INFORME SOBRE EL METODO DE NEWTON RAPHSON INTEGRANTES: Mauricio Pino, el resto de tus compañeros RESUMEN En el siguiente informe se presenta uno de los métodos numéricos llamado método de newton raphson con la intención de aprender y comprender su utilización al momento de hallar raíces, a continuación se realiza una breve explicación del método, y sobre qué consiste y luego se resuelven tres ejercicios para colocar en práctica y conocer la efectividad del método.
ABSTRACT The following report presents a numerical methods called Newton's method raphson with the intention to learn and understand their use when finding roots, below is a brief explanation of the method, and what it is and then solve three exercises to put into practice and to know the effectiveness of the method.
iteración con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque o valor supuesto). La relativa cercanía del punto inicial a la raíz depende mucho de la naturaleza de la propia función; si ésta presenta múltiples puntos de inflexión o pendientes grandes en el entorno de la raíz, entonces las probabilidades de que el algoritmo diverja aumentan, lo cual exige seleccionar un valor supuesto cercano a la raíz. Una vez que se ha hecho esto, el método linealiza la función por la recta tangente en ese valor supuesto. La abscisa en el origen de dicha recta será, según el método, una mejor aproximación de la raíz que el valor anterior. Se realizarán sucesivas iteraciones hasta que el método haya convergido lo suficiente. f'(x)= 0 Sea f : [a, b] -> R función derivable definida en el intervalo real [a, b]. Empezamos con un valor inicial x0 y definimos para cada número natural n
MARCO TEORICO METODO DE NEWTON-RAPHSON Descripción del método El método de Newton-Raphson es un método abierto, en el sentido de que su convergencia global no está garantizada. La única manera de alcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada. Así, se ha de comenzar la
Donde f ' denota la derivada de f. Nótese que el método descrito es de aplicación exclusiva para funciones de una sola variable con forma analítica o implícita cognoscible. Existen variantes del método aplicables a sistemas discretos que permiten estimar las
raíces de la tendencia, así como algoritmos que extienden el método de Newton a sistemas multivariables, sistemas de ecuaciones, etc.
2 √
3.
CALCULOS Ejemplo Derivadas de las funciones Consideremos el problema de encontrar un número positivo x tal que cos(x) = x3. Podríamos tratar de encontrar el cero def(x) = cos(x) - x3. Sabemos que f '(x) = -sin(x) - 3x2. Ya que cos(x) ≤ 1 para todo x y x3 > 1 para x>1, deducimos que nuestro cero está entre 0 y 1. Comenzaremos probando con el valor inicial x0 = 0,5
Los dígitos correctos están subrayados. En particular, x6 es correcto para el número de decimales pedidos. Podemos ver que el número de dígitos correctos después de la coma se incrementa desde 2 (para x3) a 5 y 10, ilustrando la convergencia cuadrática.
1.
(
)
( )
2. 3. Nota: El resto de cálculos se realizan en Excel y dichos cálculos y tablas se anexan más adelante.
CONCULUSION Después del análisis que se le hizo al método de newton raphson en el anterior informe y según los ejercicios resueltos pudimos darnos cuenta de que es un método sencillo, practico y exacto a la hora de hallar raíces y que la única complejidad del método está en que la derivada de la función sea muy complicada lo que haría el método difícil de resolver por lo tanto es recomendable usar este método para funciones dicha derivada se pueda conocer fácilmente.
BIBLIOGRAFIA 1. http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3 %A9todo_de_Newton
EJERCICIOS 1.
(
)
( )
CALCULOS ANEXOS
ANALISIS DEL RESULTADO Teniendo en cuenta la función graficada encontramos un intervalo donde la función tiene una raíz, y encontramos que es en el intervalo cerrado de 1,5 y 1,7 teniendo en cuenta los tomamos como nuestro ai y nuestro bi para hallar el xi y con un total de 4 iteraciones en nuestro método encontramos que la raíz es 1,56743904 con un porcentaje de error despreciable para nuestra función ( ) ( ) ( ) , cuya derivada fue ( ).
ANALISIS DEL RESULTADO Teniendo en cuenta la función graficada encontramos un intervalo donde la función tiene una raíz, y encontramos que es en el intervalo cerrado de 1 y 2 teniendo en cuenta los tomamos como nuestro ai y nuestro bi para hallar el xi y con un total de 4 iteraciones en nuestro método encontramos que la raíz es 1,39513976 con un porcentaje de error despreciable para nuestra función , cuya derivada fue .
ANALISIS DEL RESULTADO Teniendo en cuenta la función graficada encontramos un intervalo donde la función tiene una raíz, y encontramos que es en el intervalo cerrado de 0,1 y 0,3 teniendo en cuenta los tomamos como nuestro ai y nuestro bi para hallar el xi y con un total de 4 iteraciones en nuestro método encontramos que la raíz es 1,39513976 con un porcentaje de error despreciable para nuestra función √ , cuya derivada fue .
