METÓDO DE LA BISECCIÓN José Luis Fernández Molina
[email protected] Jhon Emanuel Morocho Guaman
[email protected] @est.ups.edu.ec @est.ups.edu.ec @est.ups.edu.ec
UNIVERSIDAD POLITECNICA SALESIANA
Resumen
Abstract
En el pres presen ente te info inform rmee se encue encuent ntra ra deta detall llad ado o el método método de la bisecci biseccin n !ue es un algoritmo de b"s!ueda de ra#ces !ue !ue trabaj abajaa di$i di$idi dien endo do el inter$alo a la mitad % seleccionando el subint subinter$ er$alo alo !ue tiene tiene la ra#z& ra#z& !ue es uno de los métodos métodos más sencil sencillos los % de fácil fácil intuic intuicin in para para resol$er ecuaciones en una $ariable. 'e basa en el teorema del $alor intermedio ()*+,. -ara ello presentamos un análisis % comprobaciones de las ra#ces etra#das mediante el método de la biseccin& donde demostraremos !ue los análisis análisis obtenidos obtenidos matemáticam matemáticamente ente también también podemos obtener mediante un programa (M/)L/0, de una manera mucho más rápida la ra#z& ra#z& para para eso presen presentar taremo emoss con su respec respecti$ ti$os os algoritmos % cdigos
)he present report the bisection method 1hich is a root finding algorithm 1or2s b% di$iding the inter$al in half and selecting the subinter$al ha$ing the root& 1hich is one of the most simple and eas% methods intuition is detailed sol$ing e!uations in one $ariable. +t is based on the intermediate $alue theorem ()*+,. )herefore 1e present an anal%sis of the roots and chec chec2s 2s dra1 dra1n n b% the the bise bisect ctio ion n meth method od&& 1hic 1hich h demonstra demonstrate te that mathematica mathematicall% ll% anal%zes anal%zes obtained obtained can also be obtained through a program (M/)L/0, in a much more effecti$e and fast 1a% to present it 1ith their respecti$e algorithms and codes
Palabras Claves:
Keywr!s:
0iseccin& /lgoritmo& *ariables.
0isection /lgorithm& *ariables.
1
Ob"et#vs •
•
•
•
3esarrollar % analizar de una funcin sus ra#ces aplicando el método de la biseccin El usuario debe ser capaz de desarrollar un programa en matlab el cual encuentre de manera manera correc correcta ta las ra#ces ra#ces de difere diferente ntess polinomios utilizando los métodos de biseccin 4omparar los resultados obtenidos de las dos formas formas realiz realizadas adas anal#t anal#tica icament mentee % programado en matlab. El objeti$o de esta práctica es la implementacin del método de biseccin& % la comparacin de ambos métodos para la reso resolu luci cin n de algun algunas as ecua ecuaci cione oness no lineales
figura6
Esta es una consecuencia del teorema del $alor inte interm rmed edio io
El método de biseccin& conocido también como de corte binario& de participacin en dos inter$alos igua iguale less o méto método do 0olz 0olzan ano& o& es un méto método do de b"s!ueda incremental en el !ue el inter$alo se di$ide siempre en dos. 'i la funcin cambia su signo sobre un inter$alo& se e$al"a el $alor de la funcin en el punto medio. La posicin de la ra#z se determ determina ina situánd situándola ola en el punto punto medio medio del subinter$alo dentro del cual ocurre un cambio. El proceso se repite hasta obtener una mejor aproimacin.
M*t! t! !e !e la la B# B#secc#(&
El método método de de la biseccin o corte binario es un método de b"s!ueda incremental !ue di$ide el inter$alo siempre en 5. 'i la funcin cambia de signo sobre un inter$alo& se e$al"a el $alor de de la funcin en el punto medio. La posicin de la ra#z se determina situándola en el punto medio del subi subint nter er$al $alo o donde donde eis eista ta cambio de signo igno.. El proceso El proceso se repite hasta mejorar la aproimacin.
cont contin inua uas& s&
!ue !ue
n"mero entre f(a, % f(b, & entonces eiste por lo menos
)%
%$func funcio ione ness
establece !ue si f es continua en 7a&b8 % si 2 es un
$% I&tr I&tr! !'c 'cc# c#(& (&
)% Marc Marc te(r te(r#c #c
para para
un c
(a&b,
tal
!ue f(c,92.
(para el caso en !ue f(a,f(b,:; se escoge 29;& luego f(c,9;& c
(a&b,,.
El método método de bisecc biseccin in consis consiste te en di$idi di$idirr el inter$alo en 5 subinter$alos de igual magnitud& reteniendo el subinter$alo en donde f cambia de signo& para conser$ar al menos una ra#z o cero& % repetir el proceso $arias $eces.
)%)% E& +'e se basa el ,*t! !e la b#secc#(& El Método de 0iseccin se basa en la b"s!ueda incremental donde el inter$alo se di$ide siempre en dos. 'i la funci funcin n pre$ia pre$iamen mente te plante planteada ada cambia cambia de signo sobre un inter$alo& se e$al"a el $alor de la funcin en el punto medio de este inter$alo. La posicin de la ra#z se determina situándola en el punto medio del subinter$alo dentro del cual ocurre un cambio de signo. El proceso se repite hasta obtener una mejor aproimacin.
)%-% )%-%
El ,*t ,*t! ! c&s c&s#s #ste te e& l s#.' s#.'#e #e&t &te: e: •
3ebe eistir seguridad sobre la continuidad de la funcin f(, en el inter$alo 7a& b8
2
•
•
/ continuacin se $erifica
&
entonces
!ue
solucin o ra#z está entre
'e calcula el punto medio m del
%
inter$alo 7a&b8 % se e$al"a f(m, si ese
,.
$alor es igual a cero& %a hemos
encontrado la ra#z buscada •
'i
%
la &
pasa a ser el punto medio medio (
'i
&
entonces
la
En caso de !ue no lo sea& $erificamos
solucin o ra#z está fuera del inter$alo entre =a % el punto medio& medio& % pasa
si f(m, tiene signo opuesto con f(a, o
a ser el punto medio (
,.
con f(b, •
Pas /
'e redefine el inter$alo 7a& b8 como
'i f (=a, f (=b,9; Error 9 =pm A =pm A 6 : )olerancia& donde =pm es el punto medio de la iteracin iteracin actual % =pm A 6 es el punto medio de la iteracin anterior. a nterior.
7a& m8 7m& b8 seg"n se ha%a determinado en cuál de estos inter$alos ocurre un cambio de signo •
4on este nue$o inter$alo se contin"a
/l cumplirse la condicin del -aso B& la ra#z o solucin es el "ltimo punto medio !ue se obtu$o. -ara el error relati$o porcentual se tiene la siguiente frmula>
sucesi$amente encerrando la solucin en un inter$alo cada $ez más pe!ue
Al.r#t,
-%
DESARROLLO DEL E0ERCICIO
Pas $ Elegir los $alores iniciales $alores iniciales =a % =b& de tal forma de !ue la funcin cambie de signo>
3onde tenemos la funcin en el inter$alo de
$1 Obte&e, Obte&e,s s la la .r23#ca .r23#ca y la tabl tablaa !e !ats Pas )
x C6 C;&D ; 0,5 1
La primera aproimacin a la ra#z se determina con la frmula del punto medio de esta forma>
Pas ?eal ?ealiz izar ar las las sigu siguie ient ntes es e$al e$alua uaci cion ones es determinar el inter$alo de la ra#z>
para para
3
F(x) CB C5&6 C5 -1,562 2
Figura2
$1 Desarr Desarrll ll !el !el ,*t! ,*t! !e la b#secc b#secc#(& #(& 3ebemos considerar algunas condiciones en la formulacin
/%
DESARROLLO DE CÓDI4OS EN MATLAB
-rocedemos a codificar en matlab 6, 5, , B,
)ambién
D, H, , , I,
clear all clc % Metodo de biseccion % fprintf ('/// ('/// Metodo de biseccion /// \n ') ') syms x; f=input ('Ingrese ('Ingrese la funcion f=') f=') ezplot (f) grid on on; ;
xl=input('ingrese xl=input('ingrese extremo izuierdo del inter!alo xl=') xl=') xu=input(' ingrese extremo 6;, xu=input(' derec"o del inter!alo xu=') xu=') es=input('ingrese el error 66, es=input('ingrese deseado ea= ') ')
6 5 B D H
;&D ; & D ; & D ; & D ;&5 ;&I
C;&B6 ;&DIH ;&;BI C;&6I6 C;&;; C;&;;
6 6 ;&D ;&6 ;&6 ;&6
;& D ;&D ;&6 ;&5 ;&I ;&;H
C 6B&5 &H5 &IH 5 ;.II
65, 6, 6B, 6D, 6H, 6, 6,
x=xl; fxl=e!al(f) x=xu; fxu=e!al(f) if fxl#fxu$; if fxl#fxu$; disp ('no "ay cambio de signo en los extremos') extremos') 6I, brea& 5;, end
56, 55, ea=; 5, 5B, i=; 5D, fprintf('interaciones fprintf('interaciones raiz
(C6&DH5,( C; C;&B6,9;&HDD; (C;&B6,( ;& ;&DIH,9C;&5BI5; (C;&B6,( ;&;BI,9C;&;5;5 (C;&B6,( C;&6I6,9;&;; (C;&6I6,( C;&;;,9;&;;6 (C;&;;,( C;&;;,9;&;;;D
error \n') \n')
5H, "ile ea$es; ea$es; 5, "ile xr=((xlxu)/*); x=xr; 5, 5I, fxr=e!al (f);
;, 6, 5, , B,
if fxr#fxl+; if fxr#fxl+; xu=xr; elseif fxr#fxl$; elseif fxr#fxl$; xl=xr; else disp('la disp('la raiz es x= ') ') D,
4
H, , , I, B;, B6, B5, B, BB, BD, BH, B, B, BI, D;, D6, D5,
xr brea& end if i$ if i$ ea=abs(((xr, xrant)/xr)#); end xrant=xr; i=i; fprintf('%-.f fprintf('%-.f %-.f %-.f\n'0i0xr0ea) %-.f\n' 0i0xr0ea) end if ea+=es if ea+=es disp('la disp('la raiz es x=') x=') xr disp('error disp('error es ea=') ea=') i end %1I234%
Figura
5%- N a continuacin correspondiente. +nteracciones ra#z 6 ;.;;;;; 5 ;.D;;;; ;.D;;; B ;.D;; D ;.65D; H ;.65D ;.IH ;.;BHI I ;.;DI 6; ;.;HHB 66 ;.;H5 65 ;.;6 6 ;.;H 6B ;.;;6 6D ;.;HID 6H ;.;HI5 6 ;.;HI; 6 ;.;HI La ra#z es 9 r 9 ;.;HI
Prce!#,#e&t Luego de ingresar el algoritmo del método de la biseccin correspondiente en matlab& procedemos a mandar a correr % el programa nos pedirá !ue ingresemos la funcin % su inter$alo para calcular la ra#z& a continuacin tenemos dicho procedimiento. KKK Metodo de biseccion KKK +ngrese la funcion f9 BC5 f 9 B C 5 ingrese etremo iz!uierdo del inter$alo l9 6 l 9 C6 ingrese etremo derecho del inter$alo u9 6 u 9 6 ingrese el error deseado ea9 ;.;;6 Luego de ingresar procedemos a dar un enter % este nos dará primero la gráfica de la funcin.
5
nos
da
error 6;;;.;;;;; 6;;;.;;;;; . 6B.5D6 .HI56 B.;;;;; 6.IH; ;.I; ;.B;I ;.5B56 ;.65;I5 ;.;H;D; ;.;;5H ;.;6D6 ;.;;DH ;.;; ;.;;6I ;.;;;ID
la
ra#z
5% C C&c &cl' l's# s#& &es es
El método de la 0iseccin con$erge lentamente& lo !ue genera la propagacin de error por la cantidad de operaciones e iteraciones necesaria para !ue el método con$erja.
6% B#bl B#bl# #.r .ra3 a37a 7a 768 768 Libr Libro o de meto metodo do numeri numerico coss 4O/4O/-?/ ?/ Dta edicion. ?affert%&& QGround QGround antennas antennas in R/'/S R/'/Ss 758 P. ?affert% deep space telecommunications&T -roc. +EEE $ol. 5& pp. HHCHB;& 6IIB. 78 http://www.monografias.com/trabajos43/ metodo-biseccion/metodobiseccion.shtml#ixzz3Z1plb!x 7B8 http>KKportales.puj.edu.coKobjetosdeaprendizaj eKUnlineKU/6;KcapituloDKD.htm
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