wena veli~ina varira od preseka do preseka. Generalno se promene sile prethodnog naprezawa du` trase kablova ili u toku vremena nazivaju gubici sile prethodnog sile prethodnog naprezawa, s obzirom da te promene u najve}em broju slu~ajeva smawuju silu prethodnog naprezawa.
4. 1 UZROCI I VRSTE GUBITAKA Promena (pad) sile prethodnog naprezawa mo`e nastati odmah u toku procesa uno{ewa sile prethodnog naprezawa u betonski element, ili kasnije, u toku eksploatacije konstrukcije. Prvi nastaju usled razli~itih otpora realizovawu izdu`ewa kablova pri wihovom zatezawu i trenutnih gubitaka postignutog izdu`ewa na presama prilikom izvr{ewa ukotvqavawa, a drugi nastaju usled razli~itih vremenskih deformacija betona i ~elika u toku vremena.
2
Vrste pojedinih gubitaka zavise od na~ina prethodnog naprezawa (na primer, naknadno prethodno naprezawe i prethodno naprezawe na stazi), te se neki od wih ne javqaju obavezno u svim slu~ajevima. Isto tako, pojedini gubici zavise i od sistema i vrste opreme za prethodno naprezawe, ili se za neke sisteme uop{te ne javqaju. Generalno posmatrano, gubici sile prethodnog naprezawa nastaju kao posledica slede}ih naj~e{}ih uzroka: 1. Trewe. Trewe. Gubici usled trewa javqaju se pri zatezawu kablova presama i nastaju kao posledica razli~itih otpora realizovawu elasti~nog izdu`ewa kablova. Predstavwaju razliku sila (napona) na kraju kabla uhva}enog presom za zatezawe i sila (napona) u presecima du` trase kabla.
2. Ankerovawe .Gubiciusledklizawauankernojkotvi(uvla~ewekabla, .Gubiciusledklizawauankernojkotvi(uvla~ewekabla, odno odnosn sno o klin klina) a) javq javqaj aju u se u mnog mnogim im tipo tipovi vima ma kotv kotve e sa klin klinov ovim ima a i nast nasta aju u momen omenttu zakliw liwavaw avawa, a, t.j. u mom moment entu pre preno{e no{ew wa sile ile zatezawakablasapresenakotvu. 3. Elasti~no skra}ewe. naprezawa skra}ewe. U momentu nano{ewa sile prethodnog naprezawa (u wenom punom ili delimi~nom iznosu) na betonski element, dolazi do wegovog skra}ewa usled nanetih napona pritiska, a zajedno sa betonskim elementom i do skra}ewa prethodno ve} ankerovanih kablova, {to dovodi do pada sile zatezawa u wima, odnosno generalno do gubitaka rezultantne sile u kablovima. 4. Skupqawe betona. betona. Skupqawe betona dovodi do smawewa du`ine prethodno napregnutih elemenata u toku vremena, a zajedno sa tim i do smawewa du`ine ankerovanih kablova (ta~nije, do smawewa veli~ina izdu`ewa kablova postignutih prilikom wihovog zatezawa), {to izaziva pad napona, odnosno pad sile u kablovima. 5. Te~ewe betona. betona. Te~ewe betona izazvano izazvano naponima pritiska, generalno generalno tako|e dovodi do pove}awa dilatacija skra}ewa u toku vremena i op{teg smawewa du`ine elementa (sli~no skupqawu), a time i do pada napona, odnosno pada sile u ankerovanim kablovima. 6. Relaksacija (ili te~ewe) ~elika kablova. kablova. Relaksacija napona zatezawa u ~eliku za prethodno naprezawe, u uslovima kada se ankerovawem kablova prakti~no zadr`ava wihova konstantna du`ina (postignuto izdu`ewe), dovodi do pada napona, a time i do smawewa sile zatezawa u kablovima. 7. Ostali faktori . U posebnim slu~ajevima i ostali faktori, kao {to su savla|ivawe otpora le`i{ta greda, suprotstavqawe drugih vezanih susednih elemenata konstrukcije (naro~ito kod ramovskih sistema), temperaturni
3
efekti i sli~no, mogu dovesti do gubitaka sile prethodnog naprezawa, o ~emu treba voditi ra~una u svakom konkretnom slu~aju. Pojedini od gore navedenih gubitaka sile prethodnog naprezawa nastaju samostalno, ali ve}ina od wih mogu da se javqaju simultano sa nekim drugim gubicima. Ako promenu sile prethodnog naprezawa naprezawa ozna~imo kao gubitak (pad) sile, sile , onda *) se sila prethodnog naprezawa u preseku na udaqewu x od po~etka kabla , u trenutku vremena t, mo`e izrazit i kao: Pm,t Po P ( x , t )
(4.1) gde je: P o
P ( x , t )
- po~etna sila prethodnog naprezawa na aktivnom kraju kabla (na presi) neposredno nakon zatezawa; zatezawa; - ukupni gubici sile prethodnog naprezawa naprezawa u posmatranom preseku na udaqewu x od po~etka kabla, u trenutku vremena t .
Re}i ne{to o ternutnim t ernutnim i vremenskim gubicima 4. 2 UKUPNI GUBICI SILE PRETHODNOG NAPREZAWA NAPREZAWA U ELEMENTIMA SA PRETHODNIM ZATEZAWEM KABLOVA (NA STAZI) Elementi prethodno napregnuti na stazi razlikuju se od elemenata koji se naknadno prethodno napre`u, pre svega po tome {to su kablovi koji se zate`u na stazi zajedni~ki za sve elemente na stazi i tek nakon isecawa krajeva, odnosno preno{ewa (transfera) sile prethodnog naprezawa na elemente, istorija d oga|awa oga|awa i promena mo`e biti razli~ita za svaki element pojedina~no. Prema tome, gubici sile prethodnog naprezawa moraju se odvojeno posmatrati pre preno{ewa (transfera) sile prethodnog naprezawa na elemente i posle toga.
4.2.1 Gubici sile prethodnog naprezawa pre preno{ewa (transfera) Za razliku od naknadnog prethodnog naprezawa koje se mo`e obavqati u vi{e faza (v. v. gl. 1. ? - fazno prethodno naprezawe), prethodno zatezawe kablova na stazi
*)
Udaqewe x se meri od kraja elementa na kome se nalazi aktivna kotva, odnosno sa koga se vr{i zatezawe kabla presom.
4
obavqa se prakti~no odjednom za sve kablove *), odnosno pre betonirawa elemenata svi kablovi moraju biti zategnuti. Isto tako isecawe krajeva kablova vr{i se prakti~no odjednom za sve kablove. Na osnovu toga, prora~un sila u kablovima mo`e se sprovoditi sa rezultantnim kablom svih kablova, ili pojedine grupe kablova (na primer, grupa kablova u flan{ama i u rebru, ili grupa kablova u "zategnutoj" i u "pritisnutoj" zoni), umesto sa pojedina~nim kablovima. Pri tome se mora voditi ra~una o mogu}im specifi~nostima u pojedinim konkretnim slu~ajevima (na primer o mogu}em namernom odsustvu adhezije pri krajevima pojedinih kablova, i sl.) U elementu u kome su kablovi prethodno zategnuti (element prethodno napregnut na stazi), ukupni gubici sile prethodnog naprezawa rezultantnog kabla u posmatranom preseku na udaqewu x od po~etka kabla *) , u trenutku neposredno pred preno{ewe (transfer) sile, iznose: Po ( x )
Pir P sl P ( x )
(4.2) gde je: P ir
- kratkotrajni pad sile zatezawa kabla usled relaksacije, u periodu vremena od ankerovawa do momenta preno{ewa (transfera) sile na betonske elemente;
P sl
- gubitak sile prethodnog naprezawa usled klizawa u ankernoj kotvi (uvla~ewa kabla), ukoliko postoji (zavisno od sistema kotve);
P ( x )
- gubitak sile prethodnog naprezawa usled trewa, od po~etka kabla do preseka na udaqewu , koji eventualno treba da se uzme u obzir za elemente sa poligonalnom trasom kablova.
Kratkotrajni pad sile zatezawa kabla usled relaksacije, u periodu vremena od ankerovawa do momenta preno{ewa (transfera) sile na betonske elemente treba prora~unati na osnovu propratnog sertifikata proizvo|a~a uz isporuku ~elika za prethodno naprezawe, u kome treba da bude navedena klasa ~elika u odnosu na relaksaciju i relevantni podaci o relaksaciji. U nedostatku ovih podataka prora~un se mo`e sprovesti prema preporukama datim u t. ???????. Gubitak sile usled klizawa kabla u aktivnoj kotvi (uvla~ewe klina), ukoliko postoji, *) se pribli`no ravnomerno raspore|uje na celu du`inu kabla (du`ina staze za
*)
Ukoliko se i vr{i pojedina~no zatezawe vi{e kablova, oni se zate`u odmah jedan za drugim, pa se prakti~no mo`e smatrati da su svi kablovi zategnuti istovremeno. *) Udaqewe x se meri od kraja staze na kome se nalazi aktivna kotva (aktivni ankerni blok) sa koga se vr{i zatezawe kabla. *) Ovaj gubitak postoji samo za sisteme ankerovawa sa klinom, dok na primer, za sistem sa iskovanim glavicama BBRV , takav gubitak ne postoji.
5
prethodno naprezawe), pa s obzirom na wegovu relativno veliku du`inu (stotinu i vi{e metara), on se u prakti~nim prora~unima gotovo uvek mo`e zanemariti.
Sl. 4.1 - Staza za prethodno naprezawe elemenata Gubitak sile prethodnog naprezawa usled trewa du` trase kabla, ukoliko postoji ***) , nastaje jo{ prilikom prethodnog zatezawa kabla, t.j. pre betonirawa elemenata na stazi. Na taj na~in, po~etna sila prethodnog naprezawa koja deluje na element u trenutku presecawa krajeva kablova, t.j. u trenutku preno{ewa (transfera) sile sa kablova na pojedine elemente, na~elno nije ista za sve elemente, jer trewe na prevojima kablova sve vi{e smawuje silu, idu}i od aktivnog kraja (aktivnog ankernog bloka) ka pasivnom ankernom bloku ( sl. 4.1). Posmatraju}i dispoziciju elemenata na stazi, po~etna sila prethodnog naprezawa na kraju kabla bli`em presi, elementa (i), neposredno pre preno{ewa (transfera) na betonski element ( P o(i ) ) iznosi: i 1
Po(i )
Po Pir P ( j ) j 1
(4.3) i 1, 2, ..., n
gde je: P o
P ir
***)
- po~etna sila zatezawa na aktivnom kraju kabla (na presi za prethodno naprezawe), neposredno posle zatezawa; - kratkotrajni pad sile zatezawa kabla usled relaksacije, u periodu vremena od ankerovawa do momenta preno{ewa (transfera) sile sa ankernih blokova na b etonske elemente;
Gubitak usled trewa postoji samo u kablovima sa poligonalnom trasom i to ukoliko su prevojnici kablova tako konstruisani da u wima postoji zna~ajno trewe.
6
( j)
P
- gubitak sile zatezawa kabla usled trewa za element
( j), koji
eventualno, ako postoji (za kablove sa poligonalnom trasom), treba da se uzme u obzir. Pri tome je, kao {to je napred napomenuto, gubitak sile prethodnog naprezawa usled uvla~ewa kabla (uvla~ewa klina) zanemaren, s obzirom da se on pribli`no ravnomerno raspore|uje na celu du`inu kabla (staze). Ovde treba naglasiti da na duga~kim stazama za prethodno naprezawe sa poligonalnim kablovima, ankeri preko kojih se prevode kablovi da bi se postigla poligonalna trasa (v. sl. 1. ??), treba da budu tako konstruisani da prakti~no nema gubitaka usled trewa, ili da su oni vrlo mali, jer bi u suprotnom, sila prethodnog naprezawa stalno opadala idu}i prema drugom (pasivnom) kraju kablova, tako da bi se moglo desiti da najudaqeniji elementi ne budu dovoqno prethodno napregnuti. Za elemente sa pravolinijskom trasom kablova, pored gubitaka usled uvla~ewa kabla (klina) koji se mogu zanemariti, gubitak usled trewa prakti~no ne postoji, pa je u tom slu~aju Po( i ) Po Pir cons (4.4) i 1, 2, ..., n
za sve elemente na stazi. Izraz (4.5) va`i i za elemente sa poligonalnom trasom kablova za koje su prevojnici za skretawe kablova tako konstruisani da se trewe prakti~no mo`e zanemariti.
4.2.2 Gubici sile prethodnog naprezawa nakon preno{ewa (transfera) U momentu preno{ewa (transfera) sile prehodnog naprezawa sa kablova na elemente, isecawem krajeva kablova, oni usled svoje elasti~nosti te`e da se vrate na svoju prvobitnu du`inu, u ~emu ih spre~avaju betonski elementi i adhezija kablova i okolnog betona. Pri tome, na betonske elemente na stazi, koji pre toga nisu bili napregnuti, naglo deluje sila sa kablova, {to dovodi do wihove elasti~ne po~etne deformacije (skra}ewa) a time i do skra}ewa du`ine (izdu`enih, odnosno zategnutih) kablova, koje prouzrokuje pad sile u wima ( P c(i ) ). Elementi na stazi, u momentu preno{ewa (transfera) sile prethodnog naprezawa, razlikuju se po svome polo`aju na stazi (udaqewu od aktivnog ankernog bloka), a mogu da se razlikuju i po drugim parametrima (dimenzijama, obliku, dostignutoj ~vrsto}i betona i dr.). Pored toga, sila u kablovima za prethodno naprezawe u momentu preno{ewa mo`e biti razli~ita za svaki element ukoliko je trasa kablova poligonalna, usled razli~itih gubitaka od trewa, saglasno izrazu (4.?). Zbog toga se, u op{tem slu~aju, pad sile u kablovima usled elasti~nog skra}ewa elemenata
7
( P c(i ) ), razlikuje za svaki element i zavisi od sile zatezawa u kablu neposredno pre preno{ewa ( P o(i ) ), saglasno izrazu (4.3) i u tom slu~aju se mora prora~unavati za svaki element zasebno. Prema tome, saglasno izrazu (4.1), sila prethodnog naprezawa u nekom preseku na udaqewu x od po~etka elementa, u trenutku neposredno nakon preno{ewa (transfera) sile prethodnog naprezawa t o , za element (i) na stazi (sl. 4.1), iznosi: a {ta je sa trenjem razjasniti malo?????? Pm( i,o) Po( i ) Pc( i ) P ( i ) ( xi ) i 1
Po Pir P( j ) Pc(i ) P (i ) ( xi ) j 1
(4.5) i 1, 2, ..., n
gde je: P o(i )
- po~etna sila prethodnog naprezawa na aktivnom kraju kabla elementa (i), neposredno pred preno{ewe (transfer) sile na betonski element.
(i )
P c
- pad sile u kablovima usled elasti~nog skra}ewa elemenata ( i) na stazi;
(i )
- pad sile u kablovima usled trewa (ako postoji) od po~etka do
P ( x i )
udaqewa xi , elementa (i) ; U nekom kasnijem trenutku vremena t , nastaju vremenski gubici usled skupqawa i te~ewa betona i relaksacije ~elika P t ( i ) ( t ) , pa je sila prethodnog naprezawa u trenutku vremena t , na udaqewu xi od po~etka elementa (i ) : Pm( i,t ) Pm(i,o) P t (i ) ( t )
(4.6) gde je: (i )
P t
( t )
- pad sile prethodnog naprezawa elementa (i ) , usled skupqawa i te~ewa betona i relaksacije ~elika.
Karakteristi~na promena sile u kablu elementa prethodno napregnutog na stazi prikazana je na sl. 11.2 . Treba napomenuti da je dugotrajno optere}ewe (ta~nije koje traje izvesno du`e vreme) elementa, nakon preno{ewa
8
Sl. 4.2 - Karakteristi~na promena sile u kablu na stazi zaparivawem)
(sa
(transfera) sile prethodnog naprezawa, promenqivo sa vremenom i kre}e se u nekim granicama {ire zone, pa se i gubici sile prethodnog naprezawa tretiraju kao mogu}e vrednosti unutar ograni~ene {ire zone. Otuda, na sl. 11.2 umesto jedne krive na dijagramu postoji {ira zona (traka) ograni~ena izme|u dve grani~ne linije, koja obuhvata ove gubitke.
4. 3 UKUPNI GUBICI U ELEMENTIMA SA NAKNADNIM ZATEZAWEM KABLOVA Ukupni gubici sile prethodnog naprezawa naknadno prethodno napregnutih elemenata ( post-tensioning ), u nekom preseku na udaqewu *) x u po~etnom trenutku vremena t o 0 (neposredno nakon zatezawa kablova), iznose: P ( x , o )
P sl Pc P ( x )
(4.7) gde je: P sl
- gubitak (pad) sile prethodnog naprezawa usled klizawa u ankernoj kotvi (uvla~ewa kabla, odnosno klina), ukoliko postoji (zavisno od sistema kotve);
P c
- gubitak (pad) sile prethodnog naprezawa usled elasti~ne deformacije elementa;
P ( x )
- gubitak sile prethodnog naprezawa na udaqewu x od po~etka elementa, usled trewa;
*)
Udaqewe x se meri od kraja elementa na kome se nalazi aktivna kotva, odnosno sa koga se vr{i zatezawe kabla.
9
Saglasno tome, sila prethodnog naprezawa neposredno nakon zatezawa kablova (u trenutku t o 0 ), na udaqewu x od po~etka kabla (elementa), iznosi: P m,o
Po P ( x , o )
Po Psl
Pc P ( x )
(4.8) gde je: P o
- po~etna sila zatezawa kabla na aktivnom kraju kabla (na presi), neposredno nakon zatezawa;
O odre|ivawu veli~ine ovih gubitaka pojedina~no bi}e vi{e re~i ne{to kasnije. U nekom kasnijem trenutku vremena t , ukupni gubici sile prethodnog naprezawa naknadno prethodno napregnutog elementa ( post-tensioning ), u preseku na udaqewu x, iznose: P ( x , t )
P ( x , o) P t ( t )
P sl + Pc P ( x ) P t ( t )
(4.9) gde je: P t ( t )
- gubitak sile prethodnog naprezawa usled vremenskih deformacija (te~ewa, skupqawa i relaksacije) u vremenu t .
Sila prethodnog naprezawa u trenutku vremena t , u preseku na udaqewu x od po~etka kabla (elementa ), iznosi: Pm,t
P o
P ( x , t )
P o Psl
Pc P ( x ) P t ( t )
(4.10) Karakteristi~na promena sile prethodnog naprezawa naknadno prethodno napregnutog elementa, prikazana je na sl. 4.3. I ovde va`i ista napomena za
10
Sl. 4.3 zonu gubitaka usled vremenskih deformacija za slu~aj mogu}eg promenqivog dugotrajnog optere}ewa elementa.
4. 4 GUBICI USLED ELASTI^NOG SKRA]EWA ELEMENTA Prema preporukama ve}ine nacionalnih propisa, prora~un pada napona u ~eliku za prethodno naprezawe usled elasti~nog skra}ewa betonskog elementa, kad god je to mogu}e, treba da se zasniva na eksperimentalno utvr|enim karakteristikama materijala (~elika i betona). U nedostatku takvih podataka, za module elasti~nosti ~elika i betona mogu se usvojiti karakteristi~ne vrednosti date u poglavqu 2, za starost u momentu prethodnog naprezawa. Na elemente u kojima se kablovi prethodno zate`u na stazi, sila prethodnog naprezawa prenosi se odjednom, u punom iznosu, u momentu isecawa krajeva kablova. U tom momentu, usled nanetih napona pritiska, betonski element se skra}uje zajedno sa svim kablovima za prethodno naprezawe, {to dovodi do pada sile zatezawa u wima. Pri tome, dilatacije ~elika i betona na spoju su zajedni~ke (iste) usled adhezije koja postoji nakon o~vr{}avawa betona. Nasuprot tome, u naknadno prethodno napregnutim elemenatima, u slu~aju kada se svi kablovi za prethodno naprezawe zate`u odjednom, sila prethodnog naprezawa se, preko presa za zatezawe kablova, istovremeno prenosi i na ~eonu povr{inu betonskog elementa, pa se betonski element skra}uje istovremeno sa istezawem kablova, pre fiksirawa kotvi i nema gubitaka od elasti~nog skra}ewa elementa. Me|utim, u praksi je uobi~ajeno da se svi kablovi ne zate`u istovremeno, ve} da se sila prethodnog naprezawa na betonski element nanosi postepeno, zate`u}i i ankeruju}i kablove jedan po jedan. Pri zatezawu svakog narednog kabla, betonski element se, srazmerno nanetim naponima od tog kabla, dodatno skra}uje zajedno sa ve} prethodno ankerovanim kablovima, {to u tim kablovima izaziva pad sila zatezawa. Pri tome, ukoliko u tom momentu kablovi nisu injektirani, t.j. nisu ~vrsto spojeni sa okolnim betonom, ukupno postignuta deformacija (skra}ewe) betonskog elementa pribli`no ravnomerno se raspore|uje na celu du`inu kabla (ako se zanemare efekti trewa). Zbog toga se prora~un gubitaka usled elasti~nog skra}ewa betonskog elementa sprovodi razli~ito za ova dva na~ina prethodnog naprezawa. 4.4.1
Gubici usled elasti~nog skra}ewa elemenata u kojima se kablovi prethodno zate`u na stazi
11
Prethodno napregnuti elementi na stazi, u kojima se kablovi zate`u pre betonirawa elementa, u trenutku preno{ewa (transfera) sile prethodnog naprezawa sa kablova, odnosno sa ankernih blokova, na betonske elemente, do`ivqavaju trenutne elasti~ne deformacije (skra}ewe) i na taj na~in, usled ve} ostvarenog kontakta (adhezije) sa betonom, dolazi i do skra}ewa samih kablova. To izaziva smawewe prethodno postignutog izdu`ewa kablova, a time i pad sile prethodnog naprezawa u wima. Saglasno izrazu (11.4), po~etna sila prethodnog naprezawa elementa neposredno pre preno{ewa (transfera) na betonski element, iznosi:
( i),
i
(i ) Po , m
Po Pir P ( j ) j 1
(4.11) i 1, 2, ..., n
Radi jednostavnijeg i preglednijeg obele`avawa, daqe }e se posmatrati karakteristi~an element ( i) na stazi i izostaviti wegova teku}a oznaka u posmatranim veli~inama. Usled delovawa po~etne sile prethodnog naprezawa Po(,im) P o , m
na betonski
element (za ovu analizu usvojeno je da je sila prethodnog naprezawa pribli`no konstantna du` celog elementa), dolazi do skra}ewa elementa (sl. 4.4), a time i do pada sile prethodnog naprezawa za veli~inu P c . Kako
Sl. 4.4 - Elasti~no skra}ewe elementa pri preno{ewu (transferu) sile prethodnog naprezawa: -a) pravolinijska trasa; - b ) poligonalna trasa su kablovi za prethodno naprezawe adhezijom ~vrsto spojeni za betonski element, promena deformacija (dilatacija) u wima mogu}a je samo sa istovremenom promenom dilatacija betonskog vlakna elementa na mestu spoja. U momentu nano{ewa sile prethodnog naprezawa (u momentu isecawa krajeva kablova na stazi) na element deluje i sopstvena te`ina elementa g o , koja se aktivira usled izdizawa sredine elementa pri delovawu kablova. Od sopstvene te`ine elementa u presecima nastaju momenti savijawa M g o ( x ) , koji tako|e izazivaju promene dilatacija betonskog vlakna u te`i{tu kablova. U prakti~nim
12
prora~unima uobi~ajeno je da se i ovi uticaji uzimaju u obzir pri prora~unu gubitaka sile prethodnog naprezawa usled elasti~nih deformacija *). Prema tome, promena dilatacija vlakna u te`i{tu kablova usled elasti~nog skra}ewa elementa pri preno{ewu (transferu) sile prethodnog naprezawa na element, iznosi: cp
cp
Pm , o g o
E c
p
(4.12)
gde je:
cp
Pm , o g o
- napon u betonu u te`i{tu kablova za prethodno naprezawe usled delovawa sile
prethodnog naprezawa, P m,o
i spoqa{wih
uticaja koji u tom momentu deluju na element (naj~e{}e sopstvena te`ina elementa); P m,o
- sila prethodnog naprezawa koja deluje u kablovima, neposredno nakon preno{ewa (transfera), odnosno nakon obavqawa elasti~ne deformacije elementa.
Pad sile u kablovima usled delovawa napona cp
Pm,o g o
, koji predstavqa gubitak
sile prethodnog naprezawa usled elasti~nog skra}ewa elementa sa kablovima prethodno zategnutim na stazi, iznosi: Pc
p E p Ap p Ap cp
Pm ,o g o
(4.13) gde je: p
E p E c
- odnos modula elasti~nosti (koeficijent ekvivalencije) ~elika kablova i modula elasti~nosti betona;
A p
- povr{ina ~elika kablova za prethodno naprezawe.
Preseci sa prslinom i bez prsline:????????
*)
Strogo uzev, u prora~un treba uvesti i sva ostala spoqa{wa optere}ewa u posmatranoj kombinaciji uticaja, a ne samo sopstvenu te`inu elementa. Me|utim, kako u momentu preno{ewa (transfera) sile prethodnog naprezawa deluje samo sopstvena te`ina elementa i kako se ostali uticaji javqaju kasnije simultano sa dugotrajnim uticajima skupqawa i te~ewa betona i relaksacije ~elika, ~iji se uticaj na gubitke posebno prora~unavaju, uobi~ajeno je da se u prora~un gubitaka usled elasti~ne deformacije elementa uzima u obzir samo sopstvena te`ina elementa.
13
U op{tem slu~aju preseka sa prslinom,
cp
Pm ,o g o
P m,o Aei
Pm, o z ip2 I ei
M g o I ei
z ip
(4.14) efektivna imaginarna povr{ina Uzimaju}i u obzir (4.12), (4.13) i (4.14), pad sile zatezawa u kablovima, odnosno gubitak (pad) sile prethodnog naprezawa usled elasti~ne deformacije elementa iznosi:
z cp 2 M g o Pc P 1 m, o p p 1 i P z c m, o cp (4.15) gde je: P m,o
- sila prethodnog naprezawa koja deluje u kablovima, neposredno nakon preno{ewa (transfera), odnosno nakon obavqawa elasti~ne deformacije elementa;
p
E p E c
- odnos modula elasti~nosti (koeficijent ekvivalencije) ~elika kablova i modula elasti~nosti betona;
p
A p Ac
- geometrijski koeficijent armirawa kablovima za prethodno naprezawe;
z cp
- rastojawe izme|u te`i{ta betonskog preseka i te`i{ta kablova za prethodno naprezawe;
ic
I c Ac
M g o
- polupre~nik inercije bruto betonskog popre~nog preseka; - moment savijawa u kriti~nom (posmatranom) preseku usled delovawa sopstvene te`ine elementa g o .
U izrazu za gubitak sile prethodnog naprezawa usled elasti~ne deformacije elementa (4.15), figuri{e i nepoznata po~etna sila prethodnog naprezawa nakon preno{ewa (transfera) sile sa kablova na betonski element P m,o , koja obuhvata i gubitke P c , koje tek treba odrediti ( Pm, o Po,m P c ). Sa dovoqnom ta~no{}u se, umesto sile P m,o , u prakti~nim prora~unima mo`e usvojiti po~etna sila P o , m , ili se ova sila umawiti za pretpostavqenu veli~inu gubitaka P c .
14
4.4.2 Gubici usled elasti~nog skra}ewa naknadno prethodno napregnutih elemenata Gubitak sile prethodnog naprezawa usled elasti~nog skra}ewa elementa ne postoji za kabl koji se naknadno zate`e, neposredno prilikom wegovog zatezawa, jer se presa za zatezawe kabla oslawa neposredno na betonski element, deluju}i na taj na~in na element i za vreme izvr{ewa prethodnog naprezawa (zatezawa kabla), te prema tome nema naknadnog elasti~nog skra}ewa ni elementa ni kablova. Me|utim, ukoliko u momentu naknadnog zatezawa nekog kabla, postoje neki drugi kablovi ~ije je prethodno naprezawe i ankerovawe ve} obavqeno pre toga, do}i }e do skra}ewa betonskog elementa usled delovawa kabla koji se u tom momentu zate`e i zajedno sa betonskim elementom i do skra}ewa postoje}ih prethodno ankerovanih kablova (jer su preko kotvi vezani za betonski element), {to }e u wima izazvati odre|eni gubitak postignute sile prethodnog naprezawa. Prema tome, za elemente u kojima se kablovi zate`u naknadno, gubitak sile prethodnog naprezawa usled elasti~nog skra}ewa elementa, bi}e jednak nuli u slu~aju da se svi kablovi zate`u odjednom, ili nekoj kona~noj veli~ini, za slu~aj da kablove zate`emo postepeno, jedan po jedan, pri ~emu veli~ina ovog gubitka zavisi od broja kablova koji se pojedina~no zate`u. Gubitak sile prethodnog naprezawa u posmatranom kablu, usled elasti~nog skra}ewa elementa pri naknadnom zatezawu ostalih kablova, mo`e se odrediti na slede}i na~in. Neka je n ukupan broj kablova prethodno napregnute grede koji se postepeno naknadno zate`u. Pri zatezawu prvog kabla (ozna~enog rednim brojem i 1 ), nakon ankerovawa u wemu }e ostati po~etna sila zatezawa P o,1 . Nakon toga zate`e se kabl sa rednim brojem i 2 i nakon wegovog ankerovawa u wemu }e ostati po~etna sila zatezawa P o, 2 . Me|utim, usled delovawa ovog kabla na element, do}i }e do naknadne deformacije elementa i time do skra}ewa ve} prethodno ankerovanog kabla sa oznakom 1, {to }e u wemu izazvati promenu (pad) sile za veli~inu P o,( 21) . Pri zatezawu tre}eg kabla ( i 3 ) silom P o, 3 , do}i }e do pada sile u kablu
br. 1 za veli~inu P o,( 31) , a u kablu br. 2 za veli~inu P o,( 32) . Na
kraju, pri zatezawu posledweg n-tog kabla, u tom kablu }e ostati po~etna sila P o , n , a u kablu br. 1 pad sile bi}e P o(,n1) , u kablu br. 2 P o(,n2) , i tako daqe, sve do kabla sa brojem ( n 1 ), u kome }e pad sile biti P o(,nn)1 .
Sl. 4.5 -
15
Promena (pad) sile *) u nekom prethodno ankerovanom kablu sa rednim brojem ( i ), usled zatezawa kabla sa rednim brojem ( j ) po~etnom silom**) P o , j , pri ~emu je j > i , mo`e se odrediti usvajaju}i da je deformacija betonskog elementa na mestu kabla ( i ) jednaka ravnomernom skra}ewu du`ine posmatranog kabla za tu veli~inu, pri ~emu je zanemaren efekat trewa. Na osnovu toga mo`e se pisati: ( j )
P o,i
E p A p,i l p,i
l
cp,i ( j ) dx o
P o , j
E p Ap ,i l p ,i
l
(4.16)
cp1,i ( j ) dx o
gde je: cp1,i ( j )
- dilatacija betonskog vlakna elementa na mestu kabla i , usled delovawa jedini~ne sile u kablu j , P o, j 1 .
Gubitak sile zatezawa u kablu
i je na osnovu toga:
n
Po , i
P
( j )
j i 1
o,i
E p Ap , i
l p ,i
l
n
P
j i 1
1
cp ,i ( j ) dx
o, j
(4.17)
o
i 1, 2 , ... , n
pri ~emuje o~igledno P o, n 0 . l
Veli~ina integrala
1
zavisi od trase svakog pojedina~nog kabla u
cp ,i ( j ) dx
o
elementu, zatim od stati~kog sistema elementa (prosta greda, kontinualni nosa~ i sl.), od geometrijskih karakteristika popre~nih preseka *) i mehani~kih karakteristika materijala elementa. U praksi je veoma ~est slu~aj da su pojedina~ni kablovi (u slu~aju vi{e kablova u preseku elementa) me|usobno jednaki po veli~ini (popre~nom preseku kabla) i po veli~ini po~etne sile zatezawa. U tom slu~aju je: P o,i
P o, m n
;
A p ,i
A p n
(4.18) *)
U op{tem slu~aju promena sile u ankerovanom kablu mo`e biti u smeru pove}awa sile zatezawa, ali se pod pojmom "gubitak sile prethodnog naprezawa" podrazumeva pad sile i on je ozna~en kao pozitivna veli~ina, odnosno pove}awe sile ozna~ava se negativnim znakom "-". **) Pod po~etnom silom P o , j , smatra se sredwa vrednost sile zatezawa u posmatranom kablu koja je u wemu postignuta neposr edno nakon ankerovawa. U op{tem slu~aju zavisi i od toga da li se u fazi prethodnog naprezawa u presecima elementa javqaju prsline ili ne.
*)
16 i 1, 2 , ... , n
Pored toga, u slu~aju kada su pojedina~ni kablovi relativno skoncentrisani oko rezultantnog kabla*) , to jest u slu~aju kada polo`aj pojedina~nih kablova ne odstupa mnogo od polo`aja rezultantnog kabla (sl. 4. ), specifi~na dilatacija cp1,i ( j ) mo`e se
1
zameniti specifi~nom dilatacijom
cp
, koja predstavqa dilataciju
betonskog vlakna na mestu rezultantnog kabla usled delovawa jedini~ne sile prethodnog naprezawa rezultantnog kabla.
Sl. 4.6 Na osnovu napred usvojenih aproksimacija, gubitak sile prethodnog naprezawa karakteristi~nog kabla i , usled elasti~nog skra}ewa elementa, iznosi: Po , i
P o , m
E p A p 2
n l p
l
n
j i 1 0
1
cp dx
(4.19) i 1, 2 , ... , n 1 P o, n
0
gde je: 1 cp
- specifi~na dilatacija betonskog vlakna na mestu rezultantnog kabla usled jedini~ne sile prethodnog naprezawa rezultantnog kabla;
l p
E p A p n A p( 1)
- du`ina rezultantnog kabla; - modul elasti~nosti ~elika kablova za prethodno naprezawe; - povr{ina rezultantnog kabla, jednaka zbiru povr{ina svih pojedina~nih kablova.
Ukupni gubitak (pad) sile prethodnog naprezawa rezultantnog kabla usled elasti~nog skra}ewa elementa, u tom slu~aju iznosi: n
Pc
P o , m i 1
E p A p 2
n l p
n
l
j i 1 0
1
cp dx
(4.20) odnosno,
*)
Pod "rezultantnim kablom" podrazumeva se ekvivalentni kabl ~ija trasa prolazi kroz te`i{ta povr{ina kablova u presecima du` elementa
17 l 1 1 E p A p Pc P cp1 dx o , m 1 2 n l p 0
(4.21) Strogo posmatrano, rezultanta sile prethodnog naprezawa, uzimaju}i u obzir da su gubici usled elasti~nog skra}ewa elementa razli~iti za svaki kabl pojedina~no, vi{e se ne poklapa sa "rezultantnim kablom" odre|enim na osnovu geometrijskog te`i{ta povr{ina pojedina~nih kablova. Me|utim, izuzev u posebnim slu~ajevima gde to ima zna~aja, ovaj efekat se u prakti~nim prora~unima naj~e{}e zanemaruje. Za dovoqno veliki broj n pojedina~nih kablova u preseku, izraz (4.15) se svodi na slede}u pribli`nu vrednost: Pc
1 E p Ap
P o , m 2
l p
l
cp1 dx 0
(4.22) za
n > 2
{to se mo`e prihvatiti za prakti~ne prora~une, pogotovo ako se imaju u vidu sve napred usvojene aproksimacije. Mnogi nacionalni propisi (me|u wima i ES 2 ) preporu~uju izraz (4.21) kao dovoqno ta~nu aproksimaciju. Treba uo~iti da u izrazu za gubitke sile prethodnog naprezawa usled elasti~nog skra}ewa elementa (4.21) figuri{e nepoznata po~etna sila prethodnog naprezawa P o , m na desnoj strani jednakosti, a ona se mo`e odrediti tek nakon nala`ewa veli~ine gubitaka P c . Zbog toga se u prakti~nim prora~unima mo`e izvr{iti aproksimacija Po, m P o , ili se mo`e unapred pribli`no pretpostaviti veli~ina P c (na primer, Pc (0,01 0,03) P o ), na osnovu koje se izra~unava pretpostavqena vrednost P o , m , potrebna za prora~un gubitaka {to daje sasvim P c, zadovoqavaju}u ta~nost. U slu~aju karakteristi~ne paraboli~ne trase kablova proste grede *), prikazane na sl. 4.4, specifi~na dilatacija betonskog vlakna na mestu
Sl. 4.7 -
*)
Pri tome je, za prakti~ne prora~une,pretpostavqeno da je greda konstantnog popre~nog preseka, bez prslina, sa geometrijskim karakteristikama popre~nog preseka Ac i I c (bruto betonski presek, bez u~e{}a armature).
18
rezultantnog kabla
1
cp
, iznosi:
cp 1
cp1 Ec
1 1
E c Ac
2 z cp
ic2
(4.23) a na osnovu toga je: 2 o z o 2 z f f 4 8 cp cp cp cp cp1 dx Ec Ac 1 ic 3 ic ic 15 ic 0 l
l
(4.24)
l p
1 , ukupni gubitak sile prethodnog naprezawa usled l elasti~nog skra}ewa elementa (v. sl. 4.4) iznosi: Usvajaju}i aproksimaciju
2 o z o 2 z cp f cp f cp 4 8 cp Pc P o , m p p 1 ic 2 3 ic ic 15 ic
1
(4.25) gde je: p
E p E c
- odnos modula elasti~nosti ~elika za prethodno naprezawe i modula elasti~nosti betona u momentu prethodnog naprezawa;
p
A p Ac
- geometrijski koeficijent armirawa kablovima za prethodno naprezawe;
ic o z cp
I c Ac
- polupre~nik inercije betonskog preseka; - ekscentricitet kabla na osloncima (pozitivan u smeru st rele parabole);
f cp
- strela parabole trase rezultantnog kabla.
U slu~aju duga~kih kontinualnih nosa~a sa promenqivim ekscentricitetom ( sl. 4.5 ), trasa rezultantnog kabla "meandrira" oko te`i{ta popre~nog preseka, pa u tom o slu~aju z cp u izrazu (4.44), ima negativnu vrednost. Pored
19
Sl. 4.8 1 toga, ta~niji prora~un veli~ine specifi~ne d ilatacije cp je znatno slo`eniji, jer se u
prora~unu momenata mora uzeti uobzir i stati~ka neodre|enost nosa~a. Zbog toga je u prakti~nim prora~unima, u posmatranom slu~aju, dovoqno uzeti u obzir samo uticaj normalnih sila na elasti~nu deformaciju elementa, pa je ukupni gubitak sile prethodnog naprezawa usled elasti~nog skra}ewa elementa: Pc
1
P o , m p p 2
(4.26) Primer.
4. 5 GUBICI USLED TREWA Gubici sile prethodnog naprezawa usled trewa, javqaju se kao posledica otpora realizaciji izdu`ewa kablova prilikom wihovog zatezawa. Naj~e{}i uzrok tome su razli~iti otpori trewa izme|u kablova i zidova kanala kroz koje se kablovi vode, u naknadno prethodno napregnutim elementima. Za kablove prethodno zategnute na stazi, ovi gubici se javqaju samo izuzetno, na mestima preloma trase (za poligonalnu trasu kablova), ukoliko nisu preduzete konstrukcione mere wihovog eliminisawa upotrebom specijalnih skretnih ankera. Zbog toga se u narednom izlagawu razmatraju samo naknadno prethodno napregnuti elementi ( posttensioning ), osim ako to nije posebno nagla{eno. Na zakrivqenim delovima trase kabla, prilikom wegovog zatezawa (istezawa), javqaju se skretne sile (v . poglavqe ?.?), koje kabl priqubquju uz zidove kanala (cevi) kroz koje se kabl vodi. Usled toga javqaju se sile (otpori) trewa ( sl. 4.6 ): t r p
(4.27) Uslov ravnote`e elementarnog deli}a kabla du`ine ds, ise~enog u preseku na udaqewu x, od kraja kabla (v. sl. 4.6-b), glasi:
20 P x dPx t ds 0
(4.28) pri ~emu su zanemarene male veli~ine vi{eg reda.
Sl. 4.9 Iz ravnote`e sila prikazanih na sl. 4.6-c, mo`e se napisati da je: r p ds Px d x
(4.29) Zamenom izraza (11.23) i (11.25) u izraz (11.24), dobija se diferencijalna jedna~ina promene sile u kablu du` wegove trase: dP x d x
P x 0
(4.30) ~ije op{te re{ewe glasi: P x C e x
(4.31) Konstanta C odre|uje se iz grani~nog uslova da je za x 0 : P x P o
(4.32) pa je definitivni izraz za promenu sile u zakrivqenom kablu: P x Po e x
(4.33) Na osnovu toga, gubitak sile prethodnog naprezawa usled zakrivqenosti trase kabla iznosi: P ( x )
(4.34)
Po 1 e x
21
Iz izraza (4.30) mo`e se uo~iti da gubitak sile prethodnog naprezawa usled trewa, koje se javqa kao posledica zakrivqenosti kabla, ne zavisi od geometrijskog oblika kabla, ve} samo od veli~ine skretnog ugla x . Za kabl sa vi{e skretnih uglova (sl. 4.7 ), ovaj gubitak sile u kablu iznosi: P ( x )
Po 1 e
i
(4.35) gde je:
i
1 2 3
- ukupan zbir skretnih uglova kabla, od po~etka kabla do preseka x.
Sl. 4.10 Pored efekta trewa usled zakrivqenosti kablova, u kablovima koji se vode kroz kanale (cevi), javqa se i efekat trewa usled “valovitosti ” kablova (sl. 4. 8 ), bez obzira da li se radi o pravoj ili zakrivqenoj trasi kablova.
Sl. 4.11 - Efekat “valovitosti ” kablova Naime, pri postavqawu cevi (kanala) za vo|ewe kabla, bez obzira da li je trasa kabla zakrivqena ili prava, u oplati se postavqaju odgovaraju}i dr`a~i kabla preko
22
kojih se vr{i fiksirawe polo`aja kabla. Kako se ovi dr`a~i postavqaju na odre|enom razmaku, usled te`ine cevi nije mogu}e posti}i idealni polo`aj cevi, ve} dolazi do pojave wene valovitosti. Efekat “valovitosti ” manifestuje se kao pove}awe zakrivqenosti kabla, odnosno kao pove}awe skretnog ugla , pa se gubitak usled “valovitosti” mo`e izraziti na slede}i na~in: P k ( x )
Po 1 e kx
(4.36) Na taj na~in, ukupni gubici sile prethodnog naprezawa usled trewa, pri naknadnom zatezawu kablova, iznose: i kx i P ( x ) Po 1 e
(4.37) gde je: P o
- po~etna sila prethodnog naprezawa na aktivnom kraju kabla;
- koeficijent trewa izme|u kablova i zidova kanala (cevi) u kojima se kablovi vode;
i
- zbir skretnih uglova od po~etka kabla do posmatranog preseka
i
x (bez obzira na smer ili znak), izra`enih u lu~noj meri [rad ]; k
- slu~ajno ugaono odstupawe ( “valovitost ”) po jedinici du`ine kabla;
x
- du`ina kabla (horizontalna projekcija) do posmatranog preseka *).
Koeficijent trewa zavisi od povr{inskih karakteristika kablova i kanala (cevi), stawa wihove povr{ine (prisustva r|e i sl.), povr{inske tvrdo}e materijala za kablove i cevi i veli~ine popre~nog pritiska na kablove (zakrivqenosti trase kablova). U kablovima na krivinama, posebno kada raspored `ica u kablu nije ~vrsto f iksiran, pojedine `ice pod dejstvom skretnih sila te`e da se uvuku izme|u susednih `ica i istisnu ih iz wihovog polo`aja (sl. 4.9). Na taj na~in nastaju sile “ukqe{tenosti” `ica, uc , koje izazivaju dopunski uticaj trewa.
Sl. 4.12 - “Ukqe{tenost ” `ica u zakrivqenom kablu
*)
Sa dovoqnom ta~no{}u za prora~un, mo`e se usvojiti projekcija du`ine luka kablova na osu nosa~a.
23
Ovo se naro~ito odnosi na pravougaone za{titne cevi ( sl. 4.9-b) gde se, pored skretnih sila u ravni krivine, javqaju i bo~ne sile “ukqe{tenosti” koje pove}avaju uticaj trewa. U nekim slu~ajevima ovo pove}awe mo`e iznositi i do 30 - 40 %. Veli~ina ugaonog odstupawa ( “valovitosti”) k , zavisi od kvaliteta izvo|ewa, rastojawa i na~ina osigurawa polo`aja kabla du` trase ( “raspore|iva~a ”), tipa kanala (cevi) za vo|ewe kabla, polo`aja kabla u elementu, kao i od na~ina ugra|ivawa i stepena vibrirawa betona. Vrednosti koeficijenta trewa i ugaonog odstupawa k nalaze se u dokumentima za tehni~ko odobrewe (atest) sistema za prethodno naprezawe i kablove. Za doma}i sistem prethodnog naprezawa IMS, za kablove izra|ene od u`adi, ove vrednosti date su u tabeli 4.1. Tabela 4.1 - Vrednosti koeficijenta trewa i ugaonog odstupawa k sistema IMS
Koeficijent
u`e / metal
u`e / beton
0,25
0,38
za u`ad
0,006
k
Evropski propisi ES 2 u nedostatku preciznijih podataka, preporu~uju sredwe vrednosti i k [ rad / m' ] , date u tabeli 4.2 , koje se mogu Tabela 4.2 - Sredwe vrednosti i k prema preporukama ES 2 hladno vu~ena `ica
u`e
rebrasta {ipka
okrugla glatka {ipka
0,17
0,19
0,65
0,33
Koef. trewa Ugaono odstupawe
k
0,005 do 0,010
koristiti u prora~unu za kablove koji ispuwavaju oko 50 % povr{ine popre~nog preseka za{titne cevi (kanala za vo|ewe).
Grafi~ka interpretacija Za grafi~ku ilustraciju toka sila u kablu, uzimaju}i u obzir uticaj trewa, posmatra se prethodno napregnuta greda sa krivolinijskom trasom kablova koji se zate`u sa kraja A i fiksno ankeruju na kraju grede V (sl. 4.10 ).
24
Sl. 4. 10 Sila u kablu na udaqewu x od aktivnog kraja kabla, na osnovu izraza (4.33) iznosi: P ( x ) Po e
(4.39) gde je: P o x
x kx
- sila u kablu na po~etku (aktivnom kraju) kabla; - zbir skretnih uglova trase kabla od po~etka do preseka x (bez obzira na znak ili smer).
Neka je trasa kablova oblika kvadratne parabole, ~ija je jedna~ina: z cp x y ( x ) 4 x 1 l l
(4.40) U tom slu~aju skretni ugao na udaqewu x, iznosi: tan x x y ' ( x )
z cp y ' ( 0) 8 2 x l
(4.41) pri ~emu je, za male uglove x , tanx x . Iz izraza (11.36) se mo`e zakqu~iti da je skretni ugao linearna funkcija udaqewa x, pa ako se sa ozna~i konstanta:
x
k
sila u kablu na udaqewu x je: P ( x ) Po e x
(4.42)
25
Razvijawem funkcije f ( x ) e x iz izraza (4.37) u red, u okolini ta~ke x 0 , dobija se:
f
( x )
f ( 0) x f ' ( 0)
2 x
2
f " ( 0)
...
(4.43) Za male vrednosti x ( 0,1), mogu se sa dovoqnom ta~no{}u uzeti prva dva ~lana reda, t.j. e x 1 x
(4.44) pa je sila u kablu na udaqewu x data slede}im izrazom: P ( x ) Po 1 x
(4.45) To prakti~no zna~i da je funkcija sile zatezawa u paraboli~nom kablu, uzimaju}i u obzir uticaj trewa, pribli`no linearna f unkcija udaqewa x.
4. 6 GUBICI USLED KLIZAWA U ANKERNOJ KOTVI
Gubici sile prethodnog naprezawa usled klizawa u ankernoj kotvi (uvla~ewe kabla), javqaju se kod mnogih tipova kotvi sa klinom i nastaju u momentu zakliwavawa kablova, t.j. u momentu preno{ewa sile zatezawa kabla sa prese na kotvu. Naime, da bi klin u kotvi pouzdano prihvatio i dr`ao `icu ili u`e, potrebno je da prilikom utiskivawa klina, `ica (u`e) i klin klizaju (unazad) jedno vreme zajedno, dok se klin ne uglavi u le`i{te, tako da i pri pove}awu sile pritiska na klin, vi{e ne dolazi do wegovog pomerawa. Time se postignuto izdu`ewe na presi smawuje za veli~inu uvla~ewa klina, odnosno klizawa `ice, {to se manifestuje kao gubitak sile u kablu. Klizawe kabla (klina) u ankernoj kotvi zavisi od primewenog sistema kotve i kablova, odnosno od vrste i pre~nika `ice (u`eta), veli~ine kabla, na~ina zakliwavawa (utiskivawa) klina i obi~no se kre}e u granicama od 2 do 10 mm. U tehni~kim podacima opreme za prethodno naprezawe svakog proizvo|a~a daju se i podaci o ovoj veli~ini. Za kablove prethodno zategnute na stazi, ovaj gubitak je relativno mali jer se raspodequje na celu du`inu zategnutog kabla (du`inu staze), a mo`e se i lako
26
eliminisati jednostavnim kratkotrajnim pove}awem projektovanog izdu`ewa na presi za veli~inu klizawa kabla u ankernoj kotvi. Za nala`ewe gubitka sile u kablu usled klizawa u ankernoj kotvi, za elemente u kojima se kablovi zate`u naknadno, potrebno je sprovesti slede}u analizu. Na sl. 4. 11 {ematski je prikazan tok sile prethodnog naprezawa u kablu grednog elementa koji se naknadno zate`e na aktivnom kraju ( A), silom P o .
Sl. 4. 11 - Tok sile zatezawa u kablu u slu~aju popu{tawa dostignutog izdu`ewa Tok sile u kablu defini{e se poznatim izrazom (4.34): P ( x ) Po e
x kx
Ako sada dostignutu silu P o na aktivnom kraju kabla ( A), popustimo za veli~inu P sl ,o , to }e izazvati smawewe dostignutog izdu`ewa i povla~ewe kraja kabla unazad. Me|utim, ovo povla~ewe dostignutog izdu`ewa kabla, izazva}e suprotne sile trewa koje spre~avaju slobodan povra}aj kabla, ~iji efekat }e se odraziti samo na kraju kabla, do preseka x sl . Tok sile u kablu na ovoj du`ini, prikazan linijom a' c na sl. 4.11, dat je izrazom:
P sl ( x ) Po P sl ,o e
s x k x
(4.46) gde je: s
- koeficijent trewa pri opu{tawu kabla, generalno ve}i od ( s ).
27
Apscisa ta~ke c , t.j. du`ina na kojoj se ose}a uticaj klizawa u ankernoj kotvi x sl , dobija se iz uslova da je na tom mestu P ( x sl ) P sl ( x sl ) , odnosno: Po e
x sl kxsl
Po P sl ,o e
s x sl kx sl
odakle se mo`e dobiti slede}a uslovna jedna~ina:
x sl kxsl s P sl ,o P o 1 e (4.47) gde je, pored pada sile
P sl ,o na
kraju grede A, nepoznata i du`ina x sl .
Veli~ina klizawa u ankernoj kotvi l sl , je poznata veli~ina iz podataka o tehni~kim karakteristikama primewenog sistema. Iz uslova da je ona jednaka ukupnom skra}ewu kabla na du`ini x sl , dobija se dopunski uslov za odre|ivawe nepoznatih veli~ina P sl ,o i x sl : x sl
l sl
x sl
ps ds ps dx 0
0
xsl
1 E ps A p
P
( x )
P sl ( x ) dx
(4.48)
0
Integral u ovom izrazu grafi~ki predstavqa povr{inu izme|u linija sl. 4. 11.
a c i a ' c na
Za paraboli~an kabl mogu se usvojiti pribli`ne vrednosti eksponencijalnih funkcija u izrazu za P ( x ) i P sl ( x ) prema (4.39), na osnovu ~ega se mo`e pisati: l sl
1 P sl ,o x sl 2
E ps Ap
odnosno x sl 2
E ps A p P sl ,o
l sl
(4.49) Izrazi (4.42) i (4.44) predstavqaju uslovne jedna~ine na osnovu kojih se izra~unavaju nepoznate veli~ine: du`ina na kojoj se ose}a dejstvo klizawa u kotvi x sl , i veli~ina pada sile zatezawa u kablu na mestu kotve P sl ,o . Najjednostavniji je slede}i iterativni postupak: - prethodno se pretpostavi du`ina x sl na kojoj se ose}a uticaj klizawa u kotvi, u zavisnosti od veli~ine samog klizawa;
28
- sa tako pretpostavqenom veli~inom x sl , iz izraza (4.42) izra~unava se pad sile P sl ,o ; - sa ovom dobijenom vredno{}u
P sl , o ,
iz izraza (4.44) sra~unava se nova
vrednost x sl , koja se upore|uje sa pretpostavqenom veli~inom x sl ; - ako je potrebno, vr{i se korekcija u ponovqenom krugu prora~una, sve dok se ne dobije zadovoqavaju}a ta~nost. Treba obratiti pa`wu da je ovako dobijena vrednost za x sl u va`nosti samo dok je x sl l , ina~e u slu~aju x sl l , to zna~i da se uticaj klizawa u kotvi ose}a na celoj du`ini kabla, pa u tom slu~aju treba koristiti izraz (4.43) u kome se gorwa granica integrala zamewuje sa x sl l (sl. 4.12 ). Ovakav slu~aj mo`e nastupiti u relativno kratkim kablovima.
Sl. 4.12 - Uticaj klizawa u kotvi za kratke kablove U slu~aju trase kablova za koju je veli~ina skretnog ugla proporcionalna udaqewu x, t.j. x o x
(4.50) izraz (4.42) se mo`e napisati u obliku
P sl ,o
x sl s Po 1 e Po s x sl
(4.51) i, uzimaju}i u obzir (4.44):
29
x sl
2 E ps Ap l sl P o s
(4.52) Izraz (4.47) mo`e se primeniti za izra~unavawe du`ine na kojoj se ose}a povratno dejstvo klizawa u kotvi za paraboli~nu trasu kablova.
4. 7 GUBICI USLED VREMENSKIH DEFORMACIJA O karakteristikama vremenskih deformacija betona (te~ewu i skupqawu) i relaksaciji ~elika za prethodno naprezawe, bilo je vi{e re~i u poglavqu 2. Ove pojave izazivaju deformacije betonskih prethodno napregnutih elemenata koje se razvijaju tokom vremena, usled ~ega generalno posmatrano, dolazi do promene (gubitaka) sile prethodnog naprezawa u kablovima. Veli~ina gubitaka sile prethodnog naprezawa usled vremenskih deformacija, ta~nije raspodela ovih gubitaka du` trase kablova, odnosno elementa, zavisi od vrste spoja kablova i okolnog betona na wihovom kontaktu. U kablovima prethodno napregnutih elemenata bez spoja sa okolnim betonom ( unbonded tendons ), ukupna deformacija betonskih elemenata ostvarena do nekog posmatranog trenutka vremena, raspodequje se ravnomerno na celu du`inu kabla (izuzev ako trewe ne remeti slobodno pomerawe kabla), dok se u elementima sa injektiranim kablovima ~vrsto spojenim sa okolnim betonom ( bonded tendons ), ovaj gubitak raspodequje srazmerno dilatacijama betonskog elementa na mestu kablova. Naredna razmatrawa na ovom mestu odnose se samo na kablove sa ostvarenim spojem sa okolnim betonom.
Gubici usled relaksacije napona u ~eliku. U normalnim temperaturnim uslovima okoline ( 20 S), pad napona u ~eliku za prethodno naprezawe usled relaksacije mo`e se odrediti na osnovu izraza datih u poglavqu 2.2.4. Ovde treba zapaziti da se odre|ivawe veli~ine pada napona usled relaksacije razlikuje za zategnute kablove dok su slobodni u prostoru, od kablova koji su ~vrsto spojeni (injektirani) sa okolnim betonom. Tako|e je i uticaj povi{enih temperatura na veli~inu relaksacije (preko 20 S) zna~ajan. Kratkotrajni pad napona usled relaksacije, na temperaturama ve}im od 60 S mo`e da bude i 2 do 3 puta ve}i od onog na sobnoj temperaturi od 20 S. Me|utim, generalno se smatra da zaparivawe betona u toku relativno kratkog vremena, nema trajnog efekta na kona~nu relaksaciju. Kablovi za prethodno naprezawe uvek su izvesno vreme slobodni (nevezani za okolni beton) nakon zatezawa, bez obzira da li se radi o kablovima prethodno zategnutim na stazi, ili o kablovima koji se naknadno zate`u nakon o~vr{}avawa betona elementa. Za kablove koji se prethodno zate`u na stazi to je period
30
vremena od momenta zatezawa kablova pa do momenta o~vr{}avawa betona elemenata na stazi, a za kablove koji se naknadno zate`u, to je period vremena od momenta zatezawa do momenta injektirawa, odnosno o~vr{}avawa injekcione sme{e, ukoliko se radi o kablovima koji su ~vrsto spojeni sa okolnim betonom. U tom, makar i relativno kratkom periodu vremena, dolazi do izvesnog pada sile u kablovima usled relaksacije napona u ~eliku (kablovima). Evropski propisi ES 2, daju preporuku za prora~un veli~ine ovog gubitka sile prethodnog naprezawa, koji je ovde ukratko prikazan.
Ubaciti prora~un prema ES 2. Gubici usled te~ewa i skupqawa betona. Ta~niji prora~un uticaja te~ewa i skupqawa betona u toku vremena, zahteva posebne konstrukcijske analize, kojima se preciznije obuhvataju ne samo reolo{ke karakteristike materijala, nego i istorija optere}ewa, promene uslova okolne sredine, geometrijske karakteristike i sl. Ove metode su bli`e obja{wene u poglavqu 8.
Pribli`ni prora~un vremenskih gubitaka. Ta~nija analiza gubitaka sile prethodnog naprezawa usled vremenskih deformacija (te~ewa i skupqawa betona i relaksacije ~elika za prethodno naprezawe), kori{}ewem metoda vremenske analize (v . poglavqe 8), nije uvek neophodna. U ve}ini slu~ajeva u praksi, dovoqna ta~nost se posti`e pribli`nim, aproksimativnim postupcima prora~una. Jedan takav aproksimativan postupak preporu~uje Evrokod 2 (ES 2 ), koji je ovde ukratko izlo`en. Neka na prethodno napregnutu gredu od trenutka t o deluje neko spoqa{we stalno optere}ewe g o (u koje je ura~unata i sopstvena te`ina grede) i po~etna sila prethodnog naprezawa P o . U posmatranom trenutku vremena t , po~etna sila prethodnog naprezawa P o , bi}e umawena za veli~inu gubitaka usled vremenskih deformacija: skupqawa i te~ewa betona i relaksacije ~elika za prethodno naprezawe (sl. 4.13), odnosno: Po ( t , t o )
p ,csr Ap
(4.53) Ukupna promena dilatacija posmatranog betonskog preseka na mestu te`i{ta kablova, nastaje usled te~ewa betona pod naponima od stalnog spoqa{weg
31
Sl. 4.13 - Pad sile prethodnog naprezawa usled vremenskih deformacija optere}ewa g o i od kablova za prethodno naprezawe i promena dilatacija nenaponskog karaktera (skupqawa betona). Primewuju}i postupak AAEM (v . poglavqe 8), promena dilatacija betonskog vlakna na mestu te`i{ta usled skupqawa i te~ewa betona, iznosi:
c , p ( t , t o )
cg
cpo
E c
( t , t o )
p ,c s r
E c Ac
Ap
1 (t , t o )1 ( t , t o ) ( t , t o ) s ( t , t o )
(4.54)
gde je: cg
- konstantan napon u betonu na kontaktu sa te`i{nim kablom, usled sopstvene te`ine i drugih stalnih dejstava;
cpo
- po~etni napon u betonu na mestu te`i{ta kablova usled uticaja prethodnog naprezawa (posmatran kao konstantni deo sile P , v. sl. 4.13);
p ,c s r
- postepena promena napona u kablovima usled vremenskih *)
deformacija, u posmatranom trenutku vremena t ; ( t , t o )
- koeficijent starewa betona (u daqem razmatrawu }e se usvojiti ( t , t o ) =0,8);
E c
- modul elasti~nosti betona;
A p
- povr{ina kablova za prethodno naprezawe;
Ac
- povr{ina betonskog preseka;
I c
- moment inercije povr{ine betonskog preseka;
z cp
- rastojawe izme|u te`i{ta betonskog preseka i te`i{ta kablova;
s ( t , t o )
- dilatacija skupqawa u posmatranom trenutku vremena t .
Uva`avaju}i uobi~ajenu pretpostavku da su dilatacije na kontaktu kablova i betona jednake ( cp p ), promena napona u kablovima usled te~ewa i skupqawa betona i relaksacije ~elika, u preseku na rastojawu x od po~etka kabla, u vremenu t , iznosi:
*)
Promena sile u kablovima od ove promene napona, izaziva postepene promene napona u betonu (koje po~iwu od nule, v . dijagram na sl. 4.13), pa se promene dilatacija, prema AAEM metodi, dobijaju mno`ewem odgovaraju}ih elasti~nih (trenutnih) dilatacija sa 1 ( t , t o ) (t , t o ) .
32
p, c s r E ps c , p ( t , t o ) pr
(4.55) gde je: - modul elasti~nosti ~elika za prethodno naprezawe;
E ps
- pad napona u kablovima usled relaksacije, u posmatranom
pr
preseku*). Kona~no, zamenom izraza (4.48) u (4.49), nakon kra}ih algebarskih transformacija, mo`e se dobiti izraz za gubitak (pad) napona u kablovima za prethodno naprezawe usled vremenskih deformacija: s ( t , t o ) E ps pr
p , c sr 1
E ps E c
cg
cpo ( t , t o )
E ps A p Ac 2 1 z cp 1 0,8 ( t , t o ) E c Ac I c
(4.56) gde je: I c
- moment inercije povr{ine betonskog preseka;
z cp
- rastojawe izme|u te`i{ta betonskog preseka i te`i{ta kablova;
Ukupni gubitak sile prethodnog naprezawa usled vremenskih deformacija dobija se iz izraza (4.47), uva`avaju}i izraz (4.50). Promena napona u kablovima usled relaksacije pr , u preseku na udaqewu x od po~etka kabla, mo`e da se odredi iz dijagrama na
sl. 4.14, za odnos
Sl. 4.14 -
*)
Ova promena napona nije posledica promene dilatacija i zato se ne pojavquje u izrazu (4.48).
33 po~etnog napona po i karakteristi~ne ~vrsto}e na zatezawe f pk , koji mo`e da se
pribli`no odredi na osnovu slede}eg izraza: po pgo 0,3 p , cs r
(4.57) gde je: pgo
- po~etni napon u kablovima od stalnih dejstava i prethodnog zatezawa.
Na ovaj na~in, smawewem po~etnog napona u ~eliku za prethodno naprezawe (pri ~emu predlo`eno smawewe iznosi 30 % ukupno ostvarenih gubitaka usled vremenskih deformacija), uvodi se uticaj promene (smawewa) du`ine kabla usled vremenskih deformacija betona na veli~inu relaksacije ( “redukovana relaksacija”)*). Kako u izrazu (4.51) figuri{e (nepoznati) pad napona
p, c s r , to wegovo
nala`ewe zahteva iterativni postupak, sa unapred pretpostavqenim polaznim vrednostima. Radi upro{}ewa, drugi ~lan u izrazu (4.51) mo`e da se zanemari, {to je na strani sigurnosti. Za uobi~ajene zgrade u prora~unu mo`e da se usvoji da je: po 0,85 pgo
(4.58) i sa tako dobijenom vredno{}u iz pomenutog dijagrama odredi pad napona
pr .
4. 8 ZAVR[NE NAPOMENE
Prora~un gubitaka sile prethodnog naprezawa, kad god je to mogu}e, treba sprovoditi sa eksperimentalno utvr|enim vrednostima svih relevantnih parametara. U slu~aju da se sa ovakvim podacima ne raspola`e, u prora~unu se mogu koristiti procewene okvirne veli~ine predlo`ene u prethodnom izlagawu. Zato je po`eqno u svim takvim slu~ajevima sprovoditi potrebne kontrole i kontrolna merewa na licu mesta za vreme izvo|ewa prethodnog naprezawa, kako bi se postigla potrebna sigurnost u pogledu stvarno unetih sila prethodnog naprezawa i na vreme izvr{ile eventualne korekcije. Prora~un gubitaka sile prethodnog naprezawa mogu}e je sprovesti tek nakon usvajawa veli~ine sile prethodnog naprezawa (odnosno broja i veli~ine kablova) i *)
Relaksacija predstavqa pad napona u kablu pri konstantnoj du`ini kabla. Ako se pri tome, usled nekih drugih uticaja, smawi du`ina kabla, onda }e i veli~ina relaksacije biti mawa.