UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILE INSTITUTO DE CIENCIA Y TECNOLOGIA DE LOS ALIMENTOS / ASIGNATURA: Ingeniería de Procesos III (ITCL 234) PROFESOR: Elton F. Morales Blancas UNIDAD 3: TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCION (ESTADO TRANSIENTE) GUIA DE PROBLEMAS RESUELTOS CON Foodconduction v. 1.0
Problema 1: Naranjas de 4,5 pulg. de diámetro y a una temperatura inicial de 65 ºF, son súbitamente colocados dentro de una cámara de refrigeración, que se encuentra a 20 ºF por un tiempo de 5 hrs. (h= 2BTU/ hr-pie2-ºF) ¿Qué temperatura alcanza el centro y la superficie una naranja? Propiedades termofísicas de la naranja a la temperatura inicial: Humedad (% b.h.) = 88,5 K = 0,572W/m K Cp = 3905,5 J/kg K ρ = 1034,9 kg/m3 Datos: T0 = 65 ºF = 18,3 ºC = 291,5 K T∞ = 20 ºF = -6,7 ºC = 266,5 K D = 4,5 pulg = 114,3 mm = 0,1143 m R = 0,05715 m h = 2 BTU/hr-pie2-ºF = 11,4 W/m2 K t = 5 hr T(0,t) = ? T(R,t) = ? Solución: Cálculo de NBi: N Bi =
hL * K
para el caso de una esfera: L* = reemplazando,
R 0,05715 = = 0,01905 m 3 3
N Bi =
11,4 × 0,01905 = 0,378 0,574 0,1 < N Bi < 40
Se trata del caso de transferencia de calor con resistencia interna y externa apreciable, por lo tanto se puede utilizar Foodconduction para resolver el problema. Cálculo de la temperatura en el centro T(0, t =5 hr) y en la superficie T(R, t=5 hr): Paso 1. Se ingresa a Foodconduction y se selecciona el proceso, que en este caso es el de Enfriamiento, y presionamos el botón “Siguiente”.
Paso 2. Como se necesita calcular la temperatura en el centro y en la superficie del producto, y se tiene como dato el tiempo de proceso, se elige la opción Generar perfiles de temperatura, y se presiona el botón Siguiente.
Paso 3. En el fichero Producto – Condiciones Iniciales se ingresa la temperatura inicial del producto (18.33 ºC).
Paso 4. En el fichero Producto – Propiedades se ingresan las propiedades del producto, a la temperatura inicial del producto (18.33 ºC)
Paso 5. En el fichero Medio se ingresan las propiedades del medio, temperatura del medio (-6.6 ºC), y coeficiente convectivo de transferencia de calor (11.35 W/m2 K).
Paso 6. En el fichero Numéricos – Geometrías Regulares se pueden cambiar los valores por defecto del número de elementos de volumen, el incremento de tiempo para los cálculos, y el intervalo de tiempo para las salidas de los perfiles de temperatura. En este caso, se utilizarán intervalos de 125 s para la generación de los perfiles.
Paso 7. En el fichero Formas se selecciona la geometría (esfera) y se ingresa el diámetro que en este caso es de 114.6 mm.
Paso 8. Finalmente, en el fichero Criterio de finalización se selecciona el tiempo de proceso y se ingresa el valor entregado como dato (5 horas = 18000 s).
Paso 9. A continuación se presiona el botón Aplicar y luego Ejecutar. Se observa la generación de los perfiles de temperatura para todos los nodos del dominio del alimento.
Paso 10. La temperatura en el centro se obtiene observando el valor correspondiente al nodo 0 siendo éste de -2.7 ºC. Para la temperatura en la superficie debe observarse el nodo 10 siendo éste de -4.3 ºC.
Paso 11. También se pueden obtener la temperatura final en el centro y en la superficie del Informe de Resultados .
Problema 2: Una lata cilíndrica de puré de guisante tiene un diámetro de 2,68 pulg y altura de 4,0 pulg y está inicialmente a una temperatura uniforme de 85ºF. las latas (tarros) se apilan en sentido vertical dentro de una retorta a la cual se introduce vapor 240ºF. Calcúlese la temperatura en el centro de la lata después de un tiempo de proceso de 45 min a 240ºF. Supóngase que la lata está en el centro de una pila vertical, aislada en sus dos extremos por la presencia de las latas restantes (la capacidad calorífica de la pared metálica de las latas puede despreciarse). Se estima que el coeficiente de transferencia de calor del vapor es 4542 W/ m2 K. Las propiedades termo físicas del puré a la temperatura inicial son: K = 0,557W/m K Cp = 3651,0 J/kg K ρ = 1069,5 kg/m3 Humedad (b.h.) = 78,6 % Datos: T0 = 85 ºF = 29,4 ºC T∞ = 240 ºF = 115,6 ºC D = 2,68 pulg = 0,068 m; R = 0,034 m H = 4,0 pulg = 0,102 m h = 4542 W/m2 K t = 45 min T(0,t) = ? Solución: Puesto que los dos extremos de la lata están aislados, podemos considerarla como un cilindro largo. Cálculo de NBi: N Bi =
para el caso de un cilindro infinito:
L* =
hL * K
V πR 2 H R = = A 2πRH 2
L* =
0,034 = 0,017 m 2
reemplazando,
N Bi =
4542W / m 2 − K × 0,017m = 93,03 0,830W / m − K N Bi > 40
Se trata de Transferencia de Calor con resistencia externa despreciable, por lo tanto se puede utilizar Foodconduction para resolver el problema.
Cálculo de la temperatura en el centro T(r=0, t) Paso 1. Se ingresa a Foodconduction, se selecciona el proceso, que en este caso es de Calentamiento, y se presiona el botón “Siguiente”.
Paso 2. Como se conoce el tiempo de proceso y se quiere conocer la temperatura en el centro de la lata se elige la opción Generar perfiles de temperatura., y se presiona el botón Siguiente.
Paso 3. En el fichero Producto – Propiedades se ingresan las propiedades termofísicas del puré de arvejas.
Paso 4. En el fichero Producto – Condiciones Iniciales se ingresa la temperatura inicial del producto (29,4 ºC).
Paso 5. En el fichero Medio se ingresa la temperatura del medio (115,5 ºC) y el coeficiente convectivo de transferencia de calor (4542 W/m2 K).
Paso 6. En el fichero Formas se selecciona la geometría (cilindro) y se ingresa el diámetro del cilindro largo (68 mm).
Paso 7. En el fichero Numéricos – Geometrías Regulares se puede cambiar el número de elementos de volumen, el incremento de tiempo para los cálculos, y el intervalo de tiempo para las salidas de los perfiles de temperatura [Esta parte es opcional]. En este caso, se utilizarán intervalos de 50 s para la generación de los perfiles.
Paso 8. En el fichero Criterio de Finalización se selecciona el tiempo de proceso y se ingresa el valor entregado como dato (2700 s).
Paso 9. A continuación se presiona el botón Aplicar y luego Ejecutar. Seguidamente se observa la generación de los perfiles de temperatura para todos los nodos del dominio del producto.
Paso 10. La temperatura en el nodo cero del dominio del cilindro representa la temperatura en el centro de la lata. Así, después de un tiempo de calentamiento de 45 min la temperatura en el centro es T(r=0, t) = 95 ºC.
Problema 3: Repítase el problema 2, pero suponiendo que la conducción también se verifica en los dos extremos planos. D R
H
Datos: T0 = 85 ºF = 29,4 ºC T∞ = 240 ºF = 115,6 ºC D = 2,68 pulg = 0,068 m; R = 0,034 m H = 4,0 pulg = 0,102 m h = 4542 W/m2 K t = 45 min T(0,0, t) = ?? Propiedades termofísicas del puré a la temperatura inicial: K = 0,557W/m K Cp = 3651,0 J/kg K ρ = 1069,5 kg/m3 Humedad (b.h.) = 78,6 %
Solución: Al suponer que la conducción de calor también se verifica en los extremos del cilindro, se debe considerar como un cilindro corto, por lo tanto, la solución se basa en la intersección de las temperaturas adimensionales de una plancha infinita con un cilindro infinito.
⎡ Cilindro⎤ ⎡Cilindro⎤ ⎡ Plancha⎤ = ⎢ × ⎢ ⎢ Corto ⎥ R ⎥ ⎥ ⎣ ⎦ H = 2 L ⎣ Infinito ⎦ R ⎣ Infinita ⎦ H = 2 L
⎡ T( 0,0 ,t ) − T∞ ⎤ ⎡ T( r = 0,t ) − T∞ ⎤ ⎡ T( z = 0,t ) − T∞ ⎤ ⎢ ⎥ =⎢ ⎥ × ⎢ ⎥ T0 − T∞ T0 − T∞ ⎣ T0 − T∞ ⎦ R ⎣ ⎦R ⎣ ⎦ H =2L H
(3.1)
Cilindro Infinito:
⎡ T (r = 0 ,t ) − T∞ ⎤ Cálculo de Yc = ⎢ ⎥ T0 − T∞ ⎣ ⎦ El valor de la temperatura adimensional para el cilindro infinito se calculará en base a los resultados del ejercicio anterior. Así teniendo la temperatura del centro de un cilindro infinito, T(r=0, t) = 95 ºC, se obtiene
⎡ T (r = 0,t ) − T∞ ⎤ 95 − 115,5 Yc = ⎢ = 0, 238 ⎥= T T 29 , 4 115 , 5 − − ∞ 0 ⎣ ⎦
(3.2)
Plancha Infinita: Cálculo de NBi: N Bi =
para el caso de plancha infinita:
L* =
hL * K
V A× e = =e A A
L* = 0,102
reemplazando,
N Bi
4542W / m 2 K × 0,102m = 555,984 = 0,830W / m − K N Bi > 40
Se trata de Transferencia de Calor con resistencia externa despreciable, por lo tanto se puede utilizar Foodconduction.
⎡ T ( z = 0 ,t ) − T∞ ⎤ Cálculo de Y p = ⎢ ⎥ T0 − T∞ ⎣ ⎦ Para calcular la temperatura adimensional Yp se requiere primeramente calcular la temperatura central en la plancha infinita, T(z=0, t).
Cálculo de la temperatura en el centro de la plancha infinita T(z=0, t) Paso 1. Se ingresa a Foodconduction, se selecciona el proceso, que en este caso es de Calentamiento, y se presiona el botón “Siguiente”.
Paso 2. Como se conoce el tiempo de proceso y se quiere conocer la temperatura en el centro de la lata se elige la opción Generar perfiles de temperatura, y se presiona el botón Siguiente.
Paso 3. En el fichero Producto – Condiciones Iniciales se ingresa la temperatura inicial del producto (29,4 ºC).
Paso 4. En el fichero Producto – Propiedades se ingresan las propiedades termofísicas del puré de arvejas.
Paso 5. En el fichero Medio se ingresa la temperatura del medio (115,5 ºC) y el coeficiente convectivo de transferencia de calor (4542 W/m2 K).
Paso 6. En el fichero Numéricos – Geometrías Regulares se puede cambiar el número de elementos de volumen, el incremento de tiempo para los cálculos, y el intervalo de tiempo para las salidas de los perfiles de temperatura [Esta parte es opcional]. En este caso, se utilizarán intervalos de 50 s para la generación de los perfiles.
Paso 7. En el fichero Formas se selecciona la geometría (plancha) y se ingresa el espesor de la plancha infinita (102 mm).
Paso 8. En el fichero Criterio de Finalización se selecciona el tiempo de proceso y se ingresa el valor entregado como dato (2700 s).
Paso 9. A continuación se presiona el botón Aplicar y luego Ejecutar. Seguidamente se observa la generación de los perfiles de temperatura para todos los nodos del dominio del producto.
Paso 10. La temperatura en el centro (nodo cero del dominio) de la plancha infinita para un tiempo de calentamiento de 45 min es T(z=0, t) = 40,8 ºC. Así, la temperatura adimensional Yp es:
⎡ T ( z = 0,t ) − T∞ ⎤ ⎡ 40,8 − 115,5 ⎤ Yp = ⎢ ⎥=⎢ ⎥ = 0,87 T0 − T∞ ⎣ ⎦ ⎣ 29, 4 − 115,5 ⎦
(3.3)
Reemplazando (3.2) y (3.3) en la (3.1), se tiene:
Y plancha infinita x Ycilindro infinito = 0,87 x 0, 238 = 0, 2 T (0 , 0 ,t ) − T∞ T (0 , 0 ,t ) − 115,5 = = 0,2 T0 − T∞ 29 , 4 − 115,5
T(0, 0, t)= 98,28 ºC Respuesta: La temperatura en el centro de la lata después de un tiempo de calentamiento de 45 minutos, suponiendo conducción de calor por ambos extremos del tarro es de 98,28 ºC.
Problema 4: Se esta usando un autoclave que se mantiene a 121,1 ºC, para procesar salchichas de 101.6 mm de diámetro y 30 cm de longitud, que está originalmente a 21,1 ºC. El coeficiente de transferencia de calor en la superficie es 1100 W/m2 K. Calcule el tiempo necesario para que el centro térmico alcance 98,9 °C Propiedades a la temperatura inicial: K = 0,400 W/m K Cp = 3142,8 J/kg K ρ = 1023,9 kg/m3 Humedad (b.h) = 60,0 % Datos:
T0 = 21,1 ºC T∞ = 121,1 ºC D = 101,6 mm = 0,1016 m; R = 0,0508 m 0 ,3 H = 2L = 30 cm = 0,3 m; L = = 0 ,15 m 2 h = 1100 W/m2 K T(0,0,t) = 98,9 ºC t = ?? Solución: Relación de dimensiones:
H/D = 0,3/0,1016 = 2,95
Æ 1 < H/D < 6 se trata de un cilindro corto
Como se trata de un cilindro corto, la solución se basa en la intersección de una plancha infinita con un cilindro infinito. ⎡ Cilindro ⎤ ⎢ Corto, Y ⎥ R ⎣ ⎦
H =2L
⎡Cilindro ⎤ ⎡ Plancha ⎤ = ⎢ × ⎢ ⎥ ⎥ ⎣ Infinito, Yc ⎦ R ⎣ Infinita, Yp ⎦ H = 2 L
⎡ T (0,0, t ) − T∞ ⎤ ⎡ T (r = 0, t ) − T∞ ⎤ ⎡ T ( z = 0, t ) − T∞ ⎤ ⎢ ⎥ =⎢ ⎥ × ⎢ ⎥ T0 − T∞ T0 − T∞ ⎣ T0 − T∞ ⎦ RH ⎣ ⎦R ⎣ ⎦ H =2L
(4.1)
⎡ T (0,0,t ) − T∞ ⎤ 98,9 − 121,1 = 0, 222 ⎢ ⎥ = ⎣ T0 − T∞ ⎦ R 21,1 − 121,1
(4.2)
H
reemplazando (4.2) en (4.1), se tiene ⎡ T (r = 0 ,t ) − T∞ ⎤ ⎡ T ( z = 0 ,t ) − T∞ ⎤ 0, 222 = ⎢ ⎥ × ⎢ ⎥ T0 − T∞ T0 − T∞ ⎣ ⎦R ⎣ ⎦ H =2L
(4.3)
El tiempo requerido para obtener Y = 0,222, se realizará mediante suposiciones del tiempo t como se detalla a continuación:
Plancha infinita
Cilindro infinito
Yp
Yc
Tiempo (min)
T(z=0, t)
Yp
T(r=0, t)
(ºC)
Cilindro Corto Yc
Yp x Yc
Y
(ºC)
60
21,1
1
62,2
0,589
1 x 0,589 = 0,589
≠ 0,222
90
21,1
1
87,4
0,337
1 x 0,337 = 0,337
≠ 0,222
110
21,2
0,999
94,9
0,29
0,999 x 0,29 = 0,289
≠ 0,222
115
21,2
0,999
96,9
0,23
0,999 x 0,23 = 0,229
≠ 0,222
120
21,2
0,999
98,8
0,223
0,999 x 0,223 = 0,222
≈ 0,222
Respuesta: El tiempo para que la temperatura en el centro de la salchicha alcance 98,9 °C es de 120 minutos).
Ejemplo de Cálculo para un tiempo de 60 min Plancha Infinita: Cálculo de NBi: N Bi =
para el caso de plancha infinita:
L* =
hL * K
V A× e = =e A A
L* = H = e = 0,3 m
reemplazando, N Bi =
1100 W / m2 K × 0 ,3 m = 825 0, 400 W / m K N Bi > 40
Se trata de Transferencia de Calor con resistencia externa despreciable, por lo tanto se puede utilizar Foodconduction.
⎡ T ( z = 0 ,t ) − T∞ ⎤ Cálculo de Y p = ⎢ ⎥ T0 − T∞ ⎣ ⎦ Para calcular la temperatura adimensional Yp se requiere primeramente calcular la temperatura central en la plancha infinita, T(z=0, t).
Cálculo de la temperatura en el centro para la plancha infinita T(z=0, t) Paso 1. Se ingresa a Foodconduction, se selecciona el proceso, que en este caso es de Calentamiento, y se presiona el botón Siguiente.
Paso 2. Se elige la opción Generar perfiles de temperatura, y se presiona el botón Siguiente.
Paso 3. En el fichero Producto – Propiedades se ingresan las propiedades termofísicas del producto.
Paso 4. En el fichero Producto – Condiciones Iniciales se selecciona la opción “Uniforme” para la Temperatura inicial en los nodos, y se ingresa la temperatura inicial del producto (21,1 ºC).
Paso 5. En el fichero Medio se ingresa la temperatura del medio (121,1 ºC) y el coeficiente convectivo de transferencia de calor (1100 W/m2 K).
Paso 6. En el fichero Numéricos – Geometrías Regulares se puede cambiar el número de elementos de volumen, el incremento de tiempo para los cálculos, y el intervalo de tiempo para las salidas de los perfiles de temperatura [Esta parte es opcional]. En este caso, se utilizarán intervalos de 200 s para la generación de los perfiles.
Paso 7. En el fichero Formas se selecciona la geometría (plancha) y se ingresa el espesor de la plancha infinita (30 cm = 300 mm).
Paso 8. En el fichero Criterio de Finalización se selecciona el tiempo de proceso y se ingresa el valor asumido (60 minutos=3600 segundos). .
Paso 9. A continuación se presiona el botón Aplicar y luego Ejecutar. Seguidamente se observa la generación de los perfiles de temperatura para todos los nodos del dominio del producto.
Paso 10. La temperatura en el centro (nodo cero del dominio) de la plancha infinita para un tiempo de calentamiento asumido de 60 min es T(z=0, t) = 21,1 ºC. Así, la temperatura adimensional Yp es:
⎡ T ( z = 0 ,t ) − T∞ ⎤ ⎡ 21,1 − 121,1 ⎤ Yp = ⎢ ⎥=⎢ ⎥ =1 T0 − T∞ ⎣ ⎦ ⎣ 21,1 − 121,1 ⎦ Cilindro Infinito: Cálculo de NBi: N Bi =
L* =
para el caso de un cilindro infinito: L* =
hL * K
V πR 2 H R = = A 2πRH 2
0 , 0508 = 0 , 0254 m 2
reemplazando, N Bi =
1100 W / m2 K × 0 , 0254 m = 69 ,85 0, 400W / m K
(4.4)
N Bi > 40 Se trata de Transferencia de Calor con resistencia externa despreciable, por lo tanto se puede utilizar Foodconduction.
⎡ T (r = 0 ,t ) − T∞ ⎤ Cálculo de Yc = ⎢ ⎥ T0 − T∞ ⎣ ⎦ Para calcular la temperatura adimensional YC se requiere primeramente calcular la temperatura central en el cilindro infinito, T(r=0, t). Cálculo de la temperatura en el centro para el cilindro infinito T(r=0, t)
Para este caso realizamos el mismo procedimiento descrito para el caso de plancha infinita, cambiando sólo la información ingresada en la ventana del fichero Formas dejando el resto igual.
Paso 11. Volviendo al fichero Formas se selecciona la geometría (cilindro largo) y se ingresa el diámetro del mismo (101,6 mm).
Paso 12. A continuación se presiona el botón Aplicar y luego Ejecutar. Seguidamente se observa la generación de los perfiles de temperatura para todos los nodos del dominio del producto.
Paso 13. La temperatura en el centro (nodo cero del dominio) del cilindro infinito para un tiempo de calentamiento asumido de 60 min es T(r=0, t) = 62,2 ºC. Así, la temperatura adimensional YC es:
⎡ T (r = 0,t ) − T∞ ⎤ ⎡ 62, 2 − 121,1 ⎤ YC = ⎢ ⎥=⎢ ⎥ = 0,589 T0 − T∞ ⎣ ⎦ ⎣ 21,1 − 121,1 ⎦ Reemplazando (4.4) y (4.5) en la (4.3), se tiene:
Y plancha infinita x Ycilindro infinito = 1 x 0,589 = 0,589 ≠ 0, 222
por lo tanto, debemos asumir otro tiempo aumentando su magnitud desde que Ycalculado < Ybuscado
(4.5)
Problema 5: Se están enfriando cortes de zanahorias de las siguientes dimensiones: 8×6×4 cm. El producto tiene una temperatura inicial de 25ºC. La temperatura del aire enfriante es –10ºC. Se registró experimentalmente que el tiempo necesario de enfriamiento de un punto de la superficie de menor distancia al centro térmico, desde la temperatura inicial hasta 2ºC es de 20 min. Calcular el coeficiente convectivo de transferencia de calor. Propiedades de la zanahoria a 25ºC: k = 0,594 W/m K Cp = 3724,76 J/kg ºC ρ = 1100 Kg/m3 Humedad (b.h.) = 89,0 % Datos:
T0 = 25 °C T∞ = −10 °C
T( a / 2 , 0 , 0 ,t = 20 min) = 2 °C
h = ?? Solución: Dimensiones del paralelepípedo:
a = 0,04 m Æ L1 = a/2 = 0,02 m b = 0,06 m Æ L2 = b/2 = 0,03 m
c = 0,08 m Æ L3 = c/2 = 0,04 m Relación de dimensiones:
c/a = 8/4 < 6 c/b =8/6 < 6 b/a = 6/4 < 6 Se trata de un paralelepípedo. Intersección de 3 planchas infinitas. ⎡ plancha a ⎤ ⎡ plancha b ⎤ ⎡ plancha c ⎤ ⎡ Paralelepipedo ⎤ ×⎢ ×⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ e1 = a = 2 L1 = ⎢ Yb Yc Y ⎣ ⎦ e2 = b = 2 L2 ⎣ Ya ⎦ e1 = 2 L1 ⎣ ⎦ e2 = 2 L2 ⎣ ⎦ e3 = 2 L3 e3 = c = 2 L3
⎡ T (a / 2 ,0 ,0 ,t ) − T∞ ⎤ ⎡ T ( x = a / 2 ,t ) − T∞ ⎤ ⎡ T ( y = 0 ,t ) − T∞ ⎤ ⎡ T ( z = 0 ,t ) − T∞ ⎤ × ⎢ × ⎢ ⎢ ⎥ e1 = 2 L1 = ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ T0 − T∞ T0 − T∞ T0 − T∞ T0 − T∞ ⎣ ⎦ e2 = 2 L2 ⎣ ⎦ e1 = 2 L1 ⎣ ⎦ e2 = 2 L2 ⎣ ⎦ e3 = 2 L3 e3 = 2 L3
….(5.1)
Y=
T( a / 2 ,0 , 0 ,t ) − T∞ 2 + 10 = = 0 ,342 T0 − T∞ 25 + 10
(5.2)
Reemplazando (5.2) en (5.1): ⎡ T ( x = a / 2 ,t ) − T∞ ⎤ ⎡ T ( y = 0 ,t ) − T∞ ⎤ ⎡ T ( z = 0 ,t ) − T∞ ⎤ × ⎢ × ⎢ 0 ,342 = ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ T0 − T∞ T0 − T∞ T0 − T∞ ⎣ ⎦ e1 = 2 L1 ⎣ ⎦ e2 = 2 L2 ⎣ ⎦ e3 = 2 L3
(5.3)
El valor del coeficiente convectivo (h), requerido para obtener un valor de Y = 0,342, se realizará mediante suposiciones del coeficiente h como se detalla a continuación:
Plancha Infinita e1=a h (W/m2 K) T(x=a/2, t) Ya (ºC)
Plancha Infinita e2 = b T(y=0, t) (ºC)
Plancha Infinita e3 = c
Paralelepípedo
Yb
T(z=0, t) (ºC)
Yc
Ya x Yb x Yc
Y
60
1,7
0,33
21,5
0,90
24,0
0,97
0,33 x 0,90 x 0,97 = 0,28
≠ 0,342
55
2.5
0,36
21.7
0,91
24.1
0,97
0,36 x 0,91 x 0,97 = 0,32
≠ 0,342
53
2.9
0,37
21.8
0,91
24.1
0,97
0,37 x 0,91 x 0,97 = 0,33
≠ 0,342
50
3.4
0,38
21.9
0,91
24.2
0,98
0,38 x 0,91 x 0,98 = 0,34
≈ 0,342
Respuesta: El coeficiente convectivo de transferencia de calor h es 50 W/m2 K
Ejemplo de Cálculo para un valor del coeficiente h de 60 W/m2 K
Plancha infinita e1=a Cálculo del NBi N Bi =
h L* h a = K K
Desde que la incógnita es el coeficiente h no se puede calcular el NBi. Por lo tanto, se asumirá que se trata del caso de transferencia de calor con resistencia interna y externa apreciable. 0,1 < N Bi < 40 en esta situación se puede utilizar Foodconduction. ⎡ T ( x = a / 2,t ) − T∞ ⎤ Cálculo de Ya = ⎢ ⎥ T0 − T∞ ⎣ ⎦ e1 = 2 L1 Para calcular la temperatura adimensional Ya se requiere primeramente calcular la temperatura en la superficie de la plancha infinita de lado a = 40 mm, T(x=a/2, t). Cálculo de la temperatura en la superficie para la plancha infinita de espesor a, T(x=a/2, t) Paso 1. Se ingresa a Foodconduction, se selecciona el proceso, que en este caso es de Enfriamiento, y se presiona el botón Siguiente.
Paso 2. Como se necesita calcular la temperatura en el centro y la superficie del producto se elige la opción Generar perfiles de temperatura, y se presiona el botón Siguiente.
Paso 3. En el fichero Producto – Condiciones Iniciales se selecciona la opción “Uniforme” para la Temperatura inicial en los nodos y se ingresa la temperatura inicial del producto, en este caso 25 ºC.
Paso 4. En el fichero Producto – Propiedades se ingresan las propiedades termofísicas del producto.
Paso 5. En el fichero Formas - Regulares se selecciona la geometría 1D plancha, y se ingresa el espesor a del mismo, en este caso 40 mm.
Paso 6. En el fichero Numéricos – Geometrías Regulares se puede cambiar el número de elementos de volumen, el incremento de tiempo para los cálculos, y el intervalo de tiempo para las salidas de los perfiles de temperatura [Esta parte es opcional]. En este caso, se utilizarán intervalos de 1 s para la generación de los perfiles.
Paso 7. En el fichero Medio se ingresa la temperatura del medio (-10 ºC) y el valor asumido del coeficiente convectivo de transferencia de calor (60 W/m2 K).
Paso 8. En el fichero Criterio de Finalización se selecciona el tiempo de proceso y se ingresa el valor entregado1200 s.
Paso 9. A continuación se presiona el botón Aplicar y luego Ejecutar. Seguidamente se observa la generación de los perfiles de temperatura para todos los nodos del dominio del producto.
Paso 10. Luego de terminado de ejecutar el programa, se puede observar los parámetros de simulación así como un resumen de los resultados en el fichero Informe.
Paso 11. La temperatura en la superficie (nodo 10 del dominio) de la plancha infinita de lado a, para el coeficiente convectivo asumido de 60 W/m2 K, es T(x=a/2, t)= 1,7 ºC. Así, la temperatura adimensional Ya es:
⎡ T ( x = a / 2,t ) − T∞ ⎤ ⎡1,7 + 10 ⎤ Ya = ⎢ ⎥=⎢ ⎥⎦ = 0,33 T T 25 10 − + ⎣ 0 ∞ ⎣ ⎦
(5.4)
Plancha infinita e2 = b Cálculo del NBi N Bi =
h L* h b = K K
Desde que la incógnita es el coeficiente h no se puede calcular el NBi. Por lo tanto, se asumirá que se trata del caso de transferencia de calor con resistencia interna y externa apreciable. 0,1 < N Bi < 40 en esta situación se puede utilizar Foodconduction
⎡ T ( y = 0 ,t ) − T∞ ⎤ Cálculo de Yb = ⎢ ⎥ T0 − T∞ ⎣ ⎦ e2 = 2 L2 Para calcular la temperatura adimensional Yb se requiere primeramente calcular la temperatura en el centro de la plancha infinita de lado b = 60 mm, T(y=0, t).
Cálculo de la temperatura en el centro para la plancha infinita de espesor b, T(y=0, t)
Para este caso realizamos el mismo procedimiento descrito para el caso de la plancha infinita de espesor a, cambiando sólo la información ingresada en la ventana del fichero Formas. Los parámetros ingresados en las otras ventanas se mantienen igual.
Paso 12. En el fichero Formas - Regulares se selecciona la geometría 1D plancha, y se ingresa el espesor b del mismo, en este caso 60 mm.
Paso 13. A continuación se presiona el botón Aplicar y luego Ejecutar. Seguidamente se observa la generación de los perfiles de temperatura para todos los nodos del dominio del producto.
Paso 14. La temperatura en el centro (nodo 0 del dominio) de la plancha infinita de lado b, para el coeficiente convectivo asumido de 60 W/m2 K, es T(y=0, t)= 21,5 ºC. Así, la temperatura adimensional Yb es:
⎡ T ( y = 0,t ) − T∞ ⎤ ⎡ 21,5 + 10 ⎤ Yb = ⎢ ⎥=⎢ ⎥ = 0 ,9 T0 − T∞ ⎣ ⎦ ⎣ 25 + 10 ⎦
(5.5)
Plancha infinita e3 = c Cálculo del NBi N Bi =
h L* h c = K K
Desde que la incógnita es el coeficiente h no se puede calcular el NBi. Por lo tanto, se asumirá que se trata del caso de transferencia de calor con resistencia interna y externa apreciable. 0,1 < N Bi < 40 en esta situación se puede utilizar Foodconduction
⎡ T ( z = 0,t ) − T∞ ⎤ Cálculo de Yc = ⎢ ⎥ T0 − T∞ ⎣ ⎦ e3 = 2 L3 Para calcular la temperatura adimensional Yc se requiere primeramente calcular la temperatura en el centro de la plancha infinita de lado c = 80 mm, T(z=0, t). Cálculo de la temperatura en el centro para la plancha infinita de espesor c, T(z=0, t)
Para este caso realizamos el mismo procedimiento descrito para el caso de la plancha infinita de espesor a, cambiando sólo la información ingresada en la ventana del fichero Formas. Los parámetros ingresados en las otras ventanas se mantienen igual.
Paso 15. En el fichero Formas - Regulares se selecciona la geometría 1D plancha, y se ingresa el espesor c del mismo, en este caso 80 mm.
Paso 16. A continuación se presiona el botón Aplicar y luego Ejecutar. Seguidamente se observa la generación de los perfiles de temperatura para todos los nodos del dominio del producto.
Paso 17. La temperatura en el centro (nodo 0 del dominio) de la plancha infinita de lado c, para el coeficiente convectivo asumido de 60 W/m2 K, es T(z=0, t)= 24,0 ºC. Así, la temperatura adimensional Yc es:
⎡ T ( z = 0,t ) − T∞ ⎤ ⎡ 24 ,0 + 10 ⎤ Yc = ⎢ ⎥=⎢ ⎥ = 0,97 T T 25 10 − + ⎣ ⎦ 0 ∞ ⎣ ⎦
(5.6)
Reemplazando (5.6), (5.5) y (5.4) en (5.3), se tiene:
Y = Ya × Yb × Yc = 0,33 × 0,9 × 0,97 = 0.28 ≠ 0,342 por lo tanto, debemos asumir otro valor del coeficiente convectivo (h) reduciendo su magnitud desde que Ycalculado < Ybuscado.
