ii
i
28
LAPORAN "HIMPUNAN FUZZY"
Dosen:
Drs. H. Eka Fitrajaya Rahman, M.T.
OLEH:
Faradissa Nurul Faidah (1608145)
DEPARTEMEN PENDIDIKAN ILMU KOMPUTER
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
2017
BANDUNG
DAFTAR ISI
DAFTAR ISI i
ISI 1
Definisi Himpunan Fuzzy 1
Cara Menyatakan Himpunan Fuzzy 1
Fungsi Keanggotaan 4
Jenis dan Istilah 9
Operasi Himpunan Fuzzy 12
Logika Fuzzy 14
Contoh Soal dan Penyelesaian 15
DAFTAR PUSTAKA 19
LAMPIRAN 20
ISI
Definisi
Himpunan fuzzy adalah suatu himpunan yang sifatnya samar. Himpunan ini mengembangkan logika banyak nilai (many-valued logic) yang titik utamanya bukan hanya nilai benar atau salah, tetapi masih memiliki nilai ketiga yang bersifat netral. Di pihak lain, ada yang diekspresikan seperti pada nilai probabilitas yang memiliki nilai antara 0 dan 1.
Di dalam teori himpunan fuzzy, keanggotaan suatu elemen di dalam himpunan dinyatakan dengan derajat keanggotaan (membership values) yang nilainya terletak di dalam selang [0,1].
Derajat keanggotaan ditentukan dengan fungsi keanggotaan:
µA : X [0,1]
Arti derajat keanggotaan adalah sebagai berikut:
Jika µA(x) = 1, maka x adalah anggota penuh dari himpunan A
Jika µA(x) = 0, maka x bukan anggota himpunan A
Jika µA(x) = µ, dengan 0< µ <1, maka x adalah anggota himpunan A dengan derajat keanggotaan sebesar µ.
Cara menyatakan himpunan fuzzy
Cara 1: Sebagai himpunan pasangan berurutan
A= { (x1, µA(x1)), (x2, µA(x2)), … , (xn, µA(xn)) }
Cara ini hanya dapat digunakan apabila anggota himpunan fuzzy bernilai diskrit. Untuk anggota himpunan fuzzy yang bernilai riil, tidak dapat menggunakan cara ini.
Contoh:
Misalkan
X = {becak, sepeda motor, mobil kodok (VW), mobil kijang, mobil carry}
A = himpunan kendaraan yang nyaman dipakai untuk bepergian jarak jauh
oleh keluarga besar
(terdiri dari ayah, ibu, dan empat orang anak)
Didefinisikan bahwa,
x1 = becak, µA(x1) = 0
x2 = sepeda motor, µA(x2) = 0.1
x3 = mobil kodok, µA(x3) = 0.5
x4 = mobil carry, µA(x4) = 0.8
x5 = mobil kijang, µA(x5) = 1.0
Maka, dalam himpunan fuzzy,
A = { (becak, 0), (sepeda motor, 0,1), (mobil kodok, 0.5), (mobil carry, 0.8), (mobil kijang, 1.0) }
Cara 2: Dinyatakan dengan menyebut fungsi keanggotaan.
Cara ini digunakan apabila anggota himpunan fuzzy bernilai menerus (riil).
Contoh:
Misalkan,
A = himpunan bilangan riil dekat 2
Maka, dalam himpunan fuzzy,
A = { (x, µ(x)) " µ(x)= 1/(1 + (x-2)2) }
Cara 3: Dengan menuliskan sebagai
A = { µA(x1)/ x1 + µA(x2)/ x2 + … + µA(xn)/ xn } = { i=1nµA(xi)/ xi }
untuk X diskrit, atau
A = xµA(x)/ x
Untuk X menerus (continue) , lambang bukan integral seperti di dalam kalkulus.
Contoh:
Diskrit
X = himpunan bilangan positif
A = bilangan bulat yang dekat 10 = { 0.1/7, + 0.5/8 + 1.0/10, 0.8/11 + 0.5/12 + 0.1/13
Menerus
X = himpunan riil positif
A = bilangan riil yang dekat 10 = 1/1+x-102 / x
Fungsi Keanggotaan pada Himpunan Fuzzy
Representasi linear
Pada representasi linear, pemetaan input ke derajat keanggotaannya di gambarkan sebagai suatu garis lurus. Bentuk ini adalah yang paling sederhana dan yang paling baik untuk mendekati suatu konsep yang kurang jelas.
Ada dua keadaan himpunan fuzzy linear, yaitu linear naik dan linear turun.
a. Linear Naik
Kenaikan himpunan dimulai pada nilai domain yang memiliki derajat keanggotaan nol [0] bergerak ke kanan menuju ke nilai domain yang memiliki derajat keanggotaan lebih tinggi yang disebut dengan representasi fungsi linear naik.
Representasi fungsi keanggotaan untuk linear naik adalah sebagai berikut :
Representasi Linear Naik
Rumus Representasi Linear Naik
Keterangan:
a = nilai domain yang mempunyai derajat keanggotaan nol
b = nilai domain yang mempunyai derajat keanggotaan satu
x = nilai input yang akan di ubah ke dalam bilangan fuzzy
b. Linear Turun
Fungsi Linear turun merupakan kebalikan dari fungsi linear naik. Garis lurus dimulai dari nilai domain dengan derajat keanggotaan tertinggi pada sisi kiri, kemudian bergerak menurun ke nilai domain yang memiliki derajat keanggotaan lebih rendah.
Representasi fungsi keanggotaan untuk linear turun adalah sebagai berikut:
Representasi Linear Turun
Rumus Representasi Linear Turun
Keterangan:
a = nilai domain yang mempunyai derajat keanggotaan satu
b = nilai domain yang mempunyai derajat keanggotaan nol
x = nilai input yang akan di ubah ke dalam bilangan fuzzy
Representasi Kurva Segitiga
Represetasi Kurva Segitiga, pemetaan input ke derajat keanggotaannya digambarkan dengan bentuk segitiga dimana pada dasarnya bentuk segitiga tersebut gabungan antara 2 garis (linear). Nilai-nilai di sekitar b memiliki derajat keanggotaan turun yang cukup tajam (menjahui 1).
Representasi fungsi keanggotaan untuk kurva segitiga adalah sebagai berikut:
Representasi Kurva Segitiga
Rumus Representasi Kurva Segitiga
Keterangan:
a = nilai domain terkecil yang mempunyai derajat keanggotaan nol
b = nilai domain yang mempunyai derajat keanggotaan satu
c = nilai domain terbesar yang mempunyai derajat keanggotaan nol
Representasi Kurva Trapesium
Kurva trapesium pada dasarnya menyerupai bentuk segitiga, hanya saja ada beberapa titik yang memiliki nilai keanggotaan 1.
Representasi fungsi keanggotaan untuk kurva trapesium adalah sebagai berikut:
Representasi Kurva Trapesium
Rumus Representasi Kurva Trapesium
Keterangan:
a = nilai domain terkecil yang mempunyai derajat keanggotaan nol
b = nilai domain terkecil yang mempunyai derajat keanggotaan satu
c = nilai domain terbesar yang mempunyai derajat keanggotaan satu
d = nilai domain terbesar yang mempunyai derajat keanggotaan nol
x = nilai input yang akan di ubah ke dalam bilangan fuzzy
Representasi Kurva Bentuk Bahu
Daerah yang terletak di tengah-tengah suatu variabel yang direpresentasikan dalam bentuk segitiga, pada sisi kanan dan kirinya akan naik turun. Tetapi terkadang salah satu sisi dari variabel tersebut tidak mengalami perubahan. Himpunan fuzzy "bahu", bukan segitiga, digunakan untuk mengakhiri variabel suatu daerah fuzzy. Bahu kiri bergerak dari benar ke salah, demikian juga bahu kanan bergerak dari salah ke benar.
Representasi fungsi keanggotaan untuk kurva bahu adalah sebagai berikut:
Representasi Kurva Bahu
Rumus Representasi Kurva Bahu
Jenis dan Istilah Himpunan Fuzzy
Terdapat 3 jenis himpunan fuzzy, yaitu:
Himpunan Fuzzy universe tak berorde
Misalkan X = {San Francisco, Boston, Los Angeles} adalah kota yang bisa dipilih untuk ditempati. Rangkaian fuzzy C = "kota yang diinginkan untuk ditempati" dapat digambarkan sebagai berikut:
C = { (San Francisco, 0.9), (Boston, 0.8), (Los Angeles, 0.6) }
Rupanya semesta pembicaraan X bersifat diskrit dan berisi benda-benda yang tidak berurutan - dalam hal ini, tiga kota besar di AS. Seperti yang bisa dilihat, nilai keanggotaan di atas yang tercantum di atas cukup subjektif; Siapa pun bisa menemukan tiga nilai yang berbeda namun sah untuk mencerminkan atau menentukan pilihannya.
Himpunan Fuzzy universe berordo
Misalkan X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} adalah himpunan jumlah anak yang dapat dipilih oleh keluarga. Kemudian himpunan fuzzy A = "jumlah anak yang masuk akal dalam keluarga" dapat digambarkan sebagai berikut:
A = { (0, 0.1), (1, 0.3), (2, 0.7), (3, 1), (4, 0.7), (5, 0.3), (6, 0.1) }
Di sini kita memiliki semesta pembicaraan yang terpisah dengan X; derajat keanggotaan untuk himpunan fuzzy A ditunjukkan pada Gambar 1 (a). Sekali lagi, derajat keanggotaan dari himpunan fuzzy ini jelas merupakan tindakan subjektif.
Himpunan Fuzzy universe kontinyu
Biarkan X = R + menjadi himpunan usia yang mungkin bagi manusia. Kemudian himpunan fuzzy B = "sekitar 50 tahun" dapat dinyatakan sebagai:
B = { (x, μB(x)) " x X }
dimana
Hal ini diilustrasikan pada Gambar 1 (b).
Dari contoh sebelumnya, jelas bahwa konstruksi himpunan fuzzy bergantung pada dua hal:
Identifikasi wacana alam semesta yang sesuai Spesifikasi fungsi keanggotaan yang tepat.
Spesifikasi derajat keanggotaan bersifat subjektif, yang berarti bahwa derajat keanggotaan ditentukan untuk konsep yang sama (katakanlah, "jumlah anak yang masuk akal dalam keluarga") oleh orang yang berbeda mungkin sangat bervariasi. Subjektivitas ini berasal dari perbedaan individu dalam memahami atau mengekspresikan konsep abstrak dan tidak ada hubungannya dengan keacakan. Oleh karena itu, subjektivitas dan nonrandomness rangkaian fuzzy adalah perbedaan utama antara studi tentang himpunan fuzzy dan teori probabilitas, yang berhubungan dengan perlakuan objektif terhadap fenomena acak.
Istilah pada himpunan fuzzy:
Linguistik, yaitu penamaan suatu kelompok (grup) yang mewakili suatu keadaan atau kondisi tertentu dengan menggunakan bahasa alami, seperti: MUDA, PAROBAYA, TUA.
Numeris, yaitu suatu nilai (angka) yang menunjukkan ukuran suatu variabel seperti: 40, 25, 50, dan sebagainya.
Variabel (keanggotaan) fuzzy, yaitu variabel yang hendak dibahas dalam suatu sistem fuzzy.
Semesta pembicaraan, yakni kesuluruhan nilai yang diperbolehkan untuk dioperasikan dalam suatu variabel fuzzy. Semesta pembicaraan merupakan himpunan bilangan real yang senantiasa naik (bertambah) secara monoton dari kiri ke kanan.
Domain, yakni keseluruhan nilai yang diizinkan dalam semesta pembicaraan dan boleh dioperasikan dalam suatu himpunan fuzzy. Seperti halnya semesta pembicaraan, domain merupakan himpunan bilangan real yang senantiasa naik (bertambah) secara monoton dari kiri ke kanan.
Operasi Himpunan Fuzzy
Operasi- operasi pada himpunan fuzzy didefinisikan sebagai berikut:
Gabungan (U)
A U B µAUB = µA(x) ꓦ µB(x) = max(µA(x), µB(x))
A U B diartikan sebagai "x dekat A atau x dekat B"
Contoh:
Tentukan hasil gabungan dari himpunan A dan B berikut
A menyatakan himpunan kelulusan matematika diskrit = {0.25 Anton, 0.5 Enny, 0.0 Rito, 0.75 Setyo, 1.0 Bambang}.
B menyatakan himpunan kelulusan logika matematika = {0.5 Anton, 0.25 Enny, 0.75 Rito, 0.75 Setyo, 0.5 Bambang}.
Jawab:
Karena mencari atau menentukan operasi gabungan, maka ambilah bobot terbesar (maksimum) diantara kedua himpunan tersebut pada setiap keanggotaannya.
Jadi, A U B = {0.5 Anton, 0.5 Enny, 0.75 Rito, 0.75 Setyo, 1.0 Bambang} yang menyatakan kelulusan matakuliah matematika diskrit atau logika matematika.
Irisan ( )
A B µA B = µA(x) ꓥ µB(x) = min(µA(x), µB(x))
A B diartikan sebagai "x dekat A dan x dekat B"
Contoh:
Tentukan hasil irisan dari himpunan A dan B berikut
A menyatakan himpunan kelulusan matematika diskrit = {0.25 Anton, 0.5 Enny, 0.0 Rito, 0.75 Setyo, 1.0 Bambang}.
B menyatakan himpunan kelulusan logika matematika = {0.5 Anton, 0.25 Enny, 0.75 Rito, 0.75 Setyo, 0.5 Bambang}.
Jawab:
Karena mencari atau menentukan operasi irisan, maka ambilah bobot terkecil (minimum) diantara kedua himpunan tersebut pada setiap keanggotaan nya.
Jadi, A B = {0.25 Anton, 0.25 Enny, 0.0 Rito, 0.75 Setyo, 0.5 Bambang} yang menyatakan kelulusan matakuliah matematika diskrit dan logika matematika.
Komplemen
Ā µĀ = 1 - µĀ(x)
Ā diartikan sebagai "x tidak dekat A"
Contoh:
Tentukan hasil komplemen dari himpunan berikut
T = {0.6 Dadi, 0.9 Dani, 0.4 Dina, 0.1 Dida, 0.5 Didi}
Jawab:
Karena komplemen, maka setiap keanggotaannya dikurangi 1.
TC = {0.4 Dadi, 0.1 Dani, 0.6 Dina, 0.9 Dida, 0.5 Didi}
Logika Fuzzy
Logika fuzzy pertama kali dikembangkan oleh Lotfi A. Zadeh, seorang ilmuwan Amerika Serikat berkebangsaan Iran dari Universitas California di Barkeley, melalui tulisannya pada tahun 1965. Meskipun logika fuzzy dikembangkan di Amerika, namun ia lebih popular dan banyak diaplikasikan secara luas oleh praktisi Jepang dengan mengadaptasikannya ke bidang kendali (control). Maka dari itu tidak heran jika saat ini banyak dijual produk elektronik buatan Jepang yang menerapkan prinsip logika fuzzy, seperti mesin cuci, AC, dan lain-lain.
Logika fuzzy umumnya diterapkan pada masalah-masalah yang mengandung unsur ketidakpastian (uncertainty)
Contoh:
Ditentukan batasan-batasan mutlak, bahwa jika tinggi badan dibawah 150 cm, maka disebut pendek (mutlak) dan jika diatas 170 cm dikategorikan tinggi (mutlak). Tentu mesti ada satu cara untuk menyatakan agak pendek, sedang, agak tinggi, dan lainnya diantara tinggi dan pendek. Secara matematis pernyataan ini dapat diformulasikan sebagai berikut:
Nama
Tinggi (Cm)
Tingkat Ketinggian
Tuti
145
0
Eko
156
0.3
Andi
164
0.7
Budi
168
0.9
Karjo
175
1
Contoh dan Penyelesaian Soal
Misalkan :
Variabel umur dibagi menjadi 3 kategori, yaitu MUDA, PAROBAYA, TUA.
MUDA : umur < 35 tahun
PAROBAYA : 35 tahun umur 55 tahun
TUA : umur > 55 tahun
Lalu dibuat table :
Himpunan : MUDA, PAROBAYA, TUA
Pada gambar diatas dapat disimpulkan bahwa :
Apabila seseorang berusia 34 tahun, maka ia dikatakan MUDA (µMUDA[34] = 1);
Apabila seseorang berusia 35 tahun, maka ia dikatakan TIDAK MUDA (µMUDA[35] = 0);
Apabila seseorang berusia 35 tahun kurang 1 hari, maka ia dikatakan TIDAK MUDA (µMUDA[35 th – 1 hr] = 0);
Apabila seseorang berusia 34 tahun, maka ia dikatakan TIDAK PAROBAYA (µPAROBAYA[34] = 0);
Apabila seseorang berusia 35 tahun, maka ia dikatakan PAROBAYA (µPAROBAYA[35] = 1);
Apabila seseorang berusia 35 tahun kurang 1 hari, maka ia dikatakan TIDAK PAROBAYA (µPAROBAYA[35 th – 1 hr] = 0);
Dari kesimpulan diatas, himpunan crisp menyatakan umur seseorang kedalam suatu kategori secara tidak adil, karena adanya perubahan kecil saja pada suatu nilai mengakibatkan perbedaan kategori yang signifikan.
Himpunan Fuzzy digunakan untuk menyelesaikan persoalan berikut. Seseorang dapat masuk dalam 2 himpunan yang berbeda, MUDA dan PAROBAYA, PAROBAYA dan TUA, dsb. Lihat gambar berikut :
Himpunan Fuzzy untuk variable Umur.
Seseorang yang berumur 40 tahun, termasuk dalam himpunan MUDA dengan µMUDA[40] = 0,25; namun termasuk juga dalam himpunan PAROBAYA dengan µPAROBAYA[40] = 0,5.
Seseorang yang berumur 50 tahun, termasuk dalam himpunan MUDA dengan µTUA[50] = 0,25; namun termasuk juga dalam himpunan PAROBAYA dengan µPAROBAYA[50] = 0,5.
Jadi, jika pada himpunan crisp, nilai keanggotan hanya ada 2 kemungkinan, yaitu 0 dan 1, namun pada himpunan fuzzy nilai keanggotaan ada pada rentang 0 sampai 1.
Himpunan fuzzy tentang suhu udara di Bandung (dengan universe of discourse antara 20 sampai 40 derajat celcius) dispesifikasikan ke dalam tiga subset yaitu: rendah, sedang dan tinggi. Fungsi keanggotaan dari masing masing subset dengan parameternya ditentukan pada tabel di bawah.
Gambarkan himpunan fuzzy tersebut!
Rendah Sedang Tinggi
1
20 25 30 35 40
Tentukan hasil irisan dari himpunan A dan B berikut
A menyatakan himpunan kelulusan matematika diskrit = {0.5 Anmir, 0.25 Elly, 1.0 Sarah, 0.5 Tari, 0.0 Tora}.
B menyatakan himpunan kelulusan logika matematika = {0.25 Anmir, 0.0 Elly, 0.25 Sarah, 1.0 Tari, 0.75 Tora }.
Jawab:
Karena mencari atau menentukan operasi irisan, maka ambilah bobot terkecil (minimum) diantara kedua himpunan tersebut pada setiap keanggotaan nya.
Jadi, A B = {0.25 Anmir, 0.0 Elly, 0.25 Sarah, 0.5 Tari, 0.0 Tora } yang menyatakan kelulusan matakuliah matematika diskrit dan logika matematika.
Misalkan nilai keanggotaan 27 tahun pada himpunan MUDA adalah 0.6 (µMUDA(27)=0,6); dan nilai keanggota Rp. 2.000.000,- pada himpunan penghasilan TINGGI adalah 0.8 (µGAJITINGGI(2x106)=0.8); maka α-predikat untuk usia MUDA dan berpenghasilan TINGGI adalah:
µMUDA GAJITINGGI = min(µMUDA(27),µGAJITINGGI(2x106)
= min(0,6;0,8)
= 0,6
Misalkan nilai keanggotaan 27 tahun pada himpunan MUDA adalah 0.6 (µMUDA(27)=0,6); dan nilai keanggota Rp. 2.000.000,- pada himpunan penghasilan TINGGI adalah 0.8 (µGAJITINGGI(2x106)=0.8); maka α-predikat untuk usia MUDA atau berpenghasilan TINGGI adalah:
µMUDAUGAJITINGGI = max(µMUDA(27),µGAJITINGGI(2x106)
= max(0,6;0,8)
= 0,8
Misalkan nilai keanggotaan 27 tahun pada himpunan MUDA adalah 0.6 (µMUDA(27)=0,6); dan nilai keanggota Rp. 2.000.000,- pada himpunan penghasilan TINGGI adalah 0.8 (µGAJITINGGI(2x106)=0.8); maka α-predikat untuk usia TIDAK MUDA adalah:
µMUDA(27) = 1-µMUDA(27)
= 1-0.6
= 0.4
DAFTAR PUSAKA
Fathani, A. H. (2012). "Matematika Hakikat dan Logika". Yogjakarta: Ar-Ruzz Media.
Munir, Rinaldi. 2016. "Matematika Diskrit Revisi Keenam". Bandung. Informatika Bandung.
Kusumadewi, Sri & Hartati, Sri. 2010. "Neuro-Fuzzy Integrasi Sistem Fuzzy & Jaringan Syaraf". Yogyakarta. Graha Ilmu.
F. Soesianto, Djoni Dwijono 2016. "Logika Matematika untuk Ilmu Komputer".Yogyakarta. Penerbit ANDI
(2009). Retrieved 2017, from UNIVERSITAS INDONESIA LIBRARY: http://lib.ui.ac.id/file?file=digital/122899-SK-772%20Studi%20pengukuran-Literatur.pdf
(n.d.). Retrieved 2017, from e-Learning STMIK Kaputama: http://e-learning.kaputama.ac.id/pluginfile.php/80/mod_resource/content/1/Himpunan-Fuzzy.pdf
Fuzzy Sets. (2015). Retrieved September 2017, from Research Hubs: http://researchhubs.com/post/engineering/fuzzy-system/fuzzy-set.html
LAMPIRAN
LAMPIRAN
LAMPIRAN
