Universidad Distrital Francisco Francisco José De Caldas, Oviedo Ramirez, Vera Castillo, Taller de FLUJO EN REDES
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Taller de CPM (minimización paramétrica de costo) Oviedo Ramírez, Juan Pablo.
[email protected] [email protected] Vera Castillo, Johan Sebastián
[email protected] Universidad Distrital Francisco José de Caldas
I. I NTRODUCCION
En el presente informe se hará un ejercicio propuesto en clase sobre planeación y control de proyectos, este se realizó utilizando el modelo de CPM (Critical Path Methop) y su método de PERT-COST, el ejercicio permite asociar los términos de tiempos normales y tiempos límites relacionados a una lista de actividades que por consiguiente cada una de ellas tiene un costo de realización, este método lo que busca es minimizar los costó que se dan por agilizar las actividades hasta su tiempo límite. Para conseguir lo anterior se hace uso de la programación lineal y de la herramienta de software Excel, la cual nos permite resolver problemas de esta área por un componente de esta “Solver”; el ejercicio consta de 26 actividades lo cual nos lleva
a tener un grafo de 27 nodos y 47 arcos. II. OBJETIVOS A. Objetivo General
Minimizar el costo de la ejecución de las actividades pasando de los tiempos normales a sus tiempos límites por medio de la programación lineal enfocada a la planeación y control de proyectos. B. Objetivos Específicos
Determinar el grafo correspondiente al proyecto propuesto y sus actividades dependientes dependientes Relacionar cada actividad con su tiempo normal y su tiempo limite Determinar la ruta crítica en los tiempos normales Aplicar el método PERT-COST Minimizar el consto de las rutas críticas que van apareciendo por cada etapa de mejoramiento Comparar los resultados obtenidos por el componente y las etapas propuestas para así llegar a una conclusión del proyecto. III. MARCO TEÓRICO
A. Programación lineal
La programación es una técnica matemática de modelado usada en el proceso de toma de decisiones. Al intentar resolver un problema lineal se intenta encontrar las posibles decisiones
que pueden tomarse, lo que nos conduce a determinar las variables del problema. Estas variables toman valores cuantitativos y buscan optimizar un objetivo, sin embargo hay que determinar si estas variables son admisibles, lo que nos lleva a plantear un conjunto de restricciones. Luego de esto hay que calcular el costo/beneficio asociado a cada decisión admisible; lo que quiere decir que se plantea una función objetivo con las variables que pueden tomar distintos valores afectadas por un costo/beneficio. Todo lo anteriormente mencionado define un problema de optimización, los cuales pueden ayudarnos en problemas de ingeniería, gestión, y muchas otras áreas de la ciencia, la técnica y a industria. [1] Se puede observar que en cualquier problema de programación lineal requiere identificar cuatro componentes básicos: 1. El conjunto de datos 2. El conjunto de variables involucradas en el problema, junto con sus dominios respectivos respectivos de definición definición 3. El conjunto de restricciones lineales del problema que definen el conjunto de soluciones admisibles 4. La función lineal que debe ser optimizada (minimizada o maximizada) B. PERT/CPM
Fue diseñado para proporcionar diversos elementos útiles de información para los administradores del proyecto, expone la "ruta crítica" de un proyecto. Estas son las actividades que limitan la duración del proyecto. En otras palabras, para lograr que el proyecto se realice pronto, las actividades de la ruta crítica deben realizarse pronto. Por otra parte, si una actividad de la ruta crítica se retarda, el proyecto como un todo se retarda en la misma cantidad. Las actividades que no están en la ruta crítica tienen una cierta cantidad de holgura; esto es, pueden empezarse más tarde, y permitir que el proyecto como un todo se mantenga en programa. El PERT/CPM identifica estas actividades y la cantidad de tiempo disponible para retardos. La principal diferencia entre PERT y CPM es la manera en que se realizan los estimados de tiempo. PERT supone que el tiempo para realizar cada una de las actividades es una variable aleatoria descrita por una distribución de probabilidad. CPM por otra parte, parte, infiere infiere que los tiempos tiempos de las las
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actividades se conocen en forma determinísticas y se pueden variar cambiando el nivel de recursos utilizados. C. Grafica de costo vs tiempo
Figura 1, representación no lineal de costo vs tiempo D. Gestión de proyectos
Las redes son bastante útiles debido a que ayudan a evidenciar de manera gráfica el flujo de actividades de un proyecto a gran escala o de un proyecto de investigación y desarrollo. Por tanto, una de las aplicaciones más importantes de la teoría de redes es ayudar en la gestión de tales proyectos. A finales de la década se desarrollaron las técnicas PERT y CPM, las cuales fueron de gran apoyo para los directores de proyectos para auxiliar en la planeación y la coordinación de las distintas actividades de un proyecto, desarrollar un calendario realista para éste y luego supervisar el avance del proyecto después de que éste se puso en marcha. Con el paso de los años, las mejores características de estas dos técnicas han tendido a fusionarse en algo que ahora se conoce de manera común como técnica PERT/CPM. Este enfoque de redes en la administración de proyectos se usa ampliamente en la actualidad y es común la realización de un modelo de optimización resolviéndose por medio del análisis de costo marginal o de programación lineal para redes más complejas. [1] E. Uso de programación lineal para tomar decisiones de quiebre o limite
Con redes más grandes, el análisis de costo marginal se puede convertir en algo difícil de manejar, por lo tanto se debe contar con un procedimiento más eficiente para el manejo de proyectos grandes. Por esta razón, el procedimiento CPM estándar es aplicar programación lineal, en donde se desea maximizar la función de la recta que representa la relación entre el costo de cada actividad con su respectiva duración para poder minimizar el costo del proyecto.
Figura 2 Para esto debemos tener claros cuales son los parámetros y variables de problema de programación lineal. Las variables en este caso, son las siguientes: T_i: Tiempo de inicio de la actividad i T_j: Tiempo de inicio de la actividad j t_ij: Duración de la actividad ij Los parámetros básicos que se usarán para la formulación serán los siguientes: 〖TN〗 _ij: Tiempo normal de la actividad ij 〖TL〗 _ij: Tiempo límite de la actividad ij 〖CN〗 _ij: Costo normal de la actividad ij 〖CL〗 _ij: Costo límite de la actividad ij A partir de estos se procede a hallar los parámetros necesarios para la formulación de la función objetivo, los cuales deben ser la pendiente que representa el costo marginal con respecto a la duración y el punto de corte de esta con el eje Y. Basándonos en la ecuación 1, la cual representa la pendiente de una recta y basándonos en los puntos de la figura 1 podemos llegar a la ecuación 2. La cual representa la pendiente para la recta y la identificamos como a_ij (Al costo de quiebre o tiempo de quiebre también es posible llamarlo tiempo o costo limite representados como 〖TL〗 _ij y 〖CL〗 _ij respectivamente). (1)
(2) Por otro lado para la constante b de la ecuación de una recta, se utiliza el punto en el que la recta corta con el eje Y y se reemplazan los parámetros ya conocidos, obteniendo la ecuación 3. (3) Con esto ya podemos pasar a encontrar la función objetivo, la cual tiene como propósito reducir al máximo los costos, por
Universidad Distrital Francisco José De Caldas, Oviedo Ramirez, Vera Castillo, Taller de FLUJO EN REDES lo tanto se debe minimizar la función, para hallar los valores más pequeños de estos, dentro de la ruta crítica. Por ende:
s.a.
Sin embargo para garantizar que el tiempo del proyecto se mantenga dentro del tiempo normal y el tiempo límite de este es necesario agregar las siguientes restricciones: T_1=0 T_n=λ 〖TL〗 _p≤λ≤〖TN〗 _p
IV. A NÁLISIS
alcanzar el objetivo del método se tiene que llegar del 189 al 115 minimizando los costos que esto conlleve, lo anterior se hace por medio de etapas las cuales se van afectando las variables que afecten a todas las rutas críticas que se tengan hasta el momento teniendo en cuenta que deben ser las que más economicen recursos monetarios. Para hallar las rutas críticas se tienen las posibles rutas para conseguir el proyecto que en total son 528 de las cuales al final de las 24 etapas se ven afectadas 288 rutas que nos llevarían al tiempo límite de terminación del proyecto. e tapa
costo
ti empo
1
10490
189
2
10515
184
3
10539
181
4
10555
179
5
10589
177
6
10623
175
7
10713
170
8
10757
168
9
10932
161
10
10957
160
11
11119
154
12
11329
147
Actividad A B
Depen.
TN(i-j)
TL(i-j)
CN(i-j)
-
24
16
580
652
9
-
25
20
520
605
17
13
11360
146
C D E
-
30
15
260
380
8
-
27
20
370
433
9
14
11394
145
A,B
35
18
240
359
7
15
11434
144
A,B
27
22
400
450
10
A,BC,D
40
24
280
568
18
16
11514
142
C,D
28
18
450
510
6
17
11637
139
18
11809
135
F G H I J K
CL(i-j) ΔC(i-j)
3
C,D
25
15
200
270
7
E,F,G,H,I
17
10
330
407
11
E,F,G,H
23
13
370
500
13
19
11853
134
20
11953
132
21
12133
129
22
12553
122
L M
E,F,G
20
10
330
450
12
E,F
18
10
420
580
20
N O P Q
E
19
10
500
635
15
J,K,L
26
12
410
606
14
J,K,L
25
12
350
558
16
K,L,M
40
20
600
700
5
23
12673
120
R
L,M,N
36
26
520
650
13
24
13028
115
S
L,M,N
38
26
580
724
12
T U V W
O,P,Q
29
20
290
371
9
O,P,Q
27
16
230
340
10
Q,R,S
29
20
420
591
19
Q,R,S
31
15
480
832
22
X Y
T,U
17
10
660
751
13
T,U,V,W
23
13
510
700
19
Z
V,W
25
15
190
270
8
Tabla 1, costos, tiempos y dependencias de las actividades En la tabla uno se puede identificar cada uno de los tiempos tanto los normales como el límite, también se observa el costo que tiene el disminuir una unidad de tiempo la actividad que se asigne, de esta tabla sale el grafo del anexo 1 el cual es basado en los tiempos normales y tiene una duración de 189, en cambio en el anexo 2 se tiene como base los tiempos limites los cuales dan como resultado del proyecto 115 unidades de tiempo. Para
Tabla 2, minimización del tiempo con su respectivo costo En la tabla 2 se puede ver como mediante las etapas se iba minimizando el tiempo del proyecto pero así mismo iba aumentando su costo de realización, hasta llegar al mínimo de tiempo en el cual se puede decir que será el costo máximo del proyecto definiendo esto como la función objetivo. Con estos resultados de las etapas se construyó una gráfica que nos deja evidenciar como es la variación del proyecto con referente al costo como se ve en la figura dos
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PERT-COST
26
164
27
189
4
13500 13000 12500
Actividad
tij
A
24
11000
B
25
10500
C
30
D
27
E
35
F
27
G
40
H
28
I
25
J
17
K
23
L
20
M
18
o t 12000 s o11500 C
10000 100
120
140
160
180
200
Tiempo
Grafica 2, tiempo vs costo del proyecto por etapa En la gráfica 2 se puede ver cómo mientras más se va acortando el tiempo del proyecto el costo que conlleve esto va ser mucho mayor y que las variables no van a tener tanta holgura como al comienzo Luego de resolver el programa utilizando el solver de Excel se obtuvo la siguiente función objetivo y los siguientes resultados para los valores del tiempo de inicio de cada actividad y la duración de cada actividad para reducir los costos al máximo.
N
19
10490
O
26
T
P
25
1
0
Q
40
2
0
3
R
36
25
4
S
30
38
5
30
T
29
6
70
U
27
7
70
V
29
8
70
W
31
9
70
X
17
10
92
Y
23
11
90
Z
25
12
90
13
90
14
93
15
109
16
93
17
133
18
133
19
133
20
135
21
135
1
0
22
164
2
0
23
164
3
24
20
164
25
4
164
20
FO
Sin embargo, se quiso rectificar los valores de la duración de cada actividad en caso de querer reducir el tiempo del proyecto y compararlo con el resultado obtenido con el método PERTCOST, para esto se cambió la siguiente restricción en la formulación: ≤ λ ≤
λ = 115
Y con esto se obtuvieron los siguientes resultados: FO
12956 T
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20
T
20
6
38
U
20
7
42
V
20
8
44
W
20
9
44
X
15
10
44
Y
15
11
54
Z
15
12
54
13
54
14
57
15
57
16
57
17
80
18
80
19
80
20
80
21
80
22
100
23
100
24
100
25
100
26
100
27
115
Actividad
tij
A
20
B
20
C
20
D
20
E
18
F
22
G
24
H
24
I
24
J
13
K
13
L
10
M
12
N
16
O
23
P
23
Q
23
R
26
S
26
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Al resolver el ejercicio por programación lineal utilizando la restricción para que λ varíe entre el valor del tiempo del
proyecto con tiempo límite y con tiempo normal se pudo observar que la formulación tendía a tener los valores del tiempo normal puesto que si analizamos la figura 2 los costos de una actividad van a ser mínimo al tener un tiempo normal, es decir con el tiempo máximo. Por lo tanto al combinar todas estas actividades dentro de la función objetivo nos va a arrojar el mismo valor del costo normal del proyecto, lo que nos lleva a analizar que el modelo realizado con dicha restricción simplemente nos va a confirmar que el costo mínimo que se puede obtener el proyecto es llevando a cabo una duración de tiempo normal en cada actividad. Pero por otro lado si se cambia dicha restricción de λ para que ya no se pueda mover entre los dos valores de los tiempos del proyecto y se igualan por el contrario al valor del tiempo límite del proyecto se puede encontrar el costo límite con el cual se podrá llevar acabo la mínima duración del proyecto. Aquí se encontró una diferencia con el método PERT-COST puesto con este se obtuvo un costo límite de 13028, mientras que con el modelo se obtuvo un costo limite en el proyecto de 12959. Como podemos ver efectivamente se reduce el costo para el tiempo límite de 115 con el modelo de programación lineal, pero esta diferencia va ligada al uso de herramientas de solución del problema siendo más efectiva la resolución por el método PERT-COST pero más eficiente al realizar un modelo de programación lineal debido a la facilidad de su formulación
V. CONCLUSIONES Al momento de minimizar el costo de la operación hay un factor que lo limita y va ser el tiempo límite de la operación y la holgura en las rutas lo que quiere decir que entre más se vaya a acortar el tiempo del proyecto este va afectar más el costo del proyecto como se puedo evidenciar en la gráfica de tiempo vs costo. Utilizando los dos métodos hay una pequeña diferencia en la función objetivo, esto se debe a la manera de tomar los tiempos ya que uno tiene como base la distribución beta y 3 parámetros de tiempos y el otro es un método determinístico El método CPM proporciona una forma poderosa de utilizar un modelo de optimización de redes para diseñar un proyecto de manera que pueda cumplir con su fecha límite con un costo total mínimo
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Se pudo encontrar ciertas deficiencias al resolver el problema con programación lineal tales como: - No permite que una actividad inicie hasta que termine sus predecesores inmediatos. - No toma en cuenta aspectos importantes como la asignación de recursos limitados a las actividades VI. BIBLIOGRAFÍA
[1] http://repositorio.sena.edu.co/sitios/fedemetal_manual_man tenimiento/# [2] https://www.gestiopolis.com/redes-y-pert-cpm-metododel-camino-critico/
[3] F. Hillier and G. Lieberman, Introducción a la investigación de operaciones, 9th ed. México: MacGraw-Hill, 1989, pp. 368-380.
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