Teorema de reciprocidad Para el teorema de resistencia de materiales, véase Teorema de Maxwell-Betti .
Es un teorema muy usado en análisis de circuitos. circuitos. El teorema de reciprocidad cuenta con dos enunciados que en términos generales nos dice:
En cualquier red bilateral real pasiva, si la fuente de tensión simple V x en la rama x produce produce la respuesta en corriente I y en la rama y, entonces la eliminación de la fuente de tensión en la rama x y y su inserción en la rama y produciría la respuesta en corriente I y
Primer enunciado [editar ] Indica que si la excitación en la entrada de un circuito produce una corriente i a a la salida, la misma excitación aplicada en la salida producirá la misma corriente i a a la entrada del mismo circuito. Es decir el resultado es el mismo si se intercambia la excitación y la respuesta en un circuito. As:
Segundo enunciado [editar ] !a intensidad i que circula por una rama de un circuito lineal y pasi"o, cuando se intercala una #uente de tensión en otra rama, es la misma que circulara por esta $ltima si la #uente de tensión se intercalase en la primera.
Ejemplo simple[editar ]
En el siguiente circuito se tiene una #uente de tensión en corriente dir ecta de %& 'oltios, entre % y (, que alimenta una red de resistencias.
)i a*ora se cambian de posición la #uente de tensión y el ampermetro, quedando la #uente de tensión entre + y , y el ampermetro entre % y (, como se muestra en el siguiente diagrama:
)e obser"a que en el ampermetro se lee una corriente de (& mA. En conclusión se puede a#irmar que: -El *ec*o de intercambiar la posición relati"a de los puntos de inserción de la #uente y del ampermetro no modi#ica los "al ores medidos-.
Teorema de superposición El teorema de superposición sólo se puede utiliar en el caso de circuitos eléctricos lineales, es decir circuitos #ormados $nicamente por componentes lineales /en los cuales la amplitud de la corriente que los atra"iesa es proporcional a la amplitud de "olta0e a sus extremidades1. El teorema de superposición ayuda a encontrar: •
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'alores de "olta0e, en una posición de un circuito, que tiene más de una #uente independiente. 'alores de corriente, en un circuito con más de una #uente indep endiente.
Este teorema establece que el e#ecto que d os o más #uentes tienen sobre una impedancia es igual, a la suma de cada uno de los e#ectos de cada #uente tomados por separado, sustituyendo todas las #uentes de "olta0e restantes por un corto circuito, y todas las #uentes de corriente restantes por un circuito abierto. )uponga que en un circuito *ay una cantidad n de #uentes independientes E /tanto de "olta0e como de corriente1. En el caso d e un "olta0e espec#ico, la respuesta sera dada por la suma de las contribuciones de cada #uente2 dic*o de otro modo: !a corriente, al igual que el "olta0e, estara dada por la suma de las contribuciones de cada #uente independiente.
Interés del teorema[editar ] En principio, el teorema de superposición puede utiliarse para calcular circuitos *aciendo cálculos parciales, como *emos *ec*o en el e0emplo precedente. 3ero eso no presenta ning$n interés práctico porque la aplicación del teorema alarga los cálculos en lugar de simpli#icarlos. 4tros métodos de cálculo son muc*o más $tiles, en especial a la *ora de tratar con circuitos que poseen muc*as #uentes y muc*os elementos. El "erdadero interés del teorema de superposición es teórico. El teorema 0usti#ica métodos de traba0o con circuitos que simpli#ican "erdaderamente los cálculos. 3or e0emplo, 0usti#ica que se *agan separadamente los cálculos de corriente continua y los cálculos de se5ales /corriente alterna1 en circuitos con 6omponentes acti"os /transistores, ampli#icadores operacionales, etc.1. 4tro método 0usti#icado por el teorema de sup erposición es el de la descomposición de una se5al no sinusoidal en suma de se5ales sinusoidales /"er descomposición en serie de 7ourier 1. )e reemplaa una #uente de "olta0e o de corriente por un con0unto /tal "e in#inito1 de #uentes de "olta0e en serie o de #uentes de corriente en paralelo. 6ada una de las #uentes corresponde a una de las #recuencias de la descomposición. 3or supuesto no se *ará un cálculo separado para cada una de las #recuencias, sino un cálculo $nico con la #recuencia en #orma literal. El resultado #inal será la suma de los resultados obtenidos remplaando, en el cálculo $nico, la #recuencia por cada una de las #recuencias de la serie de 7ourier. El enorme interés de esto es el de poder utiliar el cálculo con el #ormalismo de impedancias cuando las se5ales no son sinusoidales.
Ejemplo[editar ]
Arriba: circuito original. En medio: circuito con la #uente de corriente igualada a cero /circuito abierto1. Aba0o: circuito con la #uente de "olta0e igualada a cero /cortocircuito1.
En el circuito de arriba de la #igura de la iquierda, calculemos el "olta0e en el punto A utiliando el teorema de superposición. 6omo *ay dos #uentes, *ay que *acer dos cálculos intermedios. En el primer cálculo, conser"amos la #uente de "olta0e de la iquierda y remplaamos la #uente de corriente por un circuito abierto. El "olta0e p arcial obtenido es: En el segundo cálculo, guardamos la #uente de corriente de derec*a y8o remplaamos la #uente de "olta0e por un cortocircuito. !a di#erencia de potencial *allada es: El "olta0e que buscamos es la suma de los dos "olta0es parciales:
Teorema de superposición El teorema de superposición ayuda a encontrar: – Valores de tensión, en una posición de un circuito, que tiene mas de una fuente de tensión. – Valores de corriente, en un circuito con más de una fuente de tensión El teorema de superposición establece que, el efecto dos o más fuentes de voltaje tienen sobre una resistencia es igual, a la suma de cada uno de los efectos de cada fuente tomados por separado, sustituyendo todas las fuentes de voltaje restantes por un corto circuito. Ejemplo: Se desea saber cual es la corriente que circula por la resistencia ! "resistencia de carga#. En el circuito original "imagen siguiente# •
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• • • •
$ % & 'ilo(mios & % $ 'ilo(mio ! % $ 'ilo(mio V$ % $) voltios
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V& % &) voltios
*%++ ins%++ dataadsbygooglestatus%+done+ style%+margin: )p- padding: )p- border: )p- outline: )p- fontsi/e: $0p- 1idt(: 2&3p- (eig(t: 4)p- display: inlinebloc'+5 6omo (ay dos fuentes de voltaje, se utili/a una a la ve/ mientras se cortocircuita la otra. "7rimer diagrama a la derec(a se toma en cuenta sólo V$. segundo diagrama se toma en cuenta solo V&#. 8e cada caso se obtiene la corriente que circula por la resistencia ! y despu9s estos dos resultados se suman para obtener la corriente total en esta resistencia 7rimero se anali/a el caso en que sólo está conectada la fuente V$. Se obtiene la corriente total que entrega esta fuente obteniendo la resistencia equivalente de las dos resistencias en paralelo $ y !. eq.% ! & % ).; 'ilo(mios "'ilo(ms# % $ ? eq. % ).; ? & % &.; 'ilo(mios. 8e esta manera se (abrá obtenido la resistencia total equivalente en serie con la fuente.
7ara obtener la corriente total se utili/a la !ey de @(m: A % V . A total % $) Voltios &.; 'ilo(mios % 0 miliamperios "m=.#. 7or el teorema de división de corriente se obtiene la corriente que circula por !: A! % BA - ! &C !, donde ! & significa el paralelo de ! y & "se obtuvo antes eq. % ).; 'ilo(mios#. eempla/ando: A! % B0 m= - ).; 'ilo(miosC $ 'ilo(mio % & m=. "miliamperios#. El caso de la fuente V& se desarrolla de la misma manera, sólo que se deberá cortocircuitar la fuente V$. En este caso la corriente debido sólo a V& es: 3 m=. "miliamperios#. Sumando las dos corriente se encontrará la corriente que circula por la resistencia ! del circuito original. 6orriente total % A> % & m=. ? 3 m=. % $) m=. "miliamperios#. Si se tiene la corriente total en esta resistencia, tambi9n se puede obtener su voltaje con solo utili/ar la ley de @(m: V!% A> - !.
