Hevisajdov Razvoj - Visestruki Polovi

Sistemi automatskog upravljanja

Hevisajdov razvoj funkcije koja ima vi šestruke polove

 Neka je  X ( s )

P( s) 

 racionalna funkcija po s i predstavimo je u obliku

Q( s )

Hevisajdov razvoj funkcije koja ima viš vi šestruke polove U opš op štem sluč slučaju funkcija  X (s) ima jednostruke i vi šestruke polove. Pretpostavimo da  X (s) (s) ima jedan pol s = si reda ν reda νi > 1 (viš (višestrukosti ν estrukosti νi > 1), i da su svi ostali polovi od  X (s) (s) jednostruki ( ν1 = ν2 = . . . = ν =  νi−1 = νi+1 = . . . = ν =  νn). Tada Hevisajdov razvoj od  X (s) (s) ima sledeć sledeći oblik:  X ( s) 

 R1



s  s1

 Ri 1



s  si 1



Ri1 s  s i1

Rn



s  sn

Rezidium  Rij  funkcije X (s) koji odgovara polu  Rij  lim s  si

1

d

i   j



Ri1



s  si

si

Ri 2

( s  si ) 2

višestrukosti





i



 Rii

( s  si )

i

 je određen sa:

  P( s)   ( s  si ) Q (s )    i

( i  1) ! ds

i   j

 Napomena: Rezidiumi funkcije  X (s) koji odgovaraju jednostrukim polovima s j , j =1 =1,

(i  1 ), i ,

n   mogu se

izračunati izračunati i  i korišćenjem Košijeve Košijeve teoreme  teoreme o ostacima: ostacima :  R j



lim ( s  s j )

s  s j

P( s) Q( s )

a) Naći odziv sistema automatskog upravljanja na jediničnu odskočnu pobudu   ako je data funkcija  prenosa sistema u obliku 5 G ( s)  . 2  s  1  s  3  b) Pokazati kako se ovaj zadatak zadatak može uraditi primenom MATLAB -a. Rešenje: a) Y ( s)

5

Y (s)



 R1

lim s





  s  3

s s 1

s 0

2



 R1 s

5 s ( s  1)

2



( s  3)



R21 s 1

5





R22



2

( s  1)



2

  s  3

s s 1

.

 R3 s 3

5 3

 5 5  ( s  1)2   2 s  1 ds s ( s  1) ( s  3)  4 

 R21  lim

 R22

 R3



d  

lim (s  1)

s 1



lim (s  3)

s 3

5

2

s ( s  1)

2

 

s ( s  1)

2

2

( s  3)

5

 

( s  3)

5

5 12

Odziv sistema se sada izračunava kao inverzna Laplace -ova transformacija signala 1

 y(t )  L

5 1

Y ( s)  L1 

3 s



5 1 4 s 1



5

1

2 ( s  1)

 b)

1

2



5

Y ( s)

,

 5 5  t 5 t 5 3t     30   e  te  e  h(t ) 12  4 12 3 4 

Sistemi automatskog upravljanja Y ( s)



5



2

  s  3

s s 1



5 s

4



5s

3



7s 2  3s

Funkcija [R,P] = residue(num, den)   nalazi rezidijume R, polove P u parc ijalne razlomke količnika dva polinoma P(s)/Q(s). MATLAB kod: num=5 den=[1 5 7 3 0] [R,p,K] = residue(num, den)

Dobija se: R= -0.4167 -1.2500 -2.5000 1.6667  p = -3.0000 -1.0000 -1.0000 0 K=

[]

2