CUESTIONARIO – CAPÍTULO 2 1. Explíquese el tipo de evide!i" e el que se #"s" uest$" v"lo$"!i% de l" &"te&'ti!" e(ip!i". R=/ Las lápidas de Rosetta contiene un mismo texto en tres escrituras distintas: griego, demótico y jeroglífico. Y a tra!s de ella se lograron los desciframientos de la escritura jeroglífica "ue permitieron leer las inscripciones en todas las tum#as y monumentos egipcios, "ue eran documentos ceremoniales y no matemáticos. $in em#argo el sistema de numeración jeroglífico egipcio fue descifrado fácilmente y está estructurado en una escala num!rica de #ase die%. &ic'as inscripciones reelan una sorprendente familiaridad con n(meros grandes.
Los papiros de )'mes 'an conseguido so#reiir a los estragos del tiempo durante más de tres milenios y medio &onde el papiro más extenso registra los conocimientos matemáticos proenientes de *m'otep, el casi legendario ar"uitecto y m!dico del faraón +oser, "ue dirigió la construcción de su pirámide. )C$ee usted que es p$o#"#le que est" v"lo$"!i% se ve" "lte$"d" po$ el des!u#$i&ieto de uevos do!u&etos ) R"*%ese !o !l"$id"d. R=/ o creo "ue se ea alterada, pues esas fuentes son muy antiguas y muy confia#les, más #ien sirieron para enri"uecer la limitada información matemática o#tenidas de piedras talladas y encontradas en tum#as y los templos. $i se encontraran nueos documentos, estos contri#uirían en la afirmación o continuación de la información so#re la matemática egipcia 'asta a'ora o#tenida de los papiros y las lápidas encontradas en Rosetta, )lejandría. 2. )C$ee usted que l" "st$oo&í" +ue u +"!to$ &'s i&po$t"te que l" "($i&esu$" e el des"$$ollo de l" &"te&'ti!" e(ip!i", Explíquese !l"$"&ete. R=/ &efinitiamente "ue sí, puesto "ue los egipcios tenían un gran inter!s por la astronomía y o#seraron "ue la inundación anual del alle del ilo tenía lugar poco despu!s de la llamada salida 'eliacal de $irio, la estrella alfa de la constelación del -anis ayor, es decir, cuando $irio sale por el ste justo antes "ue el $ol. )demás los egipcios a raí% de la o#seración de las salidas 'eliacales de $irio, el 'eraldo de la crecida, esta#a separada por 012 días, así, pudieron esta#lecer un #uen calendario solar "ue consta#a de 34 meses, de 05 días cada uno y de 2 días festios extra. -. )u/ si(i+i!" eti&ol%(i!"&ete l" p"l"#$" 0(eo&et$í", R=/ 6eometría proiene del griego geo 7tierra8 y m!trica 7medida8 es decir medición de la tierra... 9$e puede justificar el uso de esta pala#ra en #ase a lo "ue sa#emos so#re el origen 'istórico de la materia xplí"uese claramente.
s am#iguo dar estas afirmaciones ya "ue los orígenes de la geometría son más antiguos "ue las ciili%aciones más antiguas. sto 'ace "ue nos eamos o#ligados a depender de interpretaciones "ue se #asan en los pocos utensilios "ue se 'an conserado. ;erodoto sostenía "ue la geometría se 'a#ía originado en gipto, por"ue creía "ue 'a#ía surgido de la necesidad práctica de oler a tra%ar los lindes de las tierras despu!s de la inundación anual del río ilo. ientras )ristóteles sostenía "ue el cultio y desarrollo de la geometría en gipto se 'a#ía impulsado por la existencia allí de una clase sacerdotal ociosa.
R=/ ) mi criterio considero "ue la matemática egipcia, como toda cultura general, permaneció estancada unos 4 55o aos despu!s de unos comien%os prometedores. >am#i!n, en todas sus etapas estuo construida entorno a la operación de sumar, desentaja "ue dio a todas las t!cnicas de sistemati%ación egipcias un aire primitio peculiar, com#inado a eces con una sorprendente complejidad y so#retodo le sacaron poco proec'o a la geometría "ue pensaron pudo 'a#er sido un regalo del ilo 3. )Cu'les !oside$" usted !o&o l"s t$es !ot$i#u!ioes &'s i&po$t"tes de E(ipto "l des"$$ollo de l" &"te&'ti!", Explique po$ qu/ l"s !oside$" i&po$t"tes. R=/ a8 $u sistema de notación jeroglífica "ue está estructurado en escala de #ase 35, utili%ando un conjunto de sím#olos distintos para cada una de las primeras media docena de potencias de 35. )demás los egipcios solían ser exactos al contar y medir. #8 sta#lecieron un #uen calendario solar "ue consta#a de 34 meses de 05 días cada uno y de 2 días festios extra. c8 l uso de las fracciones así como tam#i!n 'acer sumas fraccionarias y resoler pro#lemas alge#raicos. 4. Es!$í#"se el 5&e$o 6 43 e +o$&" 7e$o(lí+i!" e(ip!i". )E qu/ se di+e$e!i" est" +o$&" de l" &"e$" e que 8u#ie$" es!$ito A8&es este 5&e$o, R9:
? 12@ = 6. Exp$/sese 2:1;- !o&o l" su&" de dos +$"!!ioes uit"$i"s distit"s < es!$í#"se /st"s e ot"!i% 7e$o(lí+i!" e(ip!i". )E qu/ se di+e$e!i"$í" es!$it"s e +o$&" 8ie$'ti!", R=/ =. Resolve$ l" e!u"!i% x > ? x 9 14 po$ el &/todo de l" 0$e(ul" +"lsi R=/ $ea x = @ el alor falso, sustituyendo ese alor en la ecuación original, nos "ueda lo siguiente:
x A 3/4x = 31 @ A B7@8 = @ A 4 = 1 s falso Luego para conertir el resultado del alor falso "ue sustituimos en la ecuación original y para "ue se cumpla la igualdad, lo multiplicamos por dos y por el recíproco del alor resultado 73/18 más 3/4 "ue 'aría erdadera la igualdad 7318, así: 1 C 74 A B A 3/18 = 31 ntonces el alor correcto es: 31/0, finalmente lo escri#imos como la suma de dos fracciones unitarias: @. Resolve$ el si(uiete p$o#le&" del p"pi$o de A8&es p$o#le&" ;B Rep'$t"se 1;; 8o("*"s de p" et$e !i!o 8o&#$es de t"l &"e$" que l"s p"$tes !o$$espodietes est/ e p$o($esi% "$it&/ti!" < que "de&'s u s/pti&o de l" su&" de l"s t$es p"$tes &'s ($"des se" i(u"l " l" su&" de l"s dos &'s pequeD"s. R=/ Las 2 partes serán x x A y x A4y xA0y x A @y -antidades D x &iferencia = y $uponiendo "ue x 9 1 3 3 A y 3A4y 3A0y 3 A @y $uma de los dos primeros: 4A& $!ptima parte de la suma de los otros tres: 0AEy Fsea ?74Ay8 = La progresión de racionales será: 3,, 34, , 40 $umado: Relacionando proporcional
<2 9 1;; < 9 -:x que est' to&"do del p"pi$o "ti(uo E(ipto que se e!uet$" e Fe$li,
R=/ x2 > <2 9 1;; < 9 -:x
Y = 7B A G8x HCH A YCY = 355 HCH A 7B A G8x A 7B A G8x = 355 HCH A 0/@H A 0/@H = 355 H4 A E/31H4 = 355
42/31H4 = 355 H4 = 3155/42 H = I3155/I42 H = @5/2 G9=
&espu!s 'aríamos Y = 7B A G8x 3/4x A3/@x B7J8 A G7J8 > 294 1-. )E qu/ &edid" es !o$$e!to de!i$ que los e(ip!ios !oo!í" l" +%$&ul" p"$" !"l!ul"$ el '$e" del !í$!ulo, Explíquese !l"$"&ete. R=/ n la medida "ue los egipcios se ieron conducidos a su sencilla receta para calcular el área del círculo, donde la ra%ón del área de un círculo a su circunferencia es la misma "ue la ra%ón del área del cuadrado circunscrito a su perímetro. $iendo esta sorprendente o#seración correcta la "ue representa una relación geom!trica y de una precisión muc'o mayor "ue la de la relatia #uena aproximación de π. $in em#argo en la matemática egipcia no se encuentra ning(n teorema ni demostración formal, pero están entre las primeras propiedades exactas relatias a figuras curilíneas "ue se 'an formulado a lo largo de la 'istoria. 1. )Po$ qu/ !$ee usted que los e(ip!ios p$e+i$ie$o l" des!o&posi!i% " l" des!o&posi!i% "lte$"tiv", R=/ llos tenían una particular preferencia en algunas fracciones como por ejemplo: se "ue esta preferencia se de#ía a su uso cotidiano. n estas dos descomposiciones "ue proponen, o#seramos claramente "ue en la primera se encuentra 3/0, por lo "ue seguramente eso determina#a su preferencia. 13. He&u/st$ese que si es u &5ltiplo de t$es eto!es 2: puede des!o&poe$se e su&" de dos +$"!!ioes uit"$i"s u" de l"s !u"les es l" &it"d de 1:. R=/ $ea n=0, entonces:
/ n❑=
1
( n + 1)/ 2
+
1
( + 1 )/ 2
n n
2
2
/ n❑=
1
(3 + 1)/ 2
1
1
2
6
/ n❑= +
+
1
( + 1)/2
3 3
2 / n =2 / 3
14. He&u/st$ese que si es u &5ltiplo de !i!o eto!es 2: se puede des!o&poe$ e su&" de dos +$"!!ioes uit"$i"s u" de l"s !u"les es u te$!io de 1:. R=/ 2
2
/ n❑= / n❑=
1
( n + 1)/ 2 1
(5 + 1)/ 2
1
1
3
15
2
/ n❑= +
2
/ n❑=2 /5
+
1
( + 1 )/ 2
n n
+
1
( + 1)/ 2
5 5
16. usti+ique el &/todo utili*"do po$ A8&es e l" solu!i% del p$o#le&" 4-.
R/ El ejemplo siguiente corresponde al problema número 63 de Ahmes. En el capítulo dedicado al papiro Rhind se da una explicación más detallada de las operaciones. En él ha !ue repartir "## hoga$as de pan entre cuatro hombres en partes proporcionales a% &'3( )'&( )'3 )'*. ).+ ,e calcula la suma - &'3 / )'& / )'3 / )'* ) / )'& / )'* &.+ ,e calcula 0 )'-
1
1 + 1/2 + 1/4
1/2
1/2 + 1/4 + 1/8
0 )'- ) ' 1 ) / )'& / )'*2 )'& / )')*. 3.+ ,e multiplica este resultado por "## resulta un alor de d *##( por lo !ue el reparto será% *.+ ,e aplica d a cada 4racción &'3 de *## &66 / &'3 )'& de *## &## )'3 de *## )33 / )'3 )'* de *## )## 5a regla de 3 aparece en el problema "& del papiro Ahmes. 5os egipcios no encontraban di4erencia entre la aplicación de este método para la resolución de problemas la aritmética. Empleaban el procedimiento cuando los problemas se presentaban de 4orma similar a prácticas !ue habían reali$ado( pero posiblemente el concepto de regla de 3 se les escapase totalmente. -omo eremos en el capítulo dedicado a la resolución de los problemas( Ahmes se hace un pe!ueo lío en la bús!ueda de la solución de la regla de 3. 7ara calcular la siguiente regla de 3 n) + ) x + & Ahmes hace lo siguiente. ).+ 8alla el exceso de n) respecto de )( obteniendo un alor e). &.+ diide ahora e) entre ) obtiene e& 3.+ multiplica e& por & 1e32 *.+ suma & / e3 esa es la solución. Realmente está aplicando el siguiente criterio &') x'n) 1x + &2' 1n) + )2 + 9 x & / 1 1n) + )2')2 : & El problema "&( !ue es una regla de 3 con n) *; ( ) )#( & )##( lo resuele como ).+ El exceso de *; respecto de )# es 3; &.+ 3; ' )# 3 / )'& 3.+ )## : 1 3/ )'&2 3;# *.+ ,olución 3;# / )## *;# 5as progresiones aritméticas aparecen re4lejadas en el problema 6* del papiro.
planteamientos lógicos( pero como puede erse en el capítulo dedicado al papiro Rhind el escriba sigue per4ectamente el método !ue emplearíamos actualmente para resoler el problema
1=. usti+ique l" posi!i% 8e!8" po$ "8&es de que $"*% el '$e" de u !í$!ulo " su !i$!u+e$e!i" es l" &is&" que l" $"*% del '$e" de u !u"d$"do !i$!us!$ito "l pe$í&et$o de di!8o !u"d$"do. R/ n los pro#lemas @4, @0 y @@ del papiro de R'ind se plantea el cálculo explícito del área de un círculo, y en el pro#lema 25 se resuele para un círculo de diámetro E unidades.
Repitiendo el proceso para un círculo de radio r ar#itrario, o#tenemos "ue el área del círculo es $e" 9 =:@dB2 9 4:=1dB2 9 234:=1 $ 2.
Luego, el n(mero K, a pesar de no ser mencionado en ning(n papiro explícitamente, es aproximado por la fracción: M 9 234:=1 -14;@
2;. Resolve$ el si(uiete p$o#le&" utili*"do el &/todo de divisi% e(ip!io se t$"t" del p$o#le&" -1 del p"pi$o de A8&esB U" !"tid"d < sus dos te$!ios < su &it"d < su s/pti&" p"$te 7ut"s 8"!e --. C"l!5lese l" !"tid"d.L" solu!i% d"d" del p"pi$oB
.B
$olución n notación alge#raica com(n el pro#lema consiste en encontrar el alor de x en la siguiente ecuación:
a'ora #ien, un egipcio tomaría un alor de prue#a para la incógnita, es decir, para x, yo 7"ue no soy egipcio8, tomar! el alor de ?, de manera "ue:
pero:
, entonces tenemos "ue multiplicar ?
por
, de donde
y además
M
así :
CUESTIONARIO – CAPÍTULO 1. )Cu'les +ue$o e su opii% l"s !u"t$o !ot$i#u!ioes &'s i&po$t"te de los &esopot'&i!os " l" &"te&'ti!", usti+ique su $espuest". R=/ a8 l sistema de numeración sexagesimal 7#ase 158, ya "ue puede diidirse fácilmente de manera exacta en 4, 0, @, 2, 1, 35, 34, 32, 45 o 05 partes iguales, lo "ue permite die% su#diisiones exactas. #8 La eficacia de los #a#ilonios para calcular se de#ía a la 'a#ilidad de inentar m!todos algorítmicos, tales como aproximar raíces cuadradas. c8 -onocían las @ operaciones fundamentales: suma, resta, diisión, multiplicación, incluso podían resoler ecuaciones de segundo y tercer grado, además tenían nociones de la potenciación, radicación, los ol(menes, etc. todo para su uso en el comercio. &8 Los #a#ilonios fueron los pioneros en el sistema de medición del tiempo introdujeron el sistema sexagesimal y lo 'icieron diidiendo el día en 4@ 'oras, cada 'ora en 15 minutos y cada minuto en 15 segundos. sta forma de contar 'a so#reiido 'asta nuestros días. 2. )Cu'les !oside$" usted !o&o los !u"t$o de+e!tos p$i!ip"les de l" &"te&'ti!" &esopot'&i!", usti+ique su $espuest".
R=/ a8 La falta de formulaciones explícitas de las reglas, por"ue muestra la ausencia de una distinción clara entre los resultados exactos y los "ue son sólo aproximados. #8 o ela#ora#an ninguna idea de demostración ni considera#an su necesidad de demostrar, ya "ue creían "ue podían justificarse reduci!ndolos a pro#lemas más sencillos, compro#ando las diisiones por medio de la multiplicación inersa o mediante una sustitución del resultado en las condiciones dadas del pro#lema. -8 >anto los papiros como las ta#lillas "ue 'an llegado 'asta nosotros contienen (nicamente pro#lemas concretos y casos especiales, sin ning(n tipo de formulación general, los cientos de pro#lemas tienen todo el aspecto de ser ejercicios "ue de#ían resoler los escolares siendo ciertos m!todos conocidos o reglas generales. d8 o eidenciaron el 'a#erse planteado la pregunta de cuándo es exacto el cálculo del área de un cuadrilátero o de un círculo, y cuándo es aproximado. e8 l sistema de numeración Na#ilónico tuo una gran desentaja de#ido a la falta de un cero. -. Co&p'$ese e !u"to " su i&po$t"!i" < su posi#le i+lue!i" e !ivili*"!ioes poste$io$es l" (eo&et$í" < t$i(oo&et$í" de los #"#iloios !o los
e(ip!ios. R=/ )un"ue la matemática #a#ilónica presenta muc'as semejan%as con la de gipto, puede afirmarse con toda seguridad "ue en algunos puntos concretos alcan%o un niel más alto "ue la egipcia. am#i!n su alge#ra era más desarrollada "ue la egipcia. -onsideraron las ecuaciones de primer y segundo grado. n gipto no 'ay ning(n testimonio de resolución de ecuaciones c(#icas, mientras "ue en esopotámica se resolían ecuaciones de la forma 0 A x4 = a, consultando ta#las en las "ue aparecían los alores de n0 A n4 para alores de n de 3 a 05. ) diferencia de los egipcios, conocieron el >eorema de ) & O>)-*O PR*-O -PL>PR)$ Q>))$ &$Q>))$ 6*<-*O$ gipcios disponían del primer sistema desarrollado decimal Snumeración de #ase 35. )un"ue no era un sistema posicional. Los n(meros pueden ser muy largos, lo "ue puede dificultar la lectura Co se amplía automáticamente. s necesario inentar nueos signos N)N*LO*O$
6. Utilí!ese el "l(o$it&o #"#il%i!o p"$" el !'l!ulo de $"í!es !u"d$"d"s p"$" 8"ll"$ l" $"í* !u"d$"d" de dos !o &edi" do!e" de de!i&"les ex"!tos < !o&p'$ese el $esult"do o#teido !o el v"lo$ #"#il%i!o 1 2 311;. R=/ $ea # = 4 y #3 = 3, entonces: Qalor calculado aplicando el algoritmo #a#ilónico = 3.@3@43@ Qalor #a#ilónico = 3M 4@, 23,35 Los resultados son muy semejantes, de 'ec'o la diferencia "ue existe entre am#os alores es mínima, apenas de dos millon!simas. 12. Los #"#il%i!os esti&"$o l" $"*% del '$e" del 8ex'(oo $e(ul"$ "l !u"d$"do del l"do !o&o 2 -6 -;. )Cu'l es l" di+e$e!i" !o l" $"*% !o$$e!t", R=/ -onsideramos un polígono de @ unidades de lado. n = 1 lados l = @ P ' = 9 >omamos uno de sus triángulos para encontrar la altura de !ste "ue será igual a su apotema. ' = 4 >an 15 ° = 0.@1@3 -alculamos el área del 'exágono regular:
-alculamos la ra%ón del área del polígono al cuadrado del lado: -onertimos la ra%ón #a#ilónica a numeración decimal: -alculamos la diferencia entre la ra%ón #a#ilónica y la ra%ón correcta: R=/ La diferencia entra am#as ra%ones es de 4? mil!simos es decir no 'ay muc'a diferencia. 1-. Resolve$ el si(uiete p$o#le&" de l" /po!" #"#il%i!" "ti(u" El '$e" de dos !u"d$"dos 7utos es 1 ;;; < el l"do de uo de ellos es 1; uid"des &eos que los 2:- del l"do del ot$o !"l!5lese los l"dos de los dos !u"d$"dos. R=/ omamos uno de sus triángulos para encontrar la altura de !ste "ue será igual a su apotema. ' = 4 >an 2@ ° = 4.?20 -alculamos el área del pentágono regular:
-alculamos la ra%ón del área del polígono al cuadrado del lado:
-onertimos la ra%ón #a#ilónica a numeración decimal: -alculamos la diferencia entre la ra%ón #a#ilónica y la ra%ón correcta: R=/ La diferencia entra am#as ra%ones es de 2@ mil!simas es decir 'ay poca diferencia. 13. Resolve$ el si(uiete p$o#le&" de l" /po!" #"#il%i!" "ti(u" U !"teto de u" p$opied"d e +o$&" de t$i'(ulo $e!t'(ulo &ide 3; uid"des de lo(itud p"$"lel"&ete "l ot$o !"teto < " u" dist"!i" de 2; uid"des se t$"*" u" $e!t" que !o$t" del t$i'(ulo u t$"pe!io $e!t'(ulo !u<" '$e" es de 3 2; uid"des. Q'llese l"s lo(itudes de los dos l"dos de este t$"pe!io. R=/
-onertimos el área de notación #a#ilónica a notación decimal: La altura del trapecio es igual a 45 unidades y sustituimos los alores en la fórmula del área para encontrar el alor de cada una de sus #ases:
sta#lecemos la relación de semejan%a de triángulos entre el triángulo mayor de altura 25 unidades y el triángulo menor de 05 unidades: &espejamos para # 0# = 2 #3 $ustituimos el alor despejado para #3 0# = 2 704 S #8 Vuedándonos "ue # = 45 u por lo "ue #3 = 34 R=/ l lado mayor del trapecio es de 45 unidades y la del menor es de 34 unidades. 14. Co&p$u/#ese el "ti(uo $esult"do #"#il%i!o e el que se d" !o&o 12= el '$e" de u t$"pe!io is%s!eles !uomando uno de sus lados como la 'ipotenusa 705 P8 y su cateto más corto 73J P8 como resultado de la diferencia entre la #ase mayor menos la menor diidido entre dos.
>eniendo las medidas de las #ases y la altura, calculamos su área: inalmente escri#imos el resultado del área en notación #a#ilónica:
