TEMA TEMA 7
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INTRODUCCIÓN A LAS MÁQUINAS HIDRAULICAS
HIDRAULICA APLICADA Código 325 3º Curso, INGENIERÍA INDUSTRIAL Curso 2004/05 HIDRAULICA APLICADA Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
1.1. 1.1.-- Introducción Introducc ión a las Bombas Centrífuga Centrífugass 1.2. 1.2.-- Clasificación lasific ación de las las máquinas de fluidos flui dos 1.2. 1.2.1. 1.-- Introducción: Introducci ón: generalidades generalidades 1.2. 1.2.2. 2.-- Algunos Algu nos tipos tip os de bombas s a c i l u á r d i H s a n i u q á M s a l a n ó i c : c 7 u a d o m r e t n T I
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1.2. .2.3.- Clasificación lasificación de las las turbobómba tur bobómbass hidráulicas hidráulicas 1.3. 1.3.-- Teorema Teorema Fundamental de las Turb Turbomáqui omáquinas nas o Teorema Teorema de Eul Euler er 1.4. 1.4.-- Altura Altur a teóric teóricaa aportada aportada por una bomba 1.5. 1.5.-- Derivación alternativa de la ecuación ecuación fundamental fundamental de las turbomáquinas tur bomáquinas ANEXOS
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1.1. 1.1.-- Introducción Introducc ión a las Bombas Centrífuga Centrífugass 1.2. 1.2.-- Clasificación lasific ación de las las máquinas de fluidos flui dos 1.2. 1.2.1. 1.-- Introducción: Introducci ón: generalidades generalidades 1.2. 1.2.2. 2.-- Algunos Algu nos tipos tip os de bombas s a c i l u á r d i H s a n i u q á M s a l a n ó i c : c 7 u a d o m r e t n T I
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1.2. .2.3.- Clasificación lasificación de las las turbobómba tur bobómbass hidráulicas hidráulicas 1.3. 1.3.-- Teorema Teorema Fundamental de las Turb Turbomáqui omáquinas nas o Teorema Teorema de Eul Euler er 1.4. 1.4.-- Altura Altur a teóric teóricaa aportada aportada por una bomba 1.5. 1.5.-- Derivación alternativa de la ecuación ecuación fundamental fundamental de las turbomáquinas tur bomáquinas ANEXOS
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1.1. 1.1.-- Introducción Introducci ón a las Bombas Centrífugas Centrífugas Este es el esquema típico de un bomba centrífuga.
Salida Caudal s a c i l u á r d i H s a n i u q á M s a l a n ó i c : c 7 u a d o m r e t n T I
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Brida de Impulsión
El sistema de funcionamiento es bastante sencillo. El caudal entra a la bomba a través de la brida de aspiración. Pasa a través del rodete, dispositivo con aspas que se mueve sobre su eje gracias al motor al que está acoplado. El rodete le comunica energía centrífuga al fluido, siendo expulsado hacia la voluta, especie de caracol que recoge el caudal que sale del rodete, el cual lo conduce hacia la brida de impulsión, salida de la bomba.
Entrada Caudal Brida de Aspiración HIDRAULICA APLICADA Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Salida Caudal
Esquema de una bomba centrífuga monobloc típica.
Motor: Eléctrico o Diessel s a c i l u á r d i H s a n i u q á M s a l a n ó i c : c 7 u a d o m r e t n T I
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Entrada Caudal
Eje
Rodete
Motor: Eléctrico o Diessel
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Veamos que hace la bomba de forma breve: El fluido entra por la brida de impulsión, y sale por la de aspiración. Si aplicamos Bernoulli: Qsalida Dimp
2 2 p asp V asp p imp V imp + + z + H = + + z γ 2.g asp bomba γ 2.g imp
La diferencia de cotas entre la entrada y la salida es muy pequeña, y casi la podemos despreciar s a c i l u á r d i H s a n i u q á M s a l a n ó i c : c 7 u a d o m r e t n T I
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2 2 ⎤ V asp ⎡ p imp p asp ⎤ ⎡V imp ⎥ + [z imp − z asp ] − − H bomba = ⎢ ⎥+⎢ γ ⎦ ⎢ 2.g 2.g ⎥ ⎣ γ ⎣ ⎦ ≈0
∆z
Obviamente el caudal a la entrada es el mismo que a la salida, y si los diámetros de aspiración e Qentrada impulsión son parecidos, las velocidades del fluido en esos puntos también lo serán, por lo que la diferencia la podríamos despreciar en un primer momento. 2 2 ⎤ V asp ⎡ p imp p asp ⎤ ⎡V imp ⎢ H bomba = ⎢ − ⎥ + 2.g − 2.g ⎥ γ γ ⎥⎦ ⎣ ⎦ ⎢⎣
≈0
Dasp
p imp p asp = + H bomba γ
γ
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p imp p asp = + H bomba γ
γ
O lo que es lo mismo, toda la energía de bombeo, o energía que entrega la bomba al fluido, éste lo invierte, o la almacena, en forma de presión a la salida de la bomba.
Por tanto, las bombas lo que hacen es aumentar la energía en forma de presión del fluido. Consumen Energía de la red, energía eléctrica normalmente, y entregan energía al fluido, el cual la almacena en forma de presión. s a c i l u á r d i H s a n i u q á M s a l a n ó i c : c 7 u a d o m r e t n T I
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Energía Hidráulica Útil Entregada al Fluido
Energía consumida de la red
Perdidas Perdidas Perdidas Hidráulicas en el motor Mecánicas ( Rozamiento, Eléctrico ( en el eje ) turbulencias, Choques, etc.. ) HIDRAULICA APLICADA Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
¿ Cuál es la potencia necesaria para elevar el P potencia = V imp .F = V imp .(A.P h ) = V imp .A.γ .H = Q .γ .H líquido de la tubería ? Por tanto, la potencia útil que posee el fluido a la salida de la bomba será: s a c i l u á r d i H s a n i u q á M s a l a n ó i c : c 7 u a d o m r e t n T I
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La potencia eléctrica que toma de la red será ( si el motor es trifásico ):
P util = γ .Q .H P electrica = 3 .U .I . cosϕ
Así, el rendimiento de la bomba, será la relación entre la potencia útil que le entregamos al fluido y la potencia eléctrica que tomamos de la red, y que pagamos: η =
P útil
P electrica
Es decir, la potencia consumida por la bomba será:
P electrica =
γ .Q .H η
Donde el rendimiento será un parámetro de la bomba que el fabricante nos dará en forma de curva, en función del caudal que trasiega. HIDRAULICA APLICADA Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
De forma preliminar vamos a intentar entender el comportamiento de la bomba. Supongamos que no existen ningún tipo de pérdidas en la bomba. Así toda la energía que extraemos de la red se la comunicamos a la bomba. Esto es debido a que el motor eléctrico mantiene las rpm constantes, por tanto, la energía disponible para el fluido se mantiene de alguna manera constante. Si pasa poco líquido, la energía que le daremos al fluido por unida de volumen será mayor que si pasa mucho fluido por la bomba. Por tanto, es de esperar que el comportamiento de la bomba sea de una forma parecida a esta: s a c i l u á r d i H s a n i u q á M s a l a n ó i c : c 7 u a d o m r e t n T I
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Si por la bomba pasa Q1, la bomba le da energía al fluido el cual la almacena en forma de presión, correspondiéndole una altura H1, si pasa más caudal, Q2, la misma energía se reparte entre más y por tanto, a cada unidad de caudal le corresponde menos energía, por lo que la energía almacena es menor, y por tanto sale de la bomba con menos presión ( altura ), H2.
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La bomba no sabe cuanto caudal ha de trasegar, quien marca el caudal es la instalación sobre la que va montada la bomba. Supongamos que tenemos la instalación de la figura
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Curva Resistiva de la Instalación, H A
La bomba si la colocamos es la instalación anterior, tendrá su punto de funcionamiento en H0,Q0. Que como vemos depende de la fricción, la válvula y la cota.
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Matemáticamente esto se expresa como:
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H bomba = A + B .Q + C .Q 2
Curva Motriz
H A = ∆Z + r fricción .Q 2 + r valvula .Q 2
Curva Resistiva de la instalación.
Así, si queremos un caudal en concreto, lo que hemos de hacer es variar la curva resistiva, y para eso está la válvula que en función de su grado de abertura introducirá una resistencia u otra. Así, si por ejemplo cerramos la válvula aumentando la resistencia hidráulica de la misma, el sistema reducirá el caudal, Q1, y aumentando la altura, H1, que proporciona la bomba.
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Partes principales de las Bombas Centrífugas Impulsión
Difusor Impulsión
Aspiración s a c i l u á r d i H s a n i u q á M s a l a n ó i c : c 7 u a d o m r e t n T I
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Aspiración
Rodete Cámara Espiral o Caracol o Voluta
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BOMBA CENTRÍFUGA SIN DIFUSOR
Punto de entrada al rodete Linea de flujo
Voluta o Caracol Rodete
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EL aumento de energía se refleja a la salida del rodete como un aumento del momento cinético. SI queremos comunicar mucha energía al fluido, y por tanto una mayor presión, la velocidad absoluta a la salida del rodete será muy grande. Al pasar este fluido con alta velocidad por la voluta, se producirán muchas perdidas de energía por fricción ya que estas dependen de la velocidad al cuadrado. Para evitarlo, se coloca entre el rodete y la voluta unos álabes fijos que reducen la velocidad de salida aumentando la presión ( transforma energía cinética en potencial, no se pierde ), con lo que se reduce las perdidas posteriores en el paso por el caracol. s a c i l u á r d i H s a n i u q á M s a l a n ó i c : c 7 u a d o m r e t n T I
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IMPULSIÓN
CARCASA DIFUSOR
CARACOL
ASPIRACIÓN
RODETE HIDRAULICA APLICADA Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
1.2.- Clasificación de las máquinas de fluidos 1.2.1.- Introducción: generalidades Las bombas son máquinas de fluidos, es decir, dispositivos que transforman energía:
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• TURBINAS :
Máquinas de fluidos absorben energía del fluido que trasiegan.
• BOMBAS :
Máquinas de fluidos que comunican energía al fluido que trasiegan.
La primera gran clasificación de las máquinas de fluidos es atendiendo a su principio de funcionamiento: • MÁQUINAS DE DESPLAZAMIENTO POSITIVO: Máquinas en las que el fluido es trasegado de forma discreta, es decir, el fluido se encierra en un volumen, desde la aspiración hasta la descarga, aplicándole una serie de trasformaciones trasformación.
• TURBOMÁQUINAS: Máquinas en las que el intercambio de energía es debido a la variación del momento cinético al pasar por la máquina. El intercambio se hace de forma continuo. HIDRAULICA APLICADA Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Otra gran división en la clasificación de las máquinas de fluidos será atendiendo al tipo de fluido que trasiegan, y sobre todo, a variación de la densidad del fluido en el interior de la máquina. Así podemos distinguir: • Máquinas Hidráulicas: El fluido no experimenta cambios en su densidad en su paso por la máquina. Bombas, ventiladores, turbinas hidráulicas s a c i l u á r d i H s a n i u q á M s a l a n ó i c : c 7 u a d o m r e t n T I
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• Máquinas Térmicas:
El fluido experimenta cambios en su densidad en su paso por la máquina Turbinas de vapor y gas, turbocompresores
Así, nosotros dedicaremos la mayor parte de nuestro tiempo a las TURBOBÓMBAS HIDRÁULICAS, algo de tiempo a las BOMBAS HIDRÁULICAS DE DESPLAZAMIENTO POSITIVO, y sólo se comentará el funcionamiento y principales aplicaciones de las TURBINAS HIDRÁULICAS. Lo relativo a las TURBINAS TÉRMICAS queda fuera del ámbito de esta asignatura.
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• Descripción general de una Bomba 1.
Parte eléctrica: Motor y conexiones. Motor de inducción o de jaula de ardilla, de potencia superior a la solicitud más desfavorable.
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2.- Parte mecánica: Eje y rodamientos y sellos. – Muy simplificada al tratarse de un equipo compacto. – Eje y rodamientos sometidos a menos esfuerzos.
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• •
Sellos: es vital en una bomba sumergible. El más apropiado es la junta mecánica.
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2.- Parte mecánica: Cámara de aceite para la lubricación y refrigeración de la junta mecánica.
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3.- Parte Hidráulica: Voluta, impulsor y anillos de desgaste.
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Existen muchas formas de clasificarlo
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A parte de esta existen un gran número de clasificaciones alternativas. En la literatura anglosajona es muy común este tipo de clasificación, en la que se llaman bombas dinámicas o cinemáticas a las turbobombas, y se llaman bombas centrífugas al conjunto de bombas radiales, centrífugas y helicocentrífugas
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1.2.3.- Clasificación de las turbobómbas hidráulicas Existe una gran cantidad de clasificaciones para las bombas hidráulicas. La más popular es la que las clasifica en función de la dirección del fluido en el rodete: • RADIAL o CENTRÍFUGA : s a c i l u á r d i H s a n i u q á M s a l a n ó i c : c 7 u a d o m r e t n T I
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Toda partícula de fluido recorre una trayectoria situada en un plano normal al eje de giro. • AXIAL: Las partículas recorren trayectorias situadas en superficies cilíndricas coaxiales al eje de giro
Radial o Centrífugo
• HELICOCENTRÍFUGAS : Las partículas recorren trayectorias situadas sobre superficies cónicas o de revolución no desarrollables HIDRAULICA APLICADA Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Helicocentrífugo o Mixo
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Centrifuga
Axial
Radial
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Radial s a c i l u á r d i H s a n i u q á M s a l a n ó i c : c 7 u a d o m r e t n T I
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Axial
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• Según la disposición:
CAMARA SECA s a c i l u á r d i H s a n i u q á M s a l a n ó i c : c 7 u a d o m r e t n T I
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SUMERGIBLES
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• Cámara Seca: • VERTICAL • HORIZONTAL
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• Sumergibles
1.- De pozo profundo.
2.- De Voluta.
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3.- De hélice.
• Sumergibles: De pozo
1.- De eje largo. s a c i l u á r d i H s a n i u q á M s a l a n ó i c : c 7 u a d o m r e t n T I
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2.- De motor sumergible
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• Sumergibles: Con Voluta
1.- De motor exterior.
2.- De motor sumergible:
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• Sumergibles: de Hélice
2.- De motor sumergible:
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1.- De motor exterior.
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• Según el tipo de eje: • MONOBLOC:
Cuando el eje es único para el motor y la bomba
• DE EJE LIBRE: Cuando la bomba y el motor tiene su propio eje, y se unen mediante algún mecanismo para que la bomba sea arrastrada por el motor. s a c i l u á r d i H s a n i u q á M s a l a n ó i c : c 7 u a d o m r e t n T I
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Monobloc
Eje Común
Eje Libre
Acoplamiento entre ejes
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• Según el Número de rodetes:
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• MONOCELULAR ( monostage ):
Cuando sólo tiene un rodete
• MULTICELULAR ( multistage ):
Cuando tiene una serie de rodetes acoplados.
Múltiples rodetes
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Múltiples rodetes
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• Según la configuración del conjunto álabes-discos externos que constituyen el rodete ( impeller ) : • Abierto • Semi-abierto • Cerrado s a c i l u á r d i H s a n i u q á M s a l a n ó i c : c 7 u a d o m r e t n T I
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• Según la configuración del conjunto álabes-discos externos que constituyen el rodete ( impeller ) :
MONOCANAL
BICANAL
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CORTADOR TIPO TORNILLO VORTEX
ABIERTO
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1.3.- Teorema Fundamental de las Turbomáquinas o Teorema de Euler
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Podemos partir de la aplicación de la ecuación de conservación del momento angular para unos ejes fijos ( ver anexo A para su deducción ) G
G
G
G
G
r × F sup erficie + ∫ (r × g ). ρ . d ∀ + T otros = ∀.C
G G G d G G (∫ r ×V ) ρ d ∀ + ∫ (r G ×V ) ρ V d A dt ∀vc Avc
Entendiendo el volumen de control como todo al rotedete, y simplificando, suponiendo la ausencia de rozamiento con los álabes y estado estacionario, obtendremos: G
G
G
G G
G
G
G G
G
G
G G
M ext = ∫ (r ×V ) ρ V d A = ∫ (r × V ) ρ V d A + ∫ (r × V ) ρ V d A Avc
Σ2
Σ1
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•
El único par exterior al V.C. Será el par motor, M motor , necesario para mover el rodete con una velocidad angular ω.
•
Podemos suponer que la velocidad del flujo tanto a la entrada como a la salida del rodete es uniforme, es decir, no depende del punto del área en el que nos situemos.
Con estas dos suposiciones la ecuación anterior queda como: s a c i l u á r d i H s a n i u q á M s a l a n ó i c : c 7 u a d o m r e t n T I
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G
G
G G
G
G
G G
M motor .k ˆ = (r × V )1 ∫ ρ V d A + (r ×V )2 ∫ ρ V d A Σ1
Σ2
Teniendo en cuenta los triángulos de velocidades:
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Entrada: G G
G
G
∫ ρ V d A = ∫ ρ (V .n ˆ )dA = ∫ ρ V . n ˆ . cosθ dA = ∫ ρ (V .1. cosθ )dA
Σ1
G G
Σ1
Σ1
Σ1
∫ ρ V d A = − ρ .V . cosθ ∫ dA = − ρ .V . cosθ .Σ1 = − ρ .v m 1.Σ1 = − ρ .Q r
Salida:
Σ1
Σ1
G G
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G
G
∫ ρ V d A = ∫ ρ (V .n ˆ )dA = ∫ ρ (V . n ˆ . cosθ )dA = ∫ ρ (V .1. cosθ )dA
Σ2
G G
Σ2
Σ2
Σ2
∫ ρ V d A = ρ .V . cosθ ∫ dA = ρ .V . cosθ .Σ 2 = ρ .v m 2 .Σ1 = ρ .Q r
Σ2
Σ2
Así, la ecuación anterior queda como: G
G
G
G
G
G
G
G
M motor .k ˆ = (r ×V )1( − ρ .Q r ) + (r ×V )2 .( ρ .Q r ) = ρ .Q r .[(r × V )2 − (r ×V )1 ] Aplicando la definición de producto vectorial de dos vectores: G
G
(r G ×V )1 = r G .V . sinθ = r 1.V 1. sinθ = r 1.V 1. cosα 1 = r 1.v 1u G G (r G ×V )2 = r G .V . sinθ = r 2 .V 2 . sinθ = r 2 .V 2 . cosα 2 = r 2 .v 2u HIDRAULICA APLICADA Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Sustituyendo en la ecuación queda:
M motor .k ˆ = ρ .Q r .[r 2 .v 2u − r 1.v 1u ]
TEOREMA DE EULER BÁSICO DE LAS TURBOMÁQUINAS
La suposiciones que se han considerado son: s a c i l u á r d i H s a n i u q á M s a l a n ó i c : c 7 u a d o m r e t n T I
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• No existen pérdidas hidráulicas en el rodete • El rodete tiene un número infinito de álabes. O lo que es lo mismo todas las trayectorias de las partículas en el interior del rodete están perfectamente guiadas y son idénticas • El régimen es permanente • El flujo es incompresible
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Vamos ahora a analizar un poco la expresión del teorema de Euler:
M motor .k ˆ = ρ .Q r .[r 2 .v 2u − r 1.v 1u ]
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Si nos fijamos en la velocidad del flujo, V, vemos que ésta se puede descomponer en dos , una componente radial, vm, la cual es obvio que no producirá ningún tipo de par, ya que su línea de acción pasa por el centro de giro, y una componente vu , tangencial, la cual será la responsable del par producido. Se puede entender que el momento será proporcional a la distancia de aplicación, por tanto, queda claro que el momento creado sobre el fluido será proporcional a r.vu. El motor de la bomba ha de proporcionar un par al fluido proporcional a r 2.v2u, pero si el fluido a la entrada ya posee un par proporcional a r 1.v1u, el motor sólo tendrá que proporcionarle el resto, es decir la resta de ambas cantidades. [r 2 .v 2u − r 1.v 1u ] Qr es el caudal que circula por el rodete, es decir el caudal que trasiega la bomba kg m 3 ⎡ m ⎤ kg m kg .m .⎢m . ⎥ = . .m = 2 .m ρ .Q r .[r 2 .v 2u ] = 3 . m s ⎣ s ⎦ s s s ρ .Q r .[r 2 .v 2u ] = N .m HIDRAULICA APLICADA Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
1.4.- Altura teórica aportada por una bomba Del teorema de Euler, podemos extraer la potencia teórica de que la bomba ha de proporcionar:
P motor = M motor .ω = ρ .Q r .[r 2 .v 2u − r 1.v 1u ].ω = ρ .Q r .[r 2 .ω .v 2u − r 1.ω .v 1u ] = ρ .Q r .[u 2 .v 2u − u 1.v 1u ] s a c i l u á r d i H s a n i u q á M s a l a n ó i c : c 7 u a d o m r e t n T I
44
La potencia comunicada al fluido en su paso por el rodete será:
P t ,∞ = γ .Q .H t ,∞
Sustituyendo: P motor = ρ .Q r .[u 2 .v 2u − u 1.v 1u ] = Q r .γ .H t ,∞ ¿ Cuál es la potencia necesaria para elevar el líquido de la tubería ?
P = v . = v .A.P h P = v .A.γ .H = Q .γ .H
H t ,∞ =
[u 2 .v 2u − u 1.v 1u ] g
ALTURA TEÓRICA PRODUCIDA POR UNA BOMBA DE INFINITOS ÁLABES
Como la mayoría de bombas están pensadas para que el flujo entre de forma radial al rodete, es decir con = 90º , o lo que es lo mismo v1u = 0, la altura teórica para esta bombas será:
H t ,∞ =
u 2 .v 2u g
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Es evidente que los parámetros que caracterizan una bomba son ALTURA y CAUDAL, por lo que sería adecuado intentar encontrar una relación entre ambos parámetros. Q r Q v 2m = r El caudal es quien determina la componente radial v m de la velocidad V: v 1m = Σ Σ2 1 Mientras que la velocidad angular del rodete es quien marca la velocidad tangencial u y por tanto la velocidad de arrastre.v u s a c i l u á r d i H s a n i u q á M s a l a n ó i c : c 7 u a d o m r e t n T I
45
u = ω .r =
2π .N 2π .N π .N .D 2 .r → u 2 = ω .r 2 = .r 2 = 60 60 60
v 2u = v 2 . cosα 2
w2
Si nos fijamos en la figura, el ángulo geométrico más físico es β2, ya que viene marcado por la curvatura de los álabes, y es fijo, por lo que es mejor trabajar con este ángulo que con α2 el cual varía en función del caudal y la velocidad.
v 2u = u 2 −
v 2m = u − v . cot g β 2 tg β 2 2 2m
Sustituyendo en la ecuación de la altura: HIDRAULICA APLICADA Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
u 2 .v 2u u 2 .(u 2 − v 2m . cot g β 2 ) u 22 u 2 .(v 2m . cot g β 2 ) H t ,∞ = = = − g g g g 1 ⎛ π .N .D 2 ⎞ 2 π .N .D 2 cot g β 2 Q r ⎡ 1 ⎛ π .D 2 ⎞ 2 ⎤ 2 ⎡π .N .D 2 cot g β 2 1 ⎤ H t ,∞ = .⎜ = ⎢ .⎜ ⎟ − ⎟ ⎥.N − ⎢ ⎥Q r g ⎝ 60 ⎠ g Σ 2 ⎣⎢ g ⎝ 60 ⎠ ⎦⎥ g 60 60 Σ ⎣ 2⎦ s a c i l u á r d i H s a n i u q á M s a l a n ó i c : c 7 u a d o m r e t n T I
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H t ,∞ = A.N 2 − B .Q r Para una velocidad de rotación dada N 0, podemos determinar en función del ángulo de salida de las paletas lo siguiente:
u 22 ⎡π .N .D 2 cot g β 2 1 ⎤ u 22 H t ,∞ = − ⎢ Q = − B .Q r g ⎣ 60 g Σ2 ⎥⎦ r g
N0 Régimen de Giro Nominal 15
Si β < 90º -> ctg β >0 -> B>0-> PENDIENTE NEGATIVA
10
si Qr aumenta, Ht Disminuye
5
1 tg β
n a t o c
0
Si β > 90º -> ctg β <0 -> B<0-> PENDIENTE POSITIVA
-5
-10
-15 0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
si Qr aumenta, Ht Aumenta
grados
β
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Veamos que ocurre con la potencia teórica comunicada al fluido por la bomba. La podemos calcular como:
P t ,∞ = γ .Q r H t ,∞ = γ .Q r A.N 2 − B .Q r Como se puede observar, sólo las bombas con los álabes con ángulo b2 <90º son viables, ya que en el resto sería necesario motores de potencia infinita.
º 0 9 =
s a c i l u á r d i H s a n i u q á M s a l a n ó i c : c 7 u a d o m r e t n T I
47
º 0 9 >
β
β 2
El caudal máximo que proporciona la bomba será:
2
β < 2 9 0 º
P t ,∞ = 0 = γ .Q r A.N 2 − B .Q r A.N 2 Q r max = B El caudal que de la potencia máxima será: ∂P P t ,∞ MÁXIMA → t ,∞ = γ .(A.N 2 − 2B .Q r ) = 0 ∂Q r A.N 2 Q r max Q r P t ,∞ max = = 2B 2
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1.5. 1.5.-- Derivación Derivación alternativa alternativa de la ecuación ecuación fundamental fundamental de las l as turbomáquinas turbo máquinas Supongamos que el rodete está parado, y que por tanto el fluido entra y sale de él con una velocidad w 1 y w2 respectivamente. Aplicando el teorema de Bernoulli: s a c i l u á r d i H s a n i u q á M s a l a n ó i c : c 7 u a d o m r e t n T I
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p 1 w 12 p 2 w 22 + = + γ 2g γ 2g Donde p es la presión a la entrada y salida del rodete. SI el rodete se pone en marcha y gira con velocidad angular constante ω, lo que hará será añadir al fluido una energía extra, extra, E, derivada por por la fuerza centrífuga centrífuga en su camino desde 1 a 2.
p 1 w 12 p 2 w 22 + + E = + γ 2g γ 2g La fuerza centrífuga se puede determinar como: F c ,m = m .ω 2 .r Así, el trabajo que realizará la fuerza centrífuga sobre una partícula que va de 1 a 2 estará determinado por:
W Centr . =
2 2 r 2 ∫ m .ω .r .dr = m .ω . r 1
r 2
2
u 22 − u 12 − r 12 = m . 2 2
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s a c i l u á r d i H s a n i u q á M s a l a n ó i c : c 7 u a d o m r e t n T I
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Para una el fluido que que circula entre dos álabes álabes cuando el rodete rodete esta quieto, según Bernoulli Bernoulli tenemos que: 1 1 p 1.A1.w 1 + w 12 . ρ .Q r + z 1.g . ρ .Q r = p 2 .A2 .w 2 + w 22 . ρ .Q r + z 2 .g . ρ .Q r 2 2 1 1 p 1.A1.w 1 + w 12 . ρ .Q r + z 1.g . ρ .Q r p 2 .A2 .w 2 + w 22 . ρ .Q r + z 2 .g . ρ .Q r 2 2 = g . ρ .Q r g . ρ .Q r
p 1 w 12 p 2 w 22 + + z = + + z g ρ 2.g 1 g ρ 2.g 2 Para una el fluido que que circula entre dos álabes álabes cuando el rodete rodete esta girando con velocidad constante ω, según según Bernoulli tendremos tendremos que: que: u 22 − u 12 1 2 1 p 1.A1.w 1 + w 1 . ρ .Q r + z 1.g . ρ .Q r + . ρ .Q r = p 2 .A2 .w 2 + w 22 . ρ .Q r + z 2 .g . ρ .Q r 2 2 2 u 22 − u 12 1 2 1 p 1.A1.w 1 + w 1 . ρ .Q r + z 1.g . ρ .Q r + . ρ .Q r p 2 .A2 .w 2 + w 22 . ρ .Q r + z 2 .g . ρ .Q r 2 2 2 = g . ρ .Q r g . ρ .Q r w 12 − w 22 u 22 − u 12 p 2 − p 1 p 1 w 12 u 22 − u 12 p 2 w 22 Como usualmente z =z + = 2 1 + + z 1 + = + + z 2 g g g ρ 2 . 2 . g ρ 2.g g ρ 2.g 2.g HIDRAULICA APLICADA Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
w 12 − w 22 u 22 − u 12 p 2 − p 1 + = g ρ 2.g 2.g w 12 − u 12 p 1 w 22 − u 22 p 2 + = + γ γ 2.g 2.g
w 12 − u 12 p 1 ECUACIÓN DE BERNOULLI + = cte . GENERALIZADA γ 2.g
En el caso en en que existan existan pérdidas por fricción o por choques choques en el paso del fluido a través través del rodete tendremos: s a c i l u á r d i H s a n i u q á M s a l a n ó i c : c 7 u a d o m r e t n T I
50
w 12 − u 12 p 1 w 22 − u 22 p 2 + = + + h 12 2.g 2.g γ γ
Perdidas por fricción y choques en el rodete ( en m.c.a )
Ahora, teniendo en cuenta el triangulo de velocidades tendremos que:
w 2 = (u − v . cosα )2 + (v . sinα )2 w 2 = u 2 + v 2 . cos2 α − 2.u .v . cos α + v 2 . sin2 α w 2 = u 2 + v 2 .(cos2 α + sin2 α )− 2.u .v . cosα w 2 = u 2 + v 2 − 2.u .v . cos α w 2 − u 2 = v 2 − 2.u .v . cos α HIDRAULICA APLICADA Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
En el caso de perdidas despreciables en el interior del rodete ( h 12 = 0 ):
v 12 − 2.u 1.v 1. cosα 1 p 1 v 22 − 2.u 2 .v 2 . cosα 2 p 2 + = + 2.g 2.g γ γ v . cosα = v 2u s a c i l u á r d i H s a n i u q á M s a l a n ó i c : c 7 u a d o m r e t n T I
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v 12 − 2.u 1.v 1u p 1 v 22 − 2.u 2 .v 2u p 2 + = + 2.g 2.g γ γ v 12 p 1 u 1.v 1u v 22 p 2 u 2 .v 2u + − = + − g g 2.g γ 2.g γ Según Bernoulli, este sumatorio es la La energía por unidad de peso que el energía por unidad de peso que el fluido posee a la salida del rodete fluido posee a la entrada del rodete v 22 p 2 v 12 p 1 u 2 .v 2u u 1.v 1u + − + = − g g 2.g γ 2.g γ
B 2 − B 1 =
B 2 − B 1 = H t ,∞ u 2 .v 2u − u 1.v 1u Energía ganada por el fluido a su g paso por el rodete HIDRAULICA APLICADA Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
H t ,∞ =
u 2 .v 2u − u 1.v 1u g
En el caso en que se consideren perdidas podemos determinar
H t ,∞ = B 2 − B 1 =
u 2 .v 2u − u 1.v 1u g
Si existe fricción en el rodete: s a c i l u á r d i H s a n i u q á M s a l a n ó i c : c 7 u a d o m r e t n T I
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H t ,∞ = B 2 − B 1 − h ro det e Si queremos tener en cuenta tanto los efectos de fricción con el efecto producido por un número finito de álabes, englobándolo todo en perdidas en el rodete:
H t ,z = B 2 − B 1 − ∑ h r Si se quiere tener en cuenta la existencia de perdidas en la boca de entrada del rodete antes de la sección 1 y las perdidas producidas después de la sección 2, tanto en el caracol como en difusor, la altura útil creada por la bomba será:
H u = B IMPULSION − B ASPIRACIÓN = B 2 − B 1 − ∑ h r − ∑ h d − ∑ h c
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ANEXOS
A.1.- Relación entre las velocidades de una partículas tomadas respecto a un sistema de coordenadas fijo y móvil G
G
G De la geometría obtenemos: X = R + r G G y definiendo: r = x .i ˆ + y . j ˆ + z .k
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Ahora podemos definir la velocidad de la partícula referidaGal sistema fijo como: G G G G G G V d X d R d r d r Donde ref es la velocidad del origen de coordenadas del V = = + = V ref + dt dt dt dt marco móvil. G G G G ˆ ˆ ˆ ˆ G d r dx ˆ dy ˆ dz d i d j d k d i d j d k = .i + . j + .k + x . + y . + z . = v p + x . + y . + z . dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt G G G d X G G d i ˆ d j ˆ d k V = = V ref + v p + x . + y . + z . dt dt dt dt Donde v p es la velocidad de la partícula respecto del marco móvil De la expresión anterior, que relaciona la velocidad de la partícula en los dos marcos de coordenadas, sólo que por averiguar una expresión para: G
d i ˆ d j ˆ d k , , dt dt dt HIDRAULICA APLICADA Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Cálculo de la derivada del vector unitario i ˆ : Giro respecto al eje z con una velocidad angular wz :
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⎡ i ˆ(∆t + t ) − i ˆ(t )⎤ ⎡ (1).∆θ j ˆ ⎤ d i ˆ = lim ⎢ = lim ⎢ = ω z j ˆ ⎥ ⎥ dt debido a ω ∆t →0 ⎣ ∆t ⎦ ∆t →0 ⎣ ∆t ⎦ z Giro respecto al eje y con una velocidad angular wy :
⎡ i ˆ(∆t + t ) − i ˆ(t )⎤ ⎡ (1).∆θ .( −k ˆ ) ⎤ d i ˆ = lim ⎢ = lim ⎢ = −ω y k ˆ ⎥ ⎥ dt debido a ω ∆t →0 ⎣ ∆t ∆t ⎦ ⎦ ∆t →0 ⎣ y HIDRAULICA APLICADA
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Giro respecto al eje x con una velocidad angular wx : No tiene ningún efecto sobre el eje x. Por lo que al combinarlos: d i ˆ = ω z . j ˆ − ω y .k ˆ dt d j ˆ d k ˆ ˆ ˆ ω k ω i = − = ω y .i ˆ − ω x . ˆj . . Para los otros ejes: x z dt dt G d i ˆ d j ˆ d k x . + y . + z . = (z .ω y − y .ω z ).i ˆ + (x .ω z − z .ω x ). j ˆ + (y .ω x − x .ω y ).k ˆ dt dt dt Nota:
i ˆ
j ˆ
k ˆ
G
ω × r = ω x ω y ω k
x
y
= (z .ω y − y .ω z ).i ˆ + (x .ω z − z .ω x ). j ˆ + (y .ω x − x .ω y ).k ˆ
z G
d i ˆ d j ˆ d k G G x . + y . + z . = ω × r dt dt dt G G G G G V V v ω = + + ref p × r Por tanto, resumiendo tenemos que: Velocidad de la partícula p respecto C.Fija
Velocidad del origen Velocidad de la del sistema de partícula p respecto C.Móviles respecto a HIDRAULICA APLICADA C.Móviles
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Vector Posición de la partícula P respecto C. Móviles Velocidad angular del sistema C.
A.2.- Ecuación del momento para un volumen de control con aceleración arbitraria G
Si P la cantidad de momento de un sistema respecto a unos ejes coordenados fijos o con velocidad constante: G
G
G
P = ∫ V .dm → F = M sys
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Como:
G
G
G
G
G d P d d V V dm dm a = = = . . ∫ ∫ ∫ .dm dt sys dt M M dt M G
sys
G
G
sys
sys
G
V = V ref + v p + ω × r G
G
d v p d G G d V G = a + + (ω × r ) dt ref dt dt G
G d r G G G d v p G G G = v + ω × r → = a p + ω × v p dt p dt G G d G G d ω G G d r G G G G G G (ω × r ) = × r + ω × = ω × r + ω × (v p + ω × r ) dt dt dt d G G G G G G G G G (ω × r ) = ω × r + ω × v p + ω × ω × r dt G G G G G G G G G G a = a ref + a p + 2.ω × v p + ω × ω × r + ω × r HIDRAULICA APLICADA Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
a = a ref + a p + 2.ω × v p + ω × ω × r + ω × r (1) (2) (3) (4) (5) (6) (1) Aceleración rectilínea absoluta de una partícula relativa al marco de referencia fijo s a c i l u á r d i H s a n i u q á M s a l a n ó i c : c 7 u a d o m r e t n T I
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(2) Aceleración rectilínea absoluta del sistema de coordenadas relativa al marco de referencia fijo (3) Aceleración rectilínea rectilínea de una partícula relativa al marco de referencia en movimiento (4) Aceleración de Corilolis debida al movimiento de una partícula dentro del marco en movimiento (5) Aceleración centrípeta debida a la rotación del marco en movimiento (6) Aceleración tangencial debida a la aceleración angular dentro del marco en movimiento
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Sustituyendo esta aceleración en la expresión de la segunda ley: G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
F sys = ∫ a ref + a p + 2.ω × v p + ω × ω × r + ω × r .dm M sys
G
G d v G G G d d p G G G G G G G p F sys − ∫ [a ref + 2.ω × v p + ω × ω × r + ω × r ].dm = ∫ [a p ].dm = ∫ .dm = ∫ v p .dm = dt dt dt sys M M M M G
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sys
sys
sys
sys
G
Donde p es la cantidad de movimiento relativo al marco de coordenadas en movimiento G
d p F sys − ∫ [a ref + 2.ω × v p + ω × ω × r + × r ].dm = dt sys M G
G
G
G
G
G
G
G G ω
sys
Ahora, aplicando el Teorema de Arrastre de Reynolds: G G G G G d p ∂ = ∫ v . ρ .d ∀ + ∫ v p .(ρ .v p )d A dt sys ∂t ∀.C p S .C . Se obtiene, con una pequeña modificación que: G G G G ∂ F sys − ∫ [a ref + 2.ω × v p + ω × ω × r + × r ]. ρ .d ∀ = ∫ v p . ρ .d ∀ + ∫ v p .(ρ .v p )d A ∂t ∀.C S .C . ∀.C G
G
G
G
G
G
G
G G ω
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A.3.- La Ecuación de Cantidad de Movimiento Angular: V.C. Fijo El momento Angular de un sistema homogéneo se define como: G
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G
K
H = r ×V Para unGsistema genérico lo definiremos como: G K G K H = ∫ r ×V .dm = ∫ r ×V . ρ .d ∀ M sys
∀.C
El principio del Momento Angular para unG sistema será: G d H T sys = G dt sys T Donde sys es el momento de torsión total sobre el sistema ejercido por lo alrededores G
G
G
G
G
G
G
G
T sys = r × F sys = r × F sup erficie + r × F volumen + T otros Normalmente las fuerzas de volumen son la gravedad, por lo que podemos escribir: G
G
G
G
G
G
G
G
T sys = r × F sys = r × F sup erficie + ∫ (r × g ). ρ . d ∀ + T otros ∀.C
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Aplicando el Teorema de Arrastre de Reynolds para el cálculo de la variación del momento angular: G G dN sis d η ρ d ∀ + ∫ ρη V d A = dt dt ∀∫ A vc
G
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η =
G
G
G G G G d H sis d G G = ∫ (r ×V ) ρ d ∀ + ∫ (r × V ) ρ V d A dt dt ∀vc Avc
vc
r ×V m sis
Ahora, introduciendo estas expresiones en la anterior: G G G G d G G r × F sup erficie + ∫ (r × g ). ρ . d ∀ + T otros = ∫ (r ×V ) ρ d ∀ + ∫ (r × V ) ρ V d A dt ∀vc ∀.C Avc G
G
G
G
Se trata de un V.C fijo, y por tanto todas las velocidades y vectores se determinan respecto al sistema fijo
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A.4.- La Ecuación de Cantidad de Movimiento Angular: V.C. Rotatorio Se va a desarrollar una formulación para un V.C que gira con el móvil, es decir, para un sistema de referencia no inercial. G G G K K G K ( ) H R r V dm R r V . . ρ .d ∀ = + × = + × Para un sistema: ∫ ∫ M sys
∀.C
Si el origen de coordenadas del sistema móvil coincide s a c i l u á r d i H s a n i u q á M s a l a n ó i c : c 7 u a d o m r e t n T I
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con el del sistema fijo: G
G K ⎞ d H d ⎛ ⎜ R = 0 → H = ∫ r ×V . ρ .d ∀ → T sys = r ×V dm ⎟ = ∫ ⎜ ⎟ dt sys dt ⎝ M sys ∀.C ⎠ Como la masa de un sistema es fija, podemos introducir la diferencial dentro de la integral: K G ⎛ ⎞ G K K K G G G ⎛ d r d d d V ⎞ T sys = ⎜ ∫ r × V dm ⎟ = ∫ (r × V ) dm = ∫ ⎜⎜ × V + r × ⎟⎟ dm ⎟ dt ⎜⎝ M sys dt ⎠ M sys ⎝ dt ⎠ M sys dt G
G
G
K
G
Utilizando la deducción del apartado anterior: K G G G G G G G G G G G G ⎛ G d V ⎞ d r G d r d r d r d r V = V ref + ⎯ ⎯→ V V T r dm ( r ⎯ = → × = × = → = × = 0 ⎜ ⎟ ∫ ∫ × a ) dm sys dt R = 0 dt dt dt dt dt M sys ⎝ M sys ⎠ El producto vectorial de un vector por si mismo siempre vale 0
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Recordando la expresión de la aceleración deducida con anterioridad: G G G G G G G G G G a = a ref + a p + 2.ω × v p + ω × ω × r + ω × r 0, ya que coinciden ambos orígenes de coordenadas
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
T sys = ∫ r × (a p + 2.ω × v p + ω × ω × r + ω × r ) dm M sys
s a c i l u á r d i H s a n i u q á M s a l a n ó i c : c 7 u a d o m r e t n T I
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K
d v T sys − ∫ r × (2.ω × v p + ω × ω × r + × r ) dm = ∫ r × (a p ) dm = ∫ r × p dm dt M sys M sys M sys G
G
G
G
G
G
G
G G ω
G
G
G
K
G
d v p d G G d h Que es la variación del momento angular r dm r v dm × = × = ∫ dt dt M ∫sys p dt sys referido únicamente al sistema no inercial ( M sys móvil ) G
Como:
K
G
G
G
G
G
T sys = r × F sup erficie + ∫ (r × g ). ρ . d ∀ + T otros ∀.C
Y utilizando el teorema de arrastre de Reynolds: G
G G G G d h sis d G G = ∫ (r × v p ) ρ d ∀ + ∫ (r ×`v p ) ρ v p d A dt dt ∀vc Avc HIDRAULICA APLICADA Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL