UNIVERSIDAD AUTÓNOMA
“GABRIEL RENÉ MORENO” FACULTAD DE INGENIERÍA EN CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN Y TELECOMUNICACIONES
TEMA: “MÉTODO DE STEFFENSEN””
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN Y TELECOMUNICACIONES MATERIA: MÉTODOS NUMÉRICOS INTEGRANTES:
OLEGARIA PANOZO LEYGUE
FECHA:
ÍNDICE 1.
INTRODUCCIÓN ......................................................................................................................
2
2.
BIOGRAFIA ..............................................................................................................................
3
3.
MARCO TEÓRICO ..................................................................................................................
4
3.1.
CONCEPTO DEL METODO DE STEFFENSEN ........................................................ 4
3.2.
FORMULAS PARA APLICAR EL MÉTODO .............................................................. 4
3.2.1. TEOREMA ......................................................................................................................
4
3.2.2. PRUEBA .........................................................................................................................
5
3.3.
EJEMPLOS DEL MÉTODO ...........................................................................................
3.4.
EL ALGORITMO DEL MÉTODO DE STEFFENSEN ................................................ 8
3.6.
VENTAJAS .......................................................................................................................
9
3.7.
DESVENTAJAS ...............................................................................................................
9
3.8.
IMPORTANCIA................................. .................. ................. .................. ................. .......... 9
3.9.
CONCLUSIÓN ................................................................................................................
6
11
3.10. APLICACIONES................................. .................. ................. .................. ................. ........ 11
1. INTRODUCCIÓN En la resolución de ecuaciones no lineales nos aparecen muchos problemas en
forma natural, con la necesidad de calcular el valor de donde una función
se
anula, es decir, una raíz de . En general, con las herramientas analíticas que se usan para estudiar y graficar funciones suaves (derivables) sólo podemos analizar si hay un intervalo
, donde el gráfico de cruza el eje .
En muchas ocasiones, sólo tiene sentido encontrar una solución aproximada. A veces, el cálculo exacto no es posible ya sea porque se trata de una raíz irracional
2 o porque la función viene dada por coeficientes cuyos valores se conocen sólo en forma aproximada. Lo importante al utilizar métodos que estimen el valor deseado es poder controlar el error que se comete al utilizar un valor aproximado en lugar del exacto.
2. BIOGRAFIA
Johan Frederick Steffensen Nació en Dinamarca el año 1873, fue un importante matemático, estadístico y actuario, a lo largo de su vida realizó una investigación en los campos del cálculo de diferencias infinitesimales y la interpolación. Steffensen dio cátedra de Ciencia Actuaria en la Universidad de Copenhague desde 1923 hasta 1943.La inecuación de Steffensen y el Método de Steffesen fue nombrado después de su fallecimiento el año 1961. El método de Steffensen es un algoritmo para obtener los ceros de una función. El método de Steffensen se puede considerar como una combinación del método de punto fijo y del método de Aitken. El método de Aitken es la aceleración de métodos, por lo tanto podemos definir este método como el método de punto fijo acelerado.
3. MARCO TEÓRICO 3.1. CONCEPTO DEL METODO DE STEFFENSEN El método de Steffensen se puede considerar como una combinación del método del punto fijo y del método de Aitken. Para construir la sucesión de las
}, en todo tercer paso se usa la fórmula de Aitken, y en los demás pasos se aplica la fórmula ≔ − ; ∶ ≔ ∆ ∶ ∆ ∶ ∶ aproximaciones
∶ ∆ ∆
∶
∶
Hay casos en los que la convergencia de la sucesión (
) obtenida mediante
un método iterado es demasiado lenta y, en consecuencia, no resulta de utilidad en situaciones prácticas. Así, es preciso transformar dicha sucesión en
otra que converja más rápidamente al mismo límite (raíz).
3.2. FORMULAS PARA APLICAR EL MÉTODO 3.2.1. TEOREMA Sea
{ {
0 ≥ 0
el esquema de (la sucesión)
De punto fijo
: , → ,. , . Existe q tal que 0 ≤ < 1 y |′ | ≤ < 1 para todo , . ′ ≠ 0 Para el punto fijo de g. Entonces converge al menos linealmente a , cuando →∞.
3.2.2. PRUEBA
|ℯ+| |+ | | | |′ | |′ℯ| Con entre y . Como → cuando → ∞ y está entre y Entonces la sucesión también converge a cuando → ∞. Luego ′ ℯ | |ℯ | 1| ′ | ′ lim ′ | lim lim lim → |ℯ | → |ℯ | → → |ℯ +| Por lo tanto lim |ℯ | ′ ∶ < 1 , de donde la convergencia es → lineal.
converge linealmente a , cuando → ∞ con constante asintótica < 1, entonces tiene sentido aplicar el método ∆ de Aitken a ésta sucesión. Es así como Por el Teorema la sucesión de aproximaciones sucesivas
una combinación entre el método de aproximaciones sucesivas y el método
∆ de Aitken producen un método conocido como el Método de
Steffensen, el cual consiste en calcular la sucesión:
+ ≔ ()2 . Algorítmicamente el Método de Steffensen para acelerar el método de punto fijo se puede expresar de la siguiente manera. Sea aproximación inicial en el método de punto fijo, entonces se toma:
() () ] [ ∆( ) 2 ()
la
() ] [ ∆( ) 2 3.3. EJEMPLOS DEL MÉTODO
,, reemplazamos en la fórmula general de − Steffensen 1 2 Dada la función: 1 y el punto inicial 1 calcular La raíz de la ecuación con error absoluto de 0,005. 1er Paso: Se debe calcular el ).Para obtener se debe despejar la variable de mayor exponente, en el presente caso sería Igualando la ecuación a 0(cero) 1 0 Despejamos tenemos √ 1 = 2do Paso: Dado el punto inicial 01, calculamos 0 reemplazando en el valor de 1 = √ 1 1.25992105 3er Paso: Con 0 calculamos , reemplazando el valor en 1.312293837
Teniendo los puntos
1 con la fórmula: 2 2 1
4to Paso: Calculamos
5to Paso: Calculamos error relativo porcentual con la fórmula Correspondiente:
= ∗100
Repetimos desde el 2do Paso las iteraciones que sea necesarias Para satisfacer la condición que de error que nos dan
0 1 2
% + 1 1,25992165 1,322293873 1,325509316 1,325509316 1,324868256 1,324746505 1,324717961 0,06 1,324717961 1,324717958 1,324717957 1,324717957 0,000003 ɛ
3.4. EL ALGORITMO DEL MÉTODO DE STEFFENSEN En pseudocódigo el Método de Steffensen se puede expresar como sigue: N, Tol,
Entrada:
, g
Aproximación de o mensaje de error
Salida:
←2
Paso 1.
≤ , siga los pasos 3 – 6 − − + Si | | < Salida
Paso 2.
Mientras
Paso 3.
Paso 4.
Parar Paso 5. Paso 6. Paso 7.
←1 ← Salida (“Número máximo de iteraciones excedido”)
Parar
3.5. COMPARACIÓN CON OTROS MÉTODOS Método de Steffensen se puede considerar como una combinación del método de punto fijo y del método de Aitken. Como el método de Aitken esencialmente acelera la convergencia de otro método, se puede definir este método como el método de punto fijo acelerado .
3.6. VENTAJAS El método de Steffensen presenta una convergencia rápida y no requiere, como en el caso del método de la secante, la evaluación de derivada alguna. Presenta además, la ventaja adicional de que el proceso de iteración sólo necesita un punto inicial. La eficiencia de un métod o numérico depende, en parte, de la “rapidez” con
} converge a , donde “rapidez” significa el número mínimo de iteraciones necesarias para tener a una distancia dada de la raíz , es decir, tal que | ∝| < para algún > 0 dado. la cual la sucesión
3.7. DESVENTAJAS Si aplicamos Steffensen en algoritmos de orden cuadrático puede que no lo acelere o que haga que una función que era divergente la transforme en convergente (incluso llegar a cambiar la convergencia de una función).
3.8. IMPORTANCIA Steffensen es un tipo de método de gran importancia para la resolución de ecuaciones numéricas. Son métodos que se basan en construir una
} ∈ en la forma siguiente: Dado, + , 0,1,2,… Donde la función se determina a partir de la función F que define la ecuación a resolver: 0. sucesión
A la hora de estudiar el método se plantean las siguientes cuestiones:
1. Cualquiera que sea , ¿Pertenece
siempre al dominio de ?. Si la
respuesta fuese negativa. No podría construirse la sucesión. Por ejemplo, esto ocurre con
√ que sólo está definida como
función real para los positivos:
2. 3.
1, 1, √ 1 ∉. Si la sucesión puede construirse, ¿∃ lim ?. → Si la sucesión es convergente, ¿Es su límite una raíz de 0?.
El problema planteado en la primera cuestión puede resolverse imponiendo
la siguiente hipótesis sobre :
, ⊂ ⁄ ⊂ . Hipotesis2: es continua en ,. Hipotesis1: Existe un intervalo
En efecto, si la sucesión es convergente:
lim → 1 lim → . Esto es, es un punto fijo de . Por tanto, si toda solución de la ecuación 0 es también solución de 0, es una raíz de . Así pues, nos interesan aquellas tales que 0 sea equivalente a 0. Se tiene el siguiente resultado:
∶ → continua y tal que ⊂ . Entonces tiene, al menos, un punto fijo en . Teorema: Sea
En todos estos casos se puede observar que para tener convergencia
necesitamos que la pendiente de en el punto fijo tenga módulo menor que
1. Esto sugiere imponer la siguiente hipótesis sobre :
Hipotesis3: es contractiva en
,, es decir:
∃ ∈ 0,1 ∕ | | ≤ | |,∀, ∈. (Debe tenerse en cuenta que H3
⇒ H2.)
Hemos visto hasta ahora que exigiendo a las hipótesis H1, H2 y H3 se aseguraba la convergencia global del método, esto es, la sucesión
converge al punto fijo de cualquiera que sea el punto inicial
en .
3.9. CONCLUSIÓN En conclusión, tenemos que el método de Steffensen conocido también
como método de aceleración de Aitken converge más rápido a que la sucesión original
∈ℕ . Éste método es bueno en algunos casos, y no lo
es tanto en otros. Si lo utilizamos para acelerar una función de orden lineal la converge en una cuadrática, mientras que si lo utilizamos en una cuadrática puede que nos lleve a errores de cálculo importantes.
3.10. APLICACIONES Una de las aplicaciones de este método numérico es la aceleración de convergencia. Como ya sabemos, bajo ciertas condiciones el método de iteración de punto fijo converge linealmente si
’ 0 y
converge
cuadráticamente si
’ 0. Resulta que en el caso de convergencia lineal existen métodos para acelerar la convergencia. En esta situación es muy conveniente el uso del método de Steffensen.
