I Fundamentos Sobre Harmonicos

GRUPO DE PROCESSAMENTO DE ENERGIA E CONTROLE Departamento de Engenharia Elétrica Centro de Tecnologia UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ

HARMÔNICOS EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA

Profa. Ruth P. S. Leão Email: [email protected]

2011 --- 2010

Sumário

Capítulo 1 Fundamentos sobre Harmônicos

Página

4

1.1 Introdução

4

1.2 Harmônicos 1.3 Representação de Harmônicos

6 23

1.3.1 Série de Fourier 1.3.2 Funções Ortogonais 1.3.3 Coeficientes da Série de Fourier 1.3.4 Forma Complexa da Série de Fourier 1.3.5 Transformada Direta e Inversa de Fourier 1.3.6 Transformada Discreta de Fourier 1.3.7 Transformada Rápida de Fourier 1.3.8 Wavelets

1.4 Características de Harmônicos Harmônicos em Sistemas Sistemas de Potência Potência 1.4.1 Simetria de Sinais 1.4.2 Interação entre Carga e Sistema 1.4.3 Sequência de Fase dos Harmônicos 1.4.4 Valor Eficaz Verdadeiro 1.4.5 Corrente no Neutro 1.4.6 Corrente de Linha 1.4.7 Harmônicos em Sistemas Desequilibrados 1.4.8 Independência

43

ii

1.5 Medidas de Distorção Distorção Harmônica Harmônica

81

1.5.1 Requisitos para Medição de Sinais 1.5.2 Valor Eficaz de Sinal Amostrado 1.5.3 Fator de Crista 1.5.4 Fatores de Distorção Harmônica 1.5.5 Potência Eficaz, Aparente, Reativa e de Distorção 1.5.6 Fator de Potência 1.5.7 Fator de Declassificação

Capítulo 2 Harmônicos: Regulamentação e Normalização 2.1 Introdução 2.2 Normas IEEE 2.2.1 Considerações sobre Limites de Distorção de Corrente

2.3 Regulamentação ANEEL 2.3.11 Procedimentos 2.3. Procedimentos de Rede para Qualidade da Energia Energia Elétrica 2.3.2 Procedimentos de Distribuição para a Qualidade da Energia Elétrica 2.4 Norma Européia EN

2.5 Norma IEC Capítulo 3 Harmônicos em Sistemas de Potência 3.1 Introdução 3.1.1 Grupos de Cargas 3.1.2 Cargas Lineares 3.1.3 Cargas Não-Lineares

3.2 Fontes de Harmônicos 3.2.1 Transformadores 3.2.2 Máquinas Girantes 3.2.3 Lâmpadas a arco elétrico 3.2.4 Fornos a arco

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99

iii

3.3 Efeitos de Harmônicos 3.3.1 Motores e Geradores 3.3.2 Transformadores 3.3.3 Cabos elétricos 3.3.4 Capacitores 3.3.5 Medidores 3.3.6 Relés e chaves

Capítulo 4 Mitigação de Harmônicos em Sistemas de Potência 4.1 Introdução 4.2 Filtros harmônicos 4.3 Conversores estáticos 4.4 Transformadores 4.5 Máquinas elétricas 4.6 Bancos capacitores Capítulo 5 Estudo de Harmônicos – Modelagem de Componentes de Sistema 5.1 Introdução 5.2 Motor 5.3 Banco de capacitores 5.4 Cargas Capítulo 6 Projeto de Filtros Harmônicos Introdução 6.2 Filtro sintonizado série 6.3 Filtro amortecido de 2ª ordem 6.4 Filtro de sintonia múltipla

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4

Capítulo 1

Fundamentos sobre Harmônicos

1.1 Introdução Qualidade de energia elétrica é o conjunto de limites de propriedades eléctricas que permite que sistemas elétricos, seus componentes e as cargas que alimentam operem de forma satisfatória sem perda significativa de desempenho e de vida útil. O termo é usado para descrever a energia elétrica que aciona uma carga elétrica fazendo-a operar corretamente. Sem uma alimentação adequada, um dispositivo eléctrico (ou carga) pode operar inadequadamente ou incorretamente, falhar prematuramente ou simplesmente não funcionar. Há muitas maneiras em que a energia elétrica pode ser de baixa qualidade e muitas causas e efeitos relacionados à baixa qualidade da energia elétrica. A qualidade da energia elétrica é um conceito guarda-chuva, que abrange uma variedade de fenômenos eletromagnéticos. A Tab.1.1 relaciona diferentes categorias de distúrbios elétricos com suas respectivas duração e métodos de caracterização. A presença de um ou mais desses fenômenos é condição para a perda de qualidade da energia. Tab.1.1 Categoria de Distúrbios Elétricos Tipo de Distúrbios

Duração

Transitório Impulsivo

Curta duração <50 ns 50 ns – 1ms > 1ms

S O Transitório Oscilatório T N E V E

Interrupção

Curta duração 0,3 – 30µs 20µs 5µs

Curta duração

Método de Caracterização Tempo de subida 5 ns rise 1µs rise 0,1ms rise Magnitude de pico Duração Tempo de subida Banda de frequência Baixa frequência: < 5 kHz Média frequência: 5 – 500 kHz Alta frequência: 0,5 – 5 MHz Magnitude de pico 0 – 4 pu 0 – 8 pu 0 – 4 pu Magnitude < 0,1 pu Duração 1 ciclo – 3 min Frequência de ocorrência


5

S O D A T N E T S U S S O N E M Ô N E F

Afundamento de Tensão

Curta duração

Elevação de Tensão

Curta duração

Sobretensão

Estado permanente

Subtensão

Estado permanente

Interrupção

Estado permanente

Flutuação de Tensão

Estado permanente

Desequilíbrio de Tensão Ruídos

Estado permanente Estado permanente Curta duração

Notches ou Cortes

Estado permanente

Harmônicos

Estado permanente

Magnitude 0,1 – 0,9 pu Duração 1 ciclo – 3 min Frequência de ocorrência Magnitude 1,1 – 1,8 pu Duração 1 ciclo – 3 min Frequência de ocorrência Magnitude 1,1 – 1,2 pu Duração > 1min Magnitude 0,8 – 0,9 pu Duração > 1min Duração > 3min Frequência de ocorrência Variação da magnitude Frequência de modulação Frequência de ocorrência Fator de desequilíbrio ou Magnitude Espectro de frequência Magnitude Duração Espectro harmônico Distorção harmônica

O fenômeno denominado de ‘harmônico em sistemas elétricos’ será objeto de estudo neste curso. Na engenharia, o termo 'harmônico' ou 'harmônica' é usado indistintamente.

1.2 Harmônicos Harmônicos são componentes senoidais ou co-senoidais de uma onda periódica distorcida, com frequências que são múltiplas inteiras da frequência fundamental. Um sistema elétrico que opera p.ex. em 60 Hz, a 2ª harmônica é 120 Hz, a 3ª harmônica é 180 Hz e a n-ésima harmônica é n.60. Os sinais com frequências que estão situadas entre aquelas múltiplas inteiras da fundamental são denominados inter-harmônicas (como p.ex. 100 Hz), ou seja, apresentam frequências não-múltiplas inteiras da fundamental. Sinais com frequências abaixo da fundamental são chamados sub-harmônicas (como p.ex. 8 Hz), e muitas vezes Profa Ruth P.S. Leão email: [email protected] rleao@dee .ufc.br hp: www.dee.ufc.br/~rleao

6

contribuem para o fenômeno da cintilação da luz. Os harmônicos, interharmônicos e subharmônicos têm a propriedade de causar deformação em uma onda senoidal, tornando-a distorcida. A Tab.1.2 sumariza as classes de harmônicas. Tabela 1.2 Componentes espectrais de formas de onda de frequência f . Harmônica

f = hf 1 em que h é um número inteiro maior que um

Componente cc

f = hf 1 para h=0

Inter-harmônica

f = hf 1 em que h é um não inteiro maior do que um

Subharmônica

f > 0 Hz e f < f 1 f 1 = frequência fundamental da onda

A palavra ‘harmônico’ tem sua origem na área de acústica e de instrumentos musicais com significado de múltiplo inteiro ou componentes de um tom bem como

múltiplos

não

inteiros

denominados

de

sobretons

[http://pt.wikipedia.org/wiki/Harmônica ]. A presença de harmônicos em um sinal elétrico não é um fenômeno novo. A preocupação com a distorção harmônica surgiu durante o início da história dos sistemas de potência em ca. Em 1916 Steimetz publicou um livro que devotou considerável atenção ao estudo de harmônicos em sistemas de potência trifásicos. A principal preocupação de Steimetz estava voltada às correntes harmônicas de terceira ordem causadas pela saturação magnética do ferro em transformadores e máquinas, e foi Steimetz o primeiro a propor a conexão delta para confinar as correntes harmônicas de terceira ordem no interior do delta sem transferi-las às correntes de linha. Mais tarde, com o advento da eletrificação rural e dos serviços telefônicos, os circuitos de energia e comunicação eram construídos na mesma faixa de servidão. As correntes harmônicas produzidas pela corrente de magnetização dos transformadores causavam interferência indutiva nos sistemas de telefonia com condutores nus. A interferência era às vezes tão severa que a comunicação de voz tornava-se impossível. Este problema foi estudado e mitigado pela filtragem e imposição de limites de projeto nas correntes de magnetização de transformadores. Profa Ruth P.S. Leão email: [email protected] rleao@dee .ufc.br hp: www.dee.ufc.br/~rleao

7

Mais recentemente os harmônicos têm se destacado pela co-existência de duas tendências: o crescente uso de banco de capacitores nos sistemas de potência para a melhoria do fator de potência, e a crescente aplicação na indústria, comércio, residências e serviços da eletrônica incorporada aos equipamentos elétricos para aumento da eficiência e confiabilidade dos equipamentos. A presença simultânea de bancos de capacitores para correção de fator de potência e de cargas eletrônicas pode resultar na amplificação da tensão e corrente por ocorrência de ressonância. Com a popularização dos equipamentos que fazem uso da eletrônica, problemas de qualidade de energia nas instalações começaram a surgir, do tipo: disparos intempestivos de disjuntores, sobreaquecimento de transformadores, corrente excessiva nos condutores neutros, explosões de capacitores de correção de fator de potência, dentre outros. Tais problemas, em sua grande maioria, têm como causa a presença de harmônicos decorrentes do novo perfil da carga de natureza não linear, que leva a distorção em estado permanente na forma de onda da corrente e da tensão.

Estudos de harmônicos são realizados para investigar o impacto de dispositivos não lineares, calcular os níveis de distorção harmônica, detectar condições de ressonância e determinar requisitos de filtragem de uma instalação ou sistema elétrico. Uma varredura em frequência é realizada, a qual consiste em determinar a magnitude da impedância diagonal em diferentes barras de interesse versus a variação de frequência, útil na identificação de ressonância. Uma redução significativa na magnitude da impedância implica em ressonância série. Por outro lado, a ressonância paralela é identificada pelo aumento acentuado na impedância.


8

Fig.1.1 Varredura em frequência em barra de 480 V. [Fonte: Electrotek Concepts – Harmonics Studies www.electrotek.com/harmonic.htm]

Um estudo de fluxo de carga harmônico calcula a componente fundamental e as harmônicas das correntes de linha e tensões harmônicas de barra. Os valores calculados são comparados aos valores limites estabelecidos em normas, e problemas na instalação podem advir como resultado da violação de limites [George J. Wakileh, Power Systems Harmonics, Springer, 2001 ]. Quando um estudo do efeito de penetração de harmônicos é realizado em um sistema, é de grande importância que os componentes do sistema sejam corretamente modelados para garantir precisão nos resultados obtidos. Dentre as soluções para atenuar os efeitos dos harmônicos a filtragem é uma das mais aplicadas. Várias alternativas de filtros e a análise da resposta da filtragem podem ser examinadas por simulação. Os próximos capítulos e seções têm como objetivo desenvolver e apresentar conceitos, indicadores de severidade e normas que levem a um melhor entendimento dos harmônicos, suas causas e efeitos, e conhecer técnicas e


9

ferramentas para atenuação de harmônicos nos sistemas elétricos de potência e instalações industriais.

1.3 Representação de Harmônicos Formas de ondas senoidais são condições almejadas nos sistemas elétricos uma vez que transformadores, máquinas e aparelhos elétricos são projetados com base em um suprimento senoidal. Entretanto, uma forma de onda senoidal é algo ideal e que na prática não é comumente encontrada. Uma onda periódica distorcida, deformada ou sem conformidade com uma senóide pode ser decomposta em uma série finita ou infinita de ondas senoidais e co-senoidais. A onda periódica distorcida possui uma componente denominada de fundamental que, em geral, determina a frequência de oscilação da onda distorcida, e um conjunto de ondas, denominadas de harmônicos (ou harmônicas), responsáveis pelo maior ou menor grau de distorção da onda distorcida. A fundamental é a onda de menor frequência do conjunto de ondas cujas frequências são múltiplas inteiras da fundamental. Cada múltiplo inteiro da fundamental é chamado de ordem do harmônico. A fundamental é também conhecida como a componente da onda de primeira ordem. O sistema elétrico brasileiro, por exemplo, opera a uma frequência de 60 Hz, sendo esta a frequência fundamental do sistema. Alguns exemplos de formas de ondas distorcidas são ilustrados nas Fig.1.2 a 1.5.


10

Fig. 1.2 Corrente de Lâmpada Fluorescente Compacta Neonda – 15W

Fig.1.4 Corrente de Inversor de Frequência

Fig.1.3 Corrente de Lâmpada Vapor de Mercúrio Philips – 400W

Fig.1.5 Corrente de Inversor de UPS.

Para a identificação das componentes harmônicas presentes em uma onda não senoidal e a quantificação do grau de distorção são empregados uma ferramenta matemática, desenvolvida em 1822, pelo matemático francês Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), denominada de Série de Fourier que é muito utilizada nas ciências em geral, principalmente nas áreas envolvidas com: Matemática, Engenharia, Computação, Música, Ondulatória, Sinais Digitais, Processamento de Imagens, etc. A frequência, a amplitude e a fase de cada senóide são determinadas por meio da análise de Fourier aplicada à onda não senoidal. A análise de Fourier é o processo de conversão de formas de onda no domínio do tempo em suas componentes de frequências. A Série de Fourier permite estabelecer uma relação simples entre uma função no domínio do tempo com a função no domínio da frequência. Profa Ruth P.S. Leão email: [email protected] hp: www.dee.ufc.br/~rleao

11

1.3.1 Série de Fourier Uma função periódica genérica pode ser definida como:

()

(

)

f t = f t + hT

,

h = 0,

±

1,

±

(1.1)

2,…

A menor constante T positiva define o período da função periódica, h é o conjunto de números inteiros e t o tempo. Segundo Fourier, a função f(t) pode ser representada matematicamente pela série trigonométrica: f ( t) =

a0 2

+

∑

∞ h =1

⎡⎣ ah cos ( hω t) + bh sen( hω t)⎤⎦ 1

(1.2)

1

em que a0/2

valor médio de f(t), e a componente cc do sinal

ah, bh

amplitudes ou valor de pico da componente de ordem h da série

ω 1

frequência angular fundamental de f(t) definida como

h

ordem do harmônico

ω

1

=

2π T

A função f (t ) em (1.2) é uma representação no domínio da frequência de uma função periódica. A função f (t ) pode ser representada pela superposição de senos e co-senos numa combinação de amplitudes e frequências. A série de Fourier quando aplicada a um sinal no domínio do tempo, contínuo e periódico, resulta em uma soma de componentes senoidais de frequências discretas de diferentes valores. O sinal decomposto pode ser analisado por seu conteúdo de frequência mostrando que frequências têm um papel importante no formato do sinal e quais não têm. A série como definida em (1.2) é denominada de série trigonométrica de Fourier. A série pode ser re-escrita como: ∞

f ( t) = c0 + ∑ h 1 ch sen( hω1 t + φ h ) =


(1.3.a)

12

ou ∞

(

f ( t) = c0 + ∑ h 1 ch cos hω1 t + φ h − 90 =

o

)

(1.3.b)

∞

c0 + ∑ h 1 ch cos ( hω1t + ϕ h)

=

=

em que: c

=

ch

=

φ h

=

0

ϕ h

=

a

0

2

ah

tan

magnitude da componente cc do sinal

2 +b

−1

valor de pico da componente de ordem h da série

2

h

(a

h

bh

− tan−1 (bh

) ângulo de fase da componente de ordem h da série em seno ah

) ângulo de fase da componente de ordem h da série em co-seno

A magnitude c h e o ângulo de fase φ h de cada harmônico de ordem h determina o formato resultante da onda f (t ). A função em (1.3) é denominada de série compacta de Fourier. A Eq.(1.2) pode também ser representada por sua forma exponencial como: "

( ) # C e

f t =

jh !1 t ,

h

h = 0,

±

1,

±

(1.4)

2, !

h =!"

com C h

1

=

T

" T

!T

2 2

()

! jh !1 t

f t # e

(1.5)

dt

1.3.2 Funções Ortogonais Um conjunto de funções ⎨ϕ (t )⎬ é denominada ortogonal em um intervalo α
ϕ i( t )

e

ϕ j (t )

no conjunto ⎨ϕ (t )⎬

satisfazem (1.6). ⎧0, i ≠ j ϕi (t )ϕ j ( t ) dt ⎨ α ⎩γ , i j β

∫

=

=


(1.6)

13

em que γ é um valor diferente de zero. As funções ⎨1, cos(ω 1t ), ..., cos(hω 1t ), ..., sen(ω 1t ), ..., sen(hω 1t ), ...⎬ é um conjunto ortogonal de funções senoidais em um

intervalo de –T /2
!"# !"

!!

!"

! =

!"# !"

!"

!!

!

!"# !" !"# !"

!"

!!

! =

!"# !" !"# !"

! =

!"

!!

!"# !" !"# !"

!!

!"

=

=

(1.7)

0

! !" !

=

!

0 !"

≠

!

!

(1.8)

As condições de funções ortogonais serão encontradas durante o cálculo dos coeficientes da série de Fourier.

1.3.3 Coeficientes da Série de Fourier Usando as relações ortogonais, podem-se obter os coeficientes a0, ah e bh da série de Fourier. O coeficiente constante a0 da série pode ser calculado integrando os dois lados de (1.2) sobre um período de 0 a T ou –T/2 a T/2.

∫

T

−T

2 2

f ( t) dt =

T

∫

2

−T 2

⎡a ⎢2 ⎣

0

+

∑

∞ h =1

⎤ ⎡⎣ ah cos ( hω t) + bh sen( hω t) ⎤⎦ ⎥ ⋅ dt ⎦ 1

1

(1.8)

A série em (1.8) do lado direito da igualdade é integrada termo a termo. O primeiro termo iguala-se a (a0/2)T, enquanto os outros se tornam nulos pela condição de ortogonalidade. Portanto, o valor médio da função ou a componente cc do sinal é dada por: a0

2

=

T

T ∫ 0

f (t ) dt

(1.9)

Os coeficientes ah podem ser determinados multiplicando (1.2) pelo termo cos(k ω 1t ), onde k é qualquer número inteiro positivo, e integrando sobre um

período.


14

∫

T

−T

2 2

T

f ( t) cos ( kω1 t) dt =

∫

2

−T

a0

=

2

+

0

2

∫

∑

⎡a ⎢2 ⎣ T

2

cos

−T

2

⎡ T ⎢⎣ ∫ −T

2

∞ h =1

∞

∑

+

2

h =1

⎤ ⎡⎣ ah cos ( hω t) + bh sen( hω t)⎤⎦ ⎥ ⋅ cos ( kω t) dt ⎦ 1

1

1

⎡ T a cos ( hω t ) cos (k ω t ) dt ⎤ ∑ h ⎢⎣ ∫ −T h ⎥⎦ bh sen ( hω t ) cos ( k ω t ) dt ⎤ ⎥⎦

(k

2

∞

t dt + 1 )

ω

=1

1

2

1

1

1

(1.10) O primeiro termo à direita da igualdade em (1.10) é zero, assim como são todos os termos em bh uma vez que sen(hω 1t ) e cos(k ω1 t ) são funções ortogonais para todo h e k . De modo semelhante, os termos em ah são nulos para h≠k por serem ortogonais, com exceção da condição em que h=k . Neste caso (1.10) torna-se:

∫

T

−T

2 2

T

2

f ( t) cos ( kω1 t) dt = ah ∫ =

ah 2

cos

−T

2

T

2

∫

−T

2

2

( k t) dt

ω

1

dt +

ah 2

T

∫

(1.11)

2

−T

2

(

cos 2hω 1t

) dt

O segundo termo à direita da igualdade em (1.11) é nulo, resultando para ah: a h

2

=

T 2

" T

!T 2

( ) (h ) dt ,

f t cos

! t

1

(1.12)

h=1,…,#

Para determinar os coeficientes bh, a expressão em (1.2) é multiplicada por sen(k ω 1t ) e, por uma manipulação matemática semelhante à acima tem-se que:

b h

2 =

T 2

"

T

!T 2

( ) ( h ) dt ,

f t sen

! t

1

(1.13)

h=1,…,#

Os coeficientes da série de Fourier representam a contribuição de cada seno e co-seno para cada frequência. Note que enquanto a0/2 é o valor médio da função f (t ), os coeficientes ah e bh são as componentes retangulares do h-ésimo

harmônico. O correspondente fasor do h-ésimo harmônico é:

(

ah cos ( hω1t ) + bh sen ( hω1t ) = ah sen hω1t + 90 =

bh + jah

=

ch ∠φ h

o

)

+

bh sen (hω1t )


(1.14)

15

A magnitude e ângulo de fase de c h∠φ h são dados por:

c h

2

ch

=

ah

+b

φ h

=

tg −1 ⎜

(1.15)

2

h

ah

φ h

bh

⎛ ah ⎞ ⎟ ⎝ bh ⎠

Fig.1.6 Diagrama Fasorial

(1.16)

O componente c h∠φ h em (1.14) pode ser representado por uma função senoidal ou co-senoidal de frequência angular hω 1, h=1,...,∞. A magnitude de c h independe do tipo de sinusóide adotada; o ângulo

φ h,

porém, será dado por (1.16) para a

representação em seno como em (1.14), e deslocado de 90º caso as funções sejam permutadas para co-seno, !!

=

°

!! − 90

=

!"!!

− !!

!!

=

−!"!!

!!

!!

.

Para uma série de Fourier construída na forma de (1.17) o par formado por c h e φ h contém toda a informação capaz de descrever a onda. f t = c 0 + c 1 sen

()

(

1

f t = c 0 + c 1 cos

()

(

1

cos

(

1

! t +

! 1

)

+

! + c h sen ( h ! 1t + ! h ) + !

(1.17)

ou

= c + c 0

1

!

!

!

t + !

! 90

t + !

)

1

1

+

)

+

! + c h cos

! + c h cos

(h (

(( h

!

!

t + !

1

t + !

1

1

1

))

+

!

! 90

))

+

!

(1.18)

!

Uma lista de frequências ou ordem da harmônica, amplitudes, e ângulo de fase das componentes harmônicas é denominada de espectro harmônico da onda. Esta informação é crítica na especificação do projeto de filtros harmônicos. A Fig. 1.7 mostra alguns termos da série de Fourier de uma onda quadrada e a soma dos dez primeiros termos ímpares. Os termos pares da onda quadrada são todos nulos. Observe que existem várias passagens por zero, com o que um equipamento que utilize como referência a passagem por zero não funcionará corretamente.


16

Fig. 1.7 Sinal de uma Onda Quadrada com Fundamental de 1 MHz, suas Componentes até a 7ª Ordem e a Soma das 10 Harmônicas Impares.

A Fig. 1.8 mostra o espectro da onda quadrada até a trigésima harmônica e os valores de amplitude das 10 primeiras harmônicas ímpares da onda quadrada para um sinal de amplitude 50 mVpp. A fase de todas as componentes é 90 o. As harmônicas pares são nulas. f (MHz)

ΙV Ι (mV)

ΙV Ι/V pp

1

31,8310

0,636

3

10,6103

0,212

5

6,3662

0,127

7

4,5473

0,091

9

3,5368

0,071

11

2,8937

0,058

13

2,4485

0,049

15

2,1221

0,042

17

1,8724

0,037

19

1,6753

0,034

Fig.1.8 Espectro de Amplitude de uma Onda Quadrada com Fundamental de 1 MHz até Harmônica de Ordem 30 e a Amplitudes das 10 Primeiras Harmônicas Impares.

Uma onda quadrada expressa no domínio da frequência é dada por: Profa Ruth P.S. Leão email: [email protected] hp: www.dee.ufc.br/~rleao

17

!

!

!!!

=

!

∙ !"#

!! !

+

!!!

!!

∙ !"#

!!!

3!! ! +

!!

∙ !"#

5!! ! +

(1.19)

⋯

em que V p é o valor de pico ou máximo da onda quadrada. As vantagens de se usar a série de Fourier para representar formas de onda distorcidas

é

que

cada

componente

harmônica

pode

ser

analisada

separadamente e, a distorção final é determinada pela superposição das várias componentes que compõem o sinal distorcido.

1.3.4 Forma Complexa da Série de Fourier A série de Fourier complexa está baseada na representação das componentes de frequência como fasores que giram no plano complexo. Tal representação permite a interpretação geométrica da relação entre formas de onda nos domínios do tempo e frequência. Seja um fasor que gira uniformemente, de amplitude constante A/2 e ângulo de fase que varia no tempo igual a φ =2 πf t + θ , onde θ é o ângulo inicial quando t =0. Um segundo fasor de mesma magnitude e ângulo de fase -φ girará em direção contrária. O ângulo de fase negativo pode ser considerado como uma frequência negativa. A soma dos dois fasores sempre repousará ao longo do eixo real, com a magnitude oscilando entre A e –A de acordo com: Im A/2

Amplitude máxima Amplitude instantânea

ω

A θ -θ

2

j

eφ

+

A 2

e−

jφ

=

A cos φ

(1.20)

Re

-ω

Fig.1.9 Vetores em Contra-rotação Produzindo Fasor de Amplitude Variável Profa Ruth P.S. Leão email: [email protected] hp: www.dee.ufc.br/~rleao

18

Assim, cada componente harmônico de um sinal pode ser representado por dois fasores de amplitude dividida por dois que giram em velocidade contrária. O seno e co-seno da série de Fourier em (1.2) podem ser resolvidos em termos de frequências positivas e negativas usando a identidade trigonométrica:

cos

( h t ) ω

1

sen( hω 1 t )

=

e

jhω1 t

+

e

− jhω 1 t

(1.21)

2

e =

ω t jh 1

− e−

jhω 1 t

(1.22)

2 j

Substituindo (1.21) e (1.22) em (1.2) resulta: ⎡ ⎛ e jh t + e− jh t ⎞ ⎛ e jh t − e − f( )t = ∑ ⎢ ah ⎜ ⎟ + bh ⎜ 2 2 j h ⎠ ⎝ ⎣ ⎝ ∞ ⎡1 jh t 1 a − jb e = ∑ + ( ) ( ah + jbh ) e− h h ⎢⎣ 2 2 h ∞

ω 1

ω 1

ω 1

=0

ω1

=0

⎞⎤ ⎟⎥ ⎠⎦ jh ⎤t ⎥⎦

jh ω t 1

(1.23)

ω 1

Definindo C h como: 1

Ch

=

2

( ah − jbh )

(1.24)

e substituindo as expressões deduzidas para ah e bh em (1.12) e (1.13) respectivamente, tem-se: Ch

=

=

1

T

2

1

T

2

T ∫ −T 2 T ∫

−T

2

f ( t ) ( cos ( h ω1t ) − jsen ( hω 1t ) )dt f ( t) e−

jhω 1 t

dt

O conjugado de C h, representado por C h* =C -h é então:


(1.25)

19

Ch*

1 =

=

=

2

( ah

1

T

1

T

jbh )

+

f ( t) ( cos ( h ω1 t) + jsen( hω 1 t) ) dt

T ∫ 0

f ( t) e T ∫

(1.26)

jhω 1 t

dt

0

Assim f (t ) em (1.23) pode ser re-escrito como: ∞

f ( t) = ∑ h 0 Ch e

jh t

ω 1

=

=

∑

∞ h=

Ch e 0

+

jh t

ω 1

+

∑ ∑

∞ h=

− C e h − 0

−∞ h=

Ch e 0

jh t

ω 1

jh t

ω 1

(1.27)

∞

=

∑Ce

jhω 1 t

h

h = −∞

sendo C h como definido em (1.25) e reproduzida em (1.28): Ch

1

=

T

T ∫

2

−T 2

f (t ) e − jh tdt ω 1

(1.28)

Note que diferentemente dos coeficientes ah e bh que são reais da série trigonométrica, o coeficiente Ch da série exponencial é complexo. Todos os sinais periódicos de interesse prático em sistemas de potência possuem série de Fourier que pode ser expressa como uma função exponencial com limites de integração de menos até mais infinito. Os coeficientes C h da série exponencial fornecem diretamente a amplitude e fase de cada componente espectral de frequência ω =hω 1 do sinal. No estudo de sinais digitais, comunicação de dados ou computação gráfica, é útil trabalhar com a série complexa. 1.3.5 Transformada Direta e Inversa de Fourier A transformada de Fourier e sua inversa são usadas para mapear qualquer função, no intervalo - ∞ a + ∞, quer no domínio do tempo, quer no domínio da frequência, em uma função contínua no domínio inverso. A série de Fourier, portanto representa um caso especial da transformada de Fourier aplicada a um sinal periódico. Profa Ruth P.S. Leão email: [email protected] hp: www.dee.ufc.br/~rleao

20

A análise de Fourier, quando aplicada a um sinal periódico, contínuo, no domínio do tempo, resulta em uma série de componentes de frequência discretas no domínio da frequência. Fazendo com que o período de integração tenda a infinito, o intervalo entre as frequências harmônicas,

ω ,

tende a zero e os coeficientes de Fourier, C h, de

(1.28) tornam-se uma função contínua, como [ J. Arrilaga et al, Power System Harmonic Analysis, Wiley,1997 ]:

F(ω )

∞

∫

=

−∞

f( t) e− j

t

ω

(1.29)

dt

A expressão para a função f (t ) no domínio do tempo, a qual é também contínua e de intervalo infinito, em termos de F (ω ) é então: f ( t)

1 =

∞

∫ F ( ) e ω

2π −∞

jω t

(1.30)

dω

A função F (ω ) é conhecida como a função densidade espectral de f (t ). As Equações (1.29) e (1.30) formam o par da Transformada de Fourier. A Eq. (1.29) é denominada de Transformada Direta, pois transforma a função f (t ) no domínio do tempo em um sinal correspondente F (ω ) no domínio da frequência, e a Equação (1.30) é denominada de Transformada Inversa. Em (1.29) o período T da componente fundamental foi aumentado sem limite realizando a transição de uma função periódica para uma função aperiódica. Portanto, a transformada de Fourier se aplica a sinais aperiódicos. Ondas não periódicas apresentam um espectro contínuo. Para o sinal da Fig.1.10 a transformada de Fourier é dada por: V

⎧⎪V f (t ) = ⎨ ⎪⎩0

t

≤ T

2

t

>

T

2

Fig.1.10 Onda Retangular Aperiódica. −

T

T

2

2


t

21

F(ω )

∞

f( t) e− j

∫

−∞ T 2

∫

t

ω

=

=

−T 2

Ve −

2jπ

dt

ft dt

=

(1.31) −

V f

⋅

π

1

(e 2j

−

j fT

π

−e

)

j fT

π

Usando a identidade: sen θ

1

=

( 2 j

jθ

− jθ

e− e

)

(1.32)

a transformada torna-se: F (ω )

V =

π

f

sen (π fT)

2V =

ω

⎛ ω ⎝2

sen ⎜

⎞ ⎠

T ⎟

(1.33)

A transformada de Fourier informa apenas que componentes de frequência estão contidas em um sinal, não informa, porém em que tempo as componentes de frequência ocorrem – essa informação não é necessária quando o sinal é estacionário (o conteúdo de frequência não varia no tempo).

Fig.1.11 Sinal Estacionário.

O sinal da Fig.1.11 é dado por: f( )t = cos(2π10 t) + cos(2π 25 t) + cos(2π 50 t) + cos(2π 100 t)

(1.34)

Enquanto sinal estacionário não é necessário conhecer em que tempo os componentes de frequência ocorrem. O espectro de frequência da onda é mostrado na Fig.1.12. As componentes de frequência são 10, 25, 50 e 100 Hz. Profa Ruth P.S. Leão email: [email protected] hp: www.dee.ufc.br/~rleao

22

Fig.1.12 Espectro de frequência de onda estacionária.

A Fig.1.13 mostra um sinal não estacionário, o conteúdo de frequência varia continuamente no tempo, i.e., as frequências não aparecem o tempo todo.

Fig.1.13 Sinal Não Estacionário Variando no Tempo.


23

Frequências: 0
100 Hz

50 Hz

25 Hz

10 Hz

Fig.1.14 Sinal Não Estacionário

A transformada de Fourier do sinal da Fig.1.14 é mostrada em 1.15.

Fig.1.15 Transformada de Fourier de Sinal Não Estacionário com Frequências de 10, 25, 50 e 100 Hz.

Os dois exemplos de sinal estacionário e não estacionário apresentam as mesmas componentes de frequência 10, 25, 50 e 100 Hz embora os sinais no domínio do tempo sejam diferentes.


24

No domínio da frequência o gráfico do sinal não estacionário, Fig.1.15, é similar ao gráfico do sinal estacionário, Fig.1.12. No domínio do tempo os dois sinais são bem distintos (Figs.1.11 e 1.15). Exemplos de formas de onda não estacionárias são os transitórios causados na operação de fornos a arco, chaveamento de banco de capacitores, partida de motores, energização de linhas, correntes de energização de transformadores, etc. A Transformada de Fourier não distingue sinais estacionários de não estacionários. TF pode ser usada para sinais não estacionários se há interesse apenas em que componentes de frequência estão presentes no sinal. A teoria de Wavelets permite o conhecimento simultâneo de tempo e frequência de um sinal.

Fig.1.16 Decomposição de um sinal em componentes de frequência no tempo.

1.3.6 Transformada Discreta de Fourier Na prática, os dados de um sinal são em geral disponíveis na forma de uma função amostrada, representada por uma série no tempo de amplitudes, separadas por intervalos fixos de tempo de duração limitada (N amostras por período).


25

Quando lidando com dados amostrados é usada uma modificação da Transformada de Fourier, a Transformada Discreta de Fourier. A transformada de Fourier discreta é definida como:

F( fk )

1 =

E sua inversa por: f ( tn )

∑

N

N −1

=

∑

k

0

=

N −1 n

=

0

(1.35) f ( tn ) ⋅ e

− j2π kn N

F ( fk ) ⋅ e j2

π

(1.36)

kn N

É na forma discreta que a transformada de Fourier é mais apropriada para avaliação numérica por computador. A equação (1.35) pode ser re-escrita considerando ! F ( fk )

1

=

=

!

!!!!

!

:

N −1

∑ f(t )W N n

n

=

kn

(1.37)

0

Para todas as componentes de frequência, (1.37) torna-se uma equação matricial, em que: F ( fk )

1

=

⎡⎣ Wkn ⎤⎦ ⋅ f ( tn ) N

(1.38)

com F ( f k )

Vetor representando as N componentes da função no domínio da frequência.

f( nt )

Vetor representando as N amostras da função no domínio da frequência.

⎡⎣W kn ⎤⎦

Matriz de dimensão (NxN) em que cada componente é um fasor unitário que gira no sentido horário com deslocamento sucessivo entre componentes.


26

1.3.7 Transformada Rápida de Fourier Para grandes valores de N, o tempo e custo de computação para realizar N 2 multiplicações complexas da Transformada Discreta de Fourier se tornam proibitivos. A Transformada Rápida de Fourier lança mão da semelhança entre muitos dos elementos da matriz [W kn] e calcula os mesmos componentes de frequência com apenas N/2log2N multiplicações para a solução da Equação (1.38). Assim, para o caso N =1024=210, há uma economia em tempo de computação por um fator de 20 [J. Arrillaga, B.C. Smith, N.R.Watson and A.R. Wood. Power System Harmonic Analysis, John Wiley & Sons, 1997 ].

A implementação da Transformada Discreta de Fourier, por meio de um algoritmo da Transformada Rápida de Fourier (FFT), forma a base dos mais modernos sistemas de análise harmônico e espectral. Como conclusão e resumo desta seção podem ser dito que: §

A análise de Fourier é a ferramenta matemática que permite obter a decomposição de uma função nas suas componentes espectrais.

§

Ondas periódicas não senoidais podem ser decompostas em uma série infinita de ondas senoidais com magnitudes e ângulos de fase calculados pela série de Fourier.

§

§

Uma onda periódica não senoidal pode ser decomposta em: •

Harmônicos pares

•

Harmônicos ímpares

•

Componente CC

A cada harmônico está associado uma ordem, frequência, magnitude e ângulo de fase.

§

A componente fundamental de uma onda periódica não senoidal define o período do sinal distorcido por ser a fundamental a senóide predominante do sinal.

§

Ondas periódicas não senoidais possuem:


27

•

uma componente fundamental

•

um conjunto de ondas harmônicas responsáveis pelo maior ou menor grau de distorção da componente fundamental

§

O somatório de sinusóides de frequências múltiplas resulta em uma onda distorcida

§

A série trigonométrica de Fourier pode ser representada por sua forma exponencial com limites de integração de menos até mais infinito cujos coeficientes C h fornecem diretamente a amplitude e fase de cada componente espectral do sinal.

§

A análise de Fourier quando aplicada a um sinal no domínio do tempo periódico, contínuo resulta em uma série de componentes de frequência discretos no domínio da frequência. Ondas não periódicas apresentam um espectro contínuo.

§

A transformada de Fourier se aplica a sinais aperiódicos, sob a consideração que o período tem comprimento infinito, e permite mapear qualquer função no intervalo - ∞ a + ∞ do domínio da frequência para o domínio do tempo e viceversa.

§

Quando o período de integração estende-se ao infinito a distância entre as frequências harmônicas tendem a zero e o coeficiente C h torna-se uma função contínua.

§

A transformada de Fourier estende o conceito fasorial a funções não periódicas que são mais gerais que as senóides e cujos espectros de amplitude e fase são contínuos e não discretos.

§

Os espectros de frequência são úteis para o cálculo de faixas dominantes de frequências.

§

A Transformada de Fourier não informa quando no tempo as componentes de frequência ocorrem - esta informação é desnecessária para sinais estacionários.

1.4 Características de Harmônicos em Sistemas de Potência Simplificações no cálculo dos coeficientes da série de Fourier podem ser obtidos segundo as simetrias apresentadas pelo sinal periódico. Profa Ruth P.S. Leão email: [email protected] hp: www.dee.ufc.br/~rleao

28

1.4.1 Simetria A. Simetria Ímpar Simetria ímpar é caracterizada por um sinal que satisfaz (1.39): f ( − t)

=

(1.39)

− f ( t)

e resulta em todos os coeficientes em co-seno (função par) nulos, ah=0, na série de Fourier. As funções ímpares são simétricas em relação à origem (0, 0), i.e., a0 =0. Em sendo a onda de simetria ímpar, somente os coeficientes da função

seno podem ser não nulos. B. Simetria Par Simetria par é caracterizada por um sinal que satisfaz (1.40): f ( − t)

=

(1.40)

f ( t)

e resulta em todos os coeficientes em seno (função ímpar) nulos na série de Fourier, bh=0. As funções pares são simétricas em relação ao eixo vertical t = 0. Em sendo a onda de simetria par, somente os coeficientes da função co-seno podem ser não nulos, inclusive o termo a0 . f (t )

0

T

T

t

2

Fig.1.17 Onda retangular com simetria impar

0

T

2

T

t

Fig.1.18 Onda retangular com simetria par

Se a onda par ou ímpar é simétrica em relação ao eixo horizontal, o coeficiente a0 é nulo, o que indica que o valor médio da onda é zero ou não existência de componente cc. Em uma função nem par nem ímpar os dois tipos de termos podem estar presentes. Profa Ruth P.S. Leão email: [email protected] hp: www.dee.ufc.br/~rleao

29

C. Simetria de Meia Onda Simetria de meia onda é definida como: f ( t± T

2

(1.41)

) − f ( t) =

Em sinais com simetria de meia onda, a componente cc da série de Fourier é nula, a0 =0, e resulta no cancelamento de harmônicas de ordem par (h=2,4,6, ...). Esta condição leva a ignorar harmônicos pares em sistemas de potência uma vez que os sistemas apresentem componentes bilaterais que atuam de forma simétrica e periódica e produzem tensões e correntes com simetria de meia onda. A Fig. 1.19 mostra uma forma de onda típica de uma corrente de linha de um conversor de 6 pulsos com transformador Y-Y.

Fig.1.19 Forma de onda de corrente de linha de conversor de 6 pulsos [Fonte: Wakileh, Power Systems Harmonics, Springer, 2001]

A forma de onda da Fig.1.19 exibe simetria ímpar ((f (-t )=-f (t )), com ah=0, componente cc nula, a0 =0, e não possui componentes pares pois ( f (t ±T /2)=-f (t )). Calculando os coeficientes da série de Fourier resulta: 1

a0

=

ah

=

2π

2 2π

( ∫

5π 6

π

( ∫

6

5π 6

π

6

a⋅d

11π 6

(ω t ) − ∫ 1

(

a ⋅d

(ω t ) 1

)

11π 6

) (ω t ) − ∫

a ⋅ cos hω1t d

⎡ ⎛ 5π h ⎞ = ⎢sin ⎜ 6 ⎟ − π h ⎣ ⎝ ⎠ a

7 π 6

1

⎛ πh ⎞ sen ⎜ 6 ⎟− ⎝ ⎠

7 π 6

(1.42)

0 =

(

) (ω t )

a ⋅ cos hω1t d

⎛ 11π h ⎞ sen ⎜ 6 ⎟+ ⎝ ⎠

1

)

⎛ 7π h ⎞ ⎤ sen ⎜ 6 ⎟⎥ = 0 ⎝ ⎠⎦

(1.43)


30

bh

11 6 $5 6 ' && # a ! sen (h" 1t ) d (! 1t ) " # a ! sen (h! 1t ) d (! 1t ) " )) = 2! % 6 7 6 ( $ ! h ' $ 5! h ' $ 7! h ' $ 11! h ' a * = ) " cos & ) + cos & )!/ ,cos & ) " cos & % 6 ( % 6 ( % 6 ( % 6 ( . ! h + 0 1 h = 1,11,13,! 2 3a 2 = 1 "1 h = 1, 7,17,! ! h 2 demais 3 0

2

!

!

!

!

(1.44)

A forma de onda em função do tempo é definida como: !

!

!

!

=

2 3! =

!ℎ

! !!

(1.45)

!! !"# ℎ!! !

!"# !! !

1

−

5

!"#

5!! !

1

−

7

!"#

7!! ! +

! !!

+

1

13

!"#

13!! !

1 11

!"#

11!! !

⋯

Em geral, nos sistemas de potência os harmônicos de ordem ímpar são dominantes e os harmônicos de ordem par, quando presentes, são relativamente menores. A presença de componentes pares resulta em assimetria em relação ao eixo do tempo, mesmo que a0 = 0. Os harmônicos de ordem par têm um impacto incomum sobre a instalação porque criam dc offsets em dispositivos magnéticos a exemplo de motores, transformadores, etc. A presença de harmônicos pares não implica componente cc no sinal.

1.4.2 Interação entre Carga e Sistema Uma das propriedades da energia elétrica é que algumas de suas características dependem não só da eletricidade do produtor/distribuidor, mas também dos equipamentos dos fabricantes e do cliente. A qualidade da energia elétrica é uma via de duas mãos no sentido em que a qualidade da tensão de suprimento tem influência no perfil da corrente que circula na instalação e a natureza da carga Profa Ruth P.S. Leão email: [email protected] hp: www.dee.ufc.br/~rleao

31

pode influenciar o perfil da tensão.

Fig.1.20 Interação sistema – carga. !

pcc

=

!

s

! "! Zs

Cargas não lineares podem distorcer a tensão quando correntes não senoidais fluem através da impedância da fonte. O efeito direto das cargas não lineares sobre a qualidade da energia é a distorção da corrente e o efeito indireto é a distorção na tensão. A distorção de tensão na barra de carga depende da impedância do sistema e da corrente solicitada pela carga. A tensão distorcida é propagada para todos os pontos a jusante. Correntes harmônicas irão circular por cargas lineares conectadas nos pontos alimentados por tensões não senoidais. Quando submetidas a tensões não senoidais, as cargas não lineares vão gerar correntes harmônicas em proporções diferentes do que se fossem alimentadas por tensão senoidal. Em um sistema ‘robusto’ onde a corrente de falta é alta e a impedância do sistema é baixa a distorção de tensão é em geral pequena e não apresenta problemas de QEE. Em um sistema ‘fraco’ onde a impedância do sistema é alta a distorção na tensão pode ser alta e pode causar problemas de QEE. A qualidade da tensão denota a capacidade de um sistema de potência operar cargas sem as perturbar ou danificar a carga. A qualidade de tensão está relacionada às características de todos os supridores à montante do PCC. A capacidade de cargas operar sem perturbar ou reduzir a eficiência do sistema denota qualidade da corrente. A qualidade de corrente está relacionada com as características de todas as cargas à jusante do PCC. Profa Ruth P.S. Leão email: [email protected] hp: www.dee.ufc.br/~rleao

32

Qualidade de tensão e Qualidade de corrente têm efeito recíproco através da impedância do sistema e da impedância da carga. Apesar da influência mútua entre suprimento e carga, a carga não tem controle sobre a tensão distorcida. Uma mesma carga em diferentes locais do sistema de potência pode resultar em diferentes valores de distorção de tensão. Pequeno Transformador Alta Impedância

Grande Transformador Baixa Impedância

10 kVA X%=4%

100 kVA X%=4%

10% DHT Distorção Alta

2% TDH Distorção Aceitável

10 A 40% DHT

10 A 40% DHT

Fig.1.21 Resposta de uma mesma carga não linear para diferentes condições da impedância do sistema.

A seguir é apresentado um caso real de influência da natureza da carga sobre a tensão do sistema. A Fig.1.22 mostra o comportamento da 5 a harmônica de tensão medida na barra em 230 kV da subestação Chesf Fortaleza em 12 de junho de 1986 por ocasião do jogo da copa do mundo entre Brasil 3 e Irlanda 0.


33

Fig.1.22 Comportamento da componente de 5 a ordem na barra em 230 kV da SE Chesf Fortaleza.

Vinte anos mais tarde, em 2006, uma nova medição foi realizada em um dia de copa do mundo e um novo perfil para a componente de tensão de 5a ordem foi encontrada como mostrado na Fig.1.23.

1,0 ) 0,8 % ( o c 0,6 i n ô m r a H 0,4 o 5

Período do jogo

0,2 0,0 9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

Hora

Fig.1.23 Perfil da harmônica de 5 a ordem medido na barra de 230 kV na SE Chesf Fortaleza.

Pode ser notado que o nível da componente de 5 a ordem em 2006 é bem inferior à de 1996 e algumas justificativas podem ser apresentadas:


34

− Não há a mesma concentração de TVs ligadas, condição muito pouco

provável; − Os mais recentes aparelhos de TV injetam um menor conteúdo de

harmônicos; − A impedância do sistema na SE Fortaleza é menor do que a dez anos atrás

fazendo com que a distorção na tensão seja menor.

1.4.3 Sequência de Fase dos Harmônicos Em um sistema trifásico equilibrado, os componentes harmônicos são de sequência positiva ou direta, negativa ou inversa e zero ou nula como pode ser visto através da representação da série de Fourier para as tensões de fase. !

a

(t )

= V

1

cos

(

) t )

1

(

V 5 cos 5! 1

!

b

(t )

=

V 1 cos

( ) V cos ( 6 t )

! t + V

(

2

+

cos 2! 1t ! 1

6

) t ! 480 ) t ! 840 ) t ! 120 ) t ! 120 ) t ! 120 ) t ! 120

"

!

( V cos ( 7 V cos ( V cos ( 4 V cos ( 7

V 4 cos 4" 1 "

7

=

c

(t )

=

1

V 1 cos

(

!

!

1

) 480 ) 840 ) 120 ) 120 ) 120 )

( V cos ( 7 V cos ( V cos ( 4 V cos ( 7

!

V 4 cos 4! 1t + ! t +

7

=

1

1

! t + 1

4

! t +

7

! t +

1

1

+

!

!

!

!

!

( V cos ( 6

+ V

!

"

1

(1.46.a)

+

) t ! 600 )

cos 2" 1t ! 240

)

! t +

4

1

3

+

cos 3" 1t ! 360

t ! 720

"

6

)

!

!

1

+

)

+

!

( V cos ( 5

+

"

5

) 120 )

t +

1

!

!

(1.46.b)

(

)

(

)

cos 3" 1t 3

+ V

+

cos 6" 1t

+ V

6

+

!

( V cos ( 5

+ V

!

7

5

+

! 1

cos 2" 1t + 120 2

+

1

! t + 120

2

+

+

+ V

1

"

7

!

!

"

4

!

1

"

1

!

3

( V cos ( 5

+ V

1

( ) V cos( 4 V cos ( 7 t ) ! cos 3! 1t

+ V

2

+

) 600 )

cos 2! 1t + 240 ! t +

5

1

!

!

( V cos ( 6

+ V

3

+

cos 3! 1t + 360 ! t +

6

1

!

)

720

!

+

)

+

+"

( V cos ( 5

+ V

2

+

) ! 120 )

cos 2! 1t ! 120

5

! t 1

!

!

(

)

(

)

+ V

cos 3! 1t

+ V

cos 6! 1t

3

6

(1.46.c) +

+

+"

A Tab. 1.3 apresenta a configuração da sequência de fase dos harmônicos em um sistema trifásico equilibrado baseado na expansão da série de Fourier.


35

Tabela 1.3 Sequência de Fase dos Harmônicos em um Sistema Trifásico Equilibrado h

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Seq.

+

-

0

+

-

0

+

-

0

+

-

0

+

-

0

h

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

Seq.

+

-

0

+

-

0

+

-

0

+

-

0

+

-

0

h

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

Seq.

+

-

0

+

-

0

+

-

0

+

-

0

+

-

0

h

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

Seq.

+

-

0

+

-

0

+

-

0

+

-

0

+

-

0

Assim, os sinais harmônicos são classificados quanto à sua ordem ( h), frequência (f =h.f 1) e sequência. Os equipamentos modernos de medição e teste de harmônicos podem medir até a 63ª ordem. As frequências harmônicas de 3ª à 25ª ordem são as mais comuns em sistemas de distribuição. Calculando-se a tensão de linha verifica-se que as componentes triplas desaparecem nas tensões de linha. !

ab

(t )

= !

a

(t ) ! (t ) !

b

3 "V 1 cos

=

#

( V cos ( 7

+V

4

+

7

(

! t + 30 1

) 30 )

cos 4! 1t + 30 ! t + 1

!

!

!

)

+ V

2

+ V

5

+

(

cos 2! 1t ! 30

(

cos 5! 1t ! 30

!

)

!

)

+

+

0

0

(1.47)

!]

Examinado as expressões acima nota-se que: •

A componente fundamental é simétrica, com mesma magnitude, ângulo de defasagem de 120º entre as fases e sequência de fase positiva ou direta, abc.

•

As harmônicas de 2ª ordem apresentam sequência negativa ou inversa, cba.

•

As harmônicas de 3ª ordem apresentam o mesmo ângulo de fase, com mesma direção, tendo, portanto, sequência nula.

•

A fundamental e as harmônicas 4, 7, ... (3k+1, k=1,2,3,...) têm sequência positiva.

•

As harmônicas 2, 5, ... (3k-1, k=1,2,3,...) têm sequência negativa.

•

As harmônicas triplas (3k, k=1,2,3,...) têm sequência zero.

•

As harmônicas triplas (sequência zero) não estão presentes nas tensões de linha. Profa Ruth P.S. Leão email: [email protected] hp: www.dee.ufc.br/~rleao

36

Deve ser observado que: •

Se harmônicos estão presentes, então componentes de sequência negativa e zero existem mesmo que o sistema seja equilibrado.

•

A regra tradicional de que sistemas de potência balanceados não apresentam componentes de sequência zero ou componentes de sequência negativa não é válida quando harmônicos estão presentes.

•

Componentes harmônicos com frequências múltiplas de três - triplas apresentam sequência nula.

•

As correntes harmônicas triplas balanceadas em sendo de sequência zero não podem fluir para uma conexão delta ou na ausência de conexão a terra.

1.4.4 Valor Eficaz Verdadeiro O valor eficaz de uma onda periódica qualquer é definido como:

F rms

1

=

T

2

⎡⎣ f( )t ⎤⎦ dt ∫ T

(1.48)

0

Como visto anteriormente, ondas de tensão e de corrente periódicas, não senoidais, podem ser representadas por uma função f (t ) em uma série de Fourier com componente cc, fundamental e os componentes harmônicos. f ( t) =

a0 2

+

∑

∞ h =1

∞

ah cos ( hω1 t) + ∑ h 1 bh sen( hω 1 t) =

(1.49)

ou ∞

f ( t) = c0 + ∑ ch cos ( hω1 t + φ h )

(1.50)

h =1

Substituindo f (t ) em F rms ou valor eficaz F EF , obtém-se: 2

F

=

RMS

1 ⎛ a0

⎜

2⎝ 2

∞

+

∑ h =1

∞

2

a+

∑ h

h =1

2

⎞

b⎟

⎠

h


(1.51)

37

F

2

c+

=

RMS0

1 2

∞

⋅∑

2

c

(1.52)

h

h =1

Considerando que ah, bh e c h são valores de pico de sinusóides ( h=1,2,3,...) e que o valor de pico de uma sinusóide é igual a 1,4142 vezes seu valor eficaz, tem-se que: 2

a0

FRMS=

!!"#

4

∞

+

∑

aEF ,

+ h

h =1

!

+

!!

=

∞

2

∑

2

!

+

bEF ,

(1.53)

h

h =1

!

!!"

!

+

,

!!" !

!

!!" !

,

+

⋯

+

,

(1.54)

!

!!"

!

,

Assim, valor rms verdadeiro para uma tensão e corrente, periódicas, não senoidais é definido como:

Vrms

=

2

Vcc

+

∞

1

V ∑ 2

2

h

h =1

(1.55)

∞

=

2

Vcc

+

∑V

2

rms , h

h =1

∞

I

rms

2

I

=

cc

+

∑

2

I

h

h =1

(1.56)

∞

2

I cc

=

+

∑ I

2

rms , h

h =1

O valor rms da tensão de fase υa e de linha υab em (1.46.a) e (1.47), respectivamente, é dado por: !

a

(t )

= V

1

cos

(

(

) t )

( ) V cos ( 6 t )

! t + V 1

V 5 cos 5! 1

2

+

6

cos 2! 1t ! 1

( ) V cos ( 4 V cos ( 7 t ) !

+ V

3

+

7

cos 3! 1t ! 1

+

4

)

! t + 1

+


38

2

V rms, a

!

ab

=

1

(V 2

2 2 2 2 + V + V + V + 1 2 3 4

1

!

=

" 2

=

"

(t )

a

V h

2

h=1

= !

(1.57)

2

h=1

!

V rms, h

(t ) ! (t ) !

b

3 "V 1 cos

=

#

( cos ( 7 V cos

+V

4

+

=

(

! t + 30

! t +

7

! 2

1

2

h 1

V h

!

1

) 30 )

cos cos 4! 1t + 30

3

V L,rms

!)

=

!

!

+ V

2

+ V

5

+

!

3

=

)

(

cos cos 2! 1t ! 30

(

cos cos 5! 1t ! 30

!

)

!

)

+

+

0

0

!]

2

h 1 =

V rms, h ,

h

" 3n,

n

=

2, 3, !} {1, 2,3

(1.58)

1.4.5 Corrente no Neutro Em uma carga trifásica equilibrada, conectada em Y aterrada, a corrente no neutro e dada por: (1.59)

I N = Ia + Ib + I c

Harmônicos de sequência positiva e negativa se anulam no neutro. A corrente em neutro aterrado é composta apenas de componentes triplas: I N

=

3!" I a 3sen (3! 1t ) + I a 6 sen ( 6! 1t ) + I a 9 sen ( 9! 1t ) + !#$

=

3

% I

sen 0, h sen

(h

)

! t 1

h=

6, 9,12,,!} {3, 6,9,12

(1.60)

O valor eficaz da corrente no neutro é obtido como:

!!"# !

! =

,

!

!

!

!

!

!!! + !!! + !!! + !!!" +

⋯

=

3∙

! !

∙

! ∈{! ! ! ,

,

,⋯

(1.61)

!

} !!

ou !!"# ! ,

=

3∙

!

!

!

!

!!"# !! + !!"# !! + !!"# !! + !!"# !!" + ,

,

,

,

⋯

=

!

3∙

!!"# ! ,

! ∈{! ! ! ,

,

,⋯

}

(1.62)


39

Isso implica que, podem ocorrer situações em que pelo condutor neutro pode circular uma corrente de ordem tripla que é três vezes maior do que a corrente tripla que percorre cada condutor fase.

Fig.1.24 Corrente no Neutro em Sistema Trifásico Equilibrado com Componente Harmônica de Terceira Ordem [Fonte: Harmônicas nas Instalações Elétricas – Causas, Efeitos e Soluções. Hilton Moreno. Procobre]

Pela expressão (1.62) pode-se deduzir que quando a participação da 3ª harmônica é de 33%, a corrente no neutro é igual ou maior que a corrente na fase. Pode-se então dizer que: •

Carga equilibrada pode apresentar corrente no neutro.

•

Pelo neutro de uma carga não linear equilibrada fluem apenas harmônicos de ordem tripla.

A Fig. 1.25 apresenta formas de onda de tensão e corrente medidas em um quadro de distribuição que alimenta cargas não lineares. Se a carga é constituída somente por computadores e televisores a corrente pelo neutro do circuito pode ser superior à corrente de fase.


40

Fig. 1.25 Formas de onda em quadro de distribuição com cargas não lineares. [Fonte: Harmônicas nas Instalações Elétricas – Causas, Efeitos e Soluções. Hilton Moreno. Procobre. 2001].

A medição da corrente no quadro de distribuição que alimenta cargas equilibradas e não senoidais é apresentada na Tab.1.4. Tabela 1.4 Corrente eficaz de fase e no neutro. Ordem h

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 Total

Corrente Fase A, B, C (rms)

Corrente no Neutro (rms)

1,201 0,977 0,620 0,264 0,068 0,114 0,089 0,029 0,042 0,044 0,019 0,020 1,698 A (100%)

0,000 2,931 0,000 0,000 0,204 0,000 0,000 0,087 0,000 0,000 0,057 0,000 2,940 A (173%)

Na Tab.1.4 pode ser observado: 1. Consumo similar nas três fases. fases. 2. Pelo neutro circulam circulam as harmônicas ímpares múltiplas múltiplas de 3. Profa Ruth P.S. Leão email: [email protected] rleao@dee .ufc.br hp: www.dee.ufc.br/~rleao

41

3. Corrente no neutro é 1,73 vezes a corrente de fase – neutro em sobrecarga. Sobrecarga no neutro é o problema mais comum em instalações comerciais. A corrente no neutro é equivalente à corrente de fase quando o percentual de cargas eletrônicas é cerca de 65% da carga em um circuito trifásico.

Fig. 1.26 Estimativa do Percentual de Corrente no Neutro em relação ao RMS da Corrente de Fase em Função do Percentual de Cargas Eletrônicas Presentes no Circuito

Numa instalação contendo muitas cargas monofásicas não lineares – caso típico de edifícios comerciais e análogos contendo grande quantidade de aparelhos de iluminação fluorescente e microcomputadores – a corrente no neutro nos circuitos de distribuição a 4 fios, mesmo havendo um equilíbrio razoável entre as cargas, é superior à corrente de desequilíbrio. Em sistema trifásico tetrafilar as correntes de cargas monofásicas circulam em cada fase e retornam pelo condutor comum neutro.

Fig. 1.27 Circuito Trifásico com Neutro Comum


42

O cancelamento de componentes de corrente no neutro é completo para correntes harmônicas de sequência positiva e negativa – cargas monofásicas equilibradas. Em caso de cargas monofásicas não lineares não equilibradas, correntes harmônicas triplas ímpares - sequência zero - retornam pelo neutro. Quando cargas eletrônicas estão presentes, compartilhar o neutro pode causar problemas, como: §

Sobreaquecimento no neutro

§

Aumento da tensão neutro-terra

§

§

Queda da tensão fase-neutro na carga, V FT = V carga + ( ΔV F + ΔV N ) Perdas de dados

ΔV F

T r a f o

VFT aplicada

0 volt

V carga

Carga

ΔV N= Queda de Tensão no Neutro

Terra

Fig.1.28 Medição de tensão neutro-terra.

A medição da tensão entre neutro e terra checa a queda no condutor neutro desde o ponto de medição até o ponto onde o neutro e o terra estão conectados juntos. O desempenho de equipamentos eletrônicos sensíveis pode ser afetado pela variação da tensão fase-neutro quando a tensão neutro-terra é elevada. Os fabricantes de computadores em geral especificam um máximo de 1V a 3V de tensão neutro-terra. A norma IEEE Standard 1100-1992 "Recommended Practice for Powering and Grounding Sensitive Electronic Equipment" recomenda que a tensão neutro-terra não exceda 2 V. Neutro com impedância Z N, h = Rh + jω h X1 , em que h representa a ordem da harmônica, a queda de tensão é dada por: ΔV N

=

∑ I (3Z ) h

N, h


(1.63)

43

Em (1.63) nota-se a interação entre a corrente no neutro com a impedância do condutor. Portanto, correntes harmônicas no neutro contribuem para a elevação de potencial do neutro. Quanto menor a seção do condutor, maior a impedância e maior a perturbação causada pela tensão neutro-terra. Transitórios, inclusive aqueles causados por chaveamento do dispositivo eletrônico, muitas vezes resultam em correntes transitórias no neutro que por sua vez cria transitórios neutro-terra. Construir neutros separados para cada fase do circuito pode reduzir os transitórios entre neutro-terra de 2/3. Segundo a norma ABNT NBR 5410: 2004 que dispõe sobre condutor neutro (seção 6.2.6.2): − O condutor neutro não pode ser comum a mais de um circuito. − O condutor neutro de um circuito monofásico deve ter a mesma seção do

condutor de fase. − Quando, num circuito trifásico com neutro ou num circuito com duas fases

e neutro, a taxa de terceira harmônica e seus múltiplos for superior a 15%, a seção do condutor neutro não deve ser inferior a dos condutores de fase, podendo ser igual a dos condutores de fase se essa taxa não for superior a 33%. NOTAS: Tais níveis de correntes harmônicas são encontrados, por exemplo, em circuitos que alimentam luminárias com lâmpadas de descarga, incluindo as fluorescentes. − Num circuito trifásico com neutro e cujos condutores de fase tenha uma

seção superior a 25 mm², a seção do condutor neutro pode ser inferior à dos condutores de fase, sem ser inferior aos valores indicados na Tabela 1.5, em função da seção dos condutores de fase, quando as três seguintes condições fores simultaneamente atendidas: a) O circuito for presumivelmente equilibrado, em serviço normal; b) A corrente das fases não contiver uma taxa de terceira harmônica e múltiplos superior a 15%; c) O condutor neutro for protegido contra sobrecorrentes. Profa Ruth P.S. Leão email: [email protected] hp: www.dee.ufc.br/~rleao

44

Tabela 1.5 Seção do Condutor Neutro em Função do Condutor Fase Seção dos condutores S≤25 de fase mm² Seção reduzida do S condutor neutro mm²

35

50

70

95

120

150

185

240

300

400

25

25

35

50

70

70

95

120

150

185

A maioria das cargas eletrônicas monofásicas conduz corrente somente durante o pico de tensão. A principal componente harmônica dessa corrente é a terceira.

Fig. 1. 29 Corrente de carga monofásica não linear.

Sob condição de carga não linear, um neutro comum pode transportar quase 2 vezes a corrente de linha (ver Tab.1.4). O risco de uma sobrecarga no neutro é bem real uma vez que o condutor neutro pode ter sido projetado para ter a mesma bitola ou até bitola menor do que a do condutor fase. A seção do condutor neutro quando o conteúdo de terceira harmônica das correntes de fase for superior a 33% deve ser baseada no valor de corrente no neutro calculada como [ABNT NBR 5410:2004, Instalações Elétricas de Baixa Tensão ]: I

=

f h

N

∑

k

1

=

(1.64)

Ik 2

Tabela 1.6 Fator de Correção para Corrente no Neutro. Taxa de 3ª harmônica

33% a 35% 36% a 40% 41% a 45% 46% a 50% 51% a 55% 56% a 60% 61% a 65% ≥ 66%

Fator de Correção f h

Circuito trifásico com neutro 1,15 1,19 1,24 1,35 1,45 1,55 1,64 1,73

Circuito com duas fases e neutro 1,15 1,19 1,23 1,27 1,30 1,34 1,38 1,41


46

A soma das correntes de fase resulta em apenas componentes de sequência zero, h=⎨3,6,9,12,…⎬: !!" + !!" + !!"

=

3!!"! !"#

!! !

+

=

⋯

3

!∈ ! ! ! ,

,

,⋯

!!" ! !"# ,

(1.67)

!! !

Portanto, circulando no delta estão apenas correntes harmônicas de sequência zero. As correntes de linha são dadas por: !!

=

!!"

−!

!!

=

!!"

− !!"

!!

=

!!"

− !!"

!"

°

=

3!!"! !"#

!! !

− 30

=

3!!"! !"#

!! !

− 150

3!!"! !"#

!! !

+ 90

=

+ °

°

3!!"! !"#

3!!"! !"#

+

+

!! !

3!!"! !"#

°

+ 30

!! !

!! !

+ °

+ 150 °

− 90

+

⋯

+

⋯

(1.68)

⋯

Ica1

Iab1

- Ica1

√ 3Iab1cos(ω1t-30o)

Fig. 1.30 Diagrama Fasorial da Componente Fundamental

Para as equações de I a, I b, e I c , foi considerado que as componentes harmônicas de corrente de fase I abh, h={1,5,7,11,...} apresentam ângulo de fase 0o. Assim, pode-se afirmar que: §

As harmônicas de corrente de sequência zero {3,6,9,12,...} não estão presentes na corrente de linha de uma carga equilibrada conectada em Δ e Y sem retorno. Profa Ruth P.S. Leão email: [email protected] hp: www.dee.ufc.br/~rleao

47

§

Na corrente de linha de uma carga equilibrada sem retorno (Δ e Y) estão presentes apenas componentes de sequência positiva e negativa {1,2,4,5,7,...}.

1.4.7 Harmônicos em Sistemas Desequilibrados Desequilíbrio do sistema pode resultar em aumento de injeções harmônicas de equipamentos que produzem distorções, em especial harmônicas triplas, e facilitar a propagação no sistema [IEEE Std. 1531-2003 IEEE Guide for Application and Specification of Harmonic Filters, pg.7 ].

Seja um sistema trifásico tetrafilar, desequilibrado, com cargas não lineares monofásicas, e correntes com componentes ímpares até a 5ª ordem como em (1.69). Ia

=

Ib

=

Ic

=

Ia1 senω1 t + Ia 3 sen3ω1 t + Ia 5 sen5ω 1 t

β⎡

⎣

(

Ia1 sen

(

ω t− 120 1

Ia1 sen ω1 t+ 120

o

)

o

+

)

+

Ia 3 sen3

ω t+ 1

(

Ia 5 sen 5

(

)⎦

ωt+ 120 ⎤ o

1

Ia 3 sen3ω1 t+ Ia 5 sen 5ω 1 t− 120

o

(1.69)

)

β representa o fator de desequilíbrio de magnitude. Considerando: β

=

2

I 1, 0 . p. u =

a1

I

=

0, 5 . p. u

I

=

0 , 3 . p. u

a3 a5

(1.70)

Tem-se na forma fasorial as componentes de correntes de linha como apresentadas na Tab.1.7. Tabela 1.7 Fasores de Componentes Harmônicos de Corrente

Fases A B C

Fundamental o I a1=1∠0 o I b1=2∠-120 o I c1=1∠+120

Componentes de Fase 3ª Harmônica 5ª Harmônica o o I a3=0,5∠0 I a5 =0,3∠0 o o I b3=1,0∠0 I b5 =0,6∠+120 o o I c3=0,5∠0 I c5 =0,3∠-120


48

O valor eficaz das correntes nas fases A, B e C é calculado como:

a , rms

I=

b ,rms =

c ,rms

1

( 2

I

=

1

(1 2

+

( 0, 5 )

I 22 + 1 + ( 0, 6 )

2

)

2 +

=

( 0, 3)

2

)

1, 7 [ . .]

=

0,81[ . .] p u

(1.71) pu

Aplicando o teorema de Fortescue para as correntes desequilibradas de 1ª, 3ª e 5ª ordem, obtém-se as seguintes componentes de sequência de desequilíbrio.

Fig.1.31 Componentes de Sequência da Corrente Fundamental Desequilibrada.


49

Fig.1.32 Componentes de Sequência da Corrente Harmônica de 3ª Ordem Desequilibrada.

Fig.1.33 Componentes de Sequência da Corrente Harmônica Desequilibrada de 5ª Ordem.

A Tab.1.8 resume as componentes de sequência obtidas para cada componente harmônica de corrente desequilibrada. Profa Ruth P.S. Leão email: [email protected] hp: www.dee.ufc.br/~rleao

50

Tabela 1.8 Componentes de Sequência para Correntes Harmônicas Desequilibradas.

Componentes Harmônicas Fundamental

Componentes de Sequência Positiva Negativa Zero o o o I a1=1,33∠0 I a2 =0,33∠+120 I a0 =0,33∠-120 o o o I b1=1,33∠-120 I b2 =0,33∠-120 I b0 =0,33∠-120 o o o I c1=1,33∠+120 I c2 =0,33∠0 I c0 =0,33∠-120 o o o I a1=0,17∠+120 I a2 =0,17∠-120 I a0 =0,67∠0 o o o I b1=0,17∠0 I b2 =0,17∠0 I b0 =0,67∠0 o o o I c1=0,17∠-120 I c2 =0,17∠+120 I c0 =0,67∠0 o o o I a1=0,10∠-120 I a2 =0,40∠0 I a0 =0,10∠+120 o o o I b1=0,10∠+120 I b2 =0,40∠+120 I b0 =0,10∠+120 o o o I c1=0,10∠0 I c2 =0,40∠-120 I c0 =0,10∠+120

3ª Harmônica 5ª Harmônica

A corrente que flui no neutro, de sequência zero da fundamental, da harmônica de 3ª e 5ª ordem, pode ser expressa como: I = 3 ⎡0, 33

N

⎣

(

senω1

−t 120

o

)

+

(

0, 67

o

sen 3ω1 +t 0,10 sen5ω 1 +t 120

)⎤⎦

(1.72)

E seu valor eficaz resulta em:

I N

1⎡

0, 33) ⎣(

=

3

=

1, 6[ p.u.]

2

2 +

(0, 67 )

2 +

2 (0,10 ) ⎤⎦

(1.73)

Se a carga fosse equilibrada e linear pelo neutro não circularia corrente. Se a carga fosse desequilibrada e linear, pelo neutro circularia somente a componente de sequência zero da fundamental, i.e.,

N

=

3I⋅

0,33 =

2

0, 7 [ . .] p u

(1.74)

Se a carga fosse equilibrada e não linear pelo neutro circularia apenas a componente de 3ª ordem, i.e.:

N

=

3⋅ I

1 2

(0,5)

2 =

1, 06 [ . .]

pu

(1.75)

Como a carga é não linear e desequilibrada pelo neutro circula 1,6 p.u., um aumento cerca de 51% em relação à condição de carga equilibrada e não linear.


51

Pela linha B, a de maior corrente, flui uma corrente igual a 1,7 p.u, maior que a corrente no neutro. No entanto, a corrente no neutro é 97% maior que a corrente nas linhas A e B (I A=I B=0,81 p.u.) Em sistema desequilibrado, as componentes de sequência zero das harmônicas triplas são aditivas às correntes de sequência zero das demais componentes harmônicas no neutro. Em caso de conexão em Delta desequilibrado será verificada a presença de componentes triplas de corrente de sequência positiva e negativa na linha. Assim, pode-se afirmar que em sistemas desequilibrados com carga não linear: − Componentes de sequência positiva e negativa de harmônicas de corrente de

ordem triplas podem estar presentes na linha, inclusive para cargas sem neutro. − Componentes harmônicas não triplas {1,5,7,11,...} podem circular no neutro. − Componentes de sequência zero de harmônicos de sequências direta, inversa

e nula podem circular no neutro. 1.4.8 Independência A propriedade que redes lineares em sistemas de potência equilibrados têm respostas para diferentes harmônicos independente de outras permite tratar cada harmônica separadamente. O circuito equivalente para cada harmônico é construído no domínio da frequência, e resolvido para correntes e tensões. A resposta total é obtida pela adição dos componentes harmônicos no domínio do tempo.

1.5

Medidas de Distorção Harmônica

1.5.1 Requisitos para Medição de Sinais As distorções harmônicas são fenômenos associados com deformações nas formas de onda das tensões e correntes em relação à onda senoidal da frequência fundamental [Prodist Módulo 8 Qualidade da Energia Elétrica, 2011 ]. Profa Ruth P.S. Leão email: [email protected] hp: www.dee.ufc.br/~rleao

52

Os harmônicos são caracterizados como fenômeno de estado permanente à semelhança do desequilíbrio de tensão e da flutuação de tensão, uma vez que estarão presentes enquanto o equipamento que gera os harmônicos esteja em operação. Para medição das características de um sinal elétrico é comum o uso de equipamentos que operam segundo o princípio da amostragem digital. Os instrumentos de medição devem observar o atendimento aos protocolos de medição e às normas técnicas vigentes, os quais definem os requisitos necessários à reconstrução do sinal amostrado: − Taxa ou Frequência de amostragem − Nível de discretização (no. de bits do conversor A/D) − Janela de integração ou intervalo de tempo de medição − Fórmula de cálculo A. Taxa ou Frequência de Amostragem

A taxa de amostragem define o número de amostras por unidade de tempo (segundo ou ciclo) tomado de um sinal contínuo para construir um sinal discreto. Para sinais no domínio do tempo, a frequência de amostragem é medida em hertz (Hz). Sempre que um sinal contínuo (analógico) for medido por amostras (discreto) deve-se certificar-se que a frequência de amostragem !! seja suficientemente alta para que todas as variações no sinal possam ser reconstruídas. Se !! é muito baixa, detalhes de variação no sinal contínuo podem ser perdidos. Por exemplo, em um transitório elétrico, o tempo de subida da onda é rápido, da ordem de µs. Por outro lado, se !! é muito alta uma quantidade desnecessária de dados será coletada e processada. Uma alta taxa de amostras resulta em melhor representação da forma de onda do distúrbio e maior requisito para armazenamento.


53

O teorema de amostragem de Nyquist-Shannon estabelece que a reconstrução perfeita de um sinal é somente possível quando a frequência de amostragem !! é maior que o dobro da maior frequência contida no sinal amostrado. A frequência de Nyquist !! é definida como a maior componente de frequência que pode ser reconstituída em um sinal amostrado por uma certa frequência de amostragem !! . !!

<

!

!!

!

(1.77)

A chamada taxa de Nyquist corresponde à menor taxa de amostragem necessária a evitar distorções no sinal, denominadas de aliasing (disfarce), igual a duas vezes à maior frequência contida no sinal. A. Processo de Amostragem Uma função ou sinal contínuo no tempo x(t) uniformemente amostrado a uma taxa de amostragem f s>2f h forma uma função ou sinal discreto no tempo xT(n), cujas sequências de valores são as amostras da função contínua no tempo x(t). O processo pode ser matematicamente descrito em termos do produto da série infinita de amostras da função contínua no tempo e a função impulso δ(t -nT ), o que resulta em (1.78). #

( )

xT n

$ x (n) ! ! (t " nT )

=

n

(1.78)

"#

=

em que T =1/f s é o espaço entre as amostras. A relação obtida em (1.78) pode ainda ser re-escrita em termos da equação de espectro de frequência em (1.79). #

X d ( f )

=

$ f ! X ( f " nf ) s

s

(1.79)

n "# =

em que X d (f ) é o espectro de frequência da função de tempo discreta x T (n), a qual é obtida usando a Transformada Discreta de Fourier (DTFT). [Validity of the Sampling Profa Ruth P.S. Leão email: [email protected] hp: www.dee.ufc.br/~rleao

54

Theorem in the Analysis of Current Harmonics in AC/DC Converters. P. Bokoro, J. Pretorius and M. Case. ICREPQ’11]

B. Processo de Reconstrução ou Interpolação O sinal contínuo no tempo x (t ) pode ser reconstruído a partir de amostras discretas do sinal discreto no tempo x T (n) desde que a taxa de amostragem exceda duas vezes a maior frequência do sinal ou função contínua no tempo. Matematicamente, este processo pode ser expresso como o produto do sinal ou função discreta no tempo x T (n) e a função seno cardinal, como dado a seguir.

()

x t

( f st " n ) ( n) ! ! ( f t " n ) s

#

sen!

=

xT

=

$ ( )! x

"#

n=

n

( f s t " n ) ! ( f t " n ) s

sen!

(1.80)

A equação acima é verdadeira desde que a condição Nyquist-Shannon é observada: f s>2f h. Isto capacita cada termo em (1.80) ser re-escrito em termos de seu espectro de frequência, o qual é obtido aplicando a Transformada de Fourier. A equação (1.80) tornaria em: X ( f )

=

(1.81)

X d ( f ) ! S i

em que X d (f ) e S i são espectros de frequência do sinal no domínio de tempo discreto e a função seno cardinal, respectivamente. A equação X (f ) é normalmente empregada em aplicações de processamento digital de sinal em que os sinais analógicos são transmitidos usando técnicas digitais com o fim de filtrar o nível de ruído associado ao sinal analógico transmitido. Neste contexto, X d (f ) é o sinal modulador, S i é o sinal portador e X (f ) é o espectro do sinal original a ser reconstruído.

C. Aliasing Se taxas menores que a taxa de Nyquist são empregadas, a informação do sinal original não pode ser completamente reconstituída a partir do sinal amostrado. O sinal reconstituído apresentará aliasing (disfarce).


55

Para evitar aliasing , a frequência de amostragem deve exceder a taxa de Nyquist. Aliasing refere-se à distorção que ocorre quando o sinal reconstruído a partir de

amostras é diferente do sinal original contínuo (Fig.1.34).

Fig.1.34 Um exemplo de disfarce ( aliasing ) na letra A em Times New Roman. Esquerda: imagem aliased (com degraus). Direita: imagem anti-aliased .

Quando um sinal é sub-amostrado (downsampling ), para atender à condição do teorema de amostragem e prevenir aliasing o sinal deve passar por um filtro passa baixa denominado filtro anti-aliasing cuja frequência de corte é igual (ou menor) que a frequência de Nyquist. Frequências acima da frequência de amostragem são espúrios para o sinal a ser reconstruído, necessitando ser filtradas (filtro anti-aliasing ). !!"#$!!"#$#%&

≤ !!

(1.82)

O termo aliasing refere-se também a um efeito que faz com que diferentes sinais tornem-se indistinguíveis (ou aliases um do outro) quando amostrados (Fig.1.35).

Fig.1.35 Duas senóides diferentes que se encaixam no mesmo conjunto de amostras.

Assim, a largura de banda de um instrumento usado para medir um sinal deve ser maior do que o espectro de frequência esperado do evento a ser monitorado. Segundo o Prodist, Módulo 8 – Qualidade da Energia Elétrica (2011), os instrumentos para medição de harmônicos devem considerar, para fins de cálculo da distorção total, uma faixa de frequência que considere desde a componente fundamental até, no mínimo, a harmônica 25ª ordem. A norma IEC 61000-4-30 Profa Ruth P.S. Leão email: [email protected] hp: www.dee.ufc.br/~rleao

56

estabelece que equipamentos de medição sejam capazes de medir harmônicas no mínimo até 50ª ordem ou 3kHz em 60Hz (Classe A) ou 40ª ordem ou 2,4 kHz em 60 Hz (Classe S). Exemplo 1 Qual a menor taxa de amostragem para representar a frequência de 25ª ordem? Solução A análise harmônica para a 25ª ordem (25 x 60 = 1500 Hz) requereria uma frequência de amostragem f s de pelo menos 2 x 1500 = 3000 Hz. 3000 a

- 1 s

x

-

(1.83)

1 60

→

50 a c

A menor taxa de amostragem capaz de capturar harmônico da 25ª ordem é de f s=50 a/c Ξ 3 kHz. Como a frequência de Nyquist é a metade da frequência de

amostragem, tem-se que f N = 1,5 kHz. A Resolução Aneel No.505 de 2001, Art.14 e o Prodist, Módulo 8 Qualidade de Energia Elétrica (2011) define que os equipamentos de medição devam apresentar o requisito mínimo de taxa de amostragem de 16 a/c para medição da tensão de regime permanente. Como visto acima, uma taxa de amostragem de 16 a/c não é capaz de capturar harmônico de 25ª ordem. Filtragem anti-aliasing e amostragem de um sinal analógico são apenas a primeira fase de aquisição de dados por um equipamento de medição. O processamento seguinte exige ainda que as amostras sejam quantizadas: valores analógicos são convertidos em formato digital. B. Quantização do Sinal

Um conversor analógico-digital é um dispositivo eletrônico que converte uma entrada analógica de tensão (ou corrente) em um número digital no sistema binário. Profa Ruth P.S. Leão email: [email protected] hp: www.dee.ufc.br/~rleao

57

A resolução do conversor indica a largura do passo ou intervalo de medição e é normalmente expressa em bit (bi nary digit ). Em consequência, o número de valores discretos disponíveis, ou "níveis de quantização" (ou códigos), normalmente é uma potência de dois. Para um conversor de 12 bits, o passo de medição ou o número de passos discretos é de 212 = 4096 níveis. A resolução Q de um conversor A/D, expressa em volts, é igual à faixa de medição da tensão dividida pelo número de intervalos discretos, como em (1.84). Q

E =

2

FSR M

=

E

(1.84)

FSR

N

em que E FSR

Faixa de tensão de fundo de escala

M

Resolução do conversor A/D em bits

N

No. de intervalos dado pelo número de níveis disponíveis

Exemplo 2 Se a faixa de medição de fundo de escala é de 0 a 10 volts e a resolução do conversor é de 12 bits, qual a resolução em volts/código? Solução Q

10 − 0 =

10 =

12

2

4096

≅

2, 4 [ mV código]

(1.85)

Se a faixa de medição de fundo de escala é de -10 a 10 volts e a resolução do conversor é de 12 bits, qual a resolução em volts/código? !

=

!"!

!!"

!!"

!" =

!"#$

≅

4 99 !" ,

!"#$

!ó


(1.86)

58

Exemplo 3 Para um conversor de 3 bits, faixa de fundo de escala de 0-8 V (máximo valor do sinal), com código binário de saída igual a m=101, determinar o valor da tensão medida. Solução A resolução do conversor em V/código é de: Q

8 =

2

3

=

[V

1

código ]

(1.87)

O valor Vx da tensão é representado pelo número binário m de n bits – m=[a0 ... an-1] Para expressar a tensão medida, o código binário deve ser convertido para a base 10 e então multiplicado pela resolução do conversor. V X

m

=

( ) 10

V X

=

(1.88)

m(10)Q

=

(1

5 ⋅1

2

×2

=

1

0

+ 0 × 2 +1 × 2

[ ]

)

=5

(1.89) (1.90)

5 V

Fig.1.36 Conversor A/D

Quanto maior o número de intervalos N em (1.86), menor é o intervalo, e mais próxima a amostra digital estará do sinal analógico. A todos os valores dentro do intervalo de quantização (p.ex. um Vx entre m2 e m3) será aferido o mesmo valor (ou m2 ou m3). A resolução de uma forma de onda depende da taxa de amostragem ( f s define a resolução temporal do sinal - horizontal) bem como do número de bits disponíveis para armazenamento ou processamento da amostra adquirida (resolução de amplitude – vertical). Profa Ruth P.S. Leão email: [email protected] hp: www.dee.ufc.br/~rleao

59

O Prodist, Módulo 8 – Qualidade da Energia Elétrica define como requisito mínimo para medição de sinal de tensão em estado permanente conversor de 12 bits (N=4096 códigos) e precisão de até 1% da leitura. A precisão pode ser caracterizada em termos de desvio-padrão das medições. Quanto menor o desvio padrão, maior será a precisão. A precisão está relacionada a reprodutibilidade de uma medição. A exatidão é por sua vez quão próximo a leitura está do valor verdadeiro.

Fig.1. 37 Conceitos de exatidão e precisão.

A precisão é em geral expressa pela maior diferença entre os valores medidos !! e a média desses valores !! . !"#

!!

− !!

(1.91)

A precisão do instrumento é indicada pelo seu erro em porcentagem do seu valor, no fim da escala. Os instrumentos com erro igual a 0,1, 0,2 e 0,5 são considerados de alta precisão, enquanto que aqueles de precisão 1,0, 1,5, 2,5 e 5,0 são usados para fins normais. Uma classe de precisão de 0,1 significa que o erro no valor lido será de ±0,1% vezes o fim de escala. A exatidão é definida pelo desvio máximo, em relação ao valor verdadeiro !, de uma série de medidas !! . !"#

!

− !

!

(1.92)

O ideal é que um instrumento de medição seja capaz de medir com exatidão e precisão, com todas as medições próximas e agrupadas em torno do valor conhecido.


60

Os resultados dos cálculos ou uma medida pode ser exato, mas não preciso, preciso, mas não exato, nem um nem outro, ou ambos como ilustra a Fig.1.38.

Este é um modelo exato, mas não preciso. Os

Este é um padrão preciso, mas não exato. Os

dardos não estão agrupados, mas sua posição

dardos são agrupados juntos, mas não atingiu

"média" é o centro do olho do touro.

a marca desejada.

Este é um padrão aleatório, nem precisa, nem

Este padrão é ao mesmo tempo preciso e

exato. Os dardos não são agrupados e não

exato. Os dardos são bem agrupados e sua

estão perto do olho do touro.

posição média é o centro do olho do touro.

Fig.1.38 Ilustração do conceito de precisão e exatidão.

C. Janela de Integração

A forma de onda de um sinal de tensão e corrente é obtida a partir de amostras de valores instantâneos da onda. O número de amostras é integralizado para uma janela de tempo que considera a periodicidade do sinal em regime permanente (60 ou 50 Hz).

Fig. 1.39 Janela Básica de Dados com 4 Amostras Profa Ruth P.S. Leão email: [email protected] hp: www.dee.ufc.br/~rleao

61

A largura de tempo das janelas de integração pode variar segundo disposição do instrumento de medição e do sinal a ser medido, podendo variar desde ½ ciclo até um múltiplo inteiro do ciclo relativo à frequência industrial (60 ou 50 Hz). As larguras de janelas mais comuns são as de ½ ciclo ou de 1 ciclo para sinais com rápidas variações e janelas, p.ex. de 10/12 ciclos para fenômenos de regime em sistemas de potência de 50 Hz e 60 Hz respectivamente, a exemplo dos harmônicos, interharmônicos, desequilíbrio e tensão de suprimento. Além da definição do tamanho da janela de integração, há a considerar o tipo de janelamento ou modo de atualização das amostras no cálculo de um parâmetro, que pode ser contínuo ou discreto. Na atualização contínua os cálculos são efetuados a cada nova amostra - a janela é movida a cada nova amostra do sinal e o cálculo do parâmetro é atualizado pela substituição da amostra inicial da janela pela nova amostra. Na atualização discreta (modo mais comum) a janela desloca-se a cada ½ ciclo, a cada ciclo ou a cada múltiplo de ciclo. Medidores digitais computam o valor eficaz a partir de amostras de valores instantâneos tomando uma janela de tempo que considera a periodicidade do sinal em regime permanente. A norma IEC 61000-4-30 e o Prodist, Módulo 8 – Qualidade da Energia Elétrica regulam que os sinais quase-estacionários como tensão, harmônicos, cintilação, considerados fenômenos de regime permanente devem ser calculados a partir das amostras coletadas em janelas sucessivas. No Prodist, cada janela compreenderá uma sequência de 12 ciclos (0,2 s em 60 Hz) a 15 ciclos (0,25 s em 60 Hz). Segundo a norma IEC 610004-30, os valores das janelas de 10/12 ciclos são então agregados em três intervalos adicionais: •

Intervalo de 150/180 ciclos (50 e 60Hz, respectivamente)

•

Intervalo de 10 min

•

Intervalo de 2h.


62

As agregações devem ser realizadas usando a raiz quadrada da média aritmética do quadrado dos valores de entrada. Muitos parâmetros relacionados à Qualidade da Energia Elétrica (tensão, harmônicos, flicker ) podem mostrar variações entre dias da semana e final de semana. Por esta razão a Aneel através do Prodist (Módulo 8) e a norma IEC 61000-4-30 estabelece que o período de avaliação ou a campanha de medição seja no mínimo de 1 semana (ou um número inteiro de semanas). 1.5.2 Valor Eficaz de Sinal Amostrado Instrumentos que medem o valor eficaz verdadeiro calculam a raiz quadrada da média aritmética do quadrado de valores instantâneos tomados sobre um intervalo de tempo (janela de integralização) especificado e uma dada largura de banda (frequência de amostragem).

Vrms

1

=

N

∑ ( k Δt ) N υ

2

(1.93)

k 1 =

em que N

No. de amostras no intervalo de integração

Δt

Intervalo de amostragem

NΔt

Largura da janela – período sobre o qual o valor rms é calculado

O erro de V rms será tanto menor quanto menor forem os níveis de discretização (Q) e o intervalo de amostragem (Δt = T/N, em que T é o período da frequência industrial e N o número de amostras por ciclo). O número de amostras dentro de uma janela de tempo depende da taxa de amostragem. Aplicando os requisitos mínimos de medição de sinal em regime permanente regulamentado pelo Prodist, tem-se que para uma taxa de amostragem de 16 a/c e uma janela de integração de 12 ciclos, totalizando 192 amostras, um valor rms de tensão é calculado para esse conjunto de amostras instantâneas.


63

Quando se deseja avaliar o nível médio da tensão de suprimento é necessário eliminar o efeito causado pelas variações de curta duração. Para reduzir a sensibilidade do valor eficaz às variações momentâneas, as janelas de amostras do sinal devem ser aumentadas para conter vários períodos da fundamental. O método de largura de janela de integração de vários ciclos é apropriado para se caracterizar a tensão de suprimento em regime quase estacionário e verificar se está na faixa prevista (V NOM ± 5%). Quando variações rápidas na tensão precisam ser capturadas, a taxa de amostragem é maior (p.ex. 128 a/c) e a janela de integração é menor (1/2 ciclo ou 1 ciclo). O valor rms verdadeiro de tensão e de corrente distorcidas é calculado a partir da decomposição do sinal em suas componentes de frequências, conhecidas as amplitudes de cada componente. O cálculo de V rms e I rms está mostrado em (1.55) e (1.56). A. Métodos de Cálculo de Valor Eficaz

Os instrumentos usuais de medição de tensão e corrente são projetados e construídos para uma adequada leitura de sinais perfeitamente senoidais que estão cada vez mais raros de serem encontrados. Na presença de harmônicas, as leituras desses instrumentos podem apresentar erros grosseiros. Os instrumentos quando projetados podem usar diferentes técnicas de medição baseadas em: valor médio, valor de pico e valor verdadeiro. §

Valor Médio

Os instrumentos portáteis mais usuais são os multímetros e alicates amperímetros projetados para medir sinais sem distorção harmônica. Os instrumentos de valor médio empregam a relação que existe entre o valor eficaz e o valor médio em meio período para calcular o valor eficaz do sinal. Esse tipo de instrumento utiliza sempre o coeficiente 1,11 que relaciona o valor eficaz com o valor médio em meio período de um sinal senoidal, ou seja, o valor médio Profa Ruth P.S. Leão email: [email protected] hp: www.dee.ufc.br/~rleao

64

de um sinal senoidal retificado. O coeficiente 1,11 é somente válido quando o sinal é senoidal. Esses instrumentos são chamados de "valor médio", capazes de medir sinais senoidais corretamente com os erros típicos associados à classe de exatidão do equipamento. Para um sinal senoidal dado por: υ

(t )

=

(1.94)

V p sen (ω 1t )

O valor médio da senóide retificada:

Vmédio

V p =

T

T 2

∫ 0

sen (ω 1t )dt

2

T 2

V p

=

=

⎛ 2π ⎞ − cos ⎜ t ⎟ π ⎝ T ⎠ 0 −

V p π

( cos π − 1)

(1.95)

2V p =

π =

0, 6366 ⋅ 2V rms

Assim, V rms V médio

=

1,11

(1.96)

A Fig.1.40 mostra um circuito típico utilizado pelos equipamentos que medem corretamente valor eficaz para sinais sem distorção harmônica.


65

Fig. 1.40 Circuito de Instrumento de Medição de Valor Médio [Fonte: Hilton Moreno. Harmônicas nas Instalações Elétricas. Instituto Brasileiro do Cobre – Procobre, 2001].

O circuito na Fig.1.40 é basicamente constituído por uma ponte retificadora de onda completa a diodo, que retifica a onda, um circuito amplificador que multiplica o sinal por 1,11 e um circuito que calcula o valor médio. O resultado é o valor eficaz, independente da frequência do sinal sem harmônicos. §

Valor de Pico

De modo semelhante aos instrumentos de valor médio, aqueles baseados na relação entre valor eficaz e valor de pico de uma onda senoidal empregam o coeficiente 0,707 para o cálculo do valor eficaz. Com base em (1.94) que define uma onda senoidal, tem-se que:

V p2

2

Vrms

0

V p2 =

=

V rms V p

T

sen T ∫

=

2

t ⋅ dt

ω

T

∫ [1 − cos 2 t ] ⋅dt ω

2T

V p2 ⎡ T T 4π T ⎤ t0 − t sen ⎢ T 0 ⎥⎦ 2T ⎣ 4π 1

=

=

2

(1.99)

0

V p2 =

2

0,707


(1.100)

66

§

Valor Eficaz Verdadeiro

Os instrumentos de valor eficaz verdadeiro, denominados também de "true rms" aplicam-se a sinais senoidais e não senoidais. Uma especificação importante no caso de instrumentos de valor eficaz verdadeiro é a sua largura de banda. A largura de banda refere-se à faixa de frequências do sinal que o medidor é capaz de realizar medidas confiáveis. Para leitura de harmônicas até a 25ª ordem a largura da banda de passagem do instrumento deve ser no mínimo igual a 1,5 kHz. A Tab.1.8 mostra valores de sinais de diferentes conformidades senoidais medidos por instrumentos de valor eficaz verdadeiro, valor médio e valor de pico. Pode-se observar que o instrumento de valor eficaz verdadeiro é capaz de medir com exatidão o valor rms do sinal, enquanto que para um mesmo sinal os instrumentos de valor médio e valor de pico apresentam valores diferentes. Tabela 1.8 Sinais com Diferentes Graus de Conformidade Senoidal. True rms

Onda senoidal Onda quadrada Onda triangular Corrente AVV Corrente PC Controlador de luz

100% 100% 100% 100% 100% 100%

Tipo de Medidor 1,11 Vmédio 100% 110% 96% 86% 60% 84%

0,707 Vpico 100% 82% 121% 127% 184% 113%

Exemplo 4 Calcular o valor rms para as funções: a) f( t) = 10 cos ( t) + 2 cos (2 t) + sen(3 t) b) f( )t = 10

2 cos

( )t

+ 10

2

sen( )t

Solução A função a) apresenta componentes harmônicas de ordem h=1, 2 e 3. Embora a componente de 3ª ordem esteja expressa em seno a sua amplitude mantém-se a Profa Ruth P.S. Leão email: [email protected] hp: www.dee.ufc.br/~rleao

67

mesma se expressa em co-seno (cos(3 t -90º )), não alterando o valor eficaz do sinal.

F rms

1

(10 2

=

2

+

2

2

+

)

1

7, 246

=

(1.101)

A função b) apresenta uma única ordem de harmônico expressa na forma trigonométrica expandida em seno e co-seno. A amplitude da componente trigonométrica compacta (seno ou co-seno) é calculada como: c

=

a

2

+b

2

2

(

2 10 2

=

)

=

2 ×10

(1.102)

A função b) é então re-escrita como: f ( t) = 20 sen( t+ ϕ )

(1.103)

De (1.15) tem-se que φ é dado por:

ϕ

=

⎛a⎞ ⎟ ⎝b⎠

tg −1 ⎜

o

=

45

(1.104)

O valor eficaz de (1.103) é então 20/√2=14,14. 1.5.3 Fator de Crista O fator de crista FC é definido como a relação entre valor de pico e o valor eficaz de um sinal que pode ser de corrente ou tensão, resultando em um indicador admensional. I p

FC

=

FC

=

I rms

(1.105)

ou V p V rms


(1.106)

68

Baseado em (1.96), observa-se que o fator de crista de um sinal cc é unitário uma vez que o valor rms e a amplitude do pico são iguais. Quando o sinal é senoidal o fator de crista é igual a √2 = 1,414. Em dispositivos com interruptores eletrônicos, a condução de corrente, em geral, ocorre apenas durante parte do semi-ciclo do sinal periódico de regime permanente. A Fig. 1.41 ilustra o fator de crista típico de uma fonte chaveada. Em tais condições pode-se perceber um FC diferente de 1,414.

Fig. 1.41 Ilustração do Fator de Crista.

Para notar a importância de conhecer o fator de crista de um sinal, considere dois sinais de corrente, um senoidal de carga linear e outro correspondente à corrente de entrada de um conversor de frequência monofásico. Os valores medidos para os dois sinais são mostrados na Tab.1.9. Tabela 1.9 Valores de Crista para Sinal Senoidal e Distorcido. Corrente de pico (A) Corrente rms (A) Fator de crista (FC)

Carga linear 2,63 1,86 1,414

Conversor de frequência 7,45 1,86 4,00


69

Fig.1.42 Sinais 1 e 2 da Tab.1.9 com mesmo valor eficaz e diferentes valores de pico. [Fonte: Procobre]

Note que embora os sinais em (1.7) apresentem um mesmo valor eficaz, a corrente de pico é bem diferente. No exemplo apresentado a corrente de pico do conversor é quase três vezes maior que a corrente de pico da carga linear. Isso leva a entender que onde há a presença de harmônicos, o valor eficaz da corrente ou tensão por si só é uma informação não completa. Assim, em sinais distorcidos é importante conhecer o valor de pico e o grau de distorção harmônica. A Tab.1.10 mostra o fator de crista para algumas formas de onda. Note que FC para uma onda quadrada é unitário independente de seu duty cycle. Tabela 1.10 Fator de Crista para Diferentes Tipos de Forma de Onda [John DeDad, Crest Factor: A Key Troubleshooting Parameter. EC&M, Mar 2008]

Um instrumento de medição de valor rms verdadeiro em geral especifica o fator de crista do instrumento, o qual diz respeito ao valor de pico que o instrumento pode medir sem erro. Por exemplo, seja um multímetro digital com uma exatidão Profa Ruth P.S. Leão email: [email protected] hp: www.dee.ufc.br/~rleao

70

de 0,03%, a qual é sempre especificada para um sinal senoidal, e um erro adicional de 0,2% para valores de crista entre 1,414 e 5,0. Se uma onda triangular é medida cujo valor de crista é 1,732, então o erro total na leitura deste multímetro será de 0,23% (0,03 + 0,2%). Quanto maior o fator de crista de um instrumento melhor seu desempenho. Valores usuais de FC estão compreendidos entre 2,0 e 7,0. Quando uma fonte ininterrupta (UPS) é especificada para alimentar uma carga não linear é importante considerar o FC nominal da UPS e o FC requerido pela carga. A UPS deve ser capaz de suprir ambos, o valor de pico e o valor rms de corrente requerida pela carga, do contrário a carga não operará adequadamente. Quando a fonte não é capaz de suprir a corrente requerida e esta é cortada (clamped ), a tensão de alimentação da fonte se tornará deformada. Portanto, se uma UPS não é dimensionada para suprir o FC da carga, a forma de onda da tensão de saída da fonte será distorcida. O fator de crista requerido por um PC variará dependendo da fonte que o supre. O fator de crista pode inclusive variar quando o PC é movido de uma tomada ac para outra na mesma sala. É comum acreditar que o FC é uma característica inerente de um PC quando na verdade o FC resulta da interação entre a carga e a fonte ac. Para uma fonte senoidal, um PC com não correção de fator de potência apresenta em geral um FC entre 2 e 3. Um alto FC é indesejável porque causa elevada dissipação de calor diminuindo a confiabilidade e a vida útil de uma fonte chaveada. 1.5.4 Fatores de Distorções Harmônicas de Tensão e Corrente As distorções harmônicas são fenômenos associados com deformações na forma de onda das tensões e correntes em relação à onda senoidal da frequência fundamental [Prodist - Módulo 8 Qualidade da Energia Elétrica 2011 ].


71

A. Distorção Harmônica Total

Um dos índices mais comuns usado para indicar o conteúdo harmônico em um sinal é o DHT - Distorção Harmônica Total [IEEE Std 519-1992, pg.63], ou do inglês Total Harmonic Distortion.

A DHT é a medida do grau de distorção de uma onda em relação a uma sinusóide pura. A DHT tem valor nulo quando se tratar de sinusóide pura, somente com a frequência fundamental. A DHT para tensão é definida como: 1

DHT V V 1 =

N

∑

2

h

(1.107)

V

h 2 =

V 1 representa a componente fundamental do sinal. Os valores de V 1 e V h podem

ser de pico ou rms. Pode ser observado em (1.107) que: − A componente cc não faz parte no índice DHT . − DHT mede o conteúdo harmônico em relação à componente fundamental. − Se as magnitudes das componentes harmônicas são pequenas ou nulas, DHT

será pequeno ou nulo independente da ordem da frequência presente no sinal. Dessa forma, devem-se buscar nas instalações elétricas valores de DHT mais próximos de zero quanto possível. − Quando um único harmônico domina o espectro de frequências de um sinal, a DHT torna-se simplesmente V h/V 1.

Para os sistemas elétricos trifásicos, as medições de distorção harmônica devem ser feitas através das tensões fase-neutro para sistemas estrela aterrada e fasefase para as demais configurações [Prodist Módulo 8 2011 ]. A tensão rms verdadeira pode ser calculada a partir da DHT . !!"#

=

!

!

!

,

,

!! !"# + !! !"# + !! !"# + ,

⋯

=

!

!! !"# ,

!

1+

!! !"# ,

!

!! !"# ,

!

+

!! !"# ,

!

!! !"#


,

+

⋯

72

!!"#

!

!

!! !"# 1 + !"#!

=

,

(1.108)

Rearranjando (1.108) de modo a explicitar DHT V , obtém-se DHT V quando conhecida a tensão rms verdadeira e o valor rms da fundamental: 2

⎛ V ⎜⎜ ⎝ V 1,

⎞ ⎟⎟ − 1 ⎠

rms

DHT V

=

rms

(1.109)

De modo análogo tem-se a expressão de cálculo para a distorção harmônica total para a corrente DHT I . 1

DHT I I1 =

2

N

∑

2 h

I

=

h 2 =

⎛ I rms ⎞ 1 ⎜ ⎜ I ⎟⎟ − ⎝ 1,rms ⎠

(1.110)

)

(1.111)

e I

rms

=

2 I 1,rms

(1

+

2

DHT I

Exemplo 5 [Fonte: Wakileh, Power Systems Harmonics, Springer, 2001 ] Para a onda representada na Fig.1.43, calcular o valor rms verdadeiro e a DHT .

Fig.1.43 Forma de onda de corrente de linha de conversor de 6 pulsos [Fonte: Wakileh, Power Systems Harmonics, Springer, 2001]

Solução Como a onda apresenta simetria de meia onda, tem-se que são nulos os coeficientes da série de Fourier a0 =0 e ah=0. O coeficiente bh obtido é dado por:


73

!!

=

!

1 ℎ

!!

ℎ

−1

!!

1 11 13

=

,

,

,

⋯

5 7 17 19

=

,

,

,

,

(1.112)

⋯

!"#$%&

0

Como ah=0, c h = bh, e o valor rms da função é dado por:

!!"#

1 =

2

! ! ! !

2 3! =

1+

2! !

! !!

1

!

+

5

1

!

+

7

1

!

11

+

1

!

+

13

2 ⋯

=

3

!

(1.113) A forma de onda no domínio do tempo é expressa como: !

!

!! !"# ℎ!! !

=

! !!

2 3! !

1

−

13

1

!"# !! !

=

!"#

−

13!! !

−

5

!"#

5!! !

1

−

7

!"#

7!! ! +

1 11

!"#

11!! !

⋯

(1.114) O valor rms poderia ser obtido a partir da definição básica como:

F rms

=

=

1

2π

f2 ( x) dx

∫

2π

0

a2

( ∫

2π

5π 6

π

6

dx +

2

=

=

a ⎛ 2π

⎜ 2π ⎝ 3 2 3

+

11π 6

∫

7 π 6

dx

)

(1.115)

2π ⎞ 3

⎟ ⎠

a = 0,816497 a

A fundamental tem rms igual a:

F 1,rms

2 3a =

6a =

π

2

π

A DHT do sinal é então: Profa Ruth P.S. Leão email: [email protected] hp: www.dee.ufc.br/~rleao

(1.116)

74

DHT F

⎛ F ⎜⎜ ⎝ F 1,

2

rms

=

rms

2 π =

⎞ ⎟⎟ − 1 ⎠

(1.117)

− 1 0,3108 31,08% =

9

=

Exemplo 6 Para o espectro de corrente rms de fase referente a um PC de 200 W apresentado na Tabela 1.2, calcule a distorção harmônica total e o valor rms verdadeiro da corrente de fase. 1 1,201 100 13 0,089 7,4

h I h I h% h I h I h%

3 0,977 81,3 15 0,029 2,4

5 0,620 51,6 17 0,042 3,5

7 0,264 22,0 19 0,044 3,7

9 0,068 5,7 21 0,019 1,6

11 0,114 9,5 23 0,020 1,7

Solução A DHT e rms verdadeiro são assim obtidos: N

1

∑

= DHT I I 1,rms

=

I

rms

=

h =2

1

((0,977 ) 1, 201

+

=

2 I , h rms

( 0,089 )

2

2 +

( 0,62) 2

+

( 0,029 )

2 +

(0,264 ) 2

+

(0,042 )

2

2

+

(0,068 ) 2

+

(0,044 )

(0,114 ) 2

+

(1.118)

2

+

(0,019 )

+

(0,02 )

2

)

1 2

0,9994 = 99,94%

I

1,rms

⋅

(1

+

2

)

DHT I

=

1,201 1 + ( 0,9994 )

=

1,698 [ A]

2

(1.119)

Para sistema trifásico equilibrado a 4 fios, a tensão linha-neutro é usada para o cálculo de DHT V. Quando o sistema é trifásico trifilar é calculado o DHT V entre fases. Em condição de desequilíbrio há um DHT V para cada fase. Em se tratando de sistemas trifásicos desequilibrados surgem DHT do tipo:


75

–

DHT Balanceado – calculado a partir das componentes de sequências positiva

ou negativa do sinal.

–

DHT Residual – calculado para as componentes de sequência zero.

O DHT residual, em geral, é muito mais danoso do que o TDH balanceado porque não existe o efeito de cancelamento pelo defasamento de 120o entre as fases. O DHT V de tensão é em geral menor que 5% - valores acima de 10% são inaceitáveis e causarão problemas para cargas sensíveis, enquanto DHT I de corrente varia de poucos por cento a mais de 100%. A Fig.1.43 mostra o registro de DHT para as tensões de fase tendo o valor de 5% como referência.

Fig.1.43 Registro de Distorção Harmônica Total.

Como visto em (1.99), o nível de distorção harmônica da corrente pode ser medido pela DHT I , porém este índice pode ser mal interpretado. Por exemplo, muitos acionamentos a velocidade variável apresentam alta taxa de DHT I para a corrente de entrada quando tais dispositivos estão operando com cargas leves. Tal fato não é necessariamente preocupante porque a magnitude da corrente harmônica é baixa, embora a distorção relativa seja alta. Para caracterizar as correntes harmônicas de forma consistente, a norma do IEEE 519-1992 define o índice denominado Taxa de Distorção de Demanda – TDD Profa Ruth P.S. Leão email: [email protected] hp: www.dee.ufc.br/~rleao

76

(Total Demand Distortion). Este termo é o mesmo que o DHT I em (1.99), exceto que a distorção é expressa como um percentual da média anual da corrente fundamental da demanda máxima (medida em intervalos de 15 a 30 min), invés de um percentual da magnitude da corrente fundamental, a fim de prover uma base comum para avaliação no tempo. Assim, a TDD mede o conteúdo harmônico na forma de onda da corrente. N

∑ I

2

h

TDD

h 2 =

=

I L

(1.120)

A magnitude da corrente fundamental de demanda máxima I L considerada é a média dos últimos doze meses da demanda máxima mensal. Quando o valor de I L não é conhecido, pode ser estimado como: N

∑ I

2

h

TDD

h

=

=

=

2

⋅

I1

I 1

(1.121)

I L

⎛ Corrente Fundamental da C arg a ⎞ ⎟ ⎝ Corrente No min al do Circuito ⎠

DHT I ⋅ ⎜

Exemplo 7 Uma carga consistindo inteiramente de lâmpadas fluorescentes compactas tem DHT I de corrente de 150%. A corrente fundamental da carga é 100A em um

circuito de corrente nominal de 400A. Determine TDD. Solução Aplicando (1.110) tem-se que: TDD

=

150 ⋅

100 =

400

37,5%


(1.122)

77

A norma européia define a distorção harmônica total como sendo a relação entre a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes harmônicas pelo valor eficaz verdadeiro do sinal (DIN 40110 – Norma alemã). !"#

!!

=

!!

!

!

!

! !!

! !!

!

! !!

! !!

!

!

!

! !!

! !!

⋯

!

!

!

! !!

⋯

(1.123)

!

em que h1, h2 , ..., hn representam o valor eficaz dos harmônicos de ordem 1, 2, ..., n de corrente ou tensão. O indicador DIN pode ser expresso em função de DHT : N

∑h

2

n

2

DIN

n =2

=

(h ) 1

2

=

N

+

∑h

(h )

2

1

(h )

2

n

1

2

⋅ DHT 2 =

N

+

n =2

2

DHT

∑h

2

1 + DHT

2

n

n =2

DIN =

DHT 1 + DHT

2

(1.124)

ou DHT

DIN =

1 − DIN

2

(1.125)

O valor de DIN tende a ser menor que DHT , portanto menos conservativo. DIN e DHT são iguais para sinais de baixa distorção em torno de 20%. A partir de 30%,

pequenas diferenças são encontradas. Por exemplo, para DHT =50% tem-se DIN =45%, ou quando DHT =100%, DIN =70%. O uso de DIN e DHT é ditado por

preferência pessoal. O DIN torna-se unitário para uma onda altamente distorcida, enquanto o DHT torna-se infinito. Alguns profissionais consideram um desses níveis indicativo mais significante do que o outro, nesta circunstância.


78

350 300 ) % ( 250 T H200 D ; ) 150 % ( N I D100

DIN TDH

50 0 0

10

20

30

40

50 60 (%)

70

80

90 100

Fig.1.44 Valores de DIN e DHT em relação ao percentual de distorção.

Qualquer que seja a expressão usada para o cálculo da distorção harmônica total, verifica-se que na ausência de componentes harmônicas a distorção harmônica total é nula. Dessa forma, devem-se buscar nas instalações elétricas valores de DHT , ou DDT , ou DIN mais próximos possíveis de zero.

Em um breve sumário sobre o indicador Distorção Harmônica Total pode-se relacionar: Tabela 1.11 Vantagens e Desvantagens do Índice de Distorção Harmônica Total

Vantagens

Desvantagens

§

É facilmente calculado.

§

É o índice mais comum na área de QEE.

§

Permite uma rápida medida do grau de

§

É

largamente

usado

do

espectro

é

perdida:

amplitude e frequência dos componentes. §

distorção de uma onda. §

Informação Sinais

de

diferentes

frequências

são

tratados igualmente, i.e., mesmo peso. em

normas

recomendações.

e

§

Não mostra o impacto da interferência do sinal.

B. Distorção Harmônica Individual

Para quantificar a distorção harmônica individual de tensão e corrente utiliza-se o chamado Fator Harmônico ou DHI que é a percentagem de determinada Profa Ruth P.S. Leão email: [email protected] hp: www.dee.ufc.br/~rleao

79

componente harmônica em relação à sua componente fundamental, expresso como: DHI

C h =

C 1

(1.126)

⋅100 ( % )

em que C h representa a componente harmônica de tensão ou corrente de ordem h em relação à fundamental. A violação da DHI orienta a uma medida corretiva como a colocação de filtros harmônicos, e pode caracterizar a condição de ressonância. 1.5.5 Potência Eficaz, Aparente, Reativa e de Distorção A série de Fourier para ondas de tensão e corrente distorcidas pode ser expressa como: !

!

! !

=

=

!! + !! !"# !! + !! !"#

!! !

!! !

+ !!

+ !! !"# 2!! ! + !!

+ !! ± !!

+

(1.127)

⋯

+ !! !"# 2!! ! + !! ± !!

+

⋯

(1.128)

A potência instantânea é definida como: p ( t ) = υ ( t ) ⋅ i ( t ) =

(1.129)

⎡⎣V0 + ∑Vh cos ( hω1t + ϕh )⎤⎦ ⋅ ⎡⎣ I 0 + ∑ I h cos ( hω1t + ϕ h ± θh ) ⎤⎦

A potência média, eficaz, real ou útil é calculada como: P

1 =

T

∫ ( t) ⋅ i( t) ⋅ dt υ

T

(1.130)

0

Desenvolvendo (1.121), tem-se: P=

1

⎡ TVI ⎢ ∫ T ⎣ 0

0

dt + 0

T

∫ V I cos ( hω t 0

h

h

1

+

ϕh ) cos ( hω1 t + ϕh ± θ h ) dt⎤

⎦⎥

ou


81

!

=

!!"# ! ,

!

!! +

∙

! ! !!

!

!!"# !

!!"# !

=

,

,

∙

!

!

!

!! + !!"# ! + !!!" ! + ,

⋯

,

(1.135)

A potência reativa por sua vez é obtida por: N

Q

=

∑V

rms , h

⋅ I rms ,h ⋅ senθ h

(1.136)

h 1 =

Semelhantemente à potência útil, somente as componentes harmônicas de tensão e corrente de mesma ordem contribuem para a potência reativa. Se a distorção na tensão é desprezível tem-se: Q = Vrms ,1 ⋅ I rms ,1 ⋅ sen ( ±θ 1 )

(1.137)

Diferentemente do que ocorre em sinais senoidais em que o quadrado da potência aparente é igual à soma dos quadrados da potência útil e potência reativa, em sinais distorcidos não se verifica a igualdade. O termo que complementa a igualdade é definido como potência de distorção. A potência de distorção é definida como o produto de tensão e corrente harmônicas de ordens diferentes. ⎛ N ⎜ D= ∑ ⎜⎜ k 1 ⎝ k ≠m =

⎞⎛ N ⎟⎜ V cos (ωk t+ ϕ k ) ∑ k ⎟⎜ ⎟⎜ mm≠1k ⎠⎝ =

⎞ ⎟ Im cos (ωm t+ ϕm ± θ m ) ⎟⎟ ⎠

(1.138)

A potência de distorção não produz potência útil. Sua unidade é dVA. A componente D representa a contribuição adicional para a potência aparente dada pela interação entre os harmônicos de tensão e corrente de diferentes frequências. S2

=

P2

+

Q 2 + D2


(1.139)

82

D

P

S Q Fig.1.45 Diagrama com as relações entre as diferentes potências.

A Fig.1.46 ilustra um levantamento de potências em diferentes lâmpadas eficientes.

120,00 Pot. Aparente

100,00 a80,00 i c n ê t 60,00 o P 40,00 %

Pot. Distorção Pot. Reativa Pot. Útil

20,00 0,00

m a r W s 1 2 O

m a r W s 5 1 O

a d n W o 5 e 1 N

s p i l i W h 1 1 P

W 1 1 o k i N

W 9 o k i N

n w W o r 9 C

Fig.1.46 Potência aparente, útil, reativa e de distorção de lâmpadas com reator eletrônico.

Os valores obtidos para a lâmpada compacta Osram de 15 W foram: P = 15,6 W (46,29%) Q = 6,47var (19,20%) D = 29,2 dVA (86,65%) S = 33,7 VA (100%) com os quais pode-se atestar a relação S 2=P2 + Q2 + D2. 1.5.6 Fator de Potência O fator de potência mede o fator de utilização de um equipamento ou instalação. É uma medida que indica quão eficientemente uma carga retira potência útil da Profa Ruth P.S. Leão email: [email protected] hp: www.dee.ufc.br/~rleao

83

fonte de alimentação e é definido pela relação entre potência útil e potência aparente. FP

P

(1.140)

=

S

Em uma instalação com componentes lineares o fator de potência é medido simplesmente pelo co-seno do ângulo de defasagem entre as componentes fundamentais da tensão e corrente. Neste caso, o fator de potência é denominado de fator de potência de deslocamento (FPD). FPD

V

P =

I

EF ,1

EF ,1

cosθ 1

=

=

S

V

I EF ,1 EF,1

cosθ 1

(1.141)

Na presença de sinais distorcidos de tensão e corrente, o fator de potência dito verdadeiro é medido por: N

V0 I 0

+

∑V

I EF , h cos θ h

EF, h

(1.142)

h =1

FP =

N

2

V0

+

N

∑V

2

2

⋅

I0

, h EF

+

h =1

∑I

2

, h EF

h =1

Observa-se que a capacidade de utilização de um circuito diminui quando presentes sinais distorcidos de tensão e corrente. Em condições de baixa distorção na tensão o fator de potência verdadeiro tornase: V

I

,1EF

FP =

cosθ 1

,1EF

N

V

⋅ EF ,1

2 I0 +

∑

I =

2

I

,1EF

I EF

cosθ 1

EF h ,

h =1

=

I EF ,1 I EF

(1.143)

⋅ FPD

Observa-se que embora apenas a corrente seja distorcida, o fator de potência verdadeiro é menor do que o fator de potência de deslocamento. Em (1.143) observa-se que uma carga não linear pode apresentar um fator de potência de Profa Ruth P.S. Leão email: [email protected] hp: www.dee.ufc.br/~rleao

84

deslocamento alto, no entanto em decorrência da deformação da onda de corrente, o fator de potência verdadeiro pode ser baixo. O fator de potência verdadeiro apesar de englobar os efeitos do deslocamento da fundamental e dos harmônicos na ocupação total do sistema não permite distinção entre os dois fenômenos, ou seja, a utilização pelas componentes fundamentais e não fundamentais. A vantagem em conhecer separadamente está em sinalizar ao consumidor a causa da taxação de excedente (por reativo da fundamental somente ou em decorrência da presença de harmônicos) permitindo uma ação apropriada para a solução. A Tab.1.12 mostra o fator de potência para diferentes tipos de circuitos. Note que a potência de distorção contribui para a redução do fator de potência. Tabela 1.12 Fator de Potência em circuitos lineares e não lineares. Tipo de Circuito Circuito Linear CC Circuito Linear CA

Fator de Potência 1 P1 =

S1

Unitário FP = FPD Deslocamento FP = FPD

cos θ1

Verdadeiro FP ≤ FPD

P

Circuito Não Linear CA P

2

+

Q

2

+

D

2

Exemplo 8 Para as componentes de frequência de tensão e correntes de fase mostradas na Tab.1.13: Tabela 1.13 Componentes de frequência de tensão e corrente em pu. Frequência (Hz)

Tensão

Corrente

60

1 ∠ 0o

1∠-30o

180

0,2∠20o

0,2∠80o

420

0,05∠10o

0,15∠-20o


85

a) Expressar v (t ) e i (t ) no domínio do tempo. b) Calcular o valor eficaz de tensão e corrente. c) Calcular potência ativa, reativa, aparente e de distorção. d) Calcular o fator de potência de deslocamento de distorção e verdadeiro. e) Determine a distorção harmônica total de tensão e corrente. Solução Os sinais v(t) e i(t) são:

υ

(t )

()

i t

(

( 2.0, 2 cos (1131

=

2 1cos ( 2π 60t ) + 0, 2 cos 2π180t + 20

=

2 cos (377t ) +

=

2 cos 377t − 30

t + 20

(

o

)

o

)

o

)

+

(

(

)) 10 ) o

2.0, 05 cos 2639 t +

+

2.0,2cos 1131t + 80

+

(

0, 05 cos 2π 420 t +10

o

)

(

(1.144)

o

2.0,15cos 2639 t −20

+

o

)

(1.145)

O valor eficaz de tensão e corrente: Vrms rms

=

=

2

1 + 0, 2

2

1 +I0, 2

+

+

0, 05 0,15

2

2

=

=

1, 021[ p.u.]

(1.146)

1, 031[ . .]

pu

A potência média: °

!!

=

!! !! !"#!!

!!

=

!! !! !"#!!

=

02

!!

=

!! !! !"#!!

=

0 05 ∙ 0 15

!!

=

=

∙ !"#30

1

!

,

=

0 866 !" ,

°

∙ !"# −60

,

,

=

°

∙ !"#30

0 020 !" ,

=

(1.147)

0 006 !" ,

0 892 !" ,

A potência reativa: °

!!

=

!! !! !"#!!

!!

=

!! !! !"#!!

=

02

!!

=

!! !! !"#!!

=

0 05 ∙ 0 15

!!

=

=

1

∙ !"#30 !

,

,

=

!0 5 !" ,

°

∙ !"# −60 ,

=

°

∙ !"#30

− !0 035 !" ,

=

!0 004 !" ,

!0 469 !" ,


(1.148)

86

A potência aparente: S

=

V EFI EF

=

(1,021) ⋅ (1,031)

=

1,052 [ pu ]

(1.149)

A potência de distorção: D

2

=

S − P2 − Q2

(1.150)

2

=

2

(1, 052) − ( 0,892) − ( 0, 469)

2 =

0, 302 [ pu ]

O fator de potência de deslocamento e verdadeiro: !"#

!"

=

=

!!

!

°

30

!"#

! !"# ,

=

! !"#

0 866 !"#!$!%&

=

=

,

(1.151) (1.152)

0 848 ,

,

Se desconsiderada a distorção na tensão: !"

=

!!" ! ,

!!"

∙ !"#

!

=

! !"#

∙ 0 866 ,

=

0 84 ,

(1.153)

,

A DHT V e DHT I são assim calculadas: 2

DHT V

DHT I

=

=

V3

2 + V 7

V 1 2 I 3 +

I 1

2 I 7

=

=

0, 2

2

+

2

0, 05

=

1 0, 2

2

+

(1.154) 2

0,15

1

20,62%

=

25%

A. Relação entre Fator de Potência e Distorção Harmônica Total.

Como visto em (1.98), o valor eficaz verdadeiro de um sinal está relacionado com a taxa de distorção harmônica desse sinal. Assim, o fator de potência verdadeiro de um sinal ac pode ser expresso como:


87

!"

!!é!"# ! + !!é!"# ! + !!é!"# ! + ,

=

!!" ! ,

,

∙ !!" !

1 + !"#!

,

⋯

,

!

∙

1 + !"#!

!

(1.155) Com base nas seguintes considerações, o fator de potência verdadeiro ou total em (1.155) torna-se então: a) Uma vez que DHT V é, em geral, menor do que 10%, então da expressão V EF = (V EF )1.

(

1 + DHT V

2

) tem-se que V EF ≈ V EF1.

b) Na maioria dos casos, a contribuição para a potência média de harmônicas acima da fundamental é pequena, assim tem-se P =P média1. FP =

FPD

(1.156)

2

1 + DHT I

A Fig.1.47 ilustra o FP verdadeiro, FPD e DHT I de lâmpadas eficientes comerciais.

210 180

) % ( 150 T H120 D e ) 90 % ( P 60 F

FP Deslocamento FP Verdadeiro DHTi

30 0

s a m m p d i a a W W l r 1 r 5 n W i W s 2 s 1 o 5 h 1 e 1 P 1 O O N

W 1 1 o k i N

W 9 o k i N

W 9 n w o r C

Fig.1.47 Fator de potência de deslocamento, verdadeiro e DHT I de lâmpadas compactas.

O coeficiente que relaciona fator de potência verdadeiro ao fator de potência de deslocamento é denominado de Fator de Potência de Distorção . Profa Ruth P.S. Leão email: [email protected] hp: www.dee.ufc.br/~rleao

88

FD

=

FP

1

=

2 FPD 1 + DHT

=

I EF ,1 I

EF

I

(1.157)

Assim, obtém-se que o fator de potência verdadeiro FP é o produto do fator de potência deslocamento FPD e o Fator de Potência de Distorção FD. FP

=

(1.158)

FD⋅ FPD

Os fatores de potência de deslocamento FPD e de distorção FD assim definidos têm valores unitários (máximos) na ausência de defasagem entre a tensão e corrente da componente fundamental e na ausência de harmônicos, respectivamente, o que equivale à carga de natureza resistiva linear. O fator de potência de deslocamento FPD assume o valor zero quando a defasagem entre tensão e corrente é de ±90o, indicando carga puramente indutiva ou capacitiva. Já o fator de potência de distorção FD tende a zero à medida que o conteúdo harmônico tende a infinito, i.é., carga infinitamente não-linear. Como o fator de potência de deslocamento FPD não pode ser maior do que a unidade, (1.158) mostra que o fator de potência verdadeiro FP em condições não senoidais apresenta limite superior expresso como: 1

FP≤ FD=

(

1 + DHT I

)

(1.159)

2

A Fig.1.48 mostra a natureza do fator de potência de cargas eletrônicas de potência, em especial as cargas monofásicas. o r i e d1,0 a d r 0,9 e V . 0,8 P . F o0,7 m i x á0,6 M

0,5 0

20

40

60

80

100

120

140

DHT da Corrente (%)

Fig.1.48 Máximo Fator de Potência Verdadeiro Profa Ruth P.S. Leão email: [email protected] hp: www.dee.ufc.br/~rleao

89

Cargas eletrônicas monofásicas tendem a ter uma alta distorção de corrente, próxima de 100% (DHT I =1). Portanto, o FP verdadeiro é menor do que 0,707 (veja 1.147), embora o FP de deslocamento seja próximo à unidade. Por outro lado, as cargas eletrônicas trifásicas apresentam distorções de correntes menores do que as cargas eletrônicas monofásicas e assim valores maiores de fator de potência de distorção FD. Quanto maior o número de pulsos, melhor o fator de potência de entrada da estrutura e menor o ripple na corrente de carga. Entretanto, se as cargas trifásicas empregam chaves controladas (controle na condução da corrente), o FP verdadeiro pode ser baixo devido ao baixo FP de deslocamento. A Fig.1.49 mostra a onda da corrente suprida pela fonte ac de tensão E1 para diferentes ângulos de disparo ou de retardo θ. Pode-se observar na Fig. (1.49) que durante o ciclo positivo de E1 a corrente de carga é zero, até ωt = θ1 quando um pulso de pequena duração é aplicado ao gatilho do tiristor. θ=0 é definindo como o instante em que um diodo iniciaria a condução se estivesse no lugar do tiristor. Em ωt = θ2 a condução no tiristor é bloqueada devido à tensão inversa em seus terminais. Ao se variar o ângulo de disparo do tiristor varia-se a tensão média na carga R.

Fig.1.49 Influência do ângulo de disparo no fator de potência de deslocamento.

Para θ≠0 ou θ≠π, o sistema ca alimentará o circuito com energia reativa como ilustra a Fig.1.50. O aumento de θ reduz o fator de potência de deslocamento


90

FPD do retificador controlado, quer monofásico de meia-onda e onda completa, quer trifásico. P, Q

Q P 0

θ π /2

π

Fig.1.50 Suprimento de potência a circuitos com chaves controladas.

Portanto, o fator de potência é afetado em decorrência do controle de fase. Para ângulo de disparo igual a zero θ=0, o fator de potência de deslocamento é unitário, como resultado o retificador não absorve potência reativa da linha. Para θ≠0, o fator de deslocamento não será mais unitário. Isto significa que o retificador absorve potência reativa do sistema ca ao qual está conectado. Isto é válido para conversor operando como retificador ou inversor. Exemplo 9 Com base no relatório de saída de tensão e corrente sobre a carga R1 de uma ponte monofásica, calcule: fator de potência de deslocamento e verdadeiro.

Fig.1.51 Ponte monofásica de meia onda representada no PSpice.

Solução A resposta em tensão e corrente sobre R1 é mostrada na Fig.1.52. Profa Ruth P.S. Leão email: [email protected] hp: www.dee.ufc.br/~rleao

91

Fig.1.52 Tensão V(R1) e corrente I(R1).

Os relatórios de saída para tensão e corrente do circuito são apresentados na Fig.1.53. FOURIER COMPONENTS OF TRANSIENT RESPONSE V($N_0002) DC COMPONENT = 3.129104E+01 HARMONIC FREQUENCY FOURIER NORMALIZED PHASE NO (HZ) COMPONENT COMPONENT (DEG) 1

6.000E+01

4.930E+01

1.000E+00 -8.608E-03

TOTAL HARMONIC DISTORTION = 4.404266E+01 PERCENT

FOURIER COMPONENTS OF TRANSIENT RESPONSE I(R_R1) DC COMPONENT = 6.258209E-02 HARMONIC FREQUENCY FOURIER NORMALIZED PHASE NO (HZ) COMPONENT COMPONENT (DEG) 1

6.000E+01

9.859E-02

1.000E+00

-8.609E-03

TOTAL HARMONIC DISTORTION = 4.404266E+01 PERCENT Fig.1.53 Relatório de saída do circuito da Fig. 1.50.


92

O ângulo de fase da corrente e tensão são iguais, o que caracteriza FP de deslocamento unitário, i.e. FPD=1. O FP verdadeiro é entretanto obtido por: FP =

FPD 2

1 + DHT I

=

1 1 + ( 0,44043 )

2

=

0,92

(1.160)

Fator de potência 0,92 é o que é visto pela fonte. É importante ressaltar que, em geral, não se pode compensar um baixo fator de distorção FD com a adição de capacitores shunt. Nesses casos, a adição de capacitores shunt pode piorar o fator de potência pela possibilidade de ressonâncias com o consequente aumento nos níveis dos harmônicos. Uma solução mais apropriada é adicionar filtros passivos ou ativos para remover os harmônicos produzidos pelas cargas não lineares, ou usar cargas eletrônicas de potência com baixa distorção.

1.5.7 Fator K Historicamente, a potência nominal e o calor que um transformador dissipa em regime de plena carga são calculados com base na hipótese de que o sistema é composto por cargas lineares que, por definição, não produzem harmônicas. As características nominais dos transformadores baseiam-se no aquecimento provocado por correntes senoidais de 60 Hz. No entanto, se pelo transformador circular corrente que contenham harmônicos, ele sofrerá um aquecimento adicional que poderá levá-lo a avaria. Qualquer transformador que transporta corrente harmônica deve ser avaliado para verificar se opera em condições nominais ou em sobrecarga. Existem duas abordagens para a avaliação de transformadores que alimentam cargas não lineares ricas em harmônicos: a) projetar de forma antecipada a capacidade harmônica do transformador; b) desclassificar transformadores convencionais para suportarem uma dada capacidade harmônica.


93

Um transformador convencional destinado a cargas lineares tem fator K igual a um, K=1. Um transformador com fator K > 1 é construído para suportar maiores distorções na corrente do que os transformadores convencionais. Os transformadores de fator K tipicamente encontrados no mercado são da categoria K-4, K-9, K-13, K-20, K-30, K-40 e K-50. Os números do fator K não indica linearidade na tolerância a harmônicos. Por exemplo, um transformador K-4 tem 4 vezes mais tolerância a correntes eddy do que o K-1. Um transformador K-13 tem aproximadamente duas vezes a tolerância do K-4 e K-30 duas vezes a K-13. Em geral o enrolamento de primário é conectado em Delta e o secundário em estrela. Algumas unidades apresentam seis tapes de 2,5% - dois acima do nominal e quatro abaixo do nominal.

Carga

Fonte

Fig.1. 54 Ligação típica de transformadores que alimentam cargas não lineares.

Para definir um transformador apropriado a atender uma carga com harmônicos de corrente o fator K é calculado por: N

K

=

∑h h 1 =

2

⎛ I h ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ I ⎠

2

(1.161)

1

em que h é a ordem do harmônico e I h /I 1 é a distorção harmônica individual de corrente. O fator K em (1.150) é calculado baseado na consideração que a perda por corrente Foucault (ou eddy) no enrolamento do transformador produzida por cada componente harmônica de corrente é proporcional ao quadrado da ordem do harmônico e o quadrado da magnitude da componente harmônica. Assim, fator K é um coeficiente que descreve o calor adicional que ocorre num transformador que alimenta cargas não lineares. Um exemplo de cálculo do fator K é dado na Tab.1.14. Profa Ruth P.S. Leão email: [email protected] hp: www.dee.ufc.br/~rleao

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Tabela.1.14 Cálculo do Fator K.

Valor rms verdadeiro = 73,3 A = 1 pu h Irms (A) Ipu 1 52,45 0,715 3 42,27 0,577 5 24,97 0,341 7 9,44 0,129 9 3,72 0,051 11 5,51 0,075 13 4,77 0,065

I pu 0,511 0,333 0,116 0,016 0,003 0,006 0,004 Σ=1

h 1 9 25 49 81 121 169

I pu h 0,511 3,000 2,900 0,784 0,243 0.726 0,676 Fator K=8,84

O aumento na perda por corrente eddy em transformadores é expressa por: N

Peddy, h

=

(1.162)

P1 ⋅ ∑ h2 Ih2 h 1 =

em que P eddy,h é a perda total por corrente eddy , P 1 é a perda por corrente eddy na frequência fundamental, h é a ordem da harmônica de corrente e I h é o valor rms da harmônica de ordem h. As perdas aumentam com o aumento da frequência e, portanto, componentes harmônicas de maior frequência podem ser mais importantes do que componentes de frequência baixa no aquecimento de transformadores. Em geral, as harmônicas de maior frequência apresentam pequenas amplitudes, que tende a cancelar os efeitos da ordem. Para uma carga com teor harmônico de corrente como dado na Tab.1.14, o transformador deve ser de fator K =2,875. O valor comercial capaz de atender ao calculado é Fator K = 4. Tabela 1.14 Corrente distorcida para cálculo do Fator K. Ordem h

I h /I 1

(I h /I 1)2

h .(I h /I 1)

1

1,0

1,0

1,0

5

0,175

0,031

0,775

7

0,110

0,012

0,588

11

0,045

0,002

0,242

13

0,029

0,001

0,169

17

0,015

0,255x10-3

0,065

19

0,010

0,1x10-3

0,036

1,046

2,875

Σ

2

2


95

As mudanças no projeto do transformador de modo a adequá-lo ao suprimento de cargas não lineares de modo a não sobreaquecer devido às componentes harmônicas de corrente são: §

Projeto do núcleo magnético com menor densidade de fluxo (Wb/m2) que o normal, usando para tanto ferro de grãos maiores, de modo a poder tolerar sobretensões decorrentes da circulação de correntes harmônicas.

§

Emprego de blindagem eletromagnética entre os enrolamentos do primário e secundário de cada bobina, atenuando assim os harmônicos de maior frequência.

§

Aumento de bitola do enrolamento em Δ devido às correntes harmônicas triplas e de um modo geral devido às componentes harmônicas de sequência zero.

§

Aumento da bitola do neutro do secundário, duas vezes a bitola da fase, para conduzir as harmônicas triplas ou de sequência zero (conexão Y aterrada).

§

Condutores do secundário, isolados, enrolados em paralelo com menor bitola e transposto para reduzir o aquecimento devido ao efeito pelicular (skin) e a resistência associada.

O fator K quando usado como fator de desclassificação indica quanto se deve reduzir a potência máxima de saída quando existirem harmônicas. O fator mais comum é o adotado pela CBEMA como definido em (1.163).

K

2

=

=

2 ! I rms

FC

I p

(1.163)

em que FC representa o fator de crista da corrente. Observe que K como definido em (1.163) é igual a 1 para condição senoidal ou sem distorção. A máxima potência fornecida por um transformador que alimenta carga de corrente nãosenoidal é dada por: !!"#

=

!

∙!

!"#

(1.164)

Para utilização de (1.164) deve-se determinar, por medição (em instalações já existentes) ou por cálculo (em caso de projetos), o valor de pico e a corrente Profa Ruth P.S. Leão email: [email protected] hp: www.dee.ufc.br/~rleao

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eficaz verdadeira em cada fase do secundário do transformador, calcular as médias desses valores e assim obter o valor de K. Assim, para o exemplo apresentado na Tab. 1.15 tem-se que: Tabela 1.15 Exemplo de Desclassificação de Transformador

Fase

Corrente rms Verdadeira de Fase 70 A

A

Valor de Pico de Corrente de Fase 178 A

B

76 A

181 A

C

73 A

180 A

O valor médio da corrente rms: 70 + 76 + 73 !!"# !é!"#

=

3

,

=

73 !

=

180 !

O valor médio da corrente de pico: 178 + 181 + 180 !! !é!"#

=

3

,

O fator K é então:

!

2 =

∙ 73

180

=

0 57 ,

Assim, o transformador deve ser desclassificado para 57% de seu valor nominal para que não haja sobreaquecimento. Em regra, um transformador cuja DHT I de corrente é superior a 5% em plena carga é um forte candidato para redução da capacidade normal (de-rating ). A norma ANSI/IEEE Standard C 57.110-1986 recomenda práticas para adequar a capacidade de transformadores quando alimentam cargas com correntes não senoidais. Segundo a norma, a corrente máxima eficaz que suporta um transformador trifásico com conexão Δ/Y é calculada por: I max

=

I nom ⋅

1,15 1 + 0,15 K


(1.165)

97

em que K é normalizado pela corrente rms do transformador, i.e.: ⎛ I h ⎞ h ⎜ ∑ ⎟ I ⎠ h ⎝ K = N ⎛ I h ⎞ ∑ ⎜ ⎟ h ⎝ I ⎠ N

2

N

2

=1

∑ ( hI ) h =1

=

2

∑

=

2

I rms

2

I h

(1.166)

N

I1

)

2

h =1

( I

h =1

h =1

1

h

rms

I 1

)

2

h

=

N

N

∑ ( hI

∑ ( hI )

h

1

=1

N

2

2

N

∑ ( hI =

h

I1

)

2

∑ (hI

h =1

=

2

1+

∑(

I h I 1

)

2

h

)

2

I1

h =1

2

1 + DHT I

h =1

A relação I max/I nom em (1.152) define o fator de desclassificação segundo a norma americana ANSI. Para os valores de corrente apresentados na Tabela 1.14, o fator K segundo (1.166) é igual a: K

2,875 =

1, 046

=

(1.167)

2,749

O que resulta para I max: I max

=

I⋅ nom

1,15 1 + 0,15 ⋅ 2,72

=

0,904 ⋅

I

nom

(1.168)

o que indica que o transformador deverá alimentar 90,4% de sua carga nominal.


I Fundamentos Sobre Harmonicos

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