HISTORIA EXPRESIONES ALGEBRAICAS
La historia del álgebra moderna moderna comenzó comenzó en el antiguo antiguo Egipto y Babilonia, Babilonia, donde fueron capaces de resolver ecuaciones lineales (ax = b y cuadráticas (ax! " bx = c, as# como ecuaciones indeterminadas como x! " y! = z!, con varias incógnitas$ Los antigu antiguos os babilo babilonio nioss resolv# resolv#an an cual%u cual%uier ier ecuaci ecuación ón cuadrát cuadrática ica emplea empleando ndo esencialmente los mismos m&todos %ue hoy se ense'an$ Los babilonios desarrollaron t&cnicas y m&todos para medir y contar, impulsados en parte por la necesidad de resolver problemas prácticos de agrimensura, de intercambio comercial y del desarrollo de las t&cnicas cartográficas$ Entre las tablillas tablillas babilónicas babilónicas descubiertas descubiertas se han encontrado encontrado eemplos de tablas tablas de ra#ces cuadradas y c)bicas, y el enunciado y solución de varios problemas puramente algebraicos, entre ellos algunos e%uivalentes a lo %ue hoy se conoce como una ecuación ecuación cuadrática$ cuadrática$ *n examen cuidadoso cuidadoso de las tablillas tablillas babilónicas babilónicas muestra claramente %ue mediante esos cálculos sus autores no sólo intentaban resolver resolver problemas problemas del mundo real, sino otros más abstractos y artificiale artificiales, s, y %ue lo hac#an para desarrollar t&cnicas de solución y eercitarse en su aplicación$ *no de ellos, en t&rminos modernos, dice+ -e sumado el área del cuadrado con los dos tercios del lado del cuadrado y el resultado es+ ./0! 1e re%uiere hallar la longitud del lado del cuadrado2$ En cuanto %ue, hasta la mitad del siglo 343, el álgebra se ocupó principalmente de resolver ecuaciones de este tipo, puede decirse %ue fue en Babilonia donde tuvo su orig origen en esta esta cien cienci cia$ a$ *na *na de las las caus causas as por por las las %ue %ue la 5ate 5atemá mátitica cass no avanzaron suficientemente hasta el siglo 364 fue sin duda la carencia de unos s#mbolos %ue ayudaran a los matemáticos a expresar sus trabaos de una manera más simple y %ue permitieran su lectura con mayor facilidad$ 7esde los babilonios (0.88 a$ de 9$ hasta 7iofanto (!:8 d$ de 9$ las operaciones se relataban con el lenguae ordinario (;er#odo retórico o verbal$ :8 a$ de 9$ se puede leer para describir describir un problema+ problema+ ?*n montón y un s&ptimo del mismo es igual a !@?$ 9on la palabra ?un montón? designaban la
incógnitaA *n par de piernas andando en la dirección de la escritura era el signo (" y en contra el signo ($ C9ómo se escribir#a hoy esta ecuaciónD < partir de 7iofanto y hasta comienzos del siglo 364 se comienzan a utilizar algunas abreviaturas (;er#odo abreviado o sincopado @ escrib#a+ 9EF1*1 EG > 7E5;G41 : EB*1 7E : EB*1
HISTORIA ECUACIONES
7esde el siglo 3644 a 9 los matemáticos de 5esopotámia y de Babilonia ya sab#an resolver ecuaciones$ En el siglo 364 a9$ los egipcios desarrollaron un álgebra muy elemental %ue usaron para resolver problemas cotidianos %ue ten#an %ue ver con la repartición de v#veres, de cosechas y de materiales$ a para entonces ten#an un m&todo para resolver ecuaciones de primer grado %ue se llamaba el ?m&todo de la falsa posición?$ Fo ten#an notación simbólica pero utilizaron el erogl#fico hau (%ue %uiere decir montón o pila para designar la incógnita$
En
0::. el matemático ingl&s obert ecorde inventó el s#mbolo de la igualdad, =$
En
0:K0 el matemático franc&s NranOois 6iPte desarrolló una notación algebraica muy cómoda, representaba las incógnitas con vocales y las constantes con consonantes$
La forma de escribir y resolver las ecuaciones es bastante moderna, pero el origen de los problemas matemáticos y de las ecuaciones es anti%u#simo$
8, marca el inicio de una nueva etapa en la cual 7escartes (0:K>0>:8 contribuye de forma importante al desarrollo de dicha notación$ En este momento, el álgebra se convierte en la ciencia de los cálculos simbólicos y de las ecuaciones$ ;osteriormente, Euler (0.8.0.Q la define como la teor#a de los ?cálculos con cantidades de distintas clases? (cálculos con n)meros racionales enteros, fracciones ordinarias, ra#ces cuadradas y c)bicas, progresiones y todo tipo de ecuaciones$;ara llegar al actual proceso de resolución de la ecuación ax " b = c han pasado mas de $888 a'os$ Los egipcios nos dearon en sus papiros (sobre todo en el de hid 0$>:8 a$ de 9 y el de 5osc) 0$Q:8 a, de 9$ multitud de problemas matemáticos resueltos$ La mayor#a de ellos son de tipo aritm&tico y responden a situaciones concretas de la vida diariaA sin embargo, encontramos algunos %ue podemos clasificar como algebraicos, pues no se refiere a ning)n obeto concreto$ En estos, de una forma retórica, obtendrán una solución realizando operaciones con los datos de forma análoga a como hoy resolvemos dichas ecuaciones$ Las ecuaciones mas utilizadas por los egipcios eran de la forma+
x " ax = b x " ax " bx = 8
7onde a, b y c eran n)meros conocidos y x la incógnita %ue ellos denominaban aha o montón$ *na ecuación lineal %ue aparece en el papiro de hid responde al problema siguiente+
?*n montón y un s&ptimo del mismo es igual a !@?$ En notación moderna, la ecuación será+ x " 0 / . x = !@ La solución la obten#a por un m&todo %ue hoy conocemos con el nombre de ?m&todo de la falsa posición? o ?regula falsi?$ 9onsiste en tomar un valor concreto para la incógnita, probamos y si se verifica la igualdad ya tenemos la solución, si no, mediante cálculos obtendremos la solución exacta$ Reneralmente, el cálculo de la solución correcta no era tan fácil como en este caso e implicaba numerosas operaciones con fracciones unitarias (fracciones con numerador la unidad, cuyo uso dominaban los egipcios$ En cuanto el simbolismo, solamente en algunas ocasiones utilizaban el dibuo de un par de piernas andando en dirección de la escritura o invertidas, para representar la suma y resta, respectivamente$ Los babilonios (el mayor n)mero de documentos corresponde al periodo >88 a$ de 9$ a 88 d$ de 9$ casi no le prestaron atención a las ecuaciones lineales, %uizás por considerarlas demasiado elementales, y trabaaron más los sistemas de ecuaciones lineales y las ecuaciones de segundo grado$ Entre las pocas %ue aparecen, tenemos la ecuación :x = Q$ En las tablas en base sexagesimal hallaban el reciproco de cinco %ue era0!/>8 y en la tabla de multiplicar por Q, encontramos Q x 0!/>8 = 0 >/>8$ Los primeros documentos matemáticos %ue existen (datan del siglo 444 d$ de 9$ son los 1ulvasttras, donde se recogen todos los conocimientos necesarios para construir los templos$ En &stos aparece el siguiente problema+ -allar el lado de un rectángulo, conociendo el otro lado y sabiendo %ue su Srea es igual al área de un cuadrado dado$ ?
Esto es+
Es decir, a x = 1 $
Lo resolv#an utilizando el m&todo de la falsa posición, como los egipcios$ ;osteriormente, Brahmagupta (siglo 644 expresa, ya de forma sincopada, como resolver ecuaciones lineales$ La incógnita la representaba por la abreviatura ya , y las operaciones con la primera silaba de las palabras$ HISTORIA INECUACIONES
La primera fase, %ue comprende el periodo de 0.88 a$ de 9$ a 0.88 d$ de 9$, se caracterizó por la invención gradual de s#mbolos y la resolución de ecuaciones$ 7entro de esta fase encontramos un álgebra desarrollada por los griegos (88 a$
de 9$, llamada álgebra geom&trica, rica en m&todos geom&tricos para resolver ecuaciones algebraicas$ La introducción de la notación simbólica asociada a 6iPte (0:@80>8, marca el inicio de una nueva etapa en la cual 7escartes (0:K>0>:8 contribuye de forma importante al desarrollo de dicha notación$ En este momento, el álgebra se convierte en la ciencia de los cálculos simbólicos y de las ecuaciones$ ;osteriormente, Euler (0.8.0.Q la define como la teor#a de los ?cálculos con cantidades de distintas clases? (cálculos con n)meros racionales enteros, fracciones ordinarias, ra#ces cuadradas y c)bicas, progresiones y todo tipo de ecuaciones$ ;ara llegar al actual proceso de resolución de la ecuación ax " b c han pasado más de $888 a'os$ Los egipcios nos dearon en sus papiros (sobre todo en el de hid 0$>:8 a$ de 9 y el de 5osc) 0$Q:8 a, de 9$ multitud de problemas matemáticos resueltos$ La mayor#a de ellos son de tipo aritm&tico y respond#an a situaciones concretas de la vida diariaA sin embargo, encontramos algunos %ue podemos clasificar como algebraicos, pues no se refiere a ning)n obeto concreto$ En &stos, de una forma retórica, obten#an una solución realizando operaciones con los datos de forma análoga a como hoy resolvemos dichas ecuaciones$ Las ecuaciones más utilizadas por los egipcios eran de la forma+ x " ax=b x " ax " bx=8 donde a, b y c eran n)meros conocidos y x la incógnita %ue ellos denominaban aha o montón$ *na ecuación lineal %ue aparece en el papiro de hid responde al problema siguiente+ ?*n montón y un s&ptimo del mismo es igual a !@?$ En notación moderna, la ecuación ser#a+ x " 0 / . x =!@
La solución la obten#an por un m&todo %ue hoy conocemos con el nombre de ?m&todo de la falsa posición? o ?regula falsi?$ 9onsiste en tomar un valor concreto para la incógnita, probamos con &l y si se verifica la igualdad ya tenemos la solución, si no, mediante cálculos obtendremos la solución exacta$ 1upongamos %ue fuera . la solución, al sustituir en la x nos dar#a+ . " 0/. T .
= Q , y como nuestra solución es !@ , es decir, QT , la solución es !0 = T . , ya %ue T (. " 0/. . = !@$ Reneralmente, el cálculo de la solución correcta no era tan fácil como en este caso e implicaba numerosas operaciones con fracciones unitarias (fracciones con numerador la unidad, cuyo uso dominaban los egipcios$ En cuanto el simbolismo, solamente en algunas ocasiones utilizaban el dibuo de un par de piernas andando en dirección de la escritura o invertidas, para representar la suma y resta, respectivamente$ Los babilonios (el mayor n)mero de documentos corresponde al periodo >88 a$ de 9$ a 88 d$ de 9$ casi no le prestaron atención a las ecuaciones lineales, %uizás por considerarlas demasiado elementales, y trabaaron más los sistemas de ecuaciones lineales y las ecuaciones de segundo grado$ Entre las pocas %ue aparecen, tenemos la ecuación :x=Q$ En las tablas en base sexagesimal hallaban el rec#proco de cinco %ue era 0!/>8 y en la tabla de multiplicar por Q , encontramos Q T 0!/>8 = 0 >/>8 $ c han pasado más de $888 a'os$ Los matemáticos griegos no tuvieron problemas con las ecuaciones lineales y, exceptuando a 7iophante (!:8 d$ de 9$, no se dedicaron mucho al álgebra, pues su preocupación era como hemos visto, mayor por la geometr#a$
