Tanja Ilijaš
DINAMIKA KONSTRUKCIJA I POTRESNO INŽENJERSTVO HOLZEROVA METODA
Zagreb, 2009.
GRAĐEVINSKI FAKULTET
Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo
1. UVOD Svako opterećenje, osim vlastite težine i stalnog tereta, možemo smatrati dinamičkim jer kim jer od svakog opterećenja nastaju deformacije tijela, a time i pomaci koji se mijenjaju u vremenu i izazivaju ubrzanja. Međutim, u proračunima ne smatramo sva djelovanja osim vlastite težine i stalnog tereta dinamičkim djelovanjima. Neka djelovanja aproksimiramo statičkim, a neka zanemarujemo, ovisno o silama inercije koje nastaju za vrijeme gibanja. Pri sporim gibanjima sile inercije su zanemarive (npr. skupljanja betona), pa vršimo aproksimaciju kvazistatičkim djelovanjem, a dinamičke utjecaje osiguravamo dinamičkim faktorom. Pri silama inercije zamjetnog intenziteta, opterećenje nazivamo dinamičkim. Uzroci dinamičkih opterećenja u praksi su djelovanja strojeva, potresa, vjetra, i dr. Pri konstrukcijama opterećenim dinamičkim opterećenjem proračunavamo periode vibriranja, vlastite frekvencije titranja konstrukcija, te vlastite oblike konstrukcija pri djelovanju tih frekvencija. Postoje razne metode za određivanje perioda vibriranja i vlastitih oblika, od ručno‐ analitičkih do metoda koje se svode na primjenu računala. Postoje i približne metode s većim ili manjim odstupanjima: Holzerova metoda, Stodola postupak, metoda redukcije masa i dr. Pri izboru načina proračuna za određivanje oblika i perioda osciliranja okvirnih konstrukcija bitno je voditi računa o odnosu krutosti stupova i greda. Krutost greda može biti znatno veća, nešto veća, približno ista ili manja od krutosti stupova. Ako je krutost greda znatno veća, pogodno je upotrijebiti teorijska rješenja ili neke od približnih postupaka povećane točnosti. U praksi su često grede kruće od stupova pa ti približni postupci imaju svoju svrhu. Pretpostavka velike, odnosno beskonačne krutosti stropa u odnosu na stupove okvirnih konstrukcija opravdana je opravdana je kod većine građevina s armiranobetonskim pločama ili montažnim stropovima. Ako je odnos momenta inercije stropa i stupova veći od 3.6, očekuju se male rotacije čvorova u odnosu na relativne pomake stropne konstrukcije. Međutim, ako se radi o okvirnoj konstrukciji s gredama i stupovima kod koje deformacija stropa utječe na pomake sustava, pogodno je pogodno je koristiti računalo pri proračunu te približne metode više ne vrijede.
Holzerova metoda
1
GRAĐEVINSKI FAKULTET
Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo
2. OSNOVNO O HOLZEROVOJ METODI Holzerova metoda jest približna metoda određivanja perioda svojstvenih vibracija i svojstvenih oblika vibriranja određenih konstrukcija na način da se za pretpostavljenu kružnu frekvenciju postupno pronalazi odgovarajući oblik osciliranja. Bitna prednost Holzerove metode je ta što se vlastite frekvencije vibriranja mogu odrediti neovisno jedne neovisno jedne od drugih. Holzerova metoda jest metoda jest metoda pogodna za određivanje perioda i oblika svojstvenih vibracija konstrukcije konzola. Pogodna je Pogodna je i za određivanje perioda svojstvenih vibracija okvira i oblika vibriranja okvira s krutim ili beskonačno krutim gredama. Grede su često puno kruće od stupova pa ova metoda ima svoju svrhu, kao što je navedeno u uvodnom razmatranju. Također, pogodna je pogodna je za određivanje perioda vlastitih oscilacija tzv. „ulančanih konstrukcija“. Kod složenijih proračuna zahtjevnijih konstrukcija, postupak je postupak je pogodan za kontrolu rješenja dobivenih primjenom računala. Metoda se svrstava među metode visoke točnosti.
Holzerova metoda
2
GRAĐEVINSKI FAKULTET
Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo
3. POSTUPAK RJEŠAVANJA PROBLEMA PRIMJENOM HOLZEROVE METODE Broj koordinata pomoću kojih je opisano gibanja odabrane grupe krutih čestica naziva se brojem dinamičkih stupnjeva slobade. U realnim slučajevima, konstrukcije imaju distribuirane mase, a time i beskonačno dinamičkih stupnjeva slobode. Prema tome bi bilo potrebno beskonačno mnogo koordinata da se opiše gibanje realne konstrukcije, što u praktičnoj primjeni nema smisla. Pravilnom raspodjelom masa, aproksimacija s koncentriranim masama jest masama jest prihvatljiva u proračunima. Proučavamo sustav s reduciranim koncentriranim masama. Okvirne konstrukcije s krutim gredama katova imaju po jedan dinamički stupanj slobode pomaka po masi. Normiramo amplitudu pomaka na vrhu objekta na Prema toj normiranoj amplitudi, određujemo amplitude pomaka sljedeće mase (kata) za odabranu kružnu frekvenciju vibriranja. Proučavamo dobivene rezultate za pomak na mjestu temelja objekta: ako je , odnosno ako postoji pomak na mjestu temelja objekta, postupak je potrebno ponoviti s novom pretpostavljenom frekvencijom. Postupak ponavljamo do . Frekvencija koja odgovara takvom obliku vibriranja jest vibriranja jest odgovarajuća frekvencija te prema n joj određujemo period vibriranja proučavane konstrukcije,
.
,, ..
(3.1)
Postupak određivanja amplituda (pomaka) masa prema izabranim kružnim frekvencijama prikazan je prikazan je na slici 1.
Slika 1. Oblici vibriranja Oblici vibriranja koji odgovaraju koji odgovaraju izabranim kružnim frekvencijama; kružnim frekvencijama; Holzerova metoda
Holzerova metoda
3
GRAĐEVINSKI FAKULTET
Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo
Prema slici 1, vidljivo je da postoji više frekvencija koje zadovoljavaju rubne uvjete. Koliko imamo koncentriranih masa, toliko imamo i stupnjeva slobode, a time i vlastitih frekvencija titranja. Međutim, određivanje jedne frekvencije titranja je neovisno o drugoj, svaka se dobiva prema opisanom postupku. Ako je Ako je za odabranu frekvenciju pri vlastitim vibracijama:
..
amplituda pomaka
mase
, tada je najveće ubrzanje
.
(3.2)
Sila koja djeluje na tu masu jest: masu jest: (3.3)
Uvrštavajući izraz (3.2) u izraz (3.3) dobivamo: (3.4)
.
S tim silama određuje se pomak konstrukcije za usvojenu frekvenciju. Analitički određujemo dodatke pomaka katova od vrha prema dnu prema slici 2. Ako je pomak temelja blizu nule, izabranoj frekvenciji odgovara oblik vibriranja, a ako su odstupanja amplitude temelja veća, postupak postupak se ponavlja drugom frekvencijom prema izrazima i slici:
∆∆ ∆∆ ∆
;
,
(3.5) pri čemu vrijedi:
∆∆ , ∆∆ Holzerova metoda
.
4
GRAĐEVINSKI FAKULTET
Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo
,
Frekvencije su dvije prethodno pretpostavljene frekvencije, a frekvencija je frekvencija koja se dobiva ovim izrazom.
∆
∆
0,
je razlika kvadrata dviju pretpostavljenih frekvencija, a razlika pomaka temelja istih frekvencija, pri čemu je jer pomak temelja mora biti jednak nuli. Prema izrazu (3.5) vrši se ektrapolacija u svrhu određivanja tražene frekvencije. Na taj način određujemo linearnu vezu između dviju prethodno pretpostavljenih vrijednosti frekvencija ( ) i tražene vrijednosti frekvencije ( ). Što je razlika između pretpostavljenih vrijednosti ( ) manja, to je vrijednost dobivena ekstrapolacijom ( ) bliže traženom rješenju. Međutim, zbog linearne pretpostavke, ovim se izrazom ne dobiva sasvim točno rješenje.
,,
Slika 2. Određ ivanje pomaka kata prema Holzerovom postupku
1
Slika 2 detaljnije prikazuje postupak određivanja pomaka katova od vrha prema dnu, kao što to opisuje Holzerova metoda. Za pretpostavljenu frekvenciju ω, te pomak na vrhu , određuje se sila inercije prema izrazu (3.4), koja djeluje na masu , pri čemu je 'n' broj masa, odnosno katova konstrukcije. Dobivamo:
.
Iz statičkih uvjeta ravnoteže sila određuje se unutarnja poprečna sila dobivenu silu inercije.
, kao reakcija na
Slika
0
3. Veza sile inercije i popreč ne sile na vrhu konstrukcije
,
.
Holzerova metoda
(3.6)
5
GRAĐEVINSKI FAKULTET
Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo
Nakon određivanja poprečne sile, određuje se deformacija najvišeg kata konstrukcije, prema izrazu:
∆ ∆ ,
gdje je
(3.7)
krutost, a
fleksibilnost najvišeg kata konstrukcije.
Dobivamo pomak (n‐1). kata: .
(3.8)
Zatim određujemo silu inercije tog kata prema izrazu (3.4): .
Sada je potrebno odrediti poprečnu silu ispod tog kata. I sada koristimo statički uvjet ravnoteže sila, prema slici 4.
Slika 4. Određ ivanje popreč ne sile iz stati čk og uvjeta ravnoteže sila
Dobivamo:
0 ∆ ∆ ,
.
(3.9)
Prema izrazu (3.7) određujemo deformaciju (n‐1). kata: .
Nakon toga možemo odrediti pomak (n‐2). kata, prema izrazu (3.8):
Holzerova metoda
.
6
GRAĐEVINSKI FAKULTET
Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo
Postupak ponavljamo sve dok ne dođemo do dna konstrukcije. Ukoliko je pomak temelja različit od nule, cijeli postupak se ponavlja novom frekvencijom. Ako i ta frekvencija nije zadovoljavajuća, koristi se izraz (3.5). Navedene jednadžbe možemo izraziti u općenitom obliku, što odgovara slici 2. :
∑ ∆ ∆ ,
=
,
,
,
,
gdje je n broj katova, a i kat za koji proračunavamo navedene vrijednosti.
Slika 5. Holzerova metoda primjenjena na okvirnoj konstrukciji
Ako rješavamo problem konzole, mase su reducirane u određenim točkama, a pri okvirnim konstrukcijama imamo mase distribuirane duž greda (slika 5).
Holzerova metoda
7
GRAĐEVINSKI FAKULTET
Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo
4. UVODNO O PROŠIRENOJ HOLZEROVOJ METODI Myklestad je predložio postupak za analizu vlastitih oscilacija greda čije mase mijenjaju položaje i okreću se. Taj postupak naziva se Proširena Holzerova metoda ili Holzer‐ Myklestadova metoda. Osnovna razlika Holzerove i Proširene Holzerove metode jest ta što Holzerova metoda pretpostavlja apsolutno krute grede bez mogućnosti zaokreta, a pri Proširenoj Holzerovoj metodi to nije slučaj.
1
I ovdje pretpostavljamo koncentrarane mase, ali svaka masa ima dva stupnja slobode gibanja: pomak i okretanje za kut , koje treba uzeti u obzir pri određivanju amplituda pomaka grede. U ovom slučaju normiramo zaokret na uvjete.
te tražimo frekvenciju koja zadovoljava rubne
Kod Holzer‐Myklestadove metode također je bitna prednost naspram drugih metoda određivanje vlastitih frekvencija sustava neovisno o drugim vlastitim frekvencijama. Koristi se kod istih sustava kao i Holzerova metoda (konzole, okviri, lančaste konstrukcije). Po tom postupku, za manji broj masa rješenje se dobiva analitički kalkulatorom, a za veći broj masa preporuča se uporaba računala (ili programibilnog kalkulatora).
Holzerova metoda
8
GRAĐEVINSKI FAKULTET
Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo
5. PRORAČUN PREMA PROŠIRENOJ HOLZEROVOJ METODI 5.1. Greda
Slika 3 prikazuje deformaciju grede pri vibracijama, pri kojoj postoje i pomaci i zaokreti grede, odnosno greda nije apsolutno kruta.
Slika 6. Pomaci i zaokreti grede koja nije apsolutno kruta
Prema teoriji greda poznati su osnovni izrazi za pomake i statičke utjecaje krajeva grede, sukladno oznakama na slici 6. Promatramo dio grede prikazan na slici 6. Iz statičkog uvjeta ravnoteže sila u vertikalnom smjeru dobivamo:
∑ 0
.
(5.1)
Iz sume momenata na točku i slijedi: .
(5.2)
Da bismo izrazili deformacije sustava, potrebna nam je matrica fleksibilnosti sustava, ili njoj inverzna matrica krutosti sustava. Koristit ćemo matricu fleksibilnosti sustava. Izdvojen dio grede proučavamo kao obostrano upetu gredu. Problem rješavamo metodom sila. Obostrano upeta greda je tri puta statički neodređena pa pri pretvaranju sustava u statički određen imamo tri sile, , gdje je oslobođena uzdužna sila, poprečna sila, a oslobođeni moment, prema slici 7.
Holzerova metoda
,
9
GRAĐEVINSKI FAKULTET
Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo
Slika 7. Metoda sila
Prema slici 7. možemo odrediti relativne elemente matrice fleksibilnosti sustava. Iz komplemenatrne deformacijske energije konstrukcije slijedi općenit izraz za članove matrice fleksibilnosti, uz za nemarivanje doprinosa poprečnih sila:
∑
.
Izraz (5.3) predstavlja pomak na mjestu, na pravcu i u smjeru sile
(5.3)
1.
izazvan silom
Primjenimo li izraz (5.3) na rješavanje obostrano upete grede prema slici 7., dobivamo:
0 0 ,
,
, ,
Holzerova metoda
10
GRAĐEVINSKI FAKULTET
Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo
1 0 0 00 ∆∑ , 1,2, … . 0 0 0 0 0 0 0 0 , ,
.
Prema tome, matrica fleksibilnosti iznosi:
.
(5.4)
Ukupni pomak na mjestu, na pravcu i u smjeru sile u prekobrojnoj vezi (i) od sila u prekobrojnim vezama iznosi: .
(5.5)
Iz toga proizlazi izraz za deformacije dijela grede sa slike 7.:
=
.
(5.6)
Ako primjenimo izraze (5.3)‐(5.6) na sliku 6., dobivamo izraze za deformacije dijela grede sa slike 6.:
=
,
(5.7)
pri čemu predstavljaju deformacije u relativnom koordinatnom sustavu. U apsolutnom koordinatnom sustavu tim deformacijama pribrajamo i deformacije drugog kraja sustava. Slijedi: ,
(5.8)
.
(5.9)
Holzerova metoda
11
GRAĐEVINSKI FAKULTET
Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo
Izrazi (5.1), (5.2), (5.8) i (5.9) izraženi matrično:
1 0 0 0 1 10 00 3 1 3 η ·η. . 10 01 00 0 00 00 10 10 η , ·η η ·, ·η. ·, , =
(5.10)
Navedenu matričnu formulaciju možemo skraćeno zapisati:
Pogleda jmo masu
prema slici 4. Uvjeti dinamičke ravnoteže sila i pomaka te mase su:
1)
,
gdje je član 2) 3) 4)
(5.11)
(5.12)
sila inercije prema izrazu (3.4).
.
.
(5.13) (5.14) (5.15)
Dobili smo:
(5.16)
Sustav (5.16) možemo skraćeno zapisati: .
(5.17)
Uvrštavanjem sustava (5.17) u sustav (5.11) slijedi: (5.18)
Možemo izdvojiti dio izraza (5.18): ,
iz čega, množeći matrice
Holzerova metoda
i
(5.19)
, dobivamo:
12
GRAĐEVINSKI FAKULTET
Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo
1 10 00 00 1 0 0 1 10 00 3 1 0 000 100 010 100 3 1 3 1 3 1 η ·η η ·η · ·η · · ·η · · η ·η
.
(5.20)
Iz izraza (5.18)‐(5.20) proizlazi: .
(5.21)
Ukoliko želimo pomake jednog kraja sustava izraziti pomoću pomaka drugog kraja sustava, prema izrazu (5.21) i slici 6. dobivamo: .
(5.22)
Ako uvedemo izraz:
(5.23)
u izraz (5.22), proizlazi: .
Članovi matrice
(5.24)
su:
.
(5.25)
Pomoću sustava jednadžbi (5.24) mogu se odrediti iznosi sila i pomaci na lijevom osloncu, prema slici 6:
0 0. 0 .
(5.26)
Rubni uvjeti prema slici 6 su: moment savijanja i pomaci grede na lijevom osloncu su jednaki nuli, , a na desnom osloncu je Prema tome vrijedi: , odnosno: ,
Holzerova metoda
(5.27)
13
GRAĐEVINSKI FAKULTET
0 ·1 0 ·1 0
Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo
.
Pretpostavljamo da je na desnom osloncu jedinična rotacija: dobivamo: .
1.
(5.28) Iz izraza (5.27)
(5.29)
Iz izraza (5.28) dobivamo:
.
(5.30)
0, ,
Odgovarajuća je frekvencija ona kod koje je pomak na lijevom osloncu jednak nuli, a navedeni koeficijenti prema (5.29,5.30) su funkcije samo jedne veličine pa prema tome jednostavno dolazimo do rješenja. Pretpostavljamo frekvenciju, te za odgovarajuću frekvenciju dobivamo i odgovarajuće vlastite vektore
0
.
Frekvencije se mogu odrediti i pomoću uvjeta da je determinanta sustava jednaka nuli.
Holzerova metoda
14
GRAĐEVINSKI FAKULTET
Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo
5.2. Konzola
Postupak rješavanja konzole proširenom Holzerovom metodom sličan je postupku rješavanja grede koji je opisan u točki 5.1. Međutim, za razliku od metode rješavanja grede, pri rješavanju konzole potrebno je osim normiranja rotacije jednog kraja konzole (slobodnog) normirati i amplitudu pomaka vrha konzole, što proizlazi iz različitih rubnih uvjeta konzole i grede. Prema tome dobivamo: .
1
Slijedi analogan postupak: pretpostavljamo frekvenciju te uvažavamo onu koja zadovoljava rubne uvjete temelja konzole, pomak i rotacija moraju biti jednaki nuli ako je konzola uklještena u temelju. Prema tome, za pretpostavljanu frekvenciju treba odrediti kut okretanja na mjestu mase na vrhu konzole za koji će okretanje i pomak na mjestu temelja biti te izabrana odgovarajuća frekvencija odgovara jednom od oblika vibriranja konzole.
0
Primjetimo da je postupak rješavanja konzole proširenom Holzerovom metodom sličan rješavanju konzole „običnom“ Holzerovom metodom, uz razliku što se pri proširenoj Holzerovoj metodi ne zanemaruje zaokret vrha konzole. Prema tome, postupak rješavanja konzole proširenom Holzerovom metodom predstavlja spoj postupka rješavanja konzole Holzerovom metodom opisanog u točki 3., te postupka rješavanja grede proširenom Holzerovom metodom opisanog u točki 5.1.
Slika 8. Proširena Holzerova metoda pri rješavanju problema konzole
Prema slici 8. vrijedi:
∆
.
(5.31)
Izborom kuta okretanja mase na vrhu konzole, prema izrazu (5.31), osiguran je uvjet da je okretanje na mjestu uklještenja jednako nuli, ali pomak najčešće nije jednak nuli,
Holzerova metoda
15
GRAĐEVINSKI FAKULTET
Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo
prema slici 8. Da bi bio zadovljen i uvjet =0, potrebno je odabrati odgovarajuću frekvenciju koja tada predstavlja traženu frekvenciju.
Amplitude pomaka i okretaja na mjestu mase određuju se prema izrazima deformacija grede duljine između dvije mase prema slici 9.
Slika 9. Određ ivanje pomaka i zaokreta krajeva konzole pri proširenoj Holzerovoj metodi
Nakon što pretpostavimo neku frekvenciju , amplitude pomaka i okretanja masa konzole računamo prema slici 9, od mase do temelja. Prema izrazima (5.8) i (5.9) sljedi:
Kao i u običnoj Holzerovoj metodi (3.5), i ovdje je moguć iterativni način određivanja kružne frekvencije. Kada za dvije uzastopne vrijednosti kvadrata kružnih frekvencija pomak temelja mijenja predznak, ako je prirast dodatka kvadrata kružne frekvencije mali, tada se i tražene vrijednosti kružnih frekvencija dobivaju s malim odstupanjima:
∆ .
(5.32)
(5.25) (5.33)
Holzerova metoda
16
GRAĐEVINSKI FAKULTET
Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo
6. PRIMJER 6.1. Proračun okvirne konstrukcije Holzerovom metodom Zadana je okvirna konstrukcija prema dimenzijama prikazanim na slici 9.
Slika 10. Okvirna konstrukcija
Zadano:
80 000 kN 100 000 kN 90 000 kN ∞ 0.8 1.2 1 Holzerova metoda
17
GRAĐEVINSKI FAKULTET
Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo
Krutosti pojedinih stupova svodimo na krutosti katova. Pošto se radi o okviru obostrano upetom na svakom katu, krutost pojedinog kata iznosi:
∑
,
pri čemu su 'j' stupovi određenog kata 'i',a 'n' broj tih stupova.
Dobivamo:
∑ 3 45000 ∑ 3 56250 ∑ 3 50625 900. 1,0. 0.8 9001 720 ,
,
.
Započinjemo prvim korakom Holzerove metode: pretpostavljamo frekvenciju. Prva pretpostavka prve frekvencije:
30rad/s
Pomak na vrhu okvira, odnosno pomak prve mase, normiramo na Prema izrazu (3.4) dobivamo silu inercije pri tom pomaku: .
Slika 11. Veza popreč ne sile i sile inercije
Prema slici 11. dobivamo poprečnu silu na vrhu prvog kata:
720 ∆ 0.016 .
Prema izrazima sa slike 2., deformacija prvog kata iznosi:
Holzerova metoda
.
18
GRAĐEVINSKI FAKULTET
Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo
Dobivamo pomak drugog kata:
∆ 0.984 1.29000.984 1062,72 .
Prema tome, sila inercije drugog kata iznosi:
.
Prema slici 12. dobivamo poprečnu silu ispod drugog kata:
Slik a 12. Popreč na sila ispod drugog kata
1782,72 ∆ , 0.032 ∆ 19000.952 856.8 , 2639,52 ∆ 0,052 ∆ 0.9 0 0 .
Proizlazi:
,
0.952,
,
,
,
.
Vidljivo je da pomak temelja s pretpostavljenom frekvencijom ne zadovoljava rubni uvjet , te da je frekvencija premala (dobili smo pozitivan pomak temelja), pa ćemo postupak ponoviti s većom frekvencijom.
Holzerova metoda
19
GRAĐEVINSKI FAKULTET
Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo
Druga pretpostavka prve frekvencije:
10000. 100rad/s
Pomak na vrhu okvira, odnosno pomak prve mase, normiramo na Prema izrazu (3.4) dobivamo silu inercije pri tom pomaku:
1,0.
0.8 100001 8000 8000 ∆ 0.18 ∆ 0.82 1.2100000.82 9840 17840 ∆ 0.32 ∆ 1100000.500 5000 22840 ∆ 0,451 ∆ 0.049 0 .
Prema slici 11. dobivamo poprečnu silu na vrhu prvog kata: .
Prema izrazima sa slike 2., deformacija prvog kata iznosi: .
Dobivamo pomak drugog kata: .
Prema tome, sila inercije drugog kata iznosi:
.
Prema slici 11. dobivamo poprečnu silu ispod drugog kata: .
Proizlazi:
,
0.500,
,
,
,
.
Vidljivo je da smo drugom pretpostavljenom frekvencijom bliže rješenju. Do treće pretpostavljene frekvencije doći ćemo pomoću izraza (3.5). Dobivamo:
Holzerova metoda
20
GRAĐEVINSKI FAKULTET
Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo
10000900 ∆ 0. 8 51 0. 0 49 ∆ 10523.972. = 523.97,
prema tome je treća pretpostavka prve frekvencije: 102.6 rad/s
Pomak na vrhu okvira, odnosno pomak prve mase, normiramo na Prema izrazu (3.4) dobivamo silu inercije pri tom pomaku:
0.8 10523.9721 8419,18 8419,18 ∆ , 0.187 ∆ 0.813 1.210523.9720.813 10267,19 . 18686.37 ∆ 0.332 ∆ 110523.970.481 5062.03 . 23748.40 ∆ 0,469 ∆ 0.012 0.
1,0.
.
Prema slici 11. dobivamo poprečnu silu na vrhu prvog kata: .
Prema izrazima sa slike 2., deformacija prvog kata iznosi: .
Dobivamo pomak drugog kata: .
Prema tome, sila inercije drugog kata iznosi:
.
Proizlazi:
.
,
0.481,
,
,
,
Holzerova metoda
21
GRAĐEVINSKI FAKULTET
Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo
Dobili smo prihvatljivo rješenje za prvi oblik vibriranja konstrukcije. Dobiveno rješenje nije u svaku decimalu točno, zato što izraz (3.5) pretpostavlja linearan odnos, što ovdje nije slučaj. Probajmo pronaći još točnije rješenje: Četvrta pretpostavka prve frekvencije:
10609. 103 rad/s
Pomak na vrhu okvira, odnosno pomak prve mase, normiramo na Prema izrazu (3.4) dobivamo silu inercije pri tom pomaku:
1,0.
0.8 106091 8487,2 8487,2 ∆ , 0.189 ∆ 0.811 1.2106090.811 10324,68 , 18811,88 ∆ 0.334 ∆ 1106090.477 5060,493 , 23872,373 ∆ 0,475 ∆ 0.002 0. .
Prema slici 11. dobivamo poprečnu silu na vrhu prvog kata: .
Prema izrazima sa slike 2., deformacija prvog kata iznosi: .
Dobivamo pomak drugog kata: .
Prema tome, sila inercije drugog kata iznosi:
.
Proizlazi:
.
,
0.477,
,
,
,
Holzerova metoda
22
GRAĐEVINSKI FAKULTET
Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo
Prva frekvencija titranja:
103 rad/s
Prvi vlastiti vektor iznosi:
..
.
Povećavamo frekvenciju te tražimo drugi svojstveni oblik vibriranja konstrukcije. Izrazit ćemo više frekvencija radi točnijeg prikaza grafa frekvencija. Prva pretpostavka druge frekvencije:
40000. 200 rad/s
Pomak na vrhu okvira, odnosno pomak prve mase, normiramo na Prema izrazu (3.4) dobivamo silu inercije pri tom pomaku:
1,0.
0.8 400001 32000 32000 ∆ 0.711 ∆ 0.289 1.2400000.289 13872 45872 ∆ 0.816 ∆ 1400000.527 21080 24792 .
Prema slici 11. dobivamo poprečnu silu na vrhu prvog kata: .
Prema izrazima sa slike 10., deformacija prvog kata iznosi: .
Dobivamo pomak drugog kata: .
Prema tome, sila inercije drugog kata iznosi:
.
Proizlazi:
.
,
‐0.527,
,
,
Holzerova metoda
23
GRAĐEVINSKI FAKULTET
∆ 0,490 ∆ 1,017
Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo
,
Prema slici 2., vidljivo je da će druga frekvencija biti veća od prve pretpostavljene, jer smo dobili negativan pomak temelja. Druga pretpostavka druge frekvencije:
67600. 260 rad/s
Pomak na vrhu okvira, odnosno pomak prve mase, normiramo na Prema izrazu (3.4) dobivamo silu inercije pri tom pomaku:
1,0.
0.8 676001 54080 54080 ∆ 1,202 ∆ 0,202 1.2676000.202 16386,24 , 37693,76 ∆ 0.670 ∆ 1676000.872 58947,2 , 21253,44 ∆ 0,420 ∆ 0,452 0 .
Prema slici 11. dobivamo poprečnu silu na vrhu prvog kata: .
Prema izrazima sa slike 2., deformacija prvog kata iznosi: .
Dobivamo pomak drugog kata: .
Prema tome, sila inercije drugog kata iznosi:
Proizlazi:
.
,
‐0.872,
,
,
,
.
Holzerova metoda
24
GRAĐEVINSKI FAKULTET
Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo
Prema slici 2., vidljivo je da će druga frekvencija biti veća i od druge pretpostavljene frekvencije. 3. pretpostavka druge frekvencije:
78400. 280 rad/s
Pomak na vrhu okvira, odnosno pomak prve mase, normiramo na Prema izrazu (3.4) dobivamo silu inercije pri tom pomaku:
0.8 784001 62720 62720 ∆ 1,394 ∆ 0,394 1.2784000.394 37067,52 , 25652,48 ∆ 0.456 ∆ 1784000.850 66640 , 40987,52 ∆ 08, 10 ∆ 0,04 0
1,0.
.
Prema slici 11. dobivamo poprečnu silu na vrhu prvog kata: .
Prema izrazima sa slike 2., deformacija prvog kata iznosi: .
Dobivamo pomak drugog kata: .
Prema tome, sila inercije drugog kata iznosi:
.
Proizlazi:
.
,
‐0.850,
,
,
,
.
Da bismo dobili još točnije rješenje, provodimo još jednu pretpostavku.
Holzerova metoda
25
GRAĐEVINSKI FAKULTET
Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo
4. pretpostavka druge frekvencije:
79524. 282 rad/s
Pomak na vrhu okvira, odnosno pomak prve mase, normiramo na Prema izrazu (3.4) dobivamo silu inercije pri tom pomaku:
0.8 795241 63619,2 63619,2 ∆ , 1,414 ∆ 0,414 1.2795240.414 39507,52 , 24111,68 ∆ 0.429 ∆ 1795240.843 67038,73 , 42927,05 ∆ 0,848 ∆ 0,005 0 ,,
1,0.
.
Prema slici 11. dobivamo poprečnu silu na vrhu prvog kata: .
Prema izrazima sa slike 2., deformacija prvog kata iznosi: .
Dobivamo pomak drugog kata: .
Prema tome, sila inercije drugog kata iznosi:
.
Proizlazi:
.
,
‐0.843,
,
,
,
.
Prema tome, druga vlastita frekvencija jest: 282 rad/s
Drugi vlastiti vektor iznosi:
Holzerova metoda
26
GRAĐEVINSKI FAKULTET
Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo
Pošto sustav ima tri mase, ima i tri oblika vibriranja. Na analogan način, određuje se i treći oblik vibriranja. 1. pretpostavka treće frekvencije:
160000. 400 rad/s
Pomak na vrhu okvira, odnosno pomak prve mase, normiramo na Prema izrazu (3.4) dobivamo silu inercije pri tom pomaku:
0.8 1600001 128000 128000 ∆ 2,844 ∆ 1,844 1.21600001,844 354048 226048 ∆ 4,019 ∆ 11600002,175 348000 121952 ∆ 2,409 ∆ 0,234 0
1,0.
.
Prema slici 11. dobivamo poprečnu silu na vrhu prvog kata: .
Prema izrazima sa slike 2., deformacija prvog kata iznosi: .
Dobivamo pomak drugog kata: .
Prema tome, sila inercije drugog kata iznosi:
.
Proizlazi:
.
,
2,175,
,
,
,
.
Pretpostavljena frekvencija blizu je traženoj frekvenciji. Prema slici 2, vidljivo je da će treća frekvencija biti malo manja od prve pretpostavljene frekvencije, jer je dobiven negativan pomak temelja.
Holzerova metoda
27
GRAĐEVINSKI FAKULTET
Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo
2. pretpostavka treće frekvencije:
156025. 395 rad/s
Pomak na vrhu okvira, odnosno pomak prve mase, normiramo na Prema izrazu (3.4) dobivamo silu inercije pri tom pomaku:
0.8 1560251 124820 124820 ∆ 2,744 ∆ 1,744 1.21560251,744 332104 207284 ∆ 3,685 ∆ 11560251,911 298207 . 90922.8 ∆ 1,796 ∆ 0,115 0
1,0.
.
Prema slici 11. dobivamo poprečnu silu na vrhu prvog kata: .
Prema izrazima sa slike 2., deformacija prvog kata iznosi: .
Dobivamo pomak drugog kata: .
Prema tome, sila inercije drugog kata iznosi:
.
Proizlazi:
.
,
1,911,
,
,
,
.
Pošto smo dobili pozitivno rješenje, očito je traženo rješenje između prve i druge pretpostavke treće frekvencije.
Holzerova metoda
28
GRAĐEVINSKI FAKULTET
Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo
3. pretpostavka treće frekvencije:
157450,24.
396.8 rad/s
Pomak na vrhu okvira, odnosno pomak prve mase, normiramo na Prema izrazu (3.4) dobivamo silu inercije pri tom pomaku:
0.8 157450,241 125960 125960 ∆ 2,80 ∆ 1,80 1.2157450,241,80 339925 213965 ∆ 3,804 ∆ 1157450,242,005 315642 101677 ∆ 2,009 ∆ 0,004 0 . .
1,0.
.
Prema slici 11. dobivamo poprečnu silu na vrhu prvog kata: .
Prema izrazima sa slike 2., deformacija prvog kata iznosi: .
Dobivamo pomak drugog kata: .
Prema tome, sila inercije drugog kata iznosi:
.
Proizlazi:
.
,
2,005,
,
,
,
.
Prema tome, treća vlastita frekvencija jest: 396.8 rad/s
Treći vlastiti vektor iznosi:
Holzerova metoda
.
29
GRAĐEVINSKI FAKULTET
Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo
Radi boljeg grafičkog prikaza, izračunate su još neke vrijednosti pomaka temelja pri pretpostavljenim frekvencijama. 1)
48400. 220 rad/s
Pomak na vrhu okvira, odnosno pomak prve mase, normiramo na Prema izrazu (3.4) dobivamo silu inercije pri tom pomaku:
1,0.
0.8 484001 38720 38720 ∆ 0,86 ∆ 0,14 1.2484000.14 8131,2 , 468 51,2 ∆ 0.833 ∆ 1484000.693 33541,2 , 13314,35 ∆ 0,263 ∆ 0,956 0 .
Prema slici 11. dobivamo poprečnu silu na vrhu prvog kata: .
Prema izrazima sa slike 2., deformacija prvog kata iznosi: .
Dobivamo pomak drugog kata: .
Prema tome, sila inercije drugog kata iznosi:
Proizlazi:
.
,
‐0.693,
,
,
,
.
Holzerova metoda
30
GRAĐEVINSKI FAKULTET
Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo
2)
14400. 120 rad/s
Pomak na vrhu okvira, odnosno pomak prve mase, normiramo na Prema izrazu (3.4) dobivamo silu inercije pri tom pomaku:
0.8 144001 11520 11520 ∆ 0.256. ∆ 0.744 1.2144000.744 12856.32 , 24376,32 ∆ 0.433 ∆ 1144000.311 4478,4 , 28855,02 ∆ 0,570 ∆ 0.259 0 16900.
1,0.
.
Prema slici 11. dobivamo poprečnu silu na vrhu prvog kata: .
Prema izrazima sa slike 2., deformacija prvog kata iznosi:
Dobivamo pomak drugog kata: .
Prema tome, sila inercije drugog kata iznosi:
.
Proizlazi:
.
,
0.311,
,
,
,
.
3)
130 rad/s
Pomak na vrhu okvira, odnosno pomak prve mase, normiramo na Prema izrazu (3.4) dobivamo silu inercije pri tom pomaku:
Holzerova metoda
1,0. 31
0.8 169001 13520 13520 ∆ 0.300. ∆ 0.700 1.2169000.700 14196 27716 ∆ 0.493 ∆ 1169000.207 3498.3 . 31214.3 ∆ 0,617 ∆ 0.41 0 19600. GRAĐEVINSKI FAKULTET
Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo
.
Prema slici 11. dobivamo poprečnu silu na vrhu prvog kata: .
Prema izrazima sa slike 2., deformacija prvog kata iznosi:
Dobivamo pomak drugog kata: .
Prema tome, sila inercije drugog kata iznosi:
.
Proizlazi:
.
,
0.207,
,
,
,
.
4)
140 rad/s
Pomak na vrhu okvira, odnosno pomak prve mase, normiramo na Prema izrazu (3.4) dobivamo silu inercije pri tom pomaku:
1,0.
0.8 196001 15680 15680
.
Prema slici 11. dobivamo poprečnu silu na vrhu prvog kata: .
Prema izrazima sa slike 2., deformacija prvog kata iznosi:
Holzerova metoda
32
GRAĐEVINSKI FAKULTET
∆ 0.348. ∆ 0.652 1.2196000.652 15335,04 , 31015,04 ∆ 0.551 ∆ 1196000.101 1979,6 , 32994,64 ∆ 0,652 ∆ 0,551 0 22500.
Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo
Dobivamo pomak drugog kata: .
Prema tome, sila inercije drugog kata iznosi:
.
Proizlazi:
.
,
0.101,
,
,
,
.
5)
150 rad/s
Pomak na vrhu okvira, odnosno pomak prve mase, normiramo na Prema izrazu (3.4) dobivamo silu inercije pri tom pomaku:
1,0.
0.8 225001 18000 18000 ∆ 0.40 ∆ 0.60
.
Prema slici 11. dobivamo poprečnu silu na vrhu prvog kata: .
Prema izrazima sa slike 2., deformacija prvog kata iznosi: .
Dobivamo pomak drugog kata: .
Prema tome, sila inercije drugog kata iznosi: Holzerova metoda
33
1.2225000.6 16200 34200 ∆ 0.608 ∆ 1225000.008 180 34020 ∆ 0,672 ∆ 0.68 0 25600. GRAĐEVINSKI FAKULTET
Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo
.
Proizlazi:
.
,
‐0.008,
,
,
,
.
6)
160 rad/s
Pomak na vrhu okvira, odnosno pomak prve mase, normiramo na Prema izrazu (3.4) dobivamo silu inercije pri tom pomaku:
0.8 256001 20480 20480 ∆ 0.455 ∆ 0.545 1.2256000.545 16742.4 . 372 22.4 ∆ 0.662
1,0.
.
Prema slici 11. dobivamo poprečnu silu na vrhu prvog kata: .
Prema izrazima sa slike 2., deformacija prvog kata iznosi: .
Dobivamo pomak drugog kata: .
Prema tome, sila inercije drugog kata iznosi:
.
Proizlazi:
.
,
Holzerova metoda
34
∆ 1256000.117 2995,2 , 34227,2 ∆ 0,676 ∆ 0.793 0 28900. GRAĐEVINSKI FAKULTET
Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo
‐0.117,
,
,
,
.
7)
170 rad/s
Pomak na vrhu okvira, odnosno pomak prve mase, normiramo na Prema izrazu (3.4) dobivamo silu inercije pri tom pomaku:
0.8 289001 23120 23120 ∆ 0.514 ∆ 0.486 1.2289000.486 16854.48 . 39974.48 ∆ 0.711 ∆ 1289000.225 6502,5 . 33471.98 ∆ 0,662
1,0.
.
Prema slici 11. dobivamo poprečnu silu na vrhu prvog kata: .
Prema izrazima sa slike 2., deformacija prvog kata iznosi: .
Dobivamo pomak drugog kata: .
Prema tome, sila inercije drugog kata iznosi:
.
Proizlazi:
.
,
‐0.225,
,
,
,
Holzerova metoda
35
∆ 0.887 0 32400. GRAĐEVINSKI FAKULTET
Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo
.
8)
180 rad/s
Pomak na vrhu okvira, odnosno pomak prve mase, normiramo na Prema izrazu (3.4) dobivamo silu inercije pri tom pomaku:
0.8 324001 25920 25920 ∆ 0.576 ∆ 0.424 1.2324000.424 16485,12 , 42405,12 ∆ 0.754 ∆ 1324000.330 10692 , 31713,12 ∆ 0,626 ∆ 0.956 0 90000.
1,0.
.
Prema slici 11. dobivamo poprečnu silu na vrhu prvog kata: .
Prema izrazima sa slike 2., deformacija prvog kata iznosi: .
Dobivamo pomak drugog kata: .
Prema tome, sila inercije drugog kata iznosi:
.
Proizlazi:
.
,
‐0.330,
,
,
,
.
9)
300 rad/s
Pomak na vrhu okvira, odnosno pomak prve mase, normiramo na
Holzerova metoda
1,0.
36
GRAĐEVINSKI FAKULTET
Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo
Prema izrazu (3.4) dobivamo silu inercije pri tom pomaku:
0.8 900001 72000 72000 ∆ 1,6 ∆ 0,6 1.2900000.6 64800 7200 ∆ 0.128 ∆ 1900000.728 65520 58320 ∆ 1.152 ∆ 0.424 0 .
Prema slici 11. dobivamo poprečnu silu na vrhu prvog kata: .
Prema izrazima sa slike 2., deformacija prvog kata iznosi: .
Dobivamo pomak drugog kata: .
Prema tome, sila inercije drugog kata iznosi:
.
Proizlazi:
.
,
‐0.728,
,
,
,
.
Holzerova metoda
37
GRAĐEVINSKI FAKULTET
Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo
U programu Mathematica dobivene su još neke vrijednosti. Početni podaci su: In[1]:= m1 = 0.8 Out[1]= 0.8 In[2]:= m2 = 1.2 Out[2]= 1.2 In[3]:= m3 = 1.0 Out[3]= 1. In[4]:= k1 = 45000 Out[4]= 45000 In[5]:= k2 = 56250 Out[5]= 56250 In[6]:= k3 = 50625 Out[6]= 50625 In[7]:= u1 = 1 Out[7]= 1 Frekvencija
/
:
In[8]:= om = 350 Out[8]= 350 In[9]:= l = om^2 Out[9]= 122500
In[10]:= H1 = m1*l*u1 Out[10]= 98000. In[11]:= T1 = H1 Out[11]= 98000.
Holzerova metoda
38
GRAĐEVINSKI FAKULTET
Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo
In[12]:= du1 = T1/k1 Out[12]= 2.17778 In[13]:= u2 = u1 ‐ du1 Out[13]= ‐1.17778 In[14]:= H2 = m2*l*u2 Out[14]= ‐173133. In[15]:= T2 = H1 + H2 Out[15]= ‐75133.3 In[16]:= du2 = T2/k2 Out[16]= ‐1.3357 In[17]:= u3 = u2 ‐ du2 Out[17]= 0.157926 In[18]:= H3 = m3*l*u3 Out[18]= 19345.9 In[19]:= T3 = T2 + H3 Out[19]= ‐55787.4 In[20]:= du3 = T3/k3 Out[20]= ‐1.10197 In[21]:= ut = u3 ‐ du3 Out[21]= 1.2599
1.2599 /
Dobiveno je: Frekvencija
.
:
In[8]:= om = 315 Out[8]= 315 In[9]:= l = om^2 Out[9]= 99225
Holzerova metoda
39
GRAĐEVINSKI FAKULTET
Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo
In[10]:= H1 = m1*l*u1 Out[10]= 79380. In[11]:= T1 = H1 Out[11]= 79380. In[12]:= du1 = T1/k1 Out[12]= 1.764 In[13]:= u2 = u1 ‐ du1 Out[13]= ‐0.764 In[14]:= H2 = m2*l*u2 Out[14]= ‐90969.5 In[15]:= T2 = H1 + H2 Out[15]= ‐11589.5 In[16]:= du2 = T2/k2 Out[16]= ‐0.206035 In[17]:= u3 = u2 ‐ du2 Out[17]= ‐0.557965 In[18]:= H3 = m3*l*u3 Out[18]= ‐55364.1 In[19]:= T3 = T2 + H3 Out[19]= ‐66953.5 In[20]:= du3 = T3/k3 Out[20]= ‐1.32254 In[21]:= ut = u3 ‐ du3 Out[21]= 0.764574 Dobiveno je:
0.765
Holzerova metoda
.
40
/
GRAĐEVINSKI FAKULTET
Frekvencija
Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo
:
In[8]:= om = 335 Out[8]= 335 In[9]:= l = om^2 Out[9]= 112225
In[10]:= H1 = m1*l*u1 Out[10]= 89780. In[11]:= T1 = H1 Out[11]= 89780. In[12]:= du1 = T1/k1 Out[12]= 1.99511 In[13]:= u2 = u1 ‐ du1 Out[13]= ‐0.995111 In[14]:= H2 = m2*l*u2 Out[14]= ‐134012. In[15]:= T2 = H1 + H2 Out[15]= ‐44231.6 In[16]:= du2 = T2/k2 Out[16]= ‐0.78634 In[17]:= u3 = u2 ‐ du2 Out[17]= ‐0.208771 In[18]:= H3 = m3*l*u3 Out[18]= ‐23429.4 In[19]:= T3 = T2 + H3 Out[19]= ‐67661. In[20]:= du3 = T3/k3
Holzerova metoda
41
GRAĐEVINSKI FAKULTET
Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo
Out[20]= ‐1.33651 In[21]:= ut = u3 ‐ du3 Out[21]= 1.12774
1.128 /
Dobiveno je: Frekvencija
.
:
In[8]:= om = 370 Out[8]= 370 In[9]:= l = om^2 Out[9]= 136900
In[10]:= H1 = m1*l*u1 Out[10]= 109520. In[11]:= T1 = H1 Out[11]= 109520. In[12]:= du1 = T1/k1 Out[12]= 2.43378 In[13]:= u2 = u1 ‐ du1 Out[13]= ‐1.43378 In[14]:= H2 = m2*l*u2 Out[14]= ‐235541. In[15]:= T2 = H1 + H2 Out[15]= ‐126021. In[16]:= du2 = T2/k2 Out[16]= ‐2.24037 In[17]:= u3 = u2 ‐ du2 Out[17]= 0.806596 In[18]:= H3 = m3*l*u3
Holzerova metoda
42
GRAĐEVINSKI FAKULTET
Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo
Out[18]= 110423. In[19]:= T3 = T2 + H3 Out[19]= ‐15598. In[20]:= du3 = T3/k3 Out[20]= ‐0.30811 In[21]:= ut = u3 ‐ du3 Out[21]= 1.11471
1.115 /
Dobiveno je: Frekvencija
.
:
In[8]:= om = 380 Out[8]= 380 In[9]:= l = om^2 Out[9]= 144400
In[10]:= H1 = m1*l*u1 Out[10]= 115520. In[11]:= T1 = H1 Out[11]= 115520. In[12]:= du1 = T1/k1 Out[12]= 2.56711 In[13]:= u2 = u1 ‐ du1 Out[13]= ‐1.56711 In[14]:= H2 = m2*l*u2 Out[14]= ‐271549. In[15]:= T2 = H1 + H2 Out[15]= ‐156029. In[16]:= du2 = T2/k2
Holzerova metoda
43
GRAĐEVINSKI FAKULTET
Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo
Out[16]= ‐2.77385 In[17]:= u3 = u2 ‐ du2 Out[17]= 1.20674 In[18]:= H3 = m3*l*u3 Out[18]= 174253. In[19]:= T3 = T2 + H3 Out[19]= 18224. In[20]:= du3 = T3/k3 Out[20]= 0.359979 In[21]:= ut = u3 ‐ du3 Out[21]= 0.846759
0.847. /
Dobiveno je: Frekvencija
:
In[9]:= l = om^2 Out[9]= 4225
In[10]:= H1 = m1*l*u1 Out[10]= 3380. In[11]:= T1 = H1 Out[11]= 3380. In[12]:= du1 = T1/k1 Out[12]= 0.0751111 In[13]:= u2 = u1 ‐ du1 Out[13]= 0.924889 In[14]:= H2 = m2*l*u2 Out[14]= 4689.19 In[15]:= T2 = H1 + H2
Holzerova metoda
44
GRAĐEVINSKI FAKULTET
Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo
Out[15]= 8069.19 In[16]:= du2 = T2/k2 Out[16]= 0.143452 In[17]:= u3 = u2 ‐ du2 Out[17]= 0.781437 In[18]:= H3 = m3*l*u3 Out[18]= 3301.57 In[19]:= T3 = T2 + H3 Out[19]= 11370.8 In[20]:= du3 = T3/k3 Out[20]= 0.224608 In[21]:= ut = u3 ‐ du3 Out[21]= 0.556829 Dobiveno je:
0.557.
Holzerova metoda
45
GRAĐEVINSKI FAKULTET
Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo
Slika 13. prikazuje iznose pomaka temelja zadanog sustava pri pretpostavljenim frekvencijama. Rješenja sustava su one frekvencije pri kojima je pomak temelja jednak nuli. Najmanja od tih frekvencija predstavlja prvi dinamički stupanj slobode konstrukcije, srednja drugi, a najveća treći.
1,5
1
0,5
0 0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
ω ‐0,5
‐1
‐1,5 Slika 13. Prikaz dobivenih rezultata
Na apcisi su prikazane frekvencije, a na ordinati pomaci temelja pri tim frekvencijama. Vidljivo je da dobiveni graf odgovara općenitom, prikazanom na slici 2.
Holzerova metoda
46
GRAĐEVINSKI FAKULTET
6.2.
Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo
Proračun konzole proširenom Holzerovom metodom
Potrebno je odrediti frekvencije titranja konzole prema slici:
Slika 14. Konzola s moguć im pomakom i zaokretom mase
Sustav ima jednu koncentriranu masu, a time i jednu vlastitu frekvenciju titranja. Prema proširenoj Holzerovoj metodi, masa se može pomicati i zaokretati, odnosno postoje i . Ulazni podaci: ‐m=0, 5t, ‐h=9 m,
1, 1 0. 49 1 0.5 491 24.5 ∑ 0 ‐EI=100
000
.
Pretpostavljamo:
.
Trebamo dobiti:
Prva pretpostavka frekvencije:
Prema izrazu (3.4) dobivamo silu inercije pri pomaku
.
:
.
.
Holzerova metoda
47
GRAĐEVINSKI FAKULTET
Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo
Iz sume momenata na točku T slijedi:
924.5 220.5 0.0099225 0 .
Prema (5.8):
=0.9900775
Pošto trebamo dobiti
=0, u daljnji proračun ulazimo s
.
(5.9):
=0.940465
.
Pošto nismo dobili zadovoljavajući pomak temelja, ponavljamo postupak s novom frekvencijom. Pretpostavljamo veću frekvenciju jer smo dobili pozitivno rješenje.
1024 1 0.5 10241 512 ∑ 0 9512 4608 0.20736 0 102449 ∆ 1.∆184625 0.24416 1024∆ 823.0453 Druga pretpostavka frekvencije:
.
Prema izrazu (3.4) dobivamo silu inercije pri pomaku
:
.
.
Iz sume momenata na točku T slijedi:
.
Prema (5.8):
=0.79264
Pošto trebamo dobiti
=0, u daljnji proračun ulazimo s
.
(5.9):
=‐0.24416
.
Treću pretpostavku dobivamo pomoću izraza (3.5):
= ‐200.9547
Proizlazi:
Holzerova metoda
48
GRAĐEVINSKI FAKULTET
Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo
. 823.047 1 0.5 823.0471 411.524 ∑ 0 9512 3703.71 0.166667 .0 . Treća pretpostavka frekvencije:
Prema izrazu (3.4) dobivamo silu inercije pri pomaku
:
.
.
Iz sume momenata na točku T slijedi:
.
Prema (5.8):
=0.833333.
Pošto trebamo dobiti
=0, u daljnji proračun ulazimo s
.
(5.9):
=0.
Treća pretpostavka prve frekvencije predstavlja frekvenciju sustava jer zadovoljava rubne uvjete . Prema tome: ,
.
Holzerova metoda
49
GRAĐEVINSKI FAKULTET
Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo
Pomoću programa Mathematica dobiveni su još neki rezultati, zbog točnijeg grafičkog prikaza: Ulazni podaci: In[1]:= m = 0.5 Out[1]= 0.5 In[2]:= EI = 100000 Out[2]= 100000 In[3]:= u1 = 1 Out[3]= 1 In[4]:= l = 9 Out[4]= 9 In[5]:= fi1 = 1 Out[5]= 1
.
:
In[12]:= om = 200 Out[12]= 200
In[13]:= H = m*om*u1 Out[13]= 100. In[14]:= M = l*H Out[14]= 900. In[15]:= fit = l^2*H/(2 EI) ‐ l*M/(EI) + fi1 Out[15]= 0.9595 In[16]:= fi2 = fi1 ‐ fit Out[16]= 0.0405 In[17]:= u2 = ‐l^3*H/(3 EI) + l^2*M/(2 EI) ‐ l*fi2 + u1 Out[17]= 0.757
Holzerova metoda
50
. 2 24 576 2 50 2500 2 75 5625 2 100 10000 2 125 15625 2 300 90000
GRAĐEVINSKI FAKULTET
Dobivamo:
Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo
.
Analo gnim postupkom dobiveni su sljedeći rezultati:
0.30016
-2.0375
‐5,8344
‐11.15
‐17.9844
‐108,35
20
0 0 ‐20
50
100
150
200
250
300
350
ω
ut ‐40
‐60
‐80
‐100
‐120
Slika 15. Prikaz dobivenih rezultata: odnos pretpostavljenih frekvencija i pomaka temelja
Holzerova metoda
51