Guias de Aprendizaje de Calculo

Consejo del Sistema Nacional de Educación Tecnológica

DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN TECNOLÓGICA INDUSTRIAL DIRECCIÓN TÉCNICA SUBDIRECCIÓN ACADÉMICA

GUÍA DE APRENDIZAJE DE LA ASIGNATURA DEL COMPONENTE DE FORMACIÓN BÁSICA “cálculo” del cuarto semestre del Bachillerato Tecnológico

Los Mochis, Sin. Noviembre del 2006

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ÍNDICE CONOCE TU GUÍA....................................................................................................5 ¿QUÉ COMPETENCIAS LOGRARÁS? 11 11 LA PRÁCTICA HACE AL MAESTRO 18 Capitulo I.- funciones 18 Objetivo particular: Aplicarás las funciones matemáticas en la solución de problemas, así como su representación gráfica 18 Notación de funciones y uso de paréntesis............................................................... paréntesis........ .........................................................24 ..24 R). ..............................................................................................................................30 (a) Si representa una función, por que a cada elemento del conjunto del......3 del... ...300 dominio, le corresponde solo un elemento del conjunto imagen. 30 SÍNTESIS 32 PRÁCTICA INTEGRAL 36 LA PRÁCTICA HACE AL MAESTRO 43 Capitulo 2.-: tipo de funciones 43 Objetivo particular: Clasificarás las funciones 43 2.1 Resultado de aprendizaje: funciones algebraicas 51 SÍNTESIS

Herramientas Herramien tas de Base de Datos

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ÍNDICE CONOCE TU GUÍA....................................................................................................5 ¿QUÉ COMPETENCIAS LOGRARÁS? 11 11 LA PRÁCTICA HACE AL MAESTRO 18 Capitulo I.- funciones 18 Objetivo particular: Aplicarás las funciones matemáticas en la solución de problemas, así como su representación gráfica 18 Notación de funciones y uso de paréntesis............................................................... paréntesis........ .........................................................24 ..24 R). ..............................................................................................................................30 (a) Si representa una función, por que a cada elemento del conjunto del......3 del... ...300 dominio, le corresponde solo un elemento del conjunto imagen. 30 SÍNTESIS 32 PRÁCTICA INTEGRAL 36 LA PRÁCTICA HACE AL MAESTRO 43 Capitulo 2.-: tipo de funciones 43 Objetivo particular: Clasificarás las funciones 43 2.1 Resultado de aprendizaje: funciones algebraicas 51 SÍNTESIS


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66 PRÁCTICA INTEGRAL 66 LA PRÁCTICA HACE AL MAESTRO 70 Capitulo III: Limites 70 Objetivo particular: Aplicará los los conceptos de limites limites en la solución de problemas 70 Notaciones para diferenciación 96 convexa....................................................................................................................101 SÍNTESIS 111 GLOSARIO..............................................................................................................127 REFERENCIAS ......................................................................................................128 ANEXO ...................................................................................................................129 CRÉDITOS..............................................................................................................130 DIRECTORIO..........................................................................................................131 Página


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MENSAJE Estimado(a) joven estudiante: Esta Guía de Aprendizaje ha sido diseñada pensando especialmente en ti, ya que el fin último del Sistema Educativo Nacional es brindar una formación académica de calidad que te dé el soporte necesario para el logro de tu proyecto de vida y mediante él contribuyas a la construcción de un mejor País; para ello nos esforzamos por presentarte de manera accesible los saberes pertinentes que te apoyarán en tu desenvolvimiento, en tu comunidad, tu Entidad Federativa o en cualquier otro sitio del País o del Mundo. Esta Guía de Aprendizaje es un apoyo que te permitirá enterarte anticipadamente de los contenidos, actividades y prácticas que se sugieren para el desarrollo del curso, de igual forma te brindará la oportunidad de volver a revisar algún contenido que durante la clase no te haya quedado completamente claro, y principalmente te servirá de acompañamiento durante el desarrollo del curso. La asignatura: de “Cálculo” que forma parte del Plan de Estudios del Bachillerato Tecnológico , y que se cursa en el cuarto semestre. Tiene la finalidad de que seas competente en La solución de problemas que vinculen aspectos de de tu entorno donde se requiera el uso como herramientas de solución, los limites y derivadas de funciones algebraicas y trascendentes , la cuál tiene una importancia significativa en el proceso de formación profesional de la carrera que estás cursando, ya que esta te permitirá tener los conocimientos necesarios para desarrollar aplicaciones en la especialidad que cursas

Por lo anterior la DGETI ha decidido elaborar las Guías de Aprendizaje que serán un apoyo importante en tu proceso de aprendizaje a lo largo del desarrollo de este curso, en ella encontrarás el contenido del curso presentado de una forma accesible, con ejemplos, ejercicios y los resultados de los mismos para que tú mismo(a) puedas verificar el avance en el logro de las competencias laborales que paso a paso vas alcanzando. En tus manos está la posibilidad de superar tu desempeño académico

¡Te deseamos mucho éxito!

Herramientas de Base de Datos

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CONOCE TU GUÍA Esta guía tiene la intención de contribuir para que tú seas competente en: La solución de problemas con el uso del cálculo, está dividida en tres apartados. A continuación se describe lo que contiene cada uno.

 ¿Qué competencias lograrás? Precisa la competencia que alcanzarás al finalizar la asignatura y al concluir cada uno de los capítulos. Además, expone para qué te va a servir lograr esas competencias y en dónde las puedes aplicar. Establece el tiempo en el que se desarrollará la asignatura.

 ¿Qué sabes? Presenta un cuestionario que te permite revisar los antecedentes que tienes para aprender esta competencia o los dominios que tienes sobre la misma.

 La práctica hace al maestro Se divide en tres capítulos: I. II. III.

Introducción a las funciones cuyo objetivo es: Conocer y aplicar los conceptos básicos de funciones matemáticas Tipo de funciones cuyo objetivo es: Clasificar las funciones Limites cuyo objetivo es: Aplicar los conceptos de limites en la solución de problemas

Cada capítulo presenta que evidencias tendrás que elaborar. Organiza en forma gradual su contenido para facilitar tú aprendizaje y se divide en partes más pequeñas de acuerdo con los resultados de aprendizaje que lograrás poco a poco, mismos que te permitirán alcanzar la competencia deseada. En cada uno busca despertar tu interés y tu participación para que efectivamente aprendas, además para que de manera rápida sepas qué vas a hacer, considera la siguiente simbología:

SIMBOLOGIA UTILIZADA Herramientas de Base de Datos

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Analizarás las cuestiones que se te plantean, resolverás preguntas o problemas, expondrás tus comentarios. Realizarás la lectura fundamentales, interesantes.

de

textos

Desarrollarás una serie de actividades como ejercicios, dibujos, resúmenes, investigaciones, consultas, visitas y prácticas para que apliques lo que estás aprendiendo en forma individual o en equipos Elaborarás conclusiones o revisarás conceptos o ideas fundamentales que debes recordar.

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Síntesis

Se presenta al terminar cada capítulo y está conformado por una serie de actividades síntesis para que apliques e integres lo que trabajaste en todo el capítulo. Aquí te ejercitarás al construir tus evidencias que te permitirán demostrar qué has aprendido, pero también te ayudará a identificar en qué conceptos o procesos aún tienes dudas. Por ello es conveniente que tus resultados los confrontes con tus compañeros y con tu maestro, lo cual te permitirá aclarar tus dudas y reforzar lo aprendido.


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 Práctica integral

Al terminar cada capítulo analizarás las cuestiones que se te plantean, resolverás preguntas o problemas, expondrás tus comentarios que contribuirá a que demuestres con evidencias tú aprendizaje..

 Respuestas Concentra las respuestas a los ejercicios y problemas que se realizaron para que puedas confrontar tus resultados y valores cómo vas aprendiendo.

 Anexo Es un material que contribuye a ampliar o precisar la información que se desarrolla en la Asignatura. (En caso de que no exista se debe borrar este apartado)

 Glosario Tiene la intención de proporcionarte de manera fácil y rápida el significado de las palabras que se manejan en la guía.

 Referencias Enlista los libros, revistas, folletos y/o direcciones de Internet que sirvieron de base en la construcción de esta guía. El siguiente esquema te presenta de manera sintética los contenidos que se desarrollarán en cada capítulo.


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Cálculo

Funciones

Tipos de funciones

*Limites de funciones algebraicas *Limites de funciones trascendentes

*Dominio,

Contradominio y notación

*Tabulación

*Funciones

algebraicas

*Gráficas *Operaciones con funciones


Limites

*Funciones trascendentes

Derivada . Inerpretación Geométrica de la derivad . Resolución de derivadas . función creciente .función decreciente . maximos y minimos .puntos de inflexión

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¿QUÉ COMPETENCIAS LOGRARÁS?

Al término de la Asignatura, serás competente para: Analizar y aplicar los criterios matemáticos del cálculo diferencial para mejorar el análisis de las técnicas cuantitativas aplicadas tanto a modelos físicos, químicos, económicos y sociales. Competencias que lograrás y qué evidencias elaborarás: Objetivos particulares: Aplicarás las funciones matemáticas en la solución de problemas, así como su representación gráfica.

Evidencias C: D: • Realiza un mapa conceptual

Clasificarás las funciones

C: •

•

Aplicará los conceptos de limites en la C: solución de problemas

Identificación de cada una de las funciones según su estructura Utilizar correctamente funciones en cada aplicación

las

•

Prueba objetiva

•

Resolución de problemas con el uso de limites

P:

Tiempo establecido para su desarrollo: 15 hrs./ semana y 75 hrs./ semestre


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Reflexiona sobre las siguientes preguntas y escribe posteriormente tu opinión

Pregunta

Respuesta

¿Para qué te puede servir lo que vas a aprender?

¿En dónde se puede aplicar?

. Para enriquecer tus respuestas revisa el siguiente texto.

Comenta con tus compañeros de equipo tus respuestas, traten de llegar a conclusiones generales. Presenten sus respuestas al grupo.


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Las Matemáticas en la vida moderna Es muy difícil comprender nuestro entorno si lo consideramos sin cambio sin movimiento, de hecho no existe fenómeno en la naturaleza o en la sociedad que no se afecte por el cambio. Nuestra vida diaria y el mundo que nos rodea son siempre cambiantes, por ejemplo : en las carreteras los autos recorren distancias también cambiantes , la temperatura ambiental vemos que cambia dependiendo de las horas y las estaciones del año, la población en general de nuestro país también es cambiante pues aumenta con el tiempo, cuando recolectamos agua en una cubeta aumenta el volumen que ocupa el agua también cuando cambia el tiempo , etc. En todos estos fenómenos hay siempre cosas que cambian . Esas cosas cambiantes, la distancia, el tiempo, la temperatura, la población, el volumen, pueden ser medidas y suele llamárseles magnitudes variables.

Todo lo anterior seria difícil concebirlo sin matemáticas debido a que esta nos permite establecer los modelos para resolverlo suministrando modelos a las distintas áreas del conocimiento. ¿Pero qué significa esto?. Modelar significa encontrar una representación matemática para un objeto, un proceso o un sistema no matemático, construyendo una teoría o estructura matemática que incorpora sus características esenciales. El modelo construido, de tipo matemático, permite obtener resultados acerca del proceso en cuestión. La lista que sigue es una pequeña relación entre la matemáticas aplicadas y el mundo real : Herramientas de Base de Datos

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Ecuaciones diferenciales: aerodinámica, vibraciones. Matemática discreta: comunicaciones, informática. Sistemas formales y lógica: seguridad computacional, verificación. Geometría computacional: ingeniería computacional, diseño, análisis de imágenes. Control no lineal: operaciones de sistemas mecánicos y eléctricos. Optimización: modelado y diseño de sistemas óptimos. Algoritmos paralelos: simulación a gran escala. Estadística: diseño de experimentos, análisis de grandes conjuntos de datos. Procesos estocásticos: análisis de señales. ¿Qué tipo de problemas quiere resolver? Allí estará la matemática Como hemos intentado mostrar en este reducido artículo, en problemas como. ¿Cómo se puede optimizar el tráfico • de enormes cantidades de datos en las comunicaciones de banda ancha confiablemente? ¿Cómo colocar inversiones en varios • instrumentos financieros minimizando el riesgo? ¿cómo una proteína, como una • enzima, toma una determinada forma molecular? ¿dónde están los sitios activos en la molécula? ¿Cómo simular adecuadamente • procesos físicos o tecnológicos? y en innumerables problemas más, allí estará la matemática como una herramienta ineludible. La matemática no es una mera especulación intelectual, sino que estudia problemas concretos cuyos resultados representan un significativo aporte al acervo cultural y tecnológico de la humanidad y revelan el papel cada vez más importante que juega esta ciencia en el mundo actual. La capacidad de la matemática para modelar

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Álgebra y Teoría de Números: criptografía, mensajes cifrados y seguridad informática.


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la realidad de manera simbólica la convierten en una herramienta indispensable para la comprensión de los objetos y procesos de estudio. Por más que se crea que “...en matemáticas nunca se sabe de qué se habla...”, la matemática es cada vez más fuerte y vivaz porque es una manera de hablar del mundo y es un ladrillo fundamental en la tecnología moderna.

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¿QUÉ SABES? Resuelve el siguiente cuestionario para que identifiques los conocimientos que te servirán de base para aprender el contenido de esta asignatura.

EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA CUESTIONARIO Instrucciones: Lee detenidamente cada una de las siguientes cuestiones y reflexiona si dominas el contenido que te preguntan o no, posteriormente con veracidad marca con una “X” la columna que corresponda.

Temas


Cuestionario

SI

NO %

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Dominio, 1. ¿ Sabes lo que es una variable? Contradominio 2. ¿Sabes como se representa una variable? y notación 3. ¿Sabes lo que es una constante? 4. ¿Sabes que literal se emplea para denotar una *Tabulación constante? 5. ¿ Sabes que significa una relación? *Gráficas 6. ¿Sabes lo que es un par ordenado? 7. ¿ Sabes que significa función? *Operaciones 8. ¿Conoces la relación existente entre una relación y con funciones una función? 9. ¿Sabes cuales son las características de un función? 10. ¿ Sabes que es un conjunto? 11. ¿Sabes que es el dominio en una función? 12. ¿Sabes que es el contra dominio en una función? 13. ¿ Sabes que es una tabulación? 14. ¿Sabes lo que significa un sistema de coordenadas cartesiano? 15. ¿sabes lo que es la pendiente en una recta? 16. ¿Sabes lo que significa la tangente? 17. ¿ Sabes el significado de una gráfica? 18. ¿Sabes graficar una función? 19. ¿Sabes lo que es una función lineal? 20. ¿sabes lo que es una función inyectiva? 21. sabes lo que es una función biyectiva? 22. ¿Sabes en razón de que se da el grado a una función? Funciones algebraicas *Funciones trascendentes

1. ¿ Sabes la diferencia entre función y ecuación? 2. ¿Sabes que es función algebraica ? 3. ¿ Sabes los tipos de funciones algebraicas que existen? 4. ¿Sabes que es una función trascendente?


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*Limites de funciones algebraicas *Limites de funciones trascendentes a) Derivada . Inerpretación Geométrica de la derivada . Resolución de derivadas . función creciente .función decreciente . maximos y minimos .puntos de inflexión

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1. ¿ Sabes lo qué es un limite? 2. 3. ¿ Sabes lo que es rango o recorrido? 4. ¿ Sabes lo que significa limite en una función?

5. ¿Sabes lo que es una derivada?

6. ¿Sabes lo que es una función creciente? 7. ¿Sabes lo que es un función decreciente? 8. ¿Sabes lo que es un máximo? 9. ¿Sabes lo que es un mínimo 10. ¿Sabes lo que es punto de inflexión?


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LA PRÁCTICA HACE AL MAESTRO Capitulo I.- funciones

Objetivo particular: Aplicarás las funciones matemáticas en la solución de problemas, así como su representación gráfica Evidencias Conocimiento: Cuestionario escrito apoyado en participaciones orales sobre Funciones , su importancia dentro de las actividades del hombre y sus aplicaciones en la solución de los mas variados problemas. Desempeño: Presentación en rota folio , acetatos u otros recursos didácticos con material realizado por el alumno, destacando la importancia de las funciones aplicadas en la solución de problemas del hombre con su entorno. Producto: Paráfrasis sobre funciones, su importancia en la actividad humana. Producto: Mapa conceptual referente a las funciones Producto: Solución de problemas con el uso de funciones método gráfico


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Resultado de aprendizaje realizarás: investigación, resumen, trabajos en equipo, participaciones en clase y solución de problemas.

Para identificar o conocer el contenido Elaborar e investigar los conceptos básicos de función, tabulaciones y graficas.

Para ejercitarse en su manejo

Para evaluar la actividad se puede Confrontaras lo investigado con Presentar tus compañeros de equipo y • Exposición de realizaran un solo resumen Trabajos al identificando las partes más grupo, importantes de los tema • Entregaras Trabajos por escrito al facilitador.

Resolverás problemas utilizando Confrontaras lo realizado con Expondrás los lo investigado tus compañeros de equipo para trabajos al grupo y a modificar los métodos de tu maestro , como un solución si es necesario proceso de evaluación continua.


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Realiza de manera individual la lectura del siguiente texto.

Las relaciones entre las variables La variable es uno de los elementos básicos de la matemática utilizado para estudiar los procesos de variación. Pero en los procesos de variación se involucran al menos dos variables que necesariamente se relacionan entre sí. Si esas relaciones son expresadas mediante fórmulas matemáticas, entonces el estudio de los procesos de variación se facilita enormemente; por medio de las fórmulas, las variables pueden ser manipuladas convenientemente pues con ellas se pueden realizar operaciones matemáticas comunes. Las fórmulas tienen la gran ventaja de indicar con precisión cómo se relacionan las variables. Para comprender mejor esto analicemos algunos procesos de cambio y enfoquemos nuestra atención en esas relaciones; Ejemplo 1. Consideremos el caso donde entra agua a una cubeta cilíndrica de 20 L a una razón constante de 0.5 L/seg. Ahora nos preguntamos: ¿Qué relación guarda el volumen de agua vertida respecto del tiempo que transcurre mientras se llena la cubeta? Para encontrar esta relación; la siguiente tabla nos puede ayudar a lograr nuestro propósito.

Los valores de V están expresados de manera que reflejan muy bien la relación esencial que se busca, ya que entran 0.5 L/seg. para t = 0 entonces V= (0)(0) = 0, si t = 1 entonces V= (1) (0.5) = 0.5, cuando t = 2 entonces V= (2)(0.5) = 1, etc. Nótese que V se obtiene multiplicando el valor de t por la constante 0.5, por tanto la relación que existe entre V y t puede expresarse mediante la fórmula: V=0.5t Esta fórmula indica que el volumen de agua (medido en litros) es 0.5 veces el tiempo (medido en segundos) que haya estado entrando este líquido al recipiente. Se ha encontrado la relación entre las variables V y t, y se ha expresado mediante una fórmula. Mediante ésta, la variable V queda completamente determinada para cualquier valor de t; es decir, el valor de V depende del valor de t. Esta no es pues cualquier tipo de relación sino una relación de dependencia que en términos matemáticos se escribe como: V(t)=O.5 t, donde 0< t ≤ 40 La expresión V(t) no significa que V se multiplica por t, sino que V depende de t y se lee V de t . El intervalo 0

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Ejemplo 2 . El volumen de una masa de gas es directamente proporcional a la temperatura cuando la presión permanece constante, esta propiedad es conocida como la ley de Charles. Además se sabe que a 0 °C el gas ocupa un volumen de 1 L y a — 273 °C su volumen se reduce a cero (aunque esta temperatura en la práctica es todavía inalcanzable). Encontremos una fórmula que exprese la relación entre las variables volumen y temperatura. ¿Qué es lo que cambia? Lo que cambia es el volumen y la temperatura. Se sabe que a 0 °C el gas ocupa un volumen de 1 L y a — 273 °C el volumen que ocupa es 0 L. Convengamos en llamar a las dos parejas de números, (— 273, 0) y (0, 1), como P1 y P2 respectivamente, a la temperatura T y al volumen V . como las variables T y V cambian en proporción directa es seguro que su gráfica es una recta. Usemos la fórmula de la ecuación de la recta dados dos de sus puntos, pues se sabe cuáles son estos:

(1)

Por analogía haremos que x = T y que y = V, sustituyendo en [1] los valores conocidos se obtiene:

Después de realizar las operaciones indicadas se llega a:

L a fórmula indica que el volumen de un gas es 1/273 veces la temperatura ( medida en ° C ) más uno. La expresión nos permite calcular el volumen del gas para cualquier temperatura T dentro del intervalo variación permitido . Como vemos una ley de la física quedo reducida a una fórmula matemática. Además las variables en juego están relacionadas de tal manera que V depende de T y esta relación de dependencia se escribe como. V(T) = 1 / 273 T+ 1 Como V depende de t suele decirse que V es función de T, por lo que, a V se le llama variable dependiente y a T como variable independiente. Con ésta fórmula podemos generar una taba de valores de volúmenes del gas a diversas temperaturas (inclusive las inalcanzables en la práctica).


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Ejemplo 3. Desde un helicóptero que se mantiene estable en el aire durante algunos minutos, se arroja un objeto verticalmente hacia abajo con una velocidad de 49 m/s. obtendremos una fórmula que describa la relación entre la distancia recorrida por el objeto respecto del tiempo t si el helicóptero está a 367.5 m de altura. Los datos son la altura desde la que se arroja el cuerpo, 367.5 m, y la velocidad inicial de 49 m/seg; se pide la fórmula para la distancia en términos del tiempo. Para obtener la fórmula nos auxiliaremos de algunos conocimientos de la física. Ya que el objeto es lanzado a una velocidad de 49 m/seg en el primer segundo habrá recorrido 49 m; en el segundo, 98 m; en el tercero, 147 m; etc. En t segundo habrá recorrido una distancia de 49t metros. Obsérvese la tabla . t en segundos s en metros

1 (49)(1) = 49

2 3 (49)(2) = 98 (49)(3) = 147 Tabla 3

… …

t 49t = s

Si no existiera la gravedad en t segundos el objeto recorrería una distancia 49t, pues el movimiento sólo estaría afectado por la velocidad inicial, pero de acuerdo con los descubrimientos de Galileo, todos los cuerpos son atraídos por la fuerza gravitacional terrestre de acuerdo con la fórmula s = 4.9 t2. Además de los efectos debidos a la velocidad inicial el objeto sufre los efectos de la atracción terrestre. Por tanto, la distancia que recorre está determinada por la suma de las distancias que recorre debido a ambos efectos. En términos matemáticos esto se escribiría así: s (t) = 49t + 4.9 t2 Esta fórmula indica que, la distancia que recorre un cuerpo lanzado con una velocidad inicial de 49 m/seg, es 49 veces el tiempo más 4.9 veces el cuadrado del tiempo en que haya estado cayendo el objeto. Mediante la fórmula es fácil saber que el objeto toca tierra exactamente 5 seg después haber sido arrojado. Veamos: s(5) = 49(5) + 4.9(5)2 = 245 + 4.9(25) = 245 + 122.5 = 367. 5 De aquí que, en el lanzamiento del objeto en cuestión, sólo se consideren valores de t mayores que cero y menores que o iguales a 5; en símbolos: 0 < t ≤ 5. Por otro lado la variable s tiene sentido para valores mayores que 0 y menores que o iguales a 3 67.5; en símbolos 0
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Si a cada elemento x de un conjunto X se le hace corresponder, mediante una regla o fórmula, un elemento y, y sólo uno de otro conjunto Y , dicha correspondencia se denomina función. El conjunto X se llama Dominio de la función y el conjunto Y Contradominio (codominio) o Dominio de imágenes formando de esta forma un par ordenado. A la x se le llama: variable independiente, a la y: variable dependiente. La razón de ello es que la x puede tomar valores arbitrarios (siempre y cuando pertenezcan al dominio de la función); mientras que la y obtiene su valor dependiendo del asignado a x y, las relaciones entre las variables, pueden ser expresadas mediante fórmulas algebraicas. Para obtenerlas, primero es necesario identificar lo que cambia (y lo que no cambia), asignar una letra a lo que cambia, buscar la relación entre las variables y expresarla mediante una fórmula. Esta es muy importante, pues nos permite saber cuánto vale una variable cuando la otra tiene un cierto valor. Lo anterior a su vez es posible gracias a que unas variables dependen de otras, por ejemplo, en la fórmula s(t)= 49t + 4.9 t2, s depende de t, y el valor de s queda determinado para cualquier valor dado de t. Por eso a s se le llama variable dependiente, y a t, variable independiente. La fórmula de s(t) es la expresión algebraica de una relación funcional, es decir es la fórmula de una función. Los elementos básicos que constituyen una función son los conjuntos de valores que pueden adquirir las variables y la fórmula que expresa la regla de correspondencia entre los valores de las variables. Véase la Figura

El conjunto de partida está constituido por el intervalo de variación de la variable independiente y se le llama Dominio de la función, el conjunto de llegada por el intervalo de variación de la variable dependiente y se le llama Imagen. La relación de correspondencia está determinado por la fórmula o regla matemática expresada por medio de números y letras. Otras formas útiles para el estudio de las funciones son las tablas de valores y 1os gráficos véase la (Tabla y Figura ).


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Sea X un conjunto de números reales, una función f de una variable es una correspondencia que asocia a cada número x que pertenece a X uno y sólo un número real y que pertenece a un conjunto Y . Cada elemento de Y queda notado y determinado por y = f ( x). Una función es púes un conjunto de pares ordenados ( x, y) en donde no puede haber dos parejas distintas en que se repita el primer elemento.

Notación de funciones y uso de paréntesis Una vez establecida la definición de función se procede a establecer la notación que convencionalmente se usa para representar una función a saber: Denotamos una función f de un conjunto A en un conjunto B de la siguiente manera:

f : A

B; x

f ( x)

Esta notación establece que la función f debe estar definida de forma que las preimágenes deben pertenecer al conjunto A y se le deben asociar como imágenes, elementos del conjunto B por medio del criterio f .

Para que conozcas y fortalezcas los procedimientos que permiten resolver problemas con mayor eficacia donde se utilicen funciones analiza los siguientes ejemplos , y realiza investigaciones en otras fuentes de información (libros, revistas, Internet, etc.).


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Revisarás ideas fundamentales que debes recordar para que elabores tus propias conclusiones

Analizarás las cuestiones que se resolverán y expondrás tus comentarios.

1. hallar el dominio de las siguientes funciones,

2. funciones de una variable independiente:

La expresión de la función (1) indica que para hallar la imagen de un valor particular de x, debemos multiplicarlo por 3 y al resultado restarle 2 unidades. La fórmula de la (2) hace que a los valores de x se les eleve a la tercera potencia, al resultado se le reste 7 unidades y al total se le saque la raíz cuadrada. En la práctica, lo que debemos hacer, para hallar el valor correspondiente de la función para un valor particular de x que pertenece, obviamente, al dominio de la función, es reemplazar en la expresión la x por el valor particular asignado y efectuar las operaciones indicadas. Calculemos, por ejemplo, la imagen para x igual a 2 en las funciones (1) y (2): Herramientas de Base de Datos

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Gráfica de una función Puesto que una función no es más que una colección de pares de números, el trazado de una función se reduce a trazar cada uno de los pares de la misma. El dibujo así obtenido recibe el nombre de gráfica de la función. En otros términos, la gráfica contiene todos los puntos correspondientes a pares ( x, f ( x)).

Procedimiento 1. Se despeja la función 2. Se construye una tabla de valores 3. Se ubican dichos puntos en el plano cartesiano (tomando los valores correspondientes a la variable independiente x como abscisas y a los de la función y como ordenadas) 4. Se unen los puntos por una línea , si la función es continua

3. : Esbozaremos la gráfica de la función cuya fórmula es V(t) 0.5t. Recuerda que esta es la fórmula de la función a que dio lugar el ejemplo 1 de la sección anterior . Construyamos una tabla de valores y representemos estos valores en el plano cartesiano (Figura ).


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Ahora se analiza el comportamiento de la gráfica para obtener mayor información. a) La gráfica es una línea recta de pendiente 0.5, su ecuación es de la forma y = mx + b. b) No es negativa en ningún punto. No hay puntos de la recta que estén abajo del eje t. c) Se hace cero en t = 0. Cuando inició el llenado el recipiente estaba vacío. d) Es positiva en el intervalo 0 < t ≤ 40, pues en este intervalo la gráfica está por encima del eje t. e) No se interrumpe en ningún punto de su dominio, sino que es continua. El agua estuvo entrando continuamente. f) Su dominio es el intervalo 0 < t ≤ 40. Este es el tiempo en que transcurrió el proceso de llenado. g) Su imagen es el intervalo 0 < V (t) ≤ 20, Estos son los valores adquiridos por el volumen durante el proceso. 4. La información obtenida del análisis del gráfico está referida a una función que describe un proceso de variación concreto: el llenado de un recipiente en función del tiempo. Sin embargo la función V(t) = 0 . 5t puede representar cualquier fenómeno de variación que se ajuste a esta regla, y para ello en matemáticas se generalizan estas expresiones. Sí ahora V = f y t = x, la fórmula anterior queda como f(x) = 0.5 x, donde x puede representar a cualquier magnitud que cambie, y si además hacemos que el dominio tenga sentido para cualquier número real, entonces su gráfica quedaría como se muestra en la Figura .


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De un análisis rápido se concluye que f(x ) : — Su gráfica es una recta con m = 0.5 — Es positiva para x> 0 —Se anula para x=0 — Es negativa para x < 0 — Es siempre creciente de izquierda a derecha — No es decreciente en ningún punto — Todo x є constituye su dominio — Todo f(x) є constituye su imagen — Es continua en todo su dominio.

5. Gráfica de funciones: . y = x . Solución: x -2 0 y -2 0


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6. y = - 2X solución x y

-1 2

0 0

1 -2

7.-Las siguientes expresiones describen una función, identifica las variables y constantes. a) y =2x+1, para toda x ∈ℜ

b) V(r) =4/3 πr 3 , r >0

c) S(t) =4.9t2, t>0

d) A(h) =(5h) / 2 ,

a)._ variables : X y Y

constantes: 2 y 1

b).- variables: V y r

constantes: 4/3 y

c)._ variables : S(t) y t

constantes: 4.9

d).- variables : A(h) y h

constantes: 5/2

h>0

π

8.-El área A del cuadrado de lado ℓ está dada por A=ℓ 2. Esta fórmula muy conocida lleva implícita a la función, A(ℓ)=ℓ2, ℓ>0. Escribe la relación funcional implícita en los siguientes enunciados: a) El área A de los triángulos de 10 cm. de base y con altura h variable, que no exceda de 30 cm. R)._A= b.h/2 ; b=10 cm.( cte.) A = (5) h ; h ≤ 30 b) El perímetro P de los círculos de radio r que sea menor o igual a 1000 m. R)._P= 2π r ;

r ≤ 1000

c) El área A de la superficie total de los cubos de arista ℓ menor que 3 m. Herramientas de Base de Datos

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R)._

At= 6ℓ2 :

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ℓ <3

d) La distancia recorrida por un auto a una velocidad constante de 90 km/h en un tiempo menor que 3 horas. R)._V= d/t

;

d= V. t ;

d= 90 km/h . t

t< 3hrs.

8.-Analice las siguientes gráficas y decida cuáles representa funciones

R). (a) Si representa una función, por que a cada elemento del conjunto del dominio, le corresponde solo un elemento

del conjunto imagen.

(b)

No representa una función, por que a un mismo elemento del conjunto dominio le corresponden dos elementos del conjunto imagen, esto quiere decir que aparecería un mismo primer elemento en dos pares ordenados.

(c)

Si es función. por que a cada elemento del conjunto dominio le corresponde uno y solo un elemento, del conjunto imagen.

4.- Por medio del análisis de sus fórmulas, obtenga el dominio, la imagen y los “ceros” de las funciones siguientes. Finalmente esboce la gráfica de cada una a) f(x)=1.5x-10 DOMINIO Xεℜ IMAGEN f(x)εℜ CERO DE f(x)

b)g(x)=x2-2x+1 c)h(r)=r 3-r 2-6r DOMINIO Xεℜ IMAGEN Xεℜ+ CERO f(x) =0


DOMINIO Xε ℜ IMAGEN Xεℜ CERO h( r ) 30

SEP

Para x=6.6

SEMS

para x=1

DGETI

para r=0 , r=-2 y r =3

Graficas

a) f(x) = 1.5x -10

b)g(x) = x2- 2x+1

c)h(r)=r 3-r 2-6r


31

SEP

SEMS

DGETI

SÍNTESIS

Para repasar lo estudiando en esta unidad, es conveniente que realices los siguientes ejercicios primero de manera individual para que vayas identificando tanto lo que has aprendido como las dudas o dificultades que tienes y después es conveniente que verifiques tus respuestas integrándote en equipo y consultando a tu maestro.

1. Representa en un sistema de coordenadas rectangulares los puntos cuyas coordenadas se dan a continuación: a) (3,0) b) (0, 3) c) (0, 0) d) (2, 8) e) (-3, 5) f) (-1, -1) g) (4 ,-6) h) (1/2, -5) 2.Determina cuáles de las siguientes ecuaciones definen funciones lineales: a) y = x – 2 f) y = x/5

b) y = 3x c) y = x2 g) y =


d) y = 3/x + 1, x = 0 h) 3x + y = 0

e) y = x3 + 5 i) x + 2y = 8

32

SEP

SEMS

DGETI

3.- Comprueba si los siguientes puntos: P1(0,2) b) P2(1,11) c) P3(0,3) d) P4(-1,5) Pertenecen a la representación gráfica de la función y = 8x + 3.

4. Escribe las ecuaciones que definen las funciones representadas en la figura.

5. Determina en cada caso para qué valores de x la función: a) y = 5x +8 toma el valor 4. b) y = 12 - x toma el valor –2/5. c) y = -2x -5 toma el valor 0.4. d) y = - x toma el valor


.

33

SEP

SEMS

DGETI

6. De una función lineal se sabe que su cero es –4 y que interseca al eje "y" en el punto de ordenada –2 1/2. Represéntala gráficamente. 7. Representa gráficamente las funciones lineales siguientes: a) y = x

b) y = - 1/2 x

c) y = x + 2

d) y + x = 2

d) y = 8 - 3x

8. Determina la ecuación de la función lineal cuyo gráfico pasa por los puntos: a) A (0;0) y B (-1;3)

b) M (-1;2) y N (0;-2)

c) P(2;3) y Q (-5;4)

9. Determina cuáles de las siguientes ecuaciones representan funciones cuadráticas y cuáles no. Fundamenta tu respuesta. a) y = X1/2

b) y = -x2 + 5

e) y = x2 + 0.5

f) y2+x2 =1

c)x = -y2+3y-1

d) y = 2x2 + 3x

g) v = at2+ 3t

10.Determina la ecuación de una función de la forma y= ax2 (a por los puntos:

0) cuyo gráfico pasa

a) A (1;2) b) B(-3;-3) c) C(1; 4) d) D (2; -3)

11 . Determina cuáles de las representaciones gráficas de la figura son funciones y de ellas cuáles son inyectivas.


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SEP

SEMS

DGETI

12 Los gráficos de la figura corresponden a funciones del tipo f(x) =(x + b)3 + c. Escribe la ecuación que le corresponde a cada caso

13. Determina los valores b y c de la ecuación y = (x + b) 3 + c. si el gráfico de la función contiene a los puntos: a) (-b;2) y (1;-6) b) (0;0) y (-2;8) c) (0;-1) y (1;6) d) (0; 123) y (-4;-1) e) (3;5) y(5;7) f) (-b;b) y (3;-1)


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PRÁCTICA INTEGRAL (¿Qué se significa? Es cuando el alumno demuestra la competencia. ¿Qué actividades se realizan? • Individualmente el alumno demostrará el dominio de la competencia, con la presentación de las evidencias desarrolladas en cada unidad Esta parte se construirá con ejercicios de evaluación en los cuales se estimule la reflexión del capacitando para que valore el aprendizaje alcanzado.) 1). Traduzca al lenguaje matemático ( es decir utilizando las desigualdades ) los intervalos de variación presentes en las siguientes situaciones a) Las distancias s que recorremos cuando nos dirigimos a la escuela siempre son superiores a cero. b) El área A de un cuadrado crece de manera que siempre es mayor que 1 cm2 y menor que o igual a l0cm 2. c) El volumen V del agua en un recipiente es siempre mayor que 0 y menor que o igual a 2 m 3. d) En condiciones normales el agua es líquida si su temperatura fluctúa entre 0°C y 100°C Traduzca al lenguaje matemático (es decir utilizando las desigualdades) los in 2). El intervalo de variación de la temperatura (t) del cuerpo humano de un hombre sano fluctúa desde 36.8°C hasta 37.1°C. Dibuje este intervalo y escríbalo en términos matemáticos. . . ... 3). Un autobús de pasajeros de 40 asientos sólo puede realizar viajes que sean costeables sí el número de asientos cubiertos es superior a 20. El operador no admite pasajeros que realicen el viaje sin ir sentados. Represente el intervalo de variación costeable de pasajeros p y escríbalo en términos matemáticos. 4). En la escala de calificaciones de 0 a 10, las aprobatorias son mayores que 0 iguales a 6 y menores que 0 iguales a 10, las reprobatorias son menores que 6 pero mayores o iguales a 0. Represente en una recta numérica y escriba en términos matemáticos: el intervalo global de calificaciones, el intervalo de calificaciones aprobatorias y el intervalo de las reprobatorias


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5). La gráfica de la Figura muestra la altura que alcanza una pelota al ser lanzada hacia arriba. Tomando en cuenta el gráfico conteste las preguntas siguientes:

a) b) c) d)

¿Qué es lo que cambia en la sitruacion planteada? ¿Cuál es el intervalo de tiempo en que la pelota permanece en le aire? ¿Cuál es el intervalo de variación de la altura en metros a la que sube la pelota? ¿Cuál es el intervalo de tiempo de ascenso y descenso de la misma?

6). La gráfica de la Figura muestra el comportamiento de la variable y en función de la variable x.

a) ¿Cuál es el intervalo de variación de y? b) ¿Cuál es el intervalo de variación de x? e) ¿Para qué x la gráfica sube? ¿Para qué x la gráfica baja? d) Decide cuál de las proposiciones siguientes es cierta: y> 0 para 0< x < 1.5 o bien y> 0 para 0 ≤ x ≤ 1.5


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DGETI

7). Las variables x e y están relacionadas de modo que de x depende y, además el valor de y queda determinado si a cualquier x se le resta 1. Escriba una fórmula para y en términos de x.

8). La relación existente entre las variables α y β, es tal que su producto es igual a la suma entre ellas. Escriba una fórmula para α (β) y otra para β (α).

9. Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas y cuáles son falsas: a) Una función es un conjunto de pares ordenados (x, y); donde x es un elemento de un conjunto X e y es elemento de un conjunto Y. b) Una función es una correspondencia unívoca de un conjunto X en un conjuntoY. c) Una función es un conjunto de pares ordenados (x, y), con x є X y y є Y, donde cada elemento x de X aparece a lo sumo en un par.

10. ¿La ecuación: y = 3x — 2, define a una función? Si es así, elabore el conjunto de pares ordenados (x, y) que la satisfagan. 11. ¿Bajo qué condiciones las siguientes ecuaciones pueden representar la regla de una función? a) y- 4x = 0

b) y2 -4px = 0

c) x2 + y2 = 25

d) xy – y = 0

12 . De las fórmulas de las funciones: f(x) = 2x2 + x — 1, g(x) = 1/x , h(x) = √ x-1 a) Calcula:

f(2),

f(—1),

g(2),

b) Investiga si (0,-3) es punto de f(x).


g(—l),

h(2),

h(0).

c) Pruebe que el par (10,3) є h.

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13. Por medio del análisis de sus fórmulas, obtenga el dominio, la imagen y los “ceros” de las funciones siguientes. Finalmente esboce la gráfica de cada una

1. Evidencias: GUÍA DE OBSERVACIÓN Instrucciones Aspecto a observar Asistió puntualmente a clases Demostró disponibilidad para el trabajo Se integró en equipo Demostró los aprendizajes Se desempeñó bien en las exposiciones frente a grupo En las exposiciones frente a grupo utilizó el recurso didáctico auxiliar apropiado Portó correctamente su uniforme Criterios de evaluación

SI

Cumple NO N/A

Observaciones

%

Se especificará el valor que se le asigna a cada uno de los aspectos

Resultado de la evaluación final de la unidad o del módulo


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DGETI

% de cumplimiento del alumno =_________ % El % mínimo para que el alumno acredite esta unidad es de 60% ( aspectos cumplidos)


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LISTA DE COTEJO Instrucciones Aspecto a observar Siguió los lineamientos establecidos en la presentación de los trabajos Utilizó correctamente los métodos en la solución de problemas Realizó y entregó conclusiones

Criterios de evaluación

SI

Cumple NO N/A

Observaciones

%


Resultado de la evaluación final de la unidad o del módulo % de cumplimiento del alumno =_________ % El % mínimo para que el alumno acredite esta unidad es de 60% ( aspectos cumplidos)


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DGETI

CUESTIONARIO Instrucciones: Lee detenidamente cada una de de las siguientes preguntas y anota la respuesta con tus palabras

Tema

Pregunta

Funciones

¿Que es una función? ¿Qué es una variable? ¿Qué es una relación?


Respuestas

%




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DGETI

LA PRÁCTICA HACE AL MAESTRO Capitulo 2.-: tipo de funciones

Objetivo particular: Clasificarás las funciones

Evidencia Conocimiento: Cuestionario escrito apoyado en participaciones orales sobre: clasificación de funciones y las características distintivas Desempeño: Presentación en rota folio o material realizado por el alumno y exposición sobre los tipos de funciones Desempeño: resolverás problemas donde se requiera el uso de algún tipo de funcione específico. Producto: presentaras casos documentados de situaciones reales que impliquen el uso de funciones específicas para su solución.

Resuelve las siguientes preguntas:

Preguntas ¿Define lo que es una función algebraica?

Respuesta

¿Cuáles son las características de las funciones algebraicas?


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SEMS

DGETI

¿Cuáles Son lo tipos de funciones algebraicas?

Funciones Algebraicas

. Para enriquecer tus respuestas revisa el siguiente texto .

Comenta con tus compañeros de equipo la lectura y resuelve las preguntas

Las funciones algebraicas son aquellas construidas por un número finito de operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación) aplicadas a la función identidad, f ( x) = x, y a la función constante, f ( x) = k . En general, las funciones algebraicas abarcan a las funciones polinomiales, racionales y las llamadas algebraicas explícitas.


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DGETI

Función polinomial:

El dominio de la función polinomial es el conjunto de los números reales. Ejemplos particulares de la función polinomial son, la función lineal (función polinomial de grado uno), la función cuadrática (función polinomial de segundo grado), función cúbica (función polinomial de tercer grado). Función lineal: La función lineal (función polinomial de primer grado) es de la forma y = f (x) = ax + b; a y b son números dados; el dominio y contradominio es el conjunto de todos los números reales. La gráfica de cualquier función lineal es una línea recta. La a representa la pendiente de la recta y b, el intercepto con el eje y (u ordenada en el origen). Como por dos puntos diferentes, en el plano cartesiano, se puede trazar una sóla línea recta, basta con calcular las coordenadas de dos de los puntos para trazar la gráfica de una función lineal; es conveniente que dichos puntos sean los interceptos con los ejes del plano. El intercepto con el eje y, es b; para hallar el intercepto con el eje x (o abscisa en el origen), se iguala la ecuación de la función a 0 y se despeja el valor respectivo para x. Función constante: Se puede considerar a la función constante como un caso particular de la función lineal cuando se hace x = 0. La función constante se define como:

El dominio de la función constante es el conjunto de los números reales y el codominio es k . La gráfica de la función constante es una línea recta paralela al eje x, y corta al eje y en y = k


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Función identidad: La función identidad es una función lineal con a = 1 y b = 0. La función lineal se define por: El dominio y el codominio de la función identidad es el conjunto de los números reales. La función identidad biseca los cuadrantes I y III. Observe su gráfica a la derecha

Función cuadrática:

Para trazar la gráfica de una función cuadrática es conveniente construir una tabla de valores, con por lo menos cuatro valores, uno para el vértice, dos para los interceptos con el eje x y un cuarto para el intercepto con el eje y.


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DGETI

Funciones racionales: Una función racional es aquella que puede expresarse como el cociente de dos funciones polinomiales. Esto es, una función racional es de la forma.

Para enriquecer tu conocimiento, investiga en otras fuentes de información (libros, revistas, Internet, etc.) sobre funciones algebraicas y sus aplicaciones Para que conozcas los procedimientos para resolver problemas donde se utilicen funciones algebraicas analiza las etapas de desarrollo del ejemplo desde que se inicia hasta que concluye.

En equipo de 5 integrantes, comenta con tus compañeros los resultados obtenidos de la investigación anterior. Al final y en base a las anteriores actividades, elaborar un resumen señalando lo más relevante y presenten sus resultados al grupo.

ejemplo 3 • Una caja rectangular con una base cuadrada tiene un volumen de 125 cm .exprese el área total de su superficie A como una función de la longitud de una arista de su base

El primer paso es hacer un dibujó y etiquetar las dimensiones adecuadas la figura muestra una caja rectangular con base cuadrada con longitud de arista “x”en la base y altura”y”.tenemos que el volumen de la caja es •

V =X2Y=125 Tanto la tapa como el fondo de la caja tiene área x 2 y cada uno de sus cuatro lados verticales tienen área x y, por lo que el área total de su superficie es


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SEMS

•

•

DGETI

A =2x2+4xy

Pero esta es una formula para A en términos de las dos variables x y y ,antes que la función de una sola variable x .para eliminar y obtener entonces A solamente en términos de x despejamos y en la ecuación para obtener y=125/x2 y después sustituireste resultado en la ecuación A =2x2+4xy

obteniendo A = 2x2+4x*125/x2+500/x Así el área de la superficie, dada como una función de la longitud x de una arista es A(x)= 2x2+500/x , 0
Esto debe a que todo x > 0 determina una de estas cajas ,el dominio si contiene a todos los números positivos

El conjunto de todos los números de entrada se llama dominio de la función, y el conjunto de los números de salida que resultan se llama contradominio de la función..

2.-Desde la azotea de un edificio de 50 m de altura, un objeto es arrojado horizontalmente con una velocidad de 9.8 m/seg, de modo que la distancia que recorre en el tiempo t está dada por la fórmula: s(t)=9.8t-4.9t2. Utilice esta información para contestar las siguientes preguntas: a) ¿cuál es el dominio y la imagen de s(t)? b) ¿Cuánto tiempo tarda el objeto en llegar al suelo? c) ¿Cuál es el comportamiento de s(t)? Herramientas de Base de Datos

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(a) El dominio es el intervalo de tiempo desde que se arroja el cuerpo Hasta que toca el suelo. La imagen es la distancia que recorre el cuerpo desde el punto que se arroja, hasta el punto donde choca con el suelo. (b) s ( t ) = 9.8t –4.9 t2 ; Vo=0 por tener componente vertical=0 la velocidad inicial. ( la formula creo debe ser) s ( t ) = 0+4.9 t2 50m = 4.9 t2 ; t2 = 50 /4.9 ; t=3.19 sg

(c)

3.-El punto de ebullición del agua disminuye a medida que aumenta la altura sobre el nivel del mar. A 155 m de altitud el punto de ebullición es de 99.4 °C; a 762 m es de 97.5 °C. Obténgase una fórmula para el punto de ebullición P en función de la altura h si la disminución es proporcional. ¿Cuál es el punto de ebullición del agua a 2100 m de altitud? Grafique y analice el comportamiento de la función.

Altura ( m) (X)

155

762

Temperatura ( °C) (Y)=P(h )

99.4

97.5

Y-Y1/X-X1= Y1-Y2/X1-X2 Herramientas de Base de Datos

;

Y-99.4/X-155 = 99.4-97.5/155-762 49

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Y-99.4/X-155 = 1.9/ (-607) ; Y-99.4/X-155 = -0.003 RESPUESTA P (h) = (-3)(10-3 )( X-155) + 99.4 Para una altura X = 2100m. P (h)=? P (h) = (-3)(10-3 )( X-155) + 99.4 = (-3)(10-3 )( 2100-155) + 99.4 P (h) = (-3)(10-3 )( 1945) + 99.4 = -5.83+99.4 = 93.56 °C


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2.1 Resultado de aprendizaje: funciones algebraicas Para identificar o conocer el contenido para ejercitarse en su manejo para evaluar la actividad se puede. Resolverás problemas sencillos donde utilizarás lo investigado sobre funciones algebraicas y lo aplicarás en la solución

Confrontarás lo realizado con tus compañeros de equipo y establecerás tus propias conclusiones

Presentaras tus resultados al grupo y a tu maestro, en la forma previamente establecida. Para evaluar

Resuelve las siguientes preguntas: Herramientas de Base de Datos

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SEMS

Preguntas ¿Cuál es la utilización de las funciones algebraicas? ¿ Cuantas son las funciones algebraicas?

DGETI

Respuestas

Analiza los siguientes casos y resuelve cada uno de ellos


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Revisa los siguientes procedimientos porque son muy importantes Soluciones


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12. Solución:


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PRACTICA INTEGRAL

Analizarás las cuestiones que se te plantean y de manera personal resuélvelas

.

1.-Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas y cuáles son falsas:

a).-Una función es un conjunto de pares ordenaos (x,y); donde x es un elemento de un conjunto X e y es elemento de un conjunto Y. b)._Una función es una correspondencia unívoca de un conjunto X en un conjunto Y. c).-Una función es un conjunto de pares ordenados (x,y), con x ε X y y ε Y, donde cada elemento x de X a aparece a lo sumo en un par. 2.-¿La ecuación: y=3x-2, define a una función? Si es así, elabore el conjunto de pares ordenados (x,y) que la satisfagan.

3.-¿Bajo qué condiciones las siguientes ecuaciones pueden representar la regla de una función? a) y-4x=0

b)y2 –4px=0 c)x2+y2=25


d)xy-1=0 60

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4.-De las fórmulas de las funciones: f(x)=2x2+x-1,g(x)=1/x, h(x)=√(x-1 ): a)calcula: f(2),f(-1),g(2),g(-1),g(1/3), h(2), h(-1/10), h(0). b)Investiga si (0,-3) es punto de f(x). c)Pruebe que el par (10,3) ε h.

Intégrate en equipo y discute los resultados y procedimientos con tus compañeros. Y posteriormente ante el grupo Para enriquecer tu conocimiento, investiga en otras fuentes de información (libros, revistas, Internet, etc.) sobre el uso de las funciones y sus aplicacio Registra tus opiniones en el siguiente esquema en donde anotarás las respuestas y su justificación : Resultado 1

Justificación

2. 3. 4.


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FUNCIONES TRASCENDENTES

Reflexiona sobre las siguientes preguntas y escribe posteriormente tu opinión Preguntas ¿Para qué te puede servir lo que vas a aprender? ¿En dónde se puede aplicar?

Respuesta

. Para enriquecer tus respuestas revisa el siguiente texto.

Las funciones exponenciales y logarítmicas pueden ser utilizadas para resolver y modelar algunas situaciones de la vida real. Algunas de estas situaciones son: el crecimiento de bacterias en un cultivo, el crecimiento de la población de una ciudad, el tiempo que toma un objeto para llegar a cierta temperatura, etc.

Las funciones que no son algebraicas se llaman funciones trascendentes.

Son funciones trascendentales elementales •

Función exponencial:

f(x)=ax; a > 0, a ¹ •

Función logarítmica:


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f(x)=loga(x); a > 0, a ¹ 1. Es inversa de la exponencial. •

Funciones trigonométricas: También llamadas circulares f(x)=sen(x); f(x)=cos(x); f(x)=tg(x); f(x)=cosec(x); f(x)=sec(x) y f(x)=cotg(x)

Hay otras funciones elementales como las hiperbólicas y las inversas de éstas y de las trigonométricas, pero no pretendemos en esta unidad didáctica presentarlas todas Debemos de tener en cuenta las siguientes observaciones para la hora de analizar las funciones trascendentes que se proponen en esta unidad didáctica: • • • •

•

f(x)=ax está definida para todo x en R f(x)=a-x=(1/a)x, a>1, 0<1/a<1 f(x)=loga(x) está definida para x>0 Representaremos el logaritmo decimal log10(x) por log(x) y el logaritmo neperiano loge(x) por ln(x), siendo e=2,718281... el llamado número 'e' f(x)=sen(x) y f(x)=cos(x) están definidas para todo valor de x. Su periodo es 2

Analizarás las cuestiones que se te plantean, resolverás preguntas o problemas expondrás tus comentarios.

Comenta con tus compañeros de equipo tus respuestas, traten de llegar a conclusiones generales. Presenten sus respuestas al grupo.


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Aplica tus conocimientos para resolver los siguientes problema

1.- Una colonia de bacterias crece de acuerdo con la ley de crecimiento no inhibido. Si la cantidad de bacterias se duplica en tres horas ; cuánto tiempo tardará las colonia triplicar su numero?

2.- Es posible medir la concentración de alcohol en la sangre de una persona. Investigaciones médicas recientes sugieren que el riesgo R dado como porcentaje de tener un accidente automovilístico puede ser modelado mediante la ecuación


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SÍNTESIS

(¿Qué significa? Demostrar en equipo el logro del objetivo particular a través del cumplimiento de los resultados de aprendizaje, con ejercicios, prácticas o problemas que los familiarizará con la ELABORACIÓN DE LAS EVIDENCIAS. En este proceso es necesario incluir aspectos de reflexión para guiar la realimentación. Es necesario que se destine un tiempo al final de cada objetivo particular y principalmente al término de cada capítulo para llegar a conclusiones o a la presentación de resultados o a la evaluación del proceso, en donde se precise y aclare aspectos en los que haya existido duda para que el alumno valore lo que aprendió y las dificultades que tiene, es aquí donde el maestro da formalmente la realimentación además de estar apoyando y aclarando dudas durante todo el proceso.) Para repasar lo estudiando en esta unidad, es conveniente que realices los siguientes ejercicios primero de manera individual para que vayas identificando tanto lo que has aprendido como las dudas o dificultades que tienes y después es conveniente que verifiques tus respuestas integrándote en equipo y consultando a tu maestro PRÁCTICA INTEGRAL (¿Qué se significa? Es cuando el alumno demuestra la competencia. ¿Qué actividades se realizan? • Individualmente el alumno demostrará el dominio de la competencia, con la presentación de las evidencias desarrolladas en cada unidad Esta parte se construirá con ejercicios de evaluación en los cuales se estimule la reflexión del capacitando para que valore el aprendizaje alcanzado.) 2. Introducción a las funciones cuyo objetivo es: Conocer y aplicar los conceptos básicos de funciones matemáticas 3.

4. Evidencias: Conceptos Procedimientos Productos


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GUÍA DE OBSERVACIÓN Instrucciones Aspecto a observar Asistió puntualmente a clases Demostró disponibilidad para el trabajo Se integró en equipo Demostró los aprendizajes Se desempeñó bien en las exposiciones frente a grupo En las exposiciones frente a grupo utilizó el recurso didáctico auxiliar correctamente Portó correctamente su uniforme Criterios de evaluación

SI

Cumple NO N/A

Observaciones

%




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LISTA DE COTEJO Instrucciones Aspecto a observar Siguió los lineamientos establecidos en la presentación de los trabajos Utilizó correctamente los métodos en la solución de problemas En las exposiciones frente a grupo utilizó el recurso didáctico auxiliar adecuado Realizó y entregó conclusiones


SI

Cumple NO N/A

Observaciones

%




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Tema

Pregunta

Funciones

¿Que es una función? ¿Qué es una variable? ¿Qué es una relación?


Respuestas

%




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LA PRÁCTICA HACE AL MAESTRO Capitulo III: Limites

Objetivo particular: Aplicará los conceptos de limites en la solución de problemas

Resuelve las siguientes preguntas:

Preguntas ¿ Que entiendes por limite? ¿Qué entiendes por función discontinua? ¿ Qué entiendes por función continua? ¿ Qué entiendes función unilateral? ¿ Qué entiendes por limite al infinito? ¿ Qué entiendes por derivada?

comentarios.

Respuesta

Analizarás las cuestiones que se te plantean resuelven , expondrás tus


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Desarrollarás una serie de actividades como ejercicios, resúmenes, investigaciones, consultas, visitas y prácticas para que apliques lo que estás aprendiendo en forma individual o en equipos

LÍMITES El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el cálculo infinitesimal (diferencial e integral). Informalmente hablando se dice que el límite es el valor al que tiende una función cuando la variable independiente tiende a un número determinado o al infinito. Definición de límite Antes de establecer la definición formal del límite de una función en general vamos a observar qué sucede con una función particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor determinado. Ejemplo: En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x, en el entorno de 2, y calculamos los valores correspondientes de la función f ( x): Cuando x se aproxima a 2, tanto por la izquierda como por la x f ( x) derecha, tomando valores menores o mayores que 2, f ( x) se 1.9 2.61 aproxima, tiende, cada vez más a 3; y cuanto más cerca está x 1.99 2.9601 de 2, o lo que es lo mismo, cuando la diferencia en valor 1.999 2.996001 absoluto entre x y 2 es más pequeña asimismo la diferencia, en 1.9999 2.99960001 valor absoluto, entre f ( x) y 3 se hace cada vez más pequeña. 2.0001 3.00040001 (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior derecha). 2.001 3.004001 Osea, la función se acerca a un valor constante, 3, cuando la 2.01 3.0401 variable independiente se aproxima también a un valor 2.1 3.41 constante. |x - 2| |1.9-2| = 0.1 |1.99-2| = 0.01 |1.999-2| = 0.001 |1.9999-2| = 0.0001 |2.0001-2| = 0.0001 |2.001-2| = 0.001 |2.01-2| = 0.01 |2.1-2| = 0.1


| f ( x) - 3| |2.61-3| = 0.39 |2.9601-3| = 0.0399 |2.996001-3| = 0.003999 |2.99960001-3| = 0.00039999 |3.00040001-3| = 0.00040001 |3.004001-3| = 0.004001 |3.0401-3| = 0.0401 |3.41-3| = 0.41

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De lo anterior se deduce intuitivamente que el límite de la función f ( x) cuando x tiende a 2, es 3. Ahora, pasamos a dar la definición formal de límite: Definición épsilon-delta Sea f una función definida en algún intervalo abierto que contenga a a. El límite de f ( x) cuando tiende a es y se escribe x a L,

Nota: no es necesario que f este definida en a para que el límite exista.

Límites unilaterales Hay casos en que las funciones no están definidas (en los reales) a la izquierda o a la derecha de un número determinado, por lo que el límite de la función cuando x tiende a dicho número, que supone que existe un intervalo abierto que contiene al número, no tiene sentido. Ejemplo:

Límite unilateral por la derecha: Sea f una función definida en todos los números del intervalo abierto (a, c). Entonces, el límite de f ( x), cuando x se aproxima a a por la derecha es L, y se escribe

Límite unilateral por la izquierda: Sea f una función definida en todos los números de (d, a). Entonces, el límite de f ( x), cuando x se aproxima a a por la izquierda es L, y se escribe


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Límite bilateral:

Teorema de límite12:

Límites infinitos Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin límite a medida que la variable independiente se acerca a un valor fijo determinado. Crecimiento infinito:

Decrecimiento infinito:


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Teorema de lìmite 17:


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Una asíntota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente. Trazar las asíntotas, tanto verticales como horizontales (más adelante nos ocuparemos de estas últimas), es de gran ayuda para dibujar la gráfica de una función. Asíntota vertical: Una asíntota vertical es una recta paralela al eje y. Se dice que la recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de la función f si por lo menos uno de los siguientes enunciados es verdadero:

Continuidad de una función

Criterios de continuidad de una función en un número Se dice que una función f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o


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esencial .

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)). Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito. Teoremas de continui dad

1.- Sea el limite: solución:

2.-Sea el limite


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solución: La solución no es tan inmediata como en el caso anterior, es necesario realizar algunas operaciones antes de aplicar el limite, ya que este limite nos conduce a la indeterminación del tipo cero sobre cero. Para su solución existen dos métodos:

3. Sea el limite:

Solución: Como el limite queda indeterminado debido a la división:

entonces es necesario dividir entre la variable a la mayor potencia tanto en el numerador como en el denominador en este caso entre x7 :


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4.- Solucionar el siguiente limite:

Solución:

Dividiendo entre x3 por ser variable de mayor potencia tendríamos:

5.- Encontrar el

Solución:


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6.- Encontrar la solución de la siguiente expresión:

solución:

Multiplicando por

x 2 + 2 x + 3 + x 2 − 2 x + 3 2 2 x + 2 x + 3 + x − 2 x + 3

tenemos:

(

lim x x →∞

2

x 2

lim x →∞

x

2

 x + 2 x + 3 + x + 2 x + 3 − x − 2 x + 3 )  x + 2 x + 3 + x + 2 x + 3 − x + 2 x − 3 = lim + 2 x + 3 + x − 2 x + 3 →∞  2 3 x 1 + +  x x 2

2

2

2

2

2

2

x

2

2

4 x

lim x →∞

x

 1 + 2 + 3  + x  1 − 2 + 3       x x   x x  2


2

= lim →∞ x

− 2 x + 3   = − 2 x + 3   4 x

 +  

 

x 2 1 −

2 x

+

3 x 2

  

=

4

4

 1 + 2 + 3  +  1 − 2 + 3       x x   x x  2

= =2 2

2

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7.- Encontrar la solución del siguiente limite

Solución: La solución, como podemos analizar, no es tan inmediata ya que nos conduce a la indetermin indeterminación ación de la forma cero entre cero. Al igual igual que el ejercicio 2 podemos podemos llegar al resultado mediante dos caminos diferentes:

Debido a que

se puede expresar como

por lo que:

8.- Resolver el siguiente limite:

Soluci Solución: ón: Como Como el limite limite es indetermi indeterminado nado de la forma forma infinito infinito sobre sobre infinit infinitoo primero primero 100 dividiremos entre x

con lo que:


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por lo tanto:

9.- Obtener el siguiente limite:

Solución: Directamente no se puede obtener el resultado por lo que es necesario desarrollar los productos

Aunque aun la solución no es tan inmediata inmediata si podemos plantear dos diferentes diferentes métodos métodos de solución:


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10.-

por lo tanto

¿COMO SE COMPORTAN LOS CAMBIOS? Se sabe que la ley que describe la caída libre de los cuerpos en la superficie terrestre está dada por la fórmula s(t) s (t) = 4.9t2, en donde s es la distancia recorrida y t el tiempo. Los cambios de distancia están dados por la diferencia s (t1 + Δs) — s(t,); después de algunos procedimientos algebraicos se llega a: Δs =9.8 ti Δ + 4.9Δt2. Vamos a analizar cómo se comportan los cambios de la distancia que recorre un cuerpo en caída libre, primero numéricamente y después geométricame geométricamente. nte. Elijamos Elijamos cambios del tiempo tiempo de 1 en 1, es decir, para Δt = 1. Obsérvese la tabla

. Analicemos la sucesión de cambios de distancias y comparemos entre si sus magnitudes Herramientas Herramien tas de Base de Datos

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Véase que las distancias que recorre el cuerpo a intervalos de un segundo también cambian. De 0 a 1 seg la distancia recorrida fue de 4.9 m; de 1 a 2 seg la distancia recorrida fue de 14.7 m; en el intervalo de 2 a 3 seg la distancia fue de 24.5 m. Esto indica que un cuerpo que cae libremente recorre distancias cada vez más grandes por cada segundo que transcurre, y esos cambios de distancias están dados precisamente por la fórmula: Δs = 9.8 ti, Δt + 4.9At2. Ya que las magnitudes de las distancias varían podemos preguntar ahora ¿cuánto cambian esos cambios? Esto se puede investigar en la Tabla siguiente.

Obsérvese que del primer cambio al segundo la distancia aumenta 9.8 m; es decir, de 4.9 cambia a 4.9 + 9.8 = 14.7; del segundo cambio al tercero aumenta también 9.8 m, pues de 14.7 cambió a 24.5; del tercero al cuarto cambio también varía lo mismo. Esto quiere decir que . los cambios dados cambian a su vez en una misma magnitud; los cambios de los cambios son pues una constante. Observa la gráfica de la Figura


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Para referirse a los cambios de distancia se ha utilizado la notación Δs, y para los cambios de estos cambios se utilizará la notación ΔΔs ; esta notación puede también ser escrita como Δ2s (que no quiere decir que Δ se multiplique por sí misma y a su vez esté multiplicada por s). También se puede interpretar la notación Δs como las diferencias, y la notación ΔΔs como las diferencias de las diferencias. Si se prosigue con el análisis de los cambios, ahora puede preguntarse nuevamente cómo se comportan los cambios de los cambios de los cambios de las distancias. Véase la Tabla

Al analizar los cambios de distancia que experimenta un cuerpo en caída libre se han encontrado algunas cuestiones que son importantes de destacar. Por ejemplo, las diferencias Δs se comportan de manera que parecen seguir la regla 9.8t, para t ≥ 1; en el caso de las diferencias de las diferencias la regla es evidente, pues es la constante 9.8, y las diferencias de éstas últimas son siempre 0. Tal parece que si se obtienen las diferencias reiteradamente, las obtenidas al último valdrán 0. Esto último es otro de los aspectos importantes de la variación. El análisis del comportamiento de los cambios es un tema muy importante para estudiar la variación, pues los movimientos están determinados por los cambios, y el comportamiento de los cambios (los cuales a su vez pueden variar también, o permanecer constantes) son el aspecto esencial de la variación. En resumen, los cambios se comportan de manera distinta dependiendo principalmente de la fórmula de la función que los describe. Una variable dependiente puede cambiar siempre lo mismo, no importando el cambio que experimente la variable independiente. Puede cambiar de manera que los cambios crezcan de acuerdo con cierta regla, como es el caso de la caída libre; los cambios pueden comportarse de manera decreciente, etc. Es también muy importante el comportamiento de los cambios de los cambios; el ejemplo estudiado en esta sección indica que si siguen calculando los cambios de los cambios reiteradamente, los penúltimos cambios serán una constante y los últimos siempre serán cero.

Los cambios infinitamente pequeños y la velocidad instantánea En la gran mayoría de los fenómenos físicos de otros fenómenos estudiados por otras disciplinas, los cambios son continuos o continuos por tramos. Esto quiere decir que cambian a cada instante, dada la ley de algún movimiento, sólo hemos podido calcular su rapidez y


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velocidad en determinados intervalos, y esto da una aproximación muy gruesa acerca del comportamiento preciso de los cambios. Este es un gran inconveniente cuando se trata de movimientos donde la velocidad cambia a cada instante, o incluso cuando se pretende saber la dirección de la trayectoria de un cuerpo cuando ésta también cambia a cada instante. Sí la velocidad de los cambios es constante, con sólo utilizar el concepto de velocidad media se puede predecir la velocidad en cualquier intervalo o en un instante cualquiera. Se ilustrará esto para el caso del desplazamiento de un cuerpo que se rige mediante la fórmula s(t) = 5t + 5. Se sabe que v está dada por:

También se sabe que As para el caso que nos ocupa es equivalente a 5Δs, por lo que v queda:

Como la velocidad media v depende de ti, entonces se expresa como v(t) = 5; nótese que v no es afectada por , es decir, no importa que tan grande o qué tan pequeño sea lo que cambie el tiempo. De todas maneras, la razón entre el cambio de distancia (Δs) y el cambio del tiempo (Δt) siempre será una constante. En el caso en que la velocidad varía a cada instante, como es el caso del cuerpo que se mueve de acuerdo con la fórmula s(t) = 20t-5t 2 El cálculo parece no ser tan sencillo. Por ejemplo ¿Cuál es la velocidad de este cuerpo exactamente en t = 1 segundo? Se intentará resolver lo anterior con la fórmula inicial para el cálculo de la velocidad o rapidez media:

de donde v queda como:

Se ha llegado así a una indeterminación. ¿Por qué? Porque se ha aplicado la fórmula de la velocidad media para un problema en el que se pide la velocidad en un instante. ¿Entonces es imposible calcular la velocidad exactamente en un instante? Como el cociente que da la velocidad media en t = 1 se indetermina, se investigará ahora que está pasando con las velocidades medias muy cerca de t = 1. ¿Habrá algún método que permita calcular la velocidad instantánea? Para sistematizar los procedimientos haremos que ti sea fijo; para el caso que nos ocupa t = 1, y el que cambiara es t de modo que los cambios de distancia dados por


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Δs = 20 Δt – 10 t i. Δ t — 5 Δt 2 , sean cada vez más pequeños respecto de t,.. Se aplicará un acercamiento por la derecha. (Tabla a). Obsérvese que a medida que los cambios son cada vez más pequeños las velocidades medias se van comportando de manera muy especial. Analícese esta sucesión de velocidades medias (Tabla b). La sucesión se aproxima de forma ascendente a 10. ¿Qué pasará con esta sucesión si hacemos que la magnitud del intervalo siga disminuyendo infinitamente? ¿Qué pasa si el cambio del tiempo es infinitamente pequeño, es decir que tf esté infinitamente cercano a 1? Para obtener más elementos se explorará qué pasa si Δt = 0.00000000001; utilizando una calculadora se obtiene que la velocidad media es v = 9.99999999995 Este número está mucho más cerca de 10!

Tabla (a )

Si de esta tabla solamente extraemos la sucesión de velocidades medias y se acomodan adecuadamente se observaría mejor la tendencia, véase la Tabla (b)

Tabla (b)


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Todo indica que la sucesión de velocidades medias se acerca cada vez más a 10, de manera que la diferencia entre este número y la última velocidad media que pudiésemos calcular, sería insignificante. Por lo tanto, puede plantearse una hipótesis básica: Si Δt es un cambio infinitamente pequeño, en este caso infinitamente cercano a t i = 1 entonces la velocidad del cuerpo en t =1 es exactamente igual 10 m / s

¿Sucederá lo mismo con acercamiento a t = 1 por la izquierda’? Véase la Tabla (c).

T abla(c)

También en este caso la sucesión de cocientes se acerca a 10, pero ahora lo hace de manera descendente. Este resultado refuerza nuestra hipótesis acerca de la velocidad instantánea. Analícense las dos sucesiones de velocidades medias en una misma tabla(d)


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Tabla(d) Las sucesiones de cocientes que representan a las velocidades medias, muy cerca de t= 1 se comportan de modo que las dos tienden a 10, tanto por la derecha como por la izquierda. ¿Si se siguiera reduciendo Δt hasta que fuera infinitamente pequeño la sucesión de valores de las velocidades excederá de 10? ‘ Si no loexceden entonces diremos que 10 es el límite o tope del cual no pasan ambas sucesiones. Para concluir la búsqueda de la velocidad instantánea introduciremos una notación para el límite. Para referirse al límite se utilizará la simbología lim y el término tiende se representará mediante una flecha (→), por lo tanto para denotar a la velocidad instantánea se utiliza la notación: En estas condiciones el cuerpo que se rige por la fórmula: s(t) 20t — 5 t2, tiene una velocidad de 10 m/seg exactamente en t = 1. Los procedimientos numéricos que permitieron obtener la sucesión de velocidades medias pueden quedar condensados en la siguiente expresión:

Se concluirá esta sección con una vista retrospectiva del método utilizado para calcular la velocidad instantánea: 1. El problema principal consiste en la imposibilidad de calcular la velocidad en un instante o en un punto por medios aritméticos conocidos. 2. La estrategia central del método consiste, ya que se desconoce la velocidad en un punto, en explorar qué ocurre con la sucesión de velocidades medias muy cerca del punto en cuestión, acercándose a éste tanto por la derecha como por la izquierda. 3. La sucesión de velocidades medias que resulta de los cocientes entre cantidades cada vez más pequeñas que se obtienen, a su vez, al reducir el intervalo de variación. 4. La velocidad instantánea se evalúa cuando el cambio de tiempo es infinitamente pequeño. La sucesión de cocientes de cambios cada vez más pequeños de distancia y tiempo tiende a un número. Este número es su límite. tal número es la velocidad instantánea buscada. Es necesario destacar que este método difiere de todos los que se utilizan en matemática elemental. La diferencia fundamental radica en que obliga necesariamente a la utilización de procesos que involucran al concepto de infinito. El uso de los procesos infinitos se manifiesta cuando se hacen que los cambios sean infinitamente pequeños (esto no quiere decir que sean cero) y cuando se analiza el comportamiento tendencial de la sucesión de velocidades medias. El análisis simultáneo del comportamiento tendencial de ambos procesos infinitos y su límite permite la obtención de la velocidad instantánea. En resumen, puede decirse decir que la velocidad instantánea está dada por las últimas razones de cantidades que se desvanecen, cantidades que a su vez son medidas de cambios infinitamente pequeños. Se ha expuesto un Herramientas de Base de Datos

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método numérico para calcular velocidades instantáneas utilizando procesos que involucran al infinito (cambios muy pequeños) e introduciendo la idea de límite. Este es uno de los conceptos más importantes del Cálculo Diferencial.

[Si h ≠ 0, entonces los dos puntos distintos (a, f (a)) y (a+h, f (a+h)) determinan, como en la figura , una recta cuya pendiente es

Como indica la figura siguiente , la 'tangente' en (a, f (a)) parece ser el límite, en algún sentido, de estas 'secantes', cuando h se aproxima a 0. Hasta aquí no hemos hablado nunca del 'límite' de rectas, pero podemos hablar del límite de sus pendientes: La pendiente de la tangente (a, f (a)) debería ser


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Figura 7.

No hace falta decir que las distintas partes de esta expresión carecen de todo significado cuando se consideran separadamente; las d no son números, no pueden simplificarse, y la expresión completa no es el cociente de otros dos números 'df ( x)' y 'dx'. Esta notación se debe a Leibniz (generalmente considerado como el codescubridor independiente del cálculo infinitesimal junto con Newton) y es llamada afectivamente notación de Leibniz. [La derivada de y = f ( x) con respecto a x se puede representar por uno cualquiera de los símbolos

El concepto de derivada está íntimamente ligado al de límite. Para comenzar debemos recordar cual es la ecuación de una recta en función de dos puntos conocidos (a,b) y (a',b') :


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El segundo término de la ecuación es lo que se llama pendiente de la recta , y nos da la inclinación o pendiente que tiene la recta respecto a la horizontal .

Si tenemos una función f(x) y los dos puntos pertenecen a ella entonces estaremos calculando la ecuación de la recta secante (corta a la función en dos puntos) :

Por lo tanto tendremos que :

Donde ahora la pendiente m de la recta viene dada por :

Si la distancia entre los dos puntos h se va haciendo cada vez más pequeña (h tiende a 0 ) obtendríamos una recta tangente (corta a la función en un solo punto)

La ecuación de la recta tangente vendrá dada por :


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Donde la pendiente es :

Pues bien a la pendiente de la recta tangente se le llama derivada de la función en ese punto :

¿Cómo se calcula la derivada de una función en un punto? Puesto que la derivada es un límite , lo que tenemos que hacer es calcularlo . Veamos un ejemplo sencillo : Sea la función f(x) = x2 vamos a calcular su derivada en el punto x0 = 3

Si sustituimos el punto x 0 = 1 obtendremos que : f '(1) = 2 · 1 = 2 Por lo tanto la pendiente de la recta tangente es positiva y tiene un valor de 2 . Que la pendiente sea positiva significa que en ese punto la función es creciente , es decir , al aumentar la x aumenta la y . ¿Para que se puede utilizar el concepto de derivada ? Si en el ejemplo anterior sustituimos el punto x0 = -1 obtendremos que f '(-1) = 2 · (-1) = -2 En este caso la pendiente es negativa por lo que la función en este punto es decreciente .


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Si analizamos en general el valor de la derivada de esta función en un punto cualquiera , vemos que si x0 es positivo , la derivada f '(x0) es positiva y por lo tanto la función es creciente y si el punto x0 es negativo la derivada f '(x0) es negativa y por lo tanto la función es decreciente . ¿Qué ocurre en el punto x0 =0? Pues que ni es creciente ni decreciente si no que tenemos un mínimo ya que la función pasa de ser decreciente a la izquierda a creciente por la derecha .

Conclusión : la derivada nos puede servir para estudiar las funciones .

MÉTODO DE LOS CUATRO PASOS Para calcular la derivada de y=f(x) en x=a, obteníamos el límite

puesto que ahora nos interesa obtener la expresión de la derivada para un punto cualquiera x, habrá que calcular

1.- Función incrementada: f(x+h) 2.- Incremento de la función (variación): f(x+h)-f(x) 3.- Cociente incremental (TVM): Herramientas de Base de Datos

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4.- Límite del cociente incremental: Sea la función f(x)=50x-5x2 (posición de la bola en función del tiempo x tratada anteriormente). Calculemos mediante la Regla de los cuatro pasos, la función derivada: 1.- Función incrementada: f(x+h) = 50(x+h)-5(x+h)2 = 50(x+h)-5(x2+2xh+h2) = 50x+50h-5x2-10xh-5h2 2.- Incremento de la función: f(x+h-f(x) = (50x+50h-5x2-10xh-5h2)-( 50x-5x2) = 50h-10xh-5h2 3.- Cociente incremental (TVM):

4.- Límite del cociente incremental:

f ' (x) = 50 - 10x En la práctica el cálculo de derivadas no se hace a partir del método de los cuatro pasos ya que sería en algunos casos muy laborioso, para tal efecto presentamos un formulario para facilitar la tarea de derivar.

En lo que sigue, u, v, w son funciones de x: a, b, c, n son constantes; e = 2.71828 .... es la base natural de los logaritmos; ln u es el logaritmo natural de u.


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Notaciones para diferenciación La notación más simple para diferenciación, en uso actual, es debida a Lagrange. Para identificar las derivadas de f ( x) en el punto a, se escribe: f' (a) para la primera derivada, f' '(a) para la segunda derivada, f' ''(a) para la tercera derivada, f (n)(a) para la enésima derivada (n > 3).

Para la función derivada de f ( x), se escribe f '( x). De modo parecido, para la segunda derivada de f se escribe f ''( x), y así sucesivamente.


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La otra notación común para la diferenciación es debida a Leibniz. Para la función derivada de f ( x), se escribe:

Con esta notación, se puede escribir la derivada de f en el punto a de dos modos diferentes:

Si y = f ( x), se puede escribir la derivada como

Las derivadas sucesivas se expresan como

o para la enésima derivada de f ( x) o de y respectivamente. Históricamente, esto viene del hecho que, por ejemplo, la tercera derivada es

la cual se puede escribir como

La notación de Leibniz es muy útil, por cuanto permite especificar la variable de diferenciación (en el denominador); lo cual es pertinente en caso de diferenciación parcial. También facilita recordar la regla de la cadena, porque los términos "d" parecen cancelarse simbólicamente:


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Crecimiento y Decrecimiento. Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente creciente o decreciente decreciente en dicho punto: Una función f(x) es creciente en un punto a, si su derivada es positiva  Una función f(x) es decreciente en un punto a, si su derivada es negativa. Es decir, 

Si f ′( a ) > 0 ⇒ f es creciente en x = a Si f ′( a ) < 0 ⇒ f es decreciente en x = a f(a+h) t crecient

f ′( a ) = lím h →0

f(a)

a

Como

f ( a

+ h ) − f ( a ) > 0

f(a)

f ( a + h) − f (a ) h

>0

a+h a+h ⇒ f (a

,es decir, la función es creciente en x = a

+ h) > f (a )

decrecien

f ′( a ) = lím

f(a+h)

h →0

a

f ( a + h) − f (a ) h

<0

a+h

En este caso f (a + h ) − f ( a ) < 0 ⇒ f (a + h) < f (a) , es decir, la función es decreciente en x =a Estudiar la monotonía de una función es hallar los intervalos en los que es creciente y decreciente. Se procede de la siguiente forma: Herramientas Herramien tas de Base de Datos

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Se halla la derivada, se iguala a cero y se resuelve la ecuación resultante Con los puntos en los que se anula la derivada dividimos el dominio en intervalos. Se estudia el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada uno de los intervalos resultantes.

Ejemplo 1. Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función

f ( x ) = x 3

− 6 x 2 + 9 x + 2

Hallamos la derivada: f ′( x) = 3 x 2 − 12 x + 9 La igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante: 3 x 2 − 12 x + 9 = 0 ⇒ x 2 − 4 x + 3 = 0

x

=

4 ± 16 − 12 4 ± 2

=

2

2

3 = 1

Dividimos el dominio R por los puntos 3 y 1 y obtenemos los intervalos ( ,1) , (1,3) y (3,+∞) Estudiamos el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada intervalo: Para x = 0, f ′(0) = 9 , es decir, positiva Para x = 2, f ′( 2 ) = −3 , es decir, negativa Para x = 4, f ′( 4) = 9 , positiva La monotonía de la función queda reflejada en la siguiente tabla: Intervalos (- ∞, 1) (1, 3) (3, +∞) Signo de la derivada + + Función    − ∞

Máximos y mínimos. Son los puntos en que la función cambia de monotonía. Si una función derivable presenta un máximo o un mínimo en un punto entonces f ′(c ) = 0 


c ∈( a , b) ,

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En el punto de abscisa x = c la función pasa de creciente a decreciente Geométricamente significa que la tangente en el punto x = c es horizontal  Si f ′( c ) = 0 y existe la segunda derivada, se verifica: Si f ′′(c ) > 0 , hay un mínimo relativo en el punto c Si f ′′(c ) < 0 , hay un máximo en dicho punto. Demostración: Lo hacemos para el caso de mínimo: Si f ′′(c ) > 0 la función y = f ′( x ) es creciente en c luego f ′(c − h) < f ′(c) < f ′(c + h) Y como f ′(c ) = 0 , f ′(c − h) < 0 < f ′(c + h) , es decir, la derivada es negativa a la izquierda de c (función decreciente) y positiva a la derecha (función creciente), por tanto, existe mínimo relativo en c. Para la determinación de máximos y mínimos podemos utilizar los siguientes criterios: Criterio de la primera derivada: • • •

Se determinan los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Existe máximo relativo en los puntos en que la función pasa de creciente a decreciente. Existe mínimo relativo en los puntos en que pasa de decreciente a creciente.

Criterio de la segunda derivada: • Calculamos la primera derivada, la igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante. • Hallamos la segunda derivada. • Las raíces de la ecuación obtenida se sustituyen en la segunda derivada. • Si el resultado obtenido es positivo existe mínimo y si es negativo máximo. Ejemplo 2. Halla los máximos y mínimos de la función f ( x) = 3 x − x 3 Hallamos la primera derivada y resolvemos la ecuación f ′( x ) = 0 : f ′( x ) = 3 − 3 x 2 = 0 ⇒ x 2 = 1 ⇒ x = ±1 2ª derivada: f ′′( x) = −6 x Valores de la segunda derivada en los puntos obtenidos: f ′′( −1) = −6 ( −1) = 6 > 0 ⇒ ∃ mínimo para x = - 1 Herramientas Herramien tas de Base de Datos

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f ′′(1) = −6.1 = −6 < 0 ⇒ ∃ máximo para x = 1

Máximo(1, 2)

Mínimo(-1,-2)

Concavidad y convexidad. Los conceptos con convexidad y concavidad son relativos. Adoptaremos el siguiente criterio: La función es convexa en un intervalo si la gráfica de la función queda encima de la recta tangente en un punto cualquiera del intervalo. La función es cóncava cuando la gráfica queda por debajo.

cóncav a

CONVEXA

Puntos de inflexión son aquellos en los que la función cambia de convexa a cóncava o de cóncava a convexa. Una función derivable es convexa en un intervalo (a, b), si f ′′( x) > 0,  Una función derivable es cóncava en un intervalo (a, b), si f ′′( x ) < 0, 

∀x ∈( a, b) ∀x ∈( a, b)

Estudiar la curvatura de una función consiste en hallar los intervalos en los que es cóncava y convexa. Se procede de la siguiente forma: • Se halla la segunda derivada, se iguala a cero y se resuelve la ecuación resultante. • Con los puntos en los que se anula la derivada dividimos el dominio en intervalos.


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Se estudia el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada uno de los intervalos resultantes.

Ejemplo 2. Halla los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de la función f ( x ) = x 4 − 6 x 2 + 4 Primera derivada: f ′( x) = 4 x 3 − 12 x Segunda derivada: f ′′( x) =12 x 2 −12 12 x 2 − 12 = 0 ⇒ x 2 − 1 = 0 ⇒ x = ±1 Dividiendo el dominio R por los puntos –1 y 1 se obtienen los siguientes intervalos: ( −∞,−1),

( −1,1)

y

(1,+∞)

Estudiamos el signo de la segunda derivada en un punto cualquiera de cada intervalo: Para x = -2 f ′′( −2) =12.( −2) 2 −12 = 36 > 0 , función convexa. Para x = 0, f ′′(0) = −12 < 0 , función cóncava Para x = 2, f ′ (2) = 36 > 0 , función convexa La curvatura queda reflejada en la siguiente tabla: Intervalos (- ∞, -1) (-1, 1) Signo de la 2ª derivada + Función ∪ ∩ Existen puntos de inflexión para x = -1 y para x = 1

(1, +∞) + ∪

Resolución de problemas de optimización. Son problemas en los que se trata de optimizar una función. Por ejemplo, en una producción obtener los mayores beneficios con los mínimos gastos. Con los datos del problema hay que construir una función que se ha de maximizar o minimizar dentro de las condiciones exigidas. Ejemplo 3. De una lámina cuadrada de lado 10 cm. se cortan cuadrados en cada uno de los vértices con el objeto de hacer una caja abierta por arriba. Calcula el lado del cuadrado que se debe cortar para que el volumen de la caja sea máximo.


102

SEP

SEMS

Volumen de la caja =

DGETI

(10 − 2 x )(10 − 2 x ) x

10

V = (100 − 40 x + 4 x 2 ) x

V = 4 x 3 − 40 x 2 + 100 x (Función a maximizar) V ′ = 12 x 2 − 80 x + 100 ; V ′′ = 24 x − 80

12 x 2

− 80 x + 100 = 0 ⇒

3 x 2

− 20 x + 25 = 0 ; x

=

20 ± 100 20 ± 10

=

6 V ′ (5) = 24.5 − 80 = 40 > 0

6

 5 = 5  3

(mínimo, no se forma caja)

V ′′( 5 ) = 24. 5 − 80 = − 40 (máximo). La solución es x = 5 3 3 3

Ejemplo 4 Un pastor dispone de 1000 metros de tela metálica para construir un cerco rectangular aprovechando una pared ya existente. Halla las dimensiones del cerco a fin de el área encerrada sea máxima.

y

X X Perímetro = x + 2y = 1000 ⇒ x = 1000 – 2y Área = x . y, es decir, A = y (1000 − 2 y ) A =1000 y − 2 y 2 (Función a maximizar ) A ′ = 1000 − 4 y ; A′′ = −4 1000 − 4 y = 0 ⇒ y = 250 Como la segunda derivada es negativa se trata de un máximo. x

=1000 − 2 y =1000 − 2.250 = 5000

Las dimensiones serán: 500 metros de largo y 250 de ancho. Herramientas de Base de Datos

103

SEP

SEMS

DGETI

Ejercicios resueltos. 1.- Estudia el crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones en los puntos que se indican: a) f ( x) =

2 x

en x = - 1;

b)

f ( x) =

5 x − 4 2 x + 1

en x = 1

Solución: 2

a) f ( x ) =

x

f ′( −1) =

b) f ( x) = f ′( x ) =

= 2x −2

( −1)

2

−1

=

f ′( x ) = −2 x −2

; −2

1

= −2 < 0 ⇒

=

−2 x 2

La función es decreciente en x = -1

5 x − 4 2 x + 1 5( 2 x + 1) − 2(5 x

f ′(1) =

( 2 x 13 ( 2.1 + 1)

2

+ 1) 2

− 4) = 10 x + 5 − 10 x + 8 = 13 ( 2 x + 1) 2 ( 2 x + 1) 2

= 13 > 0 9

⇒

La función es creciente en x = 1

Obsérvese que en la derivada obtenida el numerador es positivo y el denominador es siempre positivo por estar elevado al cuadrado por lo que la función es creciente no solo en x = 1 sino en todos los puntos de su dominio.

2.- Estudia la monotonía de la función

y

= xe

x

Solución: y

= xe

x

y ′ = 1.e x + e x . x = e x (1 + x )

x

e (1 + x) = 0 ⇒

 e x = 0  ó  1 + x = 0 

es siempre mayor que cero, luego la única solución posible se obtiene de la ecuación 1 + x = 0 ⇒ x = -1 e

x

El dominio de la función dada es R por tratarse del producto de una exponencial (de dominio R) y una polinómica (de dominio también R). Herramientas de Base de Datos

104

SEP

SEMS

DGETI

Dividiendo el dominio por el punto – 1 se obtienen dos intervalos (−∞,−1) y Estudiamos el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada intervalo: 1 1 Para x = -2, y ′( −2) = e −2 (1 − 2) = 2 .( −1) = − 2 < 0 (negativa) e

( −1,+∞)

e

Para x = 0, y ′(0) = e (1 + 0) =1 > 0 (positiva) Se obtienen así los siguientes intervalos de crecimiento y decrecimiento: 0

Intervalos Signo de la derivada Función

(-∞, -1) -

(-1, +∞) +





3.- Halla los valores de a y b en la función f ( x ) = x 2 + ax + b sabiendo que pasa por el punto P(-2, 1) y tiene un extremo relativo en el punto de abscisa x = -3 Solución: Si pasa por el punto (-2, 1), para x = -2 la función vale 1, es decir, ( −2) 2 + a ( −2) − b = 1 ⇒

− a − b = −3

Como tiene un extremo para x = -3 su derivada se anula en dicho punto, es decir, f ′( x) = 2 x + a ⇒ 2(−3) + a = 0 ⇒ a = 6 Y sustituyendo en la ecuación –a –b = -3 se obtiene el valor de b − 6 − b = −3 ⇒ b = -3 4.- Halla a, b y c en la función f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d sabiendo que el punto P(0,4) es un máximo y el punto Q(2,0) un mínimo. Solución: La función pasa por (0,4), por tanto, La función pasa por (2,0), por tanto, Luego 8a + 4b + 2c + d = 0

a.0 3 + b.0 2 + c.0 + d = 4 ⇒ a.2 3 + b.2 2 + c.2 + d = 0

d=4

Por otra parte, el punto P(0, 4) es un máximo lo que indica que su derivada se anula para x = 0, es decir, f ′( x) = 3ax 2 + 2bx + c ; f ′(0 ) = 3a.0 2 + 2b.0 + c = 0 ⇒ c = 0 Como el punto Q(2,0) es un mínimo, su derivada se anula para x = 2: 3a.2 2

+ 2b.2 + c = 0

⇒ 12a

+ 4b + c = 0

Formando un sistema con las 4 ecuaciones obtenidas resulta:


105

SEP

SEMS

 d = 4  8a + 4b + 2c + d = 0   c = 0 12a + 4b + c = 0

 − 2a − b = 1   3a + b = 0

⇒

⇒

 8a + 4b = − 4   12a + 4b = 0

DGETI

⇒

 2a + b = − 1   3a + b = 0

a = 1; b = -3

5.- Entre todos los rectángulos de perímetro 12 cm. ¿cuál es el que tiene la diagonal menor?. Solución: d

y

x

Perímetro:

2 x + 2 y = 12 ⇒ x + y = 6 ⇒ y

= 6 − x

(condición que se ha de cumplir)

Función a minimizar: x 2 + y 2 = d 2 ⇒ d = x 2 + y 2 = x 2 + (6 − x ) 2 Es decir, d ( x) = 2 x 2 −12 x + 36 que es la función a estudiar. 4 x − 12 2 x − 6 = d ′( x ) = 2 2 x 2 − 12 x + 36 2 x 2 − 6 x + 18 Igualando d ′( x) a cero y resolviendo la ecuación resultante se obtiene x = 3 Segunda derivada:

2 2 x 2

− 6 x + 18 −

d ′ ( x) =

4 x − 6

2 2 x 2 − 6 x + 18 2 x 2 − 6 x + 18

.( 2 x − 6)

Valor de la segunda derivada para x = 3: d ′′(3) =

− 18 + 18 − 0 2 2.3 2 = = 2.3 2 − 18 + 18 2. 3 2

2 2.3 2

2 3

> 0 (mínimo, se trata de un cuadrado)

6.- Una hoja de papel debe contener 18 cm2 de texto impreso. Los márgenes superior e inferior deben tener 2 cm. cada uno, y los laterales 1 cm. Halla las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo. Herramientas de Base de Datos

106

SEP

SEMS

DGETI

Solución:

y

x

Condición que se tiene que dar: 18 cm2 de texto impreso, es decir, ( x − 4)( y − 2) =18 18 10 + 2 x y − 2 = ⇒ y = x − 4 x − 4 10 + 2 x 10 x + 2 x 2 Función a minimizar: Superficie = x. y = x. , es decir, = x − 4 x − 4 2 x 2 − 16 x − 40 10 x + 2 x 2 S = . Derivando, S ′ = . Si hacemos S ′ = 0 entonces ( x − 4) 2 x − 4

2 x 2

− 16 x − 40 = 0 ⇒

x 2

− 8 x − 20 = 0 ⇒ x

=

8 ± 144 8 ± 12  10

=

2

2

= − 2

La solución negativa no tiene sentido. 24 .36 − 0 ( 4 x − 16 )( x − 4 ) 2 − 2( x − 4)( 2 x 2 − 16 x − 40 ) ′ ′ S ( 10 ) = >0 S ′′ = ; 64 ( x − 4) 4 Para x = 10, la 2ª derivada es positiva, luego es un mínimo. 7.- Halla las dimensiones del rectángulo de área máxima inscrito en una circunferencia de 10 cm. de radio. Solución:


107

SEP

SEMS

DGETI

Condición que se tiene que dar: x 2 + y 2 = 400 ⇒ y = 400 − x Función a maximizar: Área = x. y x 400 x ; A = x 400 − x 2 2 x x 2 400 − 2 x 2 − 2 2 A ′ = 1. 400 − x + . x = 400 − x − = 2 400 − x 2 400 − x 2 400 − x 2 2

=

Si hacemos A′ = 0 ,

400 − 2 x 2

=0

−

⇒ x

2

2

= 200

⇒ x

= ±10

2

Es claro que la solución es x =10 2 ya que la negativa no tiene sentido. Comprobaremos que es máximo calculando la segunda derivada:

− 4 x

400 − x 2

A′ =

Para x =10 Si

x =10

2

2,

− 2 x 2 2 400 − x 400 − x 2

−

, A′′(10 y

=

2) =

( 400 − 2 x 2 )

− 4.10

400 − (10 2 ) 2

2 400 − 200 − 0 200 10 2

=

=−

2 200 5

<0

(máximo)

. Se trata de un cuadrado.

8.- En una carretera a través del desierto un automóvil debe ir desde la ciudad A hasta el oasis P situado a 500 Km. De distancia de A. Puede aprovecha para ello una carretera recta que une las ciudades A y B y que le permite ir a una velocidad de 100 Km/h, mientras que por el desierto la velocidad es de 60 Km/h. Sabiendo que la distancia más corta de P a la carretera que une las ciudades A y B es de 300 Km., determina la ruta que deberá usar para ir de A a P en el menor tiempo posible. Solución:


108

SEP

SEMS

DGETI

La ruta a seguir es AMP. Aplicando Pitágoras en el triángulo ACP se obtiene: 500 2 − 300 2 = 400

AC =

En el triángulo MCP se obtiene que MP = x 2 + 300 2 Y el tiempo que tarda el automóvil en recorrer la distancia AM + MP es: 2 2 4 − x x + 300 . + t = 100

60

−1 1 Derivando, t ′ = 100 + 60 Si hacemos t ′ = 0 , Es decir, 10 x = 6 64 x 2

= 36 .300 2

2 x 2 x 2

−1 +

100

2

=

−1 100

x 60 x 2

x 2 + 300 2 ⇒ x

+ 300 2

=

+ 300 2

⇒ 100 x 2

36 .300 64

=0

+

x 60 x 2

⇒

+ 300 2 x

60 x 2

+ 300 2

= 36 x 2 + 36.300 2

=

1 100

⇒

2

⇒ x = ±225

La solución negativa no tiene sentido. AM = 400 − 225 = 175 El automóvil deja la carretera a 175 Km. de la ciudad A. Podemos comprobar que es mínimo hallando la segunda derivada: 1.60 x

2

2 x 2 2 2 60 ( x + 300 )

t ′ = t ′′ =

+ 300 − 60.

2 x

2

2

+ 300 2 =

+ 300 2 ) − 60 x 2 2 x + 300 2 2 2 60 ( x + 300 )

60( x 2

⇒

+ 300 2 ) − 60 x . Para x = 225, t ′′( 225 ) > 0 (mínimo) 2 2 2 + 300 ) x + 300

60( x 2 60 2 ( x 2

9.- Un depósito abierto de latón con base cuadrada y capacidad para 4.000 litros, ¿qué dimensiones debe tener para que su fabricación sea lo más económica posible? Solución:


109

SEP

SEMS

DGETI

La función que tenemos que minimizar es el área del depósito: A = x 2 Con la condición de que el volumen V = x 2 y sea de 4000 litros. x 2 y

= 4000

⇒ y

A = x 2

A = x

2

+

+ 1600 x

Si hacemos

=

4000 x

16000

x

−1

2

, por tanto, A = x 2 + 4 x.

+ 4 xy

4000 x 2

(función a minimizar)

16000 2 x 3 − 16000 −2 ′ ; A = 2 x − 1.16000 x = 2 x − 2 = 2

x x A′ = 0 , 2 x 3 − 16000 = 0 ⇒ x 3 = 8000 ⇒ x = 20

6 x Segundo derivada: A′ =

Para x = 20, A′′( 20) = 4000 20 2

Si x = 20, y =

2

. x 2

− 2 x(2 x 3 − 16000)

x 3 2.20 + 32000 20 3

4

>0

⇒

=

2 x 3

+ 32000 x

3

para x = 20 la superficie es mínima.

= 10

luego la caja debe tener 20 dm. de lado y 10 dm. de altura. Se desea construir una lata de conserva en forma de cilindro circular recto de área total 150 cm2 y volumen máximo. Determina su generatriz y su radio. Solución: El área total de un cilindro es: Área = 2 × radio × generatriz + el área de las dos bases π

es decir, A = 2

. x. y

π

+ 2π . x


2

=150

(π × radio 2

+ π × radio 2 )

(Condición que se tiene que cumplir)

110

SEP

SEMS

Y de aquí,

. x. y

π

+ π . x

2

= 75

DGETI

75 − π x 2 ⇒ y = π x

El volumen del cilindro es igual al área de la base por la altura, por tanto, x 2 2 2 75 − π V = π x y = π x = 75 x − π . x 3 (función a maximizar) x

π

Derivando, V ′ = 75 − 3π . x 2 Si hacemos V ′ = 0 ,

75 − 3π .x 2

=0

⇒ x

Segunda derivada: V ′′ = −6π . x  5  5 − 30π . π = −30  V ′′ 6 π . = − = π π  π   5 Para x = el volumen es máximo.

2

π

=

5 75 25 = ⇒ x = ± π 3π π

<0

π

y =

75 − π .

π

25 π

5 π

=

50 5π

=

50

π

5π

=

10

π

π

π

SÍNTESIS

(¿Qué significa? Demostrar en equipo el logro del objetivo particular a través del cumplimiento de los resultados de aprendizaje, con ejercicios, prácticas o problemas que los familiarizará con la ELABORACIÓN DE LAS EVIDENCIAS. En este proceso es necesario incluir aspectos de reflexión para guiar la realimentación. Es necesario que se destine un tiempo al final de cada objetivo particular y principalmente al término de cada capítulo para llegar a conclusiones o a la presentación de resultados o a la evaluación del proceso, en donde se precise y aclare aspectos en los que haya existido duda para que el alumno valore lo que aprendió y las dificultades que tiene, es aquí donde el maestro da formalmente la realimentación además de estar apoyando y aclarando dudas durante todo el proceso.) Establezca actividades de equipo donde discutan, resuelvan, practiquen, comenten, analicen, elaboren, recorten, integren, formen, construyan, etc. Recuerde que con una actividad no se Herramientas de Base de Datos

111

SEP

SEMS

DGETI

logra alcanzar el objetivo, se trata que las actividades sean variadas porque hay diferentes estilos de aprender. Además para lograr que trabajen en equipo es necesario definir las funciones de cada integrante. Es muy importante la planeación de las actividades que realizarán los alumnos porque eso permitirá que el maestro más que dictar la cátedra, observe cómo participan los alumnos en equipo y supervise y asesore el proceso. Aplica tus conocimientos para resolver los siguientes problemas

Resuelve los siguientes casos

Analízalos con tus compañeros


112

SEP

SEMS

DGETI

Diferenciales 1. La altura de un cono circular recto es el doble del radio de la base. Al medirla se encontró que la altura es de 1 m. con un error de 0.005 m. Encontrar el error aproximado en el volumen del cono. 2. Si al medir la arista de un cubo se comete un posible error de 0.01 cm. Encontrar el error aproximado en el volumen y en la superficie total del cubo si la arista medida es de 5 m. 3. Encontrar el volumen aproximado de una concha esférica cuyo radio interior es de 50 cm. y cuyo espesor sea 1/10 cm. 4. Usando diferenciales, calcule el valor aproximado de las siguientes cantidades: a. b.

; ;

c.

;

d.

5. Si

6. Hallar

,

Hallar

en

y

si

7. En los ejercicios siguientes hallar: a.

y

y

;


113

SEP

SEMS

b.

;

c.

;

DGETI

8. Dibujar una figura semejante a la de la fig. 9.40 (b) tal que la gráfica sea cóncava hacia abajo. Indicar los segmentos de recta cuyas longitudes sean:


114

SEP

SEMS

DGETI

Trazar las gráficas de cada una de las siguientes funciones, indicando: Dominio, interceptos, asíntotas, crecimiento, decrecimiento, máx.-mín., intervalos de concavidad, posibles puntos de inflexión.

a.

b.

c.

d.

e.

f.

17. Dibuje la gráfica de una posible función f que satisfaga las siguientes condiciones: a. f es continua en todo el eje real. b.

,

c.

para

d.

para

18. Dibuje la gráfica de una posible función g que cumple las siguientes propiedades: a. g es continua en todo el eje real. b.

,

c.

para

d.

para

; para

para x > 3

.


115

SEP

SEMS

DGETI

Máximos y Mínimos. Variables Relacionadas. 1. Se dispone de una cartulina cuadrada de 50 cm. de lado y se quiere hacer una caja sin tapa recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando los lados. ¿Cuál debe ser la longitud del lado del cuadrado que se recorta para que el volumen de la caja sea máximo?. 2. Tres cuadrados grandes de metal, cada uno de 100 cm. de lado, tienen recortados de sus esquinas cuatro pequeños cuadrados. Los doce pequeños cuadrados resultantes deben ser del mismo tamaño. Las tres piezas grandes en forma de cruz se doblan y se soldan para formar cajas sin tapa, y los doce cuadrados pequeños se usan para formar dos cubos pequeños. ¿De qué lado deben cortarse los cuadrados pequeños para maximizar el volumen total de las 5 cajas?. 3. Un alambre de 100 cm. de longitud se corta en dos partes. Una parte se dobla para formar un círculo y la otra para un triángulo equilátero. ¿Dónde debe hacerse el corte para maximizar la suma de las áreas del triángulo y del círculo? ¿Dónde debe hacerse el corte para minimizar la suma de las áreas?. 4. Un faro se encuentra en un punto A situado a una distancia de 4 Km. del punto B mas cercano de la línea de la costa que es recta. En la costa y a 4 Km. de B se halla una tienda. Si el guardafaros puede remar a 4 Km/h y caminar a 5 Km/h, ¿qué camino debe seguir para ir del faro a la tienda en el menor tiempo posible?. 5. Determine las dimensiones del cilindro circular recto de 300 cm3 de volumen y que demande la menor cantidad posible de material. 6. Determine las dimensiones del cilindro circular recto de volumen máximo que se puede inscribir en una esfera de radio a. 7. Determine las dimensiones del cono circular recto de volumen máximo que se puede inscribir en una esfera de radio a. 8. Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede inscribir en la elipse de ecuación:

9. Un excursionista se encuentra en un bosque a 2 Km. de una larga carretera recta. Desea caminar a su cabaña que se encuentra a 10 Km. de distancia por el bosque y también a 2 Km. de la carretera. (Ver figura). Puede caminar a 8 Km/h por la carretera y a 3 Km/h por el


116

SEP

SEMS

DGETI

bosque. Así, decide caminar primero por el bosque hacia la carretera, luego por la carretera y finalmente por bosque hacia la cabaña. a. ¿Qué ángulo minimizaría el tiempo total necesario para que el excursionista llegue a su cabaña?. b. ¿Cuánto tiempo se ahorra en comparación con la ruta directa por el bosque? 10. Un granjero quiere cercar un terreno rectangular con una área de 2.400 pies2. También quiere utilizar algo de cerca para construir una división interna paralela a dos de las secciones del borde. ¿Cuál es la longitud mínima total de cerca que se requiere para dicho propósito? Verifique que su respuesta es el mínimo absoluto. 11. Otro granjero desea cercar un terreno rectangular con un área de 1.800 pies2. También desea utilizar algo de cerca para construir dos cercas internas de división, ambas paralelas a las mismas secciones exteriores del borde. ¿Cuál es la longitud mínima total de cerca que requiere para este proyecto? Verifique que su respuesta es el mínimo absoluto. 12. Un tercer grajero desea cercar un terreno rectangular de A pies2 de área. También desea usar una cerca adicional para construir n (entero fijo positivo) cercas internas de división, todas ellas paralelas a las mismas secciones exteriores del borde. ¿Cuál es la longitud mínima total de cerca que se requiere para dicho propósito? Verifique que su respuesta es el mínimo absoluto. 13. Se necesita construir un recipiente cilíndrico, sin tapa, con un volumen de 1 pie3. La parte cilíndrica del recipiente se fabrica con aluminio y el fondo en cobre. El cobre es cinco veces mas caro que el aluminio. ¿Qué dimensiones minimizan el costo total del recipiente?. 14. Una escalera de 2 m. de longitud se apoya sobre una pared vertical. Si el pie de la escalera esta resbalando a razón de 0.3 m/seg. ¿A qué velocidad está resbalando el extremo que se apoya en la pared en el instante en el cual la distancia de la escalera a la pared es de 1.5 m.? 15. La base de un rectángulo aumenta a razón de 4 cm/seg., mientras que su altura decrece a razón de 3 cm/seg. a. ¿Con qué razón cambia su área cuando la base mide 20 cm? ¿y la altura 12 cm.? b. ¿Con qué razón cambia su diagonal en ese mismo instante? 16. Un abrevadero que esta lleno de agua tiene 2 m. de largo y sus extremos tienen la forma de triángulos equiláteros invertidos de 60 cm. de lado Si el agua se escapa por un orificio del fondo del abrevadero a razón de 24 cm3/seg., ¿con qué velocidad esta bajando el nivel del agua en el momento en que dicho nivel tiene una altura de 12 cm.? 17. Un tanque tiene la forma de un cono circular recto invertido de 3 pies de radio y 5 pies de altura. El tanque está lleno de agua, pero en el instante t = 0 (seg.) se abre un pequeño orificio


117

SEP

SEMS

DGETI

en el vértice y el agua comienza a salir. Cuando la altura del agua en el tanque ha descendido 3 pies, el agua fluye a 2 pies3/seg. a. ¿Con qué velocidad decrece el nivel del agua en ese momento?. b. ¿Con qué velocidad decrece el radio de la base en ese momento?. 18. Un automóvil que avanza por una carretera a razón de 1000 m/min. se acerca a un cruce con otra carretera. Cuando el automóvil está a 100 m. del cruce, pasa por este un camión que va a 600 m/min. Si las dos carreteras se cruzan en ángulo recto, ¿con qué velocidad se están separando el auto y el camión, medio minuto después de que el camión pasó por el cruce? 19. Una persona camina hacia el norte a razón de 4 pies/seg. desde un punto P . 5 minutos mas tarde, una mujer comienza a caminar hacia el sur a 5 pies/seg. desde un punto a 500 pies al este de P . ¿Con qué razón se separan el hombre y la mujer 15 minutos después de que la mujer comienza a caminar?. 20. El ángulo en el vértice opuesto a la base de un triángulo isósceles, cuyos lados iguales miden 100 cm., aumenta a razón de 0.1 Rad/min. ¿Con qué rapidez aumenta el área del triángulo cuando el ángulo del vértice mide  /6 rad. ? (Ayuda:

).

21. Una escalera de 18 pies de longitud descansa sobre una pared vertical de 12 pies de altura, de tal manera que su extremo superior rebasa la pared. El extremo inferior de la escalera se jala sobre el piso alejándolo de la pared a razón de 2 pies/seg. a. Encuentre la velocidad vertical del extremo superior cuando la escalera hace un ángulo de 600 con el piso. b. Encuentre la aceleración vertical en el mismo instante.

22.- Estudia la monotonía de la función f ( x ) = ( x −1)e x 23.- Estudia la monotonía de la función mínimos relativos. 24.- Dada la función f ( x ) = extremos relativos.

x 2 x − 1

f ( x ) = e x ( x 2

, halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los

25.- Halla los máximos y mínimos de la función Herramientas de Base de Datos

− 3 x + 3) y determina los máximos y

y =

x Lx

118

SEP

SEMS

26.- Estudia la curvatura de la función f ( x) = x 4

DGETI

− 2x

2

27.- Halla la ecuación de la tangente a la gráfica de inflexión.

y determina los puntos de inflexión. f ( x ) = 2 x 3

− 6 x 2 + 4 en su punto de

28.- Halla los valores de b y c para que la curva y = x 3 + bx 2 + cx + 1 tenga en el punto (0, 1) una inflexión y la pendiente de la recta tangente en dicho punto valga 1.

29.- Con un alambre de 4 metros se quiere construir el borde de un rectángulo de área máxima. ¿Qué dimensiones hay que dar al rectángulo? 30.- Se desea construir un marco rectangular para una ventana de 6 m2 de superficie. El metro lineal de tramo horizontal cuesta 20 € y el tramo vertical es a 30 € el metro. Calcula las dimensiones de la ventana para que el coste de marco sea mínimo. 31.- Considérese un prisma recto de base rectangular, con dos de los lados de ese rectángulo de longitud doble que los otros dos, tal como se indica en la figura. Halla las dimensiones que ha de tener este prisma prisma para que el área área total sea de 12 metros metros cuadrados y que con estas condiciones tenga volumen máximo.


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Intégrate en equipo, nombren moderador y secretario y resuelvan con la participación de todos las siguientes preguntas CUESTIONARIO1 Instrucciones: Lee detenidamente cada una de las siguientes preguntas y elabora la respuesta a través de dibujos o esquemas y escribe el concepto con sus palabras. Pregunta

Respuestas

Presenta tus resultados y expón las dudas que tengas, para que con el apoyo de los compañeros y el maestro afirmes lo aprendido. (En la síntesis es necesario que estén varios ejercicios o una práctica que los integre)

1


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PRÁCTICA INTEGRAL (¿Qué se significa? Es cuando el alumno demuestra la competencia. ¿Qué actividades se realizan? Individ idua ualm lmen ente te el alum alumno no demo demost stra rará rá el domin dominio io de la comp compet eten enci cia, a, con con la • Indiv presentación de las evidencias desarrolladas en cada unidad Esta parte se construirá con ejercicios de evaluación en los cuales se estimule la reflexión del capacitando para que valore el aprendizaje alcanzado.) 5. Introdu Introducci cción ón a las las funcio funciones nes cuyo objetiv objetivoo es: Conocer Conocer y aplic aplicar ar los los concep conceptos tos básicos de funciones matemáticas 6.

7. Ev Evid iden enci cias as:: Conceptos Procedimientos Productos

GUÍA DE OBSERVACIÓN Instrucciones Aspecto a observar Asistió puntualmente a clases Demostró disponibilidad para el trabajo Se integró en equipo Demostró los aprendizajes Se desempeñó bien en las exposiciones frente a grupo En las exposiciones frente a grupo utilizó el recurso didáctico auxiliar correctamente Portó correctamente su uniforme Crit Criter erio ioss de eva evalu luac ació iónn


SI

Cumple NO N/A

Observaciones

%

Se espe especi cifi ficar caráá el valo valorr que que se le asi asign gnaa a cada cada uno uno de los los 121

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aspectos Resultado de la evaluación final de la unidad o del módulo % de cumplimiento del alumno =_________ % El % mínimo para que el alumno acredite esta unidad es de 60% ( aspectos cumplidos)


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LISTA DE COTEJO Instrucciones Aspecto a observar Siguió los lineamientos establecidos en la presentación de los trabajos Utilizó correctamente los métodos en la solución de problemas En las exposiciones frente a grupo utilizó el recurso didáctico auxiliar adecuado Realizó y entregó conclusiones


SI

Cumple NO N/A

Observaciones

%




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Tema

Pregunta

Limites

¿ Qué es un limite? ¿Qué es un diferencial? ¿ Qué es la derivada?


Respuestas

%




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RESPUESTAS

Con la intención de que evalúes paulatinamente tú avance en la asignatura. Te presentamos a continuación las respuestas a las actividades, ejercicios y problemas que se presentaron en cada capítulo. (Observe que organiza por capítulos y en cada uno se señala el número de página en el que se encuentra el ejercicio al que se le da respuesta) 1.- (ANOTE EL OBJETIVO PARTICULAR) (Copie la actividad y anote las respuestas) • (Pág ) (Copie la actividad y anote las respuestas) • (Pág ) (Copie la actividad y anote las respuestas) • (Pág ) (Copie la actividad y anote las respuestas) • (Pág ) (Copie la actividad y anote las respuestas) • (Pág ) (Copie la actividad y anote las respuestas) • (Pág ) 2.- (ANOTE EL OBJETIVO PARTICULAR) (Copie la actividad y anote las respuestas) • (Pág ) (Copie la actividad y anote las respuestas) • (Pág ) (Copie la actividad y anote las respuestas) • (Pág ) (Copie la actividad y anote las respuestas) • (Pág ) (Copie la actividad y anote las respuestas) • (Pág ) (Copie la actividad y anote las respuestas) • (Pág ) 3.- (ANOTE EL OBJETIVO PARTICULAR) (Copie la actividad y anote las respuestas) • (Pág ) (Copie la actividad y anote las respuestas) • (Pág ) (Copie la actividad y anote las respuestas) • (Pág ) (Copie la actividad y anote las respuestas) • (Pág


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)


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GLOSARIO (Ordene alfabéticamente los conceptos) [Anote el término] .[Anote el término] .[Anote el término] .[Anote el término] .[Anote el término] .-


[Escriba el significado] [Escriba el significado] [Escriba el significado] [Escriba el significado] [Escriba el significado]

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REFERENCIAS [Ordene alfabéticamente el material, cuidando anotar las referencias mínimas que pueden ampliarse siempre y cuando la información sea uniforme. Observe que cada dato está en una columna: y que en la parte superior están las, l y finalmente las obtenidas en la internet.] Referencias bibliográficas Autor (Primer apellido con mayúsculas, segundo apellido y nombre). Título del libro. (Año de edición entre paréntesis)Editorial y lugar.) Referencias hemerográfica (Autor (Primer apellido con mayúsculas, segundo apellido y nombre). (Fecha de publicación, año y mes).”Nombre del artículo entre comillas”. Editorial y lugar) Referencias de la internet (Autor (Primer apellido con mayúsculas, segundo apellido y nombre). (Fecha de consulta año y mes). Título del libro o “nombre del artículo” Dirección electrónica Autor

Título del libro

Autor

“nombre artículo”

Autor

Título del libro Fecha o “nombre del consulta artículo”


Fecha

Editorial

Lugar

del Fecha

Editorial

Lugar

de Dirección electrónica

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ANEXO (Se anotará el título del anexo en caso de que se incluya y si no se cancelará tanto en el desarrollo como en el índice)


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CRÉDITOS Profesores que elaboraron la Guía de Aprendizaje: Nombre Manuel Limón Gerardo

Plantel CETis No. 68

Estado Sinaloa

Responsable Técnico de la Guía de Aprendizaje

Ajustes técnicos e informáticos al índice, encabezado y pie de página en la base para el desarrollo de la Guía de Aprendizaje.

Asesoras en el Componente de Formación Profesional y responsables Técnicas de la Metodología de Diseño Curricular de la DGETI, del Instructivo para elaborar Programas de Estudio Modulares, de guiar los trabajos para la elaboración de instrumentos de evaluación , de Guías de aprendizaje y de la conducción de los cursos.


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Guias de Aprendizaje de Calculo

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