Razonamiento geométrico.
1 Triángulos. Un triángulo es un polígono de tres lados, que viene determinado por tres puntos no colineales llamados vértices. Los vértices se denotan por letras mayúsculas: A, B y C. Los lados son los segmentos que unen dos vértices del triángulo y se denotan por la misma letra que el vértice opuesto, pero en minúscula. Es decir: El lado a, es el segmento que une los vértices B y C. El lado b, es el segmento que une los vértices A y C. El lado c, es el segmento que une los vértices A y B. Se llama ángulo de un triángulo, al ángulo que forman las rectas sobre las que se apoyan dos de sus lados incidentes en un vértice. El ángulo, se denota con la misma letra que el vértice correspondiente. Propiedad 1.
Un triángulo tiene tres ángulos, cumpliéndose siempre que: ”la suma de los tres ángulos de un triángulo es 180 grados”. Propiedad 2.
(Desigualdad Triángular) Las longitudes de los lados de un triángulo no pueden ser cualesquiera. Para que pueda construirse el triángulo, la longitud de cada lado tiene que ser menor que la suma de los otros dos lados y mayor que la diferencia de los mismos. Ejemplo. Diga en cuáles cuáles de los siguientes siguientes casos, se podría p odría construir construir un triángulo triángulo cuyos lados fueran los dados: (justique su respuesta) 1. a = 5 cm, b = 5 cm, c = 5 cm 2. a = 3 cm, b = 6 cm, c = 4 cm 3. a = 1 cm, b = 1 cm, c = 5 cm 4. a = 9 cm, b = 8 cm, c = 2 cm 5. a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm 6. a = 2 cm, b = 9 cm, c = 8 cm
Ejercicios. 1. En un triángulo ABC, D es un punto de AC tal que AD = 7 y BD = BC = 5. Hallar C D si AB = 9. 2. Cuál es el perímetro perímetro del may mayor or triángulo equilátero, equilátero, cuyo cuyo lado es un número número entero, entero, que se puede construir sobre un lado de un triángulo cuyos otros lados miden 2 y 9?. ¿Cuál sería el perímetro del menor triángulo equilátero?.
1
√
√
3. Los lados de un triángulo miden miden 8, 5 + 16 − x y 5 − 16 − x. Cuál es el límite de variación de x? 4. El punto interior O del triángulo ABC se une con los vértices, vértices, se sabe que OA = 2 Si el perímetro del triángulo es 114, entre que valores está comprendido OA ?
OB 3
=
3OC 2
.
5. Los lados de de un triángulo triángulo ABC miden 9, 10 y 11. Si D es un punto interior del triángulo, hallar entre que valores se encuentra la suma DA + DB + DC. 6. Los segmentos AB y C D se cortan en O. Si AB = 8, C D = 6 y AC = 4, entonces cuàl es BD.. el mayor valor entero de BD 7. En un paralelogramo se trazan todas las bisectrices interiores y éstos forman un cuadrilátero. Cómo se llama este cuadrilátero? 8. El perímetro de un triángulo triángulo es 35 y uno de sus lados mide 12. Hallar la diferencia diferencia de los otros dos lados si el producto de estos es 130. 9. El punto interior O del triángulo ABC se une con los vértices, vértices, se sabe que OA = 2 Si el perímetro del triángulo es 114, entre que valores está comprendido OA ?
OB 3
=
3OC 2
.
10. Los lados de de un triángulo triángulo ABC miden 9, 10 y 11. Si D es un punto interior del triángulo, hallar entre que valores se encuentra la suma DA + DB + DC. 11. Los segmentos AB y C D se cortan en O. Si AB = 8, C D = 6 y AC = 4, entonces cuàl es el mayor valor de BD ? 12. En un triángulo, triángulo, dos lados miden 9 y 7, hallar el perímetro del triángulo, triángulo, sabiendo que el tercer tercer lado es el doble de uno de los otros dos. 13. Dos lados de un triángulo miden 1 y 6 respectivamente. Sobre el tercer lado se construye un triángulo equilátero cuyo lado es un número entero. Hallar el perímetro del triángulo equilátero.
1.1 Clasifcación Clasifcación de triángulos triángulos . La clasicación de triángulos se hace atendiendo a dos criterios: 1. Atendiend Atendiendo o a sus lados: • Escalenos (los tres lados distintos) • Isósceles Isósceles (dos lados iguales iguales y otro desigual) desigual) • Equilátero Equilátero (los tres lados iguales) iguales) 2. Atendiend Atendiendo o a sus ángulos: ángulos: • Rectángulos (si tiene un ángulo recto) • Acutángulos (si los tres ángulos son agudos) • Obtusángulos Obtusángulos (si tiene un ángulo obtuso) obtuso)
Propiedad 3. 1. El triángulo equilátero, equilátero, es también equiángulo equiángulo (los tres ángulos son iguales, y por p or tanto, de 60º cada uno) 2. En el triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos, catetos. 3. Un triángulo rectángulo isósceles tiene un ángulo recto y sus catetos iguales, luego los ángulos agudos también son iguales, e iguales a 45º
2
Ejemplo. Responder justicando su respuesta: 1. ¿Cuántos ángulos agudos, como máximo, puede tener un triángulo? 2. ¿Cuántos ángulos obtusos, como máximo, puede tener un triángulo? 3. ¿Cuántos ángulos agudos, como mínimo, puede tener un triángulo? 4. ¿Cuánto suman los ángulos agudos de un triángulo rectángulo?
Ejercicios. 1. En un triángulo ABC, BH es altura y BD es bisectriz. Hallar HBD si A − C = 58º.
2. En un triángulo ABC, MD es mediatriz de AC (D en AB ). Hallar CDB, si el ángulo exterior A mide 150º.
3. En el triángulo ABC cuyos ángulos A y C miden 40º y 20º respectivamente, calcular el ángulo ABD si CD = B D, ( BD es una ceviana). 4. En un triángulo ABC, la bisectriz exterior del ángulo C es paralela al lado AB. Entonces de qué clase de triángulo se trata? 5. Las bisectrices interiores de los ángulos A y B de un triángulo ABC forman un ángulo de 124º. Calcular el valor del ángulo C. 6. El ángulo B de un triángulo ABC mide 40º. Calcular el ángulo formado por la bisectriz interior de A y la bisectriz exterior C. ˆ = 64º, C ˆ = 42º. Hallar el ángulo que forman la altura 7. En un triángulo ABC se tiene que A AD con la bisectriz BE . 8. Los ángulos B y C del triángulo AB C miden 70º y 50º respectivamente, cuál es la medida del ángulo que forman la altura y la bisectriz que parten desde el vértice A? 9. Dado el triángulo isósceles ABC de base BC, se traza la bisectriz BD. Si se cumple AD = B D, hallar el ángulo DCB. ˆ − C ˆ = 90º, se traza la bisectriz AD. Hallar el ángulo 10. Se da un triángulo AB C en el que B ADB.
11. La bisectriz del ángulo recto de un triángulo rectángulo forma con la hipotenusa un ángulo de 115º. Hallar el ángulo que forma dicha bisectriz con la bisectriz exterior del menor de los ángulos agudos. ˆ = 60º y C ˆ = 20º. Se traza la bisectriz interior AE 12. Se dá un triángulo ABC, se sabe que B y de E se traza la bisectriz del ángulo BEA, la cual corta a la prolongación de CA en D. Hallar el ángulo EDC. 13. En el triángulo isósceles ABC, la base AC se prolonga hasta D, de modo que CD = B C, hallar la relación 180 ABD . º−
DBC
ˆ − ˆ 14. En el triángulo ABC, se tiene B C = 72º. Calcular el ángulo ADB si AD es una bisectriz del ángulo A. 15. En un triángulo isósceles ABC, de base BC, se toma los puntos M y N sobre AB y AC respectivamente, de modo que M B = M N = AN . Si el ángulo C del triángulo mide 70º, hallar el ángulo MBN.
3
16. En un triángulo ABC, se toma los puntos M, N y P sobre AB, BC y AC respectivamente. Si AM = M P y P N = N C, determinar el valor del ángulo M P N , si el ángulo B mide 80º. 17. En un triángulo AQC se prolonga CQ hasta B. Por B se traza una recta que corta a AC en R. Si QAC − CBR = 10º. Hallar AQC − BRC.
18. Dado un triángulo ABC tal que AB < AC, se toma sobre AC una longitud AD = AB , y ˆ = 20º, entonces el ángulo B resulta que el punto D equidista de los vértices B y C. Si C medirá: 19. Dado un cuadrado ABCD, se toma como base el lado AB y se traza el triángulo equilátero interior ABE. Cuánto medirá el ángulo EC B ? y si el triángulo equilátero fuera exterior? 20. Dado un cuadrado ABCD de lado a, se toma los puntos M y N sobre AB y BC respectivamente, de modo que M dista a3 de A, y N dista a3 de B. Se traza los segmentos DM y AN, los cuales se intersecan en P. Determinar el ángulo DPN. 21. En un triángulo ABC, el ángulo A mide 25º y AB > BC. Se traza la bisectriz del ángulo B, que corta al lado AC en D. La mediatriz de B D encuentra a la prolongación de AC en E. Calcular el ángulo CBE. 22. En un triángulo ABC se trazan la altura y la bisectriz que parten del vértice B. Calcular ˆ − C ˆ = 30º. el ángulo formado por dichas rectas, sabiendo que A 23. Sobre el lado BC del triángulo ABC, se toma D de modo que AC = C D y CAB − ABC = 30º. Hallar BAD.
24. Se da un triángulo ABC isósceles con AB = AC. Sobre el lado AB se toma el punto E y sobre AC los puntos D y F con la condición BC = B F = F E = ED = DA. Hallar el ángulo EAD. 25. En un triángulo rectángulo ABC, recto en A, los ángulos agudos están en la relación Hallar el ángulo que forman las bisectrices de los ángulos B y C.
a b
.
26. En el interior de un triángulo AB C se toma el punto Q. Calcular el ángulo B AC si se sabe que BQC = 134º, ABQ = x − 16, ACQ = 90º − x.
27. Sobre una recta XX ´ se toman los puntos consecutivos B y C. Exteriormente a la recta se toma un punto A, de tal modo que 4ACX ´ = 2ABX ´ = ACX. Hallar el ángulo que forma la bisectriz del ángulo BAC con la recta XX ´.
ˆ = 60º y C ˆ = 50º. Se trazan las bisectrices AF y C E, 28. Se da un triángulo ABC, en el que B las que se cortan en P ; luego la altura BD que corta a AF en Q y a CE en R. Hallar el mayor ángulo del triángulo PQR.
29. En el triángulo ABC, AB = AC. Sabiendo que AH y BF son bisectrices interiores que se cortan en I, y que la suma de los ángulos BAH y BI H es 60º, hallar la diferencia de dichos ángulos. 30. Los ángulos A y C del triángulo ABC miden 60º y 50º respectivamente. Los ángulos AM N y CN M dieren en 30º, hallar uno de estos ángulos si AM y CN son alturas. 31. El ángulo A del triángulo ABC mide 36º. Se traza la bisectriz interior BD que corta a AC en E. Si ACD = ACB y EDC = 24º, hallar AEB.
32. La bisectriz interior de A y la bisectriz exterior de C del triángulo ABC cortan a la paralela a AC que pasa por B en D y E. Si AB = 7.5 y BC = 10.8, hallar DE.
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1.2 Criterios de Igualdad de triángulos. Dos triángulos son iguales cuando tienen sus tres lados de la misma longitud y sus tres ángulos iguales. Para ver si dos triángulos son iguales basta con comprobar la igualdad de parte de sus elementos. Esos elementos vienen determinados por los criterios de igualdad de triángulos. Son las condiciones mínimas que se deben cumplir para que dos triángulos sean iguales. CRITERIO 1: ”Dos triángulos son iguales si tienen iguales sus tres lados” CRITERIO 2: ”Dos triángulos son iguales si tienen iguales dos lados y el ángulo que forman dichos lados” CRITERIO 3: ”Dos triángulos son iguales si tienen iguales un lado y los dos ángulos contiguos a él”. Propiedad 4.
La recta que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralela al tercer lado e igual a su mitad, y se llama paralela media correspondiente al tercer lado. Vamos a demostrar el resultado para una de las paralelas medias, por ejemplo, para la N M. Tendremos que justicar que la paralela al lado AC, que pasa por el punto medio del lado AB, corta al lado BC en su punto medio y además, es la mitad del lado AC. Sea N el punto medio del lado AB. Se traza la paralela al lado AC por N, y sea M el punto donde dicha paralela corta al lado BC. Por dicho punto, M, trazamos la paralela al lado AB, y llamamos P al punto donde dicha paralela corta al lado AC. Con esta construcción, se han formado dos triángulos, a saber: BN M y MP C. Dichos triángulos son iguales, por el criterio 3 de igualdad de triángulos. Veámoslo: • Un lado igual: AN = N B (por ser N el punto medio de AB ) y AN = M P (por ser segmentos paralelos entre paralalelas), luego: BN = M P • Los dos ángulos contiguos iguales: Los ángulos contiguos al lado BN, son respectivamente iguales a los ángulos contiguos al lado M P, pues en ambos casos se trata de dos ángulos agudos de lados respectivamente paralelos. Luego, los triángulos BN M y M P C son iguales, y por lo tanto, tienen iguales sus tres lados. En particular: BM = M C, entonces M será pues el punto medio del lado BC, luego la paralela media de AC pasa por el punto medio del lado AB, AP = M N = CP. Entonces CP = P A y CP = 12 AC, luego: La paralela media M N es la mitad del lado AC. Ejemplo. Utilizando la igualdad de triángulos, demostrar que: 1. Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio. 2. La diagonal de un paralelogramo, lo divide en dos triángulos iguales.
Ejercicios. 1. En un triángulo ABC, O es punto medio de la mediana AN, MN es paralelo con CO ( M sobre AB ). Si CO = 18, hallar M N. 2. En un triangulo ABC se traza la altura BH correspondiente al lado AC y la mediana AM. Si N es punto de intersección de BH y AM, es a la vez el punto medio de la mediana, hallar N H sabiendo que BH = 4. 3. En el triángulo isósceles ABC, AB = BC = 10. Por un punto cualquiera P de la base se traza P X paralela a BC y P Y paralela a AB (X sobre AB e Y sobre BC ). Hallar el perímetro del cuadrilátero PXBY.
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4. En el triángulo ABC, O es punto medio de la mediana CM. MN es paralela a AO (N sobre BC ), calcular M N si AO = 36. 5. Sobre el lado AC de un triángulo ABC se toma un punto D, tal que BD corta a la mediana AM en su punto medio. Si AD = 10, hallar AC. 6. Por el vértice B del triángulo ABC se traza una perpendicular a la bisectriz interior del ángulo A. Por el pie de dicha perpendicular L, se traza una paralela a AC, que corta a AB en M. Si LM = 5, hallar BM . 7. En un cuadrado ABCD, se toman los puntos E y F sobre BC y DC respectivamente, tales que AEF es un triángulo equilátero. Hallar BAE. 8. Por el vértice D del cuadrado ABCD pasa una recta exterior. Las perpendiculares a la recta AM = 6 y CN = 8, hallar la longitud M N (sobre la recta) 9. Dado el triángulo rectángulo ABC recto en B. Se traza una recta que corta a BC en M y a AC en N, de tal modo que M N A = BAC. Hallar BC, si la distancia de N a AB es 12 y la distancia de C a la recta es 5.
10. En un triángulo ABC, B = 60º, AB = 8 y BC = 15. Calcular la longitud de AC. 11. En un triángulo ABC recto en B, se traza desde el vértice B una perpendicular a AC, la cual lo interseca en D. Si AD = a y AB = 2a, hallar el perímetro del triángulo ABC.
1.3 Líneas notables de un triángulo. 1.3.1 Mediatriz.
La mediatriz de un lado de un triángulo se dene como la recta perpendicular a dicho lado que pasa por su punto medio. Todo triángulo ABC, tiene tres mediatrices que denotaremos como sigue: La mediatriz del lado a = B C, se denota por M a . La mediatriz del lado b = AC, se denota por M b . La mediatriz del lado c = AB , se denota por M c . Construcción de la mediatriz M A .
Para trazar la mediatriz del lado a = BC de un triángulo de vértices ABC, se tiene que hacer lo siguiente: 1. Localizar el lado a (segmento que une los vértices B y C del triángulo) 2. Con centro en el vértice B, y el radio cualquiera, trazar dos arcos de circunferencia (uno a cada lado del lado BC ) 3. Con centro en el vértice C, y el mismo radio, trazar dos arcos de circunferencia hasta que se corten con los anteriores. 4. Trazar la recta que pasa por los puntos de intersección de los arcos que se trazaron con centro en los vértices B y C. 5. Poner a la recta la etiqueta M a para indicar que se trata de la mediatriz del lado a del triángulo. Propiedad 5.
Los puntos de la mediatriz de un lado de un triángulo equidistan de los vértices que denen dicho lado. Ejemplo. Con ayuda de una regla y un compás:
6
1. Dibujar un triángulo cualquiera y etiquetar sus vértices con las letras A, B y C. 2. Siguiendo los pasos indicados en las construcciones observadas, dibujar las tres mediatrices de tu triángulo. 3. Elegir un punto cualquiera de la mediatriz del lado AB y, con ayuda de la regla o el compás, tomar la distancia de dicho punto al vértice A y compararla con la distancia de dicho punto al vértice B. ¿Cómo son esas distancias? 4. Repetir el apartado anterior con otros puntos de esa misma mediatriz. 5. Repetir los dos apartados anteriores con las otras dos mediatrices. Ejemplo. Utilizando los criterios de igualdad de triángulos, demostrar la propiedad 5. 1.3.2 Altura.
La altura de un triángulo, respecto de uno de sus lados, se dene como la recta perpendicular a dicho lado que pasa por el vértice opuesto. Todo triángulo ABC, tiene tres alturas que denotaremos como sigue: La altura respecto del lado a = B C, se denota por ha . La altura respecto del lado b = AC, se denota por hb . La altura respecto del lado c = AB , se denota por hc . Construcción geométrica de la altura ha .
Para trazar la altura respecto del lado a = B C de un triángulo de vértices ABC, se tiene que hacer lo siguiente: 1. Localizar el vértice A. 2. Con centro en el vértice A, se traza un arco de circunferencia de radio cualquiera pero tal que corte al lado BC (o su prolongación) en dos puntos que llamaremos N y M. 3. Se traza la mediatriz del segmento N M, y se prolonga hasta que corte o incida en el vértice A.
4. La recta así obtenida es la altura que se buscaba. Propiedad 6.
Una altura puede ser interior al triángulo, exterior al mismo, o incluso, coincidir con alguno de sus lados (según el tipo de triángulo): Si el triángulo es rectángulo: La altura respecto a la hipotenusa es interior, y las otras dos alturas coinciden con los catetos del triángulo. Si el triángulo es acutángulo: Las tres alturas son interiores al triángulo. Si el triángulo es obtusángulo: La altura respecto al mayor de sus lados es interior, siendo las otras dos alturas exteriores al triángulo. Propiedad 7.
En un triángulo isósceles, la altura correspondiente al lado desigual divide el triángulo en dos triángulos iguales. Ejemplo. Con ayuda de una regla y un compás: 1. Dibujar un triángulo acutángulo y etiquetar sus vértices con las letras A, B y C. 2. Siguiendo los pasos indicados en las construcciones observadas, dibujar las tres alturas del triángulo.
7
3. Observar si son interiores o exteriores al triángulo, de igual manera observar si concuerdan los resultados con la propiedad 6. 4. Repetir el mismo ejercicio con un triángulo rectángulo. 5. Repetir el mismo ejercicio con un triángulo obtusángulo. Ejemplo. Utilizando los criterios de igualdad de triángulos, demostrar la propiedad 7. 1.3.3 Mediana.
La mediana de un triángulo, correspondiente a uno de sus vértices, se dene como la recta que une dicho vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto. Todo triángulo ABC, tiene tres medianas (una por cada vértice) que denotaremos como sigue: Mediana correspondiente al lado BC, se denota por ma . Mediana correspondiente al ladeo AC, se denota por mb . Mediana correspondiente al lado AB, se denota por mc . Construcción geométrica de la mediana ma .
Para trazar la mediana con respecto al vértice B, se tiene que hacer lo siguiente: 1. Localizar el vértice A. 2. Se ubica el punto medio del lado BC (lado opuesto al vértice A) 3. Se traza la recta que pasa por el vértice A y el punto medio del lado BC. 4. Se etiqueta ma , para indicar que se trata de la mediana correspondiente al vértice A. Propiedad 8.
Las tres medianas de un triángulo son interiores al mismo, independientemente del tipo de triángulo que sea. Propiedad 9.
Cada mediana de un triángulo divide a éste en dos triángulos de igual área. Ejemplo. Con ayuda de una regla y un compás: 1. Dibujar un triángulo acutángulo y etiquetar sus vértices con las letras A, B y C. 2. Siguiendo los pasos indicados en las construcciones observadas, dibujar las tres medianas de tu triángulo. 3. Observar si coincide el resultado con la propiedad 8. 4. Calcular el área de los dos triángulos en que la mediana mb divide al triángulo ABC y comprobar que se cumple la propiedad 9. 5. Repetir el mismo ejercicio con un triángulo rectángulo. 6. Repetir el mismo ejercicio con un triángulo obtusángulo. 7. Demostrar la propiedad 9.
8
1.3.4 Bisectriz.
La BISECTRIZ de un triángulo, correspondiente a uno de sus vértices, se dene como la recta que, pasando por dicho vértice, divide al ángulo correspondiente en dos partes iguales. Todo triángulo ABC, tiene tres bisectrices (una por cada ángulo) que denotaremos como sigue: Bisectriz correspondiente al ángulo A, se denota por bA . Bisectriz correspondiente al ángulo B, se denota por bB . Bisectriz correspondiente al ángulo C, se denota por bC . Construcción geométrica de la bisectriz bA .
Para trazar la bisectriz del ángulo A de un triángulo de vértices ABC, se hace lo siguiente: 1. Localizar el vértice A. 2. Con centro en el vértice A, se traza un arco de circunferencia de radio cualquiera pero tal que corte los lados AB y AC en dos puntos que llamaremos N y M. 3. Con centro en N, y radio cualquiera, se traza un arco de circunferencia. 4. Con centro en M , y el mismo radio, se traza otro arco de circunferencia que interseque con el anterior, en un punto. 5. Se une este punto con el vértice A mediante una línea recta, y ya se tiene la bisectriz del ángulo A. 6. Etiquetar con bA . Propiedad 10.
Los puntos de la bisectriz equidistan de los lados del ángulo. Es decir: si trazamos perpendiculares desde un punto a los dos lados, los segmentos que se forman son de la misma longitud Ejemplo. Con ayuda de una regla y un compás: 1. Dibujar un triángulo cualquiera y etiquetar sus vértices con las letras A, B y C. 2. Siguiendo los pasos indicados en las construcciones observadas, dibujar las tres bisectrices del triángulo. 3. Comprueba sobre el dibujo que se cumple la propiedad 10.
1.4 Puntos notables de un triángulo. 1.4.1 Circuncentro.
Según se vio en la lección anterior, cualquier punto de la mediatriz de un lado de un triángulo equidista de los vértices que denen dicho lado. Luego si llamamos O al punto de intersección de las mediatrices de los lados AB y BC, por la propiedad anterior, el punto O equidista de los vértices A y B (por estar en la mediatriz de AB ) y de los vértices B y C (por estar en la mediatriz de BC ). Luego equidista de A, B y C. Al equidistar de los tres vértices del triángulo, en particular, equidista de A y C, lo que demuestra que también estará en la mediatriz del lado AC y, además, será el centro de una circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo. De lo anterior, concluímos: 1. Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un único punto, que denotaremos por O, y que recibe el nombre de circuncentro. 2. El punto de corte de las tres mediatrices es el centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo, que llamaremos circunferencia circunscrita. Observar el circuncentro en los casos de que el triángulo sea rectángulo, acutángulo u obtusángulo, respectivamente.
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Propiedad 11.
A la vista de los resultados anteriores, se puede enunciar la siguiente propiedad: 1. El Circuncentro de un triángulo rectángulo es el punto medio de la hipotenusa. 2. El Circuncentro de un triángulo acutángulo está en el interior del triángulo. 3. El Circuncentro de un triángulo obtusángulo está en el exterior del triángulo. Ejemplo. Con ayuda de una regla y compás: 1. Dibujar un triángulo acutángulo cualquiera. a) Dibujar dos de sus mediatrices (las que se desee). b) Señalar el punto de intersección de ambas. c) Trazar la circunferencia con centro en ese punto y radio la distancia al vértice A. d) Comprobar que dicha circunferencia pasa por los vértices B y C. 2. Repetir el ejercicio anterior con un triángulo rectángulo. 3. Repetir el ejercicio anterior con un triángulo obtusángulo. 4. Comprobar que se ha vericado la propiedad 11 en cada uno de los triángulos que se han dibujado. 1.4.2 Incentro.
Según se vio en la lección anterior, cualquier punto de la bisectriz de un ángulo de un triángulo equidista de los lados que denen dicho ángulo. Luego si llamamos I al punto de intersección de las bisectrices de los ángulos A y B, por la propiedad anterior, el punto I equidista de los lados AB y AC (por estar en la bisectriz de A) y de los lados AB y BC (por estar en la bisectriz de B ). Luego equidista de los lados AB, BC y CA. Al equidistar de los tres lados del triángulo, en particular, equidista de CA y CB , lo que demuestra que también estará en la bisectriz del ángulo C y, además, será el centro de una circunferencia que es tangente a los tres lados del triángulo. De lo anterior, se concluye que: 1. Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un único punto, que se denota por I, y que recibe el nombre de incentro. 2. El punto de corte de las tres bisectrices es el centro de la circunferencia tangente a los tres lados del triángulo, que llamaremos circunferencia inscrita. Observar el incentro en los casos de que el triángulo sea rectángulo, acutángulo u obtusángulo, respectivamente. Propiedad 12.
El incentro de un triángulo cualquiera está siempre en el interior del triángulo. Ejemplo. Con ayuda de una regla y compás: 1. Dibujar un triángulo acutángulo cualquiera. a) Dibujar dos de sus bisectrices (las que se desee). b) Señalar el punto de intersección de ambas. c) Trazar la circunferencia con centro en ese punto y tangente al lado AB. d) Comprobar que dicha circunferencia también es tangente a los otros dos lados.
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2. Repetir el ejercicio anterior con un triángulo rectángulo. 3. Repetir el ejercicio anterior con un triángulo obtusángulo. 4. En cada uno de los triángulos dibujados, comprobar que el incentro está siempre en el interior del triángulo. 1.4.3 Baricentro.
Las tres medianas de un triángulo, al igual que ocurría con las mediatrices y bisectrices, se cortan en un único punto, llamado baricentro. Como se puede ver en los grácos, no hay diferencias signicativas en la situación del baricentro, dependiendo del tipo de triángulo (rectángulo, acutángulo u obtusángulo). En cualquier triángulo, el baricentro siempre es interior al mismo, más aún, es el centro de gravedad del triángulo y se denotará por G. Propiedad 13.
El baricentro de un triángulo, es un punto interior al mismo, que dista el doble de cada vértice que del punto medio de su lado opuesto. Sin entrar en la demostración, sí que lo veremos grácamente en los tres casos: triángulos rectángulos, acutángulos y obtusángulos, respectivamente. Se han denotado por A´, B ´, C ´, los puntos medios de los lados a = BC, b = AC y c = AB , respectivamente, y se ha señalado el punto medio de las distancias del baricentro a cada vértice, mediante un punto sin etiquetar. A la vista de los anterior, se observa que: GA = 2GA´ (la distancia de Baricentro al vértice A es igual a dos veces la distancia del baricentro al punto medio del lado a = BC ), GB = 2GB ´ la distancia del Baricentro al vértice A es igual a dos veces la distancia del baricentro al punto medio del lado a = B C ), GC = 2GC ´ (la distancia de Baricentro al vértice C es igual a dos veces la distancia del baricentro al punto medio del lado c = AB ) Ejemplo. Con ayuda de regla y compás: 1. Dibujar un triángulo cualquiera. a) Trazar geométricamente dos de las medianas. b) Señalar el punto donde se han cortado ¿cómo se llama ese punto? c) Trazar la tercera mediana y comprobar que pasa por dicho punto. 2. Con el compás: a) Tomar la medida del baricentro al punto medio del lado AB. b) Comprobar que se puede llevar esta medida, sobre la mediana, DOS veces desde el baricentro hasta el vértice C. 3. Repetir el apartado anterior con las otras dos medianas. 1.4.4 Ortocentro.
Considerando un triángulo de vértices A´, B ´ y C ´. Ya se demostró que las mediatrices de dicho triángulo se cortan en un único punto, llamado circuncentro. Ahora bien, llamando A, B y C a los puntos medios de los lados B ´C ´, A´C ´ y A´B respectivamente, y considerando el triángulo ABC, es posible comprobar lo siguiente: ′
′
1. Los lados de los triángulos ABC y A´ B ´C son respectivamente paralelos. ′
2. La mediatriz del lado A ´ B ´ es la perpendicular a A ´B que pasa por su punto medio (C ), luego será también perpendicular a AB (por ser paralelo a A ´ B ´). Así pues, considerando el triángulo ABC, dicha recta es perpendicular a AB pasando el vértice C, o lo que es lo mismo, es la altura del triángulo ABC respecto del lado AB.
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Análogo razonamiento conduce a deducir que la mediatriz del lado A´C ´ del triángulo A´B ´C ´, coincide con la altura del triángulo ABC respecto del lado AC. Y, la mediatriz del lado B ´C ´ del triángulo A´B ´C ´, coincide con la altura del triángulo ABC respecto del lado BC. Las alturas del triángulo ABC, son las mediatrices del triángulo A ´B ´C ´, y como las mediatrices de cualquier triángulo se cortaban en un único punto, podemos deducir: Las alturas de cualquier triángulo se cortan en un único punto, que llamaremos ORTOCENTRO, y que denotaremos por H. Además, el ortocentro de este triángulo coincide con el circuncentro de un triángulo semejante al dado, y que tiene los vértices del primero como puntos medios de sus lados. Propiedad 14.
1. El Ortocentro de un triángulo rectángulo es el vértice correspondiente al ángulo recto. 2. El Ortocentro de un triángulo acutángulo está en el interior del triángulo. 3. El Ortocentro de un triángulo obtusángulo está en el exterior del triángulo. Ejemplo. Con ayuda de una regla y compás: 1. Dibujar un triángulo acutángulo cualquiera ABC. a) Dibujar dos de sus alturas, tal y como se explicó en la construcción geométrica de la altura. b) Señalar el punto de intersección de ambas. ¿cómo se llama dicho punto? c) ¿El ortocentro está dentro o fuera del triángulo? 2. Con ayuda de una regla y compás: a) Dibujar un triángulo obtusángulo cualquiera ABC. b) Dibujar otro triángulo A ´B ´C ´que tenga los vértices A, B, y C, como puntos medios de sus lados. c) Calcular dos mediatrices del triángulo A ´B ´C ´, tal y como se explicó en la construcción geométrica de la mediatriz. d) Señalar el punto de intersección de ambas mediatrices. ¿cómo se llama dicho con respecto al triángulo ABC ? e) ¿El ortocentro está dentro o fuera del triángulo? Ejemplo. Con ayuda de una regla y compás: 1. Dibujar un triángulo acutángulo cualquiera ABC. a) Dibujar dos de sus alturas, tal y como se explicó en la construcción geométrica de la altura. b) Señalar el punto de intersección de ambas. ¿cómo se llama dicho punto? c) ¿El ortocentro está dentro o fuera del triángulo? 2. Con ayuda de una regla y compás: a) Dibujar un triángulo obtusángulo cualquiera ABC. b) Dibujar otro triángulo A´B ´C ´ que tenga los vértices A, B , y C, como puntos medios de sus lados. c) Calcular dos mediatrices del triángulo A ´B ´C ´, tal y como se explicó en la construcción geométrica de la mediatriz. d) Señalar el punto de intersección de ambas mediatrices. ¿cómo se llama dicho con respecto al triángulo ABC ?
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e) ¿El ortocentro está dentro o fuera del triángulo? 3. Con el compás: a) Tomar la medida del baricentro al circuncentro. b) Comprobar que se puede llevar esta medida, sobre la recta de Euler, DOS veces desde el baricentro hasta el ortocentro. c) Repetir los apartados 1 y 2 con un triángulo rectángulo. d) Repetir los apartados 1 y 2 con un triángulo obtusángulo.
Ejercicios. 1. En un triángulo ABC de altura BH, AH = 5, HC = 12, hallar AB si A = 2C. 2. En un triángulo ABC, se trazan las medianas AP, BM y CN. Si AG = 8, GN = 6, BG = 10, siendo G es el baricentro, hallar la suma de las longitudes de las tres medianas. 3. En un triángulo rectángulo AB C con mediana B M, hallar el ángulo extrior A, si M BC = 78º.
4. En un triángulo acutángulo ABC, O es el circuncentro. Si AO = 12, hallar AO + BO + CO. 5. En un triángulo isósceles ABC, se sabe que la base AC = 8. Calcular la longitud de la altura BH, si la distancia del baricentro a un extremo de la base mide 5. 6. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, por el punto medio de AB se traza una paralela a la bisectriz del ángulo recto, intercecando a la prolongación de CB en E. Si EC = 7 y BC = 4, cuánto mide el lado AB ? 7. Dado un triángulo ABC, por el punto O (intersección de las bisectrices interior de B y exterior de C ) se traza una paralela al lado B C, que corta al lado AB en D y a AC en E . Si BD = 115 y CE = 95, cuánto mide ED ? 8. En el triángulo ABC se tiene AB = BC el ángulo exterior B es el doble del ángulo A y P es la intersección de la bisectriz interior A con la bisectriz exterior B. Hallar BP si BC = m. 9. Se da un triángulo ABC, en el que se trazan las bisectrices interiores AD y BE . Por D se traza una paralela a BA cortando a la prolongación de BE en F y a CA en G. Hallar GF si AG = 9 y BD = 12. 10. Dado un triángulo ABC, se trazan las bisectrices interior y exterior del ángulo B. Por el vértice A se traza AE perpendicular a la bisectriz interior y AD perpendicular a la bisectriz exterior ( E en BC y D en la prolongación de BC ). Calcular DE, sabiendo que AB = 15. 11. Por el vértice B de un triángulo ABC se traza una paralela al lado AC, la cual corta a la bisectriz interior del ángulo A en P y a la bisectriz exterior de C en Q. Si AB = 7 y BC = 10, calcular P Q. 12. En un triángulo ABC de lados AB = 8, BC = 10 y AC = 9, se trazan por el vértice A las paralelaas AM y AN a las bisectrices interiores de los ángulos B y C respectivamente. Calcular la longitud del segmento M N sabiendo que los puntos M y N están en las prolongaciones de CB y BC respectivamente. 13. En el triángulo rectángulo BAC, el ángulo BDE mide 28º, donde BD es una bisectriz interior y DE es paralela a AB, cuánto mide el ángulo C ?
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14. Sobre la bisectriz de un ángulo AOB se toma un punto D. La mediatriz de OD corta a AO en M y a OB en N. Hallar el ángulo M DN si OM = M N. 15. Dado un triángulo ABC, sobre AC se toma un punto P de manera que las mediatrices de AP y P C cortan a los lados AB y BC en M y N respectivamente. Calcular el ángulo ˆ = 80º. M P N si B 16. En el triángulo rectángulo AB C recto en A, se traza la mediana AD y la altura AE. Si el ángulo C tiene 24º, calcular el ángulo EAD. 17. En un triángulo ABC, B = 68º y C = 12º. Hallar el menor ángulo formado por las alturas que parten de B y C. 18. En un triángulo ABC cuyo ángulo exterior A mide 40º, se trazan las mediatrices de los lados AB y AC, las cuales cortan al lado B C en E y F , respectivamente. Calcular el valor del ángulo EAF. 19. Los ángulos A y C del triángulo ABC miden 120º y 20º respectivamente. Se traza la mediatriz del lado AC, que corta a BC en F. Si AB mide 6, hallar F C. 20. La bisectriz interior AE del triángulo ABC es tal que AE = BE = AC. Hallar AB si BC = 2. ˆ = 2C. ˆ Sobre BC se toma un punto P, de tal modo que 21. En el triángulo ABC, AB = 5, B la mediatriz de BP pasa por A. Hallar BC, si BP = 6. 22. En el triángulo ABC se trazan la mediana B M y la altura AH. Hallar HM sabiendo que AC = 28. 23. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza la altura BH y la bisectriz BF del ángulo ABH, hallar F C sabiendo que BC = 4.
2 Teorema de Pitágoras. Este teorema, enunciado por el matemático griego Pitágoras en el siglo V a.C., es uno de los resultados más conocidos e importantes de la geometría y posee gran cantidad de aplicaciones tanto en distintas partes de las matemáticas como en situaciones de la vida diaria. El teorema se aplica a los triángulos rectángulos, y dice los siguiente: ”En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”. Si llamamos a a la hipotenusa de un triángulo rectángulo y b, c a los catetos, se verica: a2 = b 2 + c2 .
A los grupos de tres números a, b y c que verican a 2 = b 2 + c2 se les llama ”ternas pitagóricas”. Grácamente, el teorema de Pitágoras se expresa de la forma siguiente: ”En un triángulo rectángulo, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa, es la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos”. El teorema de Pitágoras es sencillo de probar, y tiene muchas demostraciones de diversos tipos, pero la más sencilla puede ser la basada en los cuadraedos de lado ( b + c) : Ambas son dos cuadrados de lado (b+c), y en las dos puedes ver que aparecen cuatro triángulos rectángulos de lados a, b y c. Eso quiere decir, que las partes restantes en cada uno de los cuadrados de lado ( b + c) deben tener el mismo área. En el primero, la parte restante son los cuadrados de áreas b2 y c2 ; en el segundo el cuadrado de área a2 . Esas áreas deben ser iguales, es decir: a2 = b 2 + c2 .
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Ejemplo. Resolver: 1. Los lados de un triángulo obtusángulo miden 3, 4 y 6. Hallar la proyección del lado menor sobre el lado medio. 2. Los lados de un triángulo miden 6, 8 y 12. Hallar la distancia entre los pies de la altura y la mediana trazadas sobre el lado mayor. 3. Las proyecciones de un segmento sobre los ejes coordenados miden 6 y 8. Calcular la longitud del segmento. 4. Los lados menor y mayor de un triángulos miden 7 y 12 respectivamente. La altura relativa al lado mayor mide 6. Hallar la longitud del tercer lado. 5. Los lados de un triángulo rectángulo son números enteros, hallar las longitudes si un cateto mide 11. 6. En el rectángulo ABCD, M es punto medio de AD, E es un punto de BM de modo que BE = 4, EM = 3, hallar EC. 7. Los lados de untriángulo miden 9, 40 y 41. Hallar la distancia del ortocentro al baricentro.
2.1 Teorema de la altura. Sea un triángulo rectángulo, cuyos catetos denotaremos por b y c, siendo a la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y h la altura del triángulo sobre la hipotenusa. De las tres alturas que tiene un triángulo rectángulo, dos de ellas son los catetos; y la tercera, la altura sobre la hipotenusa, está relacionada con los lados del triángulo por la siguiente relación: ”El producto de los dos catetos, de un triángulo rectángulo, coincide con el producto de la hipotenusa por la altura sobre ella”. La expresión del área de un triángulo (”área igual a base por altura dividido entre dos”) vamos a aplicarla dos veces al triángulo rectángulo ABC. • Considerando un cateto como base (el otro sería la altura correspondiente) S = • Considerando la hipotenusa como base, se tiene la siguiente igualdad: S =
ah 2
bc 2
.
.
Luego, igualando ambas expresiones, se obtiene: bc = ah
El teorema de la altura nos da otra relación: la relación entre la altura sobre la hipotenusa y las proyecciones de los catetos sobre la misma. Denotaremos por h la altura del triángulo sobre la hipotenusa y por m, n a las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. A parte del triángulo ABC, que por denición es rectángulo, al trazar la altura sobre la hipotenusa, aparecen dos nuevos triángulos rectángulos (por ser la altura perpendicular a la base), a saber, ADC y ADB. Aplicamos Pitágoras al ADC : b2 = h 2 + m2 Aplicamos Pitágoras al ADC : c2 = h 2 + n2 Aplicando de nuevo Pitágoras al ABC : a2 = b 2 + c2 . Sustituyendo en la última expresión b2 y c2 por las expresiones obtenidas anteriormente, resulta: a2 = h 2 + m2 + h2 + n2 = 2h2 + m2 + n2 .
Por otra parte, a = m + n de donde: a2 = (m + n)2 = m 2 + n2 + 2mn.
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Igualando ambas expresiones equivalentes a a2 = 2h2 + m2 + n2 = m 2 + n2 + 2mn,
de donde 2 h2 = 2mn, de donde h2 = m n. El resultado anterior se conoce con el nombre de Teorema de la Altura, y se enuncia de la siguiente manera: En un triangulo rectángulo, el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.
2.2 Teorema del Cateto. Considerando de nuevo el triángulo ADC y aplicando Pitágoras: b 2 = h 2 + m2 . Por el teorema de la altura, que acabamos de demostrar, se cumple: h2 = mn. Y sustituyendo la segunda expresión en la primera, se obtiene: b2 = mn + m2 = m (n + m) = ma, esto es b2 = ma.
Considerando ahora el triángulo ADB y aplicando Pitágoras: c 2 = h 2 + n2. Por el teorema de la altura, que acabamos de demostrar, se cumple: h2 = mn. Y sustituyendo la segunda expresión en la primera, se obtiene: c2 = mn + n2 = n (m + n) = na, esto es c2 = na.
Ambos resultados: b2 = ma y c2 = na, se conocen con el nombre de Teorema del cateto que se enuncia de la siguiente forma: El cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa. Ejemplo. Resolver: 1. En un triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa mide 4 centímetros y determina sobre la hipotenusa segmentos que están en la razón de 1 a 2. Hallar la medida del cateto mayor. 2. En el triángulo rectángulo ABC, con altura relativa a la hipotenuisa BH, se traza la perpendicular HE a BC, expresar EC en función de los lados del triángulo. 3. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 18, la diferencia entre un cateto y la altura relativa a la hipotenusa es 4. Hallar la longitud de los catetos. 4. Desde un punto A de una circunferencia se traza una perpendicular AD al diámetro BC, si el radio es 6.5, hallar AD. 5. Las proyecciones de √ los catetos son números enteros consecutivos, y la altura relativa a la hipotenusa mide 42. Calcular las longitudes de los catetos y la hipotenusa. 6. Las proyecciones de los catetos son como los números 9 y 16. El producto de los catetos es 8. Calcular la altura relativa a la hipotenusa. 7. Las distancias desde el baricentro G a los vértices del triángulo ABC son GB = 14, GA = GB = 15. Hallar la longitud del lado AC. 8. Un cateto de un triángulo rectángulo mide 5 y su proyección sobre la hipotenusa mide 3, hallar la longitud del otro cateto.
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Ejercicios. 1. En un triángulo rectángulo un cateto es el doble del otro. Cuál es la relación entre el cuadrado de la altura relativa a la hipotenusa y el cuadrado de la altura relativa a la hipotenusa? 2. Los cuadrados de los lados de un triángulo rectángulo son entre si como 1 : 2 : 3 , Si la hipotenusa tiene 30 cm, hallar la llongitud de los catetos. 3. Un cateto de un triángulo rectángulo es la mitad de la hipotenusa, hallar la relación entre la altura relativa a la hipotenusa y la proyección del cateto mayor. 4. La altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo determina sobre ella segmentos de 32 y 18 , hallar las longitudes de los catetos. 5. Calcular las longitudes de las tres medianas de un triángulo rectángulo en función de los cataetos b y c. 6. Las proyecciones de los catetos de un triángulo rectángulo son entre sí como 9 es a 16. Hallar la hipotenusa y los catetos si la altura relativa a la hipotenuisa mide 12. 7. Los cuadrados de los catetos de un triángulo rectángulo son entre si como 9 es a 16 y la altura arelativa a la hipotenusa mide 26.4. Hallar la altura relativa a la hipotenusa. 8. Hallar los perímteros de los triángulos parciales que la altura relativa a la hipotenusa determina, si se conoce que la hipotenusa mide 100 y uno de los catetos mide 60. 9. En un triángulo rectángulo un ángulo agudo mide 60º, en qué ralación divide la biusectriz de este ángulo al cateto opuesto y a la altura relativa a la hipotenusa? 10. En qué relación están los catetos de un triángulo rectángulo para que las medianas relativas a dichos catetos sean perpendiculares? 11. Los lados de un triángulo miden 18, 24 y 30. Calcular la altura relativa al lado mayor. 12. Los lados de un triángulo miden 15, 28 y 40. Hallar las proyecciones de los lados mayores sobre el menor. 13. Los lados de un triángulo miden 5, 10 y 12. Calcular las longitudes de la mediana, de la bisectriz y la altura trazadas al lado medio. 14. La altura AH de un triángulo ABC mide 6 y determina en el tercer lado segmentos de 3 y 2. Calcular el perímetro del triángulo. 15. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 20 y 21, determinar la longitud del radio de la circunferencia inscrita. 16. Demostrar que en todo triángulo: a) El cuadrado del lado que se opone a un ángulo agudo, es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto de uno de éstos por la proyección del otro sobre él. b) El cuadrado del lado que se opone a un ángulo obtuso, es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos más el doble producto de uno de éstos por la proyección del otro sobre él. c) La suma de los cuadrados de dos lados es igual al duplo del cuadrado de la mediana relativa al tercer lado más el duplo del cuadrado de la mitad de éste lado. 17. Demostrar que en todo cuadrilátero, la suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de las diagonales menos el cuádruplo del cuadrado sel segmento que une los puntos medios de dichas diagonales.
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18. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 12 y 16. Por el punto medio del cateto mayor se traza una perpendicular a la hipotenusa, hallar la longitud de dicha perpendicular y los segmentos que ésta determina en la hipontenusa. 19. Los catetos de un triángulo rectángulo BAC miden 15 y 20. Se prolonga el cateto menor BA hasta D de modo que CD es la hipotenusa del triángulo rectángulo CAD. Calcular la altura relativa a la hipotenusa en ambos triángulos rectángulos. 20. Dadas dos circunferencias tangentes exteriormente de radios R y r, determinar la longitud de la tangente común. 21. Las diagonales de un rombo miden 12 y 16. Calcular la longitud del radio de la circunferencia inscrita. 22. En un trapecio las diagonales son perpendiculares y miden 6 y 8. Calcular la medida de la base menor si la mayor mide 7. 23. En un rectángulo ABCD, la base es el doble de la altura . Por el vértice A se traza una perpendicular a la diagonal que corta a en E. Calcular DE . EC 24. Los lados de un triángulo rectángulo tienen medidas que forman una progresión aritmética de razón igual a 1. Calcular la medida de la altura relativa a la hipotenusa. 2,4. 25. Los lados menores de un triángulo rectángulo miden x y 3 x + 3, el tercer lado mide 4 x–3. Calcular el perímetro del triángulo. 56. 26. La hipotenusa de un triángulo mide 20 y la altura relativa a ella mide 9,6. Calcular la medida del cateto mayor. 16. 27. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 5 y 12 cm. Hallar la altura relativa a la hipotenusa. 28. La altura de un triángulo rectángulo determina en la hipotenusa segmentos de 9 y 16. Calcular los catetos. 15 y 20. 29. Los lados de un triángulo miden 10, 41 y 42. ¿Cuánto hay que disminuir cada lado para que el nuevo triángulo sea rectángulo? 1 30. En un triángulo rectángulo las proyecciones de los catetos están en la relación de 4 a 5. Hallar la relación entre sus catetos. 31. En el triángulo rectángulo BAC, de lados 3, 4 y 5, F es el punto medio del cateto mayor AB. Exteriormente se encuentra en cuadrado AFED. Calcular la longutud del segmento CE.
32. En un triángulo rectángulo BAC, con altura BH = h, proyecciones BH = m, HC = n, encuentre el valor de los elementos del triángulo dados algunos de ellos en los siguientes casos: , h = 15, hallar a, b, c, n (1) m = 5√ (2) b = 4√ 3, m = 4, hallar a, h, c, n (3) c = 6√ 2, m = 4, hallar a, h, b, n (4) b = 3√ 10, n = 13, hallar a,h, c, m (5) b = 4 3, m = 4, hallar a, h, c, n (6) b = 8 = n, hallar a,h, c, m
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3 Proporcionalidad y semejanza. Teorema. Son importantes los siugientes teoremas: 1. Teorema de Thales. Tres o más rectas paralelas determinan sobre dos o más rectas secantes, segmentos proporcionales. 2. Corolario de Thales. Toda paralela a un lado de un triángulo que corte a los otros dos, determina en éstos sementos proporcionales. 3. Teorema de la Bisectriz Interior. La bisectriz interior de un ángulo de un triángulo, determina en el lado opuesto segmentos proporcionales a los lados adyacentes. 4. Teorema de la Bisectriz Exterior. La bisectriz del ángulo exterior de un triángulo, determina en la prolongación del lado opuesto, segmentos proporcionales a sus lados adyacentes. 5. Teorema del Incentro. El Incentro de un triángulo divide a la bisectriz en dos segmentos proporcionales a: la suma de los lados adyacentes al vértice desde donde parte la bisectriz, con el lado opuesto. Ejemplo. Resolver: 1. Dado el ángulo AOB que mide 50º. Una recta secante corta a O A en C y a O B en D. Las bisectrices de los ángulos ACD y CDB se cortan en E, cuánto mide el ángulo EOB ? 2. El lado BC del triángulo ABC mide 6, la altura AH = 4. Hallar el lado del cuadrado inscrito que tiene uno de sus lados en el lado BC del triángulo. 3. Los lados AC y BC de un triángulo AB C miden 8 y 10 respectivamente. Por un punto P de AB se traza la paralela P Q a AC de modo que P Q = C Q − QB. Hallar la longitud de la paralela P Q. 4. Los lados de un triángulo miden 8, 15 y 17. Hallar la longitud que la bisectriz y la mediana determinan en el lado mayor. 5. Por el baricentro de un triánguolo AB C pasa una recta secante. Los vértices B y C distan 4 y 6 de la recta y se encuentran en el mismo semiplano determinado por la recta. A qué distancia de la misma recta está el vértices A? 6. Las longitudes de los lados de un triangulo son 15, 20, y 28. ¿Cuáles son las longitudes de los segmentos en que la bisectriz del ángulo mayor divide al lado opuesto?. Contestar la misma pregunta para el caso del ángulo menor. 7. Los lados de un triángulo miden 8, 3, 6. ¿Cuál es la longitud que determinan las bisectrices interior y exterior del ángulo menor? 8. El perímetro de un triángulo ABC es de 30 y el lado AC mide 18. Si I es el incentro y BI = 10 , hallar la longitud de la bisectriz BD. 3
3.1 Semejanza de triángulos. Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos de igual medida y sus lados homólogos de longitudes proporcionales.
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3.2 Casos de Semejanza. Primer Caso (AA) : Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente de igual medida. Segundo Caso (LAL) : Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados respectivamente proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es de igual medida. Tercer caso (LLL) : Dos triángulos son semejantes si sus tres lados son respectivamente proporcionales Ejemplo. Resolver: 1. Las bases mayor y menor de un trapecio miden 20 y 12 cm. respectivamente. Por un punto de uno de los lados no paralelos se traza un segmento paralelo a las bases. El segmento divide a los lados en la razón 23 . Calcular la longitud del segmento. 2. Sea ABC un triangulo isósceles con BA = B C y D un punto de AC tal que AC = 3 (AD) . Se traza por D la perpendicular a AC que corta a al lado AB en E y a la prolongación de CB en F. Demostrar que DE = E F. 3. En un triángulo rectángulo ABC se inscribe el cuadrado DEFH, de tal manera que DH está sobre la hipotenusa y los puntos ADHC están ordenados. Si AD = 25 y HC = 16, hallar el perímetro del cuadrado. 4. En tun triángulo ABC se traza una ceviana AD, de modo que CAD = ABC, y CD = 4, DB = 12. Hallar AC.
5. Dado el triángulo ABC con incentro I , el segmento DIE es paralelo a AC ( D en AB y E en BC ). Si BE = 5 y EC = 7 y AC = 21, hallar el perímetro del triángulo DBE. 6. Los lados de un triángulo miden BA = 15, AC = 20 y BC = 25. Desde el punto medio M de AC se traza una perpendicular M N a BC, luego se traza la perpendicular N P a BA, a qué disatancia está P de B ? 7. Se da el triángulo ABC. Se prolonga CB hasta D, desde D se traza la secante DEF (E en AB y F en AC ) y los ángulos BAC y F DC son iguales. Hallar DB si AF = 2 (DB ) .
Ejercicios. 1. Dado el triángulo ABC, D es un punto de AB y E es un punto de B C. Para cuáles de los conjuntos de longitudes dados se cumple que DE es paralela a AC ? (1) AB = 14, ED = 6, BC = 7, BE = 3 (2) AB = 12, DA = 3, BC = 8, BE = 6 (3) BD = 6, DA = 5, BE = 9, EC = 8 (4) BC = 21, EC = 9, AB = 14, BD = 5 2. En el triángulo ABC, el lado AC mide 4 cm en tanto que la altura B H mide 6 cm. Hallar la longitud del lado del cuadrado inscrito en el triángulo sabiendo que uno de sus lados está sobre AC. 3. En un triangulo AB C recto en B , sobre el cateto AB se toma un punto O y con radio OA se traza una circunferencia que corta a AC en N y a AB en M . Halle la longitud del radio de la circunferencia, si: ( AN ) (AC ) = 12 y AB = 6. 4. Tres circunferencias tangentes dos a dos están inscritas en un ángulo. Calcular el radio de la circunferencia intermedia, si los radios de las otras dos circunferencias son de 1 y 9 . 5. En un triángulo ABC, el ángulo en el vértice B mide 120 °. Hallar la longitud de la bisectriz interior BD, sabiendo que AB = 18 cm y BC = 36 cm.
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6. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BP y la bisectriz exterior BQ del ángulo B, calcular P Q, si: AB = 7, BC = 5 y AC = 6. 7. En un cuadrilátero ABCD las prolongaciones de BC y AD se intersecan en E. Calcular la longitud del segmento DE si AB = 3, CD = 2 y AD = 4. Además ABC = BCD.
8. Las bases de un trapecio miden 6 m y 4.4 m, en tanto que su altura es 4 m. Determine la longitud de la altura del menor triángulo obtenido al prolongarse los lados no paralelos hasta su punto de coincidencia. 9. En un triángulo ABC, se traza la ceviana AD con la condición que BAD = ACB. Si BD = 4 m y DC = 6 m. Hallar la longitud de AB. 10. En un triángulo ABC, se traza la ceviana interior AR y luego RE AC y EF AR (E sobre AB y F en BR ). Si BF = 5 y F R = 3. Hallar RC.
11. En un trapezoide ABCD, las bisectrices de los ángulos B y D se cortan en un punto E de la diagonal AC . Si AB = 15, BC = 10 y CD = 12. Hallar la longitud de AD. 12. En un triángulo ABC, la ceviana AR corta a la bisectriz interior BD en el punto M. Si BR = 2, RC = 12 y BM = M D. Hallar longitud de AB. 13. En un paralelogramo ABCD. Por A se traza una recta que corta a la diagonal BD en M, al lado BC en F, y a la prolongación del lado DC en G. Si M F = 1 m y F G = 8 m. Hallar longitud de AM. 14. En un triángulo ABC, por el incentro I se traza P Q paralelo a AC (P en AB y Q en BC ). Si AP = 3 y QC = 5, calcular P Q. 15. En un triángulo ABC, AB = 11, BC = 16. Si por el incentro I se pasa una paralela DE a AC (D en AB y E en BC ), calcular el perímetro del triángulo BDE formado. 16. El punto D del cateto AB del triángulo BAC dista 4 de la mediana relativa a la hipotenusa y dista 9 de la hipotenusa. Hallar la altura relativa a la hipotenusa. 17. La pirámide de Keops tiene una base cuadrada de 230 metros de lado. Dice la leyenda que Tales midió su altura observando que la sombra proyectada por la pirámide era de 85 metros desde la base y colocando su bastón de 1.46 metros en el punto donde acababa la sombra, midió la que proyectaba el bastón, que era de 2 metros. ¿Qué altura tiene la pirámide? 18. Una antena proyecta una sombra de 50,4 m y un poste de altura 2,54 m proyecta una sombra de 4,21 m ¿Cuánto mide la antena? 19. En el triángulo ABC el lado AB = 12, BC = 11 y AC = 9. La paralela a AB tiene en el triángulo un segmento M N = 10. Calcula los segmentos AM, MC, NC y N B. 20. Las bases de un trapecio tienen 24 y 16 m y los lados 6 y 10 m. Calcula los otros dos lados del triángulo formado al prolongar los lados del trapecio. 21. La longitud de los lados AB, BC y CA de un triángulo son entre sí como 3 : 4 : 6 . Sabiendo que el perímetro del triángulo es de 26 m. y que en el triángulo A´B ´C ´ semejante el lado A´B ´ tiene una longitud de 21 m, determina las longitudes de los lados de ambos triángulos. 22. En un triángulo rectángulo ABC cuyos catetos BA = 8 cm y BC = 6 cm, se inscribe un cuadrado que tiene dos lados sobre los catetos y su vértice D sobre la hipotenusa. Hallar el lado del cuadrado. 23. Se da el triángulo ABC cuyos lados AB = 8, AC = 6, y BC = 7. Sobre AC y AB se toman los puntos D y E, de tal manera que DE es paralelo a BC y el perímetro del triángulo ADE es igual al perímetro del trapecio BDEC. Hallar AD.
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4 Regiones planas: áreas y perímetros. Ejercicios. 1. La circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo determina en la hipotenusa segmentos de 4 y 7. Hallar el área del triángulo. 2. Se da el triángulo ABC cuya base AC mide 10. Hallar la longitud de la paralela a la base que divida al triángulo ABC en dos partes equivalentes. 3. En un triángulo ABC se traza la mediana AE, luego la perpendicular BD a dicha mediana, si BC = 20 y BD = 8 hallar el área del triángulo DEC. 4. En el triángulo ABC, se tiene AB = 5, AC = 8. Se traza la perpendicular BE a la bisectriz interior AD. Hallar el área del triángulo ABC, si BE = 3. 5. En un triángulo rectángulo, el lado intermedio es el promedio de los otros dos. El número que expresa su área es el mismo que el que expresa su perímetro. Calcular los lados del triánguolo. 6. Las bases de un trapecio miden 4 y 16, las diagonales 10 y 14. Hallar el área del trapecio. 7. Las diagonales AC y B D del trapecio ABCD se cortan en O ; los triángulos AOB y C OD tienen áreas 25 y 16 respectivamente. Calcular el área del trapecio. 8. Dado el rectángulo ABCD, y M un punto de C D. A qué distancia está M de C si el área del triángulo M DA y el área del trapecio ABCM están en la relación de 1 a 3. 9. Dos circunferencias de igual radio r tienen sus centros uno en un punto de la otra. Hallar el área de la región común. 10. Los radios de dos circunferencias exteriores son 1 y 5. Halar el área de la región comprendida entre las circunferencias y las tangentes exteriores comunes, sabiendo que la distancia entre los centros es 8. 11. Se tienen dos triángulos isósceles cuyos lados iguales miden 25 y la base de uno de ellos es 40 y la del otro 30. Si r es la razon entre las alturas correspondientes a dichas bases y R es la razón entre sus áreas, hallar r + R. 12. Si el área de un cuadrado es 80º, calcular el área del cuadrado que se forma al unir los puntos medios de los lados del primero. 13. Si la diagonal de un rectángulo mide 15 y uno de sus lados 9, hallar el área de dicho rectángulo. 14. Si el lado de un rombo mide 10 y su diagonal menor 12, calcular el área del rombo.
√
15. Se tiene un rombo de lado 4 5. Si una diagonal mide el doble de la otra, hallar su área. 16. Calcular el área del trapecio isósceles ABCD, si ACD = 90º, la diagonal AC = 20 y el lado no paralelo mide 15 .
17. En un paralelogramo ABCD, F es un punto de la diagonal AC tal que AF = 2F C. Hallar el área del paralelogramo, si el área del triángulo BF C es 20. 18. En el paralelogramo ABCD, E es un punto de AD tal que 5(AE ) = 4(AD), hallar la razón entre el área del triángulo AF E y el área del paralelogramo ABCD, siendo F un punto en la prolongación de CB. 19. En un paralelogramao ABCD, se prolonga AD hasta E, de modo las áreas del triángulo DC E y del paralelogramo ABCD son iguales. Calcular DE si AE = 45.
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20. Desde un punto P del lado BC del paralelogramo ABCD, se trazan P A = 16 y P D = 12 observándose además que AP D = 90º, hallar el área del paralelogramo ABCD.
21. La base menor de un trapecio mide 4 y la altura mide 3. Si los ángulos agudos miden 45º y 37º, hallar el área del trapecio. 22. En el interior √ del rectángulo ABCD se encuentra el punto P de modo que AP es bisectriz y mide 3 2, P Q es paralelo a BC ( Q en CD). Hallar el área del rectángulo si P Q = 4 y CQ = 2. 23. El punto P se encuentra sobre la diagonal BD del rectángulo ABCD. El triángulo P CD es equilátero de lado 5. Hallar el área del rectángulo. 24. En un triángulo de 40 cm de base y 30 cm de altura, se trazan dos segmentos paralelos a la base que dividen a la altura, a partir del vértice, en tres partes que son entre sí como 3 : 7 : 5. Halla las áreas de las tres guras. 25. En un triángulo de base BC = 4 cm y altura AH = 6 cm, se traza un segmento DE paralelo a la base, que corta a la altura en un punto H ´ tal que AH ´ = 13 AH. Determina las áreas de las dos partes en que queda dividido el triángulo. 26. Haciendo centro en cada vértice de un triángulo equilátero de 6 de lado se trazan arcos que pasan por los otros dos vértices. Hallar el áreaa total de la gura formada. 27. Las bases de un trapecio miden 1 y 3. Hallar la longitud de la paralela a las bases que determina dos regiones equivalentes.
5 Geometría espacial. Teniendo en cuenta que una recta queda determinada por dos puntos, y un plano queda determinado por tres puntos no colineales, se concluye que un plano queda determinado por una recta y un punto fuera de ella, o por dos rectas paralelas, o por dos rectas que se cortan.
5.1 Posiciones relativas en el Espacio: De dos rectas.
Dos rectas en el espacio pueden ser secantes, paralelas, o alabeadas (que se cruzan). Son secantes cuando tienen un punto de intersección. Son paralelas cuando no tienen punto de intersección. Son alabeadas cuando no son paralelas y tampoco secantes. De una recta y un plano.
Una recta y un plano en el espacio pueden ser secantes, paralelos, ó la rectra está contenida en el plano Son secantes cuando se cortan en un punto y son paralelas cuando no tienen intersección. De dos planos.
Dos planos en el espacio pueden ser secantes o paralelos. Son secantes cuando se intersecan en una recta y son paralelos cuando no se cortan.
5.2 Condición de perpendicularidad. Una recta L es perpendicular a un plano H si y sólo si L es perpendicular a todas las rectas contenidas en el plano que pasan por L ∩ H.
23
5.3 Proyección ortogonal. Se llama proyección ortogonal de: 1. Un punto sobre un plano, al pie de la perpendicular trazada del punto al plano. 2. Un segmento sobre un plano, al segmento sobre el plano cuyos extremos son las proyecciones de los extremos del segmento dado. 3. Una recta sobre un plano, a la recta contenida en el plano determinado por las proyecciones de cada uno de los puntos de la recta. El ángulo que forma una recta con un plano (no paralelo) es el ángulo que forma la recta con su proyección sobre el plano. Teorema. En el espacio se tienen: 1. (Teorema de Thales en el espacio) Tres o más planos paralelos determinan en dos rectas secantes, segmentos proporcionales. 2. (Teorema de las tres perpendiculares) Si la recta L1 es perpendicular a la recta L2 en el punto P 1 , ( L1 y L2 contenidos en un plano H ) y si la recta L3 es perpendicular a L2 en el punto P 2 (L3 no está conetnido en el plano H ). Entonces cualquier recta que pasa por P 1 y corte a la recta L3 es perpendicular a la recta L1 .
Ejercicios. 1. Se tiene un cuadrado ABCD y se construye el triángulo rectángulo BF C perpendicular al plano del cuadrado. Hallar el área de la región AF D si BF = 26 y F C = 24. 2. En una circunferencia de radio 5 se inscribe el triángulo rectángulo ABC ; B = 90° de modo que AB = 6. Por C se traza C F, perpendicular al plano del círculo tal que C F = 6. Hallar el área ABF. 3. En un triángulo equilátero ABC inscrito en una circunferencia, por M punto medio del arco BC se levanta una perpendicular al plano del triángulo hasta un punto D. Hallar la distancia del punto D al baricentro del triángulo; si AD2 − AC 2 = 18. 4. Se tiene un cuadrado ABCD cuyo lado mide 2. Tomando como diámetro AB se describe una semicircunferencia perpendicular al plano del cuadrado, si P es un punto de la semicircunferencia más alejada del plano ABCD, hallar el área del triángulo CPD. 5. Dos rectas AX y BY se cruzan perpendicularmente en el espacio. Sobre la primera se toma el punto C y sobre la segunda el punto D de modo que AC 2 + BD 2 + AD2 + BC 2 = 72, además AB es perpendicular a ambas rectas, calcular CD. 6. Se tiene las rectas cruzadas L1 y L2 , siendo AB la mínima distancia entre ellas A en L1 y B en L 2 se toma C en L 1 y D en L 2 , tal que BDC = 90° grados y AC = 2 (BD ) . Hallar el ángulo que √ forman las rectas L 1 y L 2. Por el baricentro G de un triángulo equilátero AB C de lado 6 3, se levanta una perpendicular al triángulo hasta un punto P de modo que P G = 4, hallar la medida del diedro formado por los triángulos ABP y ABC. La altura AB de un trapecio rectángulo es el diámetro de una circunferencia que se encuentra en un plano perpendicular al plano del trapecio. Sobre dicha circunferencia se toma un punto P tal que la suma de los cuadrados de las distancias de P a los vértices del trapecio es 100. Hallar la suma de los cuadrados de las diagonales de dicho trapecio.
√
7. Se tiene un cuadrado ABEF de lado 2 2 y ABCD es un rectángulo donde BC = 3. El cuadrado y el rectángulo se encuentran en planos perpendiculares entre sí. Calcular el ángulo formado por DE y el plano ABEF. En un cubo ABCD − A B C D hallar el ángulo formado por AB y DB . ′
′
′
24
′
′
′
√
8. Se tiene un cuadrado ABCD √ de lado 2 2, por B se levanta BP perpendicular al plano ABCD tal que BP = 2 2, hallar el área de P OM si M es punto medio de CD y O es el centro del cuadrado. 9. Se tiene un cuadrado ABCD y el triángulo equilátero ABE situados en plano perpendiculares si AB = 2 hallar el área de MOD, siendo O el centro del cuadrado y M punto medio de AF. 10. Se tiene un cuadrado ABCD de lado 6. Se construye el triángulo rectángulo ABE cuyo plano es perpendicular al plano ABCD. AE = 1, hallar M D, siendo M el baricentro del triángulo ABE. 11. Se tiene un exágono regular ABCDEF de lado 2 y en un plano perpendicular al exágono se encuentra el triángulo equilátero CDM, hallar el área de AMF. 12. En un triángulo ABC, donde AB = BC + 5, AC = 6; se traza la altura BH. Tomando como lado BH se construye el cuadrado BHPQ perpendicular al plano del triángulo, hallar el área CHQ. 13. Dados dos cuadrados ABCD y CDEF de lados iguales a 4 , formando un ángulo de 120°, calcular la mínima distancia entre CD y BE . 14. Dado un √ cuadrado ABCD, por A se levanta AP perpendicular al plano ABCD. Si AB = 6, AP = 6, se une P con B y D, calcular el ángulo formado por los planos ABCD y P BD. 15. En una circunferencia de diámetro AB = 29 se toma un punto M de la circunferencia,√ tal que M B = 21, luego por A se traza AP perpendicular a la región circular AP = 20 3, hallar el ángulo formado por la región circular y el plano P M B . 16. Se tiene un triángulo ACD, se ubica un punto en el espacio B tal que AD = BC, AB = CD, si el segmento que une los puntos medios de AC y BD es 3. Hallar la mínima distancia entre AC y BD. 17. En un triángulo ACD se ubica un punto B en el espacio de modo que AB = a, BC = b, CD = c y AD = d. Si AC y BD son perpendiculares hallar la relación entre a, b, c y d. 18. Dados dos planos P y Q perpendiculares √ entre sí, se tiene una recta que corta al plano P en A y al plano Q en B si AB = 2 6, además AB forma con los planos P y Q los ángulos de 30° y 45° respectivamente, hallar la mínima distancia entre AB y la recta de intersección de los dos planos P y Q.
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