UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE FÍSICA CURSO: FÍSICA APLICADA INFORME DE LA PRÁCTICA 1 TÍTULO: MOMENTO DE INERCIA APELLIDOS Y NOMBRES DEL ALUMNO:
ESTUDI ANTE Davila Arriaga, Patricia Ninoshka $ern%n&e' (ar)agelatta, (runo +era alin&o, +ictoria Cal&er-n Moriano, A&ol.o Arturo HORARIO DE PRÁCTICA:
ESPECI ALIDAD Pesquería Meteorología Meteorología Meteorología
/0NE1 &e 34 a #34 A0/A
2
PROFESOR DE LABORATORIO: •
/ic5 Ro&ol.o /uis 1onco Cutire
FECHA DEL EXPERIMENTO6
277!#
FECHA DEL INFORME:
877!# LA MOLINA- LIMA- PERÚ 21!
CÓDIGO 2!"!2# 2!*!!** 2!*!!#2 2!*!*!
ÍNDICE Introducción……………………………………………………………… ………………………..pag.3 Objetivos………………………………………………….. …………………………………………pag.4 Marco teórico…………………………………………………………………… ……………..….pag.4 Procedimiento…………………………………………………………… ………..………………pag.5 Cálculos resultados………………………………………………………………… …………pag.! Cuestionario……………………………………………………………… ………..………………pag." Conclusiones…………………………………………………………… …..……………………..pag.# $ugerencias comentarios………………….. ……………………………………………pag.%& 'e(erencias……………………………………………. ………………………………………….pag.%& )ne*os…………………………………………………………. …………………………………..pag.%%
INTRODUCCIÓN
+a resistencia ,ue un cuerpo en rotación opone al cambio de su velocidad de giro se conoce como el momento de inercia. -n este trabajo se desarrollará e*perimentalmente los momentos de inercia de di(erentes cuerpos sólidos tales como el cilindro maci/o es(era maci/a tambi0n la comprobación e*perimental del teorema de $teiner ,ue establece una relación entre el momento de inercia ,ue pasa por el centro de masa el ,ue pasa por un eje paralelo en un disco. $e relacionará el resultado del momento de inercia con el periodo para obtener el periodo se necesita del tiempo ,ue será medido contando oscilaciones ,ue recorren di(erentes ángulos.
o
o
o
OBJETIVOS 1eterminación e*perimental de los momentos de inercia con el m0todo de oscilación de di(erentes cuerpos sólidos. Comprobar e*perimentalmente la valide/ del 2eorema de $teiner.
MARCO TEÓRICO Cálculo del momento de inercia )un,ue el momento de inercia de un cuerpo rgido se dene en principio por la ecuación I = Σm r
2
0sta sólo puede aplicarse
directamente cuando el cuerpo estás constituido por varias masas puntuales. Cuando el cuerpo consta de una distribución continúa de materia la suma se e*presa por una integral. Imaginemos ,ue se divide el volumen total del cuerpo en pe,ueos elementos de volumen dV . -l momento de inercia en tal caso puede e*presarse como 2 2 I = lim r ∆ m= r dm ∆m→0
∑
∫
Puesto ,ue la densidad 6 del elemento es su masa por unidad de volumen 67dm8d9 tambi0n puede escribirse 2 I =∫ r ρdV $i el cuerpo es :omog0neo es decir si la densidad es uni(orme entonces 6 puede sacarse de la integral; 2 I = ρ∫ r dV Cuando se utili/a esta ecuación el elemento de volumen d9 se e*presa en (unción de las di(erenciales de las variables de integración de ordinario las coordenadas del elemento de volumen d9 :a de elegirse de (orma ,ue todos los puntos del mismo est0n prácticamente de la misma distancia del eje de rotación.
F"ente$ %i&ro 'sica ni*ersitaria
Momento de inercia de radio ' 2
I = M R
2
Anexo2
5
2
2
R 1+ R 2
-l momento de inercia de un cilindro :ueco;
I =
1 2
M ¿ <
Anexo1 $i el cilindro es maci/o; 1
I = M R
2
2
Anexo3
Obs0rvese ,ue le momento de inercia de un cilindro respecto a un eje ,ue coincide con su eje de simetra no depende del longitud “l”. -l momento de inercia depende sólo de la distribución radial de la masa no de su distribución a lo largo del eje. (Sears Francis.1986)
F"ente$ %i&ro 'sica ni*ersitaria
I.
PROCEDIMIENTO
A. Determinacin ex!erimental del momento de inercia de "n cilindro maci#o$ %. Colo,ue el cilindro en el soporte de oscilación giratoria mida con el cronómetro el tiempo ,ue tarda en reali/ar 5 oscilaciones en torno a su eje de simetra. Para esto se gira el cuerpo una vuelta completa
3=& grados en el sentido de compresión del resorte su0ltelo. $e cuenta una oscilación por cada ve/ ,ue retorna a la posición inicial. >. $e reali/a esta medida 5 veces se anota los datos.
+. Determinacin ex!erimental del momento de inercia de "na es'era maci#a$ %. Colo,ue la es(era en el soporte de oscilación giratoria mida con 0l cronómetro el tiempo ,ue tarda en reali/ar 5 oscilaciones en torno a su eje de simetra. Para esto a di(erencia del caso anterior se gira el cuerpo media vuelta completa en el sentido de compresión del resorte se procede a soltar. $e cuenta una oscilación por cada ve/ ,ue retorna a su posición inicial. >. $e reali/a la medida 5 veces se anota los datos.
,. ,om!ro&acin ex!erimental del -eorema de Steiner$ %. Colo,ue un disco taladrado en el soporte de oscilación giratoria de (orma ,ue este oscile en torno al eje ,ue pasa por su centro de masas determine el tiempo ,ue tarda en reali/ar 5 oscilaciones. Para ello siga el mismo procedimiento ,ue en el caso del cilindro ?una vuelta completa<. >. Colo,ue esta ve/ el disco taladrado de (orma ,ue oscile en torno a otro eje de rotación paralelo al anterior para esto sit@e el eje en otro oricio de los ,ue dispone el disco ?de pre(erencia uno de los pró*imos a la peri(eria< siguiendo el procedimiento anterior determine el tiempo ,ue tarda en reali/ar 5 oscilaciones. Cada caso tambi0n se reali/a 5 veces.
II.
CÁLCULOS Y RESULTADOS
Consideramos la constante elástica del resorte; 17 &.&>=5 A.m8rad A. Determinacin ex!erimental del momento de inercia de "n cilindro maci#o$ +os 5 tiempos encontrados ?en segundos<
t1
t2
t3
t4
t
4.5 "
4.& 5
4.> #
4.3 %
4.% #
t! 4.>" 4
+a (órmula para el cálculo e*perimental del momento de inercia es; I7 12>8 4>B 27 tp85 Por tanto tenemos; I7 &.&>=5* ?&."5="<>84>7 &.&&&4#3 g8m> Comparamos con el resultado teórico el cual se obtiene por; %8>m'> '7'adio del cilindro ?en cm< m7masa del cilindro?en Dg< I7 %8>*&.3=5 * &.&4#>7 &.&&&43" g8m> &.&&&43"E&.&&&4#3< 8&.&&&43" *%&& 7 %>.55 $e obtuvo un %>.55 de margen de error. +. Determinacin t1 t2 t3 t4 t momento de %3.4 %3.4 %3.4 %3.5 %3.= es'era maci#a$ > # # 4 " +os 5 tiempos encontrados ?en segundos<
t! %3.5 >
t1
t2
t3
t4
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ex!erimental del inercia de "na
+a (órmula para el cálculo e*perimental del momento de inercia es; I7 12>8 4> B 27 tp85 Por tanto tenemos; I7 &.&>=5*%.!&4>84>7 &.&&%#5 g8m> Comparamos con el resultado teórico el cual se obtiene por; >85m'> '7 'adio de la es(era ?en cm< m 7 masa de la es(era ?en Dg<. I7>85*&."#%*&.&!>7 &.&&%!5 g8m> ?&.&&%!5E&.&&%#5< 8&.&&%!5*%&&7 %%.4> $e obtuvo un %%.4> de margen de error. ,. ,om!ro&acin ex!erimental del -eorema de Steiner$ 2enemos dos casos %. Cuando el eje pasa por el oricio central del disco. +os 5 tiempos encontrados ?en segundos<
+a (órmula para el cálculo e*perimental del momento de inercia es; I7 12>8 4>B 27 tp85 Por tanto tenemos; IF7 &.&>=5* >.!&>84>7 &.&&4# g8m> >. Cuando el eje pasa por un oricio alejado del oricio central del disco. +os 5 tiempos encontrados ?en segundos<
t1
t2
t3
t4
t
t!
1"# #
%5.= #
%5." &
%5.5 &
%5.= =
%5.= 4
+a (órmula para el cálculo e*perimental del momento de inercia es; I7 12>8 4>B 27 tp85 Por tanto tenemos; I)7 &.&>=5*3.%3> 84>7 &.&&=5 g8m> Con el tema de $teiner :allamos la siguiente relación; I)7 IFGmd> entonces tenemos &.&&=5E &.&&4#7 &.&&%= &.44%*o&=> 7 &.&&%= 9emos ,ue cumple la relación.
III. CUESTIONARIO 1). ¿En cuales cass !e la ecuac"#n $1) se %ue!en cns"!e&a& el ''en( &esul(an(e cns(an(e +a (uer/a neta H ,ue act@a sobre la partcula es nula +a (uer/a H es paralela a r. -sto se cumple en el caso de las (uer/as centrales Anexo /
*). ¿S" en un e+%e&"'en( ,(ene's I cns(an(e- %!&a's !e!uc"& /ue 02 es (a',"3n cns(an(e 4un!a'en(e su &es%ues(a. $i el momento de inercia es constante será debido a ,ue mantiene el mismo eje de rotaciónB por lo tanto. el ángulo girado en un determinado tiempo será constante es decir la velocidad angular es constante.
5). E+%l"/ue %& /u3 al ca',"a& el e6e !e &(ac"#n !e un ,6e( ca',"a su ''en( !e "ne&c"a. -l momento de inercia depende de la distribución de masa alrededor del eje de giro si el eje cambia la distribución será di(erente. )demás de la denición de momento de inercia vemos ,ue este depende del eje de rotaciónB considerando un cuerpo rgido partimos de esa suposición para simplicar el análisis a ,ue en realidad di(erentes partes del cuerpo tienen velocidad aceleraciones distintas.
7). ¿Un ,6e( !e,e es(a& &(an! %a&a (ene& un ''en( !e "ne&c"a !"8e&en(e !e ce& Ao el momento de inercia sólo depende de la geometra del cuerpo de la posición del eje de giroB pero no depende de las (uer/as ,ue intervienen en el movimiento.
9). Ds c"l"n!&s /ue ("enen las '"s'as !"'ens"nes se %nen a &(a& en (' a sus e6es la&:s cn la '"s'a ;elc"!a! an:ula&. Un es llen !e a:ua. ¿en cu>l c"l"n!& se&> '>s 8>c"l !e(ene& la &(ac"#n $era más (ácil en el cilindro :ueco a ,ue en 0l cilindro con agua la masa es maor por lo tanto lo es tambi0n su momento de inercia.
?). De$cri%a u$ted el mo&imiento de la tierra con re$!ecto a $u momento ' &elocidad an(ular" +a energa rotacional de la tierra ,ue gira en torno a un eje jo está relacionada con su momento de inercia la velocidad angular. Mientras más alejada est0 la masa del cuerpo respecto al eje de rotación se necesitará más energa para ,ue el cuerpo ad,uiera una velocidad angular.
@) De!uc"& la ene&:a c"n3("ca !e &(ac"#n !e un cue&% &:"! cn &es%ec( a un e6e %&"nc"%al 1e la ecuación de la energa cin0tica; -D7 &.5m ?v 2< B 97 Jr 2odas las partculas ,ue giran alrededor del eje tienen la misma velocidad angular -D7 &.5 ?M< ?r 2< ?J2< +a -D total del cuerpo es la sumatoria de las -D de cada partcula por lo tanto; K-D7 &.5K ?m< ?r 2< ?J2<
I 7 Km?r 2<
L al reempla/ar la denición de momento de inercia en la ecuación obtenemos la ecuación de la energa cin0tica de rotación; -D7 ?I< ?J 2<
IV.
CONCLUSIONES •
•
$e determinó el resultado e*perimental de los momentos de inercia con respecto a los momentos de inercia calculados teóricamente (ueron mu similares entonces podemos decir ,ue este m0todo de oscilación nos da una e*actitud del momento de inercia ,ue ,ueremos :allar. $e comprobó el 2eorema de $teiner a ,ue los valores obtenidos e*perimentalmente (ueron mu cercanos a los obtenidos teóricamente. -l momento de inercia ,ue pasa por
el oricio central del disco (ue num0ricamente maor al ,ue pasa alejado del oricio esta di(erencia dio un valor positivo esperado el cual se comparó con el N md > se comprobó un valor con un error mnimo.
V.
SUERENCIAS Y COMENTARIOS
+a simetra del cuerpo permite a veces reali/ar sólo parte del cálculo.
Muc:as veces dado el momento de inercia de un cuerpo respecto a un cierto eje podemos sacar su momento en otro eje sin necesidad de recalcularlo usando el teorema de $teiner o el de las guras planas.
-l teorema de los ejes perpendiculares sólo se aplica a las guras planas permite relacionar el momento perpendicular al plano de la gura con los momentos de otros dos ejes contenidos en el plano de la gura.
VI. RE4ERENCIAS
H'-ACQ )nt:on P:ilip. Mecánica AeJtoniana. Curso de (sica del M.I.2. ?>&&=< =#% R =#>.
+andau S +i(sc:it/; 0ecnica -d. 'evert0 Tarcelona %##%
1inámica de rotación. :ttps;88aarrietaj.les.Jordpress.com8>&%%8&38prob lemasEdeEdinamicaEdeErotacic3b3n.pd( 'evisado; 4 de abril >&%!.
Hrancis U. $ears. %#"=. Hsica Vniversitaria. $e*ta edición. -ditorial Hondo educativo Interamericano. Impreso en -stados Vnidos.
)II" ANE*O+ Anexo 1 -l momento de inercia está dado por I = ρ∫ r dV 2
R2
¿ 2 πρl ∫ r dr 3
R1
¿ ¿
πρl 2
πρl 2
4
4
2
1
( R − R )
( R − R )( R + R ) . 2
2
2
2
2
1
2
1
-n general es más conveniente e*presar esto en (unción de la masa total M del cuerpo ,ue es la densidad multiplicada por el volumen total. -l volumen está dado por πl ( R 2− R1 ) . 2
2
Por consiguiente M = πlρ ( R 2− R 1 ) , 2
L el momento de inercia es por tanto 2
2
R 1+ R 2 1 I = M ¿ < 2
Anexo 2 r = √ R 2
2
2
− x
$u volumen es
2
R (¿ ¿ 2− x 2) dx 2 dV = π r dx = π ¿
L su masa es dm = ρdV .
Por tanto seg@n la ecuación ?#.>%.< su momento de inercia es dV =
πρ 2
2
2 2
( R − x ) dx ,
L para la es(era completa 2
2
R − x ¿ ¿ ¿2 ¿ R πρ I =( 2 ) ∫ ¿ 2
0
La ,ue por simetra la semies(era derec:a tiene el mismo momento de inercia ,ue i/,uierda. 'eali/ando la integración se tiene I =
8 πρ 15
R
5
+a masa M de la es(era es 4 πρ R M = ρV =
3
3
Por tanto 2
I = M R
2
5
Anexo 3
∫
2
I = r d m
+a masa de cada capa será el producto de la densidad por el volumen.
dm= ρ dv
+a densidad de masa por tratarse de un sólido :omog0neo es igual a la masa total dividida por el volumen total p=
m m = 2 v π R H
dv = S dr =2 πrH dr
-sto nos da el di(erencial de masa
dm 7 ρ dv 7
m 2
π R H
( 2 πrH dr )=
2 mr dr
R
2
L el momento de inercia total
I =
2m
R
2
∫r d r
1
3
2
m R
2
Anexo / •
+os sistemas planetarios son sistemas de (uer/as centrales. +a 2ierra e*perimenta (uer/as atractivas denidas por la le de la Fravedad dirigidas :acia el centro de $ol. $u momento angular es constante.
•
Vna patinadora ,ue mientras gira recoge sus bra/os es otro ejemplo interesante. )l recoger sus bra/os la distribución de masas respecto al eje vara; toda la masa se concentra más cerca del mismo por lo ,ue el momento de inercia disminue. -n el movimiento de plegar los bra/os no son necesarios momentos de (uer/a por lo ,ue el momento angular permanece constante. Observa ,u0 ocurre entonces; ( =( I1WX1) I2WX2) a n t e s d e s p u0s
-sto signica ,ue dado ,ue I> es menor ,ue I% la velocidad angular X> debe ser maor ,ue X%. -s decir cuando el patinador pliega sus bra/os su velocidad angular aumenta.
