Guia Didactica Unidad3

GUÍA DIDÁCTICA

UNIDAD

3

Potenci otencias as y raíz cuadrada 1

O S E

CONTENIDO

1 Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

2 Su Suge gerrenc encias ias di didác dáctic ticas as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

3 Actividades de ref refuerzo uerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

4 Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

5 Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

6 Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

*Esta programación podrás encontrarla también en el CD Programación

Programación de aula Unidad

3

Potencias y raíz cuadrada

INTRODUCCIÓN Los contenidos de este tema se deben dar una vez que los alumnos dominen las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) con los números enteros. Las potencias y las raíces cuadradas son conceptos instrumentales que se van a utilizar profusamente en toda la secundaria, por lo que conviene que se capten correctamente. El concepto de potencia se puede introducir como una forma abreviada de escribir multiplicaciones de un mismo entero. Conviene relacionar el estudio de las p otencias con la geometría, las potencias de exponente 2 con los cuadrados y las de exponente 3 con los cubos. La aplicación de la definición de potencia para las potencias de base negativa, junto con las reglas de los signos, debe llevarnos a la relación del signo de la potencia con la paridad del exponente. El concepto de raíz no es nuevo para los alumnos. En esta unidad no se explica el algoritmo para su cálculo, lo que se pretende es que las calculen por tanteo, entendiendo la raíz cuadrada como la operación inversa de elevar al cuadrado. Conviene empezar con el cálculo de raíces cuadradas exactas, y una vez dominado, pasar al cálculo de raíces cuadradas enteras mediante aproximación de cuadrados, calculando el resto.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

OBJETIVOS 1.

Entender los conceptos de potencia y raíz cuadrada, así como utilizar e interpretar las potencias y raíces cuadradas en expresiones matemáticas sencillas, manipulando los algoritmos de cálculo necesarios.

1.1

1.2

1.3

1.4

2.

Resolver problemas relacionados con la vida cotidiana describiendo verbalmente el proceso elegido y las soluciones obtenidas, y utilizando correctamente las potencias y las raíces cuadradas.

2.1

Distinguir la base y el exponente de una potencia entera. Operar con potencias de productos y cocientes, con productos y cocientes de potencias de la misma base o con potencias de potencias. Calcular la raíz exacta de un número. Calcular la raíz cuadra entera de un número y su resto. Plantear y resolver problemas utilizando potencias y/o raíces cuadradas.

COMPETENCIAS BÁSICAS

• Lingüística • Matemática • Interacción con el mundo físico • Social y ciudadana • Tratamiento de la información y competencia digital • Aprender a aprender

CONTENIDOS • Potencia de exponente natural. Base y exponente.

• Reducción de expresiones sencillas a una sola potencia.

• Potencias de exponentes 2 y 3: cuadrados y cubos.

• Reducción de expresiones complejas a una sola potencia.

• Potencias de base de un número negativo.

• Cuadrados perfectos.

• Calcular el signo de potencias de base negativa.

• Raíz cuadrada exacta.

• Potencia de un producto y de un cociente.

• Cálculo de raíces exactas.

• Producto y cociente de potencias de igual base.

• Raíz cuadrada entera, resto de la raíz.

• Base y exponente de productos y cocientes de potencias de la misma base.

• Cálculo de raíz cuadrada entera y su resto.

• Potencias de exponente 1 y 0. • Potencia de una potencia, base y exponente. 2

Unidad 3


• Resolución de problemas que impliquen el uso de potencias y raíces.

Programación de aula

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1.

Conocimientos previos

Los alumnos deben dominar todo lo relativo a las operaciones con números naturales y números enteros para comprender el concepto de potencia. 2.

Previsión de dificultades

La principal dificultad que van a encontrar los alumnos es la aplicación simultánea, en un mismo ejercicio, de dos o más propiedades de las potencias. Para evitarlo sería conveniente dedicar una sesión a realizar las actividades 28, 34, 37 y 65 a 68. 3.

Vinculación con otras áreas

En los epígrafes se detallará de una forma más concreta la vinculación con otras áreas, aunque podemos afirmar que las potencias y la aplicación de sus propiedades para el cálculo están presentes en todos los campos de la ciencia, la economía, la técnica y la sociedad. 4.

Esquema general de la unidad

Esta unidad es fundamental en el desarrollo algebraico de toda la etapa. Captar correctamente los conceptos de potencias y raíz cuadrada evita posibles errores en el futuro. Se va a ver la potencia como una multiplicación abreviada, y la raíz cuadrada, como la operación inversa de la potencia de exponente 2. Se puede considerar que la unidad está dividida en dos partes, una relacionada con potencias y otra con raíces cuadradas. Comienza la unidad con la definición de potencia como una expresión abreviada de una multiplicación de factores iguales, definiendo la base y el exponente de la potencia. Se resaltan las potencias de exponentes 2 y 3, los cuadrados y cubos, y las potencias de base negativa. A continuación se expone cómo operar con las potencias de un producto y de un cociente expandiéndolas a productos y cocientes de potencias. Seguidamente se enseña a trabajar con el producto y el cociente de potencias de la misma base y a pasarlos a una única potencia de la misma base. Como caso particular aparecen las potencias de exponente 1 y 0. Las potencias de potencias permiten obtener una única potencia. Una vez terminada la parte de potencias se pasa a definir cuadrado perfecto y la raíz cuadrada exacta como la base de un cuadrado perfecto. Si el radicando no es un cuadrado perfecto, se puede definir la raíz cuadrada entera y el resto de la raíz. 5.

POTENCIAS Y RAÍZ CUADRADA

Potencias de exponente natural

Operaciones con potencias de la misma base

Potencia de un producto

Cuadrados perfectos Raíz cuadrada exacta Raíz cuadrada entera Resto

Potencia de un cociente Potencia de una potencia

Temporalización

Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en ocho sesiones:

1.ª Introducción. Potencias de exponente natural. 2.ª Potencia de un producto y de un cociente. Producto y cociente de potencias de la misma base. 3.ª Potencia de potencia. Reducción de expresiones a una sola potencia. 4.ª Cuadrado perfecto. Raíz cuadrada exacta. 5.ª Raíz cuadrada entera. Resto. 6.ª y 7.ª Actividades de consolidación. 8.ª Trabajo en competencias mediante la doble página final de la unidad. En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ej ercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto que el contexto de la clase es también un factor determinante en cuanto al número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.


Unidad 3

3


CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia lingüística Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad. En especial, con el texto de entrada, el epígrafe 1 y los problemas contextualizados se desarrolla de una forma más concreta la subcompetencia comunicación escrita.

Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias e indicadores. Como la unidad está dedicada a las potencias y sus propiedades, se trabaja sobre todo la subcompetencia uso de elementos y herramientas matemáticas.

Competencia para la interacción con el mundo físico En la unidad hay varias actividades que hacen referencia a la aplicación de las potencias y las raíces a situaciones concretas de la vida real.

Competencia social y ciudadana A partir del texto de entrada podremos hacer una reflexión que nos ayude a desarrollar la subcompetencia desarrollo personal y social.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital A lo largo de la unidad aparecen en LIBROSVIVOS y EN LA RED varias referencias para realizar actividades interactivas y buscar información con el fin de desarrollar y ampliar los contenidos de la unidad, desarrollando la subcompetencia del uso de herramientas tecnológicas. El texto de entrada, junto con la primera actividad de “Pon a prueba tus competencias”, contribuye de forma especial a desarrollar la subcompetencia obtención, transformación y comunicación de la información.

Competencia para aprender a aprender Algunas de las actividades propuestas, y con mayor carácter las de ampliación, permiten averiguar la adquisición de esta competencia, en especial la subcompetencia conciencia y control de las propias capacidades y conocimiento del propio aprendizaje.

Otras competencias de carácter transversal Aprender a pensar El proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido crítico del alumno. La unidad presenta múltiples oportunidades en las que las actividades exigen al al umno un ejercicio reflexivo y crítico. En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunos temas de reflexión y debate.

4

Unidad 3



TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDAD A lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias que prescribe el currículo. Para esta unidad, en concreto, sugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptores competenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.

COMPETENCIA

1. nivel de concreción 2.º nivel de concreción

Lingüística

Comunicación escrita.

Razonamiento y argumentación.

Matemática

Resolución de problemas.

Uso de elementos y herramientas matemáticos.

Aplicación del método científico en diferentes contextos.

Interacción con el mundo físico

DESCRIPTOR

DESEMPEÑO

3. nivel de concreción

4.º nivel de concreción

SUBCOMPETENCIA

er

er

Leer, buscar, recopilar, procesar y sintetizar la información contenida en un texto para contribuir al desarrollo del pensamiento crítico. Interpretar y expresar con claridad y precisión distintos tipos de información, datos y argumentación, utilizando vocabulario matemático. Utilizar las matemáticas para el estudio y comprensión de situaciones cotidianas. Aplicar estrategias de resolución de problemas adecuadas a cada situación. Conocer y utilizar los elementos matemáticos básicos (distintos tipos de números, medidas, símbolos, elementos geométricos, etc.) en situaciones reales o simuladas de la vida cotidiana. Conocer y manejar el lenguaje científico para interpretar situaciones en diversos contextos (académico, personal y social).

– Extrae información de varias lecturas, determina cuál es relevante y la emplea en la resolución de problemas reales.

Pon a prueba tus competencias. – Aplica las potencias para representar situaciones de la vida cotidiana.

En toda la unidad.

– Interpreta y resuelve problemas con ayuda de las potencias y las raíces.

En toda la unidad.

– Opera con rigor y precisión con potencias para reducir expresiones.

En toda la unidad.

– Aplica las potencias para calcular cantidades.

Actividades 6, 83 y 84. – Conoce en qué consiste la prueba del carbono 14.

Conocimiento y valoración del desarrollo científicotecnológico.

Conocer y valorar la aportación del desarrollo de la ciencia y la tecnología a la sociedad.

Pon a prueba tus competencias. Analiza y deduce. – Conoce las unidades de capacidad de memoria electrónica.

Actividad 22. Competencia social y ciudadana

Desarrollo personal y social.

Conocerse, valorarse y aprender a comunicarse en diferentes contextos.

– Es crítico con el uso de las redes sociales.

Desarrolla tus competencias. – Busca en páginas de internet para complementar la información.

Tratamiento de la información y competencia digital

Obtención, transformación y comunicación de la información.

Buscar y seleccionar información con distintas técnicas según la fuente o el soporte, valorando su fiabilidad.

En la red – Visita la página librosvivos.net para realizar distintas actividades.

Actividades 7, 15, 38, 44 y 51, organiza tus ideas, autoevaluación. Uso de herramientas tecnológicas.

Identificar y utilizar las tecnologías de la información y comunicación como herramienta de aprendizaje, trabajo y ocio.

– Conoce cómo usar las redes sociales.

Pon a prueba tus competencias: Aprende a pensar.


Unidad 3

5


EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades ya citadas para el trabajo específico de las competencias nos permiten, además, desarrollar algunos de los aspectos que el currículo recoge como educación en valores : • Educación ambiental: actividad “Carbono 14” de “Pon a prueba tus competencias”. • Las actividades para realizar en grupo que se proponen en las sugerencias didácticas permiten desarrollar laeducación para la convivencia y la educación en comunicación.

ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD En este proyecto se incluyen los siguientes materiales que complementan los ofrecidos en el libro del alumno y permiten trabajar la diversidad del alumnado. • Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido. • Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cada unidad del libro. • Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asimilación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados. • Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve para evaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situaciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.

MATERIALES DIDÁCTICOS Repaso de contenidos de cursos anteriores

• Cuaderno de Matemáticas básicas. s o c i f á r g o i l b i B

– Unidad 3. Potencias. Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso SM

• Cuaderno de refuerzo de matemáticas “Aprende y aprueba”. 1.º de ESO. – Unidad 1. Números naturales. • Cuaderno de matemáticas. 1.º de ESO. N.º 1. “Números naturales”. – Unidad 2. Potencias y raíces. • Cuaderno de resolución de problemas I. 1.º de ESO.

SM t e n r e t n I

www.smconectados.com www.librosvivos.net

Potencias en la página del proyecto Descartes, educación digital a distancia del Ministerio de Educación. Otros

www.e-sm.net/1esomatprd03

Potencias y raíces en la página del proyecto Averroes. www.e-sm.net/1esomatprd04

s e s l i o a r r t e O t a m

6

Unidad 3

Otros materiales

• Juegos de dominó en los que intervengan potencias, raíces cuadradas y sus soluciones. • Tablas de cuadrados perfectos y cubos. • La calculadora científica permite la simplificación de los cálculos numéricos y la obtención de las potencias cuyos resultados son de varias cifras.


Sugerencias didácticas Entrada Para comprender la teoría de los seis grados de separación podemos proponer ejemplos sencillos como el de que el número de intermediarios entre cualquiera de ellos y el padre o la madre de un compañero es 2.

Desarrolla tus competencias I.

Podemos realizar esta actividad a la vez que vamos explicando la teoría de los seis grados de separación y comprobar así si los alumnos la han comprendido.

II. Esta actividad nos servirá para comprobar cuántos alumnos utilizan redes sociales y para qué las utilizan, facilitando el trabajo para la actividad III. III. La puesta en común de la actividad III puede ser el punto de partida para establecer un debate sobre el uso adecuado de las redes sociales, pidiendo a los alumnos que expongan situaciones concretas, tanto perjudiciales como ventajosas. Algunas de las situaciones ventajosas serían: – Las redes pueden permitir el intercambio de información entre los alumnos, la comunicación entre ellos para explicarse dudas, el préstamo de apuntes.

2. Potencia de un producto y de un cociente • Remarcar con ejemplos la potencia de un producto o de un cociente. Cada ejemplo se puede realizar de dos formas distintas, primero operando el paréntesis o primero desarrollando el paréntesis. • Es conveniente realizar también ejemplos como los de la actividad resuelta, en los que se apliquen estas propiedades en el sentido inverso, es decir: (an · b n) = (a · b )n (an : b n) (a : b )n • Hay que tener cuidado en que la potencia solo se puede aplicar si se tiene un producto o un cociente. No se puede aplicar el desarrollo a la potencia de una suma o de una resta. ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

9 a 11 y 58

Medio

8, 69.12, 13 y 14

– Potencian las relaciones socioafectivas. El principal inconveniente del uso de las redes es que los alumnos no son conscientes de que lo que en ellas registran puede ser visto por muchas personas, siempre y cuando no hayan configurado bien las opciones de privacidad.

3. Producto y cociente de potencias de la misma base

1. Potencias de exponente mayor que 1

• Los alumnos deben conseguir averiguar la regla del producto mediante ejemplos en los que se desarrollen las potencias para luego comprimir el producto como una única potencia.

• Conviene detenerse en el concepto de potencia de base y exponente natural, entendido como una forma abreviada de escribir un producto de factores iguales. Con numerosos ejemplos, los alumnos deben identificar como base el factor y como exponente el número de veces que se repite dicho factor, ya que es muy frecuente que multipliquen la base por el exponente. • Hay que tener cuidado al trabajar con potencias de base negativa e insistir en el signo de la potencia según sea el exponente par o impar. Un error común es no utilizar los paréntesis cuando la base de la potencia es negativa. ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

2, 3, 52 a 55, 61 y 82 a 84

Medio

4 a 6, 56, 57 y 85

6, 83 y 84. Estos tres problemas contextualizados permiten

ver de una forma concreta cómo el lenguaje matemático sirve para expresar situaciones del mundo que nos rodea.

• Hacer hincapié en el orden de prioridad de las operaciones cuando haya sumas y restas de potencias de la misma base. • La regla del cociente la demostraremos mediante ejemplos en los que se desarrollen las potencias, posteriormente se simplifique el cociente y se escriba la potencia resultante. • Hacer observar que al dividir potencias del mismo exponente resultan potencias de exponente 0, y relacionarlo con que el cociente de dos números iguales es la unidad. • Se debe tener cuidado de que el exponente del divisor no sea mayor que el exponente del dividendo. A alumnos avanzados se les pueden explicar las potencias de exponente negativo. ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

17 a 19, 23, 24 y 62

Medio

20 a 22, 25 a 29, 63 y 64


Unidad 3

7

Sugerencias didácticas

22.

Podemos utilizar este ejercicio para hacer una reflexión sobre la aportación del desarrollo tecnológico a la sociedad, con la evolución que han sufrido las unidades de memoria y las repercusiones que esto supone para el medio ambiente, con menos gasto de papel. Un ejemplo para ilustrar este fenómeno es la presentación en el Congreso de los Presupuestos Generales del Estado. Antiguamente eran cajas y cajas de folios, posteriormente se utilizaron DVD, y por último, un pendrive.

4. Potencia de potencia • Si se desarrolla la potencia exterior, la potencia de una potencia es un caso particular de productos de potencias de la misma base.

6. Raíz cuadrada entera • La raíz cuadrada entera es una generalización de la raíz cuadrada exacta. Algunos alumnos creen que solo existen raíces cuadradas exactas. • El concepto de resto de la raíz es complicado. Se puede ver como los puntos que sobran para formar el mayor cuadrado posible, como se muestra en el margen y en las actividades de refuerzo. • Realizar numerosos ejemplos hasta que se asimile el concepto de raíz cuadrada entera y su resto. • Para calcular raíces de números superiores a 100, si el alumno no está familiarizado con los cuadrados perfectos mayores que 100, es bueno seguir estos pasos:

• Hay que tener cuidado si la base de la potencia es negativa para escribir correctamente los paréntesis.

1357

• Al finalizar este epígrafe conviene detenerse en realizar ejercicios en los que haya que expresar diversas expresiones en una sola potencia, siendo necesario para ello aplicar las cinco propiedades de las potencias.

1. Determinamos el número de cifras de la raíz. Para ello hacemos grupos de dos cifras empezando por la derecha, teniendo en cuenta que el grupo de la izquierda puede tener una cifra o dos. La raíz cuadrada tendrá tantas cifras como grupos se hayan formado.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

32, 33 y 35

Medio

34, 36, 37 y 65 66 a 68, 103 y 107

Alto

2. Se calcula la raíz del primer grupo: 13 = 3. La primera cifra de la raíz de 1357 es 3. 3. Vamos probando hasta obtener el mayor número que elevado al cuadrado es menor que el radicando. 302 = 900 352 = 1225

5. Raíz cuadrada exacta y cuadrados perfectos • El concepto de raíz cuadrada se puede explicar como el cálculo de la base de un cuadrado perfecto. • La palabra cuadrada hace referencia al objeto geométrico. Se puede explicar dibujando cuadrados de puntos, siendo la raíz cuadrada el número de puntos del lado del cuadrado. • Puede ser útil construir una tabla con los 25 primeros cuadrados perfectos, para el posterior cálculo de raíces cuadradas. • Una vez que hayan elaborado la tabla con los primeros 25 cuadrados perfectos, sería un buen momento para realizar la actividad 78. • Como ampliación, y de forma análoga a la raíz cuadrada, puede introducirse la raíz cúbica como operación inversa a la potencia cubo. ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

40, 69, 70, 72 y 73

Medio

41 a 43, 71, 74 a 76, 86, 87, 92, 93 y 96

Alto

8

Unidad 3

81, 97, 100 a 102, 105 y 107


362 = 1296 372 = 1369 > 1357 La raíz cuadrada entera es 36 4. Calculamos el resto: 1357 − 1296 = 61 ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

46 a 48, 77 y 78

Medio

49, 50, 79, 80, 88 a 91, 94 y 95

Alto

98 y 99

Organiza tus ideas En esta página se muestran los contenidos vistos a lo largo de la unidad. Se empieza por las potencias, dando la definición de potencia y las operaciones con potencias. A continuación se da la definición de raíz cuadrada exacta, cuadrados perfectos y raíz cuadrada entera. • Es importante que el alumno realice sus propios esquemas. Pero para empezar se le puede pedir que complete el que aparece en esta página, con los conceptos y ejemplos que a su juicio falten, o que le sirvan para comprender mejor lo estudiado.

Sugerencias didácticas

Para responder a las preguntas 2 y 3 deberán encontrar, con ayuda de la calculadora, cuál es el número n que verifica que:

Actividades de ampliación Con estas actividades desarrollamos las competencias de aprender a aprender y de autonomía e iniciativa personal. Los alumnos deberán aplicar los contenidos del tema, decidiendo cuáles son los más apropiados para resolver cada una de las actividades. Asimismo, deberán elaborar sus propias estrategias para resolver los problemas, dado que estos no son guiados ni se ajustan a patrones preestablecidos que ya conozcan, lo que puede resultarles muy estimulante, aunque al comienzo les asuste un poco.

1 + 20 + 20 · 10 + 20 · 102 + ... + 20 · 10

n

sea igual a 2000 o 6000 millones. La última actividad es una extensión de las actividades de la entrada de la unidad. Una vez que los alumnos hayan comprobado lo vertiginoso que es el ritmo de crecimiento de las personas que reciben la información, valorarán la importancia que tiene el ser críticos con la información que cuelgan en la red. ANALIZA Y DEDUCE: LA PRUEBA DEL CARBONO 14

Pon a prueba tus competencias

Esta actividad muestra la utilidad de las potencias para escribir números grandes.

APRENDE A PENSAR: EL PODER DE LAS REDES SOCIALES

Para que los alumnos respondan a las actividades 1, 2 y 3 deberemos guiarles para que sean capaces de deducirlas por sí mismos. Para ello partiremos de supuestos más sencillos, suponiendo que la información la transmite una persona a 2, 3 y 5 personas que no la han recibido anteriormente, y completaremos en la pizarra una tabla como la siguiente: Velocidad de transmisión

2

3

5

Antes de las 10.00

1

1

1

10.00

2

3

5

11.00

22

32

52

12.00

23

33

53

Total

15

40

156

Puede servirnos de pie para introducir, como contenido de ampliación, la notación científica, para lo que primeramente tendríamos que repasar las potencias de 10 y los números decimales. Para completar la tabla los alumnos tienen que darse cuenta de que mientras los años transcurridos se duplican, la cantidad de unidades de carbono 14 queda dividida por 2, por lo que habrá un momento en el que el fósil ya no contenga más unidades y sea imposible datarlo. CREA UN JUEGO: MAGIA CON LAS POTENCIAS

Esta actividad se realizará de forma individual. Tiene carácter lúdico y permite a los alumnos ver el lado divertido de las matemáticas. Al calcular los diferentes números, los alumnos se darán cuenta de que podemos escribir cualquier número como suma de potencias de 2.

Al ver las secuencias que aparecen en las diferentes columnas, no les costará deducir que a las 10.00 la información la saben 1 + 20 personas, a las 11.00 ha llegado a 1 + 20 + 20 · 102; y así sucesivamente.


Unidad 3

9

Actividades de refuerzo Unidad

3


ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Los objetivos principales que los alumnos deberían alcanzar son: distinguir la base y el exponente de una potencia y operar con potencias de forma básica. • Hay que insistir en la diferencia entre una potencia y un producto. A veces, los alumnos creen que es una multiplicación; por ejemplo, 24 = 16 lo confunden con 2 · 4 = 8. • Es importante recalcar el uso correcto de los paréntesis. Un error común ocurre con las potencias de base negativa. Confunden (− x ) con − x , siendo cierto si n es impar, pero no si es par. n

n

• También es fundamental el cálculo de raíces cuadradas enteras por aproximaciones de números de pocas cifras para asimilar el concepto, ya que las raíces de un gran número de cifras se pueden calcular con la ayuda de una calculadora. A este tipo de alumnado se le deben plantear problemas sencillos, ayudándoles a comprenderlos mediante esquemas o dibujos.

ACTIVIDAD DE GRUPO Dominó de potencias

Vamos a construir un dominó de potencias. Para realizar l as fichas deben escribir en un papel un número entero, y en otro, diversas operaciones con potencias y raíces cuadradas exactas cuyo resultado es e l número entero escrito. Dividid la pizarra en dos partes, poned en una las potencias, y en la otra, los resultados. Comprobad que no coinciden dos operaciones o números. Cada uno de los alumnos fabricará varias piezas de dominó con un número en uno de los extremos de la pieza y una de las operaciones en el otro extremo; para ello, repartid las operaciones y los números. Una vez terminadas las fichas se puede jugar de varias formas. Una forma sería repartir las fichas entre todos los alumnos de modo que cada uno tenga el mismo número de fichas. Se juega por turnos, el primero sitúa una pieza, el siguiente intenta poner una de las suyas a continuación en uno de los extremos de forma que coincidan la operación y el número, y así sucesivamente. Gana el primer alumno que consiga poner todas sus fichas. Otra forma puede ser intentar poner todas las fichas, una tras otra como en el anterior j uego, hasta que se complete el círculo. Hay que intentar situar todas las fichas, lo cual puede resultar imposible.

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1.

a) 35 = 243

2.

A

B

C

1

2

2

5

2

8

2

3

9

9

4 5 3. 4.

3 1

0

2

D

b) 73 = 343

c) 83 = 512

b) Raíz, 7. Resto, 7

c) Raíz, 7. Resto, 14

E

1 5

6

6

4

4

a) Raíz, 5. Resto, 2 22 · 23 = 25 = 32 24 : 2 = 23 = 8 (10 : 5)4 = 24 = 16 (24)0 = 20 = 1 22 · 22 · 22 = 26 = 64

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de refuerzo.

10

Unidad 3


Más recursos en tu carpeta

ACTIVIDADES de REFUERZO Unidad 1.

3


Relaciona cada piloto con su moto. a)

c)

b) 243

343

8 3

2.

3 5

7 3

Completa el crucigrama. Horizontales 1. 152; 20 2. 23; (2 · 8)2 3. (−3)2; 32 4. 3; 82 5. 45 Verticales 174 : 172; 1 21; 900 232; 2 53 : 52; 26 24; (−2)2

3.

512

A

B

C

D

E

1 2 3 4 5

Las raíces cuadradas enteras de un número y el resto pueden calcularse gráficamente con ayuda de una cuadrícula. Fíjate en el ejemplo y calcula con ayuda de la cuadrícula las raíces y restos de los números indicados. Para calcular la raíz cuadrada entera de 18, pintamos 18 cuadrados en la cuadrícula, formando cuadrados. El lado del mayor cuadrado que podamos formar es la raíz, y los cuadrados que quedan sueltos indican el resto. a) 27

4.

b) 56

c) 63

Une con flechas cada expresión con la potencia correspondiente, y cada potencia con su valor. 22 · 23

24

8

24 : 2

23

16

(10 : 5)4

25

32

(24)0

26

1

22 · 22 · 22

20

64

e l b a i p o c o t o f a n i g á P


Unidad 3

11

Actividades de ampliación Unidad

3


ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Se proponen diversas actividades, unas son de ampliación y otras son curiosidades matemáticas. Para algunas actividades sería conveniente enseñar el uso de la calculadora. La calculadora es una herramienta que sirve para comprobar los resultados o para operar números con muchas cifras decimales. Las calculadoras simples realizan sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Para la mayoría de las actividades de la unidad es suficiente con este tipo de calculadoras.

ACTIVIDAD DE GRUPO Dominó de potencias Vamos a construir un dominó de potencias. Para realizar l as fichas deben escribir en un papel un número entero, y en otro, diversas operaciones con potencias y raíces cuadradas exactas cuyo resultado sea el número entero escrito. Dividid la pizarra en dos partes, poned en una las potencias, y en la otra, los resultados. Comprobad que no coinciden dos operaciones o números. Cada uno de los alumnos fabricará varias piezas de dominó con un número en uno de los extremos de la pieza y una de las operaciones en el otro extremo; para ello, repartid las operaciones y los números. Una vez terminadas las fichas se puede jugar de varias formas. Una forma sería repartir las fichas entre todos los alumnos de modo que cada uno tenga el mismo número de fichas. Se juega por turnos, el primero sitúa una pieza, el siguiente intenta poner una de las suyas a continuación en uno de los extremos de forma que coincidan la operación y el número, y así sucesivamente. Gana el primer alumno que consiga poner todas sus fichas. Otra forma puede ser intentar poner todas las fichas, una tras otra como en el anterior j uego, hasta que se complete el círculo. Hay que intentar situar todas las fichas, lo cual puede resultar imposible.

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1.

Depende de la factorización de la base y del exponente. a) 42 b) 26 u 82 c) 56 ó 1252 d) 493 ó 3432

2.

1 vez: 21 mm 3 veces: 23 = 8 mm 5 veces: 25 = 32 mm

3.

1 + 3 + 32 + 33 + 34 = 121 personas

4.

a) 24 · ( 16 − 2)3 = 24 · 23 = 27

( 121 81) c) ( 3 4 ) 5 d) (3 36 ) : 9 b)

−

2

2

5.

+

−

2

⋅

3

:

6.

Si acaba en 5, su raíz acaba en 5. Si acaba en 6, su raíz acaba en 4 ó 6. Un cuadrado perfecto no puede acabar en 3.

7.

Se puede formar un cuadrado de lado 223 fichas y sobran 271 fichas. Para el cuadrado de lado 224 faltan 176 fichas.

8.

El método no es correcto. Por ejemplo, no se cumple para 2116.

9.

263 = 17 576 273 = 19 683

2 veces: 22 = 4 mm 4 veces: 24 = 16 mm 100 veces: 2100 mm

23 = (11 − 9)5 : 23 = 25 : 23 = 22

=

=

25 · 53 = 5 · 53 = 54 (9 − 6)5 : 9 = 35 : 32 = 33

No es posible. La raíz cuadrada entera de 450 es 21, y el resto es 9.

10.

1 + 7 + 5 + 7 + 6 = 26 1 + 9 + 6 + 8 + 3 = 27

12 = 22 + 22 + 22 16 = 42 23 = 32 + 32 + 22 + 12 238 = 152 + 32 + 22 239 = 152 + 32 + 22 + 12

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de ampliación.

12

Unidad 3


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ACTIVIDADES de AMPLIACIÓN Unidad 1.

3


Escribe las siguientes potencias como otra potencia distinta de exponente distinto de 1. ¿Existen varias formas? ¿De qué depende? a) 24

b) 43

c) 253

d) 76

2.

Un folio mide 1 milímetro de grueso. Calcula el grosor si lo doblas 1 vez por la mitad. ¿Y si lo doblas 2, 3, 4 ó 5 veces? ¿Es posible doblarlo 100 veces? ¿Cuál será su grosor?

3.

Gonzalo cuenta un secreto a tres amigos. A su vez, cada amigo les cuenta el secreto a tres de sus amigos, y así sucesivamente. ¿Cuántas personas saben el secreto si se repite otras dos veces?

4.

Expresa como una sola potencia. 3

a) 2 · 4

b)

( 16 2)

( 121

−

c)

=

5

−

)

81

:

3

2

=

(

32 + 42 ⋅ 53 =

)

(

2

d) 3

5

−

)

36 : 9 =

5.

Ana le dice a Belén que su padre tiene una parcela cuadrangular de lado un número entero de metros y de superficie 450 metros cuadrados. ¿Son posibles estos datos de la parcela?

6.

Un número de 10 cifras acaba en 5 y es un cuadrado perfecto. ¿Cuál es la última cifra de su raíz cuadrada? ¿Y si el número de 10 cifras acabara en 6? ¿Y si acabara en 3?

7.

¿Cuál es el cuadrado mayor que se puede formar con 50 000 fichas iguales? ¿Cuántas fichas sobran? ¿Cuántas fichas más serán necesarias para obtener el cuadrado inmediato superior?

8.

Fíjate en el siguiente método para calcular la raíz cuadrada de un número de 4 cifras: Queremos calcular la raíz cuadrada de 2025.

a) Dividimos el número en 2 grupos de 2 cifras, 20 y 25. b) Sumamos ambos números, 20 + 25 = 45. c) El cuadrado de este número es igual al dado, 452 = 2025. La raíz cuadrada de 2025 es 45. Comprueba que también se cumple para 3025 y 9801. ¿Es este método correcto? 9.

El número 17 tiene una curiosa propiedad. Si lo elevamos al cubo, 173  4913, y sumamos sus cifras, 4  9  1  3  17, el resultado es el número inicial. Comprueba que ocurre lo mismo con 18. Encuentra dos números con la misma propiedad en la siguiente decena.

10.

Hay un teorema de matemáticas que afirma: “Todo entero positivo es una suma de un máximo de cuatro cuadrados perfectos”. Por ejemplo: 215  142  32  32  12. A veces hace falta usar menos cuadrados: 430  152  142  32. Escribe los siguientes números como suma de cuadrados: 12, 16, 23, 238 y 239.

e l b a i p o c o t o f a n i g á P


Unidad 3

13

PROPUESTA de EVALUACIÓN Unidad

3


APELLIDOS:

NOMBRE:

FECHA:

1.

2.

3.

4.

5.

CURSO:

GRUPO:

Calcula el resultado de las siguientes potencias. a) 25

c) (−3)4

e) (−2)7

g) 54

b) 103

d) 70

f) 81

h) (−7)3

Expresa las siguientes potencias como producto o cociente de potencias. a) (3 · 5)4

c) (4 : 9)3

e) [(−3) : 5]7

b) (7 · 2 · 5)6

d) [(−2) · 11]10

f) [(−5) · 3 · (−13)]21

Calcula las siguientes operaciones con potencias. a) (25)2

c) 5 · 54 : 52

e) [23 · (22)2 · (24)3]0

b) ((−2)3)2 · 23

d) (((−1)3)5)4

f) (73)4 : (75)2

Expresa como una sola potencia y calcula su valor. a) (252 : 53) · 52

c) (247 : 67) : 45

b) 43 : (22 · 24)

d) (92 : 27)2 : 32

Completa la siguiente tabla. Raíz cuadrada exacta Cuadrados perfectos

6.

49

144

b) 1550

c) 5103

7.

Una empresa quiere realizar una mudanza y necesita nueve camiones. Cada camión contiene nueve cajas. Cada caja contiene nueve mesas. ¿Cuántas mesas posee la empresa?

8.

Un campo en forma de cuadrado tiene 8100 metros cuadrados de superficie. Calcula cuánto mide su lado.

9.

Halla el número cuya raíz cuadrada entera es 35, y el resto, 12.

10.

La finca de Luis tiene la forma de la figura. Cada parcela pequeña tiene una superficie de 9 metros cuadrados. ¿Cuántos metros cuadrados tendría que añadir Luis para que su finca tuviera forma de cuadrado?

a n i g á P

14

121

21

Escribe entre qué cuadrados se encuentran los siguientes números e indica cuál es la raíz cuadrada entera y el resto de cada número. a) 1001

e l b a i p o c o t o f

200

Unidad 3


Propuesta de evaluación Unidad

3


SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1. a)

25 = 32

b) 103 = 1000

2. a)

(3 · 5)4 = 34 · 54

b) (7 · 2 · 5)6 = 76 · 26 · 56

3. a)

(25)2 = 210

b) ((−2)3)2 · 23 = 29

4. a)

c) (−3)4 = 81

e) (−2)7 = −256

g) 54 = 625

d) 70 = 1

f) 81 = 8

h) (−7)3 = −343

c) (4 : 9)3 = 43 : 93

e) [(−3) : 5]7 = (−3)7 : 57

d) [(−2) · 11]10= (−2)10 · 1110

f) [(−5) · 3 · (−13)]21 = (−5)21 · 321 · (−13)21

c) 5 · 54 : 52 = 53

e) [23 · (22)2 · (24)3]0 = 20

d) (((−1)3)5)4 = 160

f) (73)4 : (75)2 = 712 : 710 = 72

(252 : 53) · 52 = ((52)2 : 53) · 52 = (54 : 53) · 52 = 5 · 52 = 53 = 125

b) 43 : (22 · 24) = (22)3 : 26 = 26 : 26 = 20 = 1 c) (247 : 67) : 45 = 47 : 45 = 42 = 16 d) (92 : 27)2 : 32 = ((32)2 : 33)2 : 32 = (34 : 33)2 : 32 = 32 : 32 = 30 = 1

5.

6. a)

Raíz cuadrada exacta

11

200

7

21

12

Cuadrados perfectos

121

40 000

49

441

144

312 < 1001 < 322

b) 392 < 1550 < 402 c) 712 < 5103 < 722

7.

9 · 9 · 9 = 93 = 729

8.

El lado mide 8100 = 90 m.

9.

El número es 352 + 12 = 1225 + 12 = 1237.

10.

Tendría que añadir 15 parcelas; en total, 15 · 9 = 135 m2. e l b a i p o c o t o f a n i g á P


Unidad 3

15

Guia Didactica Unidad3

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