Guía 1

GUÍA Nº 1 FORMULACIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL – LINEAL – PARTE 1

I. PASOS PARA LA FORMULACIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Identificar las variables de decisión. Identificar las restricciones. Identificar la función objetivo. II. TIPOS DE PROBLEMAS Los problemas más conocidos en los que se aplican los modelos de programación lineal son los siguientes:       

Problemas de planeamiento de la producción. Problemas de dieta. Problemas de mezclas. Problema de transporte. Problemas de inversión. Problemas de distribución del trabajo. Etc.

III. EJERCICIOS 1. Una empresa fabrica los productos A, B y C, y puede vender toda su producción a los siguientes precios: el producto A a $700 por unidad, el producto B a $3500 y el producto C a $7000. Producir cada unidad de A requiere de 1 hora de proceso, 2 horas de acabado y 3 unidades de materia prima. Producir una unidad de B requiere de 2 horas de proceso, 3 horas de acabado y 2.5 unidades de materia prima. Producir una unidad de C requiere 3 horas de proceso, 1 hora de acabado y 1 unidad de materia prima. Para este periodo de planificación, dispone de 100 horas de proceso, 200 horas de acabado y 600 unidades de materia prima. Formule un modelo de programación lineal que maximice los ingresos de la empresa. 2. ESCALA DESIGN, una empresa de fabricación de muebles ha de determinar cuántas mesas, sillas, pupitres y librerías debe hacer para optimizar el uso de sus recursos. Estos productos utilizan dos tipos diferentes de paneles, y la compañía dispone de 1500 tableros de un tipo y 1000 de otro tipo. Por otro lado cuenta con 800 horas de mano de obra. Las predicciones de venta así como los pedidos atrasados atr asados exigen la fabricación de al menos 40 mesas, 130 sillas, 30 pupitres y como máximo 10 librerías. Cada mesa, silla, pupitre y Aux. Doc. Ayar Yuman Paco Sanizo

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librería necesita 5 , 1 , 9, y 12 tableros, respectivamente, del primer tipo de panel y 2 , 3 , 4, y 1 tableros del segundo. Una mesa requiere 3 horas de trabajo; una silla, 2; un pupitre, 5; y una librería 10. La compañía obtiene un beneficio de 12 dólares en cada mesa, 5 dólares en cada silla, 15 dólares en un pupitre, y 10 dólares en una librería. Además, la empresa establece que deben fabricarse cuatro sillas por cada mesa. Plantéese un modelo de programación lineal para maximizar los beneficios totales. 3. Juan es un profesor de una escuelita en Coroico y también cría cerdos para tener ingresos extra. El está tratando de decidir que darles de comer a sus cerdos ya que al perecer están enflaqueciendo. Juan está considerando usar una combinación de comidas para cerdo disponibles en distribuidores locales. El quisiera alimentar sus cerdos a un costo mínimo pero al mismo tiempo quiere estar seguro que cada cerdo recibirá una adecuada cantidad de calorías y vitaminas. El costo y el contenido de calorías y vitaminas se muestra en la siguiente tabla: Contenido

Comida tipo A

Comida tipo B

Calorías [cal/lb]

800

1000

Vitaminas [mg/lb]

140

70

Costo [$/lb]

0.40

0.80

Cada cerdo requiere por lo menos 8000 calorías al día y al menos 700 mg de vitaminas. Además, dado que la comida de tipo A contiene un ingrediente que es toxico si es consumido en grandes cantidades, se establece que no más de un tercio de la dieta en peso debe consistir de la comida de tipo A. Formule un modelo de programación lineal para esta situación. 4. Cosmic Computer Company es una ensambladora de microcomputadoras que tiene plantas en San Francisco, Los Ángeles y Phoenix. La planta de Los Ángeles tiene una capacidad de producción mensual de 2000 unidades. Cada una de las plantas de San Francisco y Phoenix puede producir un máximo de 1700 unidades. Las microcomputadoras de Cosmic Computer Company se venden a través de cuatro tiendas detallistas localizadas en San Diego, Barstow, Tucson y Dallas. Los pedidos mensuales de los vendedores al menudeo son de 1700 unidades en San Diego, 1000 en Barstow, 1500 en Tucson y 1200 en Dallas. La tabla que se muestra a continuación contiene el costo de embarque de una microcomputadora desde cada planta de ensamblaje hasta cada una de las distintas tiendas minoristas. Su trabajo es formular un modelo matemático para encontrar el programa de embarque de mínimo costo.

Aux. Doc. Ayar Yuman Paco Sanizo

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Costos de embarque [$/unidad] Plantas San Francisco Los Ángeles Phoenix

San diego 5 4 6

Tiendas Barstow Tucson 3 2 7 8 5 3

Dallas 6 10 8

5. Después de unos años de ahorro trabajando como gerente administrativo usted podría invertir hasta 1000 dólares. Este dinero lo podría invertir en acciones o en préstamos. Cada dólar invertido en acciones rinde 10 centavos de utilidad y cada dólar invertido en un préstamo rinde 15 centavos de utilidad. Después de pensar un poco usted se plantea dos políticas: la primera es que por lo menos 30% de todo el dinero debe ser invertido en acciones y la segunda es que por lo menos 400 dólares se inviertan en préstamos. Como buen ingeniero industrial usted inmediatamente se da cuenta que se encuentra en una situación típica que puede ser resuelta con un modelo de programación lineal y lo único que le queda es formularlo para que pueda maximizar la utilidad total ganada por sus inversiones. 6. Cada hora desde las 10 a.m. hasta las 7 p.m. el Banco Nacional de Bolivia (BNB) recibe cheques y debe procesarlos. Su objetivo es procesar todos los cheques el mismo día en que los recibe. El BNB tiene 13 máquinas procesadoras de cheques, cada una de las cuales tiene una capacidad de procesar hasta 500 cheques por hora. Se requiere un trabajador que opere cada máquina. El BNB contrata empleados de tiempo completo y de medio tiempo. Los trabajadores de tiempo completo trabajan de 10 a.m. a 6 p.m., de 11 a.m. a 7 p.m. o de medio día a 8 p.m., y cobran 160 dólares diarios. Los empleados de medio tiempo trabajan de 2 p.m. a 7 p.m. o de 3 p.m. a 8 p.m. y se les paga 75 dólares al día. Como al BNB le interesa conservar la continuidad, opina que deber tener por lo menos 2 trabajadores de tiempo completo bajo contrato. Desarrolle un MPL para establecer un horario de trabajo de costo mínimo que tenga procesados todos los cheques a las 8 p.m. El número de cheques que se recibe en cada hora se presenta en la siguiente tabla: Hora 10 a.m. 11 a.m. 12 p.m. 1 p.m. 2 p.m. 3 p.m. 4 p.m. 5 p.m. 6 p.m. 7 p.m.

Cheques recibidos 5000 4000 3000 4000 2500 3000 4000 4500 3500 3000


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7. La panadería “La Familia” hornea rollos de queso y queques. Durante cualquier mes puede hornear cuando mucho 65 unidades de estas masitas. Los costos por unidad y la demanda de estas masitas, la cual se debe se debe cumplir a tiempo, se proporcionan en la tabla inferior. Ahora, a la panadería le cuesta 3 Bolivianos conservar un rollo de queso y 2 Bolivianos conservar un queque en inventario por un mes. Plantee un PL para minimizar el costo total por cumplir la demanda de los tres meses siguientes.

Producto Rollo de queso Queque

Mes 1 Demanda Costo [unid] [Bs/unid] 40 21 20 17



8. Usted es analista financiero. Lady Gaga acudió a usted porque necesita que la ayuden a liquidar sus cuentas de tarjeta de crédito. Ella debe a sus tarjetas de crédito las cantidades que se indican a continuación: Tarjeta MasterCard Diners Club International Visa

Saldo (dólares) 20000 50000 40000

Tasa mensual (%) 0.5 1.0 1.5

Lady Gaga desea asignar hasta 5000 dólares por mes para liquidar estas tarjetas de crédito. Todas las tarjetas de crédito se deben liquidar en 36 meses o Lady Gaga ira a la cárcel. El objetivo de Lady Gaga es minimizar el total de todos sus pagos. Para resolver este problema, usted debe entender cómo influyen los intereses sobre un préstamo. Para ilustrarlo, suponga que Lady Gaga paga 5000 dólares en MasterCard durante el mes 1. Entonces, su saldo en MasterCard al principio del mes 2 es: 20000 - (5000 - (0.005(20000)) Esto es así porque Lady Gaga incurrió en cargos por intereses de 0.005(20000) durante el mes 1 sobre su tarjeta de MasterCard. Formule un MPL para que Lady Gaga no vaya a la cárcel. Su recompensa por un buen trabajo será el 10% de las ganancias totales por las ventas de su nuevo álbum a lazarse este año. 9. Repsol produce dos tipos de gasolina, Efitec 95 y Efitec 98, a partir de dos tipos de crudo, el crudo 1 y el crudo 2. La Efitec 95 puede contener hasta 4% de impurezas, en tanto que la Efitec 98 puede tener hasta 3%. La Efitec 95 se vende en 8 dólares el barril y la Efitec 98 se vende a 12 dólares el barril. Se pueden vender hasta 4200 barriles de gasolina Efitec 95, y de Efitec 98, hasta 4300 barriles. El costo por barril de cada crudo, la disponibilidad y la concentración de impurezas en cada crudo se encuentra en la siguiente tabla:


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Petróleo crudo Crudo 1 Crudo 2

Costo [$/barril] 6 8

Grado de impurezas % 10 2

Disponibilidad [barriles] 5000 4500

Antes de mezclar los crudos para obtener gasolina es posible purificar cada uno de ellos a un costo de 0.50 dólares el barril. La purificación elimina la mitad de las impurezas del petróleo crudo. Formule un modelo matemático que permita maximizar las ganancias. 10. El servicio interno de ingresos ha determinado que durante cada uno de los 12 meses siguientes se requerirá la cantidad de supercomputadoras que se señala en la tabla inferior. Para cumplir con estas condiciones, esta institución renta supercomputadoras por un periodo de uno, dos y tres meses. Cuesta 100 dólares rentar una supercomputadora por un mes, 180 dólares por dos meses y 250 dólares por tres meses. Al empezar el mes 1 esta institución no tiene supercomputadoras. Determine el plan de renta que cumpla con las condiciones de los 12 meses siguientes a un costo mínimo. Mes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Cantidad de computadoras 800 1000 600 500 1200 400 800 600 400 500 800 600 PRÁCTICA Nº 0

1. 2. 3. 4.

¿Qué es la ingeniería industrial? ¿Por qué estas estudiando ingeniería industrial? ¿Qué es la investigación de operaciones? Describa 10 aplicaciones destacables de la investigación de operaciones en la actualidad.


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PRÁCTICA Nº 1 1. La Maine Snowmobile Company fabrica dos clases de máquinas, cada una requiere de una técnica diferente de fabricación. La máquina de lujo requiere de 18 horas de mano de obra, 9 horas de prueba y produce una utilidad de $400. La máquina estándar requiere de 3 horas de mano de obra, 4 horas de prueba y produce una utilidad $200. Se dispone de 800 horas para mano de obra y 600 horas para prueba cada mes. Se ha pronosticado que la demanda mensual para el modelo de lujo no es mas de 80 y de la máquina estándar no es más de 150. La gerencia desea saber el número de maquinas de cada modelo que deberá producirse para maximizar la utilidad total. Formule este problema como un modelo de programación lineal. 2. La compañía WorldLight produce 3 dispositivos para lámparas (productos 1, 2 y 3) que requieren partes de metal y componentes eléctricos. La administración desea determinar cuántas unidades de cada producto debe fabricar para maximizar la ganancia. Por cada unidad del producto 1 se requieren 1 unidad de partes de metal y 2 unidades de componentes eléctricos, para el producto 2 se necesitan 3 unidades de partes de metal y 2 de componentes eléctricos, y para cada unidad de producto 3 se requieren 2 partes de metal y 3 componentes eléctricos. La compañía tiene 4000 unidades de partes de metal y 5000 de componentes eléctricos. Cada unidad de producto 1 da una ganancia de $1, cada unidad de producto 2 da una ganancia de $2 y cada unidad de producto 3 da una ganancia de $1.5. Además, por cada 2 unidades de producto 1 se deben producir 1 de producto 2 y 3 de producto 3, esto porque los clientes que suministra la compañía compran los dispositivos de esa forma. 3. Cada galón de leche, libra de queso y libra de manzanas proporciona un número conocido de miligramos de proteínas y vitaminas A, B y C. La siguiente tabla incluye esos datos junto con los requerimientos diarios de la ingredientes nutricionales, según lo recomendado por el Departamento de Agricultura de los EE.UU. La tabla también incluye la cantidad mínima de cada alimento que debe incluirse en la comida y su costo. Nutrientes Proteínas Vitamina A Vitamina B Vitamina C Cantidad mínima Costo unitario [$]

Leche [mg/gal] 40 5 20 30 0.5 gal 2.15

Queso [mg/lb] 30 50 30 50 0.5 lb 2.25


Manzanas [mg/lb] 10 30 40 60 0.5 lb 1.25

Requerimientos mínimos diarios [mg] 80 60 50 30

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Como consultor de investigación de operaciones en la alcaldía, formule un modelo para determinar la comida de costo mínimo que reúna todos los requerimientos nutricionales. 4. Una de las plantas de EPSAS tiene tres depósitos con una entrada diaria estimada de 15, 20 y 25 millones de litros de agua fresca, respectivamente. Diariamente tiene que abastecer cuatro zonas: San Antonio bajo, San Antonio alto, Villa Copacabana y Valle Hermoso, las cuales tiene una demanda esperada de 8, 10, 12 y 15 millones de litros, respectivamente. El costo de bombeo por millón de litros es como sigue: Zonas Depósitos 1 2 3

San Antonio Bajo 2 3 4

San Antonio Alto 3 2 1

Villa Copacabana 4 5 2

Valle Hermoso 5 2 3 Montos en miles de dólares

Formular el problema de esta planta de EPSAS como un modelo de programación lineal. Asuma que el exceso de agua no representa un costo para la compañía. 5. Érica, una estudiante de ingeniería química, después ganar uno de los premios de la lotería podría invertir hasta 1500 dólares. Este dinero lo podría invertir en acciones, bonos o en préstamos. Cada dólar invertido en acciones rinde 10 centavos de utilidad, cada dólar invertido en bonos rinde 20 centavos y cada dólar invertido en un préstamo rinde 15 centavos de utilidad. Por lo menos 20% de todo el dinero invertido debe ser en acciones, cuando mucho 50% de todo lo invertido en préstamos y acciones debe ser en bonos y por lo menos 600 dólares deben ser invertidos en préstamos. Érica se da cuenta que pese a todo lo que sabe no tiene idea de como obtener un resultado óptimo en este problema por lo que decide buscarlo a usted uno(a) de sus ex-compañeros(as) que conoció cuando cursaba Calculo I. Ayude a Érica plantear un PL que se pueda utilizar para maximizar la utilidad total ganada por sus inversiones. 6. Supóngase que el Departamento de la policía ha pronosticado la demanda de carros patrulla en la ciudad para el periodo que empieza a las 12 del medio día del 15 de Julio y termina a las 12 del medio día del 16 de Julio. Las 24 horas han sido divididas en periodos de 4 horas, y la demanda tanto de carros patrulla como en personal (2 personas por patrulla) están dados a continuación: Horas del día 12-16 16-20 20-24 24-4 4-8 8-12

Carros patrulla 300 400 500 600 400 200


Personal 600 800 1000 1200 800 400

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El personal motorizado solo puede trabajar 8 horas consecutivas y se cuenta con un total de 4000 individuos. Formule un programa lineal que encuentre el número mínimo requerido para satisfacer la demanda en cada periodo de 4 horas. 7. Considere el problema de programación de la producción de un producto para cada una de los próximos 4 meses. El costo de la producción de una unidad es $100 para las 2 primeras semanas y $150 para las últimas 2. Las demandas mensuales son 70, 80, 90 y 100 unidades y tienen que ser satisfechas. La planta puede producir cada unidad de este producto en 0.4 horas y cada mes se disponen 40 horas de producción. Además, se pueden emplear horas extra durante el tercer y cuarto mes, 15 horas en cada uno de estos meses. El costo adicional que se deberá pagar es de $58 por unidad de hora. El exceso de producción puede ser almacenado a un costo unitario de $3 ¿Cómo programar la producción de tal manera que minimice los costos totales? Formule este problema como un modelo de programación lineal. 8. Usted tiene $2500 para invertir durante los próximos 10 años. Al principio de cada año puede invertir en depósitos de uno o dos años plazo. El banco paga 8% de interés para depósitos a un año plazo y 17% para depósitos a 2 años plazo. Además, el año 2 podrá invertir en bonos a 3 años plazo, los cuales generan un retorno de 30%, y en acciones preferentes que retornan un 20% cada año, con la condición que por cada 10 dólares invertidos en bonos se invierta uno en acciones. Formule un modelo de programación lineal para maximizar el retorno al final del año 5. 9. HOLORES LTDA. fabrica los perfumes PORVOS y PORMI. Se puede comprar la materia prima que se necesita para producir cada tipo de perfume a 4 $us/lb. Para procesar 1 lb de materia prima, se necesita 1 hora de trabajo en el laboratorio. Cada libra de materia prima procesada produce 3 oz de perfume PORVOS-POCO, y 4 oz de perfume PORMI-POCO. Se puede vender PORVOS-POCO a 7 $us/oz, y PORMI-POCO a 6 $us/oz. HOLORES tiene la opción de seguir procesando PORVOS-POCO y PORMI-POCO para producir PORVOSMUCHO, vendiendo a 18 $us/oz, y PORMI-MUCHO, vendiendo a 14 $us/oz. Cada onza de PORVOS-POCO necesita 3 horas adicionales de laboratorio y causa 4 $us extra de costos de producción, para producir 1 oz de PORVOS-MUCHO. Cada onza de PORMI-POCO necesita 2 horas adicionales de laboratorio y causa 4 $us extra de costos de producción, para producir 1 oz de PORMI-MUCHO. Cada año, HOLORES dispone de 6000 horas de laboratorio y puede comprar hasta 4000 lb de materia prima (suponer que los costos de laboratorio son fijos). Formule un MPL para maximizar las ganancias. 10. El departamento de sistemas de Banco Bisa opina que se necesitarán las cantidades siguientes de computadoras personales durante los próximos seis meses: Enero, 10; Febrero, 6; Marzo, 8; Abril, 10; Mayo, 9; Junio, 6. Es posible rentar las computadoras por periodos de 1, 2, 3 ó 4 meses a las siguientes tarifas unitarias: tarifa por un mes, 200 Aux. Doc. Ayar Yuman Paco Sanizo

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dólares; tarifa por dos meses, 350 dólares; tarifa por tres meses, 450 dólares; y tarifa por 4 meses 600 dólares. Plantee un PL que se pueda utilizar para minimizar el costo por la renta del equipo necesario. Podría suponerse que si se renta una maquina por un periodo que se prolonga después de junio, el costo de la renta prorratea. Por ejemplo, si se renta una computadora por tres meses al principio de mayo, entonces la tarifa de la renta de 2/3(450)=300, no 450 dólares, debe establecerse en la función objetivo.

Puntos extra:



Plantee el modelo del ejercicio 7 hecho en clases tomando en cuenta que las masitas pueden estar en inventario solo por un mes como máximo dado a su caducidad.



Investigue sobre un problema adicional que sea diferente a los vistos en clase y a los presentados en la práctica que pueda ser resuelto por medio de un modelo de programación lineal. Formúlelo matemáticamente.


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