UNIVERSIDAD DE LIMA ESCUELA UNIVERSITARIA DE NEGOCIOS Estadística General
GUIA 5 de clase: Variable Aleatoria 1.
La probabilidad de que el pedido de un cliente no se despache a tiempo es 0.10. Un cliente realiza 3 pedidos, los tiempos que hay entre pedidos pueden considerarse como eventos independientes. Sea X : numero de pedidos enviados a tiempo a !onstr !onstruir uir la "unc "unci#n i#n de proba probabili bilidad dad y la "unci "unci#n #n de distr distribu ibuci# ci#nn de X b !alc !alcul ular ar:: i $%X $%X & ' ii ii $%X $%X ( '
'.
Un estudi estudioo contabl contablee tiene como como client clientes es a ') empre empresas sas %1) %1) de Lima y 10 de provin provincia cias s,, para una revisi revisi#n #n de los estados estados de cuenta se eli*en al azar a ' de ellas+ si X es la variable aleatoria que representa el numero de empresas de Lima ele*idas+ construya la distribuci#n de probabilidad de X.
3.
Una compa compa-a -a de se*uro se*uross o"rece o"rece a una persona persona de ) aos aos una p#liza p#liza por un ao de /100,0 /100,000 00 por una prima prima anual anual de /1,'00. suma que el nmero de muertes en este *rupo de edad es de ) por cada 1000. 2!ul es la *anancia esperada para la compa-a de se*uros con una p#liza de estas condiciones4
.
La publicidad publicidad de de ciertos ciertos "ondos "ondos de invers inversi#n i#n de alto ries*o ries*o a"irma a"irma que la probabi probabilidad lidad de doblar doblar la cantida cantidadd invertida invertida es del del 05, la probabilidad de triplicarla es del 105, la de perder la mitad es del 3)5 mientras que s#lo un 1)5 de los clientes han perdido todo lo invertido. 2!ul es la *anancia esperada si decido invertir '0000 soles4
).
6l *erente *erente "inancie "inanciero ro de una compacompa-aa est conside considerand randoo dos propues propuestas tas de inversi# inversi#n. n. La propues propuesta ta seala seala *ananci *anancias as netas de S7'0,000.00, S730,000.00 y S7)0,000.00 con probabilidades respectivas de 0.', 0. y 0.. 6n el caso de la propuesta 8, el *erente piensa que e9iste un )05 de oportunidades de una inversi#n e9itosa, que podr-a producir *anancias netas de S7.100,000.00 y que si resultara mala la inversi#n se podr-a alcanzar el punto de equilibrio, sin *anar o perder dinero. sumiendo que cada propuesta requiere la misma cantidad de inversi#n, 2cul ser-a pre"erible, desde el punto de vista del retorno monetario esperado4
.
!onsid !onsidera eramo moss un dado dado de tal manera manera que, que, con el e9peri e9perimen mento to aleator aleatorio; io; tirar tirar el dado;, dado;, la "unci# "unci#nn de probab probabilid ilidad ad de la variable aleatoria X < ;numero obtenido;, es 1 2 f (x) = k − ( x − 3) para x = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 38 a b
@.
!alcul !alcular ar el el valor valor de de =. 26st 26st el el dado dado bien bien bala balance nceado4 ado4 Se propone propone el >ue*o >ue*o si*uiente: si*uiente: se se apuesta apuesta )00 soles, soles, se se tira el dado dado y si si sale par, par, se se recupera recupera la apuesta apuesta mas 100 100 soles mientras que si sale impar, se pierde la cantidad apostada 2?erece la pena >u*ar4
Un inversion inversionista ista tiene tiene la posibilidad posibilidad de colocar colocar sus activ activos os en dos t-tulos t-tulos "inancie "inancieros ros distintos distintos.. Si compra compra acciones acciones de A; la *anancia ser de /'0 y la pBrdida de /110, en el lapso de una semana. Si compra acciones de A8; la *anancia ser de /)0 y la pBrdida de /300. Si e9iste la misma posibilidad de obtener *anancia para ambas acciones. 2!ul deber-a ser el valor de probabilidad, para que el inversionista se encuentre indi"erente entre una u otra acci#n4
C.
La *erenci *erenciaa de una compa compa-a -a minera minera debe decidir decidir si contin continuar uar una operac operaci#n i#n en cierto cierto lu*ar lu*ar. Si la contina contina y tiene tiene B9ito *anar S7 1000,000 y si "racasa perder S7 00,000+ si abandona un lu*ar que les habr-a dado B9ito, esto acarrear una pBrdida de S7 00,000 %por razones competitivas+ y si no contina en un lu*ar donde de todas maneras hubiese "racasado, esto representa S7 100,000 para la compa-a %debido a que los "ondos destinados para la operaci#n permanecen intactos. 2DuB decisi#n ma9imizar-a las utilidades esperadas de la compa-a si las probabilidades a "avor y en contra del B9ito son, respectivamente, 0.0 y 0.04.
E.
6l tiempo, tiempo, en horas, horas, necesari necesarioo para que que un practicant practicantee de un estudio estudio procese procese,, edite y analice analice in"ormaci in"ormaci#n #n contable contable es una una variable aleatoria con la si*uiente distribuci#n de probabilidades: x 2 3 4 5 6 7
f(x)
0.1
0.1
0.3
0.2
0.2
0.1
a Fallar la probabilidad de que para hacer este tipo de tareas, el practicante necesite: a.1 ?s de horas a.' 6ntre 3 y horas inclusive b Gnterprete, en tBrminos del enunciado, el valor esperado y la desviaci#n estndar de X c) Si al practicante se le otor*a una boni"icaci#n "i>a de 10 soles por hacer la tarea y si emplea menos de horas se le pa*a ') soles por cada hora ahorrada, halle 2quB monto esperar-a recibir4 10. Una empresa solicit# a un analista "inanciero que evaluB la posibilidad de inversi#n en dos proyectos y 8+ lue*o de in"ormarse al respecto, el analista presenta las distribuciones de probabilidad de los posibles resultados econ#micos %X de y 8 en miles de d#lares Proyecto A
Proyecto B
x
-30
-10
20
50
100
f(x)
0.08
0.12
0.40
0.25
0.15
x
-50
-20
30
80
120
f(x)
0.05
0.25
0.35
0.20
0.15
a !onsiderando independientes los resultados de los dos proyectos, 2!ul es la probabilidad de que s#lo en uno de ellos obten*a pBrdidas4 b 26n cul de los proyectos esperar-a la empresa un me>or resultado econ#mico4 c) !alculando el coe"iciente de variaci#n de cada distribuci#n, 2en cul proyecto los resultados serian menos hetero*Bneos4. 11. Sondeos de mercado realizados por n fa!rican"e para no de ss prodc"os indican #e la demanda pro$ec"ada de!e considerarse na %aria!le alea"oria & con %alores en"re 0 $ 25 "oneladas. 'a fncin de pro!a!ilidad de & es.
f ( x ) =
3x 25
a) !) c)
2 3
0 ≤ x ≤ 25
ons"rir la fncin de dis"ri!cin de & *+l es la pro!a!ilidad de "ener na demanda en"re 10 $ 20 "oneladas allar la demanda esperada $ s %ariacin rela"i%a.
12. l porcen"a/e de con"aminan"e presen"e en na mes"ra de aire es na %aria!le alea"oria con fncin de densidad dada por f(x) a !x2 0 x 1 a) Si (&) 35. alclar el %alor de a $ ! para #e f sea fncin de densidad. !) allar la pro!a!ilidad de #e el porcen"a/e de con"aminan"e en na mes"ra de aire sea ma$or a 0.5 13. ier"o apara"o reis"ra el ni%el de sa"racin de la red el6c"rica en na comarca. l error rela"i%o porcen"al de la medida dada por el apara"o es na %aria!le alea"oria con"ina & con fncin de dis"ri!cin si x < 0 0
7(x) = 1 − (1 − x)
1
2
si 0 < x < 1 si x > 1
e"erminar a) 'a fncin de densidad de pro!a!ilidad de la %aria!le &. !) 'a pro!a!ilidad de #e na medida "ena n error en"re el 0.19 $ el 0.29. c) l error rela"i%o esperado. 14. 'as %en"as diarias de refrescos de na de"erminada /er:a, expresadas en miles de nidades, se represen"an median"e na %. a. & con la siien"e fncin de densidad
si 0 ≤ x < 1 x 2 − x si 1 ≤ x < 2 0 en o"ro caso f(x) Se desea conocer a) ;edia de las %en"as diarias $ s coeficien"e de %ariacin. !)
