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Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas y Ciencias de la Computación
SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES NO LINEALES Ejercicios de Aplicación
1.-
Una empresa heladera quiere producir helados gigantes con forma de cono que puedan contener un tercio de litro
⁄
de helado. Su objetivo es de
calcular las dimensiones óptimas (radio y altura
en este caso) del
barquillo para usar la mínima cantidad posible de galleta, es decir, para que el área del barquillo sea mínima.
Sabiendo que el volumen de un cono es
√ √
se pide:
y el área (lateral) es
a) Determinar la función a minimizar (el área) en función de una sola de las variables (altura o radio). b) Plantear justificadamente la ecuación que debe resolver el mínimo. c) Resolver la ecuación de b) mediante el Método de Newton-Raphson comenzando con un valor “razonable”
y deteniendo el método método cuando la
distancia entre dos aproximaciones sucesivas sea inferior a
d) ¿Cuáles deben de ser las medidas aproximadas del del barquillo?
hay en el abrevadero con un error máximo de 1 cm (Indic.: considerar que
) utilizando el Método de Bisección.
Con los datos propuestos:
Resolviendo para h, tenemos: Luego:
3.-
Un fabricante de envases de zumo se dispone a optimizar las dimensiones de sus envases con el objetivo de minimizar los costos de fabricación (proporcional al material usado) de las mismas. Teniendo en cuenta que la capacidad de los envases debe ser de 1.5 litros, calcula las dimensiones óptimas de los mismos (usa los datos de la figura).
Para facilitar la resolución sigue las etapas siguientes: b) Definir la función a optimizar (minimizar en este caso). c) Buscar la(s) relación(es) que hay entre las variables del problema y úsalas para reducir el número de variables de la función inicial. d) Escribe el sistema asociado a la búsqueda de extremos de una función de 2 variables. e) Para resolver este sistema elimina una de las variables y expresa la ecuación restante en forma de ecuación polinómica. f) Estima la solución (será una de las magnitudes del envase) de la ecuación polinómica aplicando 3 iteraciones del Método de Newton – Raphson con aproximación inicial 10 cm. g) Por último, usando el valor obtenido en el apartado anterior, estima el resto de magnitudes del envase.
4.-
Desarrollar una función que permita calcular el volumen específico de un
gas puro, dada la temperatura (en Kelvin) y la presión (en Atmósferas) usando la ecuación de estado RKS de Redlich-Kwong-Soave.
Las constantes y pueden obtenerse a partir de las ecuaciones:
en donde
y
son la presión crítica y temperatura crítica del gas,
respectivamente. La variable
es una función empírica de la temperatura,
y puede obtenerse de:
El valor de es una función del factor acéntrico ω:
Las propiedades físicas del gas n-butano son: y la constante universal de los gases
es
Se pide: a) Calcular el volumen específico del vapor de n-butano a
.
y en un
rango de presiones de 5 a 9 atm. Ocupar el Método de Bisección para obtener el resultado.
5.-
Una esfera de densidad y radio tiene una masa de de un segmento esférico viene dado por
. El volumen
.
Mediante el Método de Newton-Raphson calcular la profundidad a la cual se hunde una esfera de densidad
en el agua como fracción de su radio
. Obtener una precisión menor del 0.1% en el cálculo.
6.-
Se tiene que construir una lata de forma cilíndrica con capacidad de 1 litro. Las tapas circulares de la lata se hacen con un radio superior en 0.25 cm al radio real de la lata (para poder sellar la lata). Igualmente, el material para la parte lateral de la lata debe ser 0.25 cm más largo que la circunferencia de la lata. a) Calcular el radio óptimo de la lata que precisa un material mínimo para su construcción con precisión de Raphson.