MÉTODO DEL PUNTO FIJO METODOS NUMERICOS Monografía sobre el Método numérico iterativo del Punto Fijo para encontrar raíces de ecuaciones No lineales. Integrantes : Osinaga Flores Mimí Mimí Yandira Yandira (200756656) Ribera Ruth Geraldine (200665820) Pedraza Ferrufino Erick (200770421) García Villarroel Erik Andrés (200763598) Materia
: Métodos Numéricos (MAT-205)
Docente
: Ing. Gianela Peredo Luis
Grupo
: SB
SEMESTRE : 2/2008
SANTA CRUZ - BOLIVIA
MÉTODO DEL PUNTO FIJO
MAT-205
AGRADECIMIENTOS Agradecemos: Primeramente a Dios, por darnos salud, inteligencia y la oportunidad de estar en este mundo e iluminarnos en los momentos en los cuales necesitábamos ayuda. Al Ing. Luis Gianela Peredo, por habernos instruido y brindado la enseñanza tan fundamental para nuestro proceso de formación como buenos profesionales. A nuestras familias, por darnos el apoyo moral y económico económ ico para lograr nuestras metas y objetivos.
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DEDICATORIA La presente monografía va dedicada a todos los estudiantes de Ingeniería de la Universidad Autónoma “Gabriel René Moreno” para que sea útil como referencia a estudiantes posteriores y pueda constituirse como un documento de mucha ayuda para ellos.
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Tabla de contenido 1. INTRODUCCION ...................................................................................................................... 6 2. GENERALIDADES ..................................................................................................................... 6 2.1. METODOS NUMERICOS PARA EL CALCULO DE RAICES NO LINEALES ...................................6 2.1.1.
METODOS CERRADOS ................................................................................................... 7
2.1.2.
METODOS ABIERDOS ..................................................................................................... 7
2.1.3.
TEOREMA DEL BOLZANO ............................................................................................... 8
3. DESARROLLO DEL TEMA .......................................................................................................... 9 3.1. CONCEPTO DE ITERACION ..................................................................................................... 9 3.2. EL PUNTO FIJO ....................................................................................................................... 9 3.3. CONDICION DE LIPSCHITZ ....................................................................................................10 3.4. PUNTOS FIJOS Y RAICES DE ECUACIONES NO LINEALES......................................................10 3.5. METODO DEL PUNTO FIJO ...................................................................................................11 3.6. CRITERIOS DE CONVERGENCIA ............................................................................................15
3.6.1.
DESTANCIAS ENTRE LOS
3.6.2.
CRITERIO
3.6.3.
INTERPRETACION GEOMETRICA ..................................................................................18
||
.........................................................................................15
..................................................................................................16
3.7. DIAGRAMA DE FLUJO PARA EL METODO DEL PUNTO FIJO .................................................21 3.8. CODIGO EN VBA PARA EL METODO DEL PUNTO FIJO .........................................................23
4. CONCLUSIONES .....................................................................................................................25 5. BIBLIOGRAFIA ........................................................................................................................25 6. ANEXOS .................................................................................................................................26
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1. INTRODUCCION
La determinación de las raíces de una ecuación es uno de los problemas más antiguos en matemáticas y se han realizado un gran número de esfuerzos en este sentido. Su importancia radica en que si podemos determinar las raíces de una ecuación también podemos determinar máximos y mínimos, resolver sistemas de ecuaciones lineales y diferenciales, etc.
En este trabajo se explica primero los conceptos básicos sobre el tema de raíces de ecuaciones no lineales, se indica también cuales son los métodos mas usuales y por ultimo se interna en la explicación del método del punto fijo, indicando el concepto de un punto fijo, el procedimiento de la iteración, y los criterios de convergencia para las funciones. Por ultimo se desarrolla un programa informático para la resolución de ecuaciones no lineales con el método del punto fijo, indicando el algoritmo del método.
2. GENERALIDADES 2.1. METODOS NUMERICOS PARA EL CALCULO DE RAICES DE ECUACIONES NO LINEALES El objeto del cálculo de las raíces de una ecuación es determinar los valores de x para los que se cumple:
La
determinación
de
las
soluciones
de
la
ecuación
puede llegar a ser un problema muy difícil. Si f(x) es una función polinómica de grado 1 ó 2, conocemos expresiones simples que nos permitirán determinar sus raíces. Para polinomios de grado 3 ó 4 es necesario emplear métodos complejos y laboriosos. Sin embargo, si f(x) es de grado mayor de cuatro o bien no es polinómica, no hay ninguna fórmula conocida que permita determinar los ceros de la ecuación (excepto en casos muy particulares). La mayoría de los métodos utilizados para el cálculo de las raíces de una ecuación son iterativos y se basan en modelos de aproximaciones sucesivas. Estos métodos trabajan del siguiente modo: a partir de una primera aproximación al valor de la raíz, determinamos una aproximación mejor aplicando una determinada regla de cálculo y así sucesivamente hasta que se determine el valor de la raíz con el grado de aproximación deseado.
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Los métodos numéricos utilizados para el calculo de raíces se pueden clasificar en dos tipos principales que son:
2.1.1.
-
Métodos cerrados
-
Métodos abiertos
METODOS CERRADOS Son aquellos métodos que trabajan dentro de un intervalo cerrado donde se encuentra la raíz de la función f(x). Estos métodos tienen la característica de que siempre convergen a la solución, aunque en ocasiones la convergencia es demasiado lenta.
Los métodos cerrados mas usuales son:
a) Método de la bisección o bipartición b) Método de la posición falsa c)
2.1.2.
Método de la posición falsa mejorada
METODOS ABIERTOS Estos métodos no necesitan un intervalo cerrado donde se encuentre la raíz, solo de un punto inicial o de partida para realizar las iteraciones sucesivas. Tienen la desventaja de que en ocasiones divergen de la solución pero su convergencia es mucho mas rápida que los métodos cerrados.
Los métodos mas usuales de este tipo son:
a) Método del punto fijo b) Método de la secante c)
Método de Newton Raphson
En este documento se estudia a profundidad el método numérico iterativo abierto del punto fijo, analizando varios ejemplos y el desarrollo de una aplicación informática.
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RAICES DE ECUACIONES NO LINEALES
f(x) = 0
METODOS CERRADOS
METODOS GRAFICOS
METODOS ABIERTOS
BISECCION
PUNTO FIJO
FALSA POSICION
SECANTE
FALSA POSICION MEJORADA
NEWTON RAPHSON
Fig. 1 Métodos iterativos para el calculo de raíces.
2.1.3.
TEOREMA DE BOLZANO El teorema de Bolzano, que establece que si una función continua, f(x), toma en los extremos del intervalo [ a,b] valores de signo opuesto, entonces la función admite, al menos, una raíz en dicho intervalo.
Es decir si f(a) * f(b) < 0 entonces existe al menos un numero c dentro del intervalo [a,b], tal que f(c) = 0.
Fig 2. Raíces de las ecuaciones no lineales 8
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3. DESARROLLO DEL TEMA 3.1. CONCEPTO DE ITERACIÓN Iterar es repetir un proceso hasta que se obtiene un resultado con la exactitud buscada o requerida. Partiendo de punto inicial aplicando la formula o función g(x) calcularemos los términos sucesivos.
p0
p k :
g ( p0 )
p1
p2
g ( p1 )
..... pk
pk 1
g ( pk 1 )
g ( pk )
.....
3.2. EL PUNTO FIJO Un punto fijo de una función g(x) es un numero real P tal que P = g(P). En esta sección vamos a considerar por una parte, el problema de la existencia y unicidad de puntos fijos y la forma de aproximarlos y por otra parte, la relación entre los problemas de punto fijo y el problema de aproximar raíces, ya que, aunque los problemas que nos planteamos en este trabajo son los de encontrar raíces, cierta selecciones de puntos fijos permiten obtener técnicas muy eficaces de cálculo de raíces. Ejemplos: 1) La función g(x)=x 3 tiene tres puntos fijos en el intervalo [-2,2].
3
Figura 3. g(x) = x tiene tres punto fijos
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2) La función g(x)=(1+sen x) 1/2 tiene un único punto fijo en el intervalo [0,2].
Figura 4. La función g tiene un único punto fijo.
3.3. CONDICION DE LIPSCHITZ Sea g(x) una función continua en un intervalo cerrado [a, b], tal que
y g(b) < b
entonces existe al menos un punto s tal que s = g(s).
Figura 5: existencia de un punto fijo
3.4. PUNTOS FIJOS Y RAICES DE ECUACIONES NO LINEALES Los problemas de búsqueda de raíces y de punto fijo son clases equivalentes en el siguiente sentido:
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Dado un problema de búsqueda de una raíz f(p) = 0, podemos definir una función g con un punto fijo p de varias maneras, una de ellas puede ser: g(x) = x + f(x),
Entonces para x = p, se tiene: g(p) = p + f(p), o g(p) = p, dado que f(p)=0 , por ser raíz.
En otras palabras, el valor p que es una raíz para f(x), constituye un Punto Fijo
para g(p). En el Punto Fijo la expresión g(x) = x se representa como: la intersección ente la curva g(x) y la recta y = x
Figura 6: un punto fijo es la intersección entre las dos graficas.
3.5. METODO DEL PUNTO FIJO Sea el inicio la ecuación general f(x) = 0 , de la cual se desea encontrar una raíz real P . El primer paso consiste en transformar algebraicamente la ecuación f(x) = 0 a la forma equivalente x = g(x).
Por ejemplo para la ecuación:
Cuyas raíces son 1.850781059 y -1.350781059, algunas posibilidades de x = g(x) son:
a) b) c)
√
despejando el segundo termino. despejando x del primer termino factorizando x y despejando
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Una vez que se ha determinado una forma equivalente, el siguiente paso es tantear una raíz; esto puede hacerse por observación directa de la ecuación (por ejemplo en la función inicial f(x) vemos que x = 2 es un valor cercano a la raíz). Se denoto el valor tanteado o valor de inicio como x 0 . Una vez que se tiene x 0 se evalua g(x) en x 0 , denotándose el resultado de esta evaluación como x 1 ; esto es:
El valor de
Caso 1. Que
comparado con presenta los dos siguiente casos:
Esto indica que e ha elegido como valor inicial una raíz
y el problema queda
concluido. Para aclararlo, recuerde que si p es una raíz de la ecuación f(x), se cumple que f(p) = 0 . Y como la ecuación g(x) = x solo es un arreglo de la ecuación f(x) = 0 , también se
cumple que g(p) = p .
Caso 2. Que
y son distintos de p. Esto es fácil de explicar, ya que si no es raíz de la función f(x), se tiene que , por otro lado, evaluando g(x) en se tiene . En estas circunstancias se proceda a una segunda evaluación de g(x), ahora en , denotándose el resultado como . Es el caso mas frecuente e indica que x’
x’
Este proceso se repite y se obtiene el siguiente esquema iterativo:
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Valor inicial Primera iteración Segunda iteración Tercera iteración
.
i - esima iteración i+1 – esima iteración
.
.
.
.
.
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Entonces, se logra el Punto Fijo de g(x), o la raíz de f(x), mediante un algoritmo iterativo que consiste en partir de un valor x 0 a partir del cual se obtiene g(x 0 ), luego x 1 = g(x 0 ), y en general,
como se ilustra en la Figura 7, donde x 2 es
aproximadamente igual a p.
Figura 7: método iterativo del punto fijo
Aunque hay excepciones, generalmente se encuentra que los valores x 0 , x 1 , x 2 , … se van acercando a la raíz p de manera que x i esta mas cerca de p que x i-1 , o bien se van alejando de p de modo que cualquiera esta mas lejos que el valor anterior.
Por ejemplo para la ecuación:
Cuyas raíces son 1.850781059 y -1.350781059, empleando un valor inicial 2 y las ecuaciones x = g(x) :
; x = 2
√
0
x0 = 2
i
x i
g(x ) i
3
0
2.00000
1.87083
3
13
1
1.87083
1.85349
2
13
333
2
1.85349
1.85155
3
333
221773
3
1.85155
1.85083
i
x i
0
2
1
g(x ) i
13
Puede apreciarse que la sucesión diverge con g1(x) y converge con g2(x).
Finalmente, para determinar si la sucesión x 0 , x 1 , x 2 , … esta convergiendo o divergiendo de una raíz p , cuyo valor se desconoce, puede calculare en el proceso iterativo la sucesión f(x 0 ), f(x 1 ), f(x 2 , … Si dicha sucesión tiende a cero, el proceso iterativo converge
| | , donde es un valor pequeño e indicativo de la exactitud o cercanía de x con p . Se toma a como la raíz y el a la raíz p y dicho proceso se continua hasta que i
problema de encontrar una raíz real queda concluido. Si por el contrario f(x 0 ), f(x 1 ), f(x 2 , … no tiende a cero, la sucesión x 0 , x 1 , x 2 , … diverge de la raíz p y el proceso deberá detenerse y ensayarse uno nuevo con una g(x) diferente.
EJEMPLO Encuentre una aproximación a una raíz de la ecuacion:
SOLUCION
Dos posibilidades para g(x) = x son a)
b)
Graficando por separado las funciones
y , se obtiene la figura 8 graficada
con el programa Derive 6
Figura 8: grafica de 3x y de cos x .
Donde un valor cercano a la raíz p puede ser
. Tomando x en radianes
por tratarse de una función trigonométrica. Iterando con el método del punto fijo para el inciso a) se tiene:
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0
| |
0.21578
0.35626
1
0.21578
0.57084
0.71256
2
0.57084
-0.14172
1.42516
3
-0.14172
1.28344
2.85057
4
1.28344
-1.56713
5.70102
Se detiene el proceso en la cuarta iteración, por que f(x 0 ), f(x 1 ), f(x 2 , … no tiende a cero. Se emplea el valor absoluto de f(x) para manejar la idea de distancia. Se inicua un nuevo proceso con
0
y la forma de g(x) del inciso b) | | 0.30796
0.25422
1
0.30796
0.31765
0.02907
2
0.31765
0.31666
0.00298
3
0.31666
0.31676
0.00031
4
0.31676
0.31675
0.00003
Y la aproximación de la raíz es:
3.6. CRITERIOS DE CONVERGENCIA 3.6.1.
DISTANCIAS ENTRE LOS XI En esta sección veremos otros criterios mas de convergencia para el proceso iterativo
del punto fijo.
Uno de estos criterios esta basado en que :
Por lo cual puede suponerse que si la sucesión x 0 , x 1 , x 2 , … converge a p, los valores consecutivos de
y iran acercándose entre si conforme el proceso iterativo avanza.
Un modo practico de saber si los valores consecutivos se acercan es ir calculando la distancia entre ellos
| | 15
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,,,… tiende a cero, puede pensarse que el proceso iterativo eta convergiendo a una raíz p y debe continuarse hasta que , y tomar a como la raíz buscada. Si , , ,… no converge para un numero “grande” de iteraciones, Si la sucesión
entonces x 0 , x 1 , x 2 , … diverge de p, y se detiene el proceso para iniciar uno nuevo, modificando la función g(x), el valor inicial o ambos.
Este criterio de convergencia se utiliza ampliamente en el análisis numérico y resulta mas sencillo de calcular que el que emplea la sucesión f(x 0 ), f(x 1 ), f(x 2 , … pero también es menos seguro.
3.6.2. EL CRITERIO
||
Es importante analizar por que algunas formas equivalente
de
conducen a una raíz en el método del punto fijo y otras no, aun empleando el mismo valor inicial en ambos casos.
Se inicia el análisis aplicando el teorema del punto medio a la función intervalo comprendido entre
y .
en el
donde
. Como
Sustituyendo se obtiene
Tomando valor absoluto en ambos miembros
| | | || | Para
,,,… la ecuación anterior queda asi: | | ||| | | | ||| | | | ||| |
, , ,
Y así sucesivamente.
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Supóngase ahora que en la región que comprende a x 0 , x 1 , x 2 , … y en p misma, la
funión g’x esta acotada; esto es Para algún numero
, Entonces
|| , | | | | | | | | | | | |
Si se sustituye la primera desigualdad en la segunda, se tiene
| | | | | | o bien
| | | | Si se sustituye este resultado en la tercera desigualdad anterior se tiene
| | | | | | o
| | | | Procediendo de igual manera se llega a
| | | | El proceso iterativo del punto fijo puede converger por razones muy diversas, pero es evidente que si
, dicho proceso convergirá, ya que tendera a cero al tender a un
numero grande.
En conclusión, el proceso iterativo del punto fijo puede converger si M es grande y converger si
en un entorno de x que incluya x , x , x , … Entonces e una 0
1
2
condición suficiente, pero no necesaria para la convergencia.
Un método practico de emplear este resultado es obtener distintas formas de de
, y calcular ||; las que satisfagan el criterio || prometerán
convergencia al aplicar el procero iterativo del punto fijo.
EJEMPLO
Calcule una raíz real de la ecuación
Empleando como valor inicial 17
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SOLUCION
Dos formas equivalentes a)
para son: y b)
De donde
Sustituyendo
y
y
||
|| ,
De donde la forma del inciso (a) promete convergencia y la forma (b) no.
Aplicando el proceso iterativo del punt o fijo y el criterio de
| | en
caso de convergencia, se tiene:
| |
| |
0
1.00000
0.47337
1
1.53846
0.53846
0.42572
2
1.29502
0.24344
0.45100
3
1.40183
0.10681
0.44047
4
1.35421
0.04762
0.44529
5
1.37530
0.02101
0.44317
6
1.36593
0.00937
0.44412
7
1.37009
0.00416
0.44370
8
1.36824
0.00185
0.44389
9
1.36906
0.00082
0.44386
| | se mantiene menor de uno. Una ves que | | , se detiene el proceso y se toma como raíz a . Obsérvese que
3.7. INTERPRETACION GEOMETRICA DE Al graficar las funciones
||
y otra función , la raíz buscada p es la abscisa
del punto de intersección entre dichas funciones.
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Figura 9: interpretación geométrica de
||
El proceso iterativo del punto fijo queda representado en la figura 9, la cual muestra un caso de convergencia, ya que
|| en x , x , x , … p
Para ver esto se trazan las tangentes a
0
1
2
en ,,,,… y se observa que
todas tienen un ángulo de inclinación menor que la función y = x cuya pendiente es 1.
A continuación se presentan geométricamente los casos posibles de convergencia y divergencia
a. Convergencia nonotonica. Ocurre cuando
se encuentra entre 0 y 1. Incluso
esta lejos de la raíz p, que se encuentra en la intersección de las graficas de y de y = x , los valores sucesivos de se acercaran a la raíz por un solo si
lado.
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b. Convergencia oscilatoria. Muestra la situación en que si
esta entre -1 y 0. Un
esta alejada de la raíz p, los valores sucesivos de se aproximan por el dado
derecho e izquierdo de la raíz. De ahí el nombre de convergencia oscilatoria.
c. Divergencia nonotonica. En esta figura se ve la divergencia cuando mayor que 1. Los valores sucesivos de
es
se alejan de la raíz por un solo lado.
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MÉTODO DEL PUNTO FIJO
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d. Divergencia oscilatoria. Este caso se presenta cuando valores sucesivos de
es menor que -1. Lo
se alejan de la raíz oscilando alrededor de ella. Esto se
conoce como divergencia oscilatoria.
3.8. DIAGRAMA DE FLUJO PARA EL METODO DEL PUNTO FIJO A continuación se presenta el diagrama de flujo parara el método del punto fijo que se puede aplicar a cualquier lenguaje de programación.
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Diagrama del método del punto fijo.
INICIO
G(X) ; X(0) ; E(N) ; MAXIT
INTRO
I=1
X( I ) = G ( X ( I-1 ) )
E( I ) = ( X ( I ) – X ( I – 1 ) ) / ( X ( I ) * 0,01)
I=I+1
I ; X( I ) ; E ( I )
SI
SI
E ( I – 1 ) > E ( N)
MOSTRAR
NO
NO
I>2
P=X(I) SI
E ( I – 1) > E ( I – 2 )
NO RPTA = RAIZ ENCONTRADA IGUAL A X ( I )
I = MAXIT
I < MAXIT
NO RPTA = EL METODO NO CONVERGE
RPTA
MOSTRAR
FIN
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3.9. CODIGO EN VBA PARA EL PUNTO FIJO Este es el código usado en Visual Basic para Excel para el programa diseñado para el proceso del punto fijo.( Ver anexo 1)
Private Sub CommandButton1_Click() Dim n As Integer Dim h As Double Dim Formula As String Dim graf As Chart Dim chartsTemp As ChartObjects Dim OK As Boolean Dim Fun As New clsMathParser n = Cells(6, 5) a = Cells(6, 3) b = Cells(6, 4) h = (b - a) / n Formula = Cells(2, 3) OK = Fun.StoreExpression(Formula) If Not OK Then GoTo Error_Handler For i = 0 To n Cells(6 + i, 1) = a + i * h Cells(6 + i, 2) = Fun.Eval1(a + i * h) Next i Set chartsTemp = ActiveSheet.ChartObjects If chartsTemp.Count > 0 Then chartsTemp(chartsTemp.Count).Delete End If datos = Range(Cells(6, 1), Cells(6 + n, 2)).Address Set graf = Charts.Add With graf .Name = "Grafico" .ChartType = xlXYScatterSmoothNoMarkers .SetSourceData Source:=Sheets("Punto_Fijo").Range(datos), PlotBy:=xlColumns .Location Where:=xlLocationAsObject, Name:="Punto_Fijo" End With '---------------------------------------------------------------
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If err Then GoTo Error_Handler Error_Handler:
Cells(1, 1) = Fun.ErrorDescription
'--------------------------------------------------------------End Sub
Private Sub CommandButton2_Click() Dim x As Double Dim gx As Double Dim fx As Double Dim OK As Boolean Dim Fun As New clsMathParser Dim err As Double Dim e As Double contador = 0 fx = 1 Formula = Cells(3, 3) OK = Fun.StoreExpression(Formula) 'lectura de la formula x = Cells(3, 6) err = 1 Do While (err > 0.0000001) e1 = x contador = contador + 1 Cells(8 + contador, 4) = x gx = Fun.Eval1(x) Cells(8 + contador, 5) = gx x = gx If (contador > 0) Then err = Abs(((e1 - x) / e1) * 100) End If Cells(8 + contador, 6) = err e = Cells(10 + contador, 5) Cells(8 + contador, 3) = contador Loop MsgBox "Raiz Encontrada en x=" & x, vbInformation, "AngelDX™ Metodos Mumericos"
'
contador = 0
'
Formula2 = Cells(2, 3)
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OK = Fun.StoreExpression(Formula 2) 'lectura de la formula
'Do While (contador <= 17) '
gx = Cells(9 + contador, 5)
'
fx = Fun.Eval1(gx)
'
Cells(9 + contador, 6) = fx
'
contador = contador + 1
'Loop End Sub
4. CONCLUSIONES En conclusión podemos decir que el método del punto fijo es muy bueno y eficaz siempre y cuando se utilice la ecuación equivalente g(x) adecuada.
Se debe resaltar que es muy necesario comprender los criterios de convergencia del método puesto que son muy importantes a la hora de realizar el procedimiento iterativo para calcular las raíces. Una buena interpretación grafica nos da valores posible para nuestro x0 inicial que es muy importante para la búsqueda de raíces.
5. BIBLIOGRAFIA Sitios de internet http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/HERRAmInternet/ecuaexecl/node0.html (Recuperado el 02 de diciembre del 2008) http://www.uv.es/diaz/mn/fmn.html (Recuperado el 27 de noviembre del 2008) http://docencia.udea.edu.co/ingenieria/analisis-numerico/ (recuperado el 27 de noviembre del 2008) http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/NUMERICO/SitioWebEcuaciones/node6.html (Recuperado el 28 de noviembre del 2008) http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/NUMERICO/index.htm (Recuperado el 02 de diciembre del 2008) 25
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http://www.euiti.upm.es/index/departamentos/matematicas/webpersonal/webolga/Mat ematicas_Especialidad/Ecuaciones_no_lineales/Tema_2/Punto_fijo.htm (Recuperado el 02 de diciembre del 2008) 6. ANEXOS
Aspecto del libro de Excel con VBA para el método del punto fijo
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