Guía Matemática MARZO 2010
Nombre del Profesor: Francisco Arratia Camus
Guía N° 1
Nombre del Estudiante: ___________________________________
Nivel: NM4
Sector de Aprendizaje: Matemática. Unidad: Estaística ! "ro#a#i$ia. "ro#a#i$ia. %ara tener &'ito en e$ esarro$$o e este nue(o tema) e#emos tener en cuenta $os conce"tos* e Estaística +escri"ti(a ! %ro#a#i$iaes) como* Meias e tenencia centra$) ,rá-icos e -recuencias) maneo e $a in-ormaci/n) "ro#a#i$ia "ro#a#i$ia com"uesta) "ro#a#i$ia tota$ ! -/rmu$a e a"$ace en e$ cá$cu$o e $as "ro#a#i$iaes. "ro#a#i$iaes.
En esta 1nia*
Estadística escriptiva A"$icarás conce"tos estaísticos* muestra) "o#$aci/n ! ti"os e (aria#$es. Orenarás ! or,aniarás $a in-ormaci/n. Ana$iarás ! construirás ta#$as ! ,rá-icos. +eterminarás meias e tenencia centra$* meia aritm&tica) mo a ! meiana. Ca$cu$arás meias e is"ersi/n* ran,o) es(iaci/n e s(iaci/n estánar ! (ariana. Conocerás e inter"retarás $as meias e "osici/n* cuarti$es) 3uinti$es) eci$es ! "ercenti$es. Estadística !nferencial +eterminarás $a omo,eneia ! etero,eneia e una muestra. Com"ararás istri#uciones e istintas muestras e "o#$aciones e"enieno e$ ti"o e muestreo a"$icao. +eterminarás ! ca$cu$arás -unciones e "ro#a#i$ia ! istri#uci/n e una (aria#$e a$eatoria iscreta. Estuiarás $a corre$aci/n ! re,resi/n $inea$ e istri#uciones #iimensiona$es. Reconocerás istri#uciones norma$es ! #inomina$es. 5 ca$cu$arás "ro#a#i$iaes con e$$as.
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Estadística y Probabilidad Probabilidad
!ntroducci"n E'isten i-erentes raones "or $as cua$es $os "ro-esiona$es e#en conocer $os -unamentos e $a estaística como instrumento e$ tra#ao cotiiano. En esta ,uía se pretende dar a conocer algunas nociones estadísticas que nos ayudarán a explorar y describir, en un primer momento, nuestros datos. Poblaciones # Muestras Cuano se rea$ia un estuio e in(esti,aci/n) se "retene ,enera$mente in-erir o ,enera$iar resu$taos e una muestra a una "o#$aci/n. 6e estuia en "articu$ar a un reucio n7mero e ini(iuos a $os 3ue tenemos acceso con $a iea e "oer ,enera$iar $os a$$a,os a $a "o#$aci/n e $a cua$ esa muestra "rocee. Este "roceso e in-erencia se e-ect7a "or meio e m&toos estaísticos #asaos en $a "ro#a#i$ia. a "o#$aci/n re"resenta e$ conunto ,rane e ini(iuos 3ue eseamos estuiar ! ,enera$mente sue$e ser inaccesi#$e. Es) en e-initi(a) un co$ecti(o omo,&neo 3ue re7ne unas características eterminaas. a muestra es e$ conunto menor e ini(iuos 8su#conunto e $a "o#$aci/n accesi#$e ! $imitao so#re e$ 3ue rea$iamos $as meiciones o e$ e'"erimento con $a iea e o#tener conc$usiones ,enera$ia#$es a $a "o#$aci/n9. E$ ini(iuo es caa uno e $os com"onentes e $a "o#$aci/n ! $a muestra. a muestra e#e ser re"resentati(a e $a "o#$aci/n ! con e$$o 3ueremos ecir 3ue cua$3uier ini(iuo e $a "o#$aci/n en estuio e#e a#er tenio $a misma "ro#a#i$ia e ser e$e,io. as raones "ara estuiar muestras en $u,ar e "o#$aciones son i(ersas ! entre e$$as "oemos se:a$ar* a. Aorrar tiem"o. Estuiar a menos ini(iuos es e(iente 3ue $$e(a menos tiem"o. #. Como consecuencia e$ "unto anterior aorraremos costes. c. Estuiar $a tota$ia e $os "acientes o "ersonas con una característica eterminaa en mucas ocasiones "uee ser una tarea inaccesi#$e o im"osi#$e e rea$iar. . Aumentar $a ca$ia e$ estuio. A$ is"oner e más tiem"o ! recursos) $as o#ser(aciones ! meiciones rea$iaas a un reucio n7mero e ini(iuos "ueen ser más e'actas ! "$ura$es 3ue si $as tu(i&semos 3ue rea$iar a una "o#$aci/n. e. a se$ecci/n e muestras es"ecí-icas nos "ermitirá reucir $a etero,eneia e una "o#$aci/n a$ inicar $os criterios e inc$usi/n !;o e'c$usi/n.
$ipos de datos o 3ue estuiamos en caa ini(iuo e $a muestra son $as (aria#$es 8ea) se'o) "eso) ta$$a) tensi/n arteria$ sist/$ica) etc&tera9. os atos son $os (a$ores 3ue toma $a (aria#$e en caa caso. o 3ue (amos a rea$iar es meir) es ecir) asi,nar (a$ores a $as (aria#$es inc$uias en e$ estuio. +e#eremos aemás concretar $a esca$a e meia 3ue a"$icaremos a caa (aria#$e. a natura$ea e $as o#ser(aciones será e ,ran im"ortancia a $a ora e e$e,ir e$ m&too estaístico más a"ro"iao "ara a#orar su aná$isis. Con este -in) c$asi-icaremos $as (aria#$es) a ,ranes ras,os) en os ti"os <=>* (aria#$es cuantitati(as o (aria#$es cua$itati(as. a. %ariables cuantitativas& 6on $as (aria#$es 3ue "ueen meirse) cuanti-icarse o e'"resarse num&ricamente. as (aria#$es cuantitati(as "ueen ser e os ti"os* ?aria#$es cuantitati(as continuas) si amiten tomar cua$3uier (a$or entro e un ran,o num&rico o eterminao 8ea) "eso) ta$$a9. o
?aria#$es cuantitati(as iscretas) si no amiten toos $os (a$ores intermeios en un ran,o. 6ue$en tomar so$amente (a$ores enteros 8n7mero e ios) n7mero e "artos) n7mero e ermanos) etc9.
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#. %ariables cualitativas& Este ti"o e (aria#$es re"resentan una cua$ia o atri#uto 3ue c$asi-ica a caa caso en una e (arias cate,orías. a situaci/n más senci$$a es a3ue$$a en $a 3ue se c$asi-ica caa caso en uno e os ,ru"os 8om#re;muer) en-ermo;sano) -umaor;no -umaor9. 6on atos icot/micos o #inarios. Como resu$ta o#(io) en mucas ocasiones este ti"o e c$asi-icaci/n no es su-iciente ! se re3uiere e un ma!or n7mero e cate,orías 8co$or e $os oos) ,ru"o san,uíneo) "ro-esi/n) etc&tera9.
En e$ "roceso e meici/n e estas (aria#$es) se "ueen uti$iar os esca$as* o
o
Escalas nominales* &sta es una -orma e o#ser(ar o meir en $a 3ue $os atos se austan "or cate,orías 3ue no mantienen una re$aci/n e oren entre sí 8co$or e $os oos) se'o) "ro-esi/n) "resencia o ausencia e un -actor e ries,o o en-ermea) etc&tera9. Escalas ordinales* en $as esca$as uti$iaas) e'iste un cierto oren o erar3uía entre $as cate,orías 8,raos e isnea) estaiae e un tumor) etc&tera9.
Estadística descriptiva na (e 3ue se an reco,io $os (a$ores 3ue toman $as (aria#$es e nuestro estuio 8atos9) "roceeremos a$ aná$isis escri"ti(o e $os mismos. %ara (aria#$es cate,/ricas) como e$ se'o o $a estatura) se 3uiere conocer e$ n7mero e casos en caa una e $as cate,orías) re-$eano a#itua$mente e$ "orcentae 3ue re"resentan e$ tota$) ! e'"resáno$o en una ta#$a e -recuencias. %ara (aria#$es num&ricas) en $as 3ue "uee a#er un ,ran n7mero e (a$ores o#ser(aos istintos) se a e o"tar "or un m&too e aná$isis istinto) res"onieno a $as si,uientes "re,untas* a. @A$reeor e 3u& (a$or se a,ru"an $os atos #. 6u"uesto 3ue se a,ru"an a$reeor e un n7mero) @c/mo $o acen @mu! concentraos @mu! is"ersos
a& Medidas de tendencia central as meias e centra$iaci/n (ienen a res"oner a $a "rimera "re,unta. a meia más e(iente 3ue "oemos ca$cu$ar "ara escri#ir un conunto e o#ser(aciones num&ricas es su (a$or meio. a media no es más 3ue $a suma e toos $os (a$ores e una (aria#$e i(iia entre e$ n7mero tota$ e atos e $os 3ue se is"one. Como eem"$o) consieremos 10 "acientes e eaes 21 a:os) <2) 1>) >B) 0) 1) 4) 0) D1) ! 0. a meia e ea e estos suetos será e*
Más -orma$mente) si enotamos "or 81) 2)...)n9 $os n atos 3ue tenemos reco,ios e $a (aria#$e en cuesti/n) e$ (a$or meio (enrá ao "or*
Otra meia e tenencia centra$ 3ue se uti$ia a#itua$mente es $a mediana. Es $a o#ser(aci/n e3uiistante e $os e'tremos. a meiana e$ eem"$o anterior sería e$ (a$or 3ue ea a $a mita e $os atos "or encima e ico (a$or ! a $a otra mita "or e#ao. 6i orenamos $os atos e ma!or a menor o#ser(amos $a secuencia* 1>) 21) <2) >B) 0) 0)1) 4) D1) 0. Como 3uiera 3ue en este eem"$o e$ n7mero e o#ser(aciones es "ar 810 ini(iuos9) $os os (a$ores 3ue se encuentran en e$ meio son 0 ! 0. 6i rea$iamos e$ cá$cu$o e $a meia e estos os (a$ores nos ará a su (e 0) 3ue es e$ (a$or e $a meiana. Francisco Arratia Camus
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6i $a meia ! $a meiana son i,ua$es) $a istri#uci/n e $a (aria#$e es sim&trica. a meia es mu! sensi#$e a $a (ariaci/n e $as "untuaciones. 6in em#ar,o) $a meiana es menos sensi#$e a icos cam#ios.
'álculo de la mediana para datos a(rupados
a m e d i a n a se encuentra en e$ i n t e r v a l o one $a frecuencia acumulada $$e,a asta $a mitad de la s u m a d e l a s f r e c u e n c i a s a b s o l u t a s. Es ecir tenemos 3ue #uscar e$ inter(a$o en e$ 3ue se encuentre
.
) i es e$ $ímite in-erior e $a c$ase one se encuentra $a meiana. es $a semisuma e $as -recuencias a#so$utas. * i + , es $a f r e c u e n c i a a c u m u l a d a anterior a $a c$ase meiana. a i es $a am"$itu e $a c$ase. a m e d i a n a es independiente e $as amplitudes e $os i n t e r v a l o s.
%or 7$timo) otra meia e tenencia centra$) no tan usua$ como $as anteriores) es $a moa) sieno &ste e$ (a$or e $a (aria#$e 3ue "resenta una ma!or -recuencia. En e$ eem"$o anterior e$ (a$or 3ue más se re"ite es 0) 3ue es $a moda
'álculo de la moda para datos a(rupados
) i es e$ $ímite in-erior e $a c$ase moa$. f i es $a -recuencia a#so$uta e $a c$ase moa$. f i + , es $a -recuencia a#so$uta inmeiatamente in-erior a $a c$ase moa$. f i - , es $a -recuencia a#so$uta inmeiatamente "osterior a $a c$ase moa$. a i es $a am"$itu e $a c$ase.
b& Medidas de dispersi"n a$ ! como se ae$anta#a antes) otro as"ecto a tener en cuenta a$ escri#ir atos continuos es $a is"ersi/n e $os mismos. E'isten istintas -ormas e cuanti-icar esa (aria#i$ia. +e toas e$$as) $a varianza 8629 e $os atos es $a más uti$iaa. Es $a meia e $os cuaraos e $as i-erencias entre caa (a$or e $a (aria#$e ! $a meia aritm&tica e $a istri#uci/n.
Esta (ariana muestra$ se o#tiene como $a suma e $as e $as i-erencias e cuaraos ! "or tanto tiene como uniaes e meia e$ cuarao e $as uniaes e meia en 3ue se mie $a (aria#$e estuiaa. En e$ eem"$o anterior $a (ariana sería*
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a desviaci"n típica 869 es $a raí cuaraa e $a (ariana. E'"resa $a is"ersi/n e $a istri#uci/n ! se e'"resa en $as mismas uniaes e meia e $a (aria#$e. a es(iaci/n tí"ica es $a meia e is"ersi/n más uti$iaa en estaística.
Aun3ue esta -/rmu$a e $a es(iaci/n tí"ica muestra$ es correcta) en $a "ráctica) $a estaística nos interesa "ara rea$iar in-erencias "o#$aciona$es) "or $o 3ue en e$ enominaor se uti$ia) en $u,ar e n) e$ (a$or n=1. %or tanto) $a meia 3ue se uti$ia es $a cuasies(iaci/n tí"ica) aa "or*
Aun3ue en mucos conte'tos se uti$ia e$ t&rmino e es(iaci/n tí"ica "ara re-erirse a am#as e'"resiones. En $os cá$cu$os e$ eercicio "re(io) $a es(iaci/n tí"ica muestra$) 3ue tiene como enominaor n) e$ (a$or sería 20.D. A e-ectos e cá$cu$o $o aremos como n=1 ! e$ resu$tao seria 21)DB. E$ a#er cam#iao e$ enominaor e n "or n=1 está en re$aci/n a$ eco e 3ue esta se,una -/rmu$a es una estimaci/n más "recisa e $a desviaci"n estándar (eraera e $a "o#$aci/n ! "osee $as "ro"ieaes 3ue necesitamos "ara rea$iar in-erencias a $a "o#$aci/n. Cuano se 3uieren se:a$ar (a$ores e'tremos en una istri#uci/n e atos) se sue$e uti$iar $a am"$itu como meia e is"ersi/n. a am"$itu es $a i-erencia entre e$ (a$or ma!or ! e$ menor e $a istri#uci/n. %or eem"$o) uti$iano $os atos e$ eem"$o "re(io tenremos 0=1> H>. Como meias e (aria#i$ia más im"ortantes) con(iene estacar a$,unas características e $a (ariana ! es(iaci/n tí"ica* ←
←
6on ínices 3ue escri#en $a (aria#i$ia o is"ersi/n ! "or tanto cuano $os atos están mu! a$eaos e $a meia) e$ numeraor e sus -/rmu$as será ,rane ! $a (ariana ! $a es(iaci/n tí"ica $o serán. A$ aumentar e$ tama:o e $a muestra) isminu!e $a (ariana ! $a es(iaci/n tí"ica. %ara reucir a $a mita $a es(iaci/n tí"ica) $a muestra se tiene 3ue mu$ti"$icar "or 4.
←
Cuano toos $os atos e $a istri#uci/n son i,ua$es) $a (ariana ! $a es(iaci/n tí"ica son i,ua$es a 0.
←
%ara su cá$cu$o se uti$ian toos $os atos e $a istri#uci/nI "or tanto) cua$3uier cam#io e (a$or será etectao.
Otra meia 3ue se sue$e uti$iar es e$ coeficiente de variaci"n 8C?9. Es una meia e is"ersi/n re$ati(a e $os atos ! se ca$cu$a i(iieno $a es(iaci/n tí"ica muestra$ "or $a meia ! mu$ti"$icano e$ cuociente "or 100. 6u uti$ia estri#a en 3ue nos "ermite com"arar $a is"ersi/n o (aria#i$ia e os o más ,ru"os. Así) "or eem"$o) si tenemos e$ "eso e > "acientes 8D0) 0) >) < ! DB J,9 cu!a meia es e B) K,. ! su es(iaci/n tí"ica 8s9 H 10)44 ! $a A6 e $os mismos 81>0) 1D0) 1<>) 10 ! 1B> mmL,9 cu!a meia es e 1 mmL, ! su es(iaci/n tí"ica e 21)<. a "re,unta sería* @3u& istri#uci/n es más is"ersa) e$ "eso o $a tensi/n arteria$ 6i com"aramos $as es(iaciones tí"icas o#ser(amos 3ue $a es(iaci/n tí"ica e $a tensi/n arteria$ es muco ma!orI sin em#ar,o) no "oemos com"arar os (aria#$es 3ue tienen esca$as e meias i-erentes) "or $o 3ue ca$cu$amos $os coe-icientes e (ariaci/n* C? e $a (aria#$e "eso H
C? e $a (aria#$e A6 H Francisco Arratia Camus
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A $a (ista e $os resu$taos) o#ser(amos 3ue $a (aria#$e "eso tiene ma!or is"ersi/n. Cuano $os atos se istri#u!en e -orma sim&trica 8! !a emos ico 3ue esto ocurre cuano $os (a$ores e su meia ! meiana están "r/'imos9) se usan "ara escri#ir esa (aria#$e su meia ! es(iaci/n tí"ica. En e$ caso e istri#uciones asim&tricas) $a meiana ! $a am"$itu son meias más aecuaas. En este caso) se sue$en uti$iar aemás $os cuartiles # percentiles. os cuarti$es ! "ercenti$es no son meias e tenencia centra$ sino medidas de posici"n. E$ "ercenti$ es e$ (a$or e $a (aria#$e 3ue inica e$ "orcentae e una istri#uci/n 3ue es i,ua$ o menor a esa ci-ra. Así) "or eem"$o) e$ "ercenti$ 0 es e$ (a$or e $a (aria#$e 3ue es i,ua$ o ea "or e#ao e sí a$ 0 e$ tota$ e $as "untuaciones. os cuarti$es son $os (a$ores e $a (aria#$e 3ue ean "or e#ao e sí e$ 2>) >0 ! e$ D> e$ tota$ e $as "untuaciones ! así tenemos "or tanto e$ "rimer cuarti$ 819) e$ se,uno 829 ! e$ tercer cuarti$ 8<9. 'álculo de los cuartiles
, . r d e n a m o s $os d a t o s e m e n o r a m a # o r . / uscamos e$ $u,ar 3ue ocu"a caa c u a r t i l meiante $a e'"resi/n
.
N7mero im"ar e atos 2) >) <) ) D) 4) B
N7mero "ar e atos 2) >) <) 4) ) D) 1) B
'álculo de los cuartiles para datos a(rupados
En "rimer $u,ar #uscamos $a c l a s e one se encuentra frecuencias acumuladas .
) en $a t a b l a d e l a s
) i es e$ $ímite in-erior e $a c$ase one se encuentra e$ cuarti$. N es $a suma e $as -recuencias a#so$utas. * i + , es $a f r e c u e n c i a a c u m u l a d a anterior a $a c$ase e $ cu ar ti $ . a i es $a am"$itu e $a c$ase.
os d e c i l e s son $os n u e v e v a l o r e s 3ue d i v i d e n $a serie e datos en d i e z p a r t e s i ( u a l e s . os d e c i l e s an $os (a$ores corres"onientes a$ 10) a$ 20... ! a$ B0 e $os atos. 0 c o in c i e c o n $ a mediana .
'álculo de los deciles Francisco Arratia Camus
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En "rimer $u,ar #uscamos $a c$ase one se encuentra acumu$aas.
) en $a ta#$a e $as -recuencias
) i es e$ $ímite in-erior e $a c$ase one se encuentra e$ eci$. N es $a suma e $as -recuencias a#so$utas. * i + , es $a f r e c u e n c i a a c u m u l a d a anterior a $a c$ase e$ e c i$ . a i es $a am"$itu e $a c$ase.
os p e r c e n t i l e s son $os 1 1 v a l o r e s 3ue dividen $a serie e datos en , 2 2 p a r t e s i ( u a l e s . os p e r c e n t i l e s an $os (a$ores corres"onientes a$ 1) a$ 2... ! a$ BB e $os atos. P 0 2 c o i nc i e c o n $ a mediana . 'álculo de los percentiles En "rimer $u,ar #uscamos $a c$ase one se encuentra acumu$aas.
) en $a ta#$a e $as -recuencias
) i es e$ $ímite in-erior e $a c$ase one se encuentra e$ "ercenti$. N es $a suma e $as -recuencias a#so$utas. * i + , es $a f r e c u e n c i a a c u m u l a d a anterior a $a c$ase e $ "e rc e nt i$ . a i es $a am"$itu e $a c$ase.
Ejercicios eer atentamente e$ si,uiente resumen) e$ artícu$o e in(esti,aci/n titu$ao* 'ompetencias docentes en los profesores de medicina de la Universidad Mic3oacana de San Nicolás de 4idal(o 5esumen %ara $a ienti-icaci/n e un ,ru"o e com"etencias ocentes #ásicas en $os "ro-esores 3ue se esem"e:an en $a $icenciatura en meicina en $a Facu$ta e Meicina P+r. Q,nacio Cá(e) o#eti(o -unamenta$ e$ "resente tra#ao) se uti$iaron m&toos te/ricos ! em"íricos. 6e a"$ic/ una encuesta a una muestra se$eccionaa e ocentes ! a$umnos. 6e em"$earon "roceimientos estaísticos "ara e$ aná$isis e $os resu$taos ! se e$a#oraron ta#$as. A "artir e $a ienti-icaci/n e $as necesiaes e a"reniae e $os "ro-esores estuiaos) en re$aci/n con $a irecci/n e$ "roceso ense:ana=a"reniae ! $os re-erentes te/ricos so#re e$ tema) se rea$i/ un aná$isis inte,raor "ara (a$orar $os atos o#tenios) $o 3ue "ermiti/ $a caracteriaci/n e $os ocentes o#eto e in(esti,aci/n) en re$aci/n con $as com"etencias ocentes #ásicas "ro"ias e una ,esti/n -ormati(a "ertinente. 6e tomaron en consieraci/n $os "rinci"ios metoo$/,icos más actua$es acerca e $a -ormaci/n e recursos umanos en $a eucaci/n su"erior en sentio ,enera$ ! en "articu$ar en $a eucaci/n m&ica su"erior. A "artir e este resumen* a. +e-ine $a "o#$aci/n. #. +e-ine $a muestra. c. +e-ine $a8s9 (aria#$e8s9 a$eatoria8s9.
, & Qnica 3ue v a r i a b l e s son cualitativas ! cua$es c u a n t i t a t i v a s* , / 6 7 0
Comia Fa(orita. %ro-esi/n 3ue te ,usta. N7mero e ,o$es marcaos "or tu e3ui"o -a(orito en $a 7$tima tem"oraa. N7mero e a$umnos e tu Qnstituto. E$ co$or e $os oos e tus com"a:eros e c$ase.
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8 Coe-iciente inte$ectua$ e tus com"a:eros e c$ase.
/ & +e $as si,uientes v a r i a b l e s inica cuá$es son d i s c r e t a s ! cua$es continuas . , N7mero e acciones (enias caa ía en $a o$sa. / em"eraturas re,istraas caa ora en un o#ser(atorio. 6 %eríoo e uraci/n e un autom/(i$. 7 E$ iámetro e $as rueas e (arios coces. 0 N7mero e ios e >0 -ami$ias. 8 Censo e $a "o#$aci/n ci$ena.
6 & C$asi-icar $as si,uientes v a r i a b l e s en c u a l i t a t i v a s ! c u a n t i t a t i v a s d i s c r e t a s o continuas . , / 6 7 0 8
a naciona$ia e una "ersona. N7mero e $itros e a,ua contenios en un e"/sito. N7mero e $i#ros en un estante e $i#rería. 6uma e "untos tenios en e$ $anamiento e un "ar e aos. a "ro-esi/n e una "ersona. E$ área e $as istintas #a$osas e un ei-icio.
7 & as "untuaciones o#tenias "or un ,ru"o en una "rue#a an sio* 1>) 20) 1>) 1) 22) 1<) 1<) 1) 1>) 1B) 1) 1>) 1) 20) 1) 1>) 1) 1) 14) 1<. Construir $a ta#$a e istri#uci/n e -recuencias ! i#ua e$ ,rá-ico más aecuao.
0 & E$ n7mero e estre$$as e $os ote$es e una ciua (iene ao "or $a si,uiente serie* <) <) 4) <) 4) <) 1) <) 4) <) <) <) 2) 1) <) <) <) 2) <) 2) 2) <) <) <) 2) 2) 2) 2) 2) <) 2) 1) 1) 1) 2) 2) 4) 1. Construir $a ta#$a e istri#uci/n e -recuencias ! i#ua e$ ,rá-ico más aecuao.
8 & as ca$i-icaciones e >0 a$umnos en Matemáticas an sio $as si,uientes* >) 2) 4) B) D) 4) >) ) >) D) D) >) >) 2) 10) >) ) >) 4) >) ) ) 4) 0) ) 4) ) ) ) <) ) D) ) ) D) ) D) <) >) ) B) ) 1) 4) ) <) >) >) ) D. Construir $a ta#$a e istri#uci/n e -recuencias ! i#ua e$ ,rá-ico más aecuao.
9 & Los pesos de los 65 empleados de una fábrica vienen dados por la siguiente tabla: Peso
02; 82<
82; 92<
92; =2<
=2;12<
12; ,22<
,22; ,,2<
,,2; ,/2<
fi
=
,2
,8
,7
,2
0
/
= & os 40 a$umnos e una c$ase an o#tenio $as si,uientes "untuaciones) so#re >0) en un e'amen e Física. <) 1>) 24) 2) <<) <>) <) 42) 2<) <) <) <4) 2B) 2>) 1D) D) <4) <) ) 2) <) 41) 4) 1>) <2) 1<. , Construir $a t a b l a d e f r e c u e n c i a s. / +i#uar e$ 3isto(rama ! e$ polí(ono de frecuencias .
1 & Sea una distribucin estadística que viene dada por la siguiente tabla: >i
8,
87
89
92
96
fi
0
,=
7/
/9
=
Francisco Arratia Camus
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Ca$cu$ar* , a moda; mediana # media . / E$ ran(o; varianza # desviaci"n típica .
, 2 & Consi&rense $os si,uientes atos* <) ) 4) 10) ) 2. 6e "ie* , & Ca$cu$ar su meia ! su (ariana. / & 6i $os toos $os atos anteriores $os mu$ti"$icamos "or <) cuá$ será $a nue(a meia ! es(iaci/n tí"ica.
, , & E$ resu$tao e $anar os aos 120 (eces (iene ao "or $a t a b l a : Sumas
/
6
7
0
8
9
=
1
,2
,,
,/
%eces
6
=
1
,,
/2
,1
,8
,6
,,
8
7
, & Ca$cu$ar $a media ! $a desviaci"n típica . / & La$$ar e$ "orcentae e (a$ores com"renios en e$ inter(a$o ? > @ ; > - < . , / & +e esta istri#uci/n e -recuencias a#so$utas acumu$aas) ca$cu$ar* Ea
Fi
S0) 29
4
S2) 49
11
S4) 9
24
S) 9
<4
S) 109
40
,& Meia aritm&tica ! es(iaci/n tí"ica. / & @Entre 3u& (a$ores se encuentran $as 10 e a e s c e nt r a$ e s 6 & Re"resentar e$ "o$ í,on o e -re cue ncias a#so $uta s acum u$a as .
Qn-ormaci/n reco"i$aa en*
PEstaística +escri"ti(a ?itutor 2010 Es"a:a) 14 e maro e 2010. tt"*;;TTT.(itutor.com;estaistica.tm$
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PEstaística escri"ti(a e $os atosP %ita Fernáne 6) %&rte,a +ía) 6. nia e E"iemio$o,ía C$ínica ! ioestaística. Com"$e'o Los"ita$ario ni(ersitario e A Coru:a 8Es"a:a9. tt"*;;TTT.-isterra.com;m#e;in(esti,a;10escri"ti(a;10escri"ti(a.as"
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