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Prueba de Estructuras
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Cuadro sobre estructuras
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ÁLGEBRA II (L.S.I P.I.)
Guía de de Trabajos Práct
ÁLGEBR A II (L. S. I. ± P. I.)
Facultad de Ciencias Exactas y Tecnologías UNIVERSIDAD NACIONAL DE SANTIAGO DEL ESTERO
Guía de Trabajos Prácticos Nº 1 Estructuras Algebraicas.
1) En cada uno de los siguientes casos, determine si la operación binaria es ley de composición inte el conjunto dado.
(Producto usual de matrices) y se define por
a. * en , definida por b. en , definida por c. ^ en , definida por d. en , definida por e. + en , donde
+
2) Complete la siguiente tabla de modo que la ley dada sea asociativa # 1 2 3
1 3 1
2 1 2
3 2 3
a
mediante la tabla: a
b
c
b
b
c
a
c
c
a
b
3) La operación * está definida en el conjunto *
c
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Guía de Trabajos Práct
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De acuerdo a las propiedades que debe satisfacer una tabla de doble para que un conjunto junto a ley interna definida en el mismo tenga estructura de grupo: a. Indique en cuáles de los casos dados no se trata de un grupo y explique porqué. b. Proponga una ley definida por tabla distinta de las anteriores de modo que G junto tenga estructura de grupo.
definir una ley interna para que resulte un grupo de neutro 2. 8) Sea } el conjunto de las clases residuales módulo 3, en el que se define la ley siguiente modo: Reading : = restoYou're pora Preview de dividir 3 (es la suma en )
7) En el conjunto
Unlock full access with a free trial. De este modo se construye la tabla de doble entrada que define la ley
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grupo abeliano? aciendo uso de la tabla, resuelva las siguiente ecuaciones ii) i) iii) iv)
a) ¿Es b)
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11) Sea
a) b) c)
Guía de Trabajos Práct
con la operación:
Construya la tabla de doble entrada para esta ley. Observando la tabla determine si (G, *) es grupo. ¿Es grupo cíclico? En caso de serlo, halle un generador y su orden.
12) Lea la siguiente definición: Una matriz A es involutiva si y solo si su cuadrado es la matriz identidad.
es involutiva a) ¿Una matriz involutiva es invertible? ¿Cuál es su inversa? b) Pruebe que si es involutiva, junto al producto de matrices es grupo cíclico generado po 13) Con a, b se define: a b = a b 1 y a b = a b ab Demuestre que Z es un anillo conmutativo con respecto a y ¿Cual es el cero de este anillo En símbolos:
+
+
unidad?
14) Sea grupo, en el cual se definen la adición usual mediante Demuestre que es anillo, siendo la ley definida mediante You're Reading a Preview 15) Sea . Compruebe que es un anillo conmutati Unlock full access with a free trial. unidad con la suma y el producto ordinarios de números reales. ¿Admite divisores de cero?
Download With Free Trial 16) Dados los siguientes anillos, determine en cada caso si son conmutativos, unitarios y si carecen divisores de ceros.
con la suma y el producto usual de mat b) El conjunto de las matrices reales de la forma con la suma y el producto usual de m a) El conjunto de las matrices reales de la forma
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17) ¿El anillo (R , + , . ) es un dominio de integridad? Justifique
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18) En cada uno de los siguientes casos se presentan las tablas que definen las leyes + y donde A = {r, s, t}. Determine si se trata de un dominio de integridad. conmutativo
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19) Considere el conjunto ®« a b » ¾ M = ¯¬ / , R a b ¿ con la suma y el producto usual de matrices. ¼ b a ½ ° À Pruebe que (M, +, .) es un cuerpo. 20) a) Pruebe que el conjunto de los las clases residuales módulo 3 junto con las operaciones sum producto definidas en el ejercicio 15 de los ejercicios resueltos constituyen un cuerpo.
b) Con la ayuda de las tablas ya confeccionadas en el ejercicio antes dicho, resuelva las s operaciones: b1) b3)
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b2) Reading 0 x 1 ! 2a Preview You're x 1 with a free trial. Unlock b )full access ! 1 4
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Download With Free Trial Subestructuras
y Determine si S es subgrupo de . 22) Pruebe que es un subgrupo de siendo el conjunto de matrices antisimétricas 21) Sean
orden 2.
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23) Determine todos los subgrupos de ( G, . ) del ejercicio 10 y pruebe que lo son.
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Guía de Trabajos Práct
» ¼ / a, b a½ b
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» ¼ / a, b a½ 1
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es un subcuerpo de .
28) Pruebe que la intersección de dos subcuerpos de
Homomorfismos
definida por . 30) Sea el grupo multiplicativo es un homomorfismo y determine su núcleo. Pruebe que la función 29) Sean los grupos y . Pruebe que un homomorfismo. Determine su núcleo.
31) Considere los grupos ( Z 3 , ) y ( Z 3 {0}, ) de las clases residuales módulo 3 con la ley suma clases residuales módulo 3, excluida la clase del cero, con el producto respectivamente. a) Confeccione las tablas de doble entrada para ambas leyes. b) Pruebe que la función f: Z3 p Z3 {0} tal que f (0) = f(2) = 1 y f(1) = 2, es un homorfismo. c) Determine el núcleo y la imagen de f.
32) Sea (G, * ) un grupo. Demuestre que la función G p G / (a) = a (donde a es el inve respecto de *) es un homomorfismo si y solo si G es aabeliano . You're Reading Preview
accesslawith a free trial. P pP / (p(x)) = x . p(x) , determine 33) En el anillo de polinomios ( P , +Unlock , . ) sefull define función un homomorfismo de anillos. Download With Free Trial 34) Pruebe que el cuerpo (M, +,. ) del ejercicio 20 es isomorfo al cuerpo de los números complejos
Algebra de Boole
35) En un álgebra de Boole, demuestre y exprese el enunciado dual correspondiente: a) Sign up to vote on this title b) Useful Not useful c) d)
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y 1 0 1 0
F
(x , y) 1 0 1 1
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y 1 1 0 0 1 1 0 0
z 1 0 1 0 1 0 1 0
F(x,
y, z) 1 1 0 1 1 1 0 0
39) Encuentre la forma canónica dual de las funciones del ejercicio anterior: a) Haciendo uso de la tabla b) Empleando la función complementaria de F.
40) Escriba la forma canónica y la canónica dual de las siguientes funciones booleanas haciendo técnicas algebraicas. a) b)
41) Obtenga la forma más simple de las funciones booleanas y definidas por la siguiente tab confeccione la red correspondiente. You're Reading a Preview x 1 1 1 1 0 0 0 0
1 1 1 1 0 1 0 1 Download With Free Trial 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1
42) Simplifique las siguientes redes: a)
y z Unlock full accesswith a free trial.
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