ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL
LITO LITORAL RAL FACUL CULTAD DE CIENCIA ENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CURSO DE NIVELACIÓN 2015 – 1S CAPÍTUL CAPÍTULO: L ÓGICA D EBER 1
1.1 P!"!#$%$!&'#
1)
2)
Defna: a) Proposición. b) Valor de verdad. c) Tabl Tabla de verdad. Dados los siguientes enunciados: La capital de la provincia de Eseraldas es !tacaes. Las islas "al "alápagos pert pertene eneccen al Ecuador Ecuado r. viva $u ito #$ue viva $uit o% Lu& de !'ric !'rica a( *ubieron teblores o inundaciones+ tiene un total de 2, provin vincias cias.. Ecuador tiene •
•
•
•
•
La canti antidad dad de enunci enunciados proposiciones es igual a: a) 1 b) 2 c) , d) e) /
-ue
represent epresenta an
0espuesta: c)
icando su ,) ndi-ue si cada enunc nunciado es o no una proposic opos ición ión%% ust usti3 icando respuesta. a) 4 es un n5ero prio. b) El color roo es bonito. teriinan en los d6gitos 6git os 7 o /. c) Los n5er n5eros divi divissibles par para / ter d) #!lto a86 ( e) 9uando sali salios+ celular es ecel 3) El celu ecelen entte. g) El aanecer en la pla;a es roántico. 8) x + 1 = 5 i) #Eres pilas( ) 3( 2 + 4) = 30 <) 9uándo e ganar' la loter6a+ l) La esperan&a es lo 5ltio -ue se pierde. ) El n5ero ,= es par. n) El 35tbol es divertido. ) Proporcion e un eeplo de proposición )ustifcando su respuesta.
una
epresión -ue
no sea
(
Página
Página
Página
/) Proporcion e un eeplo de una epresión -ue sea proposición % con su respectivo valor de verdad. =) “Las manzanas son de color r ojo” ojo” Es una proposición+ >i no es una proposición% ustif-ue por -u' no ; re3or5lel e3or5le la par para -ue sea una proposici propos ición. ón. 4) Escrib a una epresión -ue no sea replantearla se convierta en una proposici ón verdadera.
proposición ; -ue al
?) Escrib a una epresión -ue no sea proposición ; -ue al replantearla se convierta en una proposición 3al 3alsa. sa. @) Escri Escrib ba una epresión -ue sea replantearla ;a no sea proposición.
una proposici propos ición
; -ue al
1.2 O"'*+!'# ,-.$%!#
17) Defna: a) Aegación. b) 9onunción. c) Dis;unción inclusiva. d) Dis;unción iva ecl eclus usiv a. e) 9ondicional. 3) Bicondicional. g) 9ondici 9ondi ción su3iciente. 8) 9ondición necesaria. 11) dentif-ue la proposición C!L>!. a) >i $uito es capital de 9olobia% entonces anab6 no anab6 no es provincia del Ecuador. b) >i 2 + 5 = 8 % entonces 3 + 4 = 7 . c) >anta Elen a es una provincia de la región Litoral itad del ituada en uador. d) La itad del undo est está situada del E cuador la provin vincia cia del ito del "ua;as. "ua;as. e) La 3undaci 3undación ón de $u $uit o se celebra en el es de diciebre. 0espuesta: d) 12) ndi-ue el valor de verdad de cada proposición. >i es 3alsa% reescriba la proposición para -ue sea verdadera. a) 2 + 7 − 1 = 5 b) Los colores de la bandera del Ecuador son aarillo% a&ul ; roo. c) La E>PL es una universida d categor6a !. d)
" 2+ 9÷ # $
(
{(2) (3) − 3} + 3)
% − 1 + 1 = 8 & '
Todos los celulares toan 3 otos. Todas las coputadoras 3uncionan con pilas. El balón de 35tbol es cuadrado. Fn
0
% 3 )
1) Escrib a en espaGol 2 proposiciones por cada una de las interpretaciones graaticales de la dis;unción inclusiva. 1/) Escrib a en espaGol 2 proposiciones por cada una de las interpretaciones graaticales de la dis;unci ón eclusiva. 1=) Escrib a en espaGol 2 proposiciones por cada una de las interpretaciones graaticales de la condicional. 14) Escriba en espaGol 2 proposiciones por cada una de los para3 raseos cuando la condicional de proposiciones es verdadera. 1?) Para -ue la enunciación 8ipot'tic a sea 3alsa antecedente sea verdadero. a) Verdadero b) Calso
es su3icient e
-ue
el
0espuesta: b) 1@) b es su3icient e para a % si (; sólo) si a → b proposición verdadera. a) Verdadero
es una
b) Calso
27) Dados los siguientes enunciados: . x + 1 = 0 . p → q . #$u' 3ácil está el −1 eaen( V. (2 + 5) >
0espuesta: b)
(3 + 4)−1 V.
9uánto tiepo necesitar' para reali&ar el eaen+
Entonces es VE0D!D -ue: a) 1 ; 11 s on proposiciones pero no 111. b) 111 e s proposición pero no 1V. c) V es proposición siepre -ue lo sea V. d) >i V es proposición% entonces V no lo es. e) % 11 ; 1V n o son proposiciones.
0espuesta: d)
21) Para la proposición: H Juego tenis y me divierto con mis amigos, puesto que no llueveI% su 0E9JP09! es: a) >i no llueve% entonces no uego tenis ; e divierto con is aigos. b) Kuego tenis ; e divierto con is aigos% sólo si no llueve. c) Es necesario -ue llueva% para no ugar tenis ; no divertire con is aigos. d) >i no uego tenis o no uego con is aigos% llueve. e) La -ue llueve% uego tenis ; e divierto con is aigos. 0espuesta: b) 22) Tradu&ca al lenguae sibólico la siguiente proposición “Si respeto a mis padres, entonces seré de larga vida sobre la tierra” ; luego
escriba en espaGol ; en lenguae 3oral su rec6proca% su inversa ; su contrarrec6 proca.
2,) >ean las proposiciones siples: a: , es un n5ero par. b: , es un n5ero ipar. c: = divide a ,. La traducción al lenguae 3oral de la AVE0>! de la proposición copuesta: H3 es un númer o impar, per o no es par por lo tanto, si ! divide a 3, 3 no es impar I% es:
(a ¬b) → (c → ¬b) (c → ¬b) → (a ∧ ¬b) (c → ¬b) → (b → ¬a) ¬( b ¬a ) → ¬( c → ¬b)
a)
∧
b) c) d)
∧
(a → ¬b) → ¬(c →
e) ¬b
¬
0espuesta: d)
)
2) Dada la proposición “Si "o y no llueve, "ace calor”# a) Escrib a en espaGol cinco 3oras di3erentes de epresar la condicional. b) Escriba en espaGol su rec6 proca% su inversa ; su contrarrec6 proca. 2/) >uponga -ue la proposición: H$res %eliz siempre que la vida te sonr&eI es verdadera% entonces es C!L> -ue: a) >i la vida te sonr6e% entonces eres 3eli&. b) Eres 3eli& cuando la vida te sonr6e. c) >er 3 eli& es necesario para -ue la vida te sonr6a. d) Eres 3eli& si la vida te sonr6 e. e) >er 3eli& es su3icient e para -ue la vida te sonr6a. 0espuesta: e) 2=) Escrib a en espaGol 2 proposiciones por cada una de las interpretaciones graaticales de la bicondicional. 1./ P!"!#$%$!&'# #$",'# %!"'#3*#
24) Defna: a) Proposición siple b) Proposición copuesta 2?) Tradu&c a
al lenguae sibólico la proposición copuesta:
“'avid consigue dinero y se compra el libro, s(lo si cambia su c"eque# )ero si no cambia el c"eque, no puede pagar sus deudas# )or lo t anto, 'avid compra el libro y paga sus deudas” .
2@) >ean las proposiciones siples: a : *o; tengo -ue rendir una prueba. b : *e estudiado con responsabilidad. c : Ebtendr' buenos resultados. Tradu&ca al lenguae sibólico la proposición copuesta: “*o y tengo que rendir una prueba y obtendré buenos resultados, puest o que "e estudi ado con responsabilidad” .
0espuesta: b → ( a ∧ c
)
,7) >ean las proposiciones siples: a + Danilo prograa en Láte. b : Danilo practica álgebra. c : Danilo es responsable. La traducción al lenguae sibólico de la proposición copuesta H'anilo programa en Lt e- porque practica lgebra y es responsable I es: a) a → ( b ∧ c ) b) c) d)
(b c) → a a → (b c) (b c) → a ∧
∨
∨
e)
(
0espuesta: b)
)
a ∧ c → ¬b
,1) 9onsidere las proposiciones siples: a : Los paneles solares -ue se organi&an en 3 ora de árbol captan a;or energ6 a. b : !idan DM;er es un niGo genio. c : L a posición de la s 8oas de un árbol siguen el orden de la serie de Cibonacci. d : L a 9ounidad 9ient63ica tiene la ra&ón. Tradu&c a al lenguae sibólico la proposición copuesta: HLos paneles solares que se organiz an en %orma de rbol no capt an mayor energ& a y la posici(n de las "ojas de un rbol siguen el orden de la serie de .ibonacci siempre que no suceda que+ /idan '0yer es un ni1o genio o la 2omuni dad 2ient&%ica no tiene la raz(nI.
(b
0espuesta: ∧
,2) Dada la proposición copuesta es C!L>!% los
( a → b) &
∨
%
c
(
)
'
.
0espuesta: c)
≡ 1, c ≡ 0
proposición
! ¬b
d "e
→ c∨a #≡0% las $
(
)
) → (¬a
>abiendo -ue
valores de verdad de las proposiciones siples a% b ; c son: a) a ≡ 0, b ≡ 0, c ≡ a ≡ 1, b ≡ 1, c 1 b) ≡ 0 c) a ≡ 1, b ≡ 0, c ≡ 1 d) a ≡ 1, b ≡ 1, c ≡ 1 e) a ≡ 0, b
,,) Dada la copuesta
∨ ¬d
)
a∧ b↔c
(
¬
deterine
los valores
proposiciones siples. 0espuesta: a ≡ 0, b ≡ 0, c ≡0
,) Fna proposición copuest a es verdadera si ; sólo si todas las proposiciones siples -ue la con3oran son verdaderas. a) Verdadero b) Calso 0espuesta: b)
,/) >i la proposición VE0D!DE0!. a) Verdadero
(¬a
∧
)
(
b → c∨d
)
es C!L>!% entonces ( b ∧¬c) es b) Calso 0espuesta: a)
,=) >e conoce -ue p ∧¬$q → ( r ∨ s )& ≡ 1 % deterine el valor de verdad de: % '
a) p r 0espuesta: a) 0 % b) 1
b) q ∨ s ,4) >i la proposición copuesta #( a ∧¬b) entonces es VE0D!D $ &
→
c% ∨ ¬ c ∨ d
(
)
es C!L>!%
-ue: a) b ∨ a ≡ 0 b) c ∨ a ≡ 0 c) a → c ≡ 0 d) d → a ≡ 0 e) ¬c ∨¬d ≡ 0
0espuesta: c)
,?) >i la proposición copuest a VE0D!DE0!. a) a ∨ b ≡ 0 b) ¬(b → c) ≡ 0
es C!L>!%
(¬a ∧ b) → c
identi3 i-ue la proposición
c) a → c ≡ 1 d) a ∨ b ≡ 0 e) b → a ≡ 1
0espuesta: c) ,@) >i la proposición #$( a ∧ b) C!L>!% deterin e el
(
∧ ¬b
→ c %& → #$ ¬c
)
(
∨¬d
) ∨ ( a → ¬d )%& es
valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) ¬a ∧¬b b) a ∨ (b ∨¬d ) c) a ∨¬(¬b ∧¬a) d)
(b
∧
d
) (¬a → c) ∨
0espuesta: a) 1 % d) 1
0
% b) 1 % c )
7) Dada la proposición copuesta " p ∧ (¬r ∧ s)$ ∧ "¬( p → ¬q) → ( r ∧¬ s)$ ≡ 1 % entonces # % # % es VE0D!D -ue: a) q ∧ s ≡ 1 b) s ∧ p ≡ 0 c) p ∨ q ≡ 0 d) p ∧¬q ≡ 0 e) p ∧ r ≡ ¬
1 0espuesta: b)
1.4 F!*# "!"!#$%$!&*,'#
1) Defna: a) Variable proposicional. b) Cora proposicional. c) Tautolog6a. d) 9ontradicción. e) 9ontingencia. 3) plicación lógica. g) E-uivalenci a lógica. 2) Epli-ue la di3erencia entre una proposición ; una variable proposicional. ,) >ean A ; B dos 3oras proposicionales% se dice -ue A iplica lógicaente a B % denotado por A ⇒ B % si ; solo si A → B es una tautolog6a. a) Verdadero b) Calso 0espuesta: a) ) >ean A ; B dos 3oras proposicionales% se dice -ue A e-uivale lógicaente a B % denotado por A ⇔ B % si ; solo si A B es una tautolog6a. a) Verdadero b) Calso 0espuesta: a) /) Epli-ue claraente la di3erencia entre los s6bolos: → N9ondicional ) ⇒ Nplicación Lógica). •
•
=) >ean A ; B dos 3oras proposicionales tales -ue A es una tautolog6 a ; B es una contradicción % entonces la conunción entre abas es una contradicción. a) Verdadero b) Calso 0espuesta: a) 4) Dadas las siguientes 3oras proposicionales: ) % $( a → b) ∧ ( b ∨ a)& → ¬b ) '
¬
( b ∧ a) ∨ ( b ¬
→
a
)
Es VE0D!D -ue: a) La 3ora proposicional es una tautolog6a ; la no es una tautolog6a. b) La 3ora proposicional no es una tautolog6 a. c) Las 3oras proposicionales ; no son tautolog6 as. d) Las 3oras proposicionales ; son tautolog6as. e) La 3ora proposicional no es una tautolog6a ; la es una tautolog6 a.
0espuesta: e)
?) >i la 3ora proposicional f ( p, q, r , s) es una contradicción% entonces es VE0D!D -ue:
(
a)
)
(
)
f 1,1,0,0 f 0,0,1,1
b)
≡ 1
f (1,1,1,1) → f
(0,0,0,0) ≡ 0 c) f (0,1,0,1) ∨ f (1,0,1,0 ) ≡ 1 d) f (1,1,1,0) ∧ f (0,1,1,1) ≡ 1 e) f (0,0,0,0 ) ∨ f (1,1,1,1) ≡ 1
0espuesta: a) @) La 3ora proposicional #( p ∨ q) % → q) es: $ & $ a) Fna contradicción b) Fna tautolog6a c) Fna contingencia d) E-uivalente a ¬r e) E-uivalente a (¬ p ∨
q
→
r % → # p → q
(
) (r ∧
&
0espuesta: c)
)
/7) La 3ora proposicional
!
( p → q) ( r r ) " ∧
∨¬q
)# → (¬ p
∨
representa iplicación una
$
lógica . a) Verdadero b) Calso
0espuesta: a)
/1) Las 3oras proposicionale s
( p ;
e-uivalentes. a) Verdadero b) Calso
∨
)
q →r
( p → r ) ( q → r ) ∧
son
lógicaente 0espuesta: a)
/2) >obre la siguient e 3ora proposicional: proposici ón VE0D!DE0!. a) Es una contradicción b) Es una tautolog6 a c) Es e-uivalente a q d) Es e-uivalente
( pla → ¬q) → #(¬q p) → q% % ∨
$
identi3 i-ue
&
a p
e) p ∨ q
Es e-uivalente a
(
)
/,) dentif-ue la 3 ora proposicional -ue A es tautológica.
0espuesta: c)
a) b) c)
" p q ∨ % ∧ p$ → q
( ) # ! " ( q → p$) → ¬q ( p q) → (¬ p → q) #
¬
¬
¬
∨
# % d) $ #( p → r ) ∧ (&q → $ r ) → &( p ∧ q) ¬
)
$ p → q ∧ %
(
) (
'
q ∨ r & →
¬
)
(
¬
¬
r → p
¬
¬
→
r %
)
0espuesta: b)
1.5 P!"$'+*+'# +' ,!# !"'*+!'# ,-.$%!#
/) Escriba en espaGol una negación de la proposición “*o y no es lunes, puesto que tengo esta lecci(n y me vo y temprano” .
//) De ser posible% escriba el nobre de la le; o propiedad -ue está presente en la estructura lógica de la s siguientes proposiciones copuestas. a) “Si duer mo, ent onces duer mo o descanso” . b) “Si estudio muc"o, entonces apruebo el curso de nivelaci(n# Si apruebo el curso de nivelaci(n, mis paps est ,n %elices# Luego, si est udio muc"o, mis paps est ,n %elices” . c) “3o es verdad que+ si estudio muc"o, entonces no apruebo el curso de nivelaci(n” es lógicaent e e-uivalent e a “$studio muc"o y apruebo el curso de nivelaci(n” . d) “Si como bastante, vo y al gimnasio pero no vo y al gimnasio# $ntonces, no como bastante” . e) “Si tengo dinero, me vo y de viaje y , si tengo tiempo, arreglo mi cuarto# )or lo tanto, si tengo dinero y tiempo, me voy de viaje y arreglo mi cuarto”#
/=) Escriba la le; del DF> PAEAD PAEA> ; constru;a una proposici ón copuesta a partir de la estructura lógica de esta le;. /4) Escriba la le; del DF> PAEAD TLLEA> ; constru;a una proposici ón copuesta a partir de la estructura lógica de esta le;. /?) Escrib a la le; del >L"> D>FATV ; constru;a una proposición copuesta a partir de su la estructura lógica de esta le;. /@) Escriba la le; de la T0!A>TVD!D ; constru;a una proposici ón copuesta a partir de la estructura lógica de esta le;. =7) La proposición HSi Juan va al estadio, no estudiar , par a el e-amen” es lógicaente e-uivalente a “Si Juan est udia par a el e-amen, no ir al est adioI. a) Verdadero b) Calso 0espuesta: a) =1) La contrarrec6proca de la proposición HSi estudio conscientemente, apruebo el curso de
nivelaci(n I es H$studio conscientement e o no apruebo el curso de niv elaci(nI.
a) Verdadero
b) Calso 0espuesta: b)
=2) Escriba en espaGol la inversa de la proposición: “Si el e-amen es el adecuado y los estudiantes se "an preparado, se obtienen resultados satis%actorios”#
=,) Escrib a en espaGol la contrarrec6proca de la proposición: “Si el e-amen es el adecuado y los estudiantes se "an preparado, se obtienen r esultados satis%actorios”#
=) Las 3oras proposicionales e-uivalentes. a) Verdadero
( p → ¬q)
;
( p
¬
∨
q
)
son lógicaente
b) Calso
0espuesta: b) =/) Las proposiciones H$s necesario estudiar par a aprender I ; HS(lo si estudias, aprendersI% son lógicaente e-uivalentes. a) Verdadero b) Calso 0espuesta: a) ==) >i en la dis;unción de dos proposiciones% una de ellas es verdadera% el valor de verdad de la proposición copuesta es 3also por la propiedad de dentidad. a) Verdadero b) Calso 0espuesta: b) =4) Fna le; de De organ indica -ue al negar la conunción de dos proposiciones se obtiene la conunción de la s dos proposiciones negadas. a) Verdadero b) Calso 0espuesta: b) =?) >ean las proposiciones siples: a : *oy es viernes# b : 4btengo un buen r esult ado# c : $st oy prepar ado par a el e-amen#
Dada la proposición copuesta H $s su5ciente que "oy sea viernes y que esté prepar ado par a el e-amen, par a que tenga un buen resultado I% una proposición
e-uivalente es: a) *o; es viernesO ;% si esto; preparado para el eaen% entonces obtengo un buen resultado. b) *o; es viernes ; esto; preparado para el eaen% sólo si obtengo un buen resultado. c) *o; es viernes ; no obtengo un buen resultado % puesto -ue no esto; preparado para el eaen. d) >i obtengo un buen resultado% entonces 8o; es viernes ; esto; preparado para el eaen. e) >i obtengo un buen resultado% entonces 8o; no es viernes ; no esto; preparado para el eaen. 0espuesta: b) =@) >upong a -ue la proposición H$l 6obier no 3acional activ ( la alert a amar illa y consider ( la posibilidad de un t sunami debido a que 2"ile su% ri( un t err emoto” es
VE0D!DE0!. a) dentif-ue la condición necesaria ; la condición su3 iciente.Página
b) Escrib a en espaGol una 3ora de rec6proca% una inversa ; una contrarrec6proca. 47) >upong a -ue la proposición H)ara que la computadora encienda basta que "aya energ&a eléctrica y que el disco dur o no est é llenoI es VE0D!DE0!. a) dentif-ue la condición necesaria ; la condición su3 iciente. b) Escrib a en espaGol una 3ora de rec6proca% una invers a ; una
contrarrec6proca.
41) Fna AE"!9A de la proposici ón copuesta: H>i no e vo; al estadio% entonces vo; a estudiar ; a reali&ar el pro;ectoI% es: a) Ao e vo; al estadio ; no es cierto -ue% va;a a estudiar ; realice el pro;ecto. b) e vo; al estadio% pero% estudio o reali&o el pro;ecto. c) e vo; al estadio% o% estudio ; reali&o el pro;ecto.
Página
d) >i no es cierto -ue% estudi e ; realic e el pro;ecto% entonces e vo; al estadio. e) Estudio ; reali&o el pro;ecto% puesto -ue no e vo; al estadio. 0espuesta: a) 42) La AVE0>! de la proposición HKulio prograa en Visual 9QQ% por-ue enseGa teor6a de n5eros ; es inteligenteI% es: a) Kulio prograa en Visual 9QQ% sólo si enseGa teor6 a de n5eros ; no es inteligente. b) Kulio no prograa en Visual 9QQ% por-ue no enseGa teor6 a de n5eros ; es inteligente. c) Kulio no enseGa teor6a de n5eros o no es inteligente% por-ue no prograa en Visual 9QQ. d) >i Kulio no enseGa teor6 a de n5eros ; no es inteligente% no prograa en Visual 9QQ. e) >i Kulio no enseGa teor6 a de n5eros o no es inteligente% no progra a en Visual 9QQ. 0espuesta: e) 4,) >ean las proposiciones siples: a: El precio del petróleo cae. b: L a producción de bienes no petroleros sube. c+ La econo6 a se e-uilibra. d: El dólar se deprecia. !l traducir al lenguae 3oral la proposici ón
copuesta
HLa
producci(n de bienes no petr oler os sube o el d(lar se deprecia per o, el precio del petr(leo cae s(lo si la econom& a se equilibra I% se obtiene la
siguiente proposición e-uivalente: a) (¬a ∨ c) ∧ (b ∨ d )
(b ∨ d &) ∧ a% ∨ c # % c $ ( a ∧ b) ∨ (&a ∧ d ) & $ ¬c → % a ∧ ( b ∨ d ) (a ∨ c) ∧ ( a ∨ (b ∧ d ))
b) $ #
¬
c) d) e)
¬
→
'
0espuesta: a)
4) >e conoce -ue la proposición R7ast a que el paciente tenga de%iciencia de gl(bulos rojos o "ay a perdido muc"a sangre, par a que anemiaI es VE0D!DE0!% identif-ue la proposici ón C!L>!.
tenga
a) Es sufciente -ue un paciente tenga defciencia de glóbulos roos% para -ue tenga aneia. b) Es su3iciente -ue un paciente 8a;a perdido uc8 a sangre% para -ue tenga aneia. c) Es necesario -ue un paciente tenga aneia% para -ue 8a;a perdido uc8a sangre o tenga defciencia de glóbulos roos. d) Es necesario -ue un paciente no 8a;a perdido sangre% para -ue no tenga aneia. Página
e) Es sufciente -ue un paciente no tenga aneia% para -ue no tenga de3 iciencia de glóbulos roos. 0espuesta: d) 4/) Epleando álgebra proposicional% deuestre si la 3ora proposicional $ p ∨ q ∧ r → q & → p → r contradicción o una %
(
¬
) (
¬
contingencia.
¬
'
)
(
)
es
una
tautolog6a%
una
0espuesta: Tautolog6a.
Página
4=) 9onsidere las siguientes proposiciones siples: a : Estudias todos los d6as. b : Te pierdes la s 3arras. c : 1ngresas a la E>PL. Fna traducción al lenguae 3oral de la proposición copuesta HSi no estudias todos los d&as y no te pierdes las %arras, no ingresas a la $S)4L# )er o $S)4LI es: a) " !c → a ∧ b$ # → c → b
(
)
(
si estudias todos los d&as, ingresas a la
)
b) $#¬c → ( a& ∨ b)% → ( a → c) c) $ #c → ( a& ∨ b)% ∧ ( a → c)
(c → a) →$ #¬(a b& ) → c% e) $ #¬c → ¬(&a b)% → ( a → c ) d)
∧
∧
0espuesta: c)
44) dentif-ue la 3 ora proposiciona l -ue es T!FTL"9!: a) "! p ∧ ( q ∨ r )$ # → ( q ∧ r ) "
(¬ p ∨ q%) ∧ r $ → ¬r c) p → ( p ∧ q ∧ r ) d) "!¬q ∧ ( p → q$)# → ¬ p e) ( p ∧ q ∧ r ) → (¬ p ∨ ¬r ) b) #
0espuesta: d)
4?) La 3ora proposicional -ue A es tautológica% es: a) ( q → p) → ( p ∨ q) ¬
b) c) d) e)
¬
¬
( p ∨ q) → ( p → q) ( p → q) → (q → p) " $ q # ( p → %q) ∧ p # # % % $ ( p ∧ &q) ∨$ r → ( p&∨ r ) ∧ ( q ∨ r ) ¬
→
0espuesta: c)
4@) De ser posible% deuestre -ue las siguientes 3oras proposicionales no son tautológicas. a) ¬ p → ¬(¬ p ) b) ( p → q) → ¬( p → q) ?7) Para cada 3ora proposicional deterine si es una tautolog6a% una contradicción o una contingencia. a) ( p ∧ q ∧ r ) → ( p ∨ q ∨ r ) b)
{( p → q) → #$( p ∧¬q)
p%&} ∧ p
→
c) #$( p → r )
∧
( q → r )%& ↔ #$( p ∨ q ) → r %&
0espuesta: a) Tautolog6a% b) 9ontingencia% c) Tautolog6a. ?1) Ftili&ando las propiedades de los operadores lógicos deuestre las siguientes e-uivalencias lógicas. a) $ #( p → r ) ∧ &( q$→ r )% ≡&#( p ∨ q)
% → r
b) $ #( p ∧ q&) $→ r % ≡ # p& → ( q → r )% c)
$
# p → q
(
) ( p →&r )$% ≡ # p →& (q r )% ∧
?2) La 3ora proposicional
∧
( p ∧ q) → ( q ∨ r ) ¬
¬
es lógicaent e
e-uivalent e a la 3ora proposicional: a) p → ( q → r ) b) r → (q → p) c) d) e)
( p ∧ r ) → q ( p ∨ r ) → q q → ( p ∧ ¬
¬
)
r
0espuesta: c)
?,) Dada la siguiente proposición copuesta: “Los accident es de tr nsit o se incr ement an, cada vez que los conductores no respetan las leyes o los peatones no caminan con precauci(n#” dentif-ue la proposición e-uivalente: a) >i los accidentes de tránsito se increentan% entonces
los
conductores no respetan las le;es o los peatones no cainan con precauciones. b) Los accidentes de tránsito no se increentan ; no es cierto -ue los conductores no respetan las le;es% o los peatones cainan con precaución. c) Los peatones caina n con precauci ón ; los conductores respetan las le;es% o los accidentes de tránsito se increentan. d) Es 3also -ue los conductores no respeten las le;es o los peatones no cainan con precaución% debido a -ue los accidentes de tránsito se increentan. e) 9ada ve& -ue los conductores no respetan las le;es o los peatones no cainan con precaución% los accidentes de tránsit o no se increentan. 0espuesta: c) ?) Deterine a -ue epresión lógica es e-uivalente la 0E9JP09! de la siguiente 3ora # ¬ p → q ∧¬q% → p proposicional ( & ) $
a) p
b) 0
c)
( p ∨ q)
d)
¬
q
( p ∧
¬
)
e) 1 0espuesta: d)
?/) 9onsidere la 3ora proposicional "
! ¬q ∧ $
( p → q)# → ¬ p :
a) 9onstru;a su tabla de verdad. b) En base al resultado anterior% epli-ue si es tautolog6 a% contradicción o contingencia. c) Deuestre si es tautolog6a% contradicción o contingencia% epleando álgebra proposicional Npropiedades de los operadores lógicos). 9opare con el resultado anterior. 0espuesta: Tautolog6a. ?=) Dada la siguiente proposición copuesta: “Si 8a%alda sale con el 2apitn /mérica, Superman no es un super"éroe y 6ar%ield odia la pizza#”
Fsando las propiedades de los operadores lógicos% deterine si las siguientes proposiciones copuestas son e-uivalentes o no: a) >uperan es un super8'roe o "arfeld odia la pi&&a% sólo si a3ald a no sale con el 9apitán !'rica. b) >i a3alda sale con el 9apitán !'rica% >uperan no es un super8'roeO o% "arfeld odia la pi&&a por-ue a3alda no sale con el 9apitán !'rica. c) "arfeld no odia la pi&&a ;a -ue no es cierto -ue: a3alda sale con el capitán !'rica ; >uperan es un super8'roe. d) >i a3alda sale con el 9apitán !'rica% >uperan no es un super8'roe. Pero cuando a3alda sale con el 9apitán !'rica% "ar3ield odia la pi&&a. e) "ar3ield odia la pi&&a o a3alda sale con el 9apitán a'rica% pero >uperan no es un super8'roe. 0espuesta: a) Ao% b) Ao% c) Ao% d) >6% e) Ao 1. R*6!&*$'&3!# ?4) Defna: a) 0a&onaiento. b) Valide& de un ra&onaiento. ??) Fn ra&onaiento es válido si ; sólo si todas las proposicione s siple s -ue lo con3oran son verdaderas. a) Verdadero b) Calso 0espuesta: b) ?@) Fn ra&onaiento no es válido si ; sólo si todas las proposiciones siples -ue lo con3oran son 3alsas. a) Verdadero b) Calso 0espuesta: b) @7) Deterine la valide& del siguiente ra&onaiento lógico: “La l(gica es %ormal y no se preocupa del contenido# /pruebas el e-amen s(lo si la l(gica se preocupa del contenido# $ntonces, la l(gica es %ormal y apruebas el e-amen#”
@1) Deterine
la
bastant e y se de e-cepci(n
valide& del siguient e
0espuesta: Ao válido. ra&onaiento lógico: HLlueve
da1an los cultivos# La S69 no declar a el estado no per o se da1an los cultivos# S(lo si lluev e
bastante, la S69 declar a el estado se da1an los cultivos# I
de e-cepci(n# )or0espuesta: lo tanto, no
Válido.
@2) Deterine la valide& del siguiente ra&onaiento lógico: “)edro se va al cine s(lo si no termina de estudiar# )edro no saldr , bien en el e-amen de ma1ana, debido a que no termina de est udiar # )edr o se %ue al cine# )or lo tanto, )edro no saldr , bien en el e-amen de ma1ana#”
0espuesta: Válido. @,)
Deterine la valide& del siguiente ra&onaiento: “Si aumenta el empleo y el consumo, es porque la producci(n se r eactiv a# )er o la econom& a cr ece cuando es %also que, el consumo no aumenta, si el empleo aumenta# Luego, la producci (n no se reactiv a o la econom& a crece”#
0espuesta: Válido. @) Dados los siguientes ra&onaientos 91 ; 92: !
( p
1
R 2
R
"
∧
q
) (q → p$)# → ¬(¬ p ∧
(
∨ ¬q
)
)
q → p → q
Es VE0D!D -ue: es válido. a) R no es válido ; R 1
2
b) R no es válido no es válido. ; R 1 2 R es válido no es válido. c) ; R 1 2 d) R es válido es válido. ; R 1 2
0espuesta: d)
@/) Para el ra&onaiento: ( H 1 ∧ H 2 ) → C % considere las siguientes 8ipótesis: H 1 >i t5 toas gatorade% te reaniarás. H 2 " : Tu estarás con energ6a siepre -ue toes la bebida 227V. Fna conclusi ón C -ue 8ace válido este ra&onaient o es: a) Ao es cierto -ue toes gatorade ; estarás con energ6 a. b) >i toas gatorade ; la bebida 227V entonces te reaniarás. 0espuesta: c) >i te reaniarás ; estarás con energ6 a entonces toas b) la bebida 227V. d) >i te reaniarás o estarás con energ6 a entonces toas la bebid a 227V. e) >i te reaniarás ; estarás con energ6 a% entonces t5 toas gatorade.
b) Ao digo is oracio nes.
@=) >ean las 8ipótesis: H 1 >i digo is oraciones% Dios e escuc8a. H 2 >i Dios e escuc8a% 8ago bien el eaen. Fna conclusión C -ue 8ace válido el ra&onaient o H 2 ) → C % es: a) Dios no e escuc8a.
( H 1 ∧
c) Dios e escuc8a. d) *ago bien el eaen. e) >i digo is oraciones% 8ago bien el eaen.
0espuesta: e)
@4) Para el ra&onaiento ( H 1 ∧ H 2 ) → C % en donde: H 1 !cepto este trabao o no estudio. H 2 >i reali&o is sueGos% entonces estudio. Fna conclusión C -ue 8ace válido este ra&onaiento es: a) Ao estudio o no acepto este trabao. b) >i estudio% entonces acepto este trabao. c) Estudio si no acepto este trabao. d) !cepto este traba o solaente si reali& o is sueGos. e) >i acepto este trabao% entonce s estudio.
0espuesta: d)
@?) 9onsidere las siguientes preisas de un ra&onaiento: “Si me compro una camisa o un pantal(n, entonces asisto a la %iesta # Si me compro zapatos nuevos, entonces no asist o a la % iesta y me quedo sin dinero# o asist o a la % iesta#” Fna de las siguientes
conclusiones 8ace válido el ra&onaiento: a) e copro &apatos nuevos. b) e -uedo sin dinero. c) e copro &apatos nuevos ; e -uedo sin dinero. d) >i e -uedo sin dinero% e copro &apatos nuevos. e) >i e copro una caisa% no e -uedo sin dinero. 0espuesta: e) @@) 9onsidere las siguientes preisas de un ra&onaiento: “Si )ablo est trabajando "oy, desayun( y tom( el bus# )ablo no tom( el bus#”
Fna a) b) c) d) e)
de las siguientes conclusiones 8ace válido el ra&onaiento: Pablo no desa;unó. Pablo está trabaando 8o;. Pablo no está trabaando 8o;. Ao es verdad -ue Pablo desa;unó. Pablo desa;unó o toó el bus.
177) Dado el siguiente ra&onaiento C % donde:
H ∧ H 2 ∧ H 3 ∧ H 4 → 1
0espuesta: c)
*:: >i apruebo todas la s aterias % entonces e vo; de vacaciones por un es. *;: >i e vo; de vacaciones por un es% entonces copro uc8os regalos. *3: E e vo; o no e vo; de vacaciones por un es. *<: Ao too clases de 5sica% si e vo; de vacaciones por un es. Fna conclusión 2 -ue 8ace el ra&onaiento VSLD es: a) !pruebo todas las aterias.
b) c) d) e)
Ao es verdad -ue apruebo todas las aterias. 9opro uc8os regalos ; aprue bo todas las aterias. 9opro uc8os regalos o no apruebo todas las aterias. Too clases de 5sica% pero no e vo; de vacaciones por un es. 0espuesta: d)
171) Dadas las 8ipótesis de un ra&onaiento: H 1 Basta -ue !na llegue puntual para -ue si Brenda no llega puntual% entonces 9arla llegue puntual. H 2 >i Brenda llega puntual% entonces !na no llega puntual. Deterine con cuál de las siguientes conclusione s el ra&onaiento es VSLD: a) >i !na llega puntual% entonces 9arla llega puntual. b) >i !na llega puntual% entonces Brenda llega puntual. c) >i Brenda lleg a puntual% entonces 9arla llega puntual. d) >i 9arla llega puntual% entonces !na llega puntual. e) >i 9arla llega puntual% entonces Brenda llega puntual. 0espuesta: a) →% 102) %&'(* -( ./(-( * -&'-/'& P
(
$
# P 1
%
∧ 2
)
&
P1 : 0eali&o todas la s tareas solo si no estudio diariaente. P2 : Es necesario -ue realice todas la s tareas para -ue no apruebe el curso.
Fna conclusión C -ue 8ace válido el ra&onaient o es: a) Ao reali&o las tareas o apruebo el curso. b) Ao reali&o las tareas. c) >i estudio diariaente% no apruebo el curso. d) >i no reali&o todas las tareas% apruebo el curso. e) Estudio diariaente o no !pruebo el curso.
0espuesta: d)
17,) ar6a desea pedirle un vestido nuevo a su esposo. 9onsidere -ue las siguientes proposiciones describen correctaente el coportaiento de su 3ailia. Si el esposo llega a la casa y no est lista la comida, se sient e irritado# Si la esposa le cuenta sus problemas y el esposo est irritado se produce una gran pelea# 7asta que se produzca una gr an pelea par a que t odas las peticiones de la esposa sean negadas#
a) Eistirá alguna 3ora de garanti&ar -ue ella consig a su petición+ b) Eistir á algun a 3ora de garanti&ar -ue ella A consig a su petición+ 1.7 D'!#3*%$!&'#
17) Deuestre la le; del DF> TLEAD TLLEA> utili&ando 'todo de deostración directa.
el
17/) Deuestre la le; del >L"> D>FATV utili&ando el 'todo de deostración directa. 17=) Deuestre la le; del DF> PAEAD PAEA> utili&a ndo de deostración 'todo
el
por contrarrec6proca. 174) Deuestre las le;es de los DLE!> 9A>T0F9TV> utili&ando el 'todo de deostración por contrarrec6proca. 17?) Deuestre la le; del DF> TLEAD TLLEA> utili&ando de reducción al absurdo.
el
'todo
17@) Deuestre la iplicación lógica: #$(¬q → ¬ p) ∧ p%& ⇒
q
a) Ftili&ando tablas de verdad. b) Ftili&ando propiedades de los operadores lógicos. # p q ¬q% p 117) Deuestre la iplicación lógica: (& ∨ ) ∧ ⇒ $
a) Ftili&ando tablas de verdad. b) Ftili&ando propiedades de los operadores lógicos. # ¬q 111) Deuestre la iplicación lógica: ( &→ ¬ p) ∧¬q% ⇒ ¬ p $
a) Ftili&ando tablas de verdad. b) Ftili&ando propiedades de los operadores lógicos. 112) 9on el 'todo de reducción del siguiente ra&onaiento lógico :
al absurdo% deterine la valide&
“Si 2orint"ians gana el último partido, su "inc"ada %esteja# S(lo si la "inc"ada %est eja, 2or int"ians queda campe(n# La "inc"ada no %est eja y a que 2orint"ians no gana el último par tido ni queda campe(n# )or lo tanto, si la "inc"ada de 2orint"ians no %esteja, entonces 2orint"ians no queda campe(n#”
0espuesta: Válido. 11,) Dado el siguiente ra&onaiento: H=na %unci(n f per o la %unci(n
es crecient e siempr e que sea mon(tona creciente, f no es creciente# )or lo que, f no es mon(t ona creciente#
I
Deterine si es válido o no: a) Epleando el 'todo de DE>T0!9A P0 9AT0!00E9JP09!. b) Epleando el 'todo de 0EDF99A !L !B>F0D. 0espuesta: Válido. 11) ndi-ue si la proposición planteada en cada literal es verdadera. >i no lo es% proporcione un
contraeeplo.
a) is copaGeros de este curso de nivelación tienen 1? aGos. b) Las banderas de los pa6ses de !'rica del >ur tienen , colores. c) 9ada aGo tiene ,=/ d6as. d) Las provincias del Ecuador tienen gobernador. e) En "ua;a-uil solaente eisten universidades p5blicas. 3) Ao 8a; pa6ses -ue 8a;an ganado veces la copa undial de 35tbol. g) El preio Aobel de Literatura no
lo 8a ganado un
la tinoaericano. 8) Los celulares son
táctiles. i) Los reloes de pulsera son etálicos. ) La 3oras proposicionales son tautológicas cuando las variables proposicionales -ue las con3oran son reepla&adas por proposiciones verdaderas. <) >i un n5ero es divisible para ,% entonces es divisible para =. l) Los n5eros prios no son pares. ) La sua de un n5ero ipar ; un n5ero par da coo resultado un n5ero par. n) >i un n5ero es par% entonces su cuadrado no será un n5ero par. o) Las operaciones arit'ticas cuplen con la propiedad conutativa.
