Cálculo I Parcial 1 Guía 2 Profesor Juan Emilio Navarro G.
GUÍA Nº2 FUNCIÓN DE LA LINEAL RECTA (FUNCIÓN (FUNCIÓN AFÍN) AFÍN) Razón de cambio
: : → , definida en un cierto intervalo abierto , , ⊆ ∈ , , los valores ∈ . Sean , ≠ valores en , , y sean y los valores que toma la función en respectivamente. Consideremos una función y tal que, para cada
Por numerosas razones, en el estudio de las funciones reales, es importante comparar los valores e del recorrido de la función con los valores y del dominio de la función.
= , =
En tal sentido, consideremos las diferencias en la pre imagen
1
Lo cual nos induce a observar la diferencia en la imagen en ese orden dado
= 2
Y vamos a estudiarlas y comparar sus signos.
1
2 2
Tanto como pueden ser positivas o negativas, y además puede ser nula. Tales diferencias las denominamos incrementos o variaciones y las denotamos usando la letra variaciones delta y escribimos
y2
y Δ x -x x Δ = 1 x Y Δ = = Δ Δ = 2 Notemos que en las expresiones Δ, Δ Δ, y Δ no intervienen los subíndices 1 y 2 de los valores considerados sin embargo están en el mismo orden, decimos entonces que Δ es el símbolo de ‘diferencia en’. 1
2
1
1
2
Decimos que: a. La función es creciente en si cualquiera que sean tales que entonces (Si aumenta el argumento de la función entonces aumenta el valor de la función)) función b. La función es decr si cualquiera que sean , decreci eciente ente en tales que entonces . (Si aumenta el argumento de la función entonces disminuye el valor de la función)) función
< Δ > 00
, , , , ∈ , , , < Δ Δ > 0.
, , , , ∈ , , < Δ > 00, > Δ Δ < 0
1
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, , , , ∈ , , < Δ > 0 = Δ = 0
c.
La función es constante en si cualquiera que sean , tales que , entonces . (Si aumenta el argumento de la función entonces el valor valor de la función se mantiene)) mantiene
d.
La función es no decr si cualquiera que sean decreci ecie ente en tales que , entonces ( No No decreciente implica creciente o constante) constante)
e.
La función es no creciente en si cualquiera que sean tales que , entonces ( No No creciente implica decreciente o constante) constante)
< Δ > 00
, , , , ∈ , , , ≤ Δ Δ ≥ 0.
, , , , ∈ , , , < Δ > 0 ≥ Δ ≤ 0.
Nota Es conveniente observar que hemos expuesto los conceptos de funciones crecientes, decrecientes y constantes, así como las nociones de funciones no decrecientes y no crecientes. Observemos que mediante la comparación de los signos de las diferencias de los valores de las variables y los de la función podemos determinar dichas propiedades. Entonces al cociente entre la variación de la función y la de su argumento
= ΔΔx =
lo denominaremos tasa media de variacion o razon de cambio o ritmo de cambio de la funcion entre los valores y con
≠
Luego decimos que: a. b. c. d. e.
, , , si cualquiera que sean , ∈ , , , >0 decreci eciente ente en , La función es decr , , si cualquiera que sean , ∈ , , , tenemos que < 0 . La función es constante en , , , si cualquiera que sean , ∈ , , , tenemos que = 0 . La función es no decr , , si cualquiera que sean , ∈ decreci eciente ente en , , , , tenemos que ≥ 0 . La función es no creciente en , , , si cualquiera que sean , ∈ , , , tenemos que ≤ 0 . La función es creciente en tenemos que .
2
Cálculo I Parcial 1 Guía 2 Profesor Juan Emilio Navarro G. Ejemplo:
= , pruebe que es creciente en los reales positivos. ; > 0 <
1. Dada la función Sean y
Observemos el ritmo de cambio
= Como = = y = = Sustituyendo tenemos
= Por suma por su diferencia en el numerador miramos = + Simplificando en la fracción por , obtenemos = + Y como ; > 0 concluimos que = + > 0 Es decir la función en ese intervalo es creciente.
= 2 +2, determine su monotonía. ; ∈ <
2. Dada la función Sean con
Observemos el ritmo de cambio
= Como = 2 + 2 y = 2 + 2 Sustituyendo tenemos
+ 2 = 2 + 2 2
Abriendo los paréntesis y agrupando términos semejantes obtenemos
= 2 Simplificando en la fracción por , obtenemos = 2 para todo real. Con lo que concluimos que nuestra función es monótona decreciente en los reales.
3
Cálculo I Parcial 1 Guía 2 Profesor Juan Emilio Navarro G. Línea recta.
Dados dos puntos y distinto en el plano de coordenadas sabemos que pasa una recta .
Y
y
La recta tiene un ángulo de inclinación que se mueve a partir del eje de las abscisas en sentido anti horario, el cual se mide a partir del horizonte hasta antes de cerrar el horizonte es decir .
L
R Q
y2
y – 1
y –
p
y1
y
x2 – x1
0° ≤ < 180°
1
y
2
A
B
x2
x
Dado un punto genérico de la recta distinto del punto de coordenadas .
,
x1
, y ,,
X Por semejanza de los triángulos
x – x1
∆~∆
tenemos la siguiente
relación
Obteniéndose las siguiente proporción directa = = Siendo un parámetro de proporcionalidad; o bien = = Siendo , la razón de cambio o tasa de variación una constate de proporcionalidad. Pendiente (tasa de variación) La razón de cambio que es una constante de proporcionalidad geométricamente se relaciona con el grado de inclinación que tiene la recta respecto del eje de las abscisas , mediante la siguiente relación trigonométrica.
= Fórmula de la pendiente: = Si > 0, el ángulo de inclinación es agudo < < y la Recta es creciente.
4
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< 0, el ángulo de inclinación es < < y la recta es decreciente. Si = , el ángulo de inclinación es nulo = y Si
la recta
obtuso
es paralela al eje de las abscisas.
= y la
Si se indetermina, el ángulo de inclinación es recto recta es paralela al eje de las ordenadas.
Ecuación de la recta dado dos puntos Dada una recta que pasa por con la fórmula punto – punto: O bien
, y ,, su ecuación se puede determinar = =
También se puede calcular primero la pendiente, usando la fórmula de la pendiente y luego usar la fórmula punto pendiente con cualquiera de los dos puntos.
Ecuación de la recta dado un punto y la pendiente
, con pendiente , su ecuación se puede determinar =
Dada la recta que pasa por con la fórmula punto-pendiente.
Ecuación de la recta dada la pendiente y el coeficiente de posición o ecuación principal de la recta.
0,
,
Dada la recta que corta el je de las ordenadas en el punto con pendiente su ecuación se puede determinar con la fórmula pendiente-coeficiente de posición.
= +
= + ó Coeficiente de posición
>0
Si entonces corta el eje de las ordenadas sobre el eje de las abscisas. n
<0
Si entonces corta el eje de las ordenadas bajo el eje de las abscisas.
.
n
=0
Si entonces corta el eje de las ordenadas en el origen del sistema.
.
n 5
Cálculo I Parcial 1 Guía 2 Profesor Juan Emilio Navarro G. Ecuación de la recta dados los segmentos (ecuación normal de la recta)
0,
Dada la recta que pasa por el punto y el punto ñ , su ecuación se puede determinar con la fórmula:
,0
+ = 1
Y
ñ,0
X
0,
ñ
Ecuación paramétrica de la recta De la razón
= = . Obtenemos { == Es decir para todo t número real tenemos { == ++ Ecuación general de la recta La ecuación general de la recta esta dada por
+ + = Con ,, coeficientes reales, y , ≠ , Puntos de intersección de una recta con los ejes coordenados Y Según la gráfica que se muestra a continuación, los puntos donde la recta corta al eje son de la forma y donde corta al (0, y) eje , de la forma .
,
,
L
(x,0)
X
Siendo:
- cero de la función (punto en el cual la recta corta el eje da las abscisas). 6
Cálculo I Parcial 1 Guía 2 Profesor Juan Emilio Navarro G.
- coeficiente de posición (punto donde la recta corta el eje de las ordenadas). Ejemplo:
– = con los ejes coordenados: Y Intersección con el eje : se hace = Resulta: = de donde: = 6 La recta corta al eje en el punto ,. X Intersección con el eje : se hace = -4 Resulta: = de donde: = La recta corta al eje en el punto ,. Otra forma: Si la recta – = la escribimos en la forma principal, obtenemos: = Viendo el coeficiente de posición, se determina que la recta corta al eje en el punto ,. Hallar la intersección de la recta
2 3
Relación entres la ecuación general y principal de la recta Dada la ecuación general de la recta
+ + =
Nos interesa aislar la variable , para esto procedemos restando obteniendo
+ en la ecuación,
= Si el coeficiente ≠ 0 , entonces dividimos por en la ecuación, teniendo =
Que es la ecuación principal de la recta o ecuación de la recta dada la pendiente y el coeficiente de posición
= + Con lo cual tenemos que la pendiente es = Y el coeficiente de posición es = Recordemos respecto de la pendiente:
Función constante: si
= ⟺ =
Lo que nos indica que desde la ecuación general de la recta es equivalente a decir que el coeficiente y el coeficiente entonces:
=
≠ , 7
Cálculo I Parcial 1 Guía 2 Profesor Juan Emilio Navarro G. o
La ecuación general es
++ = La ecuación principal es = Función creciente : si < < ⟺ > o
Lo que nos indica que desde la ecuación general de la recta es equivalente a decir que los coeficientes y tienen distinto signo, entonces: La ecuación general es o
||+ ||+ = O +|| ||+ = La ecuación principal es = + || O = || No hay función: si = ⟺ se indetermina. o
Lo que nos indica que desde la ecuación general de la recta es equivalente a decir que el coeficiente y el coeficiente entonces: o La ecuación general es
≠
= ,
+ + = La ecuación principal no hay su equivalente es = Función decreciente : si < < ⟺ < Lo que nos indica que desde la ecuación general de la recta es equivalente a decir que los coeficientes y tienen igual signo, o
entonces: La ecuación general es o O
o
+||+ ||+ = || ||+ =
La ecuación principal es
8
Cálculo I Parcial 1 Guía 2 Profesor Juan Emilio Navarro G.
= || = + ||
O
Recordemos respecto del corte con los ejes: Corte con el eje de las ordenadas:
: Coeficiente de posición: = Si ≠ 0 : o
Corta el eje de las ordenadas sobre el eje de las abscisas: si .
0
>
Desde el punto de vista de la ecuación general tenemos que los coeficientes y tienen distinto signo.
Corta el eje de las ordenadas en el origen del sistema: si .
=0
Desde el punto de vista de la ecuación general tenemos que el coeficiente y el coeficiente .
=0
≠0
Corta el eje de las ordenadas bajo el eje de las abscisas: si .
<0
Desde el punto de vista de la ecuación general tenemos que los coeficientes y tienen igual signo.
o
Si
= 0:
El coeficiente de posición se indetermina.
∈ 0}
=0
Desde el punto de vista de la ecuación general tenemos que si el coeficiente y el coeficiente , entonces no hay función pero hay infinitos coeficientes de posición. Corte con el eje de la abscisas
Desde el punto de vista de la ecuación general tenemos que si el coeficiente y el coeficiente , entonces no hay coeficiente de posición.
=0
=0
9
Cálculo I Parcial 1 Guía 2 Profesor Juan Emilio Navarro G.
: Ceros de la función Si ≠ 0 : o
ñ =
Corta el eje de las abscisas a la derecha del eje de las abscisas: si .
ñ> 0
Desde el punto de vista de la ecuación general tenemos que los coeficientes y tienen distinto signo.
Corta el eje de las abscisas en el origen del sistema: si .
ñ= 0
Desde el punto de viste de la ecuación general tenemos que el coeficiente y el coeficiente .
=0
≠0
Corta el eje de las abscisas a la izquierda del eje de las abscisas: si .
ñ< 0
Desde el punto de vista de la ecuación general tenemos que los coeficientes y tienen igual signo.
o
Si
= 0:
El cero de la función se indetermina
Desde el punto de vista de la ecuación general tenemos que si el coeficiente y el coeficiente , entonces no hay ceros de la función.
∈ 0}
Desde el punto de vista de la ecuación general tenemos que si el coeficiente y el coeficiente , entonces hay infinitos ceros de la función.
Distancia entre dos puntos
= ,
Dados dos puntos y , la distancia entre ellos se calcula recurriendo a Pitágoras de la siguiente forma
= ̅ , = | |
=0
=0
=0
Y P2
y2
1
y –
P1
y1
y
2
x2 – x1
= +
x1
x2
X
Nota Y y2
P2
10 1
y –
y1
P1 y
2
Cálculo I Parcial 1 Guía 2 Profesor Juan Emilio Navarro G. Dados dos puntos paralelo al eje de las ordenadas y , con la distancia entre ellos se calcula recurriendo al concepto de valor absolutos de la siguiente forma
= , = ̅ , = = | |
= + 0 = | | Y y1= y2
x2 – x1
= 1
y –
y
x1
= , ̅ = , = = | | 0
P2
P1
x2
Dados dos puntos paralelo al eje de las abcisas y , con la distancia entre ellos se calcula recurriendo al concepto de valor absolutos de la siguiente forma 2
= 0 + = | |
X
Ejemplo:
, y , es: | ̅ | = ( ) + = √ + = √
La distancia entre los puntos
Punto medio entre dos puntos en la recta Dados dos puntos sobre una recta de coordenadas
d
= y =
d
El punto medio entre dos puntos en una recta es aquel punto que encuentra a igual distancio de ambos puntos sobre la recta
el punto medio, es decir existe la distancia > 0 de modo que = + Y = Por lo anterior tenemos que + = + Aislando la distancia 2 = Obtenemos que la distancia está dada por Sea
11
Cálculo I Parcial 1 Guía 2 Profesor Juan Emilio Navarro G.
= 2 Luego el punto medio nos queda = + 2 Con lo cual obtenemos que el punto medio del segmento sus coordenadas, es decir:
= +2
̅ se calcula promediando
Punto medio entre dos puntos en el plano
= , =
Dados dos puntos y , el punto medio del segmento se calcula promediando sus coordenadas, es decir:
̅ ,
= +2 , +2
Y y2
P2
̌
P1
y1
̌
Pm
x1
Relación entre rectas
̂ ̂
x2
X
Dada la recta
: + + = 0 Donde la pendiente de es = y el coeficiente de posición es = Y dada la recta : + + = 0 Donde la pendiente de es = y el coeficiente de posición es = Luego tenemos un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables.
: + + = 0 : + + = 0 Situaciones posibles: Recta secantes:
Y
Si la intercepción nos da un punto es decir
∩ = ,}
El sistema tiene solución única.
,
X 12
Cálculo I Parcial 1 Guía 2 Profesor Juan Emilio Navarro G. Criterio: Si solo si
o o o
Rectas paralelas:
≠ ≠ ≠ ≠
Y
Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales. Criterio: Si solo si
o bien es decir
= = = =
Dos rectas son paralelas no coincidentes si son paralelas y además sus coeficientes de posición son distintos.
o bien y
X
Y
Rectas paralelas no coincidentes:
Criterio: Si solo si
= ≠ = = ≠
X
Y
Rectas paralelas coincidentes: Dos rectas son paralelas coincidentes si son paralelas y además sus coeficientes de posición son iguales.
= =
X
Criterio: Si solo si 13
Cálculo I Parcial 1 Guía 2 Profesor Juan Emilio Navarro G.
= = = = =
o bien y
Introducción a los vectores en
Dados los puntos de coordenadas y sobre una recta. Un vector en el plano esta dado por un segmento de recta orientado
, ,
⃗
Y
y2
1
y
x
y1
–
y
2
2 – x1
Determinado por las coordenadas
⃗ = ,
x1
x2
X
Característica Todo vector tiene una dirección en el plano, que está dado por la recta por la cual transita el vector o por una recta paralela.
Todo vector tiene uno de los dos sentidos del movimiento dado sobre la recta por la cual transita el vector o por una recta paralela. Todo vector tiene magnitud que está dada por la longitud del segmento. Al desplazar en forma paralela un vector no cambia ya que mantiene la dirección y el sentido de movimiento y su vez mantiene la longitud del segmento. Y
Si lo centramos en el origen el vector estaría dado por sus las coordenadas
⃗ = ,
Propiedades Suma de vectores o Sean y
Y
⃗ = , ⃗ = , vectores en ⃗ + ⃗ = , + , ⃗ ⃗ + ⃗ = +,+
o
⃗ X
⃗ + + +
X
Producto de un vector por un escalar 14
Cálculo I Parcial 1 Guía 2 Profesor Juan Emilio Navarro G. Sea Sea
∈ ⃗ = , un vector en ∙⃗ = ∙ , ∙⃗ = ∙,∙
Definición Producto punto de vectores o producto escalar Sean
o
⃗ = , y ⃗ = , vectores en ⃗ ∙ ⃗ = ,∙ , ⃗ ∙ ⃗ = ∙ +∙
Vectores perpendiculares u ortogonales Sean
⃗ = , y ⃗ = , vectores en ⃗ ⊥ ⃗ si y solo si ⃗ ∙ ⃗ =
Ecuación paramétrica vectorial de la recta Esta dada por
, = , ∙ + ,
Vector normal Un vector normal a la recta es el vector perpendicular a dicha recta.
,
Y
,
, , ;
Sean el vector normal de la recta, un punto conocido de la recta, un punto cualquiera de la recta y un vector sobre la recta
X
Sabemos que dos vectores son perpendiculares si el producto escalar es nulo. Entonces tenemos que
,∙ ; = 0 Por el producto escalar con ,, ≠ 0 entre vectores tenemos que + = 0 Luego abriendo los paréntesis y ordenando
+ + = 0 15
Cálculo I Parcial 1 Guía 2 Profesor Juan Emilio Navarro G. Y como
, pertenecen a la recta tenemos que + =
Obtenemos la ecuación general de la línea recta
Rectas perpendiculares:
+ + = 0
Dos rectas son perpendiculares, si el producto de sus pendientes es igual a Dadas las rectas
–.
: + + = 0 : + + = 0 ̅ Con , ≠ 0,0 con = 1,2 ̅ Y , , ∈ con = 1,2 Dado los vectores normales ⃗= , y ⃗ = , de las rectas y respectivamente.
⊥
Tenemos que si entonces los vectores normales son perpendiculares, es decir con lo cual tenemos
⃗ ⊥ ⃗
,∙ , = 0 Luego tenemos por la definición del producto punto tenemos
∙ + ∙ = 0 ∙ en la igualdad tenemos ∙ = ∙ Con y distintos de cero tenemos ∙ = 1 Restando
Es decir
∙ = 1 Dada la recta con pendiente ≠ 0 la pendiente de la recta perpendicular es = 1 F unción de la línea recta (función afín).
16
Cálculo I Parcial 1 Guía 2 Profesor Juan Emilio Navarro G. Definición
Y
Llamamos función de la línea recta, aquella función cuya tasa de variación es siempre constante.
L y2
1
y
tgα = yx yx = constante
–
y
y1
2
x2 – x1
x1
x2
X
Función de la linea recta (afín) Forma general: Forma principal: Función lineal: Función constante
+ + = 0 = + = =
Gráficamente se representa mediante una línea recta no paralela al eje de las ordenadas.
se denomina pendiente. se denomina coeficiente de posición.
17
Cálculo I Parcial 1 Guía 2 Profesor Juan Emilio Navarro G. Modelo Lineal Un modelo es un reflejo de la realidad, y por lo tanto no es perfecto, si es perfectible. Dada dos variables, si tenemos una proporción directa entre sus variaciones, entonces nos encontramos ante un modelo lineal. Variable independiente
Variable dependiente
Variación de las variables Proporción directa
Es decir
=
O bien Donde:
= +. costo fijo, es la razón de cambio.
Ejemplo En 1950 la expectativa de vida es de 71 años. En 1970, era de 75 años. Si representa a la expectativa de vida y al número de años transcurridos desde 1950.
a) b)
Exprese como una función lineal de . Utilice la ecuación obtenida en (a) para predecir la expectativa de vida de las mujeres en 1980?
Respuesta De 1950 a 1950 han transcurrido 0 años De 1950 a 1970 han transcurrido 20 años 18
Cálculo I Parcial 1 Guía 2 Profesor Juan Emilio Navarro G. DE 1950 a 1980 han transcurrido 30 años Luego Variable independiente Tiempo
Variable dependiente Expectativa
0 20
71 75
Variación de las variables
200 0
7571 71
Proporción directa
= −
Es decir la función lineal es:
= +71 La expectativa de vida de las mujeres en 1980 es de
30 = 77.
19
Cálculo I Parcial 1 Guía 2 Profesor Juan Emilio Navarro G. EJERCICIOS 1. Determinar los intervalos de monotonía de las siguientes funciones. a) b) c) d)
= 21 = 3 + 2 1 = = √
2. Hallar la pendiente (si es que existe) de la recta que determina el par de puntos dados. Hallar también la pendiente de la recta perpendicular. a) b) c)
= 1,2; = 2,1 = 2,1; = 2,2 = 2,0; = 2,2
3. Encontrar la ecuación de la recta que cumple la característica dada:
1,1 1 2,3 1/2. 3,4 2,5. 8,0 1,3. 5/4 = 6. 1/2 = 3. 12,9 1/3,4 =4 = 1. 5,1 2 + 5 – 15 = 0. 4,10 6 – 3 – 5 = 0. Dados los puntos 3,2 y 5,6 escriba: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)
Pasa por con pendiente . Pasa por con pendiente Pasa por y Pasa por y Tiene pendiente y corta el eje en Tiene pendiente y corta el eje en Pasa por y es paralela al eje . Pasa por y es paralela al eje . Corta el eje en y el eje en Pasa por y es paralela a la recta k) Pasa por y es perpendicular a la recta
4.
a) b) c) d) e)
La ecuación de la recta dados dos puntos. La ecuación de la recta dada la pendiente y un punto. La ecuación de la recta dada la pendiente y el coeficiente de posición. La ecuación general de la recta. La ecuación paramétrica de la recta.
5. La relación entre los grados Celsius temperatura es lineal.
º y los Fahrenheit º para medir la º º .
a) Encuentre una ecuación que relacione y Si corresponde a y corresponden a b) Utilice la ecuación para hallar la medida Celsius de
0º
32º 100º
212º . 70º . 20
Cálculo I Parcial 1 Guía 2 Profesor Juan Emilio Navarro G.
6. La escala Kelvin para medición de temperatura se obtiene sumando 273 a la temperatura Celsius.
º . º (véase el ejercicio anterior).
a) Escriba una ecuación que relacione y b) Escriba una ecuación que relacione y
7. Cada domingo un kiosco vende copias de cierto periódico a 500 pesos cada una. El costo del vendedor es de 50 pesos por periódico y se paga un costo fijo de almacenaje, envío, etc. de 1.000 pesos cada domingo. a) Escriba una ecuación que relacione la ganancia con el número de copias vendidas. b) Haga la gráfica de dicha ecuación. c) ¿Cuál es la ganancia para el kiosco si se venden 1000 diarios? d) Si el vendedor pretende ganar $19.700 cada domingo, ¿cuántos periódicos debe vender? 8. Un empresario adquiere una máquina por 36500 dólares. La máquina gasta en promedio 9.25 dólares por hora en mantenimiento y gasolina. El operario que la maneja cobra 13.50 dólares por hora y a los clientes se les cobra 30 dólares por hora. a) Escribir una ecuación para el costo de funcionamiento de la máquina durante horas. b) Ídem para los ingresos , derivados de t horas de uso. c) Hallar el punto de equilibrio de esa máquina, calculando en qué tiempo ocurre
= .
9. Una empresa construye un almacén por 825.000 dólares. Tendrá una vida útil estimada en 25 años, después de los cuáles se espera que su valor sea de 75.000 dólares. a) Escribir una ecuación para el valor del almacén durante esos 25 años. b) Después de 10 años, el empresario desea vender el almacén. ¿Qué precio debería cobrar para no perder dinero? 10. Una agencia inmobiliaria dispone de un edificio con 50 apartamentos. Cuando el alquiler es de 380 mil pesos mensuales, los 50 están ocupados, pero con un alquiler de 425 mil pesos mensuales, la media de ocupación baja a 47. Supongamos que la relación entre el precio del alquiler y el número de apartamentos ocupados es lineal.
a) Escribir una ecuación que describa en términos de . b) Usar esa ecuación para predecir el número de apartamentos que estarán ocupados si se establece un alquiler de 455 mil pesos mensuales. c) Predecir el precio del arriendo en miles de pesos y tenemos 49 departamentos ocupados. 21
Cálculo I Parcial 1 Guía 2 Profesor Juan Emilio Navarro G. 11. En invierno Chilectra suministra electricidad a residencias con un cargo mensual de 9.06 pesos más 10.819 centavos de peso por en los primeros 400 . consumidos el mes; y cobra 7.093 centavos de peso por cada . extra.
ℎ
a) b) c) d)
ℎ ℎ
ℎ
ℎ
¿Cuál es el cargo por el consumo de 300 . en un mes?. ¿Cuál es el cargo por el consumo de 700 . en un mes?. Si es el cargo mensual por . , exprese como función de . Grafique dicha función.
ℎ
12. En el mes de noviembre de 1991 existieron las siguientes tarifas para el consumo de gas natural en residencias unifamiliares. Cargo por servicio mensual…………………………..$7.00. Cargo de distribución de los primeros 90 litros………$0.21054/litro. Por arriba de los 90 litros……………………………..$0.2634/litro.
a) b) c) d)
¿Cuál es el cargo por consumir 50 litros en un mes? ¿Cuál es el cargo por 500 litros en un mes? Construye una función que relacione el cargo mensual para litros de gas. Grafique esta función.
13. Un auto arrendado cuesta 95 mil pesos la semana y cada día adicional cuesta 24 mil pesos. Sólo se cobran días adicionales si estos no sobrepasan los 95 mil pesos. En caso contrario se cobra la semana completa. a) Determine el costo de arrendar un auto, según el número x de días utilizados, donde . b) Grafique esta función (toda fracción de un día cuenta como un día completo).
7 ≤ ≤ 14
14. La capacidad del cuerpo humano para ciertas tareas disminuye con la edad. El libro Sex and the Origins of Death, de William Clark, presenta estadísticas de ese tipo. Por ejemplo, la fertilidad femenina cae, como promedio, de un 100% a los 30 años hasta un 0% a los 50 años. a) Hallar una función lineal que modele el problema. b) ¿A qué edad se alcanza el 50% de fertilidad?
22
Cálculo I Parcial 1 Guía 2 Profesor Juan Emilio Navarro G. SOLUCIONES 1.
]∞,+∞[ ∞, y creciente en ,+∞
]∞,+∞[ d) Creciente en ]0,+∞[
a) Creciente en b) Decreciente en
c) Creciente en
2. m
3
a)
1
m
m
b)
3
m
3
c)
4
m
m
4
0
3
3. a) y b)
x
e)
y
f)
y
g)
y
5
4
x 6
1
h)
x
3
2 y x 8 0
c)
y
4
3
d)
y
7
1
5
x
3
1
x 3
2
x
i)
4
j)
9
x 8
y
1
1
2 x 5 y 5 0 2 y x
k)
24
4. a) b)
y
y
6
2
5
2
2
3
2 x
x
c) d)
3
y
2 x
2x
y
x 2t 3
4
4
e) y 4t 2
0
3
5. a)
F
a)
k
32
C
9
5
0
b)
190
t
C
9
6.
273
C
k
b)
F
273
100
32
180
23
0
Cálculo I Parcial 1 Guía 2 Profesor Juan Emilio Navarro G. 7. a)
G
450x
1.000
c)
G
d)
P
449.000
46
G
20 9
b)
P
-1000
8. a) b)
C = 22.75 t + 36500 I = 30.00 t
c)
t es aproximadamente a
5034.48
9. a) V = -30.000 (T-25) + 75000
b) V = 525.000
10. a)
x
1
15
b)
P 380 50
x
45
c)
P
395
11. a)
c
c)
9.16819 C 9.16819 0.07093 x 400
b)
9.16819
c
30.44719
0 x 400 x 400
d)
9.16
400
24
Cálculo I Parcial 1 Guía 2 Profesor Juan Emilio Navarro G. 12. a) C = 7.21054
b) C = 115.20454 7.21054
c) C = 7.21054 0.2634( 90) d) x
90 x 90
x
7.21054
90
13. 95 24 x 7
a) C =
b)
190
7 x
x
10 con x
10
190 167 143 119 95
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
14. a) E 20F 50 b) E 40 años
0 F 1
Literatura complementaria - Calculo; Larson; volumen 1, sexta edición, pagina 14 a la 24.
25
