LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA Y EL TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA Objetivos: 1
Definir las energías cinética, potencial y mecánica
2
Explicar el principio de conservación de la energía mecánica
3
Aplicar el el principio principio de conservaci conservación ón de la energía mecánica a situaciones situaciones en donde ocurre intercambio entre las energías cinética y potencial gravitatoria
4
Verificar el principio de conservación de la energía mecánica
5
Verificar el teorema del trabajo y la energía, y
6
omparar los resultados obtenidos con las predicciones teóricas
ANTECEDENTES
!ara reali"ar este experimento es necesario #ue el estudiante cuente con los conocimientos correspondientes a la ley de la conservación de la energía, conceptos como velocidad, masa, energía potencial, energía cinética, aceleración gravitacional y fuer"as conservativas$
RESUMEN %os %os prop propon onem emos os de demo most stra rarr, util utili" i"an ando do un pé pénd ndul uloo simp simple le,, el prin princi cipi pioo de conservación conservación de la energía mecánica$ %uestra &ipótesis es #ue la energía potencial potencial en la altura máxima del péndulo es igual a la energía cinética correspondiente a la máxima máxima veloc velocid idad$ ad$ Dic&a Dic&a de demos mostr traci ación ón la po pode demos mos reali" reali"ar ar con con la ayuda ayuda de sencillas mediciones y la aplicación de métodos de análisis gráfico$ 'e determin determinaa el cambi cambioo en la energí energíaa cinétic cinéticaa de un objet objetoo en movimient movimientoo uniformementee acelerado uniformement acelerado$$ (a aceleració aceleraciónn se produc producee mediant mediantee un plan planoo inclinad inclinadoo )enn particular un riel de aire* $ )e 'e mide la masa del objeto #ue se desli"a sobre el riel y se mide el tiempo empleado en recorrer una cierta distancia y, a partir de dic&as mediciones, se determina la diferencia en la energía cinética del objeto en movimiento$ OBJETIVO Y JUSTIFICACIÓN
Demostrar el principio de conservación de la energía mecánica$ 'e demuestra la relación entre la energía potencial gravitacional y la energía cinética utili"ando cantidades mensurables en el laboratorio$
MARCO TEORÍCO
En este experimento vamos a explorar el principio de conservación de la energía mecánica$ +ecordemos #ue en el curso de teoría definimos la energía potencial gravitatoria de un cuerpo de masa m, locali"ado a una altura &, desde un nivel de referencia, como - mg&, donde g es la aceleración de la gravedad$ .ambién dijimos #ue la energía cinética de un cuerpo de masa m, #ue viaja con velocidad instantánea v, se define como / - 0 mv 1$ (a energía mecánica E, de un sistema se define como la suma de sus energías potencial y cinética, es decir E - 2 /$ Vamos a &acer un ejercicio de laboratorio en el cual mediremos la energía potencial gravitatoria inicial de un carrito en un plano inclinado sin fricción, y la energía cinética final cuando el carrito llega al nivel de referencia$ Vamos a comparar estas dos energías con el propósito de extraer conclusiones sobre la conservación de la energía mecánica del carrito$ .ambién estudiaremos cómo el trabajo #ue la fuer"a externa total &ace sobre un cuerpo se relaciona con el cambio #ue sufre su energía cinética$ Asimismo veremos lo #ue sucede con la energía mecánica total de un cuerpo cuando está sujeto solamente a fuer"as conservativas, como la gravitatoria, a diferencia de cuando lo afectan fuer"as no conservativas, como la fricción$
EL RINCIIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MEC!NICA
El principio de conservación de la energía mecánica establece #ue en un sistema aislado, donde solamente existen fuer"as conservativas, la energía mecánica total se mantiene constante, es decir, "E #"$ %" U #&
En la figura 3 vemos un blo#ue de masa m sobre un plano inclinado, sin fricción, a una altura & de la &ori"ontal$ Asumimos #ue la línea de referencia es la &ori"ontal y, por lo tanto, la energía potencial es cero en ese nivel$ En la posición inicial, el blo#ue está en reposo, por lo #ue su energía cinética en ese punto es cero, /o - 4$ A#uí la energía potencial es o - mg&$ Esto significa #ue la energía mecánica inicial Eo, es Eo - /o 2 o - 4 2 mg& - mg& - o$ En la posición final, la energía potencial del blo#ue es cero, por#ue a&ora se encuentra al nivel de referencia$ Entonces, su energía mecánica, en esta 5ltima posición, es puramente cinética, o sea, E - / 2 - 0mv1 2 4 - /$ En cual#uier punto intermedio entre la posición inicial y la final, el blo#ue posee ambas energías, sin embargo, si asumimos #ue no &ay fricción, la energía mecánica total en todo el trayecto es constante$ mg& - 0 mv1$ Esto es lo #ue establece el principio de conservación de la energía mecánica$
Fi'()* + U, b-o.(e se /es-i0* si, 1)i22i3, 4o) (, 4-*,o i,2-i,*/o5 * 4*)ti) /e- )e4oso
LA DEFINICIÓN DEL TRABAJO 6
uando un objeto se mueve por la aplicación de una fuer"a externa F, la fuer"a &ace un trabajo 7, sobre el objeto$ Esto se calcula con la siguiente ecuación ) 1 7 -8 F6)7 9/) 3) 3 donde ) 3 es la posición inicial y ) 1, la final$ +ecordemos #ue anteriormente estudiamos el producto escalar de dos vectores$ En la ecuación 3 vemos el producto escalar de los vectores F y /)8 'i la fuer"a externa aplicada es
constante, la ecuación se reduce a 7 - F9:) - ; :r cos < 1
Fi'()* 9 L* 1(e)0* 2o,st*,te F *2e t)*b*jo sob)e e- b-o.(e *- /es4-*0*)-o 4o) e- 4-*,o
)o4(est* e;4e)iW $ )3* El cambio en energía potencial en el proceso es el negativo del trabajo reali"ado por la fuer"a$ Del teorema del trabajo y la energía se tiene #ue U / -E 2 )1* donde / es la energía cinética y E es la energía mecánica del sistema conservativo$ Así, la ecuación )1* es la representación matemática de la ley de la conservación d e l a energí a mecánica$ En un sistema de objetos #ue interact5an sólo a través de fuer"as conservativas, la energía se puede convertir de potencial en cinética y viceversa, per o el cambio total es cer o ):)U+K *-4*, la suma del cambio en la energía potencial y la energía cinética permanece constante $
En el experimento #ue a#uí se presenta, se examina la transformación de energía #ue ocurre cuando un carrito desli"ante se despla"a sobre un riel de aire #ue se utili"a como plano inclinado, ver la figura3$
?a #ue no se tienen otros objetos #ue interfieran con el movimiento y la fricción entr e el carrito desli"ante y el riel es despreciable, la pérdida de energía potencial gravitacional durante el despla"amiento del carrito desli"ante es, prácticamente, igual a la ganancia en energía cinética$ @atemáticamente esto se expresa como6 :/ -:)mg & * -mg :& )* 3 3 donde :/ es el cambio en energía cinética, :/ - mv 1 > mv 1 -/ >/ y :)mg & *es el cambio 1 31311 en la energía potencial gravitacional )m es la masa del carrito desli"ante, g es la aceleración gravitacional y :& es el cambio en la posición vertical del carrito*$
;igura 3$ Arreglo experimental para mostrar el principio de conservación de la energía mecánica$ Las foto compuertas electrónicas que se encuentran separadas por una distancia D, indican los tiempos t 1 y t 2 de paso del carrito deslizante, cuya longitud es L. Con estos datos es posile determinar las energ!as cin"ticas K 1 y K2, con lo que se calcula : K . #ara determinar :h, asta medir directamente la altura de un trozo de madera que se coloca a$o una de las ases de apoyo del riel de aire.
EL TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA
Este teorema establece #ue, en ausencia de fuer"as no conservativas, el trabajo &ec&o por la resultante de fuer"as externas sobre un cuerpo de masa m es igual al incremento en la energía cinética del cuerpo$ !odemos escribir esto en forma matemática como6 > # $ ? $o # "$ @ 'i &alamos un carrito a lo largo de un plano &ori"ontal, sin fricción, con una fuer"a externa constante, el trabajo &ec&o por la fuer"a será igual al cambio en la energía cinética del sistema$ Ver la figura $ Este arreglo es el mismo #ue usamos en el experimento B, y a&ora nos permitirá verificar el teorema del trabajo y la energía en el laboratorio$
Fi'()* @ E- 4eso .(e 2*e *2e t)*b*jo sob)e e- siste<*5 e- 2(*- *(
Eje<4-o +
Dejamos caer un libro de 1$4 Cg desde la ventana de un edificio a 34 m de altura$ Abajo lo recibe un estudiante de tal forma #ue la altura final del libro, con respecto al piso, es de 3$B m$ Ver la figura
Fi'()* U, -ib)o se s(e-t* /es/e e- )e4oso * (,* *-t()* /e +& <8 E- /ib(jo ,o est * es2*-*
I',o)*,/o -* 1)i22i3, 2o, e- *i)e: a$ alcule la energía potencial del libro antes de soltarlo b$ alcule la energía cinética del libro justo antes de #ue lo reciba el estudiante c$ alcule la velocidad del libro al llegar a las manos del estudiante So-(2io,es:
o - mg&o - 1$4 Cg F$G3 mHs 1 34 m - 3FI$1 J El libro no llega al piso, sino #ue el estudiante lo recibe a 3$B m de altura$ A esta altura todavía tiene cierta energía potencial - mg& - 1$4 Cg F$G3 mHs 1 3$B a$ b$
m - 1F$ J$ omo estamos ignorando la fricción, la energía total de % 3FI$1 J debe conservarse, / - o K - 3FI$1 J K 1F$ J - 3II$G J c$ / - 3II$G J - 0mv1, de donde, v -31$F3mHs Ejemplo 1 Lay un carro de masa m en la parte más alta de una montaMa rusa sin fricción$ En ese punto el carro viaja con una rapide" inicial vo$ Ver la figura B$ En términos de m, & y vo encuentre las expresiones para6 a$ (a rapide" del carro en los puntos A, N y , y b$ (a altura máxima del carro después de #ue pasa por el punto moviéndose &acia la derec&a So-(2io,es: a.
Al ignorar la fricción, la energía mecánica se conserva$ Esto significa #ue el valor de la energía mecánica inicial total no cambia en todo el trayecto del carro$ En el punto inicial el carro tiene energía potencial o - mg& y energía cinética /o - 0 mvo 1, es decir, E - o 2 /o - mg& 2 0 mvo 1$ omo el punto A está a la misma altura #ue el inicial, en ambos puntos el carro tiene la misma energía potencial y la misma energía cinética, por lo tanto su rapide" en A es
Fi'()* U,*
EN - mg )&H1* 2 0mvN1 - mg& 2 0mvo1 De donde podemos despejar vN como6 vN vo1 2g& +epetimos el mismo análisis para el punto ,
notando #ue a#uí la energía mecánica del carro es puramente cinética, dado #ue la altura de este punto con respecto al nivel de referencia es cero, entonces, E - 0mv 1 - mg& 2 0mvo1 De donde podemos despejar v como6 b$ En su punto más alto el carro tendrá solamente energía potencial ya #ue en ese momento su rapide" será cero$ .oda la energía cinética #ue tenía en el punto se convertirá en energía potencial gravitatoria en su punto de máxima 1 1 altura, L$ @atemáticamente lo expresamos así, m ) 1g& 2vo * v -mgL1 De donde 1 -2 oL& 1g Eje<4-o @
Arrastramos un blo#ue de B$4 Cg sobre una superficie &ori"ontal, sin fricción, con una fuer"a externa variable$ (a figura I muestra cómo varía esta fuer"a en función de la posición del objeto$ alcule el trabajo &ec&o por esta fuer"a si mueve al objeto por una distancia de G$4 m en línea recta$ Asuma #ue la dirección de la fuer"a externa aplicada y el despla"amiento del objeto son paralelos 'olución6 !or la definición de trabajo, seg5n lo establece la ecuación 3, sabemos #ue éste es igual al área bajo la curva de la figura I$ alcularemos el área total bajo la curva sumando las áreas bajo cada uno de los cuatro segmentos rectos A, N, y D$ %ote #ue la base de las áreas, en los cuatro casos, es la línea de ; - 4, es decir, el eje de x$ Es por esto #ue el área es negativa para el segmento D, por encontrarse debajo del eje mencionado 'egmento A6 7 - 34 )%* 1 )m* - 14 J 'egmento N6 En esta parte necesitamos encontrar la ecuación #ue relaciona a la fuer"a con la posición del objeto$ Es un ejercicio sencillo de precálculo y consiste en deducir la ecuación de una recta apoyada en dos puntos$ Estos puntos son los extremos de la recta del segmento N, es decir, )1, 34* y ), 4*$ omo el movimiento es en una dimensión podemos representar la posición con la letra x$ En tal caso la ecuación buscada es la siguiente6 ;)x*- =Bx 2 14 %, 1 m O x O m
Fi'()* V*)i*2i3, /e (,* 1(e)0* 2o
sando a&ora la ecuación 3 calculamos el trabajo buscado en este segmento, 7 8)Bx14* ->2 dx -34 J 1 'egmento 6 A#uí el trabajo es cero por#ue en este segmento ; - 4 'egmento D6 %uevamente necesitamos la ecuación de la fuer"a en función de la posición y luego el cálculo de la integral$ Encontramos #ue la fuer"a y la posición se relacionan como6 B;)x* -> 2I %, xI m O x O G m 1 B !or lo tanto el trabajo es6 G 7 -> 2) xI* dx ->B J 81I El trabajo total en la distancia recorrida de G m es la suma de estos trabajos para cada segmento, o sea, 14 J 2 34 J = B J - 1B J$ Pracias a #ue en este ejercicio los cuatro segmentos de la gráfica de ; vs$ r son rectos sería posible calcular las áreas sin necesidad de usar integrales$ 'ugerimos al estudiante #ue lo repita de esta forma simplificada, notando #ue el área de cada rectángulo, en el cuadriculado de la gráfica, es de 1 m B % -34 J M*te)i*-es = e.(i4o Nalan"a Nlo#ue de madera )parac&o#ues* Qnterfa" !asco RB4 !eda"o de &ilo de 3$1 m de longitud !ista con carrito !olea inteligente con abra"adera !orta masas 'ensor de fuer"a 'ensor de movimiento 'istema computari"ado y programa SData 'tudioT 'istema de masas$
)o2e/i
2
Aseg5rese de #ue en su mesa de trabajo &ay dos planos como se muestra en la figura R$ El plano de la i"#uierda está ligeramente inclinado, mientras #ue el de la derec&a está &ori"ontal$ (a elevación del plano inclinado está exagerada, en la figura R, con el propósito de &acer visible su desnivel$ En el extremo derec&o se encuentra el sensor de movimiento$ ompruebe #ue el tramo &ori"ontal está nivelado$ De no ser así, utilice el tornillo de nivelación bajo la pista y &ágalo girar &asta conseguir #ue el carrito permane"ca #uieto en cual#uier punto del tramo &ori"ontal$ @ida la altura &4 y escriba su valor en la tabla 3 del informe de laboratorio
Fi'()* H U, 2*))ito /es-i0* si, 1)i22i3, 4o) (, 4-*,o i,2-i,*/o 1 2
3 4 5 6
&
onecte el sensor de movimiento a la interfa" alibre el sensor de movimiento, de ser necesario$ (as instrucciones para calibrarlo están en el apéndice, en la sección #ue explica cómo usar Data'tudio$ Es aconsejable seleccionar una frecuencia de disparo de 14 y escoger &a" angosto 'eleccione Práfico en la ventanilla de !antallas y escoja graficar la posición como función del tiempo$ olo#ue el carrito en el extremo superior de la rampa y libérelo desde el reposo no sin antes &aber pulsado la tecla de Qnicio Detenga el carrito antes de #ue c&o#ue con el sensor de movimiento y pulse la tecla Detener A partir de la gráfica encuentre la pendiente de la línea diagonal #ue corresponde al movimiento del carrito por el tramo &ori"ontal de la pista$ Ver la figura G$ Escriba el valor de la velocidad del carrito, obtenida a partir de la pendiente de la gráfica, en la columna correspondiente de la tabla 3 del informe alcule la energía potencial inicial del carrito y escriba su valor en la tercera columna de la tabla 3 del informe$ se un valor de F$G mHs 1 para la
aceleración de la gravedad ' alcule la energía cinética del carrito y aMada su valor en la tabla 3 33$ alcule el error porcentual )U error* entre las dos energías usando la siguiente ecuación />U Error - 344 31$ +epita el experimento cuatro veces mas y complete la tabla 3 con sus datos$ %o cambie el valor de &4
Fi'()* G)1i2* /e 4osi2i3, vs8 tie<4o /e- 2*))ito8 S( ve-o2i/*/ es -* 4e,/ie,te /e -* )e2t*
E- teo)e<* /e- t)*b*jo = -* e,e)'* 1
2 3
4 5 6 &
Verifi#ue #ue en su mesa de trabajo se encuentra el e#uipo dispuesto como en la figura F, y #ue la polea inteligente está configurada para medir posición y velocidad @ida las masas del carrito y del sensor de fuer"a prima el botón para tarar el sensor de fuer"a mientras aguanta con la mano el porta masas suspendido al extremo del &ilo, es decir, sin #ue &aya fuer"a alguna sobre el sensor 'eleccione una gráfica de fuer"a vs$ posición y otra de velocidad vs$ !osición olo#ue una masa de 34 g en el porta masas$ prima el botón de Qnicio y libere el carrito a partir del reposo, desde el extremo más alejado de la polea inteligente$ 'ujete el carrito antes de #ue c&o#ue contra la polea inteligente y oprima la tecla detener
Fi'()* U, 2*))ito vi*j* 4o) (, 4-*,o o)i0o,t*-5 si, 1)i22i3,
)e'(,t*s ontestar correctamente antes de &acer el experimento
3$ Aplicamos una fuer"a constante de 34 % a una caja en una dirección de RW con respecto a la &ori"ontal$ (a caja se mueve una distancia de B m$ Ver la figura 34$ El trabajo &ec&o por la fuer"a es de6
)a* 4 J )b* 4 J )c* B4 J )d* R$I J 1$ Aplicamos sobre una partícula una fuer"a dada por la siguiente expresión6 ;)x* x = B, donde x representa la posición en m y ; está en %$ El trabajo #ue &ace esta fuer"a para mover a la partícula entre los puntos6 x - m y x - R m es de )a* G1 J )b* 3BF J )c* I14 J )d* RI J $ na fuer"a está dada por la siguiente expresión6 F - )Ii K 1 j* %$ Aplicamos esta fuer"a sobre una partícula y esta sufre un despla"amiento dado por s - )i 2 j* m$ El trabajo &ec&o por esta fuer"a es de
)a* 3G J )b* =1J )c* 3I J )d* 4 J $ Aplicamos la siguiente fuer"a6 F - )Ii K 1 j* % sobre una partícula$ omo consecuencia esta sufre el siguiente despla"amiento6 s - )i 2 j* m$ El ángulo entre F y s es de )a* BI$W )b* 31$3W )c* B$GW )d* I$FW B$ sted deja caer un libro de 1$B Cg, a partir del reposo, desde una altura de R$B m$ n estudiante lo recibe a una altura de 4$G m desde el piso$ Ver la figura 33$ 'i el nivel de referencia de energía potencial cero es el piso, la energía potencial inicial del libro es de6
)a* 1$B J )b* R$B J )c* ero por#ue el libro está en reposo
)d* 3G J I$ (a energía cinética del libro del problema B justo un instante antes de caer en la mano del estudiante #ue lo recibe abajo es de )a* 3I J )b* 1F$ J )c* 3FI$B J )d* 4$B J R$ (a velocidad del libro de los problemas B y I justo antes de caer en la mano del estudiante es de )a* 3$4 mHs )b* B$ mHs )c* 33$B mHs )d* 4 mHs G$ n blo#ue de 1$4 Cg se mueve en línea recta, sobre una superficie &ori"ontal sin fricción, gracias a la aplicación de una fuer"a cuya magnitud cambia con la posición del blo#ue seg5n muestra la gráfica de la figura 31$ El trabajo #ue &ace esta fuer"a para mover al blo#ue de 4$1 m a 4$ m es de )a* 4$1 J )b* 4$ J )c* cero, por#ue la fuer"a es constante
F$ n carro de una montaMa rusa, sin fricción, se encuentra a una altura & viajando con una rapide" vo - 34 mHs$ Ver la figura 3$ Asuma #ue & - 14 m$ (a rapide" del carro en el punto A es de )a* B mHs )b* 14 mHs )c* 34 mHs )d* 3 mHs
34$ (a rapide" del carro del problema F en el punto N de la montaMa rusa es de
)a* 14 mHs )b* 3 mHs )c* G$1 mHs )d* 14 m I,1o)
@asa del carrito, m - Cg +ecuerde usar g - F$G mHs 1 para calcular la energía potencial .abla 3$ !resentación de los datos para el primer ejercicio Altura inicial &4 )m*
Energía Velocidad Energía U Error potencial )pendiente cinética / - mg& de la gráfica* mv13 1 )J* )J* )mHs*
3 1 B !romedio E- teo)e<* /e- t)*b*jo = -* e,e)'*
3$ En la gráfica de fuer"a vs$ posición elegir dos posiciones y encontrar el área debajo de la recta$ Xste es el trabajo &ec&o para mover la masa total del sistema @ desde la posición 3 a la posición 1 1 En la gráfica de velocidad vs$ posición determine la velocidad del carro en las dos posiciones elegidas arriba y calcule la energía cinética #ue corresponde a cada posición 2 alcular el cambio en la energía cinética cuando el carro se mueve de la posición 3 a la posición 1 3 ompare el valor del área bajo la recta con el #ue usted calculó en el paso 4 +epetir el experimento a&ora con 14 g suspendidos del porta masas
5
Qncluya todos sus cálculos en el espacio provisto en seguida .abla 1$ !resentación de los datos para el segundo ejercicio
@asa total @asa )carro 2 sensor suspendida de fuer"a* )Cg* )Cg*
.rabajo )J*
ambio en energía cinética )J*
Diferencia relativa porcentual U
!orta masas 2 34 g !orta masas 2 14 g )e'(,t*s 3$ na fuer"a de 34 % se aplica a una caja en ángulo de RW con la &ori"ontal$ Ver la figura 3$ (a caja recorre una distancia de B m$ alcule el trabajo &ec&o por la
1$ 'i una fuer"a aplicada sobre un cuerpo varía con la posición seg5n ;)x* - 1x 1 = 3, donde está x en m, y ; en % Ycuánto trabajo &ace esta fuer"a si el cuerpo se mueve desde x - 3 ma x - mZ
Co,2-(sio,es A modo de conclusión, podemos decir #ue, a pesar de los errores de medición mencionados, se cumple aproximadamente la &ipótesis planteada de #ue la energía potencial en la altura máxima es igual a la energía cinética en la altura mínima donde el péndulo tiene máxima velocidad$ on respecto a las mediciones de las alturas, recomendamos medida varias veces para una misma altura y obtener un promedio delos resultados, con el objetivo de minimi"ar los errores$
Co
A')*/e2i
+ =si2s5 Vo-(i-e= So,s5 I,285+9548+++8 9 Fsi2a (,ive)sit*)i*, Franci s W $ Sears, Mar C W $ Zemansky , Hug & $ !oung , 'exta edición en espaMol, Addison=7esley Qberoamericana,3FGG,p$34=3G $ @ Fsi2a Vo-$ I6 Me2,i2*, M $ "lonso, E $ # $ Finn, Addison=7esley Qberoamericana, 3FFB, p$ 3B=3R$ 4 Photogate Timers, Instruction Manual and Experiment Guide for the PASCO scientific Model ME!"#$A and ME!"%&A'
