Álgebra Libro del docente Primer grado de Secundaria
Álgebra Libro del docente Primero grado de Secundaria Colección Intelectum Evolución © Ediciones Lexicom S. A. C. - Editor RUC 20545774519 Jr. Dávalos Lissón 135, Cercado de Lima Teléfonos: 331-1535 / 331-0968 / 332-3664 Fax: 330 - 2405 E-mail:
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La Colección Intelectum Evolución para Secundaria ha sido concebida a partir de los lineamientos pedagógicos establecidos en el Diseño Curricular Nacional de la Educación Básica Regular, además se alinea a los patrones y estándares de calidad aprobados en la Resolución Ministerial N.º 0304-2012-ED. La divulgación de la Colección Intelectum Evolución se adecúa a lo dispuesto en la Ley 29694, modificada por la Ley N.º 29839, norma que protege a los usuarios de prácticas ilícitas en la adquisición de material escolar. El docente y el padre de familia orientarán al estudiante en el debido uso de la obra.
hacia una educación moderna y de calidad Naturaleza de la Matemática
¿Qué es la Matemática? Resulta difícil encontrar una definición que abarque totalmente el concepto de Matemática, pero la podemos definir como una ciencia formal (junto con la lógica), dado que utilizando como herramienta el razonamiento lógico, se aboca al análisis de las relaciones y de las propiedades entre números y figuras geométricas.
Federico Engels
Según Federico Engels: “La Matemática es una ciencia que tiene como objeto las formas espaciales y las relaciones cuantitativas del mundo real”. Nos permite además el desarrollo de las capacidades matemáticas: razonamiento y demostración, comunicación matemática y resolución de problemas.
Importancia de la Matemática La Matemática es de suma importancia en nuestra vida, en nuestra cultura y en el contexto del desarrollo científico y tecnológico de la humanidad. La Matemática ha llegado a ocupar un lugar central en la civilización actual, porque es una ciencia capaz de ayudarnos en el desarrollo de nuestras capacidades matemáticas fundamentales. Esto nos permite comprender nuestro entorno y el universo en muchos aspectos, constituyéndose en el paradigma de muchas ciencias y en un gran apoyo auxiliar en la mayor parte de ellas. Esto gracias a sus procesos cognitivos, tales como el razonamiento simbólico con el que trata de modelar diversas formas de ser del mundo físico e intelectual. La Matemática es entonces un potente modelo de intervención en las estructuras de la realidad de nuestro entorno, en la aplicación de modelos fidedignos al mundo físico y mental. En realidad, como afirma Miguel de Guzmán, la mayor parte de los logros de nuestra tecnología no son sino matemática encarnada con la colaboración de otras ciencias. Esta intensa presencia de la Matemática en nuestra cultura no es algo que vaya a menos, sino todo lo contrario. A juzgar por las tendencias que se manifiestan cada vez con más fuerza, parece claro que el predomino de la intelección matemática, acción y efecto de enterderla, será un distintivo evidente de la civilización futura.
Prusia(1820) - Londres(1895) Notable sabio y maestro del mundo civilizado.
Euclides
Historia de la Matemática
El conocimiento de la historia de la Matemática y de la biografía de sus creadores más importantes nos hace plenamente conscientes del carácter profundamente histórico, es decir, dependiente del momento y de las circunstancias sociales, ambientales, prejuicios del momento, así como de los mutuos y fuertes impactos que la cultura en general, la Filosofía, la Matemática, la tecnología, las diversas ciencias han ejercido unas sobre otras. Aspecto este último del que los mismos matemáticos enfrascados en su quehacer técnico no suelen ser muy conscientes, por la forma misma en que la Matemática suele ser presentada, como si fuera inmune a los avatares de la historia. La perspectiva histórica nos acerca a la Matemática como ciencia humana, nos aproxima a las interesantes personalidades de los hombres que han ayudado a impulsarla a lo largo de muchos siglos, por motivaciones muy distintas. La historia de la Matemática es un recurso fundamental que debe emplearse en el aula, valorando el aporte genuino de cada autor.
Sobre la utilización de la historia en la educación matemática Sabemos que la Matemática es una actividad antigua que sirve para muchas cosas. A lo largo de los siglos ha sido empleada con objetivos profundamente diversos. Fue un instrumento para la elaboración de vaticinios, entre los sacerdotes de los pueblos mesopotámicos. Entre los pitagóricos se consideró como un medio de aproximación a una vida más profundamente humana y como camino de acercamiento a la divinidad entre los pitagóricos. Fue utilizada como un importante elemento disciplinador del pensamiento, en el Medioevo. Ha sido la más versátil e idónea herramienta para la exploración del universo, a partir del Renacimiento. Ha constituido una magnífica guía del pensamiento filosófico, entre los pensadores del racionalismo y filósofos contemporáneos. Ha sido un instrumento de creación de belleza artística, un campo de ejercicio lúdico, entre los matemáticos de todos los tiempos.
330 a.C - 275 a.C. Es el matemático griego más famoso de la antigüedad.
En la historia de la matemática tenemos la aportación de los matemáticos y filósofos griegos. En esta época las matemáticas alcanzan la madurez como ciencia. Se preocuparon por reflexionar sobre la naturaleza de los números y sobre la naturaleza de los objetos matemáticos.
GUÍA METODOLÓGICA
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Tend en c i a s a c t u a l e s d e l a e n s e ñ a n z a - a p r e nd i zaj e d e l a Ma t e m á t i c a
Los procesos del pensamiento matemático y el desarrollo de capacidades Una de las tendencias generales más difundidas hoy consiste en la transmisión de los procesos de pensamiento propios de la Matemática más que en la mera transferencia de contenidos, poniéndose énfasis en el desarrollo de capacidades matemáticas. Son capacidades que se pueden transferir o aplicar a otros aprendizajes y situaciones de la vida. Planteamos una propuesta pedagógica para desarrollar capacidades matemáticas, que implican procesos complejos que se desarrollan conjuntamente con el aprendizaje de conocimientos sobre Números, relaciones y operaciones, Geometría y medida, y Estadística y probabilidades. La Matemática es, sobre todo, saber hacer, es una ciencia en la que el método claramente predomina sobre el contenido. Por ello, se concede una gran importancia al estudio de las cuestiones (en buena parte colindantes con la psicología cognitiva) que se refieren a los procesos mentales de resolución de problemas.
Aprendizaje lúdico a través de juegos didácticos.
En la situación de transformación vertiginosa de la civilización en la que nos encontramos, es claro que los procesos verdaderamente eficaces de pensamiento que no se vuelven obsoletos con tanta rapidez son lo más valioso que podemos proporcionar a nuestros jóvenes. En nuestro mundo científico e intelectual tan rápidamente cambiante, vale mucho más hacer acopio de procesos de pensamiento útiles que de contenidos que rápidamente se convierten en lo que Whitehead llamó “ideas inertes”, ideas que forman un pesado lastre, que no son capaces de combinarse con otras para formar constelaciones dinámicas, ineficaces para abordar los problemas del presente y del futuro.
Comprensión de las capacidades matemáticas de área
Capacidades matemáticas de área
Capacidades específicas
Razonamiento y demostración Razonamiento Sinónimos: razón, argumento, demostración, explicación, prueba, ilación, inferencia, reflexión, juicio, lógica, discurso, raciocinio, deducción.
Reproducir Sinónimos: copiar, imitar, remedar, calcar, repetir, machacar, insistir, porfiar.
Es expresarse ordenando ideas en la mente para llegar a una conclusión. Esta definición implica varios supuestos: primero, supone que el sujeto tiene establecidas ideas que se constituyen gracias a la capacidad de abstraer; segundo, asume el ordenamiento de ellas (ordenar es el resultado de la capacidad de relacionar razonamiento y demostración).
Es una capacidad específica en la cual se repite conscientemente y de manera comprensiva lo aprendido, mediante la observación, la identificación, la conceptualización, la formulación o ejemplificación de la información recibida. Analizar Sinónimos: examinar, estudiar, averiguar, comparar, separar, considerar, distinguir, detallar, descomponer.
El razonamiento y la demostración proporcionan modos potentes de desarrollar y codificar conocimientos sobre una amplia variedad de fenómenos, de allí que sea una capacidad que todo estudiante debe desarrollar.
Es una capacidad específica en la cual se distingue y separa las partes de un todo para conocer sus elementos. Mediante la observación, la diferenciación, la identificación, la relación o comparación y la organización de la información recibida.
Razonar y pensar matemáticamente implica percibir patrones, estructuras o regularidades, tanto en situaciones del mundo real como en objetos simbólicos; ser capaz de preguntarse si esos patrones son casuales o si hay razones para que aparezcan; poder formular conjeturas y demostrarlas.
Interpretar Sinónimos: explicar, comentar, entender, comprender, traducir, descifrar, decodificar, representar, glosar.
Demostración Sinónimos: prueba, confirmación, corroboración, verificación, justificación, ejemplificación. Demostrar es establecer una sucesión finita de pasos partiendo de proposiciones verdaderas para fundamentar la veracidad de una proposición.
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Es una capacidad específica en la cual se concibe de un modo personal la realidad, mediante la observación, la identificación, la comprensión, la clasificación, la relación, la inferencia o deducción y la generalización o formulación de la información recibida. Relacionar significa encontrar un vínculo o nexo cuantitativo o cualitativo entre dos o más objetos matemáticos de un mismo conjunto o clase, lo cual permite reconocer y usar conexiones entre ideas matemáticas.
“Una demostración matemática es una manera formal de expresar tipos particulares de razonamiento y de justificación”. En definitiva, el desarrollo de la capacidad de razonamiento y demostración, que implica procesos de naturaleza compleja, se favorecerá a lo largo de la Educación Básica a través de intervenciones pedagógicas en las que los estudiantes tengan la oportunidad de reconocer que el razonamiento y la demostración son aspectos fundamentales de la Matemática. Formular e investigar conjeturas matemáticas, seleccionar y utilizar diversos tipos de razonamiento y métodos de demostración, relacionar las ideas matemáticas e interpretar la conexión entre ellas, y desarrollar prioritariamente las capacidades de: Identificar, relacionar, estimar y argumentar.
Comunicación matemática Sinónimos: comunicado, escrito, oficio, trato, relación, correspondencia, unión, paso, contacto. Es la transmisión y recepción de códigos relacionados a situaciones matemáticas o de un lenguaje cotidiano. La comunicación matemática es una de las capacidades del área que adquiere un significado especial en la educación matemática porque, entre otras cosas, permite expresar, compartir y aclarar las ideas, las cuales llegan a ser objeto de reflexión, perfeccionamiento, discusión, análisis y reajuste. el proceso de comunicación ayuda también a dar significado y permanencia a las ideas y difundirlas. Escuchar las explicaciones de los demás da oportunidades para desarrollar la comprensión. Las conversaciones en las que se exploran las ideas matemáticas desde diversas perspectivas, ayudan a compartir lo que se piensa y a hacer conexiones matemáticas entre tales ideas. Comprender implica hacer conexiones. Esta capacidad contribuye también al desarrollo de un lenguaje para expresar las ideas matemáticas, y apreciar la necesidad de la precisión en este lenguaje. Los estudiantes que tienen oportunidades, estímulo y apoyo para hablar, escribir, leer y escuchar en las clases de Matemática, se benefician doblemente: comunican para aprender Matemática, y aprenden a comunicar matemáticamente. Debido a que la Matemática se expresa mediante símbolos, la comunicación oral y escrita de las ideas matemáticas es una parte importante de la educación matemática. Según se va avanzando en los grados de escolaridad, la comunicación aumenta sus niveles de complejidad. Es necesario tener presente la autonomía del lenguaje matemático en relación con el lenguaje cotidiano. Las diferentes formas de representación, tales como los diagramas, las gráficas y las expresiones simbólicas se deben considerar como elementos esenciales para sustentar la comprensión de los conceptos y relaciones matemáticas, para comunicar enfoques, argumentos y conocimientos, para reconocer conexiones entre conceptos matemáticos y para aplicar la Matemática a problemas reales.
Estimar significa cuantificar aproximadamente una característica medible de un objeto, así como pronosticar el resultado de un proceso matemático sobre la base de experiencias anteriores o juicios subjetivos. Argumentar significa fundamentar, utilizando razones lógicas o matemáticas, la validez de un proceso o el valor de verdad de una proposición o resultado. Comprende el desarrollo y evaluación de argumentos y demostraciones matemáticas. Aplicar Sinónimo: adaptar, acomodar. Es una capacidad específica en la cual se utiliza uno o más procedimientos adecuados en una situación específica, mediante la observación, la identificación, la descomposición, la transformación, la simplificación y la aplicación de algoritmos. Interpretar Sinónimo: descifrar, dilucidar, desentrañar, aclarar. Es atribuir significado a expresiones matemáticas de modo que adquieran sentido en función del problema planteado. Implica tanto los procesos de codificación como decodificación. Decodificar Sinónimos: descifrar. Es una capacidad específica en la cual se transforma de un lenguaje formal simbólico a lenguaje cotidiano, mediante la observación, la identificación, la interpretación y la transformación de la información recibida. Codificar Sinónimos: cifrar. Es una capacidad específica en la cual se transfiere la información de lenguaje cotidiano al lenguaje matemático, mediante la observación, la identificación y la interpretación, la transformación y la expresión de la información recibida. Representar Sinónimos: simbolizar, interpretar, trazar, figurar, reproducir, crear, informar, referir. Es una capacidad específica en la cual se lleva el lenguaje cotidiano o formal a gráficos o esquemas y viceversa, mediante la observación, la identificación y la diferenciación, la clasificación, la interpretación y la expresión de la información recibida. Representar significa expresar ideas matemáticas con precisión mediante el lenguaje de la Matemática. Graficar, es decir, crear y utilizar dibujos, esquemas, diagramas, formas geométricas, tablas, entre otros, para organizar, registrar y comunicar ideas matemáticas.
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Resolución de problemas Resolución Sinónimos: decisión, determinación, conclusión.
Interpretar Sinónimos: entender, alcanzar, discernir, atar cabos, percibir, descifrar, intuir, acertar, averiguar, resolver, darse cuenta.
Resolver un problema significa buscar de forma consciente una acción apropiada para lograr un objetivo claramente concebido, pero no alcanzable de forma inmediata. (George Pólya).
Es una capacidad específica en la cual se concibe de un modo personal la realidad, mediante el análisis, la clasificación, la discusión y la representación de la información recibida para lograr un fin.
La capacidad de resolución de problemas es de suma importancia por su carácter integrador, ya que posibilita el desarrollo de las otras capacidades. Resolver problemas implica encontrar un camino que no se conoce de antemano, es decir, una estrategia para encontrar una solución. Para ello se requiere de conocimientos previos y capacidades. A través de la resolución de problemas, muchas veces se construyen nuevos conocimientos matemáticos. Resolver problemas posibilita el desarrollo de capacidades complejas como la creatividad, y procesos cognitivos de orden superior como la inferencia, que permiten una diversidad de transferencias y aplicaciones a otras situaciones y áreas; y, en consecuencia, proporciona grandes beneficios en la vida diaria y en el trabajo. De allí que resolver problemas se constituye en el eje principal del trabajo en Matemática. Desde esta perspectiva, el desarrollo de la capacidad de resolución de problemas permite que los estudiantes construyan sus conocimientos matemáticos mediante el planteamiento de diversos problemas, y amplíen capacidades específicas para: modelar, formular, seleccionar, aplicar y verificar.
Procesar información Sinónimos: elaborar, asimilar, transformar la información. Someter datos o materiales a una serie de operaciones programadas. Es una capacidad específica en la cual se realizan operaciones lógicas y aritméticas ordenadas, cuyo fin es la obtención de resultados determinados, mediante la relación, transformación y aplicación de propiedades y algoritmos a la información. Verificar Sinónimo: comprobar. Es una capacidad específica en la cual se comprueba la verdad del enunciado del problema, en función del resultado obtenido, mediante la sustitución, y la aplicación de algoritmos. Verificar, significa controlar el proceso seguido para encontrar la solución de un problema, evaluando la validez de cada uno de los procedimientos matemáticos utilizados. Formular Sinónimos: exponer, proponer, manifestar, expresar, enunciar, aclarar, precisar. Es la capacidad específica según la cual se elaboran proposiciones o problemas, mediante la analogía, la generalización, la creación. Formular, significa elaborar un enunciado o el texto de un problema, a partir de situaciones de la vida real y a partir de contextos matemáticos. Aplicar Consiste en ejecutar un procedimiento o estrategia a partir de conceptos matemáticos y propiedades de relaciones matemáticas, para responder a una pregunta o hallar la solución de un problema. Comprende la realización de operaciones numéricas. Modelar Significa asociar a una situación u objeto no matemático una expresión u objeto matemático que represente determinadas relaciones o características consideradas relevantes para la solución de un problema. Esto permite reconocer y aplicar la Matemática en contextos no matemáticos. Seleccionar Significa elegir una alternativa de respuesta para una pregunta, o elegir una estrategia para hallar la solución de un problema.
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La enseñanza a través de la resolución de problemas La enseñanza a través de la resolución de problemas es actualmente el método más invocado para poner en práctica el principio general de aprendizaje activo. Lo que en el fondo se persigue con ella es transmitir, en lo posible, de una manera sistemática, los procesos de pensamiento eficaces en la resolución de verdaderos problemas. La enseñanza por resolución de problemas pone el énfasis en los procesos de pensamiento, en los procesos de aprendizaje y desarrollo de capacidades; y toma los contenidos matemáticos, cuyo valor no se debe en absoluto dejar a un lado.
Un modelo para resolver problemas: el modelo de Miguel de Guzmán Ozámiz Un modelo es una guía que nos facilita el camino que debemos recorrer a lo largo de todo el proceso de resolución de un problema. La finalidad de todo modelo es la de adquirir una colección de hábitos mentales que nos ayuden eficazmente en el manejo de los problemas. Este modelo consta de cuatro fases, a saber: Fase 1: familiarización con el problema. Fase 2: búsqueda de estrategias. Fase 3: llevar adelante la estrategia. Fase 4: revisar el proceso y sacar consecuencia de él.
Los estudiantes deben resolver constantemente problemas y comunicar sus respectivas soluciones.
En cada una de las fases las pautas a seguir son: Al comienzo, en la familiarización con el problema, debemos actuar sin prisas, pausadamente y con tranquilidad. Hay que conseguir tener una idea clara de los elementos que intervienen: datos, relaciones, incógnitas, etc. En resumen, antes de hacer, tratar de entender. Una vez que hemos entendido el problema pasamos a buscar las estrategias que nos permiten resolverlo. En esta fase no iniciamos el ataque del problema, sino que vamos apuntando todas las ideas que nos surjan relacionadas con el problema. Es conveniente pensar y disponer de más de una estrategia o camino a desarrollar en la fase posterior. Tras acumular varias opciones de resolución, es el momento de llevar adelante la estrategia elegida. La llevamos adelante trabajando con confianza y sin apresuramientos. Conviene no echarse atrás ante la primera dificultad que surja, ni continuar con la estrategia si las cosas se complican demasiado. En el caso de no acertar con el camino correcto, es el momento de volver a la fase anterior y reiniciar el proceso. Seguimos de esta forma hasta cerciorarnos de haber llegado a la solución. Por último, queda la fase más importante del problema, la de revisión del proceso y obtención de sus consecuencias. En esta fase, que no puede faltar, hayamos resuelto el problema o no, debemos reflexionar sobre todos los incidentes del camino seguido, sobre si es posible extender las ideas que hemos tenido a otras situaciones, sobre el problema en sí y sobre nuestros estados de ánimo a lo largo de todo el proceso.
El aprendizaje de la matemática y el desarrollo de capacidades
Es suficiente observar en nuestro entorno que todo profesional hace uso de sus capacidades matemáticas. Hoy en día no es posible concebir la acción de un comerciante, de un vendedor, de un trabajador cualquiera de la construcción, con mayor razón de un ingeniero, de un arquitecto, de un médico, de un economista, de un químico, de un físico, de un biólogo, sociólogo, estadístico o cualquier profesional que no haga uso de la matemática y de sus capacidades matemáticas. Por ello es importante que la Matemática forme parte de nuestra vida, aprenderla nos permitirá el dominio de algunos aspectos de la realidad. Veamos algunos lineamientos que deben de ser una constante en la labor educativa de los docentes: • El conocimiento matemático no se da de modo inmediato en los estudiantes. Esto quiere decir que es todo un proceso cuyo avance es progresivo, por etapas, y según las particularidades de cada estudiante. Además, se trata de un proceso que nunca concluye, pues la asimilación de contenidos se prolonga más allá del tiempo que el estudiante pase en las aulas. Para ello, se debe tener en cuenta que la Matemática funciona de acuerdo con el principio cognitivo según el cual todo conocimiento nuevo debe de ser conectado con los conocimientos ya adquiridos. • El aspecto manipulativo debe de ocupar un lugar destacado en el trabajo de aprendizaje. De esta manera, el estudiante desarrolla su capacidad de abstracción, pues el aprendizaje que parte de lo concreto y lo perceptible se asimila con mayor facilidad en los esquemas mentales de los estudiantes. GUÍA METODOLÓGICA
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• Se debe alentar el trabajo cooperativo y las acciones solidarias, pues de esta manera se promueve también el debate, la discusión y el intercambio de conocimientos. Sin duda, los estudiantes fortalecen su capacidad argumentativa. • Los intercambios de ideas y conocimientos no deben de limitarse a la institución educativa, sino que deben de extenderse al entorno familiar y social. Así, los estudiantes deben estar en condiciones de participar en diálogos tanto con sus padres, como con sus maestros, vecinos, parientes, etc. • Debe tenerse en cuenta que los estudiantes no son entes pasivos que simplemente “esperan” que los conocimientos entren a su conciencia. Por el contrario, deben de ser vistos como individuos con grandes potencialidades, las cuales, a su vez, tienen que desarrollar, basándose en su interés por aumentar, el caudal de sus conocimientos. • En relación con lo anterior, está también el fomento de la creatividad en los estudiantes, de modo que las actividades mecánicas, repetitivas y rutinarias deben dejarse de lado, y se debe incentivar a que formulen conjeturas y recorran caminos inexplorados, al final de los cuales, puede aparecer un conocimiento valioso e inédito.
¿Por qué aprender matemática en la Educación Secundaria? La Matemática tiene su origen en la necesidad de resolver problemas y ejecutar actividades que faciliten la existencia individual y colectiva de los seres humanos. Partiendo de situaciones concretas y cotidianas se llega a abstracciones que posteriormente se ordenan, dando origen a las teorías matemáticas, la ciencia y la tecnología. El trabajo cooperativo es importante porque promueve el intercambio de conocimientos.
En el caso de la enseñanza de la Matemática en la Educación Secundaria, esta siempre ha estado orientada hacia la finalidad práctica de proporcionar a los estudiantes las herramientas operativas básicas que les permitan enfrentarse a los retos que se les vayan presentando en su sociedad. En un mundo que está en constante transformación, la educación matemática en la secundaria debe dotar al alumnado de la capacidad de adaptarse a las nuevas situaciones, especialmente a aquellas que se presentan en el ámbito laboral. Por esto, ahora más que nunca, la Matemática debe tener una vocación inclusiva para que la mayor cantidad de estudiantes resulte beneficiada. Para ello, los docentes deben acercarse al alumnado de manera tal que una ciencia tan importante no sea vista como una traba, pesada e inútil, sino, por el contrario, una aliada para el camino hacia el éxito y el desarrollo humano. Los avances tecnológicos al haberse extendido en todos los ámbitos de la vida diaria, es casi imposible que alguien pueda mantenerse ajeno a ellos. La Matemática puede ayudarnos a manejarnos con seguridad ante la tecnología. Nos enseña, además, a realizar planificaciones, interpretar estadísticas, administrar nuestros ingresos y consolidar nuestros proyectos comerciales.
Capacidades matemáticas
Son tres las capacidades matemáticas propuestas en el Diseño Curricular de Educación Básica Regular, veamos:
Comunicación matemática Debe de acostumbrarse al alumnado a la escritura. el encuentro que tendrán con la palabra será constante (en la lectura de los planteamientos de los problemas, de los cuadros estadísticos, de las diversas gráficas, etc.). Por ello será preciso que se familiaricen con ella. Si queremos poner por escrito nuestras ideas, primero debemos realizar una labor de ordenamiento en nuestra mente de manera tal que estas lleguen al papel de una forma coherente. Dicho proceso permite que los matemáticos revisen detenidamente sus ideas y demostraciones. Se debe incentivar constantemente a que los estudiantes apliquen o relacionen los conocimientos adquiridos con la realidad que los circunda. El aspecto comunicativo, como es de suponerse, facilita esta intención. En el aprendizaje de la Matemática los estudiantes deben de estar capacitados para: Los estudiantes deben relacionar lo que aprenden teóricamente con lo que viven en la práctica.
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• Valorar la precisión y utilidad de la notación matemática, así como la importancia que tiene en el desarrollo de las ideas relacionadas con la resolución de problemas matemáticos. • Expresar ideas matemáticas de manera oral y escrita.
• Entender claramente los enunciados verbales que aparecen en los problemas matemáticos. • Formular definiciones matemáticas y compartir con sus compañeros y compañeras las generalizaciones que han obtenido como fruto de sus investigaciones.
Razonamiento y demostración El razonamiento juega un papel de primer orden en el entendimiento de la Matemática. Los estudiantes deben de tener claro que esta capacidad posee un sentido que hay que reconstruir mediante el desarrollo de ideas, la justificación de resultados y el uso de conjeturas, entre otras actividades. Teniendo en cuenta que ningún estudiante llega a la escuela sin algún conocimiento, pues no existe individuo carente de nociones básicas de Matemática, los docentes buscarán estimular el natural desarrollo hacia la resolución de problemas más complejos. Entonces, los estudiantes también tienen que estar capacitados para: • Comprender que el razonamiento y los pasos para realizar una demostración son de gran importancia en la resolución de problemas matemáticos. • Arriesgarse a proponer y desarrollar conjeturas, mostrando solidez en el proceso argumentativo. • Discriminar la validez de argumentos y demostraciones matemáticas. • Escoger, entre varias posibilidades, el método de demostración más adecuado para un problema en particular.
Capacidades matemáticas Comunicación matemática
Razonamiento y demostración
Resolución de problemas
Los docentes explicarán a los estudiantes que toda afirmación matemática debe llevarnos a peguntar sobre su origen y validez. Es decir, no se trata de “aceptar” sin discusión lo propuesto, sino de ir hasta sus raíces para verificar su validez, cuando sea pertinente. Se debe acostumbrar al alumnado a cuestionar los conocimientos recibidos de manera tal que adquieran seguridad al momento de conducirse en sus propias investigaciones. Debe quedar de lado la errada idea de que algo es válido solo porque una persona importante lo dijo. Por el contrario, el único criterio que debe de tenerse en cuenta al momento de respaldar una afirmación matemática es el razonamiento, es decir, el encadenamiento consistente de demostraciones.
Resolución de problemas Cuando se lleva a cabo la resolución de problemas, debemos de tener en cuenta que “resolver” no significa simplemente realizar un proceso de modo mecánico para llegar a una solución. Pues, en el camino hacia la respuesta, el estudiante participa activamente, ya sea realizando conexiones con conocimientos previamente adquiridos (lo cual puede hacer que se llegue a la solución de una manera más rápida), o arriesgando nuevas propuestas, es decir, dando entrada libre a la creatividad. Los estudiantes deben de ser constantemente retados con problemas que, yendo de lo simple a lo complejo, les permitan aumentar su capacidad de raciocinio matemático. Esa es la propuesta de la Colección Intelectum Evolución, se ha estructurado los problemas por niveles. Este aspecto de la resolución de problemas es fundamental en el aprendizaje de la Matemática, por lo cual debe buscarse problemas cuya proximidad con el entorno del estudiante lo motiven a comprometerse con su resolución. A través del aprendizaje de la Matemática se debe capacitar a todos los estudiantes para: • Obtener nuevos conocimientos mediante la resolución de problemas diseñados según se acaba de describir. • Resolver problemas que surjan tanto de la Matemática como de otros contextos. • Aplicar y adaptar las estrategias pertinentes para la resolución de problemas. • Hacer un control del proceso de resolución de problemas matemáticos, propiciando la reflexión sobre el mismo. Los estudiantes se plantean constantemente problemas, a veces de manera espontánea, en su diario acontecer, de modo que es labor de los docentes estimular en ellos la disposición a resolverlos. Por ello, deben crear en clase un clima que fácilmente los motive a investigar, asumir riesgos y proponer salidas, así como a participar en un intercambio de ideas.
Diez mandamientos para los profesores de Matemáticas por Geoge Pólya. • Interésese en su materia. • Conozca su materia. • Trate de leer las caras de sus estudiantes; trate de ver sus expectativas y dificultades; póngase usted mismo en el lugar de ellos. • Dése cuenta que la mejor manera de aprender algo es descubriéndolo por uno mismo. • Dé a sus estudiantes no solo información, sino el conocimiento de cómo hacerlo, promueva actitudes mentales y el hábito del trabajo metódico. • Permítales aprender a conjeturar. • Permítales aprender a comprobar. • Advierta que los rasgos del problema que tiene a la mano pueden ser útiles en la solución de problemas futuros: trate de sacar a flote el patrón general que yace bajo la presente situación concreta. • No muestre todo el secreto a la primera: deje que sus estudiantes hagan sus conjeturas antes; déjelos encontrar por ellos mismos tanto como sea posible. • Sugiérales; no haga que se lo traguen a la fuerza.
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Puesta en práctica de las capacidades matemáticas
"Resolver un problema es encontrar un camino allí donde no se conocía previamente camino alguno, encontrar la forma de salir de una dificultad, encontrar la forma de sortear un obstáculo, conseguir el fin deseado, que no es conseguible de forma inmediata, utilizando los medios adecuados". (George Pólya)
George Pólya
Nació en Hungría en 1887. Trabajó en una variedad de temas matemáticos incluidos las series, la teoría de números, geometría, álgebra, la combinatoria y la probabilidad.
En la comunicación Otra capacidad Matemática fundamental que se debe desarrollar en los estudiantes es la referida al lenguaje matemático, que para nosotros es entendida como comunicación. Entonces, para comunicar contenidos matemáticos es necesario usar un lenguaje adecuado y este es el lenguaje matemático, siempre ayudado de representaciones diversas para su mejor comprensión. En lo posible, se debe tener a la mano lápiz y papel para que esta comunicación sea fructífera. Asimismo, se debe fortalecer la comprensión y dominio del lenguaje matemático básico desde los primeros grados de la educación que, al igual que conocer otro idioma, es necesario para seguir teniendo vigencia en el mundo.
En el razonamiento y demostración La Matemática como ciencia formal ofrece, más que cualquier otra, aportes fundamentales para desarrollar en los estudiantes su capacidad de razonamiento y demostración, debido a que su característica de emplear objetos abstractos contribuye a tal propósito. Entonces, es fundamental seguir desarrollando estas capacidades en los estudiantes para seguir educando la mente, pues con la agudeza del razonamiento en sus diferentes niveles y la concreción en las demostraciones formales o factuales se está interrelacionando la intuición con la lógica, capacidades fundamentales en los seres humanos que requieren seguir educándose. En la resolución de problemas El aprendizaje de la Matemática debe incluir experiencias abundantes y diversas con resolución de problemas como métodos de indagación y aplicación, para que los estudiantes sean capaces de: • Usar enfoques de resolución de problemas para investigar y entender los contenidos matemáticos. • Formular problemas a partir de situaciones dentro y fuera de la Matemática. • Desarrollar y aplicar diversas estrategias para resolver problemas, haciendo hincapié en problemas de pasos múltiples y no rutinarios. • Verificar e interpretar resultados en relación con la situación del problema original. • Generalizar soluciones y estrategias para situaciones nuevas del problema. • Adquirir confianza en el uso significativo de la Matemática. Se debe aprovechar las capacidades matemáticas en beneficio de los estudiantes de Educación Secundaria para incluir problemas más complejos que impliquen temas como la probabilidad, la estadística, la geometría, los números racionales y los números reales. Las situaciones y los enfoques deben basarse en el lenguaje matemático que los estudiantes van adquiriendo, y deben ayudarles a desarrollar toda una gama de estrategias y enfoques para la resolución de problemas. Aunque durante este nivel las situaciones concretas y empíricas sigan siendo el centro de atención, debe conseguirse un equilibrio entre problemas que apliquen la Matemática al mundo real y problemas que surjan de la investigación sobre ideas matemáticas. Finalmente, el aprendizaje de la Matemática debe implicar a los estudiantes en diversos problemas que requieran un mayor esfuerzo para su resolución. Algunos de ellos podrían ser tareas de grupo que hagan que los estudiantes utilicen la tecnología disponible y se dediquen a la resolución y discusión de problemas de forma cooperativa.
Evaluación en el área de Matemática
En nuestra vida diaria realizamos una permanente evaluación; así, antes de adquirir un producto lo evaluamos desde distintos parámetros: si el producto es de buena calidad, si la textura es la adecuada, si los colores son los que nos gustan, si el precio justifica el producto acabado, etc. Si bien es cierto, no lo hacemos de una manera sistemática, la practicamos en cada instante de nuestra vida. Motivo por el cual, la evaluación no es ajena a nosotros; siempre está presente. Entonces, la evaluación en el área de Matemática debe contemplar el desarrollo de las capacidades específicas de dicha área. La evaluación de los aprendizajes matemáticos en el nivel de educación secundaria, debe permitir el desarrollo de actitudes que contribuyan a la formación de la personalidad y carácter de los estudiantes, el trabajo en equipo con responsabilidad individual y grupal, y la cooperación democrática y justa. La evaluación valora todo el proceso, todos los elementos y toda la persona, con el fin de llegar a unas conclusiones y tomar decisiones para mejorar ese proceso y sus elementos, en definitiva, mejorar los comportamientos del sujeto.
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Las capacidades matemáticas para su evaluación Comunicación matemática Según lo propuesto por los estándares curriculares y de evaluación para la educación matemática, la evaluación de la capacidad de los estudiantes para comunicar debe mostrar evidencia de que estos son capaces de: • Expresar ideas matemáticas hablando, escribiendo, demostrándolas y representándolas visualmente. • Entender, interpretar y juzgar ideas matemáticas presentadas de forma escrita, oral o visual. • Utilizar vocabulario matemático, notaciones y estructuras para representar ideas, describir relaciones y modelar situaciones. Como la comunicación es una actividad social que tiene lugar dentro de un contexto, debe ser evaluada en una diversidad de situaciones. En la evaluación, como en la enseñanza, los profesores deben ser conscientes de cómo expresan ideas matemáticas los estudiantes y de cómo interpretan las expresiones matemáticas de los demás. Al momento de evaluar la capacidad del estudiante para comunicarse, los docentes deben prestarle atención a la claridad, precisión y propiedad del lenguaje que utiliza. Además, la capacidad de los estudiantes para entender la comunicación oral o escrita de los demás constituye un componente importante de la docencia y de la evaluación. Razonamiento y demostración Es natural que los estudiantes formulen conjeturas sobre la base de ejemplos que han visto o manejado, y que desarrollen argumentos basados en lo que saben que es cierto. Los estudiantes pueden tener también nociones intuitivas sobre razonamiento proporcional y sobre relaciones espaciales. Todos los estudiantes deben tener la oportunidad expresa de ocuparse en este razonamiento intuitivo e informal y, por tanto, toda evaluación de la capacidad de razonamiento del estudiante debe obtener evidencias de esos procesos.
Los estudiantes deben tener la capacidad de comunicarse matemáticamente.
La evaluación de la capacidad que tengan los estudiantes para razonar matemáticamente debe ofrecer evidencia de que ellos son capaces de: • • • •
Utilizar el razonamiento inductivo para reconocer patrones y formular conjeturas. Utilizar el razonamiento para desarrollar argumentos plausibles de enunciados matemáticos. Utilizar el razonamiento proporcional y espacial para resolver problemas. Utilizar el razonamiento deductivo para verificar una conclusión, juzgar la validez de un argumento y construir argumentos válidos. • Analizar situaciones para determinar propiedades y estructuras comunes. • Reconocer la naturaleza axiomática de la Matemática. Resolución de problemas La capacidad que tengan los estudiantes para resolver problemas estará reflejada en los criterios e indicadores de evaluación en la que se debe determinar si son capaces, por ejemplo, de formular problemas, de hacer preguntas, utilizar una información dada y elaborar conjeturas, utilizar estrategias y técnicas adecuadas y comprobar e interpretar los resultados. La evaluación de la capacidad que tengan los estudiantes de utilizar la Matemática para la resolución de problemas debe mostrar evidencia de que son capaces de: • Formular problemas. • Comprobar e interpretar resultados. • Aplicar diversas estrategias para resolver problemas. • Generalizar soluciones. • Resolver problemas. En la evaluación, la resolución de problemas ha de ser el centro de atención de la Matemática. La capacidad del estudiante para resolver problemas se va desarrollando paulatinamente como resultado de una orientación adecuada de parte de sus docentes y de haberse enfrentado a situaciones del mundo real. El avance de los estudiantes debe evaluarse sistemática, deliberada y continuamente para que se pueda afianzar su capacidad para resolver problemas en contextos diversos. Para esto es muy importante que los estudiantes reciban información y respuesta del resultado de esta evaluación, en lo que respecta tanto a los procedimientos usados como a los resultados obtenidos. Además, los problemas deben constituir un reto para los estudiantes, ser instructivos e interesantes, sin llegar a ser irresolubles.
La evaluación nos permite recoger información pertinente para la toma de decisiones.
Entre los métodos para evaluar la capacidad para resolver problemas que tenga el estudiante se incluyen: la observación del estudiante al resolver problemas por separado, en grupos pequeños o en discusiones del grupo; escuchar a los estudiantes discutir sus procesos de resolución; y analizar exámenes, tareas hechas en casa, diarios y trabajos escritos. La respuesta que se proporcione a los estudiantes puede adoptar diversas formas, incluyendo comentarios escritos u orales. GUÍA METODOLÓGICA
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COLECCIÓN
INTELECTUM EVOLUCIÓN Hacia el desarrollo de las competencias y capacidades matemáticas
DISEÑO CURRICULAR Los diseños curriculares son propuestas de objetivos que se pretenden lograr; no involucran solo definir el qué enseñar, sino también el cómo enseñarlo. El centro de gravedad del trabajo educativo es sin duda el aprendizaje de los estudiantes. Para ello es imprenscindible la contribución del docente a través de la enseñanza.
Nociones previas En el ámbito de la matemática nos enfrentamos al reto de desarrollar las competencias y capacidades matemáticas en su relación con la vida cotidiana, como un medio para comprender, analizar, describir, interpretar, explicar, tomar decisiones y dar respuesta a situaciones concretas, haciendo uso de conceptos, procedimientos y herramientas matemáticas. Se entiende por COMPETENCIAS como el saber actuar en un contexto particular en función de un objetivo o la solución de un problema. Este saber actuar debe ser pertinente a las características de la situación y a la finalidad de nuestra acción y es lo que deben lograr los estudiantes en su proceso de aprendizaje. Comprometiéndonos con ese desafío es que la Colección Intelectum Evolución para Secundaria se ha concebido como un instrumento pedagógico que facilite la labor del docente y lograr ese gran reto que es el desarrollar las competencias y las capacidades del estudiante, para ello se ha elaborado los contenidos acorde a los requerimientos del Diseño Curricular Nacional (DCN). En las cuatro áreas que componen esta colección (Aritmética, Álgebra, Geometría y Trigonometría) se han desarrollado ampliamente, los tres componentes: Número, relaciones y operaciones, Geometría y medición y Estadística y probabilidades que el Ministerio de Educación exige que los alumnos procesen en el sexto y séptimo ciclo de la Educación Básica Regular. Las secciones que componen cada área, antes de explicarlas, detallamos la interrelación que existe entre ellas, en un mapa conceptual.
ÁREA DE TRABAJO PEDAGÓGICO Compuesta
Texto escolar
Libro de actividades
Presenta
Presenta
Binaria motivadora
Lectura
Cómic matemático inician el
Desarrollo pedagógico del contenido teórico complentada con Problemas resueltos
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previa al Desarrollo pedagógico del contenido práctico verificada con Aplicamos lo aprendido
Practiquemos
reforzada con
relacionadas con Maratón matemática
Sudoku
Estructura de la Coleccion Intelectum Evolución
La Colección se ha organizado en cuatro áreas cada una con un determinado grupo de contenidos, del siguiente modo: • Área 1: Aritmética Hemos desarrollado los componentes: Número, relaciones y • Área 2: Álgebra operaciones y Estadística y probabilidades. • Área 3: Geometría • Área 4: Trigonometría
Hemos desarrollado el componente: Geometría y medición.
Cada una de estas áreas propone cuatro unidades de trabajo pedagógico, siendo la composición de cada unidad de cuatro temas, cuyo número facilitará su desarrollo total, porque se ha tenido en cuenta la cantidad de horas pedagógicas para el área de matemática de las que se dispone en el aula. A cada tema va anexada la sección Problemas resueltos que facilitarán los aprendizajes esperados.
Respecto a la estructura del contenido teórico por área Cada área teórica presenta las siguientes secciones articuladas: 1. Binaria motivadora 2. Cómic matemático 3. Desarrollo pedagógico de contenidos (compuesto de cuatro temas por unidad) 4. Problemas resueltos Respecto a la estructura del contenido práctico por área Cada área práctica presenta las siguientes secciones articuladas. 1. Lecturas de eminentes matemáticos e historia de la matemática. 2. Aplicamos lo aprendido 3. Practiquemos 4. Maratón matemática 5. Sudoku
Detalle de cada una de las secciones del texto escolar
Binaria motivadora del área Cada área inicia con una binaria, en ella se ubican los contenidos que se desarrollarán en cada unidad, seguido de los indicadores de logro, también de las cuatro unidades, finalmente una lectura acompañada de una imagen que relaciona la matemática con la vida cotidiana, con ello tratamos de seguir los objetivos y lineamientos de las rutas del aprendizaje. ¿Cuál es el objetivo de las lecturas? Motivar al estudiante para aprender matemática, al constatar que puede usarla y aplicarla en cualquier contexto de su vida real y cotidiana.
GUÍA METODOLÓGICA
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Cómic matemático Seguido a la binaria tenemos el cómic también de contexto matemático, desarrollado a través de divertidas historias que refuerzan aún más la relación existente entre la matemática y la vida diaria. Con ello llegamos al desarrollo de conocimientos con estudiantes motivados a conectarse con el área respectiva. Sugerencias pedagógicas • Luego de leer la lectura y el cómic matemático relacionados con un hecho cotidiano, podemos generar una conversación acerca de ellos, de la relación que existe entre estos y su realidad, y que sirva para dar más ejemplos de lecturas de contexto matemático y su cotidianidad, para mentalizar en el alumno de por qué debe aprender la Matemática, al comprobar que lo aplicará en su vida presente y futura. • También nos debe llevar a revisar los contenidos que se desarrollarán en la unidad como un acercamiento previo a los conocimientos del estudiante. A su vez que sirven para dar a conocer de las capacidades que desarrollará.
Desarrollo pedagógico de contenidos Para el desarrollo pedagógico de contenidos, correspondiente al área, se ha hecho uso de un lenguaje sencillo, el desarrollo de ellos es gradual según el grado de estudios. Una organización de contenidos lo suficientemente necesaria para no sobrecargar con información y que el estudiante perciba una dinámica que lo motive a seguir aprendiendo. El desarrollo de los contenidos se presenta acompañado de esquemas, ilustraciones y sobre todo con el apoyo permanente de los mediadores cognitivos (personajes de la colección) que se presentan a través de unos globos dando indicaciones y sugerencias, que facilitarán el proceso de aprendizaje.
Problemas resueltos La resolución de problemas constituye el aspecto fundamental del área. En esta sección encontraremos problemas resueltos de un modo didáctico para que el estudiante procese la información de manera exitosa. En cada uno de los cuatro temas que componen la unidad está anexada la sección Problemas resueltos en los que se utilizan diversas estrategias de resolución, son problemas que requerirán de más análisis y proceso, esto con el objetivo de reforzar la destreza del estudiante.
Sugerencias pedagógicas • El objetivo del docente es que todo lo que desarrolla en el aula sea asimilado por cada uno de los estudiantes y es justamente por ser esta una labor muy compleja, que requiere de mucha paciencia, se sugiere seguir el orden de los contenidos que la Colección propone, explicando cada concepto con ejemplos de aplicación, los que se complementarán con problemas resueltos. • En los problemas resueltos se recomienda que los estudiantes intenten resolver dichos problemas y de ser posible, según cada situación, aplicando una estrategia alternativa, lo puede hacer individualmente o en forma grupal. Esta práctica debe hacerla constantemente, para que entrenen la capacidad de resolver problemas con autonomía.
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Detalle de cada una de las secciones del libro de actividades Para el desarrollo del contenido práctico también se ha tomado en cuenta el desarrollarlo por secciones para que el estudiante aplique gradualmente lo procesado en el contenido teórico y encaminarlo al objetivo principal que es la resolución de problemas. Veamos las secciones que lo componen:
Lectura En ella presentamos biografías de eminentes matemáticos y reseñas del avance de la matemática a lo largo de la historia. La intención es iniciar la conexión entre elementos de interés del estudiante y lo que va a procesar. Es un valor agregado; para el docente constituye un conocimiento muy interesante ya que le ayudará a comprender mejor la evolución de los diversos conceptos matemáticos, y para los estudiantes una fuente de conocimientos, interés y motivación.
Aplicamos lo aprendido tema 1: 1
Sean A, B y C tres conjuntos disjuntos, además: 4n(A) + n(B) + n(C) = 4096 Halla: n(A , B , C)
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Sabiendo que el siguiente conjunto es unitario: A = {a + b; a + 2b - 3; 12} Calcula: a2 + b2
8
Si un conjunto posee 128 subconjuntos, ¿cuántos elementos tiene este conjunto?
TEORÍA DE CONJUNTOS
Dado el conjunto: B = {1; {1}; 2; 3} Indica verdadero (V) o falso (F): I. 1 " B II. {1} ! B III. 1 ! B IV. {2; 3} ! B V. {2} " B
A) FVVFV D) FFVVF 3
7
B) VVFFV E) VFVVF
2
C) VFVFV
Halla la suma de los elementos de: A = {(3x + 2) ! N / 2 # x 1 5}
Halla la suma de los elementos del conjunto A: A = {x / x ! Z; 0 # x # 9}
A) 55 D) 25 4
B) 45 E) 15
A) 6 D) 9
B) 7 E) 5
A) 1 D) 7
C) 8
B) 3 E) 9
C) 5
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Si el conjunto T tiene 64 subconjuntos, ¿cuántos elementos tiene T?
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Sean los conjuntos: A = {4; 5; 8; 9; 11} B = {3x + 5 / x ! N / x 1 4} C = {5x / x ! N; 1 # x # 3} Halla: n[(A + B) - C]
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En una institución educativa, de 135 alumnos, 90 practican futbol, 55 básquet y 75 tenis. Si 20 alumnos practican los tres deportes y 10 no practican ninguno, ¿cuántos practican solo un deporte?
C) 35 A) 59 D) 108
Determina por extensión el conjunto: 2 A = ' n - 4 / n ! N, 1 # n # 5 / n ! 2 1 n-2
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B) 74 E) 142
A) 8 D) 4
C) 90
Indica cuál de los conjuntos es un conjunto vacío: A) {2n - 1 / n ! N; 3 < n < 6}
Da como respuesta la suma de los elementos de A.
B) ' 5n + 1 ! n / n ! n; 3 < n < 5 1 3
B) 10 E) 5
C) 6
C) {2n2 / n ! N; 1 < n < 3} D) ' 2n + 1 ! N / n ! N; 4 # n < 6 1 3
14. E
C) III y IV
13. A
B) II y III E) II y IV
11. E
A) I y II D) I y III
12. D
C) 10
C) {2; 4}
A) 25 D) 45
9. C
B) 9 E) 15
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B) {1; 2; 3; 4; 5} E) {2; 4; 6; 10; 11}
10. C
A) {1; 3; 5; 6; 8; 9} D) Q
B) 4 E) 5
C) 1
B) 30 E) 50
C) 35
Claves
A) 8 D) 12
6
A) 3 D) 2
7. A
Sean los conjuntos: M = {2m + 1 / m ! N; 0 1 m # 5} N = {3; 5; 7; 9} De las proposiciones: I. M = N II. M ! N III. M 1 N IV. N 1 M Son verdaderas:
-1 ! N / n ! N; 1 < n < 3 2 2
Dados los conjuntos: A = {1; 2; 3; 4; 5} B = {2; 4; 8; 6; 9} Halla: A T B
8. D
13
5. B
E) ( 3n
C) 30
6. E
6
B) 25 E) 21
3. D
Sean A y B dos conjuntos iguales tales que: A = {3a-b; 243} B = {3b+2; 27} Calcula: 2a - b
A) 22 D) 28
4. E
C) 48
1. A
5
B) 36 E) 72
2. B
A) 33 D) 108
ARITMÉTICA - ACTIVIDADES UNIDAD 1
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Aplicamos lo aprendido Esta sección propone ejercicios, problemas y situaciones problemáticas de un nivel igual o superior a los planteados en la sección Problemas resueltos, un total de 14 problemas por tema, cada uno con alternativas de respuesta y agregado al final la clave de respuesta de cada problema. El objetivo de esta sección es continuar con el entrenamiento de estrategias de resolución de problemas y encaminar al estudiante hacia el aprendizaje significativo autónomo.
Sugerencias pedagógicas • Al ser esta sección de problemas una primera entrada a lo que significa la práctica del estudiante, es primordial la participación del docente, para que el estudiante pase del aprendizaje significativo dirigido a la etapa del aprendizaje significativo autónomo. En esta etapa los grupos de trabajo resultan también convenientes. • Es recomendable que algunos de estos problemas sean resueltos en clase para poder entrenar diferentes estrategias de resolución, para ello se debe pedir la participación de los estudiantes y no sea solo un trabajo expositivo por parte del docente. Con la participación activa de los estudiantes se puede lograr en algunos casos resolver problemas con sus indicaciones.
Practiquemos La compone un promedio de 30 problemas por tema de un total de 16 temas por área. Están organizados en tres niveles de dificultad. Cada nivel desarrolla las tres capacidades de área: Comunicación matemática, Razonamiento y demostración y Resolución de problemas. Cada problema tiene cinco alternativas de respuesta y al final de la sección un listado de claves de respuesta de todos los problemas.
GUÍA METODOLÓGICA
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Sugerencias pedagógicas • Algunos de estos problemas se pueden desarrollar en el aula, pero siempre buscando la mayor participación de los estudiantes. • Considerando el nivel de avance de los estudiantes, se les puede organizar en grupos para que resuelvan problemas, la cantidad lo estimará el docente, para que los expongan ante sus compañeros y lograr así el efecto multiplicador de la capacidad matemática que es la Resolución de problemas.
Maratón matemática Elaborada con problemas de todos los temas que componen la unidad de trabajo pedagógico. Esta sección se presenta encabezada con un problema resuelto, y dejando para el alumno un promedio de 10 problemas propuestos con un nivel de dificultad mayor al de las de secciones anteriores. Sugerencias pedagógicas • Esta sección se presenta al final de cada unidad, cuando ya todos los contenidos que lo componen ya han sido expuestos. Entonces los estudiantes están listos para hacer frente a situaciones que involucran más de un conocimiento procesado. Se puede trabajar en clase, (pizarra) para ver los procesos de resolución y quizá para descubrir otros métodos de resolución. • Con estos problemas se puede estimular la creatividad de los estudiantes, creando ellos situaciones problemáticas similares. Todo proceso de creación aumenta las posibilidades para desarrollar capacidades cognitivas y afectivas.
Sudoku Sección que permite ejercitar y entrenar el razonamiento, la habilidad y la destreza matemática.
Conclusiones
• La Educación Básica Regular del Perú se encuentra estructurada en base a cuatro aprendizajes de orden superior y que están propuestos en el Diseño Curricular Nacional (DCN) como ejes curriculares y son: aprender a ser, aprender a vivir juntos, aprender a aprender y aprender a hacer. • El Diseño Curricular Nacional tiene una orientación cognitiva; porque busca el entrenamiento de procesos cognitivos, que son los procesos internos que deberán activarse para desarrollar las capacidades de área. Estos procesos en el DCN se conocen como capacidades específicas. • En el nivel secundaria el aprendizaje está orientado a conseguir capacidades cognitivas. Los alumnos deberán adquirir y manejar en forma pertinente, eficiente, eficaz, coherente y lógica cuatro capacidades fundamentales que son: el pensamiento crítico, el pensamiento creativo, la resolución de problemas o pensamiento resolutivo y la toma de decisiones o pensamiento ejecutivo. • Los logros de aprendizaje son otros de los elementos del currículo; estos buscan articular los niveles y ciclos de la Educación Básica Regular y establecer una secuencia entre los aprendizajes; se encuentran estructurados en torno a tres tipos de contenidos que son: conceptuales, procedimentales y actitudinales.
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