Laboratorio de Vibraciones y Ondas Práctica No 5 Anillos Vibratorios
Magíster Mónica Andrea Vargas Urbano
Universidad del Cauca Facultad de Ingeniería Electrnica y !eleco"unicaciones Po#ayán $ Cauca %&'(
Laboratorio de Vibraciones y Ondas Práctica No 5 Anillos Vibratorios
Magíster Mónica Andrea Vargas Urbano
Johan Felipe Joyas Ordóñez Norma Constanza ópez !"b#n $arío Vargas
Universidad del Cauca Facultad de Ingeniería Electrnica y !eleco"unicaciones Po#ayán ) Cauca %&'( Introduccin
%n el presente in&orme se har' "n an'lisis de los aspectos relacionados a los Anillos Vibratorios( con el )n de obser*ar s" comportamiento ba+o las leyes &ísicas( y así comprobar e,perimental y analíticamente dichas leyes( como por e+emplo las leyes del p#nd"lo &ísico- $e manera similar se analizar'n los res"ltados obtenidos al hacer oscilar los anillos y cómo se relaciona el momento de inercia del anillo y la linealización de la c"r*a de periodo di'metro del anillo
D
T
*s el
-
Ob*etivos T
•
•
T
• •
D
Modelar la relación entre el periodo y el di'metro del anillo %ncontrar el *alor e,perimental apro,imado de la gra*edad &orma analítica-
g
de
Analizar el periodo en &"nción de las dimensiones de los anillosConcept"alizar los aspectos &ísico.matem'ticos de las oscilaciones armónicas-
+arco !erico P,ndulo Físico
%l mo*imiento de "n anillo *ibratorio se p"ede modelar id#nticamente como el mo*imiento de "n p#nd"lo &ísico( ya /"e es "n anillo homog#neo y describe "n mo*imiento oscilatorioUn p#nd"lo &ísico o "n p#nd"lo comp"esto es "n sistema mec'nico( el c"al consta de "n ob+eto rígido con masa m 0en este caso "n anillo *ibratorio1( /"e oscila alrededor de "n p"nto )+o 0pi*ote1 /"e no pasa a tra*#s de s" centro de masa( si este ob+eto no se p"ede clasi)car como "na masa p"nt"al( entonces se deber' tratar como "n p#nd"lo &ísico2artiendo de estas características( el ob+eto rígido se enc"entra en estado de reposo( en s" p"nto e/"ilibrio( se desplaza el ob+eto de tal manera /"e se &orme "n 'ng"lo θ con respecto a s" posición inicial de e/"ilibrio- 3e libera el ob+eto de+'ndolo /"e oscile libremente por acción de la &"erza de 4ra*edad%l e+e de giro del ob+eto rígido O ( est' a "na distancia d ( del centro de masa del ob+eto( la &"erza de gra*edad genera "n mód"lo de torsión en torno a "n e+e )+o /"e pasa a tra*#s del pi*ote O ( la magnit"d de esa inercia torsional( *iene dada por la e,presión5 e =¿−mgd sin θ M ¿
$e donde5 M e : Mód"lo torsional del ob+eto respecto al e+e )+o pasa a tra*#s del pi*ote O - %l signo negati*o señala /"e el momento de torsión a tra*#s del e+e )+o
/"e pasa por O tiende a dismin"ir θ ( es decir /"e este momento de torsión tiene "na nat"raleza resta"radoram 5 Masa del ob+eto rígido 0anillo *ibratorio1g 5 Valor de la aceleración de la gra*edad-
g 67(89::;
d : $istancia del centro de masa del ob+eto al pi*ote
m s
2
O -
θ 5
%l ob+eto rígido est' ba+o la acción de "n mód"lo de torsión( "sando la &orma rotacional de la 3eg"nda ey de Ne=ton5
∑ τ = Iα $onde5 I
5 Momento de inercia del ob+eto en torno al e+e )+o /"e pasa a tra*#s del
pi*ote O. α : Aceleración ang"lar del p#nd"lo &ísico-
3e tiene /"e5 −
mgd sin θ Iα =
2
$e donde
d θ α = 2 dt 2
d θ −mgd sin θ = I 2 dt
$e lo c"al5 2
d θ 2
dt
+
mgd sin θ =0 I
3e obser*a /"e la anterior %c"ación di&erencial de seg"ndo orden no corresponde a "n mo*imiento armónico simple( para *alores de θ pe/"eños( se p"ede hacer la apro,imación5 di&erencial5
sin θ ≈ θ
de lo c"al se obtiene la ec"ación
2
d θ mgd θ =0 + 2 I dt
a sol"ción θ
de la ec"ación di&erencial de seg"ndo orden( *iene dada por
θ=θ o cos ( ωt + φ)
$e donde5 φ 5 %s "na contante arbitraria( /"e representa el 'ng"lo de &ase inicial del
mo*imiento( se determina partir de las condiciones iniciales del mo*imientoθo 5 %s "na constante( la c"al corresponde a la amplit"d m',ima ang"lar-
ω 5 Frec"encia ang"lar del mo*imiento-
ω=
√
mgd I
%l periodo del mo*imiento *iene dado por5 T =
2 π
ω
√
=2 π
I mgd
Como I es el momento se inercia del anillo *ibratorio( el c"al est' dado por la e,presión5
I = I 0 + mR 2
I 0 = mR 2
$ado /"e
( se tiene /"e5
I = I 0 + mR 2 = mR 2 + mR 2 = 2mR 2
3i se reemplaza esta ec"ación en la e,presión de periodo( se tiene5
√
T =2 π
2mR
2
mgd d es la distancia del centro de masa del anillo *ibratorio al e+e de
3e tiene
giro 0pi*ote1( entonces d es e/"i*alente al radio R del anillo *ibratorio( se tiene /"e d R =
T = 2π
2mR 2 mgR
Finalmente se obtiene /"e "n anillo *ibratorio( tiene "n periodo e,presión5 T = 2π
T
dado por la
2R
g
Como el di'metro del anillo *ibratorio es ig"al a dos *eces s" radio periodo
T
p"ede /"edar en &"nción del di'metro del anillo5
2 R = D
( el
T = 2π
D g
Análisis de -atos y .esultados -atos Obtenidos
2ara obtener estos datos( se hicieron oscilar anillos de di&erente di'metro( se θ
= 8°
rotó el anillo "n 'ng"lo respecto a s" posición de e/"ilibrio y se tomó el tiempo /"e cada anilló tardó en e+ec"tar ; oscilaciones( repitiendo este proceso ; *eces por cada anillo( calc"lando el periodo cada tiempo y el periodo promedio de #stos-
T
de oscilación para
%n la anterior tabla de datos se obser*a la directa relación /"e e,iste entre el T
di'metro del anillo *ibratorio y s" respecti*o periodo ( es decir a mayor *alor del di'metro mayor ser' el tiemplo empleado por el anillo *ibratorio para e+ec"tar "na oscilación3e procede a linealizar la c"r*a de periodo de oscilación
T vs
di'metro del
D
anillo *ibratorio - 3e modela "na ec"ación lineal /"e genera "na línea recta( dada por la e,presión5 y = ax + b
$onde
b
corresponde a la intersección de la gr')ca de
coordenado
y
(y
a
y = ax + b
con el e+e
corresponde a la pendiente de la rectaa
2ara encontrar el *alor de los par'metros y e,presiones5
b
( se "tilizan las sig"ientes
n n n∑ ( xy )i − ∑ xi÷ ∑ yi ÷ i =1 i =1 i =1 a= 2 n n 2 n ∑ x i − ∑ xi÷ i =1 i =1 n
n x 2i n yi − n xi n ( xy )i ∑ ÷ ∑ ÷ ∑ ÷ ∑ ÷ =1 i i = 1 b = i =1 i =1 2 n n n∑ x 2i − ∑ xi÷ i =1 i =1 3i se considera *alor de
a
b = 0
( se obtendría la sig"iente e,presión para encontrar el
5 n
∑ ( xy)i a=
i =1 n
∑ x i 2
i =1
"ego los datos /"e se tienen son5 $i'metro 0 metros1 9-?7; 9-B; 9-B7? 9-@? 9-7 9-;9; 9-;@ 9-;
x
∑ x = 3.457
2eriodo
T y
xy
9-989?; 9-@?;B@: 9-@;B:: 9-@:7 9-?9@:9@ 9-?;;9?; 9-?:@9 9-?7@:
9-B@@8 9-B79: 9-:?9@: 9-;9B?77? 9-:9@:: 9-:8;7 9-:77@98 9-:9;B:
0 >z1
@-9;? @-@?@: @-?@8 @-??@: @-B @-B;8 @-B98 @-98
x 2
∑ y = 10.0924
∑ x
2
= 1.544975
∑ ( xy) = 4.4355152
n x 2i n yi − n xi n ( xy )i ∑ ÷ ∑ ÷ ∑ ÷ ∑ ÷ (1.544975)(10.0924) − (3.457)(4.4355152) i i =1 =1 b = i =1 i =1 = 2 n n 8(1.544975) − (3.457)2 2 n ∑ x i − ∑ xi÷ i =1 i =1 b=
15.59250569 − 15.33357605 12.3598 − 11.950849
b = 0.6331556592
=
0.25892964 0.408951
= 0.6331556592
n n n ∑ ( xy )i − ∑ xi÷ ∑ yi ÷ 8(4.4355152) − (3.457)(10.0924) i =1 i =1 i =1 a= = 2 n n 8(1.544975) − (3.457)2 2 n∑ x i − ∑ xi÷ i =1 i =1 n
a=
35.4841216 − 34.8894268 12.3598 − 11.950849
=
0.5946948 0.408951
= 1.454195735
a = 1.454195735
a ec"ación lineal /"e me+or modela "na apro,imación lineal de la c"r*a de periodo de oscilación
T vs
di'metro del anillo *ibratorio
D
es5
y = 1.454195735x + 0.6331556592 I
3e tiene /"e es el momento de inercia del anillo *ibratorio( el c"al *iene dado por la e,presión5 I = I 0 + mR 2
$ado /"e
I 0 = mR 2
( se obtiene5
I = I 0 + mR 2 = mR 2 + mR 2 = 2mR 2
3e tiene /"e el di'metro del anillo *ibratorio es ig"al a dos *eces el radio R = D / 2
D = 2 R
o ( el momento de inercia di'metro( *iene dado por la e,presión5
I
del anillo en &"nción de s"
2
I
= 2mR
2
D D2 D2 = 2m ÷ = 2 m 2 = m 2 2 2 g
Cálculo del valor de
3e enc"entra el *alor de la gra*edad periodo
T
promedio5
g
para cada di'metro y s" respecti*o
x
$i'metro 0 metros1
2eriodo
9-?7; 9-B; 9-B7? 9-@? 9-7 9-;9; 9-;@ 9-; D
promedio
T y
@-9;? @-@?@: @-?@8 @-??@: @-B @-B;8 @-B98 @-98
= 0.432125
T
promedio
m 2÷ seg
0 >z1
= 1.26155
g
@9-@777B @@-@97B9 @9-8::B9: @9-877B98 7-8@89B9?@ @9-8@9:?? @9-@?98 @9-B;@
g
=
promedio @9-:B?B 97
g
%l *alor promedio de /"e se enc"entra promediando los *alores de gra*edad para cada di'metro de los anillos la tabla anterior( es ig"al a5 g = 10.63247309
m seg 2
3e calc"la el *alor real o aceptado de la gra*edad dado por la fórmula internacional de la gravedad: g = 9.780495( 1 + 0.005289sin
m
2
θ
− 0.00000073sin (2θ ) ) seg 2 2
θ
$onde
θ
en este caso es el 'ng"lo de latit"d de la ci"dad de 2opay'n(
= 2.23°
g = 9.780495 ( 1 + 0.005289sin2 2.23 − 0.0000073sin2 (2(2.23))) g = 9.780495( 1 + 0.005289(0.6248589819) − 0.0000073(0.9376409385))
g = 9.780495 ( 1 + 1.003304879 ) m g = 9.780495 ( 1.003298034 ) = 9.812751409 seg 2
Cálculo de Errores .elativo y Absoluto
3e halla la des*iación de los datos tomados e,perimentalmente( mediante la e,presión5
Ea
= ValorMedido − ValorAceptado
E a
= 10.63247309 − 9.812751409 = 0.819721681
E a
= 0.819721681
E r =
E r =
ValorAceptado − ValorMedido ValorAceptado 9.812751409 − 10.63247309 9.812751409
=
−0.819721681
9.812751409
= −0.08353637
| E r |= 0.08353637
%l error relati*o porcent"al es5 E r (%) = 8.3%
3e conoce la e,presión periodo
T
del anillo( dada por5 T = 2π
m=
2R
g
2π g
2artiendo del hecho de /"e !eemplazando esta ec"ación en la e,presión del p#nd"lo( se tiene /"e5 T
= 2π
2 R g
= 2π
2R g
=m
2R
$e esta se e,presión( se obtiene5 m=
T 2 R
=
T D
!eemplazando los *alores obtenidos en el laboratorio5 m=
T D
=
1.26155 0.432125
=
1.26155 0.65736215
= 1.91910957
3e despe+a 2π
m=
→
g
g
m=
2π g
de la e,presión
g =
2π
m
→ g =
5
4π 2
m
2
g
3e calc"la el *alor de 5 g =
4π 2
m
2
=
4π 2
( 1.91910957 )
2
=
4π 2 3.68298155
= 10.71914618
m seg 2
Cálculo de Errores .elativo y Absoluto
3e halla la des*iación de los datos tomados e,perimentalmente( mediante la e,presión5 Ea
= ValorMedido − ValorAceptado
E a
= 10.71914618 − 9.812751409
E a
= 0.9063947673
E r =
E r =
ValorAceptado − ValorMedido ValorAceptado 9.812751409 − 10.71914618 9.812751409
=
−0.906394771
9.812751409
= −0.09236907
| E r |= 0.09236907
%l error relati*o porcent"al es5 E r (%) = 9.2%
%stos errores e*idencian la e,istencia de "na imprecisión al momento de medir "na magnit"d &ísica( este error tambi#n est' en &"nción de otros &actores como la calidad de los instr"mentos de medida "tilizados( la temperat"ra del medio( etc-
Conclusiones T
%l periodo de *ibración depende del *alor est# e+ec"tando la oscilación-
g
de la gra*edad donde se m g = 9.81 seg 2
•
%l *alor de la gra*edad en la ci"dad de 2opay'n es Un anillo *ibratorio oscilaría inde)nidamente con mo*imiento armónico simple( sin la presencia de &"erzas de rozamiento como la resistencia del aire o el rozamiento e,istente en pi*ote donde el anillo gira D
•
•
T
%l di'metro del anillo y el periodo de oscilación son directamente proporcionales( es decir( a medida /"e el di'metro a"mente mayor ser' el tiempo empleado por el anillo para completar "na oscilación%l periodo
T
no est' en &"nción en la masa del anillo-
/ibliogra0ía
@- 3er=ay !aymond A-( Física( C"arta %dición( Mc4ra=.>ill( 2'g- B.B; ?- DEE2%$EA®( Péndulo físico ( (CC) ?9@http5GGes-=iHipedia-orgG=iHiG2#nd"loI&ísico Cons"lta5 Oct"bre @7 de ?9@K
