Cálculo I
Parcial 1 Guía 3 Profesor Juan Emilio Navarro G Guía Nº3 Función cuadrática.
Funciones polinómicas
̅
Un polinomio de grado
es una función
Con los coeficientes
tal que:
y
tenemos que
Su dominio son todos los reales, es decir el dominio es
Ejemplo: De función Polinómica de grado 5:
Observación: Se recomienda colocar los exponentes ordenados de mayor a menor. El recorrido de la función polinómica es: i)
Si
ii)
Si
es impar entonces su recorrido es
es par
a. Con 0 entonces tenemos que su recorrido esta dado por un intervalo impropio (no acotado) cerrado por la izquierda. b. Con entonces tenemos que su recorrido esta dado por un intervalo impropio (no acotado) cerrado por la derecha. Ceros de la función polinómica.
Los ceros de un polinomio son aquellos números (reales o complejos) tales que al evaluar el polinomio en ese número el valor del polinomio resulta cero. Nota 1. En caso de ser reales nos indican el punto de corte con co n el eje de las abscisas. 2. En la función polinómica tenemos tantos ceros ceros como grado tenga el polinomio.
1
Cálculo I
Parcial 1 Guía 3 Profesor Juan Emilio Navarro G
3. Como estamos con funciones reales de variable real, nos interesan los ceros reales, los cuales al aparecer, más de una vez, se contabiliza una sola vez.
Ejemplo: En el polinomio
tenemos que
es un cero de la función.
Solución: Evaluemos en la función dicho valor
Es decir
entonces
Casos particulares
{}
Caso
:
Con
;
Con
función constante.
No hay ceros de la función.
Caso Con Con
Siendo
a
función de la línea recta.
;
, hay un ceros ceros de la función dado por
la pendiente de la línea recta
a0
el coeficiente de posición.
Ambas funciones ya fueron analizadas en la guía anterior. Función cuadrática
Si el grado del polinomio es 2, se tiene que: que se conoce como función polinomio de segundo grado, o simplemente función cuadrática. Para simplificarla podemos expresarla como: números reales con
donde
y
son
Características Dominio:
Es el conjunto de todas las pre-imágenes, es decir
{ } } 2
Cálculo I
Parcial 1 Guía 3 Profesor Juan Emilio Navarro G
3. Como estamos con funciones reales de variable real, nos interesan los ceros reales, los cuales al aparecer, más de una vez, se contabiliza una sola vez.
Ejemplo: En el polinomio
tenemos que
es un cero de la función.
Solución: Evaluemos en la función dicho valor
Es decir
entonces
Casos particulares
{}
Caso
:
Con
;
Con
función constante.
No hay ceros de la función.
Caso Con Con
Siendo
a
función de la línea recta.
;
, hay un ceros ceros de la función dado por
la pendiente de la línea recta
a0
el coeficiente de posición.
Ambas funciones ya fueron analizadas en la guía anterior. Función cuadrática
Si el grado del polinomio es 2, se tiene que: que se conoce como función polinomio de segundo grado, o simplemente función cuadrática. Para simplificarla podemos expresarla como: números reales con
donde
y
son
Características Dominio:
Es el conjunto de todas las pre-imágenes, es decir
{ } } 2
Cálculo I
Parcial 1 Guía 3 Profesor Juan Emilio Navarro G
Sabemos que al multiplicar dos reales nos da un real y al sumar dos reales, también obtenemos un real, por ende el dominio es
Recorrido:
Es el conjunto de todas las imágenes de los elementos del dominio, es decir
{ } } ( ) ( )( )
Para poder determinar el recorrido debemos aislar la variable variable
Procedamos restando
de
a ambos lados de la igualdad obteniendo
Factorizando por en la expresión de la izquierda tenemos
Para poder determinar el recorrido debemos aprender a completar el cuadrado del binomio, en aras de aislar la variable y conseguir las restricciones de la variable . Sabiendo que el cuadrado de binomio es de la forma
Procedemos a comparar la expresión cuadro del binomio.
Tenemos por igualación de coeficiente que
con la expresión de la derecha del
luego
Entonces el cuadrado del binomio nos queda
Es decir, simplificando tenemos
Luego para completar el cuadrado cuadrado del binomio en la expresión izquierda de
Debemos sumar y restar dentro del paréntesis
, obteniendo
( ) 3
Cálculo I
Parcial 1 Guía 3 Profesor Juan Emilio Navarro G
( ) Agrupando el cuadrado del binomio vemos que
( ) ( )
Abriendo el primer paréntesis y simplificando obtenemos
Sumamos a ambos lados
tenemos
Reordenando miramos
( ) ( )
Como el cuadrado del binomio siempre es no negativa la restricción de la variable y depende del coeficiente , es decir Si
Aislando
entonces
en la inecuación tenemos
Entonces el recorrido es
Si
Aislando
entonces
en la inecuación tenemos
Entonces el recorrido es
4
Cálculo I
Parcial 1 Guía 3 Profesor Juan Emilio Navarro G
Ejemplo Dada la función cuadrática
determine su dominio y recorrido.
Solución Su dominio esta dado por:
Para poder determinar el recorrido debemos aislar la variable
de
.
Procedamos restando 5 a ambos lados de la igualdad obteniendo
Factorizando por
en la expresión de la izquierda tenemos
Para poder determina el recorrido debemos aprender a completar el cuadrado del binomio, en aras de aislar la variable y conseguir las restricciones de la variable .
Sabiendo que el cuadrado de binomio es de la forma
Procedemos a comparar la expresión
Tenemos por igualación de coeficiente que
con el cuadro del binomio. luego
Entonces el cuadrado del binomio nos queda
Es decir
Luego para completar el cuadrado del binomio de la expresión izquierda de
.
Debemos sumar y restar dentro del paréntesis , obteniendo
.
Agrupando el cuadrado del binomio vemos
.
Abriendo el primer paréntesis obtenemos
.
5
Cálculo I
Parcial 1 Guía 3 Profesor Juan Emilio Navarro G
Sumamos a ambos la dos
tenemos
]] ( )
Como
y
es decir
aislando
.
tenemos que:
,
en la inecuación tenemos
, entonces el recorrido es .
Otra forma de escribir la función cuadrática
De (1) aislando “ ” obtenemos
Sean
e
, entonces tenemos
Luego la función cuadrática la podemos escribir de la forma canoníca
Donde el punto
Siendo
x vértice igual a y vértice igual a
lo denominamos vértice de la parábola.
Ejemplo Dada la función cuadrática
escríbala de la forma
.
Solución En el proceso de completar el cuadrado del binomio
Procedemos a factorizar por en la expresión de la derecha obteniendo
.
Sabiendo que el cuadrado de binomio es de la forma
Procedemos a comparar la expresión
con el cuadro del binomio. 6
Cálculo I
Parcial 1 Guía 3 Profesor Juan Emilio Navarro G
Tenemos por igualación de coeficiente que
Sumando y restando Obtenemos
luego despejando
( ) ( )
en el paréntesis de la derecha.
obtenemos
Completando cuadrado del binomio tenemos
Reordenando
( )
Es decir
( )
Representación gráfica de una función cuadrática
La representación gráfica de
es una curva continua que recibe el nombre de parábola. Función base de la parábola
Llamamos función base a una función conocida, con la cual queremos construir otra función mediante traslaciones y/o transformaciones de la función conocida. Sea
función cuadrática base.
Dominio de la función cuadrática base:
{}
Recorrido de la función cuadrática base: Grafica de la función cuadrática base
Representación grafica de la función base:
7
Cálculo I
Parcial 1 Guía 3 Profesor Juan Emilio Navarro G x 0 1 -1 2 x -x
y 0 1 1 -2
Propiedades Función par: tenemos que
El eje de las ordenadas es un eje de simetría de ecuación:
Parábola ramificada hacia arriba.
Creciente en intervalo abierto
Decreciente en intervalo abierto
Vértice de de la parábola:
Tiene valor mínimo
Tiene punto de valor mínimo
][ ][
Estudio de la parábola
Partamos estudiando su forma canoníca
Llamamos al coeficiente I.
Sean
coeficiente de concavidad
Concavidad
luego tenemos
Observemos que el coeficiente de concavidad base.
actúa en el recorrido de la función
8
Cálculo I
Parcial 1 Guía 3 Profesor Juan Emilio Navarro G
Para lo cual miremos la siguiente tabla de puntos:
El vértice de la parábola base con el coeficiente cambia de posición
Generalización
se mantiene invariante, es decir no
A su vez el coeficiente expande o contrae o reflexiona la imagen de la función base a partir del vértice de la parábola base. Para ver esto realicemos un estudio de casos fijándonos en el punto con
.
Caso I. Veamos i.
Si entonces tenemos la ecuación de la parábola (función base), con y y su representación grafica tiene una ramificación hacia arriba.
ii.
Si entonces tenemos la ecuación de la parábola , con , y respecto a la representación grafica de la función base se produce una contracción respecto del recorrido y además su ramificación se mantiene hacia arriba.
iii.
Si entonces tenemos la ecuación de la parábola , con , y respecto a la representación grafica de la función base se produce una expansión respecto del recorrido y además su ramificación se mantiene hacia arriba.
Es decir si
. la gr áfica es convexa 9
Cálculo I
Parcial 1 Guía 3 Profesor Juan Emilio Navarro G
Caso II
Veamos i.
Si entonces tenemos la ecuación de la parábola con , y respecto a la representación grafica de la función base se produce una reflexión (efecto bisagra) respecto del eje OX, y su representación grafica invierte el sentido teniendo su ramificación hacia abajo.
ii.
Si entonces tenemos la ecuación de la parábola con , y respecto a la representación grafica de la función base se produce una contracción respecto del recorrido existiendo una reflexión respeto del eje de las abscisas, siendo su ramificación hacia abajo.
iii.
Si entonces tenemos la ecuación de la parábola con , y respecto a la representación grafica de la función base se produce una expansión respecto del recorrido existiendo una reflexión respeto del eje de las abscisas, siendo su ramificación hacia abajo.
Es decir si
En conclusión
Si Si
la repr esentación gr áfica es cóncava.
en la parábola la ramificación es abierta hacia arriba. en la parábola la ramificación es abierta hacia abajo.
10
Cálculo I II.
Parcial 1 Guía 3 Profesor Juan Emilio Navarro G
Traslación de los ejes Observemos los distintos tipos de traslaciones de la función base
a)
Desplazamiento vertical
Dada la función base Sean
y
luego tenemos
Observemos que el coeficiente y-vértice: Actúa en el recorrido de la función base.
Para lo cual miremos la siguiente tabla de puntos:
Todos los puntos de la parábola base con el coeficiente verticales en un sentido u otro en dependencia de signo
||
Generalización
se trasladan
espacios
Para ver esto realicemos un estudio de casos
i) Si se produce un desplazamiento vertical hacia arriba de la gráfica original.
ii) Si se produce un desplazamiento vertical hacia abajo de la gráfica original.
11
Cálculo I
Parcial 1 Guía 3 Profesor Juan Emilio Navarro G
b) Desplazamiento horizontal Dada la función base Sean
y
luego tenemos
Observemos que el coeficiente x-vértice Actúa en el dominio de la función base. Sea
un elemento de dominio de la función base que nos da la altura
Fijando esa altura observamos la ecuación Que a su vez es Sacando raíz cuadrada tenemos
|| || || || || ||
Por definición de valor absoluto tenemos
Abriendo el valor absoluto tenemos dos soluciones
Obteniendo dos puntos
Para lo cual miremos la siguiente tabla de puntos fijando la altura respectiva determinado los elementos del dominio nuevo
Generalización
Todos los puntos de la parábola base con el coeficiente se trasladan horizontales en un sentido u otro en dependencia de signo
||
espacios
Para ver esto realicemos un estudio de casos 12
Cálculo I
Parcial 1 Guía 3 Profesor Juan Emilio Navarro G
i) Si se produce un desplazamiento horizontal hacia derecha de la gráfica original.
ii) Si se produce un desplazamiento horizontal hacia la izquierda de la gráfica original.
Nota
Si estudiamos tenemos ramificación en dependencia del coeficiente desplazamiento vertical en dependencia del coeficiente y el desplazamiento horizontal en dependencia del coeficiente III.
a > 0
y0 x a < 0
Eje de simetría
Toda parábola tiene un eje de simetría, que divide la parábola en dos partes iguales.
eje
eje
Se dice que se tiene un eje de simetría positivo si el eje de simetría corta al eje de las abscisas en un punto positivo, es decir
, lo que nos indica que los coeficientes son de distinto signo.
Se dice que se tiene un eje de simetría nulo si el eje de simetría corta al eje de las abscisas en el origen del sistema, es decir
, lo que nos indica que el coeficiente
y
eje
.
13
Cálculo I
Parcial 1 Guía 3 Profesor Juan Emilio Navarro G eje
Se dice que se tiene un eje de simetría negativo si el eje de simetría corta al eje de las abscisas en un punto negativo, es decir
, lo que nos indica que los coeficientes de igual signo.
IV.
y
son
Vértice de una parábola (Puntos Extremos)
Definición
] [ ][ ][
Decimos que la función f tiene valor máximo en el intervalo , si existe un valor real perteneciente al intervalo de modo que para todo valor perteneciente al intervalo se cumple que
Entonces al punto
lo llamamos punto de valor máximo.
Y el valor máximo lo denotamos por
Definición
][
][ ] [ ][
Decimos que la función f tiene valor mínimo en el intervalo , si existe un valor real perteneciente al intervalo de modo que para todo valor perteneciente al intervalo se cumple que
Entonces al punto
lo llamamos punto de valor mínimo.
Y el valor mínimo lo denotamos por
[ ]
El valor máximo o mínimo de la parábola se encuentra en la ordenada del Vértice y se denomina y-vértice:
El punto de valor máximo o mínimo de la parábola se encuentra en la abscisa del Vértice, y se denomina x-vértice:
El vértice de una parábola está situado en el eje de simetría de ésta, por tanto la abscisa del vértice será el punto medio de las abscisas de dos puntos de la parábola que se encuentran a una misma altura.
Si y son ceros de la función cuadrática entonces la coordenada x del vértice se calcula con la fórmula:
14
Cálculo I
Parcial 1 Guía 3 Profesor Juan Emilio Navarro G
La coordenada
se calcula sustituyendo el valor de
, o usando la fórmula:
en la ecuación de la función
()
Ante los cual tenemos que Si
i.
.
Entonces tenemos que el valor mínimo es
y el punto de valor de mínimo es Su vértice es
Si
ii.
.
Entonces tenemos el valor máximo es
Y el punto de valor de máximo es . Su vértice es
V.
Intersección de la parábola con los ejes coordenados
A.
Intersección con el eje de las ordenadas (eje OY)
Como todos los puntos de este eje tienen la abscisa , si reemplazamos en la función dicho valor obtenemos que el punto de intersección de la parábola con el tiene coordenadas
Al valor
lo llamamos coeficiente de posición.
15
Cálculo I
Parcial 1 Guía 3 Profesor Juan Emilio Navarro G
Si miramos la forma general La intersección con el
.
implica que
esta dada por
Observemos que i.
Si Corta el eje de las ordenadas sobre el eje de las abscisas.
a>0 c>0
a<0
ii.
iii.
Si Corta el eje de las ordenadas en el origen del sistema.
a>0 c=0 a<0
Si Corta el eje de las ordenadas bajo el eje de las abscisas.
a>0
c<0 a<0
Nota
Si miramos la forma
tenemos que
Es decir el coeficiente de posición es
B. Intersección con el eje de las abscisas (eje OX)
Observemos la forma general
Como todos los puntos del tienen la ordenada , para calcular los puntos de intersección se resuelve la ecuación de segundo grado asociada a la función:
16
Cálculo I
Parcial 1 Guía 3 Profesor Juan Emilio Navarro G
Recuerde los puntos en los cuales la función se anula se llaman ceros de la función Intersección con el eje
De la ecuación (1) con
( ) implica
es decir
tenemos
Reordenando obtenemos
Y como
tenemos
( ) ( ⏟ ) ⏟
Llamamos discriminante de la ecuación de segundo grado a Dependiendo del valor del discriminante situaciones distintas:
de la ecuación, se pueden presentar tres
Luego sacando raíz cuadrada tenemos
i)
Si
√ ||
entonces tenemos que:
La ecuación no tiene soluciones reales.
La parábola no cortará al
o
.
Tenemos una raíz compleja conjugada, es decir o
a>0
a<0
|| ||
No hay ceros de la función. En este caso el eje de las abscisas en una recta exterior a la parábola.
17
Cálculo I ii)
Si
Parcial 1 Guía 3 Profesor Juan Emilio Navarro G
0 entonces tenemos que:
La ecuación tiene una solución real La parábola cortará al eje x en un punto (que será el vértice), es decir
a>0
a<0
o
Hay un cero de la función.
En este caso el eje de las abscisas en una recta tangente a la parábola.
iii)
Si 0 entonces tenemos que: La ecuación tiene dos soluciones reales y distintas. La parábola corta al eje x en dos puntos distintos, es decir o
o
a<0
√ √
a>0
Hay dos ceros de la función. En este caso el eje de las abscisas en una recta secante a la parábola.
Nota
Si miramos la forma Tenemos que
Aislando
tenemos
Sacando raíz obtenemos
Por definición de valor absoluto miramos que 18
Cálculo I
Parcial 1 Guía 3 Profesor Juan Emilio Navarro G
|| Abriendo el valor absoluto recibimos dos valores
Observemos que Recuerde que
es el vértice de la parábola es decir
Entonces
Es decir
Si tenemos los ceros de la función la función cuadrática y el coeficiente de concavidad entonces la función cuadrática se escribe de la siguiente forma
Observemos que esto es cierto desarrollando los paréntesis obtenemos
Resumen
1. Si tenemos los ceros de la función la función cuadrática y el coeficiente de concavidad entonces la función cuadrática se escribe de la siguiente forma
√ √
Observemos que esto es cierto desarrollando los paréntesis obtenemos
Con
obtenemos que
A su vez por otro lado tenemos que
19
Cálculo I
Parcial 1 Guía 3 Profesor Juan Emilio Navarro G
Desarrollando los paréntesis por suma por su diferencia miramos
√ ( )
Abriendo los cuadrados tenemos
Como el discriminante de la ecuación de segundo grado es Lo sustituimos y obtenemos
( ) ( ) ( ) ( )
Sumando las fracciones tenemos
Simplificando
Lo obtenido lo sustituimos en
y obtenemos
Con lo que obtenemos la función cuadrática
2. Tenemos una función par si el coeficiente
Ya que tenemos una simetría axial respecto del eje de las ordenadas
3. La tasa de Variación o razón de cambio es una relación Lineal.
4. Sea el x vértice de la parábola, es decir viene dada por
, entonces la razón de cambio,
Factorizando por tenemos
Es decir
Observando los signos de la razón de cambio tenemos que:
20
Cálculo I
Parcial 1 Guía 3 Profesor Juan Emilio Navarro G
Si
( )
Implica que
Si
entonces para
la grafica es creciente.
Si
Implica que
( ) Si
Si
la grafica es decreciente.
entonces para todo
la grafica es decreciente.
entonces para todo
la grafica es creciente.
Si todo
entonces para todo
21
Cálculo I 4. Si
Parcial 1 Guía 3 Profesor Juan Emilio Navarro G
entonces la función cuadrática tiene:
a. valor mínimo:
b. Punto de valor mínimo
c. La función es creciente en
][
][ ][
d. La función es decreciente en 5. Si
entonces la función cuadrática tiene:
a. valor máximo: b. Punto de valor máximo
c. La función es creciente en
[ ] ][ ][
d. La función es decreciente en
2
Ejemplo: Analizar la función: f (x) = -x + 4x – 7
1. Completamos cuadrado del binomio: 2 2 f (x) = - (x - 4x +4) - 7 + 4 = - (x - 2) - 3 Por lo tanto el vértice es: V (2, - 3 ) 2. El vértice determina que el eje de simetría de la parábola es 3. Su dominio es D f = IR , y su recorrido es . 4. Coeficiente de posición
][
.
5. f es cóncava es decir su ramificación es hacia abajo porque a < 0. 6. f no tiene raíces reales, luego no intercepta al eje de las x. 7. f es creciente en el intervalo ,2 y es decreciente en el intervalo 2,
22
Cálculo I
Parcial 1 Guía 3 Profesor Juan Emilio Navarro G EJERCICIOS
1. Dibuje las gráficas de: a) y = x2 b) y = x2 + 3
c) y = x2 – 2 d) y = - x2
e) y = 2x2 + 1
¿Qué observa? ¿Puede extraer una conclusión generalizada de la función de la forma y = x2 + k? 2. Considere las siguientes gráficas: a) y = x2 b) y = (x - 2)2
c) y = (x + 3)2
d)
y =- (x - 1)2
¿Qué observa? ¿Puede extraer una conclusión generalizada de la función de la forma y = (x - h)2? 3. ¿Dónde esperaría encontrar el vértice de la gráfica y = (x – 3)2 + 2? Justifique. 4. Dada la función
–
, determine:
a) coordenadas del vértice, b) concavidad, c) dominio,
d) recorrido, e) ceros de la función, f) punto de intersección con el eje y.
5. Determine los puntos de intersección con los ejes en las siguientes funciones: a) y = x2 + 5x + 6 b) y = x2 - 5x c) y = (x + 3)2 – 1
d) y = -2x2 - 16x – 14 e) y = - x2 - 8x – 7
6. Un atleta lanza una jabalina con trayectoria parabólica: y = – 0.003x2 + 0.18x + 2, donde x es el alcance horizontal e y el alcance vertical (ambos se miden en metros). Calcula: a) ¿Desde qué altura se lanzó la jabalina? b) ¿Qué tan lejos llegó la jabalina? c) ¿Cuál fue la altura máxima alcanzada?
23
Cálculo I
Parcial 1 Guía 3 Profesor Juan Emilio Navarro G
7. La altura de un objeto que es lanzado hacia arriba viene dada por la función: 1
h(t) = v0 t – gt2 donde v0 es la velocidad inicial con que es lanzado, t el tiempo 2
transcurrido y g la aceleración de la gravedad (Suponga: g 9.8 m seg 2 ). Si lanzamos una pelota de golf a una velocidad de 24.5 m/seg.: a) b) c) d)
¿Qué altura tiene a los 2 segundos? ¿Cuándo vuelve a pasar por la misma altura? ¿Cuál es la altura máxima que alcanza? ¿Cuántos segundos tarda en regresar al suelo?
8. El número de hormigas con alas H(x), en millones, en una región, depende de la lluvia caída x, en milímetros. Si la función que relaciona una y otra variable es: H(x) = 70x – 5x2 , determina: a) ¿Cuánto debe llover para que haya 65 millones de hormigas? b) ¿Cuántas hormigas hay si caen 10 mm de agua? c) La cantidad de lluvia que hace máxima la población de hormigas. 9. Un túnel tiene forma parabólica, dada por la función: h(x) =
1 9
x
2
4 3
x
(h: altura en metros; x: distancia en metros desde que empieza el túnel): a) ¿Qué altura tiene el túnel a 2 m del arranque del arco? b) ¿Cuál es la altura máxima del túnel? c) ¿Hay que tomar alguna precaución para que circule un autobús de 3 m de alto por 2.5 m de ancho? 10. En una ciudad se realiza un estudio de mercado sobre el comportamiento de la oferta y la demanda de un determinado artículo, los resultados obtenidos quedaron caracterizados por las siguientes funciones: p = -3/5 q + 72; p = 1/30 q2 + 24 en las que “q” representa las unidades del artículo y “p” el precio por unidad. a) Representa gráficamente las funciones dadas, en el mismo sistema coordenado, identificando cuál es la función de oferta y cuál es la de demanda. b) Halla analíticamente el punto de equilibrio. c) Si se fija un precio de $24, analiza el comportamiento de la oferta y de la demanda. d) Halla el precio según la oferta y según la demanda para 24 unidades. e) Halla la expresión analítica de la función in greso considerando la oferta. f) Halla el máximo ingreso en la oferta.
24
Cálculo I
Parcial 1 Guía 3 Profesor Juan Emilio Navarro G
11. Se estudia la oferta y la demanda de un determinado artículo. La demanda quedó caracterizada por la función: p = -1/200 q2 + 72, en las que “q” representa las unidades del artículo y “p” el precio por unidad. La oferta tiene un comportamiento lineal, siendo el precio mínimo de $24, y cada vez que aumenta $1, la cantidad ofrecida aumenta una unidad. a) Halla la función que modela la oferta. b) ¿Cuáles son los valores correspondientes al punto de equilibrio? c) Representa gráficamente la función de oferta y demanda, en el mismo sistema coordenado. d) Halla la expresión analítica de la función ingreso considerando la demanda.
12. Las funciones de oferta y demanda de un determinado producto son: O: q = – 200 +
1 4
p2 y
D:
q = 520 –
1 5
p2
a)
Si el fabricante piensa que puede vender cada unidad a $50, ¿qué cantidad produciría? b) A ese precio de $50, ¿qué cantidad de producto demanda el mercado? c) ¿Cuál es la cantidad y el precio de equilibrio? 13. Las funciones de oferta y demanda de un determinado producto son: O: q = – 150 + 10p y D: q = 450 – p2 ; donde p viene dado en miles de dólares. a) Determina las cantidades de oferta y demanda a un precio de 15 000 dólares. b) ¿Cuál es la cantidad y el precio de equilibrio?
14. El ingreso y el costo, en millones, de una empresa vienen dados por las funciones: I(x) = 50x – 4x2 y C(x) = 100 + 5x, donde x son miles de unidades producidas y vendidas. a) Hallar el punto de equilibrio, donde la empresa no gana ni pierde. b) Hallar la función que da la ganancia de la empresa y la región donde esa ganancia es positiva. 15. Las funciones de ingreso y costo para un determinado producto, son I(x) = 100x - 10x2 y C(x) = 100 + 5x, donde x viene dada en miles de unidades e I(x) y C(x) en millones de pesos. a) ¿Cuál es el ingreso, el costo y la ganancia de la empresa?, si produce y vende i. 1.000 unidades. 25
Cálculo I
Parcial 1 Guía 3 Profesor Juan Emilio Navarro G
ii. 3.000 unidades iii. 10.000 unidades. b) ¿Cuál es la función ganancia? c) ¿Cuántas unidades hay que producir y vender para que la ganancia sea positiva? 16. Una empresa decide invertir en publicidad en uno de sus productos en aras de aumentar sus ganancias. Se sabe que la ganancia (en miles de dólares) viene dada por la función: , en donde x es el dinero invertido en publicidad (en miles de dólares). Determine cuánto dinero se debe invertir para que la ganancia sea máxima y encuentre dicha ganancia.
17. La ganancia diaria P de una refinería de petróleo viene dada por la función: , en donde x es el número de barriles de petróleo refinado. ¿Cuántos barriles debe producirse diariamente para que la ganancia de la refinería sea lo mayor posible y cuál es dicha ganancia?
18. Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertida, según la fórmula: R(x) = - 0.002x2 + 0.8x – 5, donde R(x) representa la rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad x. Determinar, teniendo en cuenta que disponemos de 500 euros: a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad b) Cuánto dinero debemos invertir para obtener la máxima rentabilidad posible. c) Cual será el valor de dicha rentabilidad máxima. 19. La suma de dos números no negativos es 36. Halla dichos números para que la suma de sus cuadrados sea lo mas pequeña posible.
26
Cálculo I
Parcial 1 Guía 3 Profesor Juan Emilio Navarro G
SOLUCIONES
1.
a)
b)
c)
d)
e)
La constante k desplaza la función en sentido vertical, si k 0 la desplaza hacia arriba, si k 0 se mantiene la función base, si k 0 la desplaza hacia abajo.
27
Cálculo I 2.
Parcial 1 Guía 3 Profesor Juan Emilio Navarro G
a)
b)
c)
d)
La Suma de constante dentro del argumento implica un desplazamiento de la función en sentido horizontal. Si h 0 se desplaza h espacios a la derecha, si h 0 se mantiene invariante, si h 0 se desplaza a la izquierda. 3.
4.
Ya que la función original se desplaza 3 unidades a la derecha y 2 hacia arriba. Su vértice se encuentra en el punto 3,2
a) Vértice: ; b) Concavidad: hacia abajo; c) Dominio: ;
d) e) f)
√ ] ]
Recorrido Ceros: ; Intersección eje y: k – h2
5. a) eje y → y = 6; eje x → x = -3, x = -2 b) eje y → y = 0; eje x → x = 0, x = 5 c) eje y → y = 8; eje x → x = -4, x = -2
d) eje y → y = -14; eje x → x = -1, x = -7 e) eje y → y = -7; eje x → x = -1, x = -7
28
Cálculo I
Parcial 1 Guía 3 Profesor Juan Emilio Navarro G
6. a)
2m
b) 69,6 m
c) 4,7 m
7. a) 29,4 m b) a los 3 segundos
c) 30,625 m d) 5 seg.
8. a) en 1mm, o en 13mm, b) 200 millones c) con 7mm. tenemos la población máxima de245 millomes 9. a) 2,2222… m b) 4 m c) Si el autobús debe pasar a una distancia mayor que tres metros de los extremos del túnel. 10. a)
b) El punto de equilibrio es: c) Para un precio $24 la unidad: la cantidad de artículos en la oferta es , y la cantidad de artículos en la demanda es . d) Para 24 unidades el valor unidad de la oferta es en la demanda es e)
I(q) =
3
5
q 2 72 q
f) Ingreso máximo es $2160. 11. a) p = q + 24 b) q = 40 p = $64 c) representación grafica
d) . I (q) =
1
200
q 3 72 q
29
