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Informe No 8,Circuitos acoplados magn´ magneticamente,Gr e´ ticamente,Gr 6, Eq 5 Roberto S´ Sanchez, a´ nchez, Ivan Arturo Nunez, n˜ ez, Kevin Toledo Universidad Nacional de Colombia {ianu˜ ianunezf, n˜ ezf, rodsanchezdu, kgtoledoc }@unal.edu.co Laboratorio de Circuitos II
Resumen—In this laboratory practice we are going to evaluate the behavior of inductances mutually involved, creating what we call a transformer, measuring certain values we will determine the characteristic values of the transformer. ´ —Transformador rmador,, inductancia, inductancia, acople Indice de T´ erminos —Transfo magn´etico, etico, devanado, hist´eresis eresis
I.
En un circuito con carga podemos determinar los valores de L y M en las bobinas primaria y secundaria del transformador con las siguientes ecuaciones [2] [ 2] jwL jw L1 − jwM jw M I 2 = V
(3)
jw M I 1 + ( jwL jw L2 + Z 2 )I 2 = 0 − jwM
(4)
´ I NTRODUCCION
P
ara ara esta esta prac practi tica ca de labo labora rato tori rio o comp compro roba bare remo moss la relaci´on on de dos induct inductore oress acopla acoplados dos magn´ magn´eticamente, eticamente, que para efectos practicos a´ cticos llamarem llamaremos os transfor transformador mador,, obtendremos las curvas de las inductancias que conforman el transformador as´ as´ı como la polaridad relativa entre el devanado primario y el secundario del mismo y tambi en e´ n determinar la hist´eresis eresis del n´ucleo ucleo del transformador.
I I. II-A.
Figura 2: Circuito correspondiente a las ecuaciones 3 ecuaciones 3 y 4 [3]
´ M ARCO T E ORICO
Medici´ Medicion ´ de L y M a partir de V e I
Supongamos que los inductores acoplados son parte de un circuito lineal con una entrada senoidal y que el circuito se encuentra en estado estable. Un circuito de estas caracter ´ısticas ısticas se puede analizar utilizando fasores [ 2] V 1 = j wL1 I 1 + jwM jw M I 2
(1)
V 2 = j wL2 I 2 + jwM jw M I 1
(2)
Para encontrar la inductancia total del transformador utilizamos las siguientes ecuaciones [ 3] L = L 1 + L2 + 2 M
(5)
L = L 1 + L2 − 2M
(6)
Desp Despej ejan ando do los los valor alores es de L y M de las las ecua ecuaci cion ones es anterior anteriores es podemos podemos encontrar encontrarlos los en t´ermi e rmino noss de V e I del del circuito.
II-B. Ley de Faraday Faraday en un circuito circuito de acoplamiento magn´ magnetico ´
La ley ley de Fara Farada day y expr expres esaa que que el volt voltaj ajee ∆V 1 en las las terminales del circuito primario, o la entrada es: [4] [4]
∆V 1 = − N 1
Figura 1: Modelo correspondiente a las ecuaciones 1 y 2 [3 [ 3]
dΦB dt
(7)
Donde ΦB es el flujo magn etico e´ tico que pasa por cada vuelta. Si supone que todas las lineas de campo magn etico e´ tico permanecen dentro del n ucleo u´ cleo de hierro, el flujo que pasa por cada vuelta del primario es igual al flujo que pasa por cada vuelta del secundario. Por esto el voltaje en las terminales del secundario es: [4] [4]
2
∆V 2 = − N 2
dΦB dt
(8)
Resolviendo la ecuaci o´ n 7 para dΦ y si sustituimos el dt ´ 8 encontramos que: resultado en la ecuaci on B
∆V 2 =
N 2 ∆V 1 N 1
(9)
Cuando N 2 > N 1 , el voltaje de salida ∆V 2 es mayor que el voltaje de entrada ∆ V 1 . Esta configuraci o´ n se conoce como transformador elevador . Cuando N 2 < N 1 , el voltaje de salida es menor que el voltaje de entrada y se tiene un transformador reductor . [4]
Figura 3: Ciclos de hist´e resis. Los materiales en los incisos a) y b) permanecen muy magnetizados cuando B0 se reduce a cero. Como el material de a) tambi´en es dif´ıcil de desmagnetizar, ser´ıa adecuado para imanes permanentes. Puesto que el material de b) se magnetiza y desmagnetiza con m´as facilidad, podr´ıa usarse como material para memorias de computadoras. El material de c) ser´ıa u´ til para los transformadores y otros dispositivos de corriente alterna en los que ser´ıa o´ ptima una hist´eresis de cero. [1]
III. II-C.
PROPUESTOS
Hist ereis ´
Para muchos materiales ferromagn e´ ticos, la relaci o´ n entre magnetizaci´o n y el campo magn´etico externo es diferente cuando el campo externo aumenta que cuando disminuye. Cuando el material se magnetiza hasta la saturaci on ´ y luego el campo externo se reduce a cero, permanece cierta magnetizaci´on. Este comportamiento es caracter´ıstico de los imanes permanentes, que retienen la mayor parte de su magnetizaci´on de saturaci´on cuando se retira el campo magn´etico. Para reducir la magnetizaci o´ n a cero se requiere un campo magn´etico en la direcci´on inversa. [1]
˜ D IS E NOS Y SIMULACIONES DE LOS CIRCUITOS
III-A.
Circuito con secundario vac´ıo
Se dise˜na el circuito de modo que no disipe m a´ s de 4W ni pase corriente mayor a 2.5A. Al analizar el circuito, se resuelve y se obtiene: I=255mA, VR =128mV por lo tanto: P R =30.56mW y PTrans =32.64mW
Este comportamiento se llama hist e´ resis, y las curvas de la se denominan curvas o ciclos de hist e´ resis. La magnetizaci o´ n y desmagnetizaci´on de un material que tiene hist´eresis implica la disipaci o´ n de energ´ıa, por lo que la temperatura del material aumenta durante este proceso[1].
Figura 4: Circuito devanada secundario libre
Lo cual es aceptable para el transformador del laboratorio. Lo datos se consignan en la tabla:
3
Cuadro I: Mediciones de voltaje, corriente y potencia en circuito 1 con bobina 2 en circuito abierto Elemento fuente Trans Dev1 Trans Dev2
Mediciones de voltajes V Teorico[V] ´ V Experimental[V] 120V 119.9 128mV 10.73V 17.07
Elemento R1 Trans Dev1 Trans Dev2
Mediciones de corrientes I Te´orico[mA] I Experimental[mA] 255 340 255 340 0 0
Elemento R1 Trans Dev1 Trans Dev2
Mediciones de potencia P Te´o rico[W] P Experimental[W] 30.56 32.64 48.0
M =
Error ( %)
Mediciones de voltajes V Te´o rico[V] V Experimental[V] 120V 119.9 128mV 16.1V 37.9
Elemento R1 Trans Dev2 Trans Dev2
Mediciones de corrientes I Te´o rico[mA] I Experimental[mA] 255 300 255 300 0 0
I 1(r1+jωL 1)−V 1 I 2Jω
Cuadro III: Mediciones de voltaje, corriente y potencia en circuito 2 Elemento R1 Trans Dev1 Trans Dev2 R2
Error ( %)
Error ( %)
Elemento R1 Trans Dev1 Trans Dev2 R2
Cuadro II: Mediciones de voltaje, corriente y potencia en circuito 1 con bobina 1 en circuito abierto Elemento fuente Trans Dev2 Trans Dev1
las mediciones se despeja M:
Error ( %)
Elemento R1 Trans Dev1 Trans Dev2 R2
Mediciones de voltajes V Te´orico[V] V Experimental[V] 119.85mV 128mV
Error ( %)
12.8mV Mediciones de corrientes V Te´orico[V] V Experimental[V] 255mA 255mA
Error ( %)
13.6uA Mediciones de potencia P Te´o rico[W] P Experimental[W] 30.56 32.64 48.0 0.17uW
Error ( %)
Error ( %)
III-C.
III-B. Procedimiento para hallar inductancias e inductancia mutua
Se hace uso del circuito de la figura:
Relaci´ on de transformacion ´ por n´ umero de vueltas
Debido a que se guarda una relaci´on entre los voltajes de ´ a cada devanado se puede hallar la relaci o´ n de alimentaci on transformaci o´ n del transformador: K: K=N1/N2=E1/E2=I2/I1 haciendo uso de la medici o´ n de las dos tablas anteriores se llega a encontrar esta relaci o´ n
Segunda parte de la pr actica ´ III-D.
Polaridad de las bobinas
Para determinar la polaridad de las bobinas es necesario realizar un procedimiento manual.
Figura 5: Circuito para medici´on de inductancia mutua
Se aplican lvk a cada malla por separado para obtener: V 1 = I 1R1 + jωL1I 1 Como estos datos se dan en laboratorio se despeja:
L1 =
V 12 I 1
− R12 ω2
(10)
Se hace uso de nuevo de las ecuaciones de malla junto con los voltajes inducidos: V 1(r1 + jω L1)I 1 − jω M I 2 Debido a que en el laboratorio se pueden tomar todas
Las bobinas secundarias de los transformadores monof´asicos opuestos, e´ sto seg´un el criterio del fabricante. Debido a esta situaci o´ n, podr´ıa ser que las intensidades de corriente el´e ctrica en la bobina primaria y la intensidad de corriente en la bobina secundaria circulen en el mismo sentido o en sentido opuesto. Por lo tanto, se presentan dos t´erminos a los que se le denominan polaridad sustractiva y polaridad aditiva. Primero colocamos un puente entre los terminares del lado izquierdo del transformador y se coloca un volt´ımetro entre los terminales del lado derecho del mismo. Luego alimentamos el bobinado primario con un valor de voltaje determinado. En la Figura 6 se puede observar el diagrama.
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Figura 6: Diagrama para determinar la polaridad de un transformador
Figura 7: Circuito monof a´ sico para ver la curva de hist´eresis
´ El uso de las f ormulas es puramente emp´ırico y con los elemento de laboratorio no es posible comprobar dichas relaciones planteadas con anterioridad. III-E.
Curva de Hist´ eresis
IV. Para visualizar la curva de hist´eresis en el osciloscopio se debe tener en cuenta que e´ ste solo permite realizar mediciones de tensiones; por lo tanto se debe encontrar el m e´ todo para representar B(t) que es la densidad de campo magn e´ tico y H(t) que es la intensidad de campo magn´etico, en funci´on de las diferencias de potencias que sean proporcionales a estas.
IV-A.
´ AN ALISIS DE R ESULTADOS
Valores de L1, L2 y M
´ 10 y . Para esta parce se hizo uso de la ecuaci on di (11) dt transform´andola al dominio de la frecuencia y despejando L : V = L
L = Para medir la intensidad de campo magn e´ tico se tendr´a en cuenta que este es directamente proporcional a la corriente que circule por el bobinado, teniendo por la ley de Ampere que H.dl = N .i . Puesto que la hist´eresis del transformador sea observada con mayor exactitud cuando no tiene carga conectada. Ademas se debe tener que la corriente en el bobinado primario debe ser la m´axima posible para as´ı poder obtener la gr´afica de hist´eresis de mayor exactitud, por lo tanto tendremos que para este caso, se debe conectar una carga muy grande al bobinado secundario y una carga muy peque na ˜ al bobinado primario. La carga pequen˜ a en el bobinado primario permitir a´ observar de manera indirecta la intensidad de campo magn e´ tico puesto que se tendr´a l a m´axima corriente en dicho bobinado. Por otro lado, la tensi´on en la carga hace que se mida trav´es del osciloscopio (eje X). Para medir la densidad de campo magn e´ tico B (t) se tendr´a en cuenta que este es directamente proporcional al flujo de campo e un determinado material, por lo tanto se tendr a´ B.ds = φ. Por lo tanto para poder visualizar la relaci´on anterior vali´endose de tensi o´ n, es necesario integrar la formula anterior haciendo una proporcionalidad a la tensi o´ n del secundario. El circuito que se utilizar a´ es el mostrado en la Figura 7.
V ( jω ) jω I ( jω )
(12)
haciendo uso de los datos de la tabla II se obtienen: 378.1mH y 368.84mH que con respecto a la inductancia usada, se estima que es mejor aproximacio´ n 378.1mH debido a la ecuaci´o n usada pero se observa que se tiene casi 120 veces m´as de autoinductancia, eso debido a que se hace uso de un n´ucleo ferromagn´etico que incrementa la cantidad de flujo magn´etico inducido y evitando perdidas en este. Posteriormente se intercambio la bobina por la que inicialmente se estaba haciendo pasar corriente por la que estaba en circuito abierto y se calculo de nuevo la autoinductancia haciendo uso de los datos de la tabla I, obteniendo: 293.7mH y 280.1mH los cuales son valores m a´ s grandes respecto a los anteriores y se espera que sea debido a que se tiene una mayor inductancia, que en efecto es de 9mH y se tiene aproximadamente 30 veces mayor autoinductancia debido de nuevo al n´ucleo de hierro usado. Finalmente para hallar la inductancia mutua se hace uso de: V 1 = ω M I 2
(13)
De donde se obtiene: M=5.8H y haciendo uso de la misma ecuaci´on anterior pero con los devanados cambiados se llega a M=6.9 lo cual difieren por un 14 % lo cual es un error aceptable.
5
IV-B.
Relaci´ on de vueltas Primario - Secundario
Utilizando el circuito de la figura 5 encontramos las tensiones y corrientes que nos permiten hallar la relaci o´ n de vueltas y transformaci´on, de los devanados primario y secundario del transformador. Utilizando los datos de las tablas I y II encontramos las siguientes relaciones: Para la tabla I V 10,73 p = = 0,62 V s 17,07
(14)
V 16,1 p = = 0 ,42 V s 37,9
(15)
Para la tabla II Figura 8: Curva de hist´eresis para el circuito de la Figura 7
V. Podemos ver que en ambos casos la relaci´on de transformaci´on es menor a la unidad lo que indica que el transformador es del tipo reductor. Para calcular la relaci o´ n de vueltas del otro transformador, utilizamos la siguiente ecuaci o´ n:
N s = N p
V p = 210 V s
(16)
El valor de la bobina del secundario en realidad es de 250 vueltas lo cual nos da un error del 16 % un valor bastante cercano al real.
CONCLUSIONES
1. Vemos que es necesario que el n u´ cleo del transformador sea de material ferromagn´etico, para que este se pueda orientar con el campo magn e´ tico producido y as´ı ayudar a tener menores perdidas de energ´ıa en el proceso de transformaci´on. 2. La corriente que circula por una malla, del circuito acoplado, se ve afectado por los elementos conectados en la otra malla. 3. El material del que esta constituido el n u´ cleo del transformador afecta el comportamiento del mismo debido al fen´omeno de la hist´eresis. R EFERENCIAS
IV-C.
Polaridad
Al realizarse el montaje de la Figura 6, se obtuvieron valores para V de 0 ,4V , cuando la tensio´ n de entrada Vx era de 0 ,1V . Para comprobar se hizo la misma medici´on para un valor de tensi´on mayor por lo que el valor de V fue mayor. Por lo tanto la polaridad del circuito acoplado magn e´ ticamente es aditiva, debido a que los valores de tension ´ entre los puntos de las bobinas que no se conectan entre si, es mayor para cualquier valor de tensi´on de entrada.
IV-D.
Curva de Hist eresis ´
Para el circuito de la Figura 7 se hall´o l a g r´a fica de hist´eresis en el osciloscopio y se muestra en la Figura 8. Se midi´o la tensi´on en la resistencia R1 y en el condensador de 10uF . Se puede observar que esta gr a´ fica se muestra mejor para valores de tensi´on de entrada muy grandes, debido a que la corriente que pasa a trav e´ s del circuito primario es muy grande. Al estar acoplados magn´eticamente, la tensi´on inducida no es muy grande, debido a que hay un acople que permite la reducci o´ n de tensio´ n.
[1] YOUNG, Hugh y FREEDMAN, Roger A. Fuentes de Campo Magn´etico. En: F´ısica universitaria, con f ´ısica moderna volumen 2. 12 ed. PEARSON ´ EDUCACION, M´exico, 2009. p. 980-981. [2] DORF, Richard y SVODOBA, James. Potencia de CA en estado estable. En: Circuitos El´ectricos. 8ed. Alfaomega Grupo Editor, M´exico 2011. p 523-526. [3] SADIKU, Matthew N. O. y CHARLES, Alexander K. En: Circuitos magn´eticamente acoplados. Fundamentos de circuitos el e´ ctricos 3 ed. Mc graw hill, 2006. p. 557-561. [4] SERWAY, Raymond A. y JEWETT, John W. Circuitos de corriente alterna. En: F´ısica para ciencias e ingenier´ıa con f´ısica moderna Volumen 2. 7 ed. Cengage Learning, M´exico, 2009. p 940.
