Hoja de Ejercicios 4

Procesos Estocásticos ( Hoja de Ejercicios ) 1. Sea ( Sea  ( X t )t0  una cadena de Markov con conjunto de estados  S  =  f1  f 1; 2; 3g y generador in…nitesimal dado por: Q  =

Calcular  Calcular   ij (t)  para  i; j  2  S:

0 @

5 3 2 1 2 1 4 0 4

1 A

2. Considere Considere un sistema sistema cuyos estados sucesivos sucesivos constituye constituyen n una cadena de Markov con conjunto de estados  S  =  fa;b;cg  y matriz de transición =

0 @

0 1 5

0

1 0 1

0 4 5

0

1 A

Supóngase que los tiempos de permanencia en cada uno de los estados son variables aleatorias con distribuciones exponenciales de parámetros  1 ; 2  y 3  respectivamente.  respectivamente. Determinar la matriz  Q  de este sistema markoviano. 3. Sea (X t )t0   una cadena de Markov con conjunto de estados S;matrices de transición  transición   (t)  y generador in…nitesimal  Q:  Demostra  Demostrarr que la familia familia f (t) ; t  0    0g g  tiene las siguientes propiedades: a.

 (s + t) = ( s)  (t)

b.   Para

todo  t   0    0 ;  (t)  es estocástica.

4. Sea ( Sea  ( X t )t0  un proceso de nacimiento y muerte con   i  =    y   i  =  i  para todo  i  2  S: a.  Dar

una condición necesaria y su…ciente para que el proceso sea recurrente positivo.

b.  Hallar

( si existe) la distribución estacionaria de este proceso.

5. En una guarderia guarderia hay hay  N  niños y sòlo una persona encargada de cuidarlos. De vez en cuando un bebè empieza a llorar exigiendo la atenciòn de la niñera. niñera. Si la niñera està ocupada atendiend atendiendo o a otro bebè, el nuevo bebè que llora debe esperar su turno. Si en el tiempo  t  un bebè està tranquilo entonces la probabilidad de que èl empiece a llorar y exija ser atendido en el intervalo de tiempo (t; t + h]  es igual a h +  o (h). Si en el tiem tiempo po t  un bebè està siendo atendido por la niñera entonces la probabilidad de que èl se calme en el intervalo de tiempo (t; t + h]  es igual a h +  o (h) : Supòngase que  X t  :=“  := “ nùmero de bebès que estàn exigiendo ser atendidos en el tiempo  t ”. Asumimos  X 0  = 0 ¿ Cuàl es la probabilidad probabilidad de que a la larga haya 0 haya  0  bebès esperando esperando ser atendidos? atendidos? 1

6. Sea (X t )t0  un proceso de nacimiento y muerte con  n  =  n + a y  n  =  n para todo  n   0, siendo  ;   y  a  constantes positivas. Calcular el tamaño promedio de la población dado que el tamaño de la población es  i;  es decir, calcular  E  (X t  j  X 0  =  i ) : 7. Supóngase que la llegada de clientes a un almacén puede modelarse por un proceso de Poisson simple con intensidad    = 2  por minuto. Calcular: a.  El

número promedio de clientes que llegan al almacén en un período de una hora.

b.  La

varianza del número de clientes que llegan al almacén en un período de una hora.

c.   La

probabilidad de que llegue al menos un cliente al almacén en un período de 5 minutos.

8. Por un determinado restaurante pasan los clientes potenciales de acuerdo a un proceso de Poisson con una frecuencia de  1000 por hora. Supóngase que cada persona que pasa tiene una probabilidad de 0:01   de entrar al restaurante. Sea  Z  el número de personas que entran al restaurante en un período de 10  minutos. Hallar  E  (Z ) ; V a r (Z )  y  P  ( Z    2) : 9. Una ama de casa vende, por e-mail, suscripciones a una revista. Sus clientes responden positivamente, es decir toman la suscripción, de acuerdo a un proceso de Poisson con una frecuencia de 6   cada día. Los clientes pueden tomar la suscripción por 1,2, o 3 años con probabilidades 63 ; 62 y 61  respectivamente. El ama de casa recibe, por cada suscripción anual vendida, una boni…cación de 3 ( miles de pesos). Sea  X t  su comisión total por las suscripciones vendidas en el intervalo de tiempo (0; t] :Calcular E  (X t ) ; V a r (X t ) y  P  ( X t  = 0) : 10. Se ha encontrado que los accidentes de trá…co en una ciudad ocurren según un proceso de Poisson con las siguientes intensidades: En horas pico ( 7am9am y 4pm-6pm) 4 por hora, a otras horas del día 2 por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día ocurran 20 o menos accidentes entre las 7am y las 6pm? 11. Los temblores ocurren en una región dada de acuerdo con un proceso de Poisson con un índice de  5  por año. i) ¿Cuál es la probabilidad de que haya por lo menos dos temblores en la primera mitad del año  2030 ? ii) Suponiendo que ocurre el evento de la parte i), ¿cuál es la probabilidad de que haya ningún temblor durante los primeros nueve meses del año 2031? iii)Suponiendo que ocurre el evento de la parte i), ¿cuál es la probabilidad de que haya por lo menos cuatro temblores durante los primeros nueve meses del año  2030? 2

12. Considere un proceso no homogéneo de Poisson con función de intensidad (t):  Demuestre que para  n  = 0; 1; 2;:::  se satisface: P (X t+s   X t  =  n ) =  e [m(t+s)m(t)]

donde  m (t) =

[m(t + s)  m(t)]n n!

t

R  0

  (x)dx:

13. Llegan pulsos a un contador Geiger según un proceso de Poisson con intensidad  = 5   llegadas por minuto. Cada pulso que llega al contador tiene una probabilidad igual a 43   de ser registrado. Sea N t  el número de pulsos registrados en (0 ; t]:  Hallar  P (N t  = 0) y  E N t : 14. Ciertas señales son transmitidas según un proceso de Poisson con intensidad :   Cada señal es transmitida correctamente con probabilidad  p  siendo 0 < p < 1  y es transmitida incorrectamente con probabilidad (1   p) :  Sean N 1 (t) y N 2 (t) el número de señales transmitidas correctamente e incorrectamente en el intervalo de tiempo  (0 ; t] ;   respectivamente. Supóngase que  N 1 (t) y  N 2 (t) son independientes. Hallar la distribución de ( N 1 (t) ; N 2 (t)) 15. En un proceso de Poisson han ocurrido  n  eventos en el intervalo de tiempo (0; t]:  Demuestre que la distribución del número de sucesos que han ocurrido durante el intervalo de tiempo  (0 ; s] ,  s < t  es binomial con probabilidad de éxito igual st : 16. Supóngase que llegan carros a un parqueadero de acuerdo a un proceso de Poisson con intensidad   por hora. El tiempo de parqueo T   de cada carro puede ser modelado como una variable aleatoria con distribución exponencial con media 1 :  Determinar la distribución límite del número de carros parqueados en el parquedero ( se supone que el parqueadero es lo su…cientemente grande como para acomodar todos los carros que lleguen). 17. A una estación de servicio llegan clientes siguiendo un proceso de Poisson no homogéneo con las siguientes intensidades: 7am -8am: se incrementa linealmente de 10 por hora a 20 por hora. 8am-10am: disminuye linealmente de 20 por hora a 10 por hora. 10am-12m: permanece constante 10 por hora. 12m-12:30pm: se incrementa linealmente de 10 por hora a 20 por hora. 12:30pm-1pm: decrece linealmente de 20 por hora a 12 por hora. 1pm-5pm: permanece constante 12 por hora. 5pm-6pm: se incrementa linealmente de 12 por hora a 20 por hora. 6pm-7pm: disminuye linealmente de 20 por hora a 6 por hora. 7pm-10pm: permanece constante 6 por hora.

3

Determine la distribución de probabilidad del número de clientes que llegan a la estación de servicio en un día dado. ¿Cuál es el número esperado de clientes en un día? 18. Considérese un niño que llora de acuerdo con un proceso de Poisson con un promedio de 15 veces por hora. Si los padres del niño sólo responden cada tercer llanto, ¿cuál es la probabilidad de que transcurran 12 o más minutos entre respuestas sucesivas de los padres del niño? 19. Si la función de intensidad (t) de un proceso de Poisson no homogéneo N  es en sí mismo un proceso aleatorio entonces el proceso N   se llama proceso doblemente estocástico o proceso de Cox. Considere el caso en el que (t) =  para todo t;  donde  es una variable aleatoria que toma los valores 1 y 2  con probabilidad igual a 21   en cada caso. Encuentre la función generadora de probabilidades de  N (t) y deduzca su media y su varianza. 20.



(Simulación del proceso de Poisson) Sea  > 0 y U 1 ; U 2 ;:::   variables aleatorias independientes e igualmente distribuidas con distribución uniforme sobre el intervalo (0; 1) :Demostrar que para  t >  0 la variable aleatoria N t  := max

n

(

n  2

N

:

Y

U k    e

k=1

tiene distribución Poisson con parámetro  t: * : opcional Liliana Blanco C.

4

t

)