Propósito de la unidad de aprendizaje blas de verdad para evaluar la validez formal de un argumento.
Saberes necesarios para lograr el objetivo de aprendizaje: Conceptuales tingente, en una tabla de verdad. Distingue verdad formal y verdad empírica. Describe el procedimiento para elaborar tablas de verdad y del condicional asociado. Procedimentales Aplica tablas de verdad para calcular el valor de verdad de una proposición compuesta. Aplica tablas de verdad para evaluar la validez de un argumento. Aplica el método del condicional asociado para evaluar la validez de un argumento. Actitudes y valores Valora el uso de tablas de verdad para evaluar la validez de un argumento. Contenidos de aprendizaje Contenidos de aprendizaje 4.1. ¿Qué es una tabla de verdad? 4.2. Procedimiento para elaborar tablas de verdad. 4.3. Verdad formal: tautología y contradicción. 4.4. Evaluación de la validez de un argumento mediante tablas de verdad.
4.1. ¿Qué es una tabla de verdad? Usamos tablas de verdad, en el apartado 2.1 de la unidad II, para determinar el valor de verdad de una proposición compuesta. En este apartado explicaremos más detenidamente qué son las tablas de verdad, cómo elaborarlas y emplearlas para evaluar la validez de un argumento.
función de verdad.
Tabla de verdad Es un que permite determinar los posibles valores de verdad de una proposición compuesta, a partir de las combinaciones de los valores de verdad de sus proposiciones simples componentes.
4.2. Procedimiento para elaborar tablas de verdad columnas se anotan las literales que corresponden a las proposiciones simples y la proposición compuesta a resolver. En los renglones la combinación de posibles valores de verdad (verdadero o falso).
Veamos ahora los pasos que se siguen para construir una tabla de verdad. Paso 1: Hacer tantas columnas como proposiciones simples se tengan y tantos renglones como combinaciones de valores de verdad correspondan según la fórmula “2n”, en donde n= número de proposiciones. Por ejemplo: Tabla para una sola proposición.
p 1 2
21= 2 combinaciones Ejemplo: p
Tabla para dos proposiciones
q; p
Tabla para tres proposiciones.
p
q)
q
r
1 2 3 4 5 6 7 8
23= 8 combinaciones. Ejemplo: (p
q
1 2 3 4
22= 4 combinaciones. Ejemplo: p
p
s
Una tabla de verdad para cuatro proposiciones, sería 24= 16 combinaciones, y una de cinco proposiciones, sería de 25= 32 combinaciones.
Paso 2: Anotar los posibles valores de verdad de las proposiciones simples empezando por la última columna, anotando alternadamente primero un valor verdadero (V) y luego otro falso (F). En la siguiente columna, a la izquierda, de la anotada, se duplica la escritura de cada valor de manera alternada y así sucesivamente, si existen más columnas a la izquierda, hasta llenar la tabla. Por ejemplo: Combinaciones para una tabla de una sóla proposición. p V F
1 2
Combinaciones para una tabla de dos proposiciones. p 1 2 3 4
q V F V F
1 2 3 4
p V V F F
q V F V F
Combinaciones para una tabla de tres proposiciones.
p
q
r
p
q
r
p
q
r
V
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
V
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
V
V
V
F
V
V
F
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
F
F
F
F
F
Paso 3. Resolución de la tabla de verdad. Antes de empezar a resolver, la proposición compuesta deberá estar bien formada, distinguiendo la conectiva principal del resto de conectivas. La conectiva principal une a dos partes como un todo, pero, estas partes a su vez, pueden tener también partes simples o compuestas. Se empieza a calcular el valor de verdad de las partes, porque el todo depende de las partes. El orden de resolución de los valores de las conectivas. tivos símbolos. 2º. Se calculan los valores de verdad de las proposiciones compuestas: primero lo que está entre paréntesis, posteriormente lo que está entre corchetes, luego las llaves fuera o de la parte al todo. Veamos un ejemplo que muestre paso por paso cómo se determinan los valores de verdad de una proposición compuesta, sea: (p Paso 1 y 2. Determinar columnas y renglones según el número de variables, tres en este caso (p, q y r), y el número de renglones según la fórmula 2n = 23 = 2 x 2 x 2 = 8
1 2 3 4 5 6 7 8
p V V V V F F F F
q V V F F V V F F
r V F V F V F V F
(p
q)
r
Paso 3. Empezar a resolver los valores de las proposiciones compuestas. 1º. Transferir los valores de verdad a sus respectivas variables. p V V V V F F F F 1
q V V F F V V F F 2
r V F V F V F V F 3
(p V V V V F F F F 4 1
q) V V F F V V F F 6
5
r V F V F V F V F 8
7
2
3
2º. Calcular los valores de verdad de las conectivas de las proposiciones compuestas que están unidas por paréntesis y anotarlos debajo del símbolo de la conectiva. En este caso, la conectiva conjunción de la columna cinco, usaremos (C5) en lo sucesivo para abreviar, que se determina aplicando la tabla de verdad de la conjunción a los valores de verdad de (C4) y (C6). p V V V V F F F F 1
q V V F F V V F F 2
r V F V F V F V F 3
(p V V V V F F F F 4 1
V F V V V V V V 5 4y6
q) V V F F V V F F 6 2
7
r V F V F V F V F 8 3
3º. Determinar el valor de verdad de la conectiva principal, y anotarlos debajo del símbolo de la conectiva. En este caso la condicional (C7) es resultado de aplicar la tabla de verdad de la condicional a (C5) y (C8). p V V V V F F F F 1
q V V F F V V F F 2
r V F V F V F V F 3
(p V V V V F F F F 4 1
q) V V F F V V F F 6 2
V V F F F F F F 5 4y6
V F V V V V V V 7 5y8
r V F V F V F V F 8 3
Otra forma de calcular los valores de las conectivas y de ahorrarnos un paso es no trasportar los valores de las variables simples y calcularlos directamente a partir de las proposiciones simples. Analicemos un ejemplo que tome en cuenta este procedimiento, sea: [p p. Paso 1 y 2. Determinar columnas y renglones según el número de variables, tres en este caso (p, q y r), y el número de renglones según la fórmula 2n = 23 = 2 x 2 x 2 = 8
1 2 3 4 5 6 7 8
p V V V V F F F F
q V V F F V V F F
r V F V F V F V F
[p
(q
r)]
p
Paso 3. Empezar a resolver los valores de las proposiciones compuestas. 1º. Determinar los valores de verdad de las conectivas de las proposiciones compuestas, que están unidas por paréntesis, en este caso, la condicional (C7), cuyos valores se obtienen al aplicar la tabla de verdad de la condicional a (C2) y (C3). p V V V V F F F F 1
q V V F F V V F F 2
r V F V F V F V F 3
[p
4
(q
5
r)] V F V V V F V V 7 2y3
6
p
8
9
10
2º. Determinar los valores de verdad de las conectivas de las proposiciones compuestas, que están unidas por corchetes, en este caso, la conjunción (C5), cuyos valores se obtienen al aplicar la tabla de verdad de la conjunción a la (C4) y a (C7). p V V V V F F F F 1
q V V F F V V F F 2
r V F V F V F V F 3
[p V V V V F F F F 4 1
(q V F V V F F F F 5 4y7
6
r)] V F V V F F V V 7 2y3
8
p
9
10
3º. Por último, se determina el valor de verdad de la conectiva principal, en este caso, la disyunción (C9), la cual resulta de aplicar la tabla de de verdad la conjunción a los valores de la (C5) y los de (C10). p V V V V F F F F 1
q V V F F V V F F 2
r V F V F V F V F 3
[p V V V V F F F F 4
(q V F V V F F F F 5 4y7
6
r)] V F V V V F V V 7 1y2
8
V V V V F F F F 9 5 y 10
p V V V V F F F F 10 1
Actividades de aprendizaje Ejercicio 4.1. Instrucciones: Practica la construcción de tablas de verdad con las siguientes proposiciones compuestas. Después responde lo que se te pregunta.
p) 3. [(p
(p
p)
q)
4. ¿Qué valores de verdad obtuviste como resultado de la primera estructura?
5. ¿Qué valores de verdad obtuviste como resultado de la segunda estructura?
6. ¿Qué valores de verdad obtuviste como resultado de la tercera estructura?
4.3. Verdad formal: tautología y contradicción
de una función de verdad. Una proposición compuesta es una función de verdad, si la verdad del compuesto está determinada por el valor de verdad de las proposiciones simples que la integran y si su conectiva lógica es veritativo-funcional. Asimismo, la conectiva lógica es veritativofuncional si su expresión representa una función de verdad. Pero, ¿qué tipo de verdad es la que determina una tabla de verdad? El concepto de verdad se utiliza en dos sentidos, el de verdad empírica y el de verdad formal. Recordemos que la lógica sólo toma en cuenta a las oraciones si éstas son expresión de un portador de verdad. Sin embargo, a la lógica no le corresponde investigar la verdad empírica de las proposiciones; esto le corresponde las ciencias. La verdad empírica de una proposición simple depende de su correspondencia con la experiencia y la fundamentación en los hechos o datos a que hace referencia. Las tablas no determinan el valor de verdad real de las proposiciones compuestas, de hecho, ni siquiera toman en cuenta valores de verdad empíricos, solamente los suponen y hacen un cálculo de las posibles situaciones de verdad o falsedad en que una proposición puede presentarse. Entonces, ¿para qué aprender a hacer tablas de verdad? Las tablas de verdad son un método lógico que permite saber si una proposición compuesta es una verdad formal o verdad lógica. Esto será útil más adelante para determinar si la estructura de un argumento es válida, ya que la validez de un argumento depende de su forma lógica o de las relaciones entre premisas y conclusión. La verdad formal depende de la pura forma lógica o del modo en que se relacionan o refutar este tipo de verdades. El análisis de una proposición compuesta mediante una tabla de verdad, puede revelar si esa función de verdad, es una verdad formal o no lo es. Si es una verdad formal entonces es una verdad que se puede determinar por métodos lógicos, y si esto no es así, por métodos empíricos. Las proposiciones compuestas que son verdades formales o verdades lógicas son las tautologías y las contradicciones.
Una proposición tautológica es una proposición compuesta que en la tabla de verdad resulta verdadera en todos los casos, sin importar cual sea el contenido o valor de verdad de sus proposiciones simples componentes. Una proposición contradictoria es una proposición compuesta que en la tabla de verdad resulta falsa en todos los casos, sin importar cual sea el contenido o el valor de verdad de sus proposiciones simples. Veamos un ejemplo: Verdades formales Tautología p
q
p
V
V
V
V
V
F
V
F
V
F
F
Contradicción (p
q)
p
q
V
V
V
V
F
F
V
V
V
F
F
F
F
F
V
V
F
V
F
F
V
F
V
F
F
F
F
F
V
Característica esencial: Siempre es verdadera
(p
q)
~p
Característica esencial: Siempre es falsa.
Cuando la tabla de verdad de una proposición compuesta resulta verdadera en unos casos y falsa en otros, decimos que el valor de verdad de la proposición compuesta es contingente o indeterminado, y su valor de verdad dependerá de los valores de verdad reales que adopten las proposiciones simples componentes. Veamos un ejemplo: p
q
p
V
V
V
F
F
V
F
V
V
V
F
V
F
V
F
F
F
F
F
V
~q
Actividades de aprendizaje Ejercicio 4.2. Instrucciones: Utilizando las tablas de verdad, determina cuáles de las siguientes proposiciones son tautológicas, contradictorias o contingentes. Proposiciones compuestas 1. [(p 2. p p 3. (p p) p)
(p
p)
6. ( p
Ejercicio 4.3. Instrucciones: Utilizando las tablas de verdad, determina cuáles de las siguientes proposiciones son tautologías. Proposiciones compuestas 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
(p (p [ (p [ (p [(p [(p (p (p [ (p
p) p) q) q) (q (q
(q r)] (q r)] q) (p q) (p p p (p p q
r)] r)]
q) q) q) q) p)
4.4 Evaluación de la validez de un argumento mediante tablas de verdad El método de elaboración de tablas de verdad, que aprendiste en el apartado anterior, es útil para determinar la validez de una argumento, si ésta depende de su forma lógica. Para determinar la validez de un argumento mediante tablas de verdad, se requiere previamente convertir el argumento en una proposición condicional y, posteriormente, aplicar a la fórmula resultante una tabla de verdad. Al procedimiento o método por medio del cual pasamos de una estructura argumental a una proposición condicional se llama condicional asociado. ¿Cómo establecer el condicional asociado de un argumento? A todo argumento es posible asociarle un condicional si consideramos la conjunción de sus premisas como antecedente y a la conclusión como su consecuente. El argumento será válido si el condicional que le asociemos es una tautología, y será inválido si resulta ser una contradicción, y es indeterminado si es contingente.
Pasos para demostrar la validez o invalidez de argumentos: 1. Simbolizar el argumento, distinguiendo las premisas de la conclusión. 2. Establecer el condicional asociado del argumento, para ello: Unir las premisas con la conectiva conjunción, y considerar esa conjunción como antecedente y la conclusión como consecuente. 3. Realizar la tabla de verdad, resolviendo, en primer término, la parte del antece4. Si el resultado de la tabla de verdad es tautología, el argumento es válido. Si es contradictorio es inválido y si es contingente es indeterminado. Desarrollaremos un ejemplo: 1. Si estoy atento en clases, entonces entiendo o resuelvo los problemas. 2. Ni entiendo ni resuelvo los problemas. Por lo tanto, no estoy atento en clases.
A= Estoy atento en clases. Paso 1
E= Entiendo los problemas. R= Resuelvo los problemas.
Paso 2
P1
Simbolizar premisas y conclusión Si estoy atento en clases, entonces entiendo o resuelvo los problemas. Si
A
entonces
E
Forma lógica R)
o R R R)
Ni entiendo ni resuelvo los problemas. P2
Ni
E ~E
y
2. ~ E
~R
ni R ~R
No estoy atento en clases. C
~A
No A ~A
La forma lógica resultante del argumento es la siguiente: R) 2. ~E
R
Para pasar de una estructura argumental a la de una condicional aplicamos el método del condicional asociado:
Premisa a Conclusión
Las premisas serán el antecedente del condicional, por lo cual primeramente, las premisas se unen por una conjunción y, evidentemente, debemos usas corchetes para agrupar. [ Premisa 1 R) R)]
conjunción
Premisa 2 ] ~E R [~E R]
La conclusión será el consecuente por lo cual debemos poner primero las premisas, las proposiciones y separar las premisas de la conclusión por medio de un corchete {…}. Nos queda así: { [ Premisa 1 R) )]
conjunción
Premisa 2 ] } E R [ E R] }
R)]
condicional
conclusión A A
( ~E
Ahora, para saber si el argumento es válido hacemos una tabla de verdad. Si la tabla resulta ser una tautología, es decir, si en los valores de verdad de la conectiva principal son todos verdaderos, entonces el argumento se considera válido. A E R {[ A
(E
R) ]
(
E
R)}
A
V V V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
V
F
V
V V F
V
V
V
V
F
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V F V
V
V
F
V
V
F
V
F
F
F
V
V
F
V
V F F
V
F
F
F
F
F
V
F
V
V
F
V
F
V
F V V
F
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
V
V
F
F V F
F
V
V
F
F
F
F
V
F
V
F
V
V
F
F F V
F
V
F
V
V
F
V
F
F
F
V
V
V
F
F F F
F
V
F
F
F
F
V
F
V
V
F
V
V
F
1 2 3
4
5
6
7
8
9
10 11
12
13
14
15
16 17
1
4y7
2
6y8
3
10 y 13 14
3
5 y 12 11
2
Resultado Tabla de verdad Argumento Tautológica Válido
9 y 16 17
1
Actividades de aprendizaje Ejercicio 4.5. Instrucciones: Analiza y demuestra la validez de los argumentos siguientes: Argumento 1 1. Si el papel tornasol se vuelve rojo, entonces la solución es un óxido. Luego, si el papel se vuelve rojo, entonces o la solución es un óxido o hay algo que anda mal. Forma lógica del Argumento:
Condicional asociado:
Tabla de verdad:
Tabla de verdad:
Argumento:
Argumento 2 1. Si cumplen las demandas de los terroristas, entonces será vulnerable la legalidad. 2. Si las demandas de los terroristas no se cumplen, entonces serán asesinadas personas inocentes. Así, o bien se vulnera la legalidad o serán asesinadas personas inocentes. Forma lógica del Argumento:
Condicional asociado:
Tabla de verdad:
Tabla de verdad: Tautología
Argumento: Válido.
Argumento 3 1. Si las leyes son Buenas y su cumplimiento es Estricto, disminuirá el Delito. 2. Si el cumplimiento de la ley es estricto, entonces hace disminuir el delito, luego, nuestro Problema es de carácter práctico. 3. Las leyes son buenas. Entonces, nuestro problema es de carácter práctico. Forma lógica del Argumento:
Condicional asociado:
Tabla de verdad:
Tabla de verdad: Contingente.
Argumento: Inválido.
Argumento 4 1. Si no estudio lógica, entonces no apruebo el examen. 2. Si estudio lógica, entonces aprendo. En consecuencia: Si estudio lógica, entonces aprendo y apruebo el examen. Forma lógica del Argumento:
Condicional asociado:
Tabla de verdad:
Tabla de verdad: Contingente.
Argumento: No valido.
Actividades de aprendizaje Ejercicio 4.4. Instrucciones: Pasa estas formas argumentales a la forma del condicional asociado y haz una tabla de verdad para determinar si son válidos (tautologías). Demostración de la validez de estructuras argumentativas Estructuras argumentativas
Condicional asociado
1.
2. p
2.
2. q p 3. 1. p
q
2. p
4. 1. p
q
2. q
5.
¿Es válido?
6. 1. p 2. q q 7. 1. p
q
8. 1. p
q
9. 1. p q
10.
3. p
r s
11.
3. q
s
p
r
Actividades de aprendizaje Argumento 1 1. Si las personas son totalmente racionales, entonces, o bien todos los actos humanos se pueden predecir con seguridad o el universo es esencialmente determinista. 2. No todas las acciones de las personas se pueden predecir con seguridad. Por lo tanto, el universo no es esencialmente determinista o las personas no son totalmente racionales. Forma lógica del Argumento:
Condicional asociado:
Tabla de verdad:
Tabla de verdad:
Argumento:
Argumento 2 1. Si se logra la igualdad de oportunidades, entonces las personas que antes tenían desventajas recibirán oportunidades especiales. 2. Si esas personas reciben oportunidades especiales, entonces tendrán un trato preferencial. 3. Si algunas personas reciben un trato preferencial, entonces no se logrará la igualdad de oportunidades. Por lo tanto, la igualdad de oportunidades no se logrará. Forma lógica del Argumento:
Condicional asociado:
Tabla de verdad:
Tabla de verdad:
Argumento:
Bibliografía Arnaz José Antonio. Iniciación a la lógica simbólica. México, Trillas, 1989. Copi, M. y C. Cohen. Introducción a la Lógica. México, Limusa, 1995. González Yáñez, Arturo. Lógica o por qué la luna es de queso. México, Oxford, 2005. Hernández, Gabriela y Gabriela Rodríguez. ¿Lógica… para qué? Argumenta, debate y decide racionalmente. México, Pearson, 2009. Mateo Nava, Misael. Lógica para inexpertos. México, Edere, 1998.
Otros recursos
http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/
p
Propósito de la unidad de aprendizaje
argumento mediante el método de deducción natural y las reglas de inferencia y equivalencia..
Saberes necesarios para lograr el objetivo de aprendizaje: Conceptuales Explica en qué consiste el método de deducción natural. Explica qué son las reglas de inferencia y las de equivalencia. Describe cómo funcionan las reglas de inferencia y equivalencia. Procedimentales Aplica las reglas de inferencia y equivalencia en la demostración de argumentos.. Actitudes y valores de argumentos. Contenidos de aprendizaje 5.1. Deducción natural. 5.2. Reglas de equivalencia. 5.3. Prueba formal para demostrar la validez de argumentos. 5.4. Reglas equivalencia.
5.1. Deducción natural El razonamiento es un proceso inferencial que consiste en derivar conclusiones o consecuencias a partir de premisas que consideramos como verdaderas. Si el a la conclusión. ¿Cómo saber si nuestros razonamientos o argumentos son válidos o si nuestras inferencias son correctas? Un método, que ya conoces es formar el condicional asociado de un argumento y elaborar su tabla de verdad. Si la tabla resulta tautología, interpretamos que el argumento es válido. El criterio de validez en que se apoya esta prueba es muy simple, el argumento es válido, porque es ilógico que, siendo verdaderas las premisas la conclusión sea falsa y la tabla de verdad muestra que no hay ningún caso en que eso ocurra. En este apartado aprenderás un método más poderoso para demostrar la validez de un argumento, el cual consiste en mostrar, paso a paso, las inferencias que realizamos a partir de las premisas, hasta obtener la conclusión. Este método se conoce como:
Método de deducción natural El cual consiste en una prueba formal para evaluar la validez de la estructura mediante reglas de inferencia y equivalencia. Una prueba formal de validez es una sucesión de fórmulas (proposiciones simbolizadas), cada una de las cuales es una premisa del argumento o se sigue de éstas por medio de la aplicación de una regla de inferencia o equivalencia, y donde la última fórmula es la conclusión del argumento.
5.2. Reglas de inferencia Llamamos inferencia al paso de las premisas a la conclusión. Cuando el paso es seguro o está plenamente garantizado, podemos utilizarlo como una regla. Una inferencia es válida si y sólo si el argumento en que ocurre es válido. Una estructura argumental es una regla si y sólo si es una tautología.
Regla de inferencia Es una forma válida de argumento que muestra el tipo de inferencia deductiva por medio del cual la conclusión en esa forma argumental se derivó de sus premisas. El conjunto de reglas de inferencia más comunes utilizadas para demostrar argumentos son las siguientes: Nombre de la regla Conjunción
Forma lógica 1. p 2. q
1. p 2. q q
1. p Adición
q
p 1. p
q
1. p q
Silogismo disyuntivo Modus ponens
Modus tollens
1. p q 2. p 1. p 2. p
q
1. p 2. q
q p
Silogismo hipotético
1. p q 2. q
El método de demostración formal tiene ciertas ventajas sobre las tablas de verdad. Digamos que en argumentos más complejos o con muchas variables, el uso de reglas de inferencia es más práctico que el de las tablas de verdad; una tabla de verdad deja de ser útil cuando el argumento tiene más de cuatro variables. Por ejemplo: 1. Si pago al sastre, no me quedará dinero. 2. Solamente puedo llevar a mi novia al baile si tengo dinero. 3. Si no la llevo al baile, se sentirá desdichada. Pero si no le pago al sastre, no me entregará el traje y sin él no puedo llevar a mi novia al baile. 4. O le pago al sastre o no le pago. Por tanto, mi novia tendrá que sentirse desdichada. Este argumento consta de cinco variables, en la formula 2n n= 5 = 2x2x2x2x2= 32, una tabla de ese tamaño resultaría poco práctica. Analicemos ahora cada una de las reglas de inferencia.
Conjunción Abreviatura: (Conj.) Estructura del argumento: 1. p
1. p
2. q
2. q
p
q
q
p
Demostración de la validez de la regla: Condicional asociado: (p q) Tabla de verdad: p
q
(p
q)
(p
q)
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
F
V
F
F
F
F
V
F
Como muestra la tabla, la conjunción es una estructura válida de argumento, porque su condicional asociado resultó ser una tautología. Cualquier otra estructura que sea una instancia de sustitución o posea la misma estructura argumental será igualmente válida. La forma o estructura de un argumento es un esquema que puede tener muchas instancias de argumentos, cada una compartiendo la misma estructura con las demás. Veamos algunos ejemplos: 1. C 2. E
1. ~K 2. W E
W
1. O Q 2. ~(P R) R)
(O
Q)
Veamos un argumento que sea una instancia de sustitución de una conjunción: 1. El ser humano es cuerpo. 2. El ser humano es espíritu. Por lo tanto, El ser humano es cuerpo y es espíritu.
verdad. Proposiciones simples componentes:
Forma del argumento
C = El ser humano es cuerpo. E = El ser humano es espíritu.
1. C 2. E
Condicional asociado (C
E)
E Tabla de verdad C
E
(C
E)
(C
E)
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
F
V
F
F
F
F
V
F
La conjunción por ser una forma válida de argumento puede ser usada como una
Conjunción En un argumento se puede obtener como conclusión la conjunción de cualquier premisa existente, ya sea simple o compuesta. Comprensión de la regla: Para aplicar la regla de la conjunción se requieren: Al menos dos premisas:
Para concluir: una conjunción
1. p
1. p
2. q
2. q
p
q
q
Aplicación de la regla en una prueba formal de demostración.
p
La prueba formal de validez de un argumento, es la secuencia de inferencias váli-
la regla y la referencia de las premisas de las que procede. 1. Luis no estudia Filosofía. 2. Luis estudia Idiomas. 3. Luis estudia Derecho.
1. ~F 2. I 3. D I) ~F 4. D I (aplicando conjunción a las proposiciones 3, 2.) 5. (D I) ~F (aplicando conjunción a las proposiciones 4, 1.) Como puedes observar en el ejemplo, la líneas 4 y 5 representan inferencias que hemos obtenido mediante la aplicación de la regla de la conjunción. Una prueba termina cuando hemos demostrado la conclusión del argumento (línea 5) y es válido utilizar una conclusión ya demostrada como premisa (en la línea 5 se toma la conclusión 4).
Actividades de aprendizaje Ejercicio 5.1. Instrucciones: Basado en la resolución del primer ejemplo, completa lo que falta, aplicando la regla de la conjunción. Ejemplo: 1. A 2. B 3. ~C 4. B
~C (Conj. 2,3.)
5. (B
~C)
1. R
I
2. I
N
A (Conj. 4,1.)
2.
S __________________ (Conj.
)
3. ___________________(Conj. 2,1.) 1. P
R
1.
2. I
(P
2. (Q
3. D
Q) P)
__________________ (Conj.
)
4. ___________________(Conj. 1,3.) 5. ___________________(Conj. 1,2.) C 2. (F
E)
S
__________________ (Conj. 4. ___________________(Conj. 3,1.) 5. ___________________(Conj. 4,2.)
)
Abreviatura: (Simp.) Estructura del argumento: 1. p
q
1. p
p
q
q
Demostración de la validez de la regla: Condicional asociado: (p Tabla de verdad: p
q
(p
q)
p
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
F
V
F
V
F
F
F
F
V
F
porque su condicional asociado es una tautología. Cualquier otro argumento que sea una instancia de sustitución o posea la misma estructura argumental será igualmente válido. Por ejemplo: 1. C C
E
1. ~K W
W
1. ~(P
R)
~(P
R)
~(O
Q)
1. El ser humano es cuerpo y el ser humano es espíritu. Por lo tanto, El ser humano es cuerpo.
(
)
verdad.
Proposiciones simples componentes:
Forma del argumento
C =El ser humano es cuerpo. E= El ser humano es espíritu.
1. C
E
Condicional asociado (C
Tabla de verdad C
E
(C
E)
C
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
F
V
F
V
F
F
F
F
V
F
Si en un argumento existe una premisa que sea una conjunción (p obtener como conclusión cualquiera de los conyuntos (p), (q).
q), se puede
Comprensión de la regla: Para aplicar la regla de la conjunción se requieren tener: Una proposición conjuntada Para concluir uno de sus elementos
1. p
q
1. p
p
Aplicación de la regla en una prueba formal de demostración 1. Llueve, Relampaguea, pero no Truena. Por lo tanto, Llueve. 1. (L R) T 2. L 3.
a la proposición 1.) a la proposición 2.)
q q
Actividades de aprendizaje Ejercicio 5.2. Instrucciones: Basado en la resolución del primer ejemplo, completa lo que falta, apli-
Ejemplo:
1. X
(Y
M)
4. Y
M____
(Simpl. 1.)
5. M_______
(Simpl. 4.)
1.
4. (B
C)
1. ~C
2. ____________________(Simpl. 1.)
R
2. _________________
(Simpl.
)
3. ____________________(Simpl. 2.) 2. 1. A
5. (Z
X)
1. K
(W
Z)
2. ___________________(Simpl. 1.)
2. _________________
(Simpl.
)
3. ___________________(Simpl. 2.)
3. _________________
(Simpl.
)
3.
6.
1. [(G
J)
H]
(B
C)
1. [(T
S) V]
N)
S 2. ___________________(Simpl. 1.)
2. _________________
(Simpl.
)
3. ___________________(Simpl. 2.)
3. _________________
(Simpl.
)
4. ___________________(Simpl. 3.)
4. _________________
(Simpl.
)
Adición Abreviatura: (Ad.) Estructura del argumento: 1. p p
q
Demostración de la validez de la regla: q) Tabla de verdad: p
q
(p
(p
q)
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
V
F
Como muestra la tabla, la adición es una estructura válida de argumento, porque su condicional asociado es una tautología. Cualquier otro argumento que sea una instancia de sustitución o posea la misma estructura argumental será igualmente válido. Veamos algunos ejemplos: 1. C C
1. ~K M
~K
1. O W
O
Q
1. p
Q)
~(P
R)
p
r]
Veamos un argumento que sea una instancia de sustitución de una adición: 1. El ser humano es cuerpo. Por lo tanto, El ser humano es cuerpo o mente.
verdad. Proposiciones simples componentes:
Forma del argumento
C =El ser humano es cuerpo. M= El ser humano es mente.
Condicional asociado
1. C
M) M
Tabla de verdad C M
C
(C
M)
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
V
F
La adición por ser una forma válida de argumento puede ser usada como una regla
Adición En un argumento se puede obtener como conclusión una disyunción a partir de cualquier premisa existente, ya sea simple o compuesta. Comprensión de la regla: Para aplicar la regla de la adición se requieren tener: Una premisa cualquiera
1. p
Para adicionar cualquier otra proposición
p
q
Aplicación de la regla en una prueba formal de demostración 1. Luis es escritor. Por lo tanto, Luis o es Escritor o es literato o si Luis es literato, entonces ha de ser de Filosofía. 1. E 2. (E 3. (E
L) L)
(aplicando adición a la proposición 1.) a la proposición 2.)
Actividad de aprendizaje Ejercicio 5.3. Instrucciones: Basado en la resolución del primer ejemplo, completa lo que falta, aplicando la regla de la adición. Ejemplo: 1. ~K 2. ~K
S____
3. (~K
S)
(Adic. 1.) P
(Adic. 2.)
1. ~B
1. Q C)
F
_________________ (Adic.
)
2. _____________________ (Adic. 1.) 3. _____________________ (Adic. 2.) 1. Y S]
R
F F)
Q]
T
2. _____________________ (Adic. 1.)
2. _____________________ (Adic.
)
3. _____________________ (Adic. 2.)
3. _____________________ (Adic.
)
1. ~ (~C
1. ~(E
~G) ~G)
A]
H)}
B
R) R)
S]
T
2. _____________________ (Adic. 1.)
2. _____________________ (Adic.
)
3. _____________________ (Adic. 2.)
3. _____________________ (Adic.
)
4. _____________________ (Adic. 3.)
Silogismo disyuntivo1 Abreviatura: (S.D.) Estructura del argumento: 1. p
q
1. p
q
2. p
2. q
q
p
Demostración de la validez de la regla: Condicional asociado: [ (p
q)
Tabla de verdad: p
q
[(p
q)
p]
q
V
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
F
F
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
V
Como muestra la tabla, el silogismo disyuntivo es una estructura válida de argumento, porque su condicional asociado es una tautología. Cualquier otro argumento que sea una instancia de sustitución o posea la misma estructura argumental será igualmente válido. Por ejemplo: 1. D 2. ~D C
1
C
1. ~K 2. ~K W
W
1. (O
R)
2. P
P
1.
P)
2.
(O
R)
También llamado modus tollendo ponens
P)
Veamos un argumento que es una instancia de sustitución de la estructura silogismo disyuntivo: 1. O dejamos de contaminar la capa de ozono o el calentamiento global descongelará los polos. 2. No es cierto que hemos dejado de contaminar la capa de ozono. Por lo tanto, el calentamiento global descongelará los polos.
verdad. Proposiciones simples componentes:
Forma del argumento
D = Dejamos de contaminar la capa de ozono. 1. D C C= El calentamiento global descongelará los 2. D polos C
Condicional asociado [(D
C)
Tabla de verdad D
C
[(D
C)
D]
C
V
V
V
F
F
V
V
V
F
V
F
F
V
F
F
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
El silogismo disyuntivo por ser una forma válida de argumento puede ser usado como una regla de inferencia. Veamos lo que precisa la regla:
Silogismo Disyuntivo Si la estructura de un argumento presenta como premisa a una disyunción podemos inferir como conclusión uno de los disyuntos, siempre y cuando se tenga el otro negado.
Comprensión de la regla: Para aplicar la regla del silogismo disyuntivo se requiere: Una proposición disyuntiva
1. p
La negación de uno de los disyuntos
2. p
2. q
q
p
Para concluir el otro disyunto
q
1. p
Aplicación de la regla en una prueba formal de demostración. Veamos un ejemplo de aplicación de la regla. 1. O me levanto Temprano o no hago Ejercicio 2. O hago ejercicio o no estoy Saludable. 3. O estoy saludable o sufro un Infarto. 4. No me levanto temprano. Por lo tanto, sufro un infarto. 1. T E 2. E S 3. S I T E S 7. I
(aplicando silogismo disyuntivo a las proposiciones 1, 4.) (aplicando silogismo disyuntivo a las proposiciones 2, 5.) (aplicando silogismo disyuntivo a las proposiciones 3, 6.)
q
Actividad de aprendizaje Ejercicio 5.4. Instrucciones: Basado en la resolución del primer ejemplo, completa lo que falta, aplicando la regla silogismo disyuntivo. Ejemplo: A) 1. D
X
2. ~X 2. D
.
B) 1. ( F 2.
E)
(S.D. 1,2.)
G
E) 1. (B
F
2.
Q)
T
T
3. G
3.
4. _______________ (S.D. 1,3.)
4. _______________ (S.D.
)
5. _______________ (S.D. 4,2.)
5. _______________ (S.D.
)
C) 1. (A
L)
2. ( A
(Q
V)
B
F) 1. (J
(R
D)
2.
(R
3. Q
3.
U
4. _______________ (S.D. 1,2.)
4. _______________ (S.D.
)
5. _______________ (S.D. 3,4.)
5. _______________ (S.D.
)
D) 1. [~I
L)
U)
(U
J)]
V
G) 1. [(F
2.
I
2. X
3.
U
3. K
4.
V
4. W
D)
W)
K]
X)
5. _______________ (S.D. 1,4.)
5. _______________ (S.D.
)
6. _______________ (S.D. 5,2.)
6. _______________ (S.D.
)
7. _______________ (S.D. 6,3.)
7. _______________ (S.D.
)
Modus ponens Nombre: Modus ponendo ponens Abreviatura: Modus ponens (M.P.). Estructura del argumento: 1. p 2. p
q
q
Demostración de la validez del argumento:
Tabla de verdad p
q
[(p
q)
p]
q
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
F
V
F
Como lo muestra la tabla de verdad, el modus ponens es una estructura válida de argumento, porque su condicional asociado es una tautología. Cualquier otro argumento con la misma forma lógica que sea una instancia de sustitución de ésta, será igualmente válido. Por ejemplo: 1. C
I
1. K 2. K
2. C I
W
W
1. (O
R)
2. (O
R)
P
P
1.
P)
2. P)
Veamos un ejemplo de argumento cuya estructura es una instancia de sustitución de la estructura modus ponens: Si existen crímenes sin resolver entonces existe impunidad. Existen crímenes sin resolver. Por lo tanto: Existe impunidad. Vamos a determinar la estructura del argumento y demostrar su validez. Proposiciones simples componentes:
Forma del argumento Condicional asociado
C = Existen crímenes sin resolver. I = Existe impunidad.
2. C I Tabla de verdad D
I
[(D
I)
C]
I
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
F
V
F
La validez de la estructura del argumento modus ponens nos lleva a reconocer su inferencia como válida. Si la inferencia es siempre válida, entonces puede utilizarse como una regla que nos permita inferir consecuencias válidas de premisas que sean
Modus ponens Si la estructura de un argumento tiene como premisa a una fórmula condicional (p q) podemos inferir su consecuente (q), siempre y cuando se tenga al antecedente (p) de esa fórmula condicional, también como premisa.
Compresión de la regla:
Se requiere: Se obtiene:
Proposición condicional
1. p
Antecedente de la condicional
2. p
El consecuente de la condicional
Aplicación de la regla en una prueba formal de demostración Veamos un ejemplo de aplicación de la regla. 1. Llueve si está Nublado. 2. Si llueve, no vamos al Cine. 3. Está nublado. Por lo tanto, no vamos al cine 1. 2. C 3. N C 4. L (aplicando modus ponens a las proposiciones 1, 3.) C (aplicando modus ponens a las proposiciones 2, 4.)
q
q
Actividad de aprendizaje Ejercicio 5.5. Instrucciones: Basado en la resolución del primer ejemplo, completa lo que falta, aplicando la regla del modus ponens. Ejemplo:
2. B H
(M.P. 1,2.)
1. (R 2. R
S
1.
R)
2. P
2. U
3. Q
3. L
4. ______________________
(M.P. 1,2.)
4.
5. ______________________
(M.P. 4,3.)
5. R
R
(M.P.
)
(M.P.
)
(M.P.
)
1. 2. Z
2. V
3. K
3. S
4. J
4. T
5. ______________________ (M.P. 1,2.) 6. ______________________ (M.P. 5,4.) 7. N
7. ______________________ (M.P. 6,3.)
Modus tollens Nombre: Modus tollendo tollens niego”. Abreviatura: Modus tollens (M.T.) Estructura del argumento: 1. p 2. q
q
p Demostración de la validez de la regla: p Tabla de verdad: p V V F F
q V F V F
[(p
q) V F V V
F F F V
q] F V F V
V V V V
p F F V V
Como muestra la tabla, el modus tollens es una estructura de argumento válida, porque su condicional asociado resultó ser una tautología. Cualquier otro argumento que sea una instancia de sustitución o posea la misma estructura argumental será igualmente válido. Por ejemplo: 1. T 2. J T
J
1. K 2.
W K
W
1. (O
R)
2. P (O
P
1. 2.
R)
P) P)
Veamos un argumento que sea una instancia de sustitución de la estructura modus ponens: Si el impuesto a la tenencia debe pagarse entonces es un impuesto justo. El impuesto a la tenencia no es justo. Por lo tanto, El impuesto a la tenencia no debe pagarse.
verdad. Proposiciones simples componentes:
Forma del argumento Condicional asociado
T = El impuesto a la tenencia debe pagarse. J = El impuesto a la tenencia es justo.
T 2. J T
Tabla de verdad T
J
[(T
J)
J]
T
V
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
V
V
V
1
2
4
6
7
8
9
El modus tollens por ser una forma válida de argumento puede ser usado como una regla de inferencia. Veamos lo que precisa la regla:
Modus tollens Si una estructura o forma argumental tiene como premisa a una fórmula condicional (p
q) podemos inferir la negación de su antecedente ( p), siempre y cuando se tenga el
consecuente negado ( q) de esa fórmula condicional, también como premisa.
Comprensión de la regla: Para aplicar la regla del modus tollens se requiere:
Para obtener:
Proposición condicional
1. p
La negación del antecedente de la condicional
2. q
La negación del consecuente de la condicional
Aplicación de la regla en una prueba formal de demostración Veamos un ejemplo de aplicación de la regla. 1. Si tengo Hambre entonces Ingiero alimentos. 2. Si me Gruñen las tripas entonces tengo Hambre. 3. No ingerí alimentos. Por lo tanto, no me gruñen las tripas. 1. 2. 3.
I
4. 5.
G H (aplicando modus tollens a las proposiciones 1, 3.) G (aplicando modus tollens a las proposiciones 2, 4.)
q
p
Actividad de aprendizaje Ejercicio 5.6. Instrucciones: Basado en la resolución del primer ejemplo, completa lo que falta, aplicando la regla del modus tollens. Ejemplo: A) 2. Q ~C____ (M.T. 1,2.) E) 1. A
B)
H)
2. N
(M.T.
)
3. D F
C)
P 3.
F)
P
)
5. ______ ( M.T.
)
I) 3. U
S
3. B C
N
4. 5. S
4. ______ ( M.T.
(M.T.
)
4. ______ (M.T. 1,3.)
4. ______ ( M.T.
)
5. ______ (M.T. 2,4.)
5. ______ ( M.T.
)
G) 1.
D)
S
4.
J)
S U
4. S R
5. G
(M.T.
)
5. ______ (M.T. 4,1.)
5. ______ ( M.T.
)
6. K
(M.T.
)
6. ______ (M.T. 3,5.)
6. ______ ( M.T.
)
7. E
(M.T.
)
7. ______ (M.T. 2,6.)
7. ______ ( M.T.
)
Silogismo hipotético Abreviatura: (S.H.) Estructura del argumento: 1. p r p
r
Demostración de la validez de la regla: Condicional asociado: [ (p
r
p
r)
Tabla de verdad: p V V V V F F F F 1
q V V F F V V F F 2
r V F V F V F V F 3
[(p
q) V V F F V V V V 5 1-2
(q V F F F V F V V 7 5-9
r) ] V F V V V F V V 9 2-3
(p V V V V V V V V 11 7-13
r) V F V F V V V V 13 1-3
Como muestra la tabla, el silogismo hipotético es una estructura válida de argumento, porque su condicional asociado resultó ser una tautología. Cualquier otro argumento que sea una instancia de sustitución o posea la misma estructura argumental será igualmente válido. Por ejemplo: 1. L 2. R
R E
1. K 2. W
W X K
1. (G H ) 2. (M P) (G
X
~(M R
P)
Veamos un argumento que sea una instancia de sustitución de la estructura silogismo hipotético: 1. Si un hombre es libre, entonces es responsable de su conducta. 2. Si un hombre es responsable de su conducta, entonces evita realizar acciones negativas. Por lo tanto, si un hombre es libre, entonces evita realizar acciones negativas. verdad. Proposiciones simples componentes: L = El hombre es libre.
1. L
R
R= El H es responsable…
2. R
E
Forma del argumento
Condicional asociado [(L
R)
(R
E
(L
E)
E= El H puede evitar… Tabla de verdad L V V V V F F F F 1
R V V F F V V F F 2
E V F V F V F V F 3
[(L
R) V V F F V V V V 5 1-2
(R V F F F V F V V 7 5-9
E) ] V F V V V F V V 9 2-3
(L V V V V V V V V 11 7-13
E) V F V F V V V V 13 1-3
El silogismo hipotético por ser una forma válida de argumento puede ser usado como una regla de inferencia. Veamos lo que precisa la regla:
Silogismo Hipotético Si la estructura de un argumento presenta como premisas dos fórmulas condicionales (p q) y (q r), en la que el consecuente de una es el antecedente de la otra, entonces podemos inferir como conclusión la condicional del antecedente de la primera y el consecuente de la segunda (p r). Comprensión de la regla: - Una proposición condicional
1. p
q
- Otra proposición condicional cuyo antecedente es el consecuente de la anterior
2. q
r
- Podemos concluir el antecedente de la primera y el consecuente de la segunda
p
r
Aplicación de la regla en una prueba formal de demostración. Veamos un ejemplo de aplicación de la regla. 1. Si el problema tiene Solución entonces no debo Preocuparme. 2. Si no debo Preocuparme entonces evito el Estrés. 3. Si evito el Estrés entonces Disfruto la vida. Si el Problema tiene solución entonces Disfruto la vida. 1. 2. 3. 4. 5.
P
silogismo hipotético a las proposiciones 1, 2.) silogismo hipotético a las proposiciones 4, 3.)
Actividad de aprendizaje Ejercicio 5.7. Instrucciones: Basado en la resolución del primer ejemplo, completa lo que falta, aplicando la regla del silogismo hipotético. Ejemplo: A) A
Z (S.H. 1,2.)
B) 1. (R
C) 2. 3.
E)
R P
F) 1. 2. 3.
R S U S
4. ________________ (S.H. 1, 2.) 5. ________________ (S.H. 4, 3.)
4. 5.
D)
G)
K 4. ________________ (S.H. 2,3.) 5. ________________ (S.H. 4,1.) 6. ________________ (S.H. 1,3.)
R S
(S.H. (S.H.
) )
5.3. Prueba formal para demostrar la validez de argumentos Como ya hemos visto, se puede demostrar la validez de un argumento cualquiera, indicando simplemente cuál es su forma lógica y mediante qué regla de inferencia fue obtenida su conclusión. Por ejemplo, en el argumento: 1. 2. 3. 4.
Si el destino existe, entonces el hombre carece de libertad. No es cierto que el hombre carece de libertad. Luego… El destino no existe.
Basta mostrar su forma lógica y cuál es la regla lógica utilizada para obtener la conclusión, para demostrar que es válido. Utilizaremos constantes para simbolizar las proposiciones: 1. 2. ~c 3. 4. ~d
(aplicando el modus tollens a la proposiciones 1 y 2).
Sin embargo, generalmente hacemos argumentos en los que aplicamos dos o más reglas de inferencia. El siguiente sería un ejemplo: 1. El ser humano es espíritu o es puro cuerpo material. 2. Si el ser humano es espíritu, entonces es inmortal. 3. No es cierto que ser humano es puro cuerpo material. Luego… 4. El ser humano es espíritu. 5. El ser humano es inmortal. En argumentos en los que se aplican dos o más reglas de inferencia, se obtienen conclusiones sucesivas, cada una de las cuales es producto de aplicar una regla de inferencia. A su vez, una conclusión ya demostrada puede ser tomada como premisa para obtener otra conclusión, como se puede ver en la representación del argumento anterior, la cual haremos utilizando variables (p, q, r, etc.) para simbolizar las proposiciones:
1. 2. 3. 4. 5.
p ~q p ~r
q
(aplicando el silogismo disyuntivo a 1 y 3) (aplicando el modus ponens a 2 y 4).
La conclusión de la línea 4 (p) se obtuvo relacionando las proposiciones de la línea 1 y 3 mediante el silogismo disyuntivo (S.D.) después se obtuvo la conclusión de la línea 5 (~r), relacionando la proposiciones de la línea 2 y 4 (que previamente se demostró), aplicando la regla modus ponens (M.P.). A medida que los argumentos son más complejos (porque aumenta el número de sus premisas, conclusiones y reglas utilizadas), se hace cada vez más necesario represenque los argumentos son válidos o no, por su forma, por la manera en que se relacionan unas proposiciones con otras, y no por el contenido de las mismas. Examinaremos algunos ejemplos de argumentos, expresados tanto en lenguaje natural como en el lenguaje simbólico de la lógica. Podrá observarse que es más clara y sencilla la demostración de su validez cuando ésta se muestra simbólicamente. En lo sucesivo utilizaremos variables para representar cada una de las proposiciones de estos ejemplos. a) 1. 2. 3. No aumentaron los precios. Luego… 4. 5. Ahorraremos un poco de dinero
(aplicando el M.P. a 2 y 4.).
Forma lógica: 1. 2. 3. ~q 4. ~p 5. r
(M.T. 1,3.) (M.P. 2,4.)
b) 1. Los milagros tienen una causa sobrenatural o los milagros son fenómenos naturales. 2. Si los milagros tienen una causa sobrenatural, entonces los milagros no obedecen a leyes. 3. Si los milagros no obedecen a leyes, entonces los milagros no son predecibles. 4. Los milagros no son fenómenos naturales. Luego… 5. Los milagros tienen una causa sobrenatural (aplicando el S.D., en 1 y 4.). 6. Los milagros tienen una causa sobrenatural, entonces los milagros no son predecibles (aplicando el S.H., en 2 y 3.). 7. Los milagros no son predecibles (aplicando el M.P., en 5 y 6.). Forma lógica: 1. p 2. 4.
q r s q
5. p 6. 7. s
s
(S.D. 1,4.) (S.H. 2,3.) (M.P. 6,5.)
La demostración formal de la validez de un argumento, se hace exclusivamente analizando su forma e indicando cuáles son las reglas lógicas (de inferencia y equiformales de argumentos expresados únicamente en lenguaje simbólico, como en los siguientes ejemplos: A)
3. X
B) 1. (W 2. (U 3. R U 4. ~G 5. W W 6. W ~G
Y
5. Z 6. ~B 7. X 8. Y
1, 5 M.P. 2, 6 M.T. 3, 7 S.D. 4, 8 M.P. 2, 9 S.H.
8. R 9. U 10. U W 11. W
W
5, 6, Conj. 1, 6, M.P. 7, 4, M.T. 3, 8, S.D. 9, 5, Conj. 2,10, M.P
Actividad de aprendizaje Ejercicio 5.8. Instrucciones: Anota la conclusión que se puede obtener a partir de las premisas. Argumento
1)
Regla de inferencia
Y _______________
2)
(S (K
Adición
L) L) Modus Tollens
_______________
3)
(V (V
( Z) Modus Ponens
_______________ 4)
(C E) ( D E) _______________
5)
(I
Conjunción
S)
_______________
6)
_______________
Silogismo hipotético
Ejercicio 5.9. Instrucciones: Enuncia la regla de inferencia mediante la cual la conclusión se sigue de las premisas. 1)
1. G
E
2)
B
2. E
Z
G
_______________
3)
B
Z
_____________
4)
D)
2. ~A B 5)
1. X
_______________ F
F 7)
H 6)
_______________
1.
8)
(
F)
(
F)
_______________
1. T
_____________ (S
(S
Q
_____________
(K
2. Y
9)
D
(K
U)
U) L)
_____________
10)
2. U T 11)
U
_______________
1. O O
_____________ 12)
I
_____________
13)
_____________ 14)
(J
W)
(J
W)
H H
_____________
_____________
Ejercicio 5.10. tración formal de los argumentos siguientes. A)
B)
1. F 2. D 3. (F
1. [(C 2. C 3. D
4. F 5. E
D)
E
D
1, 2,________ 3, 4,________
D)
4. C D 5. (C D) 6. F
E]
E
B)
D)
1. G 2. (G
1. L (X D) 2. (D Y) S Y 3. X D 4. D Y 5. X Y
3. G 4. I
H) H
I 1, ________ 2, 3 ________
E) 1. J 2. L 3. K 4. L
F
2, 3, ______ 4, ________ 1, 5 ______
1, ________ 2 ,________ 3, 4, ______
F) K K L
1. C A 2. C D 3. D E 1, _________ 2, 3 ________
4. D 5. C 6. A
3, ________ 2, 4, ______ 1, 5, ______
G) 1. B 2. H 3. J 4. B
H) 1. Q P 2. T P 3. S T 4. S Q 5. P
H G G J
5. B 6. G 7. J
I) 1. Z 2. X 3. X 4. Y 5. Z
G
1, 2 ________ 5, 4 ________ 3, 6 ________
6. Q 7. S 8. T 9. P J) 1. (W ~G) 2. (U W) 3. R U 4. G 5. W W 6. W ~G 7. R G 8. R 9. U 10. U W 11. W
B B Y
Y 6. B 7. X 8. Y 9. B Y 10. X Y
K) 1. R T 2. T N 3. R M 4. (N M) 5. T 6. N 7. R 8. M 9. N M 10. S
1, 5 ________ 2, 6 ________ 3, 7 ________ 4, 8 ________ 2, 9 ________
L) 1. ( D L) 2. C L 3. D X 4. F C 5. D L 6. D 7. X 8. L 9. C 10. X C
S 1 __________ 2, 5 ________ 1 __________ 3, 7 ________ 6, 8 ________ 4, 9 ________
1, 5 ______ 4, 6 ______ 3, 7 ______ 2, 8 ______
(R W
G)
5, 4 ______ 1, 6 ______ 7, 4 ______ 3, 8 ______ 9,5 ______ 2, 10 _____
F
1, 4 ______ 5 ________ 3, 6 ______ 5 ________ 2, 8 ______ 7, 9 ______
M) 1. Q 3. 4. C 5. C 6. C 7. Q 8. R 10. Z
N) C
1. J 3. S
E S K
X
4 _______ 1, 5 _______ 2, 6 _______ 3, 7 _______ 5, 9 _______
Ñ)
5. E
1 _______
6. S 7. K 8. L
2, 5 _____ 3, 6 _____ 4, 7 _____
O)
1. K S 2. J K 3. K 4. (J 5. J 6. S 7. J S 8. G
2, 1 _____ 3, 5 _____ 5, 6 _____
2, 3 _______ 1, 3 _______ 5, 6 _______ 4, 7 _______
Ejercicio 5.11. a la derecha y anótala en el espacio en blanco. A) 1. B
B) V
1. H 2. (H
K 3. ____________ 4. ____________
Simp. 1 M.T. 2, 3.
3. ____________ 4. ____________
C) 1. X 2. E 3.
Adic. 1. M.P. 2, 3.
D) Q Q
1. R 2. C 3. (C
4. ____________ 5 ____________ 6. ____________
Simp. 2 S.D.1, 4 M.P. 3, 5.
4. ____________ 5. ____________
E)
Conj.2,1. M.P. 3, 4.
F) S
1. A 2. [(Y 3. Y
2. L 3. ____________ 4. ____________ 5. ____________
Simp. 2 Simp. 1 S.H. 3, 4.
A)
4. ____________ 5. ____________ 6. ____________
Conj.3, 1. Ad.4. M.P. 2, 5.
G)
H)
Y 3. A
T U
5.
4. B
U
6. ____________ 7. ____________ 8. ____________ 9. ____________
C 5. ____________ 6. ____________ 7. ____________
M.T. 4, 5. M.T.1, 6. S.D. 3,7. M.P. 2, 8.
I)
S.H. 3, 2. M.P. 5, 4. M.T.1, 6.
J) B
2. ( D 3. 4. F
L)
F
C 5. ____________ 6. ____________ 7. ____________ 8. ____________ 9. ____________ 10. ____________
3. X
Y
5. Z S.D. 2, 4, Simp. 5. Simp. 5. M.P. 3, 6. M.T.1, 7. Conj. 8, 9.
6. ____________ 7. ____________ 8. ____________ 9. ____________ 10. ___________
M.P. 1,5. M.T. 2,6. S.D. 3,7. M.P. 4,8. S.H. 2,9.
K) 1. (W 2. (U W 3. W 4. G 5. R U W 6. ____________ 7. ____________ 8. ____________ 9. ____________ 10. ____________ 11. ____________
L)
2. T N 3. R T 4. (N 5. ____________ 6. ____________ 7. ____________ 8. ____________ 9. ____________ 10. ___________
Conj. 3, 4. M.P.1, 6. M.T. 7, 4. S.D.5, 8. Conj. 9,3. M.P. 2, 10,
3. Simp. 2, 5. S.D. 3. Simp. 1, 7. M.P. 6,8. Conj. 4, 9. M.P.
M)
N) 1. (J 2. K S 3. K 4. J K
5. ____________ 6. ____________ 7. ____________
S.H. 1, 2. M.P. 3, 5. S.H. 5, 6.
5. ____________ 6. ____________ 7. ____________ 8. ____________
Ñ)
2. ~C 3. 4. Q
S.D. 2, 3. S.D. 3, 4. Conj. 6, 5. M.P. 1, 7.
O)
C
2. S
C
4. J
5. ____________ 6. ____________ 7. ____________ 8. ____________ 9. ____________ 10. ____________
Simp. 2. S.D. 4, 5. M.T. 1, 6. M.P. 3, 7. Simp. 2. M.P. 8, 9.
K S E
5. ____________ 6. ____________ 7. ____________ 8. ____________
Simp. 4. M.P. 3, 5. S.D. 2, 6. M.T.1, 7.
Ejercicio 5.12. Instrucciones: Realiza una prueba de demostración formal de los argumentos siguientes. A)
B) Q
3. P R 4. Q 5. R
________ ________
5. E
C)
D)
1. G 2. (G
1. T G H
3. G 4. I 5. I G
________ ________
V
3. 4. V
________ ________ ________.
S)
5. T 6. S 7. W S 8. W
E)
________ ________ _______. ________
F) 1. (A 2. Y A
3. (S 4. P 5. R 6. S 7. S 8. T
4. Y
R
________ ________ ________ ________
5. A 6. Z 7. A 8. B
Z
________ ________ ________ ________
G)
H)
1. J
E
3. S
~K 4. B F
5. E 6. ~S 7. ~K 8. ~L
________ ________ ________ ________
6. ~G 7. ~J 8. ~J F
I)
________ ________ ________ ________
J) 1. B 3. D ________ ________ ________
7. E
K)
3. X
L) 1. (W 2. (U 3. R U 4. ~G 5. W
Y
5. Z 6. ~B 7. X 8. Y
________ ________
________ ________ ________ ________ ________
6. W
~G
8. R 9. U 10. U W 11. W
________ ________ ________ ________ ________ ________
L) 1. R 2. T
M) ~T N
1. (~D
4. (N
F
4. ~F
5. ~T 6. N 7. R 8. M 9. N M 10. S
~C ~L
________ ________ ________ ________ ________ ________
5. ~D 6. ~D 7. X 8. ~L 9. ~C 10. X ~C
N)
________ ________ ________ ________ ________ ________
Ñ)
1. ~Q
4. ~C
~L)
C
1. J
E
3. S
~K
X
5. ~C 6. ~Q 7. ~R
________ ________ ________ ________
5. E 6. ~S 7. ~K 8. ~L
O)
________ ________ ________ ________
P)
1. K S 2. J K 3. ~K 4. (J 5. J 6. S 7. J S 8. G
________ ________ ________ ________ ________
________ ________ ________
Q)
R)
1. F 2. D 3. (F
1. [(C 2. C 3. D
4. F 5. E
D
________ ________
4. C D 5. (C D) 6. F
S)
T)
1. G 2. (G
1. L
3. G 4. I
H
________ ________
________ ________ ________
V) ~K 2. ~C 3. ~D
3. ~K 4. ~L
E
________ ________ ________
S
U) 1. J
D)
________ ________
4. ~D 5. ~C 6. A
D E ________ ________ ________
W)
X)
3. S
T
4. B F 6. ~G 7. ~J 8. ~J F
5. ________ ________ ________ ________
P
6. Q 7. S 8. T 9. P
________ ________ ________ ________
5.4. Reglas de equivalencia Recordemos que: Una regla es una verdad formal o lógica. Una fórmula proposicional o argumental funciona como regla si es una tautología. Una proposición compuesta es una equivalencia si es una tautología y su conectiva principal es bicondicional; por ejemplo, la proposición: (p ~ q) es una equivalencia, pues su conectiva principal es un bicondicional y es tautológica, como lo muestra su tabla de verdad: p V V F F
q V F V F
(p V V F F
V F V V
q) V F V F
~ V F V V
V V V V
(p V V F F
F V F F
~ F V F V
q) V F V F
En toda equivalencia la bicondicional relaciona a dos proposiciones, de las cuales se dice que son equivalentes entre sí y tienen idéntica tabla de verdad. Si dos proposiciones son equivalentes tienen los mismos valores de verdad (es decir, la misma tabla de verdad), por lo que pueden sustituirse entre sí en un argumento cualquiera.
Reglas de equivalencia Se denominan reglas de equivalencia o reemplazo a las formas básicas en que pueden ser sustituidas unas proposiciones por otras. ¿Cómo sabremos cuando usar una regla de equivalencia? Y ¿Por qué usamos reglas de equivalencia? Porque existen muchos argumentos que son válidos, cuya validez no puede demostrarse utilizando sólo las reglas de inferencia, sino que requiere de reglas adicionales.
Hay una diferencia importante entre las reglas de inferencia y las reglas de equivalencia, en las primeras se obtiene una consecuencia a partir de ciertas premisas, en cambio, las reglas de equivalencia no son inferencias, se utilizan en demostración formal para sustituir o reemplazar una proposición o una parte de ésta, principalmente como auxiliares cuando no es posible aplicar las reglas de inferencia.
Tautología (Taut.) proposición es igual a la conjunción o disyunción de sí misma. Veamos un ejemplo: Ejemplo: Hace calor. Equivale a: Hace calor y hace calor. Equivale a: Hace calor o hace calor. En lenguaje simbólico la fórmula se representa así: p) p)
Para saber si es una verdad lógica que podamos usar como una regla de equivalencia, demuestra mediante una tabla de verdad si la fórmula es una tautología: p V F
[p
(p
p)]
p V F
[p
(p
p)]
Doble negación (D.N) Si hacemos una doble negación, es decir, si negamos una proposición negativa,
negación. Veamos un ejemplo: Ejemplo: Estudie para el examen de lógica. Equivale a: No es cierto que no estudie para el examen de lógica. En lenguaje simbólico la fórmula se representa así: p
Para saber si es una verdad lógica que podamos usar como una regla de equivalencia, demuestra mediante una tabla de verdad si la fórmula es una tautología: p V F
[p
p]
Conmutación (Conm.) La conmutación es una propiedad algebraica, que has estudiado en matemáticas. En lógica, la ley de conmutación nos permite cambiar el orden de los elementos, pero sin alterar la conectiva. Esta regla puede aplicarse con tres de los cuatro conectivos diádicos: conjunción, disyunción y bicondicional2. Veamos algunos ejemplos: Ejemplo: Todos son inteligentes, pero algunos no lo saben. Equivale a: Algunos no lo saben, pero todos son inteligentes.
2
Con el único conectivo que no puede aplicarse esta regla es con el conectivo de la condicional,
Ejemplo: Voy al cine o a las luchas. Equivale a: Voy a las luchas o al cine. Ejemplo: Tiene tres lados iguales sí y sólo sí es un triángulo equilátero. Equivale a: Es un triángulo equilátero sí y sólo sí tiene tres lados iguales. En lenguaje simbólico la fórmula se representa así: (p (p (p
q q q
q q q
p) p) p)
Para saber si es una verdad lógica que podamos usar como una regla de equivalencia, demuestra mediante una tabla de verdad si las fórmulas son tautología: p V V F F
q V F V F
(p
q)
(q
p)
p V V F F
q V F V F
(p
q)
(q
p)
p V V F F
q V F V F
(p
q)
(q
p)
De Morgan3 (De M.) Llevan el nombre De Morgan las siguientes leyes fundamentales del álgebra de la lógica: la negación de la conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones y la negación de la disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones. Veamos algunos ejemplos: Ejemplo: No es cierto que, haya hombres de acero que vuelan. Equivale a: No hay hombres de acero o no hay hombres que vuelan. Ejemplo: No es cierto que, o subo los impuestos o la crisis será peor. Equivale a: No subo los impuestos y la crisis no es peor. En lenguaje simbólico la fórmula se representa así: ~(p ~(p
~p ~p
~q) ~q)
Para saber si es una verdad lógica que podamos usar como una regla de equivalencia, demuestra mediante una tabla de verdad si la fórmula es una tautología: p V V F F
q V F V F
[
(p
q)
( p
q)]
p V V F F
q V F V F
[
(p
q)
( p
q)]
3 Está regla recibe el nombre del distinguido matemático inglés del siglo XIX Augustus DeMorgan.
Asociación (Asoc.) La asociación es otra propiedad algebraica, que ya has estudiado en matemáticas. En lógica, la ley de asociación se permite con proposiciones conjuntivas y disyuntivas. En la asociación lo que hacemos una reagrupar el orden de las proposiciones sin alterar la conectiva. Veamos algunos ejemplos: Ejemplo: Estudio, o juego o aprendo. Equivale a: Estudio o juego, o aprendo. Ejemplo: Llueve, y estornudo y me da alergia. Equivale a: Llueve y estornudo, y me da alergia. En lenguaje simbólico la fórmula se representa así: [p [p
(q (q
q) q)
r] r]
Para saber si es una verdad lógica que podamos usar como una regla de equivalencia, demuestra mediante una tabla de verdad si la fórmula es una tautología: p V V V V F F F F
q V V F F V V F F
r V F V F V F V F
[(p
(q
r)]
[(p
q)
r)]
P V V V V F F F F
q V V F F V V F F
r V F V F V F V F
[(p
(q
r)]
[(p
q)
r)]
Distribución (Distr.) La distribución es también una propiedad algebraica que se aplica en lógica entre proposiciones que son conjunciones o disyunciones. Una conjunción equivale a la disyunción de las proposiciones conjuntadas y, viceversa, una disyunción equivale a la conjunción de las proposiciones en disyunción. Veamos algunos ejemplos: Ejemplo: Voy de paseo, y gasto dinero o me divierto. Equivale a: Voy de paseo y gasto dinero, o bien voy de paseo y me divierto. Ejemplo: Me caso o vivo errante y sin familia. Equivale a: Me caso o vivo errante y me caso o vivo sin familia En lenguaje simbólico la fórmula se representa así: [p [p
(q (q
q) q)
(p (p
r)] r)]
Para saber si es una verdad lógica que podamos usar como una regla de equivalencia, demuestra mediante una tabla de verdad si la fórmula es una tautología: p V V V V F F F F
q V V F F V V F F
r V F V F V F V F
[(p
(q
r)]
[(p
q)
(p
r)]
p V V V V F F F F
q V V F F V V F F
r V F V F V F V F
[(p
(q
r)]
[(p
q)
(p
r)]
Transposición (Trans.) La transposición es una propiedad que se aplica sólo a las proposiciones condiciovalor de verdad de la proposición. El orden normal de antecedente y consecuente de una proposición condicional son invertidos en forma de negación. El consecuente pasa a ser el antecedente y, viceversa, el antecedente pasa a ser el consecuente, pero negados. Veamos un ejemplo: Ejemplo: Si soy bueno entonces merezco el paraíso. Equivale a: Si no merezco el paraíso entonces no soy bueno. En lenguaje simbólico la fórmula se representa así: (p q p) Para saber si es una verdad lógica que podamos usar como una regla de equivalencia, demuestra mediante una tabla de verdad si la fórmula es una tautología: p
q
V
V
V
F
F
V
F
F
(p
q)
( q
p)
Implicación material (Impl.) Una proposición condicional es equivalente a una proposición disyuntiva cuyo antecedente aparece negado. Esta regla nos permite sustituir una proposición condicional por una proposición disyuntiva y viceversa, lo único que hacemos es negar el antecedente de la condicional y cambiar la conectiva a disyunción. Veamos su forma simbólica. (p
p
q)
Ejemplo: Si Venus brilla con luz propia entonces es un planeta. Equivale a: Venus no brilla con luz propia o bien es un planeta. Para saber si es una verdad lógica que podamos usar como una regla de equivalencia, demuestra mediante una tabla de verdad si la fórmula es una tautología: p
q
V
V
V
F
F
V
F
F
(p
q)
( p
q)
Equivalencia material (Equiv.) La aplicación de esta regla tiene dos modalidades: a) La proposición bicondicional equivale a la conjunción de las proposiciones condicionales que forman parte de la bicondicional en ambos sentidos. Veamos un ejemplo: Ejemplo: Un triángulo es equilátero si y sólo si tiene todos sus lados iguales. Equivale a: Si un triángulo es equilátero entonces tiene sus lados iguales, y si un triangulo tiene sus lados iguales entonces es equilátero. En lenguaje simbólico la fórmula se representa así: q)
(q
p)]
Para saber si es una verdad lógica que podamos usar como una regla de equivalencia, demuestra mediante una tabla de verdad si la fórmula es una tautología: p
q
V
V
V
F
F
V
F
F
[(p
q)
[(p
q)
(q
p)]
La proposición bicondicional equivale a una disyunción cuyo primer disyuntivo es la proposición que une en conjunción las dos proposiciones que forma la bicondicional y como segundo disyuntivo la conjunción de las misma proposiciones negadas. Veamos un ejemplo: Ejemplo: Compro un automóvil siempre y cuando tenga dinero. Equivale a: Compro un automóvil y tengo dinero, o bien no compro automóvil y no tengo dinero. En lenguaje simbólico la fórmula se representa así: q)
(~ p
~q)]
Para saber si es una verdad lógica que podamos usar como una regla de equivalencia, demuestra mediante una tabla de verdad si la fórmula es una tautología: p V V F F
q V F V F
[(p
q)
[(p
q)
( p
q)]
Exportación (Exp.) Cambia de conectivo de conjunción a condicional, cuando el antecedente es una conjunción y los agrupa de diferente manera, al dejar el primer conjuntivo como antecedente de toda la proposición y pasar el segundo conjuntivo al consecuente de la proposición como parte de otra condicional. Veamos un ejemplo: Ejemplo: Si hay buenas ventas y hay utilidades, entonces nos vamos de vacaciones. Equivale a: Si hay buenas ventas, entonces si hay utilidades entonces nos vamos de vacaciones. En lenguaje simbólico la fórmula se representa así: [(p
q)
p
(q
r)]
Para saber si es una verdad lógica que podamos usar como una regla de equivalencia, demuestra mediante una tabla de verdad si la fórmula es una tautología: p
q
r
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
[(p
q)
r]
[(p
(q
r)]
Actividad de aprendizaje Ejercicio 5.13. Instrucciones: Para cada uno de los siguientes argumentos proporcione la regla de equivalencia por la que se sigue la conclusión de su premisa: 1. J
K J
2. (C
______________________
I) A (I A)
3. ~( ~R
______________________
D) ~D
______________________
4. T ~T
______________________
______________________
F
______________________
7. (X ______________________ 8. I
(G H) G) (I
H)
______________________
9. U U
______________________
______________________ 11. Q
(P
S) P)
12. V
(Q
S)
______________________
W V
______________________
Demostración de argumentos utilizando reglas de equivalencia Veamos algunos ejemplos de argumentos cuya demostración requiere de la utilización de algunas reglas de inferencia. a) 1. El delfín es mamífero y el delfín es domesticable. 2. Si el delfín es mamífero, entonces el delfín tiene respiración pulmonar. Luego… 3. El delfín es mamífero (aplicando la Simp. en 1.). 4. El delfín tiene respiración pulmonar (aplicando el M.P. en 2 y 3). Utilizando variables para representar su forma lógica tenemos: 1. p 2. p
q r
3. p (Simpl. 1.) 4. r (M.P. 2,3.) b) 1. Si el hombre tiene conciencia y el hombre tiene libertad, entonces el hombre es responsable de sus actos. 2. El hombre tiene conciencia. 3. El hombre tiene libertad. Luego… 4. El hombre tiene conciencia y el hombre tiene libertad (aplicando la Conj. en 2 y 3.). 5. El hombre es responsable de sus actos (aplicando el M.P. en 1 y 4.). Utilizaremos variables para representar su forma lógica: 1. 2. 3. 4. 5.
(p q) r p q p q (Conj. 2,3.) r (M.P. 1,4.)
c) 1. Si aprobé todas mis materias y tengo promedio de nueve, entonces estudiaré con una beca en Francia. 2. Aprobé todas mis materias y mi situación académica es regular. 3. Tengo promedio de nueve. Luego… 4. Aprobé todas mis materias (aplicando la Simpl. en 2.) 5. Aprobé todas mis materias y tengo promedio de nueve (aplicando la Conj. en 4 y 3.). 6. Estudiare con una beca en Francia (aplicando el M.P. en 1 y 5.). Utilizaremos variables para representar su forma lógica: 1. (p q) 2. p t 3. q 4. p 5. p 6. r
r
(Simpl. 2) q (Conj. 4,3) (M.P.1,5)
Ahora veamos ejemplos de demostraciones formales de argumentos expresados únicamente en lenguaje simbólico, como en los siguientes ejemplos: a)
b)
1. p (q r) 2. ~ (p r)
1. ~(p
q) m)
4. (t 5. (p q) 6. p q 7. p 8. t 9. t s 10. r
4. ~m 5. s (p
r)
(Distr. 1.) (S.D. 2,5.) (Simpl. 6.) (M.P. 3,7.) (Ad. 8.) (MP. 4,9.)
6. ~p 7. ~q 8. ~r 9. t m 10. t 11. s t
t ~q
(De M. 1.) (Simpl. 6.) (M.T. 2,7.) (M.P. 3,8.) (S.D. 4,9.) (Conj. 5,10.)
Actividad de aprendizaje Ejercicio 5.14. de la conclusión en la demostración formal de los argumentos siguientes. A)
B)
1. F D 2. (D
1. ~(~H 2. (G
4. D 5. E
F
1. __________ 2, 4. ________
3. ~~H ~~G 4. H G 4. G H 5. I
C) 1. (~K
3. ~K 4. ~K 5. ~L
~G)
1. __________ 3. __________ 4. __________ 2, 4. ________
D) J)
(J
R
R)
1. P (Q 2. (P 1. __________ 3. __________ 2, 4. ________
3. (P Q) 4. P Q 5. S
E)
R)
(P
R) 1. __________ 3. __________ 2, 4. ________
F) 1. L S 1. __________ 3, 2. ________
1. __________ 3. __________ 4. __________ 2. __________ 5, 6. ________
G)
H)
1. [(C D) 2. E (D C) 3. (D 4. (C 5. F
C) D)
2. ~C D 3. (~D E )
E E
2. ________ 3. ________ 1, 4. _______
4. ~D (E 5. ~D 6. ~C 7. A
I) 1. S
H H)
3. ________ 4. ________ 2, 5. _______ 1, 6. _______
J) (~J
K)
3. (S ~J) 4. S ~J 5. ~J S
(S
7. G
1. P
K)
1. ________ 3. ________ 4. ________ 5. ________ 2, 6. _______
3. (P 4. P P 5. A
K) 1. ~(~P
L) ~Q)
2. ~~P ~~Q 3. P Q 4. (P Q) (~P
1. ~J E 2. ~E J 1. ________ 2. ________ ~Q) 3. ________ 4. ________
1. ________ 2. ________ 3, 4. _______ 5. ________
M) 1. ~( X
2. ________ 1. ________ 3, 4. _______
N) ~Y)
2. ~X ~~Y 3. ~X Y
1. ~W 1. ________ 2. ________ 3. ________ 4. ________
(G
2. (~W G) 3. ~W G
R) (~W
R) 1. _______ 2. _______ 3. _______ 4. _______
Actividad de aprendizaje Ejercicio 5.15. de la inferencia que está anotada a su derecha. A) 1. C
B) ~B
1. ~T
3. _____________ 4. _____________ 5. _____________
2. _____________ 3. _____________ 4. _____________
Conm. 1. Impl. 3. S.H. 2, 4.
C) 1. ~(~A
Adic. 1. Impl. 2. Trans. 3.
D) ~Y) 2. ~F
3. _____________ 4. _____________ 5. _____________ 6. _____________
De M. 1. D.N. 3. Simp. 4. M.P. 2, 5.
3. _____________ 4. _____________ 5. _____________
E)
3. _____________ 4. _____________
Adic. 2. Impl. 3. M.P. 1, 4.
F) 1. L (R S) 2. (L 3. (L U 4. _____________ 5. _____________ 6. _____________ 7. _____________ 8. _____________ 9. _____________
Conj. 1, 2. Equiv. 3.
Dist. 1. Simp. 4. M.P. 2, 5. Simp. 4. M.P. 3, 7. Conj. 6, 8.
G)
H)
1. (A
1. (X
B) ~C ~C 2. _____________ 3. _____________ 4. _____________ 5. _____________ 6. _____________ 7. _____________ 8. _____________
Conm. 1. Distr. 2. Simp. 3. Impl. 4. Trans. 4. Imp. 6. D.N. 7.
3. ~ (W
Z Y)
4. _____________ 5. _____________ 6. _____________ 7. _____________ 8. _____________ 9. _____________
I) 1. S
Y)
De M. 3. Simp. 4. M.T. 2, 5. S.D. 1, 6. Simp. 4. S.D. 7, 8.
J) (~R
U)
1. P S
3. _____________ 4. _____________ 5. _____________ 6. _____________ 7. _____________
Dist.1. Simp. 3. Conm. 4. Impl. 5. M.P. 2, 6.
3. _____________ 4. _____________ 5. _____________ 6. _____________ 7. _____________
Simp.1. Trasp. 3. D.N. 4. Simp. 2. S.H. 5, 6.
Actividad de aprendizaje Ejercicio 5.16. Instrucciones: Demuestra la validez de los siguientes argumentos mediante una prueba formal, previa traducción del español al lenguaje simbólico. 1. Si conquistas a tus enemigos entonces conquistarás la paz. Conquistas a tus enemigos y eres feliz. Luego, conquistarás la paz. 2. No es el caso que estudiar álgebra o geometría sea difícil. Si estudiar geometría es difícil entonces también lo será el estudiar álgebra. Luego, estudiar geometría no es difícil. 3. 0 tienes buenas costumbres o si te portas mal entonces perderás a tus amigos. No tienes buenas costumbres pero no pierdes a tus amigos. Por lo tanto, no te portas mal. 4. Si me enojo con mi hermana, entonces no me dará de comer y no saldré al parque de la esquina con ella. Si mi hermana no me da de comer y no salgo con ella al parque de la esquina, entonces no podré jugar con mis amigos. Luego, Si me enojo con mi hermana, entonces no podré jugar con mis amigos. 5. Si pido dinero prestado al banco entonces me compraré un automóvil. Si me compro un automóvil entonces saldré a pasear con mi novia todas las tardes. Si salgo a pasear con mi novia todas las tardes entonces me sentiré feliz. Luego, si pido dinero prestado al banco entonces me sentiré feliz. 6. Si no recibo aumento salarial, entonces o no salgo de mis deudas o mi compadre no me presta más. Salgo de mis deudas y mi compadre me presta más. Luego, recibo aumento salarial o cambio de empleo. 7. Si practico algún deporte entonces mi condición física estará saludable y si salgo a correr al parque entonces bajaré de peso. Si mi condición física es saludable entonces practico algún deporte. Practico algún deporte. Luego, o practico algún deporte o salgo a correr al parque.
8. Si Juan consiguió el desarmador entonces reparará el ventilador. Si Juan repara el ventilador entonces no tendré más calor. Juan consiguió el desarmador. Luego, Si tengo más calor entonces no ha llovido. 9. Si logro resolver los problemas de matemáticas entonces el profesor me dará diez puntos extras, y si aprendo geografía entonces mi padre me regalará un viaje turístico a España. El profesor no me da diez puntos extras y mi padre no me regala un viaje turístico a España. Por consiguiente, logro resolver los problemas de matemáticas si y sólo si aprendo geografía.
Actividad de aprendizaje Ejercicio 5.17. tración formal de los argumentos siguientes. A) 1. (D 2. ~(E
B) E)
1. (l 2. (Q
F)
R)
l
F) 4. ~(F E) 5. ~( D F)
_________ _________
3. l (Q R) 4. (l Q) (l R) 5. l Q 6. O
E)
H)
2. ~C D 3. (~D E )
~G
5. ~B
_________ _________ _________
~G
4. ~D 5. ~D 6. ~C 7. A
I) 1. S
(E
H H)
_________ _________ _________ _________
L) (~J
3. (S ~J) 4. S ~J 5. ~J S 7. G
_________ _________ _________ _________
K)
(S
1. ~O 2. ~E K)
_________ _________ _________ _________ _________
E O _________ _________ _________ _________
M) 1. ~( X 2. ~X 3. ~X
O) ~Y) X ~~Y Y
1. ~E _________ _________ _________ _________ _________ _________
6. ~~Y X 7. Y X
4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.
~E ~T D C C D ~F ~T ~F (~T ~F) D ~(T F) D (T
Q)
1. ~T
1. ~(~A ~H
_________ _________ _________ _________
3. 4. 5. 6.
S)
1. L (R S) 2. (L 3. (L U 4. (L R) (L 5. L R 6. T 7. L S 8. U 9. T U
1. (A
_________ _________ _________ _________ _________ _________
2. 3. 4. 5.
_________ _________ _________ _________ _________ _________ _________ _________ _________
~Y)
~~A ~~Y A Y A X
R)
S)
C)
3. (C
P)
2. ~T
(D
B) ~C ~C ~C (A B) (~C A) (~C ~C A A ~C
_________ _________ _________ _________
B)
_________ _________ _________ _________
Glosario
Antecedente.
La primera proposición de una proposición condicional o hipotética, por ejemplo: Si llueve, acamparemos (el antecedente llueve ).
Argumento.
Expresión oral o escrita de un razonamiento.
Bivalente.
Sistema lógico que opera con dos valores de verdad: verdadero y falso.
Bicondicional. Una condicional cuyo antecedente implica al consecuente y el consecuente al antecedente. Cálculo Calculo lógico. Aspecto operacional de un sistema lógico. Condicional.
Lo sometido a una condición en el pensamiento o la realidad.
Conjunción.
Proposición compuesta unida por la expresión y .
Conjuntar.
Unir o enlazar proposiciones.
Complejo.
Compuesto o mezcla de cosas diferentes.
Conectiva
Término de enlace que conecta una o más pro-
lógica.
posiciones simples.
Conclusión.
El juicio cuya verdad es derivada de otros juicios llamados premisas.
Consecuente.
La proposición que sigue al antecedente; en: Si llueve, acamparemos , el consecuente es: acamparemos .
Contingente.
Proposición compuesta cuyos posibles valores, al elaborar su tabla de verdad, resultan verdaderos y falsos.
Contradictoria. Proposición compuesta que es falsa en todos los casos. Demostración. Deducción destinada a probar la verdad o corrección de su conclusión. Deducción.
Derivación de la verdad de un juicio a partir de la verdad de otro u otros.
Diádico.
Se dice de las conectivas lógicas que unen dos proposiciones simples. Por ejemplo, la condicional, conjunción, disyunción y bicondicional.
Dilema.
Silogismo disyuntivo en el cual las dos conclusiones alternativas enuncian la misma tesis o la implican.
Disyunción.
Relación entre dos proposiciones expresadas por la letra «o»; se llama disyunción exclusiva o fuerte cuando ambos enunciados no pueden ser verdaderos, y débil o inclusiva cuando pueden serlo.
Enunciado. Formalizar.
Sustituir los enunciados o proposiciones de un sistema por meras estructuras formales y derivarlos de un conjunto bien determinado de
Fórmula.
Forma establecida para representar un argumento o una regla lógica.
Fórmula bien formada.
Proposición lógica formalizada conforme a las reglas de formación de las proposiciones y de la representación de signos.
Función de verdad.
Proposición compuesta en la cual el todo depende del valor de verdad de las partes.
Hipotético.
Una proposición es hipotética cuando su enunciado está sometido a una condición. Un silogismo es hipotético cuando tiene una premisa que es una proposición hipotética.
Inferencia.
Conexión de dos o más proposiciones o juicios por lo cual se deriva la verdad de un enunciado de las verdades de otro u otros.
Implicación.
Relación de consecuencia entre dos proposiciones.
Juicio. Lógica simbólica
Llamada también lógica matemática o logística, se caracteríza por diante ella demostramos la validez de los argumentos.
Lógica
Parte de la lógica simbólica que tiene por objeto
proposicional. demostrar la validez de un argumento a través de la relación que se da entre las proposiciones que lo forman. Monádico.
Término que expresa la conectiva lógica de la negación.
Oración. proposiciones.
Persuadir.
Ganar el asentimiento de alguien por cualquier medio no violento.
Prueba.
Operación lógica por la cual se establece la verdad de una proposición.
Prueba formal de validez
Se llama así al proceso de enlistar la cadena de inferencias en la
Portador de verdad.
Se le llama así a las expresiones de las cuales se puede predicar la verdad o falsedad.
Proposición Se caracteriza porque puede ser verdadero o falso. Regla lógica.
Una estructura argumental que por ser válida es usada para demostrar un tipo de inferencia deductiva.
Reglas de inferencia.
Esquemas o fórmulas de argumentos válidos.
Reglas de equivalencia.
Esquemas o fórmulas de argumentos que tienen el mismo valor de verdad y pueden ser sustituibles en una prueba de demostración formal.
Silogismo:
Razonamiento deductivo en el cual las premisas enlazan dos términos con un tercero, y la conclusión expresa la relación de esos dos términos entre si
Símbolo.
Lo que en virtud de una convención sirve para designar una cosa. .
Tabla de verdad.
Tautología.
Contenido de ciertos signos o sonidos que son producidos por seres humanos y que por ello permiten que se forme un lenguaje. de verdad de una proposición compuesta, a partir de las combinaciones de los valores de verdad de sus proposiciones que son simples componentes. Proposición cuyos posibles valores siempre son verdaderos.
Unívoco Validez se deduce lógicamente de sus premisas. Variables.
Símbolos como x, y y z, que representan cualquier tipo de individuos u objetos.
Válida.
Razonamiento que tiene valor demostrativo.
Validez.
Conformidad de un juicio con las leyes lógicas y derivadas de él a partir de otros enunciados. Se trata de una meramente formal.
Verdad.
Correspondencia de una proposición con los objetos de que ella habla. .
Veritativofuncional.
Método que permite probar o establecimiento de la verdad de un enunciado. Dícese de las conectivas cuya término representa una relación que es una función de verdad de las proposiciones que la componen.
Bibliografía general
Arnaz José Antonio. Iniciación a la lógica simbólica. México, Trillas, 1989. Badesa, Calixto. Et. al. Elementos de lógica formal. Barcelona, Ariel, 1998. Copi, M. y C. Cohen. Introducción a la Lógica. México, Limusa, 1995. Chávez, Salvador. Lógica. Principios, ejercicios y aplicaciones. México, McGrawHill, 2001. González Yáñez, Arturo. Lógica o por qué la luna es de queso. México, Oxford, 2005. Lógica marco teórico y aplicaciones. México, Novaarts Grupo editorial, 2005. Hernández, Gabriela y Gabriela Rodríguez. ¿Lógica… para qué? Argumenta, debate y decide racionalmente. México, Pearson, 2009. Manzano, María y Antonia Huertas. Lógica para principiantes. Madrid, Alianza, 2004. Mateo Nava, Misael. Lógica para inexpertos. México, Edere, 1998. Pazos, María y Sandra Ramírez. Conectivas y usos del lenguaje: hacia un discurso argumentativo. México, Universidad de la Ciudad de México, 2003. Sandoval Madrigal, Fausto. et.al. Lógica principios teóricos y práctica. México, Minerva Grupo editorial, 2003. Trevijano, Carmen García. El arte de la lógica. España. Tecnos, 1993. Weston, Anthony. Las claves de la argumentación. Madrid, España. Ariel. 1995.
Otros recursos http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/