RPP kurikulum 2013 untuk kelas XII, Matematika Peminatan Materi identitas trigonometri 2. masih sangat banyak kekurangannya, namun semoga bermanfaat
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Deskripsi lengkap
Öğrencilerin temel ihtiyaçlarını göz önüne alarak oluşturduğumuz yayınlarımız, boyutları gibi içerik olarak da son derece ferah olarak hazırlandı. Trigonometri kitabı LYS sınavındaki konular hakkın...
1 1 (α + β ) sin (α − β ) 2 2 = 1 1 2sin (α + β ) cos cos (α − β ) 2 2 1 1 = cot cot (α + β ) tan (α − β ) 2 2 1 tan (α − β ) 2 = (qed) 1 tan tan (α + β ) 2 2cos
3. Buktikanlah bahwa: sinx x = cot cot 1 - cosx 2
1
identitas.trigonometri
a.
sinx x = tan 1 + cosx 2 =
=
=
b.
sin 2 x
=
(1 + cos x) 2 1 − cos 2 x
=
(1 + cos x) 2 1 − cos x
=
1 + cos x x = tan tan (qed) 2
sin 2 x (1 − cos x ) 2 1 − cos 2 x (1 − cos x ) 2 1 + cos x
1 − cos x x (qed) = cot 2
5. Buktikanlah identitas trigonometri berikut: a.
1 + sinx - cosx
= tan
x
1 + sinx + cosx 2 1 1 1 1 + 2 sin x cos x - (1 - 2 sin 2 x) 2 2 2 = 1 1 1 1 + 2 sin x cos x + 2 cos 2 x -1 2 2 2 1 1 1 1 + 2sin x cos x - 1 + 2 sin sin 2 x 2 2 2 = 1 1 1 2 sin x cos x + 2 cos 2 x 2 2 2 1 1 1 2 sin x (cos x + sin x) 2 2 2 = 1 1 1 2 cos x (sin x + cos x) 2 2 2 x tan (qed) = tan 2
b.
sin3x sinx
-
cos3x cosx
=2
2
identitas.trigonometri
=
=
=
=
sin3x cosx - sinx cos3x sinxcosx sin( 3 x − x) sin sin x cos x sin sin 2 x sin sin x cos x 2 sin x cos cos x
sin sin x cos x = 2 (qed)
7. Buktikan juga bahwa: cos a. cos(x + y).cos(x - y) = cos = =
1 2 1 2
2
x - sin 2 y
(sin 2 x + sin 2 y ) ( 2 cos 2 x −1 +1 − 2 sin 2 y )
= cos 2 x - sin 2 y (qed)
b.
sin(x + y).cos(x - y) = sinx.cosx + siny.cosy
=
1 2 1
(sin 2 x + sin 2 y )
( 2 sin x cos x + 2 sin y cos y ) 2 = sin x cos x + sin y cos y ( qed ) =
c.
cos (x + y).sin (x - y) = sinx cosx - sin y cos y
=
1 2 1
(sin 2 x − sin 2 y )
( 2 sin x cos x − 2 sin y cos y ) 2 = sin x cos x − sin sin y cos y ( qed ) =
9. Buktikanlah: 1 α 2 cosα = . 2 1 1 + tan α 2 1 − tan 2
cos cos α + sin α 1 + sin2 α = cos cos α - sin α cos2 α
4
identitas.trigonometri
=
1 - tanα
1 + tan α 1 - tan α sinα 1+ cos α = sinα 1cos α cos α + sin α cos α = cos α − sin α cos α cos α + sin α = (qed) cos α − sin α cos α + sin α cos α + sin α = . cos α − sin α cos α + sin α (cos α + sin α ) 2 = cos cos 2α − sin 2 α 1 + 2 sin α cosα = cos cos 2α 1 + sin2 α = (qed) cos cos 2α =
1 + tanα sin α 1cos cos α = sin α 1+ cosα cosα - sinα cosα = cosα + sinα cosα cosα - sinα = (qed) cosα + sin α cosα - sinα cosα - sinα = . cosα + sin α cos cos α − sin α 2 (cos α - sin α ) = cos 2 α − sin 2 α 1 - 2sin α cos cos α = cos 2α 1 - sin2 α = (qed) cos cos 2α
13.
Jika α + β + γ = 0°, maka buktikanla sin α + sin β + sin γ = -4.sin
(α + β ) = 90 − 1 γ 2 2 (α + β ) 1 sin cos γ = cos 2 2 (α + β ) cos = sin 1 γ 2 2
5
identitas.trigonometri
a.
sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ = 2 + 2 cos cos α cos cos β cos cos γ =
=
=
=
=
=
=
=
=
1 − cos 2α 1 − cos 2β 1 − cos 2γ 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
+
2
+
2
(1 − cos 2α + 1 − cos 2β + 1 − cos 2γ ) {3 − (cos 2α + cos 2 β + cos 2γ )} {3 − (2 cos(α + β ) cos(α − β ) + 2 cos 2 γ − 1)} [3 − {( −2 cos γ cos(α − β ) + 2 cos 2 γ ) − 1}] [3 − {( −2 cos γ (cos(α − β ) + cos(α + β ))) − 1}] [3 − {( −2 cos γ (2 cos α cos β )) − 1}] {3 − (−4 cos γ cos α cos β − 1)} {3 + 4 cos γ cos α cos β + 1)
(4 + 4 cos γ cos α cos β ) 2 = 2 + 2 cos α cos β cos γ ( qed ) =
b.
sin 2 α + sin 2 β − sin 2 γ = 2 sin α sin β cos cos γ
6
identitas.trigonometri
=
=
=
=
=
=
=
=
1 − cos 2α 1 − cos 2 β 1 − cos 2γ +
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
−
2
2
(1 − cos 2α − cos 2β − cos 2γ ) {1 − (2 cos(α + β ) cos(α − β ) − 2 cos 2 γ + 1)} [1 − {(−2 cos γ cos(α − β ) − 2 cos 2 γ ) + 1}] [1 − {(−2 cos γ (cos(α − β ) − cos(α + β ))) + 1}] [1 − {(−2 cos γ ( 2 sin α sin β )) + 1}] {1 − (−4 cos γ sin α sin β + 1)} {1 + 4 cos γ sin α sin β − 1)
( 4 cos γ sin α sin β ) 2 = 2 sin α sin β cos γ ( qed ) =
c.
cot cot α + cot β + cot cot γ = =
=
=
=
cos α sin sin α
+
cos β sin sin β
+
1 + cos cos α cos cos β cos γ sin α sin β sin γ
cos γ sin sin γ
cos α sin sin β + sin sin α cos β sin sin α sin β sin( α + β ) sin α sin sin β
+
+
cos γ sin sin γ
cos cos γ sin sin γ
sin 2 γ + sin sin α sin β cos γ sin sin α sin β sin sin γ 2
γ + sin α sin β cos γ sin sin α sin sin β sin sin γ 1 + cos γ (− cos cos γ + sin sin α sin sin β ) = sin sin α sin sin β sin sin γ 1 + cos γ (cos( α + β ) + sin sin α sin β = sin sin α sin β sin sin γ 1 + cos γ (cos α cos cos β − sin sin α sin sin β + sin sin α sin sin β ) = sin α sin β sin γ 1 + cos α cos β cos γ = (qed ) sin sin α sin sin β sin sin γ =
1 − tan tan α tan tan β tan tan α + tan tan β .( ) tan tan α + tan tan β tan tan α tan tan β 1 − tan tan α tan tan β tan tan α tan tan β
−
1 − tan tan α tan β tan tan α tan tan β
1 −1 + tan tan α tan tan β tan tan α tan tan β tan tan α tan tan β =1( qed ) tan tan α tan tan β
cot
1 2
α + cot
cos
= sin
1 2 1 2 1
α
1 2
β + cot
cos
+ α
1
2 1
2
β
γ = cot
cos
+ β
sin
β + cos
1
sin
2
1 2 1 2
1 2
α . cot
1 2
β . cot
1 2
γ
γ γ
2
β sin
1
α
1
γ 2 2 2 2 = + 1 1 1 sin α sin β sin γ 2 2 2 1 1 sin (α + β ) cos γ 2 2 = + 1 1 1 sin α sin β sin γ 2 2 2 1 1 cos γ cos γ 2 2 = + 1 1 1 sin α sin β sin γ 2 2 2 1 1 1 1 1 sin γ cos γ + sin α sin β cos γ 2 2 2 2 = 2 1 1 1 sin α sin β sin γ 2 2 2 cos
α sin
1
1
cos
8
identitas.trigonometri
cos
=
1 2
sin cos
=
1 2
1
γ (sin 1 2
2
γ + sin
α sin 1
γ (sin
1 2
1 2
α sin
β sin
1 2
β )
1
1 2 1
α sin
1 2
β )
β sin γ 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 cos γ (cos α cos β − sin α sin β + sin α sin β ) 2 2 2 2 2 2 2 = 1 1 1 sin α sin β sin γ 2 2 2 1 1 1 cos γ cos α cos β 2 2 2 = 1 1 1 sin α sin β sin γ 2 2 2 1 1 1 = cot α cot β cot γ (qed ) 2 2 2 sin
f.
α sin
2
γ
(α + β ) + sin
2 1
1
cot β + cot cot γ cot γ + cot cot α cot cot β + + cot α + cot =1 tan β + tan γ tan γ + tan α tan α + tan β tan tan β + tan tan γ =
=
=
tan tan β tan tan γ tan tan β + tan tan γ 1 tan tan β tan tan γ
+
tan tan γ tan tan α tan tan γ + tan tan α 1
tan tan γ tan tan α
+
+
tan tan α tan tan β tan tan α + tan tan β 1
tan tan α tan tan β
tan tan α tan tan β tan tan γ cos α
+
sin β cos β
+
sin γ cos γ
tan tan α tan tan β tan tan γ sin α cos β + cos cos α sin β
=
tan tan α + tan tan β
tan tan α + tan tan β + tan tan γ sin α
=
+
tan tan γ + tan tan α
cos α cos β
+
sin γ cos γ
tan tan α tan tan β tan tan γ
9
identitas.trigonometri cos cos γ (sin α cos cos β + cos cos α sin β ) + sin sin γ cos cos α cos β cos cos α cos β cos γ
=
tan tan α tan tan β tan tan γ cos cos γ (sin α cos cos β + cos cos α sin β ) + sin sin γ cos cos α cos β cos cos α cos β cos γ sin sin α sin sin β sin γ
=
cos cos α cos β cos γ =
=
=
=
=
cos γ (sin α cos cos β + cos cos α sin sin β ) + sin γ cos cos α cos cos β sin α sin β sin γ cos γ . sin( α + β ) + sin γ cos α cos β sin α sin β sin γ cos γ sin γ + sin sin γ cos α cos β sin α sin sin β sin γ sin γ (cos γ + cos α cos cos β ) sin α sin β sin γ cos γ + cos α cos β sin sin α sin sin β
α cos β sin sin α sin sin β cos α cos β − cos( α + β ) + cos = sin sin α sin sin β − cos α cos cos β + sin α sin β + cos α cos cos β = sin sin α sin β sin α sin β = = 1 ( qed ) sin α sin β =
g.
cos − cos( α + β ) + cos
sin 3 α + sin 3 β + sin 3 γ = 3 cos
1 2
α . cos
1 2
β . cos
1
1 1 1 γ + cos cos 1 α . cos 1 β . cos 1 γ 2 2 2 2
10
identitas.trigonometri
=
sin 3α − 3 sin α
−4
=− =−
1 4 1 4 1
sin 3α +
3 4
+
sin 3β − 3 sin β
−4
sin α −
1 4
sin 3β +
(sin 3α + sin 3β + sin 3γ ) + ( 2 sin
cos
3α − 3β
4
3 4
sin 3γ − 3 sin γ
−4
sin β −
1 4
sin 3γ +
3 4
sin γ
(sin α + sin β + sin γ )
α + β α − β + sin( α + β )) cos 4 2 2 4 2 2 3(α + β ) 3(α + β ) 1 3α + 3β 3α − 3β 3 α + β = − (2 sin + 2 sin cos cos ) + ( 2 sin 4 2 2 2 2 4 2 (α + β ) (α + β ) α − β + 2 sin cos cos ) 2 2 2 1 3 3α − 3β 3α + 3β 3 α + β α − β α + β = − {2 sin (α + β )(cos + cos + cos )} + {2 sin (cos )} 4 2 2 2 4 2 2 2 1 3 3 3 3 1 1 1 = − (2 − cos γ .2 cos α . cos β ) + (2 cos γ .2 cos α cos β ) 4 2 2 2 4 2 2 2 3 3 3 1 1 1 = cos α . cos β cos γ + 3 cos α cos β cos γ (qed qed ) 2 2 2 2 2 2
= 2 R sin α + 2 R sin β 2 R sin α − 2 R sin β = sin α + sin β sin α − sin β =
=
1 1 (α + β ) cos cos (α + β ) 2 2 1 1 2 cos (α + β ) sin (α + β ) 2 2 1 tan (α + β ) 2 ( qed qed ) 1 tan (α − β ) 2 2 sin
19. Buktikanlah bahwa dalam setiap ∆ ABC berlaku persamaan: a. a cos( β −γ ) = b cos β + c cos γ = 2 R sin = 2 R sin(
α cos( β − γ ) β + γ ) cos( β − γ )
1 (sin 2 β + sin 2γ ) 2 = R sin 2 β + R sin 2γ = 2 R.
= R.2 sin = b cos
b.
a +b c
β cos β + R.2 sin γ cos γ
β + c cos γ ( qed )
cos
=
1 2
(α − β )
sin
1 2
γ
12
identitas.trigonometri
= 2 R sin α + 2 R sin β 2 R sin γ
= sin α + sin sin β sin sin γ
= =
=
c.
2 sin
1 1 γ cos cos (α − β ) 2 2 1 1 2 sin γ cos cos γ 2 2 1 cos cos (α − β ) 2 qed ) ( qed 1 sin γ 2 2 cos cos
a −b c
=
1 1 (α + β ) cos cos (α − β ) 2 2 sin γ
sin
=
1 2
(α − β ) 1
γ 2 2 R sin sin α − 2 R sin β 2 R sin γ cos
= sin α − sin β sin γ
= =
=
2 cos cos
1 1 (α + β ) sin (α − β ) 2 2 sin sin γ
1 1 γ sin (α − β ) 2 2 1 1 2 sin γ cos cos γ 2 2 1 sin (α − β ) 2 qed ) ( qed 1 cos cos γ 2 2 sin sin
21. Buktikan juga bahwa identitas berikut berlaku untuk setiap ∆ ABC: a. a sin( β −γ ) + b sin( γ −α ) + c sin( α − β ) = 0
13
identitas.trigonometri = 2 R sin
α sin( β −γ ) + 2 R sin sin β sin( γ −α ) + 2 R sin sin γ sin( α − β )
= 2 R (sin
sin γ sin( α − β )) α sin( β −γ ) + sin β sin( γ −α ) +sin
= 2 R (sin
α (sin β cos γ − cos β sin γ ) +sin β (sin γ cos α −cos γ sin α ) +
sin γ (sin α cos β −cos α sin β )) = 2 R (sin −sin sin
α sin sin β cos γ −sin sin α cos β sin γ + sin β sin sin γ cos α −sin β cos γ sin sin α +sin γ sin sin α cos β
γ cos α sin β ))
= 2 R.0 =0
b.
(qed )
a cos cos α − b cos cos β
cos = cos
cos α − a cos cos β b cos
γ
cos α − 2 R sin β cos cos β cos γ = 2 R sin α cos = cos 2 R sin β cos cos α − 2 R sin α cos cos β sin α cos cos α − sin β cos cos β = sin sin sin β cos cos α − sin α cos cos β
=
1 1 sin 2α − sin 2 β 2 2 − (sin α cos cos β − sin β cos cos α )
=
1 (sin 2α − sin 2 β ) 2 − sin( α − β )
=
1 .2 cos( α + β ) sin( α − β ) 2 − sin( α − β )
=
1 .2 cos( α + β ) sin( α − β ) 2 − sin( α − β )
= − cos( α + β ) = cos qed ) cos γ ( qed
23. Buktikan bahwa ∆ ABC sama kaki jika: sin β cos γ a. sin α = 2 sin sin( β + γ )
= 2 sin
β cos γ
sin β cos γ + cos β sin γ = 2 sin β cos γ sin β cos γ − cos β sin γ = 0 sin( β − γ )
= sin
0
β − γ = 0 β = γ (∆ sama
b.
kaki )
a cos β = b cos α
14
identitas.trigonometri 2 R sin α cos β = 2 R sin β cos α sin sin α cos β = sin β cos α sin sin α cos β − sin β cos α = 0 sin( α − β )
= sin
0
α − β = 0 α = β ( ∆ sama
c.
kaki )
a cos cos 2 β + b sin α sin sin β = c cos cos α + a cos γ 2 R sin sin α cos sin sin α cos sin sin α (cos
2 2
2
sin β sin α sin β = 2 R sin γ cos cos α + 2 R sin sin α cos γ β + 2 R sin
sin α sin 2 β = sin γ cos α + sin α cos γ β + sin sin β + sin
2
β ) = sin γ cos α + sin α cos γ
sin sin α = sin γ cos α + sin α cos γ sin sin α = sin( γ + α ) sin sin α = sin β
α = β ( ∆ sama kaki )
d.
sin α cos cos 2 β = sin β cos cos 2 α sin α cos
2
β = sin β cos 2 α
sin α (1 −sin 2 β )
sin = sin
β (1 −sin 2 α )
sin α −sin α sin 2 β = sin β −sin 2 α sin β sin α −sin β = sin α sin 2 β −sin 2 α sin β sin α −sin β = sin α sin β (sin β −sin α ) sin α sin β (sin β −sin α ) + (sin β −sin α ) (sin β −sin α )(sin α sin β +1)
1.
e.
=0
2. sin α sin β +1 = 0
sin β sin α − =0 sin β =sin α
β =α ( ∆sam a
=0
kaki
sin α sin β = −1
)
c sin α sin β = a sin 2 β cos
1 2
γ
15
identitas.trigonometri
2 R sin γ sin α sin β = 2 R sin α sin 2 β cos cos sin γ sin β = sin 2 β cos cos 2 sin
1 γ 2
1 γ 2
1 1 1 cos γ sin β = 2 sin β cos cos β cos cos γ γ cos 2 2 2
1 γ = cos β 2 1 sin (α + β ) = cos cos β 2 α + β = β 2 α + β = 2 β sin
α = β ( ∆ sama kaki )
25.
cos cos α + sin α cos cos α − sin α = 2 tan2 α cos cos α − sin α cos cos α + sin α (cos α + sinα ) 2 − (cos α − sin α ) 2
= = = = =
cos 2α − sin α cos 2 α + sin α + sin 2α − (cos 2 α + sin 2 α − sin 2α ) cos 2α 1 + sin 2α − (1 − sin 2α ) cos 2α 1 + sin 2α − 1 + sin 2α ) cos 2α 2 sin 2α cos 2α
=2
27.
tan2α (qed )
tan tan α + tan tan (α +120 ) + tan tan (α + 240 )
tan = 3 tan
3α
16
identitas.trigonometri
= tan α +
3 tan α
)
1−
(
3 tan α
)
tan α + tan α + tan α + 3 tan α + 3 tan α − 3 tan 3 α 1 − 3 tan 2 α 9 tan α − 3 tan 3 α 1 − 3 tan 2 α
3( 3 tan α − tan 3 α ) 1 − 3 tan 2 α
= 3 tan 3α
29.
(
tan α + 3
1 − 3 tan 2 α
=
=
1+
+
tan α − 3 tan 2 α + tan α + 3 + 3 tan 2 α + 3 tan α + tan α − 3 − 3 tan 2 α + 3 tan α
=
=
tan α − 3
(qed )
1 − cos 2α + cos 4α − cos 6α = 4 sin α cos 2α sin 3α 2 =1 −1 + 2 sin α − 2 sin 5α sin ( −α ) = 2 sin
2
= 2 sin
α ( sin 5α +sin α )
= 2 sin
α ( 2 sin 3α cos 2α )
= 4 sin
α cos 2α sin 3α ( qed )
31.
cos sin
π
7
=
2π
cos
7
sin
cos
α + 2 sin 5α sin α
2π
2π 7
7 sin
=
sin 3π 7
2π 7
cos
7 sin
+ cos
3π
3π
7 sin
7 3π
= sin
π
7
π
7
sin
3π 7
π 7
π 2π sin sin 7 7 7 1 5π 1 + sin π + 1 sin 4π − 1 sin 2π sin 2 7 2 7 2 7 2 7 π 2π 3π sin sin sin 7 7 7 1 2π + 1 sin π + 1 sin π − 3π − 1 sin 2π sin π − 2 7 7 2 7 2 7 2 π 2π 3π sin sin sin 7 7 7 sin
=
+
3π
17
identitas.trigonometri 1
2π 7
+ 1 sin π + 1 sin 3π − 1 sin 2π
2 7 2 2π 3π π sin sin sin 7 7 7 π 1 2π 2 sin cos 7 7 = 2 π 2π 3π sin sin sin 7 7 7
=
2
sin
33.
7
π 7
cos
=
2
7
qed ) (qed
π 3π sin sin 7 7
2 cos 6α = 64 cos 6 α − 96 cos 4 α + 36 cos 2 α − 2 = 2 cos 2( 3α )
= 2.( 2 cos 2 3α −1) 2 = 2{2.( 4 cos 3 α − 3 cos α ) −1} = 2.{2.(16 cos 6 α − 24 cos 4 α + 9 cos 2 α ) −1} = 2.(32 cos 6 α − 48 cos 4 α + 18 cos 2 α −1) = 64 cos 6 α − 96 cos 4 α + 36 cos 2 α − 2 ( qed qed )
sin α + sin 2α
α
= tan 35. 2 + 3 cos cos α + cos 2α 2
= = =
sin α + 2 sin α cos cos α
2 + 3 cos cos α + 2 cos cos 2 α −1 sin α (1 + 2 cos cos α ) 2 cos cos 2 α + 3 cos α + 1 sin α (1 + 2 cos cos α ) ( 2 cos cos α + 1)(cos α + 1)
= tan α (qed qed ) 2
37.
2 sin 2
α
6
− sin 2
= 1 − cos
= cos cos
2
α 3
α 7
α
7
= cos 2
− (1 − cos
− cos
α 3
2
α
− cos
7
α 7
( qed )
)
α
3
* note :
α = 1 − 2 sin 2 α 6 6 α α 2 sin 2 cos 2 = 1 − cos 6 6 α α = 1 − cos 2 sin 2 cos 6 3
cos cos 2
18
identitas.trigonometri
39. Pada segitiga ABC diketahui hubungan: Buktikan: α = 3β . b2
+c
2
− 2bc . cos
α −b 2
= 2bc . cos
β
( cos β + cos α ) c = 2b( cos β + cos α ) 2 R sin γ = 2.2 R sin β ( cos cos β + cos α ) sin (α + β ) = 2 sin β cos β + 2 sin β cos cos α c
2
= 2bc
a2
−b
2
= 2bc . cos
β .
* note : a2
=b
2
+c
2
− 2bc . cos
α
sin α cos β + sin β cos cos α = 2 sin β cos β + 2 sin β cos cos α sin α cos β −sin β cos α = sin 2β sin (α − β )
= sin
2β
α − β = 2β α = 3β ( qed )
41. Jika pada segitiga ABC diketahui hubungan Buktikan: a2
+b
2
c
2
= a ( a + b)
.
γ = 2α .
− 2ab . cos
γ = a 2
+ ab
b(b − 2a. cos γ ) = ab b − 2a. cos γ = a 2 R sin β − 2.2 R sin α cos γ = 2 R sin α sin β − 2 sin sin α cos γ = sin α sin( α + γ ) − 2 sin α cos γ = sin α sin α cos γ + cos α sin γ − 2 sin α cos γ = sin α cos α sin γ − sin α cos γ = sin α sin( γ −α ) = sin α
γ −α =α 2α = γ (qed )
43. Pada segitiga ABC diketahui hubungan Buktikan: ( a + b ) ( a − b ) = bc . 2
a2
−b
2
= 2bc . cos
β .
2
19
identitas.trigonometri
b 2 − a 2 − c 2 a − b = 2bc. − 2 ac 2 2 2 b (b − a − c ) a 2 − b2 = −a 2 2 − a ( a − b ) = b 3 − a 2 b − bc 2 − a 2 + ab 2 = b 3 − a 2 b − bc 2 bc 2 = a 2 + b 3 − a 2 b − ab 2 bc 2 = ( b + a ) (b 2 − ab + a 2 ) − ab ( b + a ) bc 2 = ( b + a ) (b 2 − 2 ab + a 2 ) 2 bc 2 = ( b + a )( a − b ) ( qed qed ) 2
2
45. Diketahui
* note : b2
=a
2
+c
2
cos − 2ac. cos
β
2
2
2ac cos cos β = a cos cos β = cos cos β =
a
2
b
2
+c
+c 2
2
−b
−b
2
−c
2
2ac −a
2
− 2ac
sudu sudutt-su sudu dutt segit segitig igaa ABC dan dan sin α = cot γ (1 + cos α ) . Buktikan segitiga ABC sama kaki! α , β dan γ
sin α = cot γ (1 + cos α ) sin α = sin α = sin α =
cos γ (1 + cos α ) sin γ cos γ sin γ
+
cos γ cos α sin γ
cos γ + cos γ cos α sin γ
sin α sin γ = cos γ + cos γ cos α − cos
γ cos α + sin α sin γ = cos γ
−(cos
γ cos α −sin α sin γ ) = cos γ
−cos(
γ +α )
cos( γ +α )
= cos
= cos
γ
γ
cos β = cos γ
β = γ ( ∆ sama kaki )
47. Pada segitiga ABC diketahui segitiga ABC sama kaki.
tanα tan β + 1 = sec α . sec β .
Buktikan
20
identitas.trigonometri tan tan α tan tan β +1 = sec α . sec β sin α sin β cos α cos β
1
+1 =
cos α cos β
sin α sin β + cos α cos β cos α cos β
=
1 cos α cos β
sin α sin β + cos α cos β =1 cos( α − β )
= cos
0
α − β = 0 α = β ( ∆ sama kaki )
49. Pada segitiga ABC diketahui segitiga ABC siku-siku.
tan tan α + tan tan β = sec α . sec β
. Buktikan
tan tan α + tan tan β = sec α . sec β sin α cos α
+
sin β cos β
=
1 cos α cos β
sin α cos β + cos α sin β cos α cos β
=
1 cos α cos β
sin α cos β + cos α sin β =1 sin( α + β ) = sin 90
α + β = 90 γ = 90 ( ∆ siku
− siku
)
51. Pada segitiga ABC diketahui (sin α + sin β ) − sin Buktikan segitiga ABC siku-siku. 2
(sin α + sin sin β ) 2
− sin sin
2
2
γ = 2 sin α sin β .
γ = 2 sin sin α sin β
2 2 sin α + sin sin β + 2 sin α sin sin β − sin sin (α + β ) = 2 sin sin α sin sin β
1
(cos 2α −1) −
1
(cos 2β −1) = −
1
(cos( α + β ) −1) 2 2 2 cos 2α −1 + cos 2β −1 = cos 2(α + β ) −1 −
53. Dalam suatu segitiga ditentukan bahwa sisi dan sidutnya cos α ) = 2b.c sin sin α dan memenuhi hubungan: a (1 + cos sec β (sin α − tan tan γ ) = sec sec γ (tan β −sin sin α ) . Apakah keistimewaan segitiga tersebut. 2
a 2 (1 + cos α ) 4 R 2 sin
2
= 2b.c sin
α (1 + cos α )
2
2
α
= 2.2 R sin
β .2 R sin γ . sin
2
α
1 + cos α = 2 sin β sin γ 1 −cos( β +γ )
= 2 sin
β sin γ
1 −cos β cos γ +sin β sin γ = 2 sin β sin γ 1 = cos β cos γ +sin β sin γ cos 0 0
= cos(
β −γ )
= β −γ
γ = β ( sama
kaki )
sec β (sin α − tan tan γ )
γ (tan β −sin sin α ) 1 sin γ 1 sin β (sin α − )= ( −sin α ) cos β cos γ cos γ cos β 1 sin sin α cos γ −sin γ 1 sin β −sin sin α cos β = . . cos β cos γ cos γ cos β sin α cos γ −sin sin γ = sin β −sin α cos β sin α cos β −sin sin γ = sin γ −sin α cos β 2 sin α cos β = 2 sin γ = sec
Keistimewaan segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku sama kaki. 22
identitas.trigonometri
55. Untuk segitiga ABC diketahui yang tumpul? a2
−b
2
= 2 R.c
b2
+c
2
− 2bc
c
2
c
− 2b cos
− 2bc
cos α − b 2
a2
− b 2 = 2 R.c . Sudut manakah
= 2 R.c
cos α = 2 R.c
α = 2 R.
2 R sin γ − 2.2 R sin β cos α = 2 R sin( α + β )
− 2 sin
β cos α =1
sin α cos β + cos α sin β − 2 sin β cos α =1 sin α cos β − cos α sin β =1 sin( α − β )
= sin
90
α − β = 90 α = 90
+ β
(tumpul )
57. Dalam segitiga ABC, tanpa daftar. C
γ =120 ° , BC BC : CA
=(
3 −1) : 2.
°
BC BC
0 2 1
=
CA a b
A
B
α dan β
BC=a CA=b γ =120 , α + β = 60
0
Carilah
=
( 3 −1) 2
( 3 −1) 2
2 R sin α 2 R sin β
=
sin( 60 − β ) sin β 1 2
( 3 −1) 2 =
3 cos β −
1 2
1 2
3−
2 1
3 cot β −
1 2 1
3 cot β = 2 2 cot β =1
1 2
sin sin β =
sin β 1
°
=
1 2
1 2
3−
3−
1 2
1 2
3
β = 45 ° β = 45 ° α + β = 60 ° α =15 °
23
identitas.trigonometri
59. Jika pada suatu segitiga ABC berlaku persamaan cos γ = −8 cos β −1 + 8 cos cos β . Buktikan: 4
2
1 β = α 3
a.
cos γ = −8 cos
4
β −1 +8 cos 2 β
cos γ = 8 cos 2 β (1 −cos 2 β ) −1 cos γ = 8 cos 2 β sin
2
β −1
cos γ = 2( 2 cos cos β sin β ) 2 cos γ = 2(sin 2 β ) 2 2
cos γ = 2 sin −cos(
α + β )
−1
−1
2 β −1
= −(1 − 2 sin
2
2 β )
cos α + β = cos 4 β
α + β = 4 β α = 3β β =
b.
1 3
α ( qed )
cos β =
a2
−b2
2b.c
24
identitas.trigonometri
=
4 R 2 (sin 2 α − sin 2 β )
* note :
2
8 R sin β sin γ
1 β = α 3 3β = α
= sin (α + β ) sin (α − β ) 2 sin β sin γ
= sin ( 3β − β ) 2 sin β
= sin 2 β
2 sin β
cos β = 2 sin β cos 2 sin β
= cos qed ) cos β ( qed
b.c 2
c. a + b = ( a − b) =
=
=
=
2
2 R sin β .4 R 2 sin 2 γ
* note :
( 2 R sin α − 2 R sin β ) 2
1 β = α 3 3β =α
4 R 2 .2 R sin β sin 2 γ 4 R 2 (sinα − sin β ) 2 2 R sin β sin 2 γ
[2 sin 12 ( α − β ) cos 12 ( α + β ) ]
2
2 R sin β sin 2 γ
[
4 sin 1 ( 3β − β ) cos 1 ( 3β + β ) 2 2
]
2
25
identitas.trigonometri
=
=
=
=
=
=
sin sin β sin 2 γ
R
. 2 sin 2 β cos
R
sin
.
2
2
.
2β
2
2β
4 β
2 sin β cos R
2
sin 2 (α + β )
.
2 sin β cos R
2 β
2 sin γ
.
2 sin β cos R
2
2
2β
( 2 sin 2β cos 2β ) 2 2 sin β cos 2β
R 4 sin 2 2β cos 2 2β . 2 sin β cos 2 2 β
= 2 R.
( 2 sin β cos β ) 2 sin β
= 2 R.4 sin
β cos 2 β
= 4 R.2 sin
β cos β cos β
= 2 R.2 sin
2 β cos β
( sin 3β + sin β ) = 2 R( sin α + sin sin β ) = 2 R
= a +b
(qed )
61. Buktikan bahwa segitiga ABC sama kaki atau siku-siku apabila 1 cot α + c. cot γ . c. cot 2 1 cos α cos γ + 2R sin γ . 2 R sin α sin β = .2 R sin γ . 2 sin α sin γ a. sin β =
1 sin γ cos α . + cos γ 2 sin α 1 sin γ cos α sin α sin β = . − cos(α + β ) 2 sin α 1 sin γ cos α − cos α cos β + sin α sin β sin α sin β = . 2 sin α 1 sin γ cos α cos α cos β − . =0 2 sin α sin α sin β =
cos α cos β −
1
2
sin γ
sin α
= 0 26
identitas.trigonometri
cos α = 0 cos α = cos 90
α = 90 ( ∆ siku 1
cos β − cos β =
2
sin γ
− siku
=
sin α 1 sin γ 2
)
0
sin α
cos β sin α =
1
2
sin γ
2 cos β sin α = sin γ 2 sin α cos β = sin ( α + β ) 2 sin α cos β = sin α cos β + sin β cos α 0 = sin β cos α − sin α cos β 0 = sin(β − α ) sin 0 = sin( β − α ) 0 = β − α
α = β (∆ sama kaki)
63. Buktikan bahwa segitiga ABC sama kaki atau mempunyai b+c
o
sebuah sudut 60 apabila
b
.
sin β = a + c . sin α 1 1 a cos α cos cos β 2 2
27
identitas.trigonometri b +c
sin β a + c sin α . = 1 1 b a cos α cos β 2 2 2 R sin β + 2 R sin γ sin β 2 R sin α + 2 R sin γ sin α = . . 1 1 2 R sin β 2 R sin α cos α cos β 2 2 sin β + sin γ sin α + sin γ = 1 1 cos α cos β 2 2 1 1 1 1 2 sin ( β + γ ) cos ( β − γ ) 2 sin (α + γ ) cos (α − γ ) 2 2 2 2 = 1 1 cos α cos β 2 2 1 1 1 1 2 cos α cos ( β − γ ) 2 cos β cos (α − γ ) 2 2 2 2 = 1 1 cos α cos β 2 2 cos cos 1 2
