Otro compendio, sobre los verbos en inglés. Todos los tipos de verbos
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Introducción: Introducción: El hiperboloide es la superfcie de revolución generada por la rotación de una hipérbola alrededor de uno de sus dos ejes de simetría. Dependiendo del eje elegido, el hiperboloide puede ser de una o dos hojas o mantos. A nosotros nos compete el hiperboloide de dos mantos hojas o mantos, y, para entenderlo mejor, en el caso de la hipérbola de reerencia, su ecuación general es: 2
2
2
z x y − 2 − 2 =1 2 c a b
Donde a=4 b=2 c=6 ∴
z
2 2
6
−
x 4
2 2
−
y
2
2
2
=1
INTERSECCIÓN DE PLANOS. !e nos pidió "ue en ese hiperboloide encontr#ramos la intersección de tres planos, uno sobre el eje $, otro sobre el eje %, y otro sobre &. 'os dos primeros generan hipérbolas con respecto a los ejes ya mencionados (fg ).), ).*+. En el caso del eje , lo "ue se genera es un corte al hiperboloide en donde "ueda una elipse. (fg ).-+
Al completar esta serie de cortes, nuestra fgura luce de esta manera:
ara entender matem#ticamente lo "ue se hi&o, a continuación se muestran los c#lculos correspondientes: CÁLCULOS •
lano zx
→
y = 0
Ecuación general del hiperboloide
2
z
2
c
z 6
x
− =1 2
a
2 2
2
x
2
− =1 2
4
!i ponemos a en unción de $ z 6
z 6
z 6
2 2
=1+
2 2
x
2
=
x
2 2
4
+4
4
2
2
ó
( )= z
6
2
x
2
+4
4
x =± √ + 16 2
4
z =±
3 2
√ x +16 2
Ecuación de las asíntotas y ±
ax b
•
y 1=
lano $
6 x 4
4 1=6 x 6 x − 4
y 2=
y 1 =0
−6 x 4
2
4
4 y 2=−6 x 6 x + 4 y 2= 0
Al integrar esta unción se puede hacer con el método de sustitución trigonométrica o en el ormulario est# la ormula numero /0 u
Al integrar esta unción se puede hacer con el método de sustitución trigonométrica o en el ormulario est# la ormula numero /0 u
a
2
∫ √ u +a du = 2 √ u + a + 2 ln (u + √ u + a )+C 2
2
2
2
2
2
4
∫ 32 √ y + 4 dx 2
−4
2
3
2
1
∫ ( y + 4 ) 2
2
dx
1
−2
2
3
[ √
∫ ( y + 4 )
2
[
2
dx
2
3
1
1
∫ ( y + 4 ) 2
2
1
−2
y
−2 2
2
dx
y
−2 2
1 2
−2
3
3
y
−2
[
3 y 2
2
2
2
+2 +
2
2
ln
( y +√ y + 2 ) 2
√ y + 4 + 2 ln ( y + √ y + 4 ) 2
2
2
]
√ y + 4 + 6 ln ( y + √ y + 4 ) 2
2
]
]
!ustituyendo A =
[
3 ( 2) 2
][
√ 2 + 4 + 6 ln ( 2+ √ 2 + 4 ) − 2
2
A = 27.54704579 cm
2
A ❑=( 4 × 8.485 )−27.547 A ❑=6.392 A T =6.392 × 2
2rea total A T =12.785 cm
2
3 (−2 ) 2
√ −2 + 4 + 6 ln (−2 + √ −2 + 4 ) 2
2
]
Al derivar se obtiene "ue: z =± 3 √ y
2
+4 =
3 y
√ y + 4 2
2
+4 √ ¿ d 3 ¿ x
dx
2
+4 √ ¿ ¿ 2¿
x
1
¿3 ¿
2
+4 √ ¿
x
Al simplifcar:
¿
2¿ 3 x
¿ ¿
•
lano
%$Ecuación general del hiperboloide 2
2
x y + 2 =1 2 a b
2
x
2
4
−
y 2
2 2
=1
!i ponemos a en unción de $ y
2
2
2
y
x
=1 −
2
2
2
=
4
2
4
2 2
− x
2
y
ó
2
4
16 − x =± √
y
( )=
2
2
4
2
2
− x 4
2
2
2
4
z =±
1 2
√ 16 − x
2
Al integrar esta unción se puede hacer con el método de sustitución trigonométrica o en el ormulario est# la ormula numero 34
∫ √ a −u du= 2 √ a −u + 2 sin− ( ua )+C 2
u
2
2
a
2
2
1
4
∫ 12 √ 16− x
2
dx
−4
1
4
1
∫ ( 4 − x ) 2
2 2
2 −4
1
4
4
dx
1
∫ ( 4 − x ) 2 2
2 2
dx
−4
1
1
4
1
1
∫ ( 4 − x ) 2 2
2 2
[ √ − x
1
2 −4 2
[
4
1
−4
!ustituyendo
1
[
x
−4 4
x
2
+
4
2
2
sin
−1 x
4
√ 16 − x + 8sin −
x
x √ 16− x + 4 sin−
]
2 −4 2
4
dx
x
4
2
2
2
1
1
4
4
]
]
A =
[
4 4
√ 16 −4 +4 sin− 2
A =720 ° = 4 π cm
1
4 4
][ −
−4 4
√ 16−(−4 ) +4 sin
−1
2
]
−4 4
2
A ❑=12.56637061 cm
2
A T =12.566 × 2
2rea total 2
A T =25.132 cm
Al derivar se obtiene "ue: 1 2
1 2
√ 16 − x = 2
− x 2 √ 16 − x
2
d ( √ 16− x 2 ) dx
¿
1
1
√
2 2 16 − x 2
(−2 x )
Al simplifcar: ¿−
x
√
2 16 − x
2
*Dato curioso del hiperoloide de dos ho!as"
'a parte superior del hiperboloide es muy similar al de una copa de vino.
La copa es el cáliz ideal para disfrutar del vino, a raíz de las cualidades que la caracterizan. Es muy difícil hoy en día aceptar la idea de beberlo en otro recipiente, como ser en un vaso. Tal como sucede con la mayoría de las historias que rodean al mundo del vino, el origen de la copa no es totalmente preciso en cuanto a fechas y protagonistas. Algunos autores sitan los primeros e!emplares realmente reconocibles en la "poca griega, otros en la "poca cristiana, y otros en el siglo #$%, ya sea en lo que actualmente es %talia, &recia, 'rancia o Espa(a.