UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULT FACUL TAD DE INGENIERIA MECÁNICA
“INFORME Nº 08: CIRCUITOS TRANSITORIOS DE SEGUNDO ORDEN – CIRCUITO RLC SERIE” ESPECIALIDAD:
Mecánica-E!c"#ica CURSO:
La$%#a"%#i% &e ci#c'i"%( e!c"#ic%( I ALUMNOS:
PROFESOR:
In)* EMILIO MARCELO
UNI – +0,0
1 Laboratorio de circuitos eléctricos I
O.ETI/OS
Analizar las diferentes clases de resuestas !ue resenta un circuito RLC en serie"
Co#robar las ecuaciones $enerales ara el an%lisis transitorio de circuitos RLC"
Obtener e&eri#ental#ente las constantes reresentati'as del siste#a RLC"
MATERIALES
osciloscoio
Circuito dibujado en la caja de resistencias
( Laboratorio de circuitos eléctricos I
FUNDAMENTO TEORICO Los rocedi#ientos ara )allar la resuesta natural o a un escal*n de un circuito RLC es serie son los #is#os !ue se e#lean ara encontrar la resuesta natural o a un escal*n de un circuito RLC en aralelo+ la !ue son dos circuitos se describen con ecuaciones diferenciales !ue tienen la #is#a for#a" ,or e-e#lo+ la ecuaci*n diferencial !ue describe la corriente del circuito de la .$ura+ tiene la #is#a for#a !ue la ecuaci*n diferenciales !ue describe el 'olta-e en un circuito aralelo" /alla#os la e!ui'alencia )aciendo una su#a de los 'olta-es as0
R2
L2
8
V1=0 V2=5 TD =0 TR =0 TF=0 PW=0.025 PER =0.05
9
10
V2 C1 100n
0
Ri + L
di dt
+
1 C
∫ idt + Vo = 0
A)ora deri'a#os con resecto a t la ecuaci*n d 2 i dt 2
+
R di
+
i
L dt LC
=0
2ue lue$o de co#arar con las ecuaciones del circuito RLC+ tienen la #is#a for#a" Soluciona#os el siste#a or los #étodos de EDO+ cu3as ra0ces caracter0sticas son
4 Laboratorio de circuitos eléctricos I
s1, 2 s1, 2
2
R 1 = − ± − 2 L 2 L LC = −α ± α 2 − ω o 2 R
Cu3a frecuencia de Neer en el circuito serie es
α
=
R 2 L
5ientras !ue la e&resi*n de ara la frecuencia resonante es la #is#a !ue ara el circuito RLC en aralelo ω o
1
=
LC
La resuesta de corriente ser% sobre a#orti$uada+ suba#orti$uada o a#orti$uada cr0tica#ente deendiendo de se wo2< α
α
α
+ wo > o w = 2 + resecti'a#ente" osibles ara la corriente son 2
2
2
2 o
i(t ) i(t ) i(t )
As0 las tres soluciones
= A1e s t + A2 e s t = B1e t cos ω d t + B2 e − t sinω d t = D1te t + D2 te − t 1
2
α
α
α
α
Una 'ez se )a3a obtenido la resuesta natural ara la corriente+ se uede deter#inar la resuesta natural ara el 'olta-e en cual !uiera de los ele#entos del circuito"
De #anera si#ilar se uede )acer el an%lisis ara un circuito !ue est% so#etido a un escal*n+ or e-e#lo el 'olta-e del condensador v c de la .$ura es
6 Laboratorio de circuitos eléctricos I
R2
L2
8
V1=0 V2=5 TD =0 TR =0 TF=0 PW=0.025 PER =0.05
9
10
V2 C1 100n
0
vC (t ) vC (t ) vC (t )
= V f + A1e s t + A2 e s t = V f + B1e t cos ω d t + B2 e − t sinω d t = V f + D1te t + D2 te − t 1
2
α
α
α
α
Donde V f es el 'alor .nal de v /c" ,or lo tanto+ en el circuito !ue se #uestro enla .$ura+ el 'alor .nal de v c es el 'olta-e de la fuente"
CIRCUITO A UTILIAR R2
L2
8
9 0.5k
V1=0 V2=5 TD =0 TR =0 TF=0 PW=0.025 PER =0.05
10 2.8
V2 C1 100n
0
El circuito fue si#ulado+ ara una resistencia 'ariable inicial de 7"89 3 una resistencia .nal de :9+ obteniéndose los si$uientes 'alores ara el 'olta-e del caacitor+ resecti'a#ente R ; 7"8<
8 Laboratorio de circuitos eléctricos I
10V
5V
0V
-5V 0s
10ms
20ms
30ms
40ms
50ms
V(10,0) Time
R ; :< 6.0V
4.0V
2.0V
0V
-2.0V 0s
10ms
20ms
30ms
V(10,0)
Time
CALCULOS 1 RESULTADOS
= Laboratorio de circuitos eléctricos I
40ms
50ms
ESTADO TRANSITORIO EN CIRCUITO RCL I*
De(a##%% Te2#ic% De Ci#c'i"% R4
L1
10k
2.5h
i
R2
71.2
C1 V1
i1
Rc
i(
100n
0
Alicando las le3es de circuitos se tiene i
= i1 + i2 (1)
i1
= C V C ′ (t ) (2)
i2
=
V C (t ) RC
(3)
Ademas : V (t ) = ( Ri
+ Rv )i(t ) + Li ′(t ) + V C (t )
De donde :
V C (t ) = V (t ) − ( Ri
+ Rv )i(t ) − Li′(t ) (4)
(2),(3) y ( 4)en(1) : i(t ) = C V ′(t ) − C ( Ri
V (t ) ( Ri + Rv ) i(t ) − + Rv )i′(t ) − LC i ′′(t ) + − RC
RC
L RC
i ′(t )
Re agrupando ter min os :
1 Ri + Rv 1 Ri + Rv V (t ) V ′(t ) ′ ( ) ( ) + + + = + i t i t LC R LC L RC LC L C RC C
i ′′(t ) +
>En la pat! t!"#ca v#$o% &'! paa c'al&'#! va#a(l! )*t+ &'! %!
&'#!a calc'la ,!l c#c'#to- la !c'ac#"n ,#f!!nc#al t!n,. la fo$a
1 Ri + Rv Ri + Rv 1 ′ ( ) + + + X t X (t ) = f (t ) R C L LC R LC C C 2 1 Ri + Rv 1 Ri + Rv + D + D + R C + L X (t ) = f (t ) LC R LC C C
X ′′(t ) +
? Laboratorio de circuitos eléctricos I
Comparandolo
[ D 2
con
la
ecuacion :
+ 2α D + ω 0 2 ] X (t ) = f (t )
@ene#os ara nuestro circuito
α
1 1 R + R = + i v 2 RC C L
ω 0
1 R + R = + i v LC RC LC
77777777777777777
2 Ri + Rv 1 Ri + Rv 1 2π − + − ω = = 2 RC C LC 2 L 2 RC C L T
1
Lue$o ara el circuito del e&eri#ento Ri ;=+6Ω
R' B17< Ω
C;177n
L;(+8/r"
RC ; (?< Ω + 6?< Ω
Lue$o α ( RC , Rv )
II*
1 107
= + 2 RC
68,4 + Rv 2 ,5
Cac'% &e “α”3 e7e#i9en"a9en"e*-
107 68,4 + Rv ω 0 ( RC , Rv ) = + 2,5 RC (2 ,5x10 −7 )
“T”
4
“ω%”
5ana6"ica
TALA DE /ALORES OTENIDA E;PERIMENTALMENTE: E, 5<
E+ 5<
E= 5<
RC
R<
7"14 7"4:
5> (? 6?
1"1=
∞
5> 1"?4( 1"7=8 7"4:6
1"4 ("(
7"6( 7"8
4"1
1":
Laboratorio de circuitos eléctricos I
T59(
R< 5(in a#92nic%
4 4"1
"7 "(6
4"1
?"
4
FORMA DE ONDA OSER/ADA:
C?LCULO DE 3 % 1 T CON DATOS E;PERIMENTALES:
E, 5<
E+ 5<
@#s *a,/%!0+
,*=
7"6(
4
?84"(6
*a,/%!0 + (7:6"4:
*a,/%!0+
+*+
7"8
4"1
=14"84
(7(="4
(11?"==
=*,
1":
4"1
41:"(6
(7(="4
(781"(
(((8"?4
C?LCULO DE 3 0 1 T CON DATOS TEORICOS:
R, @RiR/
RC 5
5>
0(rad/s
(rad/se
(rad/seg)
eg)
g)
@#s
1"?:=6
(?
866"6=8
(7=8"6=
1::("61
4"186
1"1446
6?
444"7=4
(7(4":?
1::="4
4"16?
7"6=(
∞
:("6
(77
1::?"=
4"168
: Laboratorio de circuitos eléctricos I
CALCULO DE ERRORES: RC @+B> e7* "e%#* e##* * +B*B0 (((8"?4 (7=8"6 B*+0 = (7:6"4: 1::("6 *8B 1
ω @#s
4
4"186
RC @ e7* "e%#* e##*
e## * =14"84 444"7=4 *B 41:"(6 :("6 , (11?"= (7(4":? *+ (781" (777 = ( (7(=" 1::="4 ,*0 (7(=" 1::?" 4 4 =
B=*+
α
III"
RC @B> e7* "e%#*
*,=
4"1
4"16?
se
consi$ue
!ue
,*+
4"1
4"168
PASO Con
el
aso
6
el
coe.ciente
de
a#orti$ua#iento sea i$ual a la frecuencia natural del siste#a+ asando del caso suba#orti$uado al cr0tica#ente a#orti$uado+ es or ello !ue no se obser'a nin$una oscilaci*n+ te*rica#ente ω debe ser cero eriodo in.nito"
I/*
FUNCION DE RC ,ara analizar la funci*n de RC+ te*rica#ente+ 'ea#os la
si$uiente ecuaci*n+ obtenida al rea$ruar tér#inos en la for#ula dada ara ω en la ri#era arte
2 1 Ri + Rv 1 Ri + Rv − + − ω = = LC 2 L 2 RC C L 2 RC C
1
17 Laboratorio de circuitos eléctricos I
2π T
B,*0 +*= ,*= ,*=
>Rea$ruando tér#inos se tiene
ω
=
ϖ sinR
C
2
+
α sinR
C
2 RC C
−
1 2
4 RC C 2
Analizando la f*r#ula co#o s*lo nos interesa el efecto de RC + to#a#os el resto de 'ariables constantesF 'e#os !ue ara R C $randes+ ω r%ctica#ente no 'ar0a+ sin e#bar$o ara 'alores e!ueos de RC + ω tiende a crecer esto i#lica !ue el eriodo dis#inu3a 3 entonces se 'er% #%s eriodos de oscilaci*n es ar#*nicas durante el se#ieriodo de la onda cuadrada" @a#bién a si#le 'ista 'e#os !ue RC es un ca#ino ara !ue el condensador se descar$ue #%s r%ida#ente+ de tal #odo !ue se obser'en #%s oscilaciones ar#*nicas"
/*
DIFERENCIAS ENTRE LOS PASOS =3 1 En el aso 4 se lle'a el circuito al caso suba#orti$uado ara
realizar su estudio resecti'o 3 en el aso 6 se lle'a al circuito al caso cr0tica#ente a#orti$uado"
/I*
E;PRESION DE /L:
Del desarrollo de la ri#era arte se tiene
11 Laboratorio de circuitos eléctricos I
1 Ri + Rv 1 R + R V ( t ) V ′(t ) + + i ′(t ) + + i v i(t ) = L RC LC L RC C LC RC LC
i ′′(t ) + Como:
v L ( t )
= Li ′(t )
Re emplaando: v L′ (t ) L
1 Ri + Rv v L (t ) 1 Ri + Rv ∫ v L (t )dt V (t ) V ′(t ) + + + + = + L L RC LC L RC C LC RC LC L
Derivando: v L′′(t ) L
1 Ri + Rv v L′ (t ) 1 Ri + Rv v L (t ) V ′(t ) V ′′(t ) + + + + = + L L RC LC L RC C LC RC LC L
Reaco#odando
1 Ri + Rv 1 R + R V ′(t ) + + V ′′(t ) v L′ (t ) + + i v v L (t ) = L RC C RC C LC RC LC
v L′′(t ) +
/II* E;PRESION DE i5"* Esto se desarroll* en la ri#era arte+ esta ecuaci*n diferencial es
1 Ri + Rv 1 R + R V ( t ) V ′( t ) + + i ′(t ) + + i v i (t ) = L RC LC L RC C LC RC LC
i ′′(t ) +
/III*
EL
PORUE
ENERGIAR
EL
CIRCUITO
CON
ONDA
CUADRADA* ,ara lo$rar obser'ar er#anente#ente dic)a la for#a de onda de las oscilaciones ar#*nicas es necesario !ue ésta se reita a deter#inada frecuencia+ 3a !ue sino no se odr0a to#ar las #edidas corresondientes+ es or ello !ue al circuito se ener$iza con una
1( Laboratorio de circuitos eléctricos I
for#a de onda rectan$ular con una frecuencia tal !ue er#ita 'er en su #edio eriodo toda la arte transitoria areciable de H t"
CONCLUSIONES 1 RECOMENDACIONES
Se obser'* !ue en el transitorio las #a$nitudes de las 'ariables del circuito alcanzan icos ele'ados+ de all0 la i#ortancia de !ue en un circuito se re!uiera una estabilizaci*n r%ida ara e'itar !ue debido a estos icos de 14 Laboratorio de circuitos eléctricos I
corriente 3 tensi*n+ se a'er0en los co#onentes o consu#an de#asiado en el arran!ue" @a#bién es i#ortante destacar la necesidad de ali#entar al circuito con una fuente de onda rectan$ular+ 3a !ue esta si#ula un sJitc) !ue se abre 3 se cierra con cierta frecuencia constante !ue nos er#itir% obser'ar el estado transitorio del circuito RLC 3 )acer su estudio resecti'o" En los asos anteriores se 'io la $ran inKuencia de la resistencia interna del $enerador en los resultados e&eri#entales+ ser0a bueno considerar en el circuito te*rico+ ade#%s de la resistencia interna de la bobina+ la resistencia de salida o interna del $enerador+ con lo !ue se obtendr0an datos #%s co)erentes" Se arecia ta#bién la i#ortancia de la resistencia R C + ara oder obser'ar #a3ores eriodos del transitorio esto $racias al au#ento !ue ro'oca en la frecuencia de oscilaci*n"
ANE;O A: APLICACIONES DE RLC 1" CIRCUI@OS DE SIN@ONA VARIAMLE 16 Laboratorio de circuitos eléctricos I
Un uso frecuente de estos circuitos es en los circuitos de sinton0a de radios an%lo$os" La sinton0a re$ulable es lo$rada co#n#ente con un lato aralelo de caacitancia 'ariable" ,ara la etaa I en la radio en donde la sinton0a es reestablecida de f%brica+ la soluci*n #%s usual es un ncleo re$ulable en el inductor ara re$ular a L" En este diseo el ncleo )ec)o de un #aterial alta#ente er#eable !ue tiene el efecto de incre#entar la inductancia es roscado de #odo !ue uede ser atornillado en la #edida !ue el bobinado del inductor as0 lo re!uiera"
(" IL@ROS
En la alicaci*n en .ltros+ el resistor R se con'ierte en la car$a !ue el .ltro est% traba-ando" El 'alor del factor de a#orti$ua#iento es ele$ido en base a un anc)o de banda deseado del .ltro" ,ara un anc)o de banda #as a#lio+ un #a3or 'alor de factor de a#orti$ua#iento es re!uerido 3 'ice'ersa" Los tres co#onentes roorcionan al diseador tres $rados de libertad" Dos de estos son re!ueridos ara establecer el anc)o de banda 3 la frecuencia de resonancia" El diseador tiene an uno !ue uede ser usado ara establecer la escala de R+ L 3 C a un 'alor r%ctico con'eniente" Alternati'a#ente+ R uede ser redeter#inado or un circuito e&terno el cual usar% el lti#o $rado de libertad" iltro de ,aso Ma-o Un circuito RLC uede ser usado co#o un .ltro de aso ba-o" La con.$uraci*n del circuito es #ostrado en la i$ura 1" La frecuencia en la es!uina+ esto es+ la frecuencia del unto 4dM+ est% dada or
Esto es ta#bién el anc)o de banda del .ltro" El factor de a#orti$ua#iento est% dado or
iltro de ,aso Alto Un .ltro de aso alto es #ostrado en la i$ura (" La frecuencia en la es!uina es la #is#a !ue en el .ltro de aso ba-o"
18 Laboratorio de circuitos eléctricos I
Fig. 1. Circuito RLC como filtro de paso bajo
Fig. 2. Circuito RLC as filtro de paso alt o
Fig. 3. Circuito RLC como un f iltro serie de paso de
Fig. 4. Circuito RLC como un filtro paralelo de paso de banda en derivación a travs de la línea
banda en serie con la línea
Fig. !. Circuito RLC como un filtro serie de tope de banda en Fig. ". Circuito RLC como filtro paralelo de tope de banda en derivación a travs de la línea serie con la línea
El .ltro tiene una banda de toe de este anc)o"
iltro de aso de banda Un .ltro de aso de banda uede ser for#ado con un circuito RLC 3a sea #ediante un circuito serie LC en serie con una car$a resisti'a o ta#bién #ediante un circuito aralelo LC en aralelo con una car$a resisti'a" Estos arre$los se #uestran en las i$uras 4 3 6 resecti'a#ente" 1= Laboratorio de circuitos eléctricos I
La frecuencia del centro est% dada or
el anc)o de banda del circuito serie es
La 'ersi*n de deri'aci*n del circuito est% rearada ara ser accionada or una fuente de $ran i#edancia+ esto es+ una fuente de corriente constante" Ma-o esas condiciones el anc)o de banda es
iltro de toe de banda
La .$ura 8 #uestra un .ltro de toe de banda for#ado or un circuito serie LC en deri'aci*n a tra'és de la car$a" La .$ura = es un .ltro de toe de banda for#ado or un circuito aralelo LC en serie con una car$a" El ri#er caso re!uiere una fuente de alta i#edancia de #odo !ue la corriente es deri'ada al resonante cuando se con'ierte en ba-a i#edancia en resonancia" El se$undo caso re!uiere una fuente de ba-a i#edancia de #odo !ue el 'olta-e decae a tra'és del antiresonante cuando se con'ierte en alta i#edancia en resonancia"
4" OSCILLA@ORS
,ara alicaciones en circuitos de osciladores+ or lo $eneral es deseable )ace la atenuaci*n o de for#a e!ui'alente+ el factor de a#orti$ua#iento tan e!ueo co#o sea osible" En la r%ctica+ este ob-eti'o re!uiere )acer la resistencia del circuito R tan e!uea co#o f0sica#ente sea osible ara un circuito serie+ o alternati'a#ente incre#entar R tanto co#o sea osible ara un circuito aralelo" En cual!uier caso+ el circuito RLC lle$a a ser una buena aro&i#aci*n al circuito LC ideal" Sin e#bar$o+ ara circuitos de #u3 ba-a atenuaci*n factor 2 alto+ roble#as tales co#o érdidas dieléctricas de los caacitores ueden ser i#ortantes" En un circuito oscilador
1? Laboratorio de circuitos eléctricos I
" O de for#a e!ui'alente " Co#o resultado .
6" 5UL@I,LICADOR DE VOL@APE
En un circuito serie RLC en resonancia+ la corriente se li#ita solo or la resistencia del circuito
Si R es e!ueo+ 3 consiste s*lo de una resistencia de la bobina del inductor+ entonces esta corriente ser% $rande" Ocasionar% una ca0da de tensi*n a tra'és del inductor de
Un 'olta-e de i$ual #a$nitud ta#bién ser% 'isto a tra'és del caacitor ero en contra fase al inductor" Si R uede ser )ec)o lo su.ciente#ente e!ueo+ estos 'olta-es ueden ser 'arias 'eces el 'olta-e de entrada" El ratio del 'olta-e es+ en efecto+ el 2 del circuito"
Un efecto si#ilar es obser'ado con las corrientes en el circuito en aralelo" Aun!ue el circuito arece de alta i#edancia a la fuente e&terna+ e&iste una $ran corriente circulando en el lazo interno del inductor 3 caacitor en aralelo"
ANE;O : SIMULACION DEL CIRCUITO CON “Eec"#%nic( H%#$encJ” 1 Laboratorio de circuitos eléctricos I
B*ILIOGRAFIA Anái(i( &e 9e&i&a( e!c"#ica( 1: Laboratorio de circuitos eléctricos I
E*K#an Te#ce#a e&ici2n G'6a a#a 9e&ici%ne( eec"#2nica( 4 #ác"ica( &e a$%#a"%#i% S"ane4 %K C'a#"a e&ici2n Ci#c'i"%( &e c%##ien"e a"e#na >e#cJne# C%#ca#án Deci9a (e7"a e&ici2n J"":J"9*#inc%n&e
(7 Laboratorio de circuitos eléctricos I
