Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasman IDEAL
1
Dalam ring, subring-subring tertentu mempunyai peranan mirip denga dengan n subg subgru rup p norma normall dala dalam m grup. grup. Tipe subri subring ng seper seperti ti ini ini disebut ideal. Definisi: Jika R ring dan I terhadap penjumlahan merupakan subgrup dari R. I disebut ideal dari R jika dan hanya jika untuk setiap a∈I dan setiap r ∈R berlaku a.r ∈I dan r.a∈I. Catatan: {0} dan R sendiri merupakan ideal-ideal dalam R, dan disebut ideal tak sejati. Ideal-ideal lainnya (jika ada) disebut ideal sejati. Ring yang tidak mempunyai ideal sejati disebut ring sederhana. sederhana. Contoh-contoh: Himpunan an Z=bila Z=bilangan ngan bulat bulat dengan dengan operas operasii penjuml penjumlahan ahan • Himpun dan dan perk perkal alia ian n meru merupa paka kan n ring ring.. P={k P={kx x / x∈Z, k bila bilang ngan an bulat}. P adalah ideal dari Z (periksalah). • Ambil ring matriks matriks riil, kemudian kemudian pandang himpunanhimpunan z 0 x y ; x , y ∈ R & J= ; z , u ∈ R . I himpunan matriks I= 0 0 u 0 adalah ideal kanan dan J adalah ideal kiri (periksalah). • Ambil 2 ring, R1 dan R2 (sedikitnya satu tidak komutatif). Bangun Bangun R=R R=R1⊕R2, yakni R={(x,y) / x ∈R1, y∈R2}, denga dengan n operasi penjumlahan dan perkalian sebagai berikut. (x,y) + (z,u) = (x+z,y+u) dan (x,y).(z,u)=(xz, yu). Ring ini tida tidak k komu komuta tati tif. f. Pand Pandan ang g himp himpun unan an S={( S={(x, x,0) 0) / x∈R1}. S merupakan ideal (kiri dan kanan sekaligus). Periksalah. Teorema Bila I1 dan I2 masing-masing adalah ideal dalam ring R, maka irisan dan jumlah keduanya juga ideal dalam R juga. Ideal Utama Pertemuan 22
Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasman
2
Definisi: Jika R ring komutatif dengan unsur kesatuan dan a∈R, maka ideal {ax / x∈R} disebut ideal utama yang dibentuk oleh a dan dinotasikan dengan (a). Ring Ideal Utama Definisi: Suatu ring komutatif dengan unsur kesatuan, di mana setiap idealnya adalah ideal utama, disebut ring ideal utama. Ideal Prima Definisi: Misalkan R ring komutatif. Suatu ideal P dari ring R dikatakan ideal prima dari R jika a.b∈P (∀a,b∈R) mengakibatkan a∈P atau b∈P. Ideal Maksimal Definisi: Misalkan R ring komutatif dan I suatu ideal sejati dalam R. Maka I disebut ideal maksimal dalam R, jika dan hanya jika ideal I tidak termuat dalam ideal lainnya, kecuali I sendiri dan R. Contoh-contoh: • (Z,+,.) adalah ring komutatif dan I adalah himpunan bilangan bulat kelipatan 12. Maka I adalah ideal utama yang dihasilkan oleh 12 dalam ring R, dan dinotasikan (12). I dapat pula dihasilkan oleh (-12) dan tidak dapat dihasilkan oleh elemen lainnya dalam Z. Elemen 12 disebut generator dari I, dan juga merupakan elemen dari ideal-ideal utama D=(6), E=(4), F=(3), G=(2) dan Z sendiri. Jadi I ⊂ D, I⊂ E, I⊂ F, I⊂ G, dan I⊂ Z. I merupakan irisan dari semua ideal utama dari Z yang memuat 12. • (Z,+,.) adalah ring komutatif. K=(11) = {11x / x ∈Z} adalah ideal prima dalam Z (periksalah). • (Z,+,.) adalah ring komutatif. T=(6) = {6x / x ∈Z} bukan ideal prima dalam Z, sebab ada 12∈T dan 12=3.4, padahal 3∉T dan 4∉T. Pertemuan 22
•
•
3 Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasman (Z,+,.) adalah ring komutatif. Ideal P={5x / x∈Z} adalah ideal prima, sebab jika a.b∈P, maka 5ab dan karenanya 5a atau 5b (ingat bahwa 5 adalah prima). (Z,+,.) adalah ring komutatif. K=(11) adalah ideal maksimal dalam Z, sebab K tidak termuat dalam ideal lainnya dalam ring Z, kecuali K sendiri dan B. T=(6) bukan ideal maksimal, sebab T termuat dalam ideal (2)={2x / x∈Z} dan juga termuat dalam ideal (3)={3x / x∈Z} dalam Z.
Teorema: Misalkan Z ring bilangan bulat dan I suatu ideal dalam Z, maka I suatu ideal maksimal dari Z, jika dan hanya jika ideal I dihasilkan oleh suatu bilangan prima. Ring Kuosien (Ring Faktor/Ring Kelas Residu) Teorema: Jika S suatu ideal dalam ring R, maka R/S = {a+S / a ∈R} adalah suatu ring dengan operasi-operasi penjumlahan dan perkalian yang didefinisikan sebagai berikut. • (a+S) + (b+S) = (a+b) + S, ∀a,b∈R • (a+S).(b+S) = (a.b) + S, ∀a,b∈R. R/S disebut Ring Kuosien atau Ring Faktor atau Ring Kelas Residu. Contoh-contoh: • (Z,+,.) adalah ring komutatif. S={5x / x∈Z} adalah ideal dalam ring Z. Maka ring faktor Z/S = {S, 1+S, 2+S, 3+S, 4+S} adalah ring komutatif juga. Apakah ada elemen kesatuan perkalian?
•
(Z,+,.) adalah ring komutatif tanpa pembagi nol. S={6x / x∈Z}. Maka Z/S = {S, 1+S, 2+S, 3+S, 4+S, 5+S}. Z/S adalah Pertemuan 22
4 Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasman ring memuat pembagi nol. T={3x / x∈Z}. Z/T adalah ring tanpa pembagi nol.
Integral Domain (Daerah Integral) Definisi: Suatu ring komutatif dengan elemen kesatuan yang tidak memiliki pembagi nol disebut daerah integral. Contoh-contoh: • (Z,+,.), (Q,+,.), (R,+,.), (C,+,.) merupakan daerah-daerah integral (C=himpunan bilangan kompleks). • D={a+b√17 / a,b∈Z} dengan operasi penjumlahan dan perkalian merupakan daerah integral. • M={0,1,2,3,4} dengan penjumlahan dan perkalian modulo lima adalah daerah integral. • N={0,1,2,3,4,5} dengan penjumlahan dan perkalian modulo enam bukan daerah integral. Teorema: Dalam daerah integral berlaku hukum pencoretan dalam penjumlahan, karena setiap elemen dalam daerah integral mempunyai invers aditif. Buktikan. Bagaimana dengan hukum pencoretan dalam perkalian? Teorema: Jika D daerah integral dan I ideal dalam D, maka D/I adalah daerah integral jika dan hanya jika I suatu ideal prima dalam D. Buktikan. Beberapa Definisi: • Misalkan D daerah integral dan c∈D. Elemen c disebut unit dari D (jangan dikacaukan dengan elemen kesatuan multiplikatif), jika c mempunyai invers multiplikatif yang juga merupakan elemen D. Pertemuan 22
•
•
•
5 Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasman Misalkan c adalah unit dari daerah integral D dan a,b∈D sedemikian sehingga b=c.a, maka b disebut kawan (associate) dari a. Misalkan D daerah integral, a,b,c∈D sedemikian sehingga b=a.c, maka a disebut pembagi dari b. Jika b≠ 0 dan b mempunyai pembagi kawan dari b atau invers multiplikatif nya, maka kawan atau invers multiplikatif itu disebut pembagi-pembagi tak sejati dari b. Pembagipembagi b lainnya (jika ada) disebut pembagi sejati dari b. Jika a,b∈D, maka a adalah pembagi sejati dari b jika dan hanya jika ada c∈D, sedemikian sehingga b=a.c, dengan a dan c bukan kawan-kawan b, dan c bukan unit dari D.
Contoh-contoh: • Ring bilangan bulat dengan operasi penjumlahan dan perkalian merupakan daerah integral. Unit-unitnya hanya 1 dan -1. • D={x+y√17 / x,y bilangan-bilangan bulat} merupakan daerah integral. Unit-unit D adalah 1, -1, 4+√17, dan -4+√17. • (Z,+,.) adalah daerah integral. Unit-unitnya 1 dan -1. Kawankawan dari a∈Z adalah a dan -a. Pembagi-pembagi 12 adalah 2,3,4,6. • (Q,+,.) adalah daerah integral. Elemen 12 tidak mempunyai pembagi, sebab setiap bilangan rasional (kecuali nol) adalah unit. Subdaerah Integral (Subintegral Domain) Definisi: Misalkan D daerah integral. S subset D. Maka S adalah subdaerah integral dari D, jika S merupakan daerah integral terhadap operasi-operasi yang didefinisikan pada D.
Catatan: Elemen 0 dan elemen kesatuan multiplikatif dalam D dan S adalah sama. Mengapa? Pertemuan 22
Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasman
6
Contoh-contoh: • (Z,+,.) merupakan daerah integral. S={n.1 / n bilangan bulat} merupakan subdaerah integral dari D (periksalah). • (Z,+,.) merupakan daerah integral. S=himpunan bilangan bulat genap dengan elemen nol bukan subdaerah integral. Teorema: Karakteristik daerah integral adalah nol atau bilangan prima. Buktikanlah.
Pertemuan 22
